第三章 图形的平移与旋转重难点检测卷-（寒假衔接课堂）2025年八年级数学寒假衔接讲义（北师大版）

第三章 图形的平移与旋转重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（23-24七年级下·浙江台州·期末）如图，从起点A到终点B有多条路径，其中第一条路径为线段，其长度为a，第二条路径为折线，其长度为b，第三条路径为折线，其长度为c，第四条路径为半圆弧，其长度为d，则这四条路径的长度关系为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·重庆北碚·期中）下列命题是假命题的是（    ） A．若两直线平行，则一组同旁内角的角平分线所形成的夹角为 B．在同一平面内，过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．在同一平面内，两直线不相交必平行 D．平移前后对应点连接的线段平行且相等 3．（21-22七年级上·湖北恩施·期末）平面直角坐标系中，将点A（，）沿着x的正方向向右平移（）个单位后得到B点，则下列结论：①B点的坐标为（，）；②线段AB的长为3个单位长度；③线段AB所在的直线与x轴平行；④点M（，）可能在线段AB上；⑤点N（，）一定在线段AB上．其中正确的结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（22-23八年级上·江苏南京·期末）如图，在平面直角坐标系中，线段的两个端点是． 将线段沿某一方向平移后，若点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·天津北辰·期中）和是等边三角形，且A，B，D在一条直线上，连接，交于点P，则下列结论    ①；②；③；④可以看作是绕点B顺时针能转而成的；其中正确的个数是（      ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2024·山西运城·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在格点（每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点）上，点A，B，C的坐标分别为，，，将绕坐标平面内某点旋转一定的角度，得到，点A，B，C的对应点分别为，，，若点的坐标为，则旋转中心的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．（23-24九年级上·北京大兴·期末）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE，下列四个结论： ①AC＝AD；②AB⊥EB；③BC＝EC；④∠A＝∠EBC； 其中一定正确的是（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 8．（2022·河南·二模）如图，在中，顶点A在x轴的负半轴上，，，，将绕点A逆时针旋转，每秒旋转90°，则第2022秒旋转结束时，点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·宁夏吴忠·期中）如图，和关于点成中心对称，若，，，则的长是（   ） A．1 B． C．2 D． 10．（21-22九年级上·内蒙古呼和浩特·期末）已知函数：y，则下列关于此函数的图象与性质描述正确的是（    ） A．图象与x轴有两个交点，与y轴有一个交点 B．图象关于原点中心对称 C．图象不经过第一象限 D．x＞0时，y随x的增大而减小 二、填空题：（本题共6小题，每小题5分，共30分.） 11．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿若点到的方向平移到的位置，，，平移距离为4，则阴影部分面积为 ． 12．（24-25八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）在平面直角坐标系中，点先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点，如果点在轴上，那么直线的表达式为 ． 13．（22-23八年级上·山东泰安·期末）如图，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，小明发现：线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，你认为这个旋转中心的坐标是 ． 14．（23-24八年级下·四川成都·阶段练习）已知两块相同的三角板如图所示摆放，点B、C、E在同一直线上，，，，将绕点C顺时针旋转一定角度，如果在旋转的过程中有一边与平行，那么此时的面积是 ． 15．