第03讲 中心对称（4个知识点+11大核心考点+变式训练+举一反三）-（寒假衔接课堂）2025年八年级数学寒假衔接讲义（北师大版）

第03讲 中心对称（4个知识点+11大核心考点+变式训练+举一反三） 题型一 成中心对称 题型二 画已知图形关于某点对称的图形 题型三 画两个图形的对称中心 题型四 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 题型五 中心对称图形的识别 题型六 判断中心对称图形的对称中心 题型七 在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 题型八 中心对称图形规律问题 题型九 求关于原点对称的点的坐标 题型十 己知两点关于原点对称求参数 题型十一 判断两个点是否关于原点对称 知识点一 中心对称定义 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。 知识点二 中心对称性质 （1）关于中心对称的两个图形是全等形。 （2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 （3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。 知识点三 中心对称判定 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。 知识点四 中心对称图形 把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。 【核心考点一 成中心对称】 【例1】（24-25九年级上·云南玉溪·期中）如图所示，与关于点O成中心对称，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称图形的知识；根据成中心对称图形对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应点的连线被对称中心平分，对应角相等，解答即可． 【详解】成中心对称的两个图形是全等图形，它们的对应线段平行（或在同一直线上）且相等， 选项A，B正确；成中心对称的两个图形对应点的连线被对称中心平分，选项C正确，，选项D是错误的， 故选：D． 【例2】（23-24八年级下·全国·单元测试）下列各组图形中，与成中心对称的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了成中心对称的知识，成中心对称‌是指把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称；这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点；熟练掌握相关概念是解题的关键． 【详解】解：根据成中心对称的概念可得，与成中心对称的如图所示： ， 故选：D． 【例3】（24-25九年级上·云南昭通·阶段练习）点和点关于原点中心对称，已知点坐标为，则点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了成中心对称，根据点和点关于原点中心对称，得出点和点的纵坐标互为相反数，横坐标互为相反数，据此即可作答． 【详解】解：∵点和点关于原点中心对称， ∴点和点的纵坐标互为相反数，横坐标互为相反数， ∵点坐标为， ∴点坐标为． 故答案为：． 【例4】（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，，若与关于某点成中心对称，且的对应点的坐标为，则的对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查中心对称的特点，熟练掌握中心对称点的特征是解题的关键； 根据中心对称点的特征即可求解； 【详解】解：的对应点的坐标为， 的对应点的坐标为， 故答案为： 【例5】（24-25九年级上·山西大同·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点（小正方形的顶点）上，每个小正方形的边长均为1个单位长度． (1)将浇点O逆时针旋转、画出旋转后得到的； (2)画出、使与关于y轴对称； (3)与是否成中心对称？（答出“是”或“否”即可） 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)否 【分析】本题考查网格作图−中心对称和旋转变换、轴对称，熟练掌握中心对称、轴对称的定义和旋转的性质是解题的关键． （1）利用网格的特点和旋转变换的性质画出点A、B、C的对称点，依次连接即可； （2）利用网格的特点和轴对称的性质画出点A、B、C的对称点，依次连接即可； （3）依次连接交于一点，可得，即可解答． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，依次连接，可得，故与不成中心对称． 【核心考点二 画已知图形关于某点对称的图形】 【例1】（2023·河北衡水·二模）三个全等的等边三角形按图1所示位置摆放，现添加一个大小相同的等边三角形，使四个等边三角形组成一个中心对称图形（如图2），则添加的等边三角形所放置的位置是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】解：依题意，添加的等边三角形④，可得中心对称图形， 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键． 【例2】（22-23九年级上·黑龙江七台河·期中）如图，两个半圆分别以P、Q为圆心，它们成中心对称，点A1，P，B1，B2，Q，A2在同一条直线上，则对称中心为（    ） A．A2P的中点 B．A1B2的中点 C．A1Q的中点 D．PQ的中点 【答案】D 【分析】由已知两个图形的位置，判断它们是否中心对称，可以把各对应点连线，看所有连线是否交于同一点． 【详解】解：如图对称中心是PQ的中点， 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称，正确的作出图形是解题的关键． 【例3】（24-25九年级上·天津河西·期中）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A与点O分别为格线上一点． （1）当O为所在小正方形一边的中点，A为三等分点（距下方格点近）时，的长度为 ； （2）在如图所示的网格中，请用无刻度的直尺，先将点A向上平移2个单位长度得到点B，再以点O为中心，画出线段关于点O的中心对称图形（A的对应点为，B的对应点为），并简要说明点和点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 取格点C，连接并延长交格线于点D，取格点E，连接并延长交格线于点B，连接并延长交格线于点，连接并延长交格线于点，则点和点即为所求 【分析】本题主要考查了作图-复杂作图，中心对称，勾股定理等知识点， （1）利用已知和勾股定理即可得解； （2）利用三角形的中位线定理可得出，即为两个单位长度，利用矩形的中心对称性可知和成中心对称，和成中心对称，进而即可得解； 熟练掌握其性质，合理作出图形是解决此题的关键． 【详解】（1）如图，连，过A作格线的垂线交于点C， ∵O为所在小正方形一边的中点，A为三等分点（距下方格点近）， ∴， 故答案：； （2）如图， ， 取格点C，连接并延长交格线于点D，取格点E，连接并延长交格线于点B，连接并延长交格线于点，连接并延长交格线于点，则点和点即为所求． 【例4】（23-24九年级上·辽宁大连·期末）在学习了中心对称后，小胖绘制了一个三个顶点全在格点上的三角形（，其形状如图所示，每个小方格的边长为1）并作出其关于中心对称后的，则此时的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了中心对称作图，正确作出点B关于对称的点是解题的关键． 【详解】根据题目要求作出点B关于对称的点如图所示， 由图可知，的坐标为， 故答案为：． 【例5】（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)在图（1）中，画出关于原点对称的，并写出点的坐标； (2)在图（2）中，画出绕点A按顺时针旋转后的，并写出点B、C的对应点的坐标． 【答案】(1)图见解析，，，； (2)图见解析，，． 【分析】本题主要考查作图，旋转变化和关于原点对称，解题的关键是熟练掌握关于原点对称的和旋转变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点． （1）分别作出点A，B，C关于原点对称的点，再首尾顺次连接即可． （2）分别作出点A，B，C绕点A按顺时针方向旋转后得到的点，再首尾顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， 由图形得：，，； （2）解：如图，即为所求， 由图形得：，． 