专题02 一元二次方程-根的判别式、根与系数的关系-【寒假分层作业】2025年九年级数学寒假培优练（人教版）

专题02 一元二次方程—根的判别式、根与系数的关系 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练 题型一 利用跟的判别式的值判断根的情况 题型二 根据根的情况求未知系数的范围 题型三 利用根于系数的关系求两根之积与两根之和 题型四 利用根于系数的关系求两根之积与两根之和的变形式的值 题型五 利用根于系数的关系与方程的变形求式子的值 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 中考真题练 利用根的判别式的值判断根的情况 ⭐技巧积累与运用 确定一元二次方程各项的系数，求出根的判别式的值，在比较判别式的值与0的大小关系从而得出根的情况。 ①若，方程有两个不相等的实数根； ②若，方程有两个相等的实数根； ③若，方程没有实数根。 1．关于x的一元二次方程2x2﹣4x+3＝0根的情况是（　　） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 2．一元二次方程（x+1）（4x+1）＝2x的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根 3．关于x的一元二次方程x2﹣2ax﹣3＝0（其中a为常数）的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．可能有实数根，也可能没有 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 4．对于4个实数a，b，c，d，现给出一种新的运算，规定，例如：＝1×4﹣2×3＝﹣2，则方程的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 5．已知关于x的一元二次方程ax2﹣x+c＝0，其中a，c在数轴上的对应点如图所示，则这个方程根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 根据根的情况求未知系数的范围 ⭐技巧积累与运用 确定一元二次方程各项的系数，再根据根的情况建立关于的不等式，解出不等式即可。 ①若方程有两个不相等的实数根，则＞0； ②若方程有两个相等的实数根，则＝0； ③若方程没有实数根，则＜0。 注意考虑二次项系数不能为0. 1．关于x的一元二次方程2x2﹣3x+k＝0有实数根，则实数k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．若关于x的方程x2﹣6x+m＝0没有实数根，则实数m的取值范围是（　　） A．m＞9 B．m＞﹣9 C．m＜9 D．m＜﹣9 3．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不等的实数根，则实数k的取值范围是（　　） A．k＞﹣1 B．k＜1 C．k≥﹣1且k≠0 D．k＞﹣1且k≠0 4．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的值不可能是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1 5．若关于x的一元二次方程（m+1）x2+2（m+1）x+m﹣1＝0有实数根，则实数m的取值范围是（　　） A．m＞﹣1 B．m≥﹣1 C．m≤﹣1 D．m＜﹣1 利用根于系数的关系求两根之积与两根之和 ⭐技巧积累与运用 确定一元二次方程各项的系数，再根据根与系数的关系，求出两根之积与两根之和即可。 1．若x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的两个根，则（　　） A．x1+x2＝6 B．x1+x2＝﹣6 C． D．x1x2＝7 2．已知x1，x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，则下列说法正确的是（　　） A．x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣1 B．x1+x2＝2，x1x2＝1 C．x1+x2＝﹣2，x1x2＝1 D．x1+x2＝2，x1x2＝﹣1 3．已知x1，x2是一元二次方程x2+3x+1＝0的两根，且x1+x2+x1x2的值是（　　） A．4 B．﹣2 C．2 D．1 4．已知一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两根为x1，x2，则x1+x2﹣x1x2的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8 5． 若m、n是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的两个实数根，多项式2n﹣mn+2m的值是 　． 利用根于系数的关系求两根之积与两根之和的变形式 ⭐技巧积累与运用 确定一元二次方程各项的系数，求出根与系数的关系两根之积与两根之和。再把需要求的式子进行变形为两根之和与两根之积的表达式带入求值即可。 ①（提公因式）； ②（完全平方和公式转换）； ③（通分计算）； ④（通分计算） ⑤（整式乘法计算，其中p为常数） ⑥（完全平方公式转换） 1．若x1、x2是方程x2﹣3x﹣1＝0的两个根，则的值为（　　） A．7 B．9 C．11 D．13 2．已知x1、x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，则的值为（　　） A． B．2 C． D．﹣2 3．已知a、b是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则a2b+ab2的值是（　　） A．﹣1 B．﹣5 C．﹣6 D．6 4．