（24-25九年级上·广东梅州·阶段练习）将五个边长都为的正方形按如图所示摆放，点A、B、C、D分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影面积的和是 ．    16．（24-25九年级上·全国·单元测试）若点与点关于原点对称，则的值为 ． 三、解答题（本题共9小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 17．（23-24七年级下·全国·单元测试）【探究】 （1）如图1，已知直线，点A在上，点C在上，点E在两平行线之间，则 ； 【应用】如图2，已知直线，点A、 B在上，点C、D在上，连接，，其中，分别是，的平分线，，． （2）求的度数： （3）将线段沿方向平移，如图3所示，其他条件不变，求的度数． 18．（23-24七年级下·河南洛阳·期中）在平面直角坐标系中，的位置如图（每个小正方形边长均为1）． (1)直接写出，，三点的坐标； (2)请画出沿轴向左平移个单位长度，再沿轴向上平移3个单位长度后的（其中，，分别是，，的对应点，不写画法）； (3)求平移过程中线段扫过的面积． 19．（22-23八年级上·全国·单元测试）已知点，把点向上平移个单位得到点． (1)写出点的坐标． (2)如果点和关于轴对称，求的值． 20．（23-24七年级下·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，将线段平移至，点在轴的正半轴上移动（不与点重合），连接，且． (1)直接写出点的坐标； (2)点在运动过程中，是否存在点，满足，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)点在运动过程中，请直接写出三者之间存在的数量关系． 21．（22-23八年级下·江苏无锡·期中）正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），△ABC的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题： （1）画出△ABC关于点O成中心对称的图形△A1B1C1； （2） 将△A1B1C1沿y轴正方向平移5个单位得到△A2B2C2 ，画出△A2B2C2； （3）若△ABC与△A2B2C2 绕点P旋转重合，则点P的坐标为 . 22．（23-24八年级下·广东佛山·阶段练习）如图1，在中，，，点D、E分别在边、上，且，连接．现将绕点A顺时针方向旋转，旋转角为，分别连接、． (1)如图2，当时，求证：； (2)如图3，当时，延长交于点F，求证：垂直平分； (3)连接，在旋转过程中，求的面积的最大值，并写出此时旋转角α的度数． 23．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点C的坐标为． (1)将向上平移6个单位得到，画出； (2)以为对称中心，画出关于该点对称的； (3)经探究发现，和成中心对称，则对称中心坐标为__________．（注意：请先用铅笔，然后再用签字笔描） 24．（24-25九年级上·云南楚雄·期中）如图所示，在中，是边上的中线． (1)画出与关于点成中心对称的三角形；找出与相等的线段； (2)探究：中与的和与中线之间有何大小关系？并说明理由； 25．（22-23八年级上·福建宁德·期中）如图： （1）写出A、B、C三点的坐标； （2）若△ABC各顶点的横坐标不变，纵坐标都乘以﹣1，请你在同一坐标系中描出对应的点A′、B′、C′，并依次连接这三个点，所得的△A′B′C′与原△ABC有怎样的位置关系； （3）在②的基础上，纵坐标都不变，横坐标都乘以﹣1，在同一坐标系中描出对应的点A″、B″、C″，并依次连接这三个点，所得的△A″B″C″与原△ABC有怎样的位置关系． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 图形的平移与旋转重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（23-24七年级下·浙江台州·期末）如图，从起点A到终点B有多条路径，其中第一条路径为线段，其长度为a，第二条路径为折线，其长度为b，第三条路径为折线，其长度为c，第四条路径为半圆弧，其长度为d，则这四条路径的长度关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两点之间，线段最短可知a最小，根据平移的性质可知b=AC+BC=c，根据圆的定义，可得c＜d．据此解答即可． 【详解】解：根据两点之间，线段最短可知a最小， 根据平移的性质可知b=AC+BC=AD+DE+EF+FG+GH+HI+IJ+JK+KL+LB=c， 由圆的定义可知c＜d， ∴； 故选：C 【点睛】本题主要考查了平移的性质以及三角形的三边关系，理清题意的解答本题的关键． 2．（23-24七年级下·重庆北碚·期中）下列命题是假命题的是（    ） A．