【核心考点三 画两个图形的对称中心】 【例1】（23-24九年级下·河北邢台·阶段练习）如图，与成中心对称则对称中心是（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】此题主要考查了中心对称．熟练掌握中心对称的性质，是解决问题的关键．中心对称的性质：中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分． 连接（或或），根据中心对称的性质逐一判断即得． 【详解】解：连接，发现经过点M，且被点M平分， 故对称中心为M点． 故选：A． 【例2】（23-24九年级上·广东珠海·期中）如图，两个半圆分别以O，为圆心，它们关于某点成中心对称，点A，B，，在同一直线上，则对称中心为（    ）    A．点O B．点B C．线段的中点 D．线段的中点 【答案】D 【分析】由已知两个图形的位置，判断它们是否中心对称，可以把各对应点连线，看所有连线是否交于同一点． 【详解】解：如图：    作法：1．过点作交于点，过点作交于点， 2．连接交于点， 故点即为所求 证明：，， 是对称点，是对称点， 故的交点为对称中心． 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称，正确的作出图形是解题的关键． 【例3】（23-24九年级上·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中（坐标系中每个小正方形单位长度为1），画关于点成中心对称的图形时，小明由于紧张对称中心选错，画出的图形是，请你找出此时的对称中心的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求对称中心，分别求出点的坐标，从而可得的中点坐标是解题关键． 【详解】解：由图可知，， ∴的中点坐标为，即为， 的中点坐标为，即为， 的中点坐标为，即为， ∴的中点坐标均为， ∴与的对称中心是， 故答案为：． 【例4】（22-23七年级下·河南洛阳·期末）关于某一点成中心对称的两个图形，连结所有对称点的线段经过 ． 【答案】对称中心 【分析】根据中心对称图形的性质可进行求解． 【详解】解：由中心对称图形的性质可知：关于某一点成中心对称的两个图形，连结所有对称点的线段经过对称中心； 故答案为对称中心． 【点睛】本题主要考查中心对称图形的性质，熟练掌握中心对称图形的性质是解题的关键． 【例5】（24-25九年级上·河北唐山·期中）如图，在中，． (1)将向右平移4个单位长度，画出平移后的； (2)画出关于轴对称的； (3)将绕原点旋转，画出旋转后的； (4)与关于点对称，则点的坐标为_____． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4) 【分析】本题考查了作图的综合问题，熟练掌握图形的平移、旋转和对称是解题的关键． （1）首先将点A、B、C分别向右平移4个单位，得到点、、，顺次连接即可； （2）作点A、B、C关于x轴的对称点、、，顺次连接即可； （3）将A、B、C绕点O旋转，得到点、、，顺次连接即可； （4）通过计算可得，和相交于点，根据中心对称图形的定义即可解答． 【详解】（1）解：如图所示； ； （2）解：如图所示； （3）解：如图所示； （4）解：连接，和， 由图可得，，，，，，， ∵的中点为，的中点为，的中点为， ∴与呈中心对称， ∴对称中心为． 故答案为：． 【核心考点四 根据中心对称的性质求面积、长度、角度】 【例1】（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，与关于点O成中心对称，连接，，．下列结论中正确的有（   ） ①点A与点D是对应点；②；③线段与关于点O成中心对称 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查的是中心对称的性质，全等三角形的判定；根据与成中心对称，点是对称中心，再逐一分析判断即可． 【详解】解：①∵与成中心对称，点是对称中心，观察图形可知： 点A与点D是对应点，原说法正确，故符合题意； ②由中心对称的性质可得：，，， ∴，原说法正确，故符合题意； ③∵与成中心对称，点是对称中心， ∴线段与关于点O成中心对称，原说法正确，故符合题意． 故选：D． 【例2】（22-23九年级上·四川广安·期中）如图所示，与关于点成中心对称，则下列结论成立的是（） ①点与点关于点对称；②；③；④． A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】A 【分析】本题考查了中心对称的性质，掌握中心对称的性质是解题的关键．由中心对称的性质可得，点与点关于点对称，，即可求解． 【详解】解：与关于点成中心对称， ，点与点关于点对称，，， ①②③正确，④错误， 故选：A 【例3】（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，在等边三角形中，为的中点，，与关于点中心对称，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和中心对称，关键是熟练掌握等边三角形的性质和中心对称的性质． 根据等边三角形的性质，得，，，再根据中心对称的性质，得，，，最后根据勾股定理即可得出答案． 【详解】解∶三角形是等边三角形，为的中点，， ，， ， 与关于点中心对称， ，，，， 在中，根据勾股定理， 得， 故答案为∶． 【例4】（24-25九年级上·广东云浮·期中）如图，已知与关于点A中心对称，若，则的长为 ．    【答案】6 【分析】本题主要考查了中心对称的性质和全等三角形的性质，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键．先根据中心对称的性质得到，得到，进而可得出的长． 【详解】解∶∵与关于点A中心对称， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 故答案为∶6． 【例5】（24-25八年级上·河北保定·期中）已知，在的正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，其中每个小正方形的边长都为1，三点坐标分别为，，． (1)画出关于y轴对称的，并写出、、三点坐标； (2)画出关于x轴对称的； (3)观察图形，直接写出和的关系． 【答案】(1)，，，见解析 (2)见解析 (3)， 【分析】本题主要考查作图—对称变换，解题的关键是掌握轴对称、中心对称变换的定义和性质． （1）先作出关于y轴的对称点、、，然后顺次连接即可； （2）先作出、、关于x轴的对称点，然后顺次连接即可； （3）根据坐标可得关于原点成中心对称，关于原点成中心对称，即和关于原点成中心对称，根据中心对称性质即可求解． 【详解】（1）解：如下图即为所画，，，． （2）解：如上图，即为所画． （3）解：根据图象可得，， 故关于原点成中心对称，关于原点成中心对称， 即和关于原点成中心对称， 根据中心对称性质可得和的关系是：，． 【核心考点五 中心对称图形的识别】 【例1】（24-25九年级上·辽宁阜新·阶段练习）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故该选项不符合题意； B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故该选项符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意： D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题义． 故选： B． 【例2】（24-25九年级上·江西赣州·阶段练习）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A选项不合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故D选项符合题意． 故选：D． 【例3】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，把标有序号中某个小正方形涂上阴影，使它与图中阴影部分组成的新图形是中心对称图形但不是轴对称图形，那么该小正方形的序号是 ． 【答案】①或⑥ 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，中心对称图形的定义，根据沿着某条直线折叠，两边的图形能够重合的图形是轴对称图形；在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与原图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形；据此进行逐项判断即可 【详解】解：结合上图，把标有序号①或⑥的小正方形涂上阴影，可以与图中阴影部分组成的新图形是中心对称图形但不是轴对称图形； 把标有序号②的小正方形涂上阴影，是中心对称图形也是轴对称图形； 把标有序号③或④或⑤的小正方形涂上阴影，是轴对称图形； 则满足题意，该小正方形的序号是①或⑥， 故答案为：①或⑥． 