已知关于x的方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0的两个实数根x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝3，则m的值为（　　） A．﹣3 B．1 C．﹣3或1 D．﹣1或3 5．已知实数m，n（m≠n）满足2m2﹣3m﹣1＝0，2n2﹣3n﹣1＝0，则的值为（　　） A． B． C． D． 利用根于系数的关系与方程的变形求式子的值 ⭐技巧积累与运用 确定一元二次方程各项的系数，求出根与系数的关系两根之积与两根之和。再把方程的根带入方程得到关于方程的根的两个式子，即，。通过降次转换带入求值。 1．已知m，n是方程x2+x﹣2025＝0的两个实数根，则m2+2m+n等于（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 2．已知a和b是方程x2+2024x﹣4＝0的两个解，则a2+2023a﹣b的值为（　　） A．2020 B．2024 C．2026 D．2028 3．已知m，n是方程x2+3x﹣4＝0的两根，则m2+4m+n﹣3的值为（　　） A．5 B．﹣3 C．4 D．﹣2 4．若m、n是关于x的一元二次方程x2+x﹣2＝0的两根，则m2﹣n﹣3的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 5．已知a、b是方程x2﹣x﹣2023＝0的两个实数根，则代数式a3﹣2023a+b2的值是（　　） A．4047 B．4046 C．2023 D．1 1．已知关于x的方程kx2+（1﹣k）x﹣1＝0，下列说法中正确的是（　　） A．当k＝0时，方程无解 B．当k＝1时，方程有两个不相等的实根 C．当k＝﹣1时，方程有一个实根 D．当k≠0时，方程一定有两个不相等的实根 2．对于方程x2﹣2|x|+3＝m，如果方程实根的个数为3个，则m的值等于（　　） A．l B．3 C． D．2.5 3．已知a，b分别为方程x2﹣2x﹣c＝0的两个不相等的实数根，则值为（　　） A． B． C．2 D．4 4．关于x的一元二次方程x2+（2m﹣3）x+m2+1＝0的两实根x1，x2满足，则m的值为（　　） A．1或5 B．1或﹣5 C．﹣5 D．5 5． 若一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两个实数根分别是a、b，则一次函数y＝abx+a+b的图象一定不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．若非零实数a，b（a≠b）满足a2﹣a﹣2023＝0，b2﹣b﹣2023＝0，则的值是（　　） A．﹣2023 B． C．1 D．﹣1 7．对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：a*b＝a2+2ab﹣b2，例如：3*5＝32+2×3×5﹣52＝14．若m，n是方程（x+2）*3＝0的两个实数根，则的值为（　　） A． B．﹣3 C． D．﹣ 8．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）．下列说法中正确的有（　　） ①若a+b+c＝0，则方程ax2+bx+c＝0有一个根是1； ②若方程的两根为﹣1和2，则有2a+c＝0成立； ③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则有ac+b+1＝0成立． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 9．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围． （2）设x1，x2是方程的两个根且，求m的值． 10．阅读材料： 材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1x2＝． 材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值． 解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n， ∴m+n＝1，mm＝﹣1，则m2n+mn2＝mm（m+n）＝﹣1×1＝﹣1． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）材料理解：一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝　 　，x1x2＝　 　． （2）初步体验：已知一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，求的值． （3）类比应用：已知实数s、t满足s2﹣3s﹣1＝0，t2﹣3t﹣1＝0，且s≠t，求的值． （4）思维拓展：已知实数a、b、c满足a+b＝c﹣10、ab＝，且c＜10，求c的最大值． 1．（2024•北京）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为（　　） A．﹣16 B．﹣4 C．4 D．16 2．（2024•潍坊）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣n2+mn+1＝0，其中m，n满足m﹣2n＝3，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（　　） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 3．（2024•绵阳）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k2+2＝0有实数根，则k的取值范围为（　　） A． B． C． D． 4．