若两直线平行，则一组同旁内角的角平分线所形成的夹角为 B．在同一平面内，过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．在同一平面内，两直线不相交必平行 D．平移前后对应点连接的线段平行且相等 【答案】D 【分析】本题考查了真假命题，根据平行线的性质、垂线的性质、直线的位置关系、平行的性质逐项判断即可求解，掌握以上相关知识是解题的关键． 【详解】解：、若两直线平行，则一组同旁内角的角平分线所形成的夹角为，该命题是真命题，不合题意； 、在同一平面内，过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直，该命题是真命题，不合题意； 、在同一平面内，两直线不相交必平行，该命题是真命题，不合题意； 、平移前后，对应点所连的线段平行或在同一直线上，该命题是假命题，符合题意； 故选：． 3．（21-22七年级上·湖北恩施·期末）平面直角坐标系中，将点A（，）沿着x的正方向向右平移（）个单位后得到B点，则下列结论：①B点的坐标为（，）；②线段AB的长为3个单位长度；③线段AB所在的直线与x轴平行；④点M（，）可能在线段AB上；⑤点N（，）一定在线段AB上．其中正确的结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据平移的方式确定平移的坐标即可求得B点的坐标，进而判断①，根据平移的性质即可求得的长，进而判断②，根据平移的性质可得线段AB所在的直线与x轴平行，即可判断③，根据纵坐标的特点即可判断④⑤ 【详解】解：∵点A（，）沿着x的正方向向右平移（）个单位后得到B点， ∴B点的坐标为（，）； 故①正确； 则线段AB的长为； 故②不正确； ∵A（，），B（，）；纵坐标相等，即点A，B到x轴的距离相等 ∴线段AB所在的直线与x轴平行； 故③正确 若点M（，）在线段AB上； 则，即，不存在实数 故点M（，）不在线段AB上； 故④不正确 同理点N（，）在线段AB上； 故⑤正确 综上所述，正确的有①③⑤，共3个 故选B 【点睛】本题考查了平移的性质，平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，掌握平移的性质是解题的关键． 4．（22-23八年级上·江苏南京·期末）如图，在平面直角坐标系中，线段的两个端点是． 将线段沿某一方向平移后，若点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平移到可知坐标变化为：横坐标减3，纵坐标减3，由此可得点的坐标． 【详解】由平移到可知坐标变化为：横坐标减3，纵坐标减3， ∴点的横坐标为， 纵坐标为， ∴点的坐标为， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中的平移变换与坐标变换之间的关系．熟练掌握以上知识是解题的关键． 5．（24-25九年级上·天津北辰·期中）和是等边三角形，且A，B，D在一条直线上，连接，交于点P，则下列结论    ①；②；③；④可以看作是绕点B顺时针能转而成的；其中正确的个数是（      ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用等边三角形的定义可得：，由同位角相等可得：，可判断①；先证明，则，根据外角的性质得：，可判断②；根据，得出，可判断③；根据，且，由旋转的概念可判定④． 【详解】解：∵和是等边三角形， ∴， ∴，故①正确； ∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③正确； ∵，且， ∴可以看作是绕点B顺时针能转而成的，故④正确； ∴正确的有①②③④，共4个， 故选：D． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定和性质，三角形外角的性质，旋转的图形的识别，本题是常考题型，解题的关键是仔细识图，找准全等的三角形． 6．（2024·山西运城·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在格点（每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点）上，点A，B，C的坐标分别为，，，将绕坐标平面内某点旋转一定的角度，得到，点A，B，C的对应点分别为，，，若点的坐标为，则旋转中心的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了确定旋转中心的位置，旋转的性质，连接、，分别作和的垂直平分线、，则，交于点D，则点D即为旋转中心，根据图形得出旋转中心的坐标即可． 