【例4】（24-25九年级上·四川德阳·期中）在英文字母V、W、X、Y、Z中，是中心对称图形的英文字母有 个． 【答案】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形称为中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据中心对称图形的定义逐个判断即可得出答案． 【详解】解：在英文字母V、W、X、Y、Z中，是中心对称的英文字母有X、Z，共个， 故答案为：． 【例5】（24-25九年级上·山西吕梁·期中）图1和图2都是由边长为1的小菱形构成的网格，已有两个小菱形涂上了阴影，请你在图1中再将1个小菱形涂上色，在图2中再将3个小菱形涂上色，使两个图形中的涂色部分均为中心对称图形．（两个图形中各补出一种情况即可） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别，根据中心对称图形的定义画出图形即可． 【详解】如图所示． 如图所示． 【核心考点六 判断中心对称图形的对称中心】 【例1】（24-25九年级上·天津·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，若与关于点成中心对称，则对称中心点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转，根据旋转的性质，连接对应点，与的交点即为对称中心，然后根据平面直角坐标系写出点E的坐标即可． 【详解】解：如图，连接，与相交于点E， 点E即为对称中心，． 故选：A． 【例2】（24-25九年级上·天津静海·期中）如图，在平面直角坐标系中，若与关于点E成中心对称，则对称中心点E的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中心对称的性质：中心对称图形的对应点的连线段被对称中心所平分；根据此性质，对应点的中点即为点E，利用中点坐标公式即可求解． 【详解】解：由图知，，其中点坐标为， 即点E的坐标为； 故选：A． 【例3】（24-25九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，在单位长度为1的平面直角坐标系网格中，与的顶点都在格点上，且与关于点E成中心对称，则对称中心点E的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了中心对称图形的性质，正确理解中心对称图形的性质是解题的关键．根据中心对称图形中，对应点连线被对称中心平分，即得答案． 【详解】如图，连接，，相交于点E，点E即为对称中心， 则对称中心点E的坐标是． 故答案为：． 【例4】（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，与成中心对称，则对称中心是 ． 【答案】中点（或中点） 【分析】本题考查的是对称中心的性质，根据对应点的连线被对称中心平分可得答案． 【详解】解：∵与成中心对称， ∴的中点为对称中心，（的中点为对称中心） 故答案为：中点（或中点）． 【例5】（24-25九年级上·陕西西安·期中）和在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)请画出关于原点对称的； (2)若与关于点成中心对称，请写出点的坐标． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析，点的坐标为． 【分析】本题考查了画中心对称图形、作图-平移，掌握画两个图形的对称中心的方法是解答本题的关键．确定成中心对称的两个图形的对称中心的方法：（1）连接任意一对对称点，取这条线段的中点，则该点为对称中心．（2）任意连接两对对称点，这两条线段的交点即是对称中心． （1）根据关于原点对称的点的特征，先找出、、的位置，再依次连接即可； （2）根据连接任意两对对称点，两条线段的交点为对称中心，连接、，它们的交点即为点，根据图形得出点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图：    ∴的图形如图所示，，． （2）解：连接、，它们的交点即为点， ∵与关于点成中心对称， ∴由图可知，点的坐标为． 【核心考点七 在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形】 【例1】（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）如图，这是的正方形网格，选择一空白小正方形，其与阴影部分组成的图形是中心对称图形的情况有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】B 【分析】此题主要考查了中心对称图形，根据中心对称图形定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析即可． 【详解】解：如图所示： 共有2种方法， 故选：B． 【例2】（24-25九年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，在的方格纸中，画格点三角形（顶点均在格点上）与关于方格纸中的一个格点成中心对称，这样的三角形有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称的定义，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此进行作图，即可作答． 【详解】解：如图所示：即为所求，       则这样的有个． 故选：B． 【例3】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图是3×3正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色，现在要从其余6个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个涂成黑色的部分成为中心对称图形，这样的白色小方格有 个． 【答案】3 【分析】此题考查的是利用中心对称设计图案，根据中心对称图形的概念分别找出各个能成中心对称图形的小方格即可． 【详解】如图所示， ∴这样的白色小方格有3个． 故答案为：3． 【例4】（2024·江苏泰州·二模）如图，在4×4的方格纸中，画格点三角形（顶点均在格点上）与关于方格纸中的一个格点成中心对称，这样的有 个．    【答案】2 【分析】本题考查了中心对称的定义，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此进行作图，即可作答． 【详解】解：如图所示：       则这样的有个 故答案为：2． 【例5】（2025九年级下·全国·专题练习）已知六边形是以O为中心的中心对称图形（如图），画出六边形的全部图形，并写出作法． 【答案】见解析 【分析】本题考查作图——旋转变换，中心对称等知识，解题的关键是理解题意，掌握中心对称变换的性质．连接并延长到F，使得，连接并延长到E，使得，连接，，，此六边形即为所求，然后根据图形找出对应点与对应线段即可． 【详解】解析：连接并延长到F，使得，连接并延长到E，使得，连接，，， 如图，六边形即为所求． 【核心考点八 中心对称图形规律问题】 【例1】（22-23八年级上·山东济南·期末）在平面直角坐标系中，点，的对称中心是点A，另取两点，．有一电子青蛙从点处开始依次作关于点A，B，C的循环对称跳动，即第一次跳到点关于点A的对称点处，接着跳到点关于点B的对称点处，第三次再跳到点关于点C的对称点处，第四次再跳到点关于点A的对称点处，…，则点的坐标为（      ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标规律探究，中心对称，坐标与图形变化对称，利用中心对称找出坐标规律是解题的关键． 首先利用题目所给公式一次求出前几个点的坐标，→→→→→→→…由此得到的坐标和的坐标相同，的坐标和的坐标相同，即坐标以6为周期循环，利用这个规律即可求出点的坐标． 【详解】解：∵点关于点的对称点， ∴， ∴，， ∴， 同理可得点，，，，，… ∴点P每6次一循环， ∵ ∴点与点坐标相同，即． 故选：D． 【例2】（23-24九年级上·广东汕头·期中）如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查中心对称的性质，掌握中心对称的性质是求解本题的关键． 根据中心对称的性质判断即可． 【详解】解：与关于点O成中心对称， ，，，故A，B，C选项正确，，故D选项错误． 