（2024•宿迁）规定：对于任意实数a、b、c，有【a，b】★c＝ac+b，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如【2，3】★1＝2×1+3＝5．若关于x的方程【x，x+1】★（mx）＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（　　） A．m＜ B．m＞ C．m＞且m≠0 D．m＜且m≠0 5．（2024•日照）已知，实数x1，x2（x1≠x2）是关于x的方程kx2+2kx+1＝0（k≠0）的两个根．若，则k的值为（　　） A．1 B．﹣1 C． D． 6．（2024•西宁）已知方程x2+2x﹣1＝0的两根分别为a和b，则4a2+8ab+4b2的值为 　 　． 7．（2024•成都）若m，n是一元二次方程x2﹣5x+2＝0的两个实数根，则m+（n﹣2）2的值为 　 　． 8．（2024•泸州）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两个实数根，则（x1﹣x2）2+3x1x2的值是 　 　． 9．（2024•遂宁）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m﹣1＝0． （1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且+﹣x1x2＝9，求m的值． 10．（2024•内江）已知关于x的一元二次方程x2﹣px+1＝0（p为常数）有两个不相等的实数根x1和x2． （1）填空：x1+x2＝ 　 　，x1x2＝ 　 　； （2）求+，x1+； （3）已知+＝2p+1，求p的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 一元二次方程—根的判别式、根与系数的关系 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练 题型一 利用跟的判别式的值判断根的情况 题型二 根据根的情况求未知系数的范围 题型三 利用根于系数的关系求两根之积与两根之和 题型四 利用根于系数的关系求两根之积与两根之和的变形式的值 题型五 利用根于系数的关系与方程的变形求式子的值 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 中考真题练 利用根的判别式的值判断根的情况 ⭐技巧积累与运用 确定一元二次方程各项的系数，求出根的判别式的值，在比较判别式的值与0的大小关系从而得出根的情况。 ①若，方程有两个不相等的实数根； ②若，方程有两个相等的实数根； ③若，方程没有实数根。 1．关于x的一元二次方程2x2﹣4x+3＝0根的情况是（　　） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【分析】根据一元二次方程根的判别式判断即可． 【解答】解：Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×2×3＝﹣8＜0， 所以方程没有实数根， 故选：D． 2．一元二次方程（x+1）（4x+1）＝2x的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根 【分析】先求出△的值，再判断出其符号即可． 【解答】解：整理（x+1）（4x+1）＝2x得：4x2+3x+1＝0， ∵Δ＝32﹣4×1×1＝9﹣4＝5＞0， ∴一元二次方程（x+1）（4x+1）＝2x的有两个不相等的实数根． 故选：A． 3．关于x的一元二次方程x2﹣2ax﹣3＝0（其中a为常数）的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．可能有实数根，也可能没有 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【分析】先计算判别式的值得到Δ＞0，然后根据判别式的意义对各选项进行判断． 【解答】解：∵Δ＝4a2﹣4×1×（﹣3）＝4a2+12＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 4．对于4个实数a，b，c，d，现给出一种新的运算，规定，例如：＝1×4﹣2×3＝﹣2，则方程的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【分析】列出方程后根据根的判别式计算即可． 【解答】解：由题意知，x2﹣6x＝﹣9， 则x2﹣6x+9＝0， 由Δ＝（﹣6）2﹣4×1×9＝0知方程有两个相等的实数根， 故选：A． 5．已知关于x的一元二次方程ax2﹣x+c＝0，其中a，c在数轴上的对应点如图所示，则这个方程根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【分析】利用数轴表示数的方法得到a＞0，c＜0，则可判断Δ＝1﹣4ac＞0，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况即可． 【解答】解：∵a＞0，c＜0， ∴ac＜0， ∴Δ＝（﹣1）2﹣4ac＝1﹣4ac＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 根据根的情况求未知系数的范围 ⭐技巧积累与运用 确定一元二次方程各项的系数，再根据根的情况建立关于的不等式，解出不等式即可。 ①若方程有两个不相等的实数根，则＞0； ②若方程有两个相等的实数根，则＝0； ③若方程没有实数根，则＜0。 注意考虑二次项系数不能为0. 1．关于x的一元二次方程2x2﹣3x+k＝0有实数根，则实数k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据一元二次方程根的判别式即可解决问题． 【解答】解：因为关于x的一元二次方程2x2﹣3x+k＝0有实数根， 所以Δ＝（﹣3）2﹣4×2×k≥0， 解得k≤． 故选：B． 2．