【详解】解：连接、，分别作和的垂直平分线、，则，交于点D，如图所示： 则点D为旋转中心，观察图形可知，点D的坐标为， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， 同理可得：为等腰直角三角形，为等腰直角三角形， ∴绕点D逆时针旋转正好得到， ∴旋转中心的坐标为． 故选：B． 7．（23-24九年级上·北京大兴·期末）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE，下列四个结论： ①AC＝AD；②AB⊥EB；③BC＝EC；④∠A＝∠EBC； 其中一定正确的是（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】根据旋转的性质，得到对应边相等，旋转角相等，从而去判断命题的正确性． 【详解】解：∵旋转， ∴， 但是旋转角不一定是， ∴不一定是等边三角形， ∴不一定成立，即①不一定正确； ∵旋转， ∴，故③正确； ∵旋转， ∴， ∵等腰三角形ACD和等腰三角形BCE的顶角相等， ∴它们的底角也相等，即，故④正确； ∵不一定成立， ∴不一定成立， ∴不一定成立，即②不一定正确． 故选：C． 【点睛】本题考查旋转的性质，解题的关键是掌握图形旋转的性质． 8．（2022·河南·二模）如图，在中，顶点A在x轴的负半轴上，，，，将绕点A逆时针旋转，每秒旋转90°，则第2022秒旋转结束时，点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】每秒旋转90°，每4秒旋转1周，第2022秒旋转结束时与第2秒旋转结束时的位置相同，与△ABC关于点A成中心对称，求出点A的坐标，即可求得结论． 【详解】解：2022除以4等于505，余数为2， ∴第2022秒旋转结束时与第2秒旋转结束时的位置相同， ∵，， ∴OB=2，BC=， ∵∠AOB=90°，AB=BC ∴， ∴A(-1，0)， ∵，， ∴绕点A逆时针旋转2022秒旋转结束时，点B的坐标为（-2，-2）． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了规律旋转，中心对称，解决问题的关键是探究旋转规律，确定旋转最后位置，熟练掌握中心对称的性质解答． 9．（24-25九年级上·宁夏吴忠·期中）如图，和关于点成中心对称，若，，，则的长是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称的性质，全等三角形的性质，勾股定理等知识，关键中心对称性质的应用． 根据中心对称的性质及，由勾股定理即可求得的长． 【详解】∵与关于点成中心对称， ∴， ∴， ∴， ∵， ， 故选：D． 10．（21-22九年级上·内蒙古呼和浩特·期末）已知函数：y，则下列关于此函数的图象与性质描述正确的是（    ） A．图象与x轴有两个交点，与y轴有一个交点 B．图象关于原点中心对称 C．图象不经过第一象限 D．x＞0时，y随x的增大而减小 【答案】C 【分析】根据函数的自变量取值范围及函数取值范围依次进行判断即可得出结果． 【详解】解：A、因为x≠0，所以与y轴无交点，故A不符合题意； B、y≤0，不可能关于原点中心对称，故B不符合题意； C、由y≤0，可知图象不经过第一、二象限，故C符合题意； D、当0＜x≤1时，函数无意义；原说法错误，故D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了函数式的意义，中心对称的定义，坐标系与函数图象等，理解题意，根据函数解析式确定函数自变量与函数值对应点的坐标的位置关系是解题关键． 二、填空题：（本题共6小题，每小题5分，共30分.） 11．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿若点到的方向平移到的位置，，，平移距离为4，则阴影部分面积为 ． 【答案】30 【分析】本题考查平移性质、全等三角形的性质、梯形面积公式，熟练掌握平移性质，得到是解答的关键． 根据平移性质得到阴影部分面积等于梯形的面积，然后利用梯形面积公式求解即可． 【详解】解：由平移性质得，，，， ∴，，， ∴ ． 故答案为：30． 12．（24-25八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）在平面直角坐标系中，点先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点，如果点在轴上，那么直线的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查点的平移时坐标的变化，坐标轴上的点的坐标特点，待定系数法求解析式． 根据点的平移时的坐标变化得到点Q的坐标为，再根据x轴上的点的纵坐标为0得到，求得，从而得到，，进而运用待定系数法即可求解． 【详解】解：∵点先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点， ∴点Q的坐标为， ∵点Q在x轴上， ∴， ∴， ∴，， 设直线的表达式为， ∴，解得， ∴直线的表达式为． 