故选：D． 【例3】（23-24八年级下·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，点先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到点，再把点绕点旋转得到点，那么点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查点的平移和中心对称对称的性质，掌握这些是解题关键．设，由平移得，再利用旋转可得，，求解即可得解． 【详解】解：设， ∵点先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到点， ∴即， ∵把点绕点旋转得到点， ∴，， 解得，， ∴ 故答案为： 【例4】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形，A，C分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为，将P点关于A对称得到，将关于O点对称得到，将关于C点对称得到，将关于B点对称得到，将关于A点对称得到，……，按照顺序以此类推，则的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标变化规律，中心对称．根据题意，探究规律，得出四次一个循环，利用规律求解即可． 【详解】解：如图，由题意， ∴与P重合，四次一个循环， ∵， ∴与重合， ∴． 故答案为：． 【例5】（23-24九年级上·北京西城·期中）在平面内，将图形关于点作中心对称变换得到图形的过程简记为：．若图形再关于点作中心对称变换得到图形，即：，则由图形变换到的过程称为图形作对称得到图形，记作：． 容易知道：若，则；若，则． 已知在平面直角坐标系中，点．    (1)如图1，已知点．点作下面的变换后，对应点仍在的内部或边上的是___________（写序号）：①对称；②对称；③对称；④对称． (2)点在直线上，线段，当线段与坐标轴有公共点时，求点的横坐标的取值范围； (3)点是平面内一点，．若线段上存在点，使点作对称后的对应点在轴上，直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】(1)①② (2)点的横坐标的取值范围为或 (3)或 【分析】（1）根据题意，分别求出点作变换后的点的坐标，再判断是否在的内部或边上，即可得到答案； （2）设点，则线段后点的坐标为，，分两种情况：当线段与轴有公共点时，当线段与轴有公共点时，分别求出的取值范围即可得到答案； （3）设点的坐标为，点，则，由可得，点作对称后的对应点，由点在轴上，可得，从而得出的取值范围，再根据求出的取值范围，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意可得： 点关于对称的点的坐标为，在的边上，符合题意； 点关于对称的点的坐标为，在的边上，符合题意； 点关于对称的点的坐标为，不在的内部或边上，不符合题意； 点关于对称的点的坐标为，不在的内部或边上，不符合题意； 故点作下面的变换后，对应点仍在的内部或边上的是①②， 故答案为：①②； （2）解：点在直线上， 设点， 点， 线段后点的坐标为，， 线段与坐标轴有公共点， 当线段与轴有公共点时，，， 解得：， 当线段与轴有公共点时，， 解得：， 综上所述，点的横坐标的取值范围为或； （3）解：线段上存在点，， 设点的坐标为，点，则， ， ，即， 点作对称后的对应为点， ， 点在轴上， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：或， 或， 点的横坐标的取值范围为或． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、中心对称的性质、解不等式组、点的坐标的性质，熟练掌握以上知识点，采用数形结合与分类讨论的思想解题，是解此题的关键． 【核心考点九 求关于原点对称的点的坐标】 【例1】（24-25九年级上·天津·阶段练习）在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了关于原点对称点的坐标的特征；根据关于原点对称的点，横纵坐标互为相反数解答即可． 【详解】解：点关于原点的对称点的坐标是． 故选：A． 【例2】（24-25九年级上·辽宁大连·期中）在平面直角坐标系内，点关于原点对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查坐标与中心对称，根据关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是； 故选A． 【例3】（24-25九年级上·山东济宁·期中）点关于原点的对称点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标特点，解题关键是掌握点的坐标的变化规律．根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接得到答案． 【详解】解：点关于原点的对称点的坐标是， 故答案为：． 【例4】（湖北省楚天名初教科研协作体2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题）若与关于原点对称，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了原点对称，熟练掌握关于原点对称的规律是解题的关键．利用关于原点对称点的性质直接计算即可． 【详解】解：与关于原点对称， ∴． 故答案为：． 【例5】（24-25九年级上·贵州·阶段练习）如图所示的正方形网格中（每个小正方形的边长是1，小正方形的顶点叫作格点），的顶点均在格点上，请在所给平面直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： (1)作出关于点O成中心对称的； (2)以点O为旋转中心，将绕点O逆时针旋转得，画； (3)若点是边上的一个动点，则点P在边上的对应点的坐标是_______． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3) 【分析】本题考查了作图—旋转变换、中心对称、关于原点成中心对称的点坐标规律，熟练掌握旋转和中心对称的性质是解题的关键． （1）按要求作图即可； （2）按要求作图即可； （3）根据中心对称图形的性质即可作答． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图所示： （3）解：∵和关于点O成中心对称， ∴关于点O成中心对称的点-． 【核心考点十 己知两点关于原点对称求参数】 【例1】（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期中）已知点与点关于原点对称，则的值为（   ） A．5 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查坐标与中心对称，根据关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选D． 【例2】（24-25七年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则a、b的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的横坐标与横坐标、纵坐标与纵坐标互为相反． 利用关于原点对称的点的坐标特点可得，求解即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴， 解得：， 故选：D． 【例3】（24-25九年级上·广东广州·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点为，则 ． 【答案】1 【分析】， 此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确得出a，b的值是解题关键． 直接利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，进而得出a，b的值，再利用有理数的乘方运算法则计算得出答案． 【详解】解：∵点关于原点对称的点为， ∴， 则． 故答案为：1． 【例4】（24-25九年级上·湖北武汉·期中）已知点与点关于原点O中心对称，则m的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了关于原点对称的点坐标的特征．熟练掌握关于原点对称的点坐标的横纵坐标均互为相反数是解题的关键． 根据关于原点对称的点坐标的横纵坐标均互为相反数求解作答即可． 【详解】解：∵点与点关于原点O中心对称， ∴， 解得，， 故答案为：． 