若关于x的方程x2﹣6x+m＝0没有实数根，则实数m的取值范围是（　　） A．m＞9 B．m＞﹣9 C．m＜9 D．m＜﹣9 【分析】根据根的判别式列出不等式，解不等式即可． 【解答】解：由题意可知：Δ＝（﹣6）2﹣4×1•m＜0， ∴m＞9． 故选：A． 3．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不等的实数根，则实数k的取值范围是（　　） A．k＞﹣1 B．k＜1 C．k≥﹣1且k≠0 D．k＞﹣1且k≠0 【分析】根据根的判别式和已知得出k≠0且△＞0，求出解集即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＝4+4k＞0， 解得：k＞﹣1， ∵k≠0， ∴k的取值范围是k＞﹣1且k≠0， 故选：D． 4．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的值不可能是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1 【分析】利用二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，可得出关于k的一元一次不等式组，解之可得出k的取值范围，再对照四个选项，即可得出结论． 【解答】解：由题意可知：， 解得：k＜2且k≠0， ∴k的值不可能是0． 故选：C． 5．若关于x的一元二次方程（m+1）x2+2（m+1）x+m﹣1＝0有实数根，则实数m的取值范围是（　　） A．m＞﹣1 B．m≥﹣1 C．m≤﹣1 D．m＜﹣1 【分析】根据根的判别式及一元二次方程的定义求解即可． 【解答】解：由题意知Δ＝[2（m+1）]2﹣4（m+1）（m﹣1）≥0且m+1≠0， 解得m＞﹣1， 故选：A． 利用根于系数的关系求两根之积与两根之和 ⭐技巧积累与运用 确定一元二次方程各项的系数，再根据根与系数的关系，求出两根之积与两根之和即可。 1．若x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的两个根，则（　　） A．x1+x2＝6 B．x1+x2＝﹣6 C． D．x1x2＝7 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，分别求出两根之和与两根之积，进行判断即可． 【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的两个根， ∴x1+x2＝﹣＝6，x1x2＝＝﹣7． 故选：A． 2．已知x1，x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，则下列说法正确的是（　　） A．x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣1 B．x1+x2＝2，x1x2＝1 C．x1+x2＝﹣2，x1x2＝1 D．x1+x2＝2，x1x2＝﹣1 【分析】直接利用根与系数的关系进行判断． 【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝2，x1x2＝﹣1． 故选：D． 3．已知x1，x2是一元二次方程x2+3x+1＝0的两根，且x1+x2+x1x2的值是（　　） A．4 B．﹣2 C．2 D．1 【分析】由根与系数的关系得出x1+x2＝﹣3，x1x2＝1，从而得出结论． 【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2+3x+1＝0的两根， ∴x1+x2＝﹣3，x1x2＝1， ∴x1+x2+x1x2＝﹣3+1＝﹣2， 故选：B． 4．已知一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两根为x1，x2，则x1+x2﹣x1x2的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2＝3，x1•x2＝﹣5，代入进行计算即可得到答案． 【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两根为x1，x2， ∴，， ∴x1+x2﹣x1x2＝3﹣（﹣5）＝3+5＝8， 故选：C． 5．若m、n是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的两个实数根，多项式2n﹣mn+2m的值是 　5　． 【分析】据此得到n+m＝1，mn＝﹣3即可求解． 【解答】解：由根与系数的关系可知：n+m＝1，mn＝﹣3， ∴2n﹣mn+2m ＝2（n+m）﹣mn ＝2×1﹣（﹣3） ＝2+3 ＝5， 故答案为：5． 利用根于系数的关系求两根之积与两根之和的变形式 ⭐技巧积累与运用 确定一元二次方程各项的系数，求出根与系数的关系两根之积与两根之和。再把需要求的式子进行变形为两根之和与两根之积的表达式带入求值即可。 ①（提公因式）； ②（完全平方和公式转换）； ③（通分计算）； ④（通分计算） ⑤（整式乘法计算，其中p为常数） ⑥（完全平方公式转换） 1．若x1、x2是方程x2﹣3x﹣1＝0的两个根，则的值为（　　） A．7 B．9 C．11 D．13 【分析】利用根与系数的关系，可得出x1+x2＝3，x1x2＝﹣1，再将其代入+＝（x1+x2）2﹣2x1x2中，即可求出结论． 【解答】解：∵x1、x2是方程x2﹣3x﹣1＝0的两个根， ∴x1+x2＝3，x1x2＝﹣1， ∴+＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝32﹣2×（﹣1）＝11． 故选：C． 2．已知x1、x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，则的值为（　　） A． B．2 C． D．﹣2 【分析】根据x1、x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，得出x1+x2＝2，x1•x2＝﹣1，再把变形为，然后代入计算即可． 