故答案为： 13．（22-23八年级上·山东泰安·期末）如图，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，小明发现：线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，你认为这个旋转中心的坐标是 ． 【答案】或 【分析】分点A的对应点为C或D两种情况考虑：①当点A的对应点为点C时，连接AC、BD，分别作线段AC、BD的垂直平分线交于点E，点E即为旋转中心；②当点A的对应点为点D时，连接AD、BC，分别作线段AD、BC的垂直平分线交于点M，点M即为旋转中心．此题得解． 【详解】解：①当点A的对应点为点C时，连接AC、BD，分别作线段AC、BD的垂直平分线交于点E，如图1所示， ∵B点的坐标为（4，2），D点的坐标为（4，）， ∴E点的坐标为（2，0）； ②当点A的对应点为点D时，连接AD、BC，分别作线段AD、BC的垂直平分线交于点M，如图2所示， ∵B点的坐标为（4，2），C点的坐标为（6，2）， ∴M点的坐标为（5，3）． 综上所述：这个旋转中心的坐标为（2，0）或（5，3）． 故答案为：或. 【点睛】本题考查了坐标与图形变化中的旋转，根据给定点的坐标找出旋转中心的坐标是解题的关键． 14．（23-24八年级下·四川成都·阶段练习）已知两块相同的三角板如图所示摆放，点B、C、E在同一直线上，，，，将绕点C顺时针旋转一定角度，如果在旋转的过程中有一边与平行，那么此时的面积是 ． 【答案】或12 【分析】分两种情况画图讨论：如图1，当时，过点B作延长线于点F；当时，过点B作延长线于点G，利用30度角 直角三角形即可解答． 【详解】如图1，当时，过点B作延长线于点F， 根据题意可知：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积； 如图2，当时，过点B作延长线于点G， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴的面积 综上所述：的面积是或12． 故答案为：或12． 【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，直角三角形，勾股定理，解题关键是利用分类讨论思想解答． 15．（24-25九年级上·广东梅州·阶段练习）将五个边长都为的正方形按如图所示摆放，点A、B、C、D分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影面积的和是 ．    【答案】9 【分析】本题考查了中心对称和正方形的性质，熟记中心对称性的性质、判断出每一个阴影部分的面积等于正方形的面积的是解题的关键．证明，得到一个阴影部分的面积等于正方形面积的，四块阴影面积的总和正好等于一个正方形的面积，然后列式计算即可． 【详解】解：如图，连接、，   ， ， ，， ， ， 一个阴影部分的面积等于正方形的面积的， 四块阴影面积的总和正好等于一个正方形的面积， 五个正方形的边长都为， 四块阴影面积的总和为， 故答案为：9． 16．（24-25九年级上·全国·单元测试）若点与点关于原点对称，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的坐标及负整数幂，正确掌握关于原点对称点的性质是解题关键．利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点是，进而求出，再根据负整数幂的运算法则计算即可． 【详解】解：点与点关于原点对称， ， 故答案为：． 三、解答题（本题共9小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 17．（23-24七年级下·全国·单元测试）【探究】 （1）如图1，已知直线，点A在上，点C在上，点E在两平行线之间，则 ； 【应用】如图2，已知直线，点A、 B在上，点C、D在上，连接，，其中，分别是，的平分线，，． （2）求的度数： （3）将线段沿方向平移，如图3所示，其他条件不变，求的度数． 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了平移的性质以及角平分线的定义、平行线的性质等知识，正确应用平行线的性质得出各角之间关系是解题关键． （1）如图1中，作，利用平行线的性质求解即可． （2）利用平行线的定义结合角平分线的定义得出以及的度数即可得出答案； （3）利用平行线的性质结合角平分线的定义得出以及的度数即可得出答案． 【详解】解∶（1）如图1中，作， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为∶，； （2）如下图2，过点E作． ∵， ∴． ∵， ∴，． ∵是的平分线，是的平分线， ∴，． ∵，， ∴，， ∴； （3）如下图3，过点E作， ∵， ∴． ∵， ∴，． ∵是的平分线，是的平分线， ∴，． ∵，， ∴，， ∴． 