【例5】（23-24九年级上·云南曲靖·期中）已知点和点关于x轴对称，求P和Q的值，若M，N关于y轴对称呢？关于原点对称呢？ 【答案】当M，N关于x轴对称时，，；当M，N关于y轴对称时，，；当M，N关于原点对称时，， 【分析】本题考查了两点对称时坐标之间的关系，以及解二元一次方程组，根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，分别列出方程组求解即可． 【详解】解：点和点关于x轴对称， ，整理得：， 由得：，解得， 将代入①得：，解得， 当M，N关于y轴对称时， 有，整理得：， 解得：， 当M，N关于原点对称时， 有，整理得：， 解得：． 【核心考点十一 判断两个点是否关于原点对称】 【例1】（23-24八年级下·陕西西安·期中）把各点的横、纵坐标都乘后，得到的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查中心对称与坐标变化，做本题时需注意①关于x轴对称的图形，横坐标不变纵坐标互为相反数；②关于y轴对称的图形，纵坐标不变横坐标互为相反数；③关于原点对称的点，横纵坐标都互为相反数，根据把各点的横、纵坐标都乘得到关于原点对称，即可解题． 【详解】解：把各点的横、纵坐标都乘后，即各点关于原点对称， 得到的图形是关于原点对称的图形， 故选：C． 【例2】（23-24八年级上·广东东莞·阶段练习）在平面直角坐标系中，点、，则，两点关于（    ）对称． A．原点 B．轴 C．轴 D．轴和轴 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称和中心对称，关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数，关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同，关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此求解即可． 【详解】解；∵、， ∴点A和点B的横坐标互为相反数，纵坐标相同， ∴，两点关于y轴对称， 故选：C． 【例3】（21-22九年级上·湖北武汉·阶段练习）在平面直角坐标系中，点与点是关于某点成中点对称的两点，则对称中心的坐标为 【答案】 【分析】根据两个点的横纵坐标均为相反数，得到两个点关于原点对称，即可． 【详解】解：∵，，两个点的横纵坐标均为相反数， ∴点关于原点对称， ∴对称中心的坐标为：； 故答案为：． 【点睛】本题考查坐标与中心对称．解题的关键是掌握关于原点对称的两个点的横纵坐标均为相反数． 【例4】（2023·广西柳州·一模）已知点与点，则这两个点关于 对称． 【答案】轴或原点 【分析】根据点与点的坐标，这两个点在轴上，并且到原点的距离相等，从而根据点的对称性得到答案． 【详解】解：点与点， 这两个点关于轴或原点对称， 故答案为：轴或原点． 【点睛】本题考查点的坐标特征，熟记点关于点对称、点关于线对称是解决问题的关键． 【例5】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，轴，且，点A的坐标为，点C的坐标为． (1)写出点B，D的坐标； (2)你发现点A，B，C，D的坐标之间有何特征？ 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查平行于轴的直线的特点，熟练掌握平行于轴的直线的特点是解题的关键． （1）根据平行于轴的直线的特点以及得出坐标； （2）对比A，B，C，D的坐标即可发现之间的关系． 【详解】（1）解：轴，，， 点B，D的纵坐标分别是1，． ， ． （2）解：，的横、纵坐标互为相反数， 关于原点对称． 同理，关于原点对称． 【变式训练1 成中心对称】 1．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，若与关于E点成中心对称，则对称中心E点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了中心对称图形的性质，根据中心对称图形对应点连线的交点即为对称中心所在的位置，得到点E即可得到答案． 【详解】解：连接， ∴， 故选A 2．（22-23九年级上·湖南湘西·期末）关于论述：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等；④把绕点旋转后得到，则和关于点对称，正确的有（    ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，中心对称图形的定义． 根据旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的两个图形全等，以及中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，逐一分析判断即可求解． 【详解】解：①对应点到旋转中心的距离相等，故①说法正确； ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，故②说法正确； ③旋转前、后的两个图形是全等图形，故③说法正确； ④把绕点旋转后得到，则和关于点对称，故④说法错误； 综上，正确的有①②③． 故选：B． 3．（24-25九年级上·山东济宁·期中）如图，小好同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称．若点，，，……，，都在函数图象上，这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题是坐标规律题，求函数值，中心对称的性质，根据题意得出，进而转化为求，根据题意可得，，即可求解． 【详解】解：∵这个点的横坐标从开始依次增加， ∴， ∴， ∴，而即， ∵， 当时，，即， ∵关于点中心对称的点为， 即当时，， ∴， 故答案为：． 4．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，如果和关于点中心对称，那么必过点 ，且被这个点 ；和 相同，大小 ，即它们是 关系．    【答案】 平分 形状 相等 全等 【分析】由中心对称的性质，即可得到答案． 【详解】解：如果和关于点中心对称，那么必过点，且被这个点平分；和形状相同，大小相等，即它们是全等关系． 故答案为：，平分，形状，相等，全等． 【点睛】本题考查的是中心对称，中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称。关键是掌握中心对称的性质． 5．（23-24九年级上·北京海淀·开学考试）对于点和图形，若点关于图形上任意的一点的对称点为点，所有点组成的图形为，则称图形为点关于图形的“对称图形”．在平面直角坐标系中，已知点，，，．    (1)①在点，，中，是点关于线段的“对称图形”上的点有_______． ②画出点关于四边形的“对称图形”； (2)点是轴上的一动点． ①若点关于四边形的“对称图形”与关于四边形的“对称图形”有公共点，求的取值范围； ②直线与轴交于点，与轴交于点，线段上存在点，使得点是点关于四边形的“对称图形”上的点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①点E，点F，②图见解析． (2)①，②或 【分析】根据点关于图形的“对称图形”的定义，可以在图形上找几个特殊点（线段的端点），作出点关于这些特殊点的对称点，大体描绘图形的形状． （1）①作出点关于点、的对称点、，得到点关于线段的“对称图形”是一条线段； ②先画出点关于四边形的四个顶点中心对称的对应点，再顺次连接可以得到点关于四边形的“对称图形”是一个正方形； （2）①点关于四边形的“对称图形”也是一个正方形，与关于四边形的“对称图形”大小一样，只是随的变化左右移动，可以用数形结合求解； ②是动线段与动正方形的交点问题，沿用数形结合求解． 【详解】（1）解：①根据点关于图形的“对称图形”的定义，点关于线段的“对称图形”是线段，如图所示其中点，．故点，在线段上． 故答案为：点，点；    ②点关于四边形的“对称图形”为四边形．    （2）①动点关于四边形的“对称图形”为四边形，如图所示．利用中点坐标公式可得到点，，，．四边形随的变化左右移动，当四边形与四边形有公共点时，应满足：    ， ， ②要使得点是四边形上的点，需满足： 或， 或． 【点睛】这道题在新定义下考查了点的对称，数形结合的思想，以及运动的观点，建立不等式解决交点问题，熟练掌握新定义，轴对称的性质是解题的就． 【变式训练2 画已知图形关于某点对称的图形】 1．（2024·广东广州·中考真题）下列图案中，点为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点对称的是（    ） A．   B．   C．   D．     【答案】C 【分析】本题考查了图形关于某点对称，掌握中心对称图形的性质是解题关键．