【解答】解：∵x1、x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根， ∴x1+x2＝2，x1•x2＝﹣1． ∴＝＝﹣2 故选：D． 3．已知a、b是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则a2b+ab2的值是（　　） A．﹣1 B．﹣5 C．﹣6 D．6 【分析】根据根与系数的关系，可得出ab和a+b的值，再代入即可． 【解答】解：∵a、b是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根， ∴ab＝﹣3，a+b＝2， ∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝﹣3×2＝﹣6， 故选：C． 4．已知关于x的方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0的两个实数根x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝3，则m的值为（　　） A．﹣3 B．1 C．﹣3或1 D．﹣1或3 【分析】由方程有两个实数根得，根据根与系数的关系得，，然后代入（x1+1）（x2+1）＝3计算即可． 【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0的两实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4m2＝1﹣4m≥0， ∴， ∴， ∵（x1+1）（x2+1）＝x1x2+（x1+x2）+1＝3， ∴m2+2m﹣1+1＝3， 解得：m＝1（舍）或m＝﹣3； 故选：A． 5．已知实数m，n（m≠n）满足2m2﹣3m﹣1＝0，2n2﹣3n﹣1＝0，则的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】判断出m，n是方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根，可得m+n＝，mn＝﹣，利用整体代入的思想解决问题即可． 【解答】解：∵实数m，n（m≠n）满足2m2﹣3m﹣1＝0，2n2﹣3n﹣1＝0， ∴m，n是方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根， ∴m+n＝，mn＝﹣， ∴+＝＝＝＝﹣． 故选：B． 利用根于系数的关系与方程的变形求式子的值 ⭐技巧积累与运用 确定一元二次方程各项的系数，求出根与系数的关系两根之积与两根之和。再把方程的根带入方程得到关于方程的根的两个式子，即，。通过降次转换带入求值。 1．已知m，n是方程x2+x﹣2025＝0的两个实数根，则m2+2m+n等于（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【分析】根据方程的解的概念及根与系数的关系得出m2+m＝2025，m+n＝﹣1，继而代入计算即可． 【解答】解：由题意知，m2+m﹣2025＝0，即m2+m＝2025，m+n＝﹣1， 则m2+2m+n ＝m2+m+m+n ＝2025﹣1 ＝2024， 故选：C． 2．已知a和b是方程x2+2024x﹣4＝0的两个解，则a2+2023a﹣b的值为（　　） A．2020 B．2024 C．2026 D．2028 【分析】先根据方程的解满足方程以及根与系数关系求得a2+2024a＝4，a+b＝﹣2024，再代值求解即可． 【解答】解：由条件可知：a2+2024a﹣4＝0，a+b＝﹣2024， ∴a2+2024a＝4， ∴a2+2023a﹣b ＝a2+2024a﹣（a+b） ＝4﹣（﹣2024） ＝4+2024 ＝2028， 故选：D． 3．已知m，n是方程x2+3x﹣4＝0的两根，则m2+4m+n﹣3的值为（　　） A．5 B．﹣3 C．4 D．﹣2 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到m+n＝﹣3，再根据一元二次方程根的定义得到m2+3m＝4，最后整体代入即可解决问题． 【解答】解：由条件可知：m+n＝﹣3，m2+3m﹣4＝0，即m2+3m＝4， ∴原式＝m2+3m+m+n﹣3 ＝4﹣3﹣3 ＝﹣2． 故选：D． 4．若m、n是关于x的一元二次方程x2+x﹣2＝0的两根，则m2﹣n﹣3的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】先根据一元二次方程根的定义得到m2＝﹣m+2，则m2﹣n﹣3可化为﹣（m+n）﹣1，再利用根与系数的关系得m+n＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：∵m是关于x的一元二次方程x2+x﹣2＝0的根， ∴m2+m﹣2＝0， 即m2＝﹣m+2， ∴m2﹣n﹣3＝﹣m+2﹣n﹣3＝﹣（m+n）﹣1， 根据根与系数的关系得m+n＝﹣1， ∴m2﹣n﹣3＝﹣（﹣1）﹣1＝0． 故选：A． 5．已知a、b是方程x2﹣x﹣2023＝0的两个实数根，则代数式a3﹣2023a+b2的值是（　　） A．4047 B．4046 C．2023 D．1 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，结合整体思想即可解决问题． 【解答】解：因为a、b是方程x2﹣x﹣2023＝0的两个实数根， 所以a2﹣a﹣2023＝0，a+b＝1，ab＝﹣2023， 则a3﹣a2﹣2023a＝0， 即a3﹣2023a＝a2， 所以a3﹣2023a+b2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝12﹣2×（﹣2023）＝4047． 故选：A． 1．已知关于x的方程kx2+（1﹣k）x﹣1＝0，下列说法中正确的是（　　） A．