18．（23-24七年级下·河南洛阳·期中）在平面直角坐标系中，的位置如图（每个小正方形边长均为1）． (1)直接写出，，三点的坐标； (2)请画出沿轴向左平移个单位长度，再沿轴向上平移3个单位长度后的（其中，，分别是，，的对应点，不写画法）； (3)求平移过程中线段扫过的面积． 【答案】(1)，， (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平面直角坐标系点的特征，平移的性质，熟悉掌握平移的方法是解题的关键． （1）根据平面直角坐标系直接写出点的坐标即可； （2）根据题意平移即可； （3）分别求出向作平移和向上平移扫过的面积即可． 【详解】（1）解：由图可得：，，； （2）解：沿轴向左平移个单位长度，再沿轴向上平移3个单位长度后如图所示：即为所求， （3）解：沿轴向左平移个单位长度扫过的面积， 沿轴向上平移3个单位长度扫过的面积， 所以扫过的面积为． 19．（22-23八年级上·全国·单元测试）已知点，把点向上平移个单位得到点． (1)写出点的坐标． (2)如果点和关于轴对称，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查坐标平移变换与轴对称变换，掌握坐标平移变换与轴对称变换规律是解题的关键． （1）根据坐标平移变换规律：“左减右加，上加下减”求解即可； （2）根据关于轴对称的坐标变换规律：横向坐标不变，纵坐标互为相反数求解即可． 【详解】（1）解：∵点向上平移个单位得到点， ∴． （2）解：∵点和关于轴对称， ∴， ∴． 20．（23-24七年级下·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，将线段平移至，点在轴的正半轴上移动（不与点重合），连接，且． (1)直接写出点的坐标； (2)点在运动过程中，是否存在点，满足，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)点在运动过程中，请直接写出三者之间存在的数量关系． 【答案】(1) (2)存在点满足，点的坐标为或 (3)点在运动过程中，或． 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中图象的变换，掌握图形的平移规律，几何图形面积的计算方法，平行线的判定和性质等知识是解题的关键． （1）根据平移的性质可得点向左边平移了6个单位，由此即可求解； （2）根据题意，设点，则，用含的式子表示，根据绝对值的性质即可求解； （3）根据题意，图形结合，分类讨论，当点在上时；当点在点的右边时；根据平行线的判定和性质即可求解． 【详解】（1）解：已知点，点，将线段平移至， ∴点的纵坐标为，横坐标为， ∴； （2）解：存在，理由如下， 设点，则，且，， ∴，， ∵， ∴，整理得，， 当时，， 解得，，则； 当时，， 解得，，则； 综上所述，存在点满足，点的坐标为或； （3）解：已知点在轴的正半轴上移动（不与点重合）， 第一种情况，当点在上时，如图所示，作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 第二种情况，当点在点的右边时，如图所示，作， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述，点在运动过程中，或． 21．（22-23八年级下·江苏无锡·期中）正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），△ABC的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题： （1）画出△ABC关于点O成中心对称的图形△A1B1C1； （2） 将△A1B1C1沿y轴正方向平移5个单位得到△A2B2C2 ，画出△A2B2C2； （3）若△ABC与△A2B2C2 绕点P旋转重合，则点P的坐标为 . 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）（0，2.5） 【分析】（1）直接利用关于原点对称点的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）根据平移的性质得出得出对应点位置进而得出答案； （3）根据旋转的性质可知点P是AA2的中点，由线段的中点坐标公式求出即可． 【详解】解：（1）如图所示△A1B1C1，即为所求； （2）如图所示△A2B2C2就是所求的三角形； （3）由图象可知：A(-1,0)，A2(1,5)， 所以P点的横坐标为：(-1+1) ÷2=0，纵坐标为：(0+5) ÷2=2.5 ∴P点的坐标为：(0,2.5) 【点睛】本题考查的是作图-旋转、平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题关键． 