根据对应点连线是否过点判断即可． 【详解】解：由图形可知，阴影部分的两个三角形关于点对称的是C， 故选：C． 2．（22-23八年级上·广东深圳·期中）在平面直角坐标系中，与点A（3，2）关于原点成中心对称的点的坐标是（　　） A．（3，﹣2） B．（﹣3，2） C．（﹣3，﹣2） D．（﹣2，﹣3） 【答案】C 【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y）． 【详解】解：点（3，2）关于原点中心对称的点的坐标是（﹣3，﹣2）． 故选C． 【点睛】此题重点考查学生对对称点的理解，掌握平面直角坐标系点的对称是解题的关键. 3．（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，有任意四边形，分别是A、B、C、D关于B、C、D、A的对称点，设S表示四边形的面积，表示四边形的面积，则的值为 ． 【答案】5 【分析】根据C是的中点，则根据三角形面积公式得，则即可求得，从而获解． 【详解】解：如图所示，连接， 是的中点， ， 同理：， ， 同理：，， = ， ． 【点睛】此题考查了点对称的性质与三角形的面积计算，正确理解与运用三角形的面积公式是解题的关键． 4．（22-23八年级上·山东威海·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，一个电动玩具从坐标原点O出发，第一次跳跃到点，使得点与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点B成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点C成中心对称，第四次跳跃到点，使得点与点关于点A成中心对称；第五次跳跃到点，使得点与点关于点B成中心对称……照此规律重复下去，则点的坐标为 ． 【答案】（-2,0） 【分析】计算出前几次跳跃后，点P1、P2、P3、P4、P5、P6、P7的坐标，可以得出规律，继而可求出点的坐标． 【详解】解：根据题意得： 点P1（0,2）、P2（2，-2）、P3（-4,2）、P4（4,0）、P5（-2,0）、P6（0,0）、P7（0,2），， ∴每6次为一个循环， ∵， ∴点的坐标与点P5的坐标相同，即为（-2,0）， 故答案为：（-2,0）． 【点睛】此题考查坐标的变化规律探究，中心对称的定义，正确掌握中心对称的定义确定点的坐标，发现规律并运用解决问题是解题的关键． 5．（24-25九年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，每个小方格的边长为1个单位长度，在第二象限内有横、纵坐标均为整数的A，B两点，点，点A的横坐标为，且． (1)在平面直角坐标系中标出点A，并连接，，． (2)画出关于点O成中心对称的图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查中心对称图形的画法，勾股定理，掌握中心对称的特点即可正确画出图形． （1）根据勾股定理求得点A的纵坐标，即可在坐标系中描出点A，并连接，，； （2）将、分别延长相等的长度，连接后即可得到中心对称的图形． 【详解】（1）∵点的横坐标为，， ∴点A的纵坐标为， ∴点坐标， 如图所示，，，即为所求． （2）如图所示，即为所求； ． 【变式训练3 画两个图形的对称中心】 1．（23-24九年级上·河北唐山·期中）如图，在平面直角坐标系中，若与关于点成中心对称，则对称中心点的坐标是（）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称；坐标与图形性质；连接对应点、，根据对应点的连线经过对称中心，则交点就是对称中心点，在坐标系内确定出其坐标． 【详解】解：连接、，则交点就是对称中心点．    观察图形知，． 故选：C． 2．（22-23九年级上·山西临汾·期中）如图，在平面直角坐标系中，画关于点O成中心对称的图形时，由于紧张对称中心选错，画出的图形是，请你找出此时的对称中心是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出点的坐标，从而可得的中点坐标，由此即可得． 【详解】解：由图可知，， 的中点坐标为，即为， 的中点坐标为，即为， 的中点坐标为，即为， 的中点坐标均为， 与的对称中心是， 故选：B． 【点睛】本题考查了求对称中心，正确找出两个三角形旋转后的对应点是解题关键． 3．（22-23八年级下·宁夏银川·期中）如图，在平面直角坐标系中，若与关于点D中心对称，则对称中心点D的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据旋转的性质，连接对应点，与的交点D即为对称中心，然后根据平面直角坐标系写出点D的坐标即可． 【详解】解：如图，连接，与相交于点D，点D即为对称中心，由图可得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，熟练掌握旋转的性质，理解对应点的连线的交点即为对称中心是解题的关键，也是本题的难点． 4．（22-23九年级上·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC顶点的横、纵坐标都是整数．若将△ABC以某点为旋转中心，旋转得到△A′B′C′，则旋转中心的坐标是 ．   【答案】（1，1） 【分析】根据旋转的性质“一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等”可求解． 【详解】解：如图点O′即为所求．旋转中心的坐标是(1，1)． 故答案为(1，1)． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，旋转变换等知识，解题的关键是知道旋转中心是对应点的连线段的垂直平分线的交点即可； 5．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，在正方形网络中，的三个顶点都在格点上，点A、B、C的坐标分别为，，，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题： (1)画出关于原点O对称的； (2)将向右平移4个单位，使点A移动到点，画出平移后的； (3)在、、中，与_________成中心对称，其对称中心的坐标为_________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)， 【分析】本题考查了中心对称作图，平移作图． （1）先作出点，再依次连接即可； （2）先作出点，再依次连接即可； （3）根据图形，即可解答． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； （2）解：如图所示：即为所求； （3）解：由图可知：与成中心对称，其对称中心的坐标为． 故答案为：，． 【变式训练4 根据中心对称的性质求面积、长度、角度】 1．（24-25九年级上·山西吕梁·期中）如图，与关于点成中心对称，下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了中心对称图形的性质．根据中心对称图形的性质对各选项分析判断后，利用排除法求解即可． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴，，，与不一定相等， 故选项A、B、D结论正确，不符合题意，选项C结论错误，符合题意， 故选：C． 2．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）如图，与关于点中心对称，则下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了中心对称，解题的关键是掌握中心对称的定义以及性质． 根据中心对称的两个图形，对称点的连线经过对称中心且被对称中心平分，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，逐一判断． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ， 而不一定成立， 观察四个选项，C选项符合题意， 故选：C． 3．（24-25九年级上·新疆阿克苏·期中）如图，已知与关于点A成中心对称，且，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质、中心对称的性质，由直角三角形的性质得出，由中心对称的性质得出，推出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵与关于点A成中心对称， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（21-22八年级下·江苏泰州·期中）如图，与关于点C成中心对称，，，，则的长是 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了中心对称的性质，勾股定理，根据中心对称的性质，得出，求出，，，求出，根据勾股定理得出答案即可． 