当k＝0时，方程无解 B．当k＝1时，方程有两个不相等的实根 C．当k＝﹣1时，方程有一个实根 D．当k≠0时，方程一定有两个不相等的实根 【分析】先对k是否为0进行分类讨论，再利用一元二次方程根的判别式，对所给选项依次进行判断即可． 【解答】解：当k＝0时，方程为x﹣1＝0， 此方程为一元一次方程，且解为x＝1． 故A选项不符合题意． 当k≠0时，方程为一元二次方程， 则Δ＝（1﹣k）2﹣4×k×（﹣1）＝（k+1）2． 当k＝1时，Δ＝4＞0， 所以方程有两个不相等的实根． 故B选项符合题意． 当k＝﹣1时，Δ＝0， 所以方程有两个相等的实根． 故C选项不符合题意． 当k≠0，但k＝﹣1时，方程有两个相等的实根， 故D选项不符合题意． 故选：B． 2．对于方程x2﹣2|x|+3＝m，如果方程实根的个数为3个，则m的值等于（　　） A．l B．3 C． D．2.5 【分析】先利用配方法解方程，再根据方程有三个实数根判断出方程根的情况，进而可得出结论． 【解答】解：原方程可整理得为：（|x|﹣1）2＝m﹣2， 解得， ∵若，则方程有四个实数根， ∴方程必有一个根等于0， ∴， 解得m＝3． 故选：B． 3．已知a，b分别为方程x2﹣2x﹣c＝0的两个不相等的实数根，则值为（　　） A． B． C．2 D．4 【分析】先由根与系数的关系得到a+b＝2，再根据分式的混合计算法则求出所求式子的化简结果，最后利用整体代入法求解即可． 【解答】解：由条件可知a+b＝2， ∴ ＝ ＝ ＝， 故选：B． 4．关于x的一元二次方程x2+（2m﹣3）x+m2+1＝0的两实根x1，x2满足，则m的值为（　　） A．1或5 B．1或﹣5 C．﹣5 D．5 【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2＝﹣（2m﹣3），，整理代入，可求得m的值，再代入方程检验即可求解． 【解答】解：由条件可知x1+x2＝﹣（2m﹣3），， ∵， ∴， 整理得m2+4m﹣5＝0， 解得m＝﹣5或m＝1， 当m＝﹣5时，方程为x2﹣13x+26＝0， 而Δ＝（﹣13）2﹣4×1×26＝65＞0，符合题意； 当m＝1时，方程为x2﹣x+2＝0， 而Δ＝（﹣1）2﹣4×1×2＝﹣7＜0， ∴m＝1不合题意，舍去， 故选：C． 5． 若一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两个实数根分别是a、b，则一次函数y＝abx+a+b的图象一定不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据根与系数的关系即可求出ab与a+b的值，然后根据一次函数的性质，即可得到该函数图象经过哪几个象限，不经过哪个象限． 【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两个实数根分别是a、b， ∴a+b＝4，ab＝﹣3， ∴一次函数解析式为y＝abx+a+b＝﹣3x+4， ∴该函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限， 故选：C． 6．若非零实数a，b（a≠b）满足a2﹣a﹣2023＝0，b2﹣b﹣2023＝0，则的值是（　　） A．﹣2023 B． C．1 D．﹣1 【分析】根据非零实数a，b（a≠b）满足a2﹣a﹣2023＝0，b2﹣b﹣2023＝0，得出a、b是方程x2﹣x﹣2023＝0的解，再根据一元二次方程根与系数的关系得出a+b与ab的值，把算式变形代入计算即可． 【解答】解：∵非零实数a，b（a≠b）满足a2﹣a﹣2023＝0，b2﹣b﹣2023＝0， ∴a、b是方程x2﹣x﹣2023＝0的解， ∴a+b＝1，ab＝﹣2023， ∴， 故选：B． 7．对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：a*b＝a2+2ab﹣b2，例如：3*5＝32+2×3×5﹣52＝14．若m，n是方程（x+2）*3＝0的两个实数根，则的值为（　　） A． B．﹣3 C． D．﹣ 【分析】根据所给的运算法则可得方程x2+10x+7＝0，再由根与系数的关系得m+n＝﹣10，mn＝7，再由此关系求解即可． 【解答】解：（x+2）*3＝（x+2）2+2×3（x+2）﹣32＝x2+10x+7＝0， ∴m+n＝﹣10，mn＝7， ∴＝＝， 故选：D． 8．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）．下列说法中正确的有（　　） ①若a+b+c＝0，则方程ax2+bx+c＝0有一个根是1； ②若方程的两根为﹣1和2，则有2a+c＝0成立； ③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则有ac+b+1＝0成立． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】当x＝1时，a+b+c＝0，则方程ax2+bx+c＝0有一个根是1；可判断①的正误；由方程的两根为﹣1和2，可得，即2a+c＝0，可判断②的正误；由c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，可得ac2+bc+c＝0，即c（ac+b+1）＝0，由ac≠0，可得a≠0，c≠0，则ac+b+1＝0，可判断③的正误． 【解答】解：当x＝1时，a+b+c＝0， ∴方程ax2+bx+c＝0有一个根是1；正确，故①符合要求； ∵方程的两根为﹣1和2， ∴，即2a+c＝0，正确，故②符合要求； ∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根， ∴ac2+bc+c＝0，即c（ac+b+1）＝0， ∵ac≠0， ∴a≠0，c≠0， ∴ac+b+1＝0，正确，故③符合要求； 关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0），说法中正确的有①②③共3个， 故选：D． 