22．（23-24八年级下·广东佛山·阶段练习）如图1，在中，，，点D、E分别在边、上，且，连接．现将绕点A顺时针方向旋转，旋转角为，分别连接、． (1)如图2，当时，求证：； (2)如图3，当时，延长交于点F，求证：垂直平分； (3)连接，在旋转过程中，求的面积的最大值，并写出此时旋转角α的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)的面积的最大值为，旋转角 【分析】（1）利用“”证得，即可得到结论； （2）利用“”证得，推出，进而得出，再结合勾股定理，得出，利用等腰三角形“三线合一”的性质即可得到结论； （3）观察图形，当点D在线段的垂直平分线上时，的面积取得最大值，利用等腰直角三角形的性质结合三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：由题意得，，，， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：根据题意：，，， 在和中， ， ， ，且， ， ， ， ，，， ，， ， ， 是线段的垂直平分线； （3）解： 在中，边的长是定值，则边上的高取最大值时，的面积有最大值， 当点D在线段的垂直平分线上时，的面积取得最大值，如图， ，，，， ，， ，， 的面积的最大值为：， 此时旋转角． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质等知识，寻找全等三角形，利用数形结合的思想解决问题是解题关键． 23．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点C的坐标为． (1)将向上平移6个单位得到，画出； (2)以为对称中心，画出关于该点对称的； (3)经探究发现，和成中心对称，则对称中心坐标为__________．（注意：请先用铅笔，然后再用签字笔描） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中图形的变换，掌握图形平移，中心对称的定义和性质，图形结合思想是解题的关键． （1）根据图形平移的性质即可求解； （2）根据中心对称图形的定义和性质作图即可，绕旋转中心旋转即可； （3）连接对应点的连线的交点即可求解． 【详解】（1）解：分别作出点A、B、C向上平移6个单位的对应点、、，再顺次连接、、，如图． （2）解：分别作出点A、B、C关于的对称点、、，再顺次连接、、，如图． （3）解：连接、、，交于点Q，如图． 则，即对称中心坐标为． 24．（24-25九年级上·云南楚雄·期中）如图所示，在中，是边上的中线． (1)画出与关于点成中心对称的三角形；找出与相等的线段； (2)探究：中与的和与中线之间有何大小关系？并说明理由； 【答案】(1)作图见解析； (2)，见解析 【分析】本题考查了三角形的三边关系及中心对称的性质，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键， （1）根据中心对称的特征，延长至，使，连接，则即为所求，， （2）根据三角形的两边之和大于第三边分析即可得解． 【详解】（1）解：如图所示，在中，是边上的中线，延长至，使，连接，则即为所求，． （2）解：，理由： ∵与关于点成中心对称， ∴， ∵在中，有，即， ∴． 25．（22-23八年级上·福建宁德·期中）如图： （1）写出A、B、C三点的坐标； （2）若△ABC各顶点的横坐标不变，纵坐标都乘以﹣1，请你在同一坐标系中描出对应的点A′、B′、C′，并依次连接这三个点，所得的△A′B′C′与原△ABC有怎样的位置关系； （3）在②的基础上，纵坐标都不变，横坐标都乘以﹣1，在同一坐标系中描出对应的点A″、B″、C″，并依次连接这三个点，所得的△A″B″C″与原△ABC有怎样的位置关系． 【答案】（1）A（3，4）B（1，2）C（5，1） （2）描点画图见解析，△A′B′C′与△ABC关于x轴对称； （3）描点画图见解析，△A″B″C″与原△ABC关于原点对称. 【分析】（1）根据各点坐标描出各点； （2）将题目中各点横坐标不变纵坐标分别乘以﹣1，再描出各点连接各点； （3）将题目中各点纵坐标不变横坐标分别乘以﹣1，再描出各点连接各点． 【详解】解：（1）根据各点的位置，各点坐标为：A（3，4）、B（1，2）、C（5，1）； （2）由（1）A（3，4）、B（1，2）、C（5，1），横坐标不变，纵坐标都乘以-1，得：A′（3，-4）、B′（1，-2）、C′（5，-1），△A′B′C′与△ABC关于x轴对称； （3）A（3，4）、B（1，2）、C（5，1），纵坐标都不变，横坐标都乘以-1，得：A″（-3，4）、B″（-1，2）、C″（-5，1），则△A″B″C″与△ABC关于原点对称． 学科网（北京）股份有限公司 $$