【详解】解：∵与关于点C成中心对称， ∴， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：5． 5．（24-25九年级上·四川广安·期中）如图，与关于点G中心对称，点E，F分别在上，且．求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，中心对称图形的性质，先根据中心对称的性质得到，再证明即可利用证明，由此即可证明． 【详解】证明：∵与关于点G中心对称， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【变式训练5 中心对称图形的识别】 1．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．本题考查了中心对称图形，轴对称图形的甄别，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A．该图形是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项符合题意； B．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； C．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； D．该图形是轴对称图形是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 2．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）下列各图案中，属于中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键．根据中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心，旋转前后图形上能够重合的点叫做对称点． 【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项C能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以是中心对称图形． 故选C． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）函数的图像如图所示，下列对该函数性质的论断正确的是 （1）该函数的图像是中心对称图形； （2）当时，该函数在时取得最小值2； （3）在每个象限内，的值随值的增大而减小； （4）的值不可能为1． 【答案】（1）（2）（4） 【分析】本题主要考查了识别中心对称图形、函数图像等知识，根据中心对称图形的特征判断论断（1）；结合函数图像判断论断（2）（3）（4）． 【详解】解：（1）由图像可以看出函数图像上的每一个点都可以找到关于原点对称的点，故正确； （2）结合图像的2个分支可以看出，在第一象限内，最低点的坐标为，故正确； （3）在每个象限内，不同自变量的取值，函数值的变化是不同的，故错误； （4）在第一象限y的最小值为2，在第三象限最大值为，故不可能为1，故正确． ∴正确的有（1）（2）（4）． 故答案为（1）（2）（4）． 4．（24-25九年级上·山西大同·阶段练习）给出下列图形：①等边三角形；②矩形；③平行四边形；④菱形；⑤正方形；⑥圆．其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 （填写图形的相应编号） 【答案】②④⑤⑥ 【分析】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，解题的关键是根据中心对称图形的定义：把一个图形旋转，如果旋转后的图形能于原图形重合，那么该图形的中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么该图形就是轴对称图形，进行解答，即可． 【详解】解：①等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形； ②矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形； ③平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形； ④菱形既是轴对称图形，也是中心对称图形； ⑤正方形既是轴对称图形，也是中心对称图形 ⑥圆既是轴对称图形，也是中心对称图形； 故答案为：②④⑤⑥． 5．（23-24八年级下·山西运城·期中）如图，平面直角坐标系中，各顶点的坐标依次为，，．    (1)将先向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到． ①请在图中画出； ②点，，的坐标可以看成是点，，的横坐标分别______、纵坐标分别______得到的； ③也可以看成是沿的方向一次平移______个单位长度得到； (2)将点，，的横、纵坐标分别乘，依次得到点，，， ①请在图中画出； ②请写出与的位置关系：______． 【答案】(1)①见解析；②减1，加3；③ (2)①；②关于原点成中心对称 【分析】本题考查作图平移变换，中心对称变换，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，中心对称变换的性质属于中考常考题型． （1）①利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； ②利用平移变换的性质判断即可； ③利用勾股定理求出即可； （2）①根据点的坐标，画出图形即可； ②根据中心对称变换的性质判断即可． 【详解】（1）①如图，即为所求；    ②点，，的坐标可以看成是点，，的横坐标分别减1、纵坐标分别加3得到的． 故答案为：减1，加3； ③， 也可以看成是沿的方向一次平移个单位长度得到． 故答案为：； （2）①如图，即为所求； ②与关于原点成中心对称． 故答案为：关于原点成中心对称． 【变式训练6 判断中心对称图形的对称中心】 1．（23-24七年级下·河南洛阳·期末）如图，已知与成中心对称，则对称中心可能是（    ） A．点 B．点 C．线段的中点 D．线段的中点 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称，熟知关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分是解题的关键．根据中心对称的定义解得即可． 【详解】解：与成中心对称，、是对称点， 对称中心可能是线段的中点， 故选：D． 2．（2024·山东青岛·一模）如图，两个年春晚吉祥物“龙辰辰”的图案成中心对称，则对称中心的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中心对称，解题的关键是掌握中心对称的定义．分别连接图中的两对对应点，两直线的交点即为所求． 【详解】解：如图，分别连接图中的两对对应点，对应点所在直线交于点， 对称中心的坐标为， 故选：A． 3．（22-23八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，和关于点P成中心对称，则点P坐标是 ．    【答案】 【分析】根据图形找出和中一对对应点的坐标，则对应点连线的中点必为对称中心． 【详解】解：由图可知，点，， ∴的中点坐标是，即， 则点P坐标是， 故答案为：． 【点睛】此题考查了中心对称图形，熟练掌握对称中心的求法是解题的关键． 4．（22-23九年级上·全国·单元测试）已知与关于某点中心对称，若对称点，C的坐标分别是，，则对称中心的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据中心对称的性质，对应点连线的中点即为对称中心，据此求解． 【详解】解：∵对称点，C的坐标分别是，， ∴对称中心的坐标是，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化中心对称，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． 5．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度．的三个顶点，，． (1)将以点C为旋转中心，顺时针旋转，得到，请画出，并写出点的坐标； (2)平移，使点A的对应点坐标为，请画出平移后对应的，并写出点的坐标； (3)若将绕某一点旋转可得到，请直接写出旋转中心P点的坐标 ． 