9．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围． （2）设x1，x2是方程的两个根且，求m的值． 【分析】（1）根据题意可得Δ＞0，再代入相应数值解不等式即可； （2）根据根与系数的关系可得x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2﹣1，代入所求的式子可得关于m的方程，整理后可即可解出m的值． 【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（2m+1）2﹣4（m2﹣1）＞0， 解得m＞﹣， 故m的取值范围是m＞﹣； （2）x+x+x1x2﹣6＝（x1+x2）2﹣x1x2﹣6＝（2m+1）2﹣（m2﹣1）﹣6＝0， 解得m1＝，m2＝﹣2， ∵m＞﹣， ∴m的值为． 10．阅读材料： 材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1x2＝． 材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值． 解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n， ∴m+n＝1，mm＝﹣1，则m2n+mn2＝mm（m+n）＝﹣1×1＝﹣1． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）材料理解：一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝　3　，x1x2＝　﹣1　． （2）初步体验：已知一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，求的值． （3）类比应用：已知实数s、t满足s2﹣3s﹣1＝0，t2﹣3t﹣1＝0，且s≠t，求的值． （4）思维拓展：已知实数a、b、c满足a+b＝c﹣10、ab＝，且c＜10，求c的最大值． 【分析】（1）根据根与系数的关系进行求解即可； （2）根据根与系数的关系可得：m+n＝3，mn＝﹣1，再利用分式的化简求值的方法进行运算即可； （3）可把s与t看作是方程x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根，则有s+t＝3，st＝﹣1，再利用分式的化简求值的方法进行运算即可； （4）将a、b看作是方程的两实数根；利用判别式的意义得，根据c＜10得到（10﹣c）3﹣27≥0，解得c≤7，从而得到c的最大值． 【解答】解：（1）∵一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2， ∴，， 故答案为：3，﹣1； （2）∵一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m，n， ∴m+n＝3，mn＝﹣1， ∴； （3）∵实数s，t满足s2﹣3s﹣1＝0，t2﹣3t﹣1＝0，且s≠t， ∴s，t是一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根， ∴s+t＝3，st＝﹣1． ∵（t﹣s）2＝（t+s）2﹣4st＝32﹣4×（﹣1）＝13， ∴ ∴； （4）∵a+b＝c﹣10，， ∴将a、b看作是方程的两实数根． ∵，即， 而c＜10，则10﹣c＞0， ∴（10﹣c）3﹣27≥0， ∴（10﹣c）3≥27， ∴10﹣c≥3， 即c≤7， ∴c的最大值为7． 1．（2024•北京）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为（　　） A．﹣16 B．﹣4 C．4 D．16 【分析】根据一元二次方程根的判别式即可解决问题． 【解答】解：因为关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根， 所以Δ＝（﹣4）2﹣4c＝0， 解得c＝4． 故选：C． 2．（2024•潍坊）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣n2+mn+1＝0，其中m，n满足m﹣2n＝3，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（　　） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【分析】对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），若Δ＝b2﹣4ac＞0，则方程有两个不相等的实数根，若Δ＝b2﹣4ac＝0，则方程有两个相等的实数根，若Δ＝b2﹣4ac＜0，则方程没有实数根，据此先求出m﹣2n＝3，再求出Δ＝（﹣m）2﹣4（﹣n2+mn+1）的符号即可得到结论． 【解答】解：∵m﹣2n＝3， ∴Δ＝（﹣m）2﹣4（﹣n2+mn+1） ＝m2+4n2﹣4mn﹣4 ＝（m﹣2n）2﹣4 ＝32﹣4 ＝9﹣4 ＝5＞0， ∴原方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 3．（2024•绵阳）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k2+2＝0有实数根，则k的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ≥0，可列出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k2+2＝0有实数根， ∴Δ＝[﹣2（k﹣1）]2﹣4×1×（k2+2）＝4k2﹣8k+4﹣4k2﹣8＝﹣8k﹣4≥0， ∴k≤﹣． 故选：D． 4．