5.1.2数据的数字特征导学案-2024-2025学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第二册

5．1.2　数据的数字特征 导学案

（原卷+答案）

【课程标准】　(1)结合实例，理解最值、平均值、众数、极差、方差、标准差的含义．(2)结合实例，能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义．

 

教 材 要 点

知识点一　最值

一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值．

状元随笔　最值反应的是这组数最极端的情况．一般地，最大值用max表示，最小值用min表示．

知识点二　平均数

(1)定义：如果给定的一组数是x1，x2，…，xn，则这组数的平均数为＝________________．

这一公式在数学中常简记为＝______________．

(2)求和符号∑具有的性质：

(3)如果x1，x2，…，xn的平均数为，且a，b为常数，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的平均数是________________．

知识点三　中位数、百分位数、众数的概念

1．中位数

(1)如果一组数有奇数个数，且按照从小到大排列后为x1，x2，…，x2n＋1，则称________为这组数的中位数；

(2)如果一组数有偶数个数，且按照从小到大排列后为x1，x2，…，x2n，则称________为这组数的中位数．

2．百分位数

(1)定义：一组数的p%(p∈(0，100))分位数指的是满足下列条件的一个数值：至少有________的数据不大于该值，且至少有________的数据不小于该值．

(2)计算方法：设一组数按照从小到大排列后为x1，x2，…，xn，计算i＝np%的值，如果i不是整数，设i0为大于i的最小整数，取________为p%分位数；如果i是整数，取________为p%分位数．

规定：0分位数是x1(即最小值)，100%分位数是xn(即最大值)

(3)第一四分位数即________分位数；第三四分位数即________分位数．

状元随笔　中位数和百分位数的关系是什么？

提示：中位数是50%分位数．

3．众数

一组数据中，某个数据出现的次数称为这个数据的频数，出现次数________的数据称为这组数据的众数．

状元随笔　对众数、中位数、平均数的理解

(1)众数、中位数与平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量．

(2)众数考查各个数据出现的频率，大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中部分数据多次重复出现时，其众数往往更能反映问题．

(3)中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响，中位数可能在所给的数据中，也可能不在所给的数据中．

(4)实际问题中求得的平均数、众数和中位数应带上单位．

知识点四　极差、方差与标准差

1．一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的差．

2．如果x1，x2，…，xn的平均数为，则方差可用求和符号表示为s2＝

3．方差的算术平方根称为标准差．

状元随笔　对方差与标准差概念的理解

(1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．

(2)标准差、方差的取值范围：[0，＋∞)．

标准差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性．

(3)因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差．　

基 础 自 测

1．下列一组数据1，2，2，3，4，4，5，6，6，7的第30百分位数为(　　)

A．2　 　 　B．3    C．4　 　 　D．2.5

2．已知一组数据为20，30，40，50，50，60，70，80.其中平均数、中位数和众数的大小关系是(　　)

A．平均数>中位数>众数

B．平均数<中位数<众数

C．中位数<众数<平均数

D．众数＝中位数＝平均数

3．若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分分别为89，91，90，92，87，93，96，94，则这组数据的中位数是________；平均数是________；最大值是________；25%分位数是________．

4．已知五个数据3，5，7，4，6，则该样本的标准差为________．

 

题型1最值、平均数、众数[数学抽象、数学运算]

例1 某公司员工的月工资情况如下表所示：

(1)分别计算该公司员工月工资的最值、平均数和众数；

(2)你认为用哪个数来代表该公司员工的月工资更合理？

状元随笔　(1)依据最值、众数的定义及平均数的计算公式求值．

(2)根据第(1)问的计算结果和实际意义作答．

方法归纳

(1)最值和众数的求法

在样本数据中出现次数最多的数据即为众数，最大的数是最大值，最小的数是最小值．

(2)求平均数的步骤

①求和：数据x1，x2，…，xn的和为x1＋x2＋…＋xn.