多面体体积问题与祖暅原理学案-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

多面体体积问题与祖暅原理 ----衔接必修4第十一章第六节《祖暅原理与几何体的体积》 一、阅读目标 1.通过阅读学案了解堑堵、阳马、鳖臑的几何特征，巩固线面垂直的判定定理。 2.通过阅读学案中的《九章算术》相关知识，探寻几何证明的条件，培养学生的几何直观和逻辑推理能力。 二、阅读内容 （一）《九章算术》及其刘徽注中有关多面体体积计算的问题 《九章算术》给出了长方体或正方体体积计算公式，在此基础上来计算其他立体图形的体积，如直棱柱、棱锥、棱台、球等。 1.直棱柱 《九章算术》“商功”章中的实际问题，涉及堤、沟、渠等水利设施，也有城、垣、堑等防御工事，其实质都是横截面为等腰梯形的直棱柱，它们的体积计算方法：“术曰：并上、下广而半之，以高若深乘之，又以袤乘之，即积尺。”这里上、下广分别指横截面的上、下(a，b)，高或深(h)，袤是指城、垣的长。 因此城、垣的体积计算公式为： 2.棱锥、棱台 《九章算术》中通过长方体沿相对两棱剖开，分割成两个相等的几何体叫堑堵，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得出一阳马(底面为长方形，一条棱与底面垂直的四棱锥)，其体积应是长方体体积的三分之一，另一个叫鳖臑(一条棱与底面垂直、四面均为直角三角形的三棱锥)。 对于棱台的体积，上、下底面都是长方形的棱台(古代叫刍童是一种草垛，实际上是上下底面皆为矩形的拟柱体，汉代帝王的陵墓都是刍童)和正四棱锥(古代称为“方锥”)。设上底面长与宽分别为 ，下底面长与宽分别为 ，高为h,《九章算术》给出的刍童体积公式是： 而对于正四棱锥，《九章算术》给出的体积公式为： 正四棱台，古代称为“方亭”，可分解为一个正四棱柱、四个堑堵和四个阳马。《九章算术》给出的计算体积的方法是： 山东省 高一年级阅读学案 编制人： 审批：尹万鑫 班级 小组 姓名 编号12 3.球与曲面体的体积 1 学科网（北京）股份有限公司 由于圆与其外切正方形面积之比为π：4，而在《九章算术》时代，因取π=3 ，因此圆与其外切正方形面积之比为3：4；正方体与其内切圆柱体积之比为4:π=4:3 ，即等边圆柱与外切正方体体积之比也为 3：4。人们视等边圆柱为方，其内切球为圆。因而认为球与其外切等边圆柱体积之比也是3∶4，于是得球与其外切的正方体体积之比为9∶16。 （二）堑堵、阳马、鳖臑与“刘徽原理” 刘徽在注释中把对于平面图形的出入相补原理推广应用到空间图形，成为“损广补狭”以证明几何体体积公式。 《九章算术》商功章：“斜解立方，得两堑堵。斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑。 阳马居二，鳖臑居一，不易之率也。 合两鳖臑三而一，验之以基，其形露矣。”刘徽注：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云。 中破阳马，得两鳖臑，鳖臑之起数，数同而实据半，故云六而一即得。”鳖臑，其实就是四个面均为直角三角形的三棱锥，两个鳖臑拼在一起就是阳马。 如果原长方体为正方体的话，则极容易看出：由一个堑堵分解出来的三个鳖臑是等积的。刘徽证明，在长方体的情况下，由一个堑堵分解出来的三个鳖臑仍然是等积的，于是阳马体积应是长方体体积的三分之一。即 （三）刘徽、祖冲之、祖暅对球体积的研究 刘徽发现《九章算术》“开立圆术”所蕴含的球的体积公式 是错误的，其中 D 是球的直径。他试图利用刘徽原理求出正确的球的体积，其做法是：“取立方棋八枚，皆令立方一寸，积之为立方二寸。规之为圆函，径二寸，高二寸。 又复横规之，则其形有似牟合方盖矣。八棋皆似阳马，圆然也。按合盖者，方率也。 丸居其中，即圆率也。”这是说，刘徽首先取 8个棱长为1寸的小立方，堆积在一起构造为一个棱长为2 寸的大立方，再作球的外切立方体，然后用两个直径等于球径的圆柱从立方体内切贯穿。 于是，球便被包在两圆柱相交的公共部分，而且与圆柱相切。刘徽只保留两圆柱的公共部分，取名“牟合方盖”。 郭书春先生研究指出，从《九章算术》商功章诸题的编排及刘徽注可以看出，《九章算术》时代，人们通过比较有某种关系的两个等高立体的最大的截面积(通常是底面积)来解决立体体积，而没有认识到必须在任意等高处的截面积之比都等于最大截面积之比，方能作比较，从而错误地认为球与外切圆柱之比为π：4。刘徽扬弃了《九章算术》的错误，他认识到必须满足两立体任意等高处的截面积都成定比。我们从他说的“上连无成不方，故方锥与阳马同实”(如图)， 刘徽基于这种认识，提出了圆锥与外切方锥，圆亭与外切方亭、球与牟合方盖的体积之比均为π：4，圆锥与等高的以圆锥底周为底边长的方锥体积之比是25：314(相当于 1：4π)。 因此可以说，刘徽把中国古代关于截面积原理的认识提高到理性阶段，为祖暅(456—537)最后提出“缘幂势既同，则积不容异”的祖暅原理做了准备。 知识拓展：柏拉图正多面体 正多面体是各面都是全等的正多边形并且各个多面角都是相等的正多面角的凸多面体，也被称为柏拉图正多面体。柏拉图多面体并不是由柏拉图发明，是由柏拉图及其追随者所作的研究而得名。由于它们具有高度的对称性及次序感，通常被称为正多面体。 正多面体的主要性质有： 1.正多面体的各条棱相等，各个面相等，各个二面角相等。 2.过各面中心所作的各面的垂线都相交于一点，这点称为正多面体的中心。 3.正多面体的中心到各顶点距离相等，到各棱的距离相等，到各面的距离也相等。 4.任何正多面体都有一个外接球、一个内切球和一个棱切球(和各棱相切于中点的球)，这三个球同以正多面体中心为球心。(如图) 5.过正多面体内任一点到各面所引垂线段之和为一常数。 正多面体根据面的数目来命名，在现实中只能找到五种正多面体，分别是：正三角形组成的正四面体和正八面体，正四边形组成的正六面体，正五边形组成的正十二面体，正三角形组成的正二十面体。 三、思考与练习 1.我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱．如图为一个“堑堵”，即三棱柱ABC­A1B1C1，其中AC⊥BC，已知该“堑堵”的高为6，体积为48，则该“堑堵”的外接球体积的最小值为______． 2.《九章算术》把底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，把底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”现有如图所示的“塹堵”，其中，当“阳马”即四棱锥体积为时，则“堑堵”即三棱柱的外接球的表面积___________. 3．据《九章算术》记载，“鳖臑”为四个面都是直角三角形的三棱锥．如图所示，现有一个“鳖臑”，底面，，且，三棱锥外接球表面积为（       ） A． B． C． D． 4、 答案与提示 1. 2. 3. 答案：B $$