（2024•宿迁）规定：对于任意实数a、b、c，有【a，b】★c＝ac+b，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如【2，3】★1＝2×1+3＝5．若关于x的方程【x，x+1】★（mx）＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（　　） A．m＜ B．m＞ C．m＞且m≠0 D．m＜且m≠0 【分析】先根据新定义得到x（mx）+x+1＝0，再把方程化为一般式，根据题意得到Δ＞0且m≠0，解不等式即可． 【解答】解：根据题意得x（mx）+x+1＝0， 整理得mx2+x+1＝0， ∵关于x的方程【x，x+1】★（mx）＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝12﹣4m•1＞0且m≠0， 解得m＜且m≠0． 故选：D． 5．（2024•日照）已知，实数x1，x2（x1≠x2）是关于x的方程kx2+2kx+1＝0（k≠0）的两个根．若，则k的值为（　　） A．1 B．﹣1 C． D． 【分析】先利用根与系数的关系得x1+x2＝﹣＝﹣2，x1x2＝，再利用+＝2，得到﹣2＝2×，解方程得到k＝﹣1，然后根据根的判别式的意义确定k的值． 【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝﹣＝﹣2，x1x2＝， ∵+＝2， ∴x1+x2＝2x1x2， ∴﹣2＝2×， 解得k＝﹣1， 方程化为﹣x2﹣2x+1＝0， ∵Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣1）×1＝8＞0， ∴方程有两个不相等的实数解， ∴k的值为﹣1． 故选：B． 6．（2024•西宁）已知方程x2+2x﹣1＝0的两根分别为a和b，则4a2+8ab+4b2的值为 　16　． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，得到a+b＝﹣2，化简所求代数式，代入即可得到结果． 【解答】解：∵方程x2+2x﹣1＝0的两根分别为a和b， ∴a+b＝﹣2， ∴4a2+8ab+4b2 ＝4（a2+2ab+b2） ＝4（a+b）2 ＝4×（﹣2）2 ＝16． 故答案为：16． 7．（2024•成都）若m，n是一元二次方程x2﹣5x+2＝0的两个实数根，则m+（n﹣2）2的值为 　7　． 【分析】先利用一元二次方程根的定义和根与系数的关系得到m2﹣5m+2＝0，m+n＝5，即可得到m2﹣5m＝﹣2，n＝5﹣m，则m+（n﹣2）2可化为m2﹣5m+9，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2﹣5x+2＝0的两个实数根， ∴m2﹣5m+2＝0，m+n＝5， ∴m2﹣5m＝﹣2，n＝5﹣m ∴m+（n﹣2）2 ＝m+（3﹣m）2 ＝m2﹣5m+9 ＝﹣2+9 ＝7． 故答案为：7． 8．（2024•泸州）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两个实数根，则（x1﹣x2）2+3x1x2的值是 　14　． 【分析】先利用根与系数的关系求出两根的和、积，再变形含两根的整式代入得结论． 【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝3，x1•x2＝﹣5． ∴（x1﹣x2）2+3x1x2 ＝+x1x2+ ＝（x1+x2）2﹣x1x2 ＝32﹣（﹣5） ＝9+5 ＝14． 故答案为：14． 9．（2024•遂宁）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m﹣1＝0． （1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且+﹣x1x2＝9，求m的值． 【分析】（1）先确定a、b、c，再计算根的判别式，利用根的判别式得结论； （2）先利用根与系数的关系求出两根的和与积，再代入已知中得关于m的方程，求解即可． 【解答】解：（1）x2﹣（m+2）x+m﹣1＝0， 这里a＝1，b＝﹣（m+2），c＝m﹣1， Δ＝b2﹣4ac ＝[﹣（m+2）]2﹣4×1×（m﹣1） ＝m2+4m+4﹣4m+4 ＝m2+8． ∵m2≥0， ∴△＞0． ∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）设方程x2﹣（m+2）x+m﹣1＝0的两个实数根为x1，x2， 则x1+x2＝m+2，x1x2＝m﹣1． ∵+﹣x1x2＝9，即（x1+x2）2﹣3x1x2＝9， ∴（m+2）2﹣3（m﹣1）＝9． 整理，得m2+m﹣2＝0． ∴（m+2）（m﹣1）＝0． 解得m1＝﹣2，m2＝1． ∴m的值为﹣2或1． 10．（2024•内江）已知关于x的一元二次方程x2﹣px+1＝0（p为常数）有两个不相等的实数根x1和x2． （1）填空：x1+x2＝ 　p　，x1x2＝ 　1　； （2）求+，x1+； （3）已知+＝2p+1，求p的值． 【分析】（1）由根与系数的关系直接可得答案； （2）把所求式子变形后，结合（1）代入即可； （3）把已知变形后代入可得p的方程，解出p值后再检验即可． 【解答】解：（1）由根与系数的关系得：x1+x2＝p，x1x2＝1， 故答案为：p，1； （2）∵x1+x2＝p，x1x2＝1， ∴+＝＝＝p； ∵关于x的一元二次方程x2﹣px+1＝0（p为常数）有两个不相等的实数根x1和x2， ∴， ∴，即； （3）由根与系数的关系得：x1+x2＝p，x1x2＝1， ∵， ∴， ∴p2﹣2＝2p+1， 解得：p1＝3，p2＝﹣1， 当p＝3 时，Δ＝p2﹣4＝9﹣4＝5＞0； 当 p＝﹣1 时，Δ＝p2﹣4＝﹣3＜0； ∴p＝3． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 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