【答案】(1)图见解析， (2)图见解析， (3) 【分析】本题考查作图——平移变换、旋转变换，熟练掌握平移和旋转的性质是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质作图，可得点的坐标； （2）根据平移的性质作图，可得点的坐标； （3）连接、、，相交于点，则点即为旋转中心，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求． 点的坐标为 （2）解：如图，即为所求． ∴点的坐标为 （3）解：如图，连接、、，相交于点，则点的坐标为． ∴旋转中心的坐标为 ． 【变式训练7 在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形】 1．（23-24八年级上·山东东营·阶段练习）在的正方形网格中，在其中选择一个白色的小正方形并涂黑，使图中黑色部分是一个中心对称图形，你能找到（    ）个这样的白色小正方形． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，绕着中心点旋转能与原图形重合即为中心对称图形．根据中心对称图形的定义进行解答即可． 【详解】解：图中中间的相邻的2对黑色的正方形已是中心对称图形，需找到最上边的那个小正方形的中心对称图形，它原来在右上方，那么旋转后将在左下方． 如图所示，能找到1个这样的白色小正方形． ． 故选：B． 2．（22-23八年级下·浙江丽水·期中）如图，将①②③④中的一块涂成阴影后能与图中原有阴影部分组成中心对称图形的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，结合中心对称图形的概念进行求解． 【详解】解：由图可得，应该将③涂成阴影，可与图中原有阴影部分组成中心对称图形． 故选：C． 【点睛】本题考查了中心对称图形的知识，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在的方格纸中，画格点三角形（顶点均在格点上）与关于方格纸中的一个格点成中心对称，这样的有 个． 【答案】2 【解析】略 4．（21-22八年级下·重庆大渡口·期末）如图，在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，涂黑的小正方形序号是 ． 【答案】③ 【分析】根据中心对称的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形即可解答． 【详解】当涂黑③时，将图形绕O旋转180°，与原图重合，阴影部分为中心对称图形． 故答案为：③． 【点睛】本题考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的定义是关键． 5．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，图①、图②、图③均是的正方形网格，小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，所画图形不全等，不要求写出画法．    (1)在图①中以线段为边画一个面积是3的等腰． (2)在图②中以线段为边画一个面积是6的轴对称四边形． (3)在图③中以线段为边画一个面积是6的中心对称四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）取格点，连接、即可； （2）取格点、，连接、、即可； （3）取格点C、D，连接、、即可． 【详解】（1）解：如图，为所求作的三角形，   ； （2）解：如图，取格点、，连接、、，则四边形为所求值的四边形，   ； （3）解：如图，取格点C、D，连接、、，四边形为所求作的四边形．   ． 【点睛】本题考查作图一应用与设计作图，考查了轴对称图形，中心对称图形的定义，等腰三角形的定义，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题． 【变式训练8 中心对称图形规律问题】 1．（22-23八年级下·湖北武汉·期中）画两条直线四等分正方形的面积，不同的画法有（  ） A．一种 B．两种 C．三种 D．无数种 【答案】D 【分析】根据正方形是中心对称图形解答即可． 【详解】解：过正方形的中心，互相垂直的两条直线四等分正方形的面积． 故用两条直线四等分正方形的面积，不同的画法有无数种， 故选：D． 【点睛】此题考查了中心对称图形性质，关键是理解过正方形中心的直线将正方形分出全等的两部分． ． 2．（22-23九年级上·天津·期中）以对角线交点为旋转中心旋转正方形，要想使旋转之后的图形与原图形重合，则至少应该旋转（    ） A． B． C．120° D． 【答案】B 【分析】根据中心对称图形的定义，分析各图形的特征求解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 【详解】正方形绕着它的对角线交点旋转90°后与原图形重合， 故选：B． 【点睛】本题考查中心对称图形，解题的关键是知道中心对称图形的概念． 3．（2024七年级下·全国·专题练习）在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，…，如此作下去，则的顶点的坐标是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了坐标与图形变化--旋转问题，解题的关键是推出点的横坐标、纵坐标规律．首先根据是边长为的等边三角形，可得的坐标为，的坐标为；然后根据中心对称的性质，分别求出点、、的坐标各是多少；最后总结出的坐标的规律，即可求出的坐标． 【详解】解：是边长为的等边三角形， 的坐标为，的坐标为， 与关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， ，， 点的坐标是， 与关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， ，， 点的坐标是， 与关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， ，， 点的坐标是， …， ，，，，…， 的横坐标是，当为奇数时，的纵坐标是，当为偶数时，的纵坐标是， 的顶点的坐标是， 故答案为 4．（21-22九年级上·辽宁盘锦·期中）在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，如此作下去．则（n是正整数）的顶点的坐标是 ． 【答案】(4041，) 【分析】首先根据△OA1B1是边长为2的等边三角形，可得A1的坐标为（1，），B1的坐标为（2，0）；然后根据中心对称的性质，分别求出点A2、A3、A4的坐标各是多少；最后总结出An的坐标的规律，求出A2n+1的坐标是多少即可． 【详解】解：∵△OA1B1是边长为2的等边三角形， ∴A1的坐标为（1，），B1的坐标为（2，0）， ∵△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称， ∴点A2与点A1关于点B1成中心对称， ∵2×2-1=3，2×0-=-， ∴点A2的坐标是（3，-）， ∵△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称， ∴点A3与点A2关于点B2成中心对称， ∵2×3-1=5，2×0-（-）=， ∴点A3的坐标是（5，）， ∵△B3A4B4与△B3A3B2关于点B3成中心对称， ∴点A4与点A3关于点B3成中心对称， ∵2×4-1=7，2×0-=-， ∴点A4的坐标是（7，-）， … ∵1=2×1-1，3=2×2-1，5=2×3-1，7=2×4-1，…， ∴An的横坐标是2n-1，A2n+1的横坐标是2（2n+1）-1=4n+1， ∵当n为奇数时，An的纵坐标是，当n为偶数时，An的纵坐标是-， ∴顶点A2n+1的纵坐标是， ∴△B2nA2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是（4n+1，）， 当n=2021时，顶点A2n+1的坐标是（4041，）， 故答案为：（4041，）． 【点睛】此题主要考查了坐标与图形变化-旋转问题，要熟练掌握，解答此题的关键是分别判断出An的横坐标、纵坐标各是多少． 5．（21-22八年级上·广东佛山·期中）如图1，平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+m交x轴于点A（4，0），交y轴正半轴于点B，直线AC交y轴负半轴于点C，且BC＝AB． （1）求线段AC的长度． （2）P为线段AB（不含A，B两点）上一动点． ①如图2，过点P作y轴的平行线交线段AC于点Q，记四边形APOQ的面积为S，点P的横坐标为t，当S＝时，求t的值． ②M为线段BA延长线上一点，且AM＝BP，在直线AC上是否存在点N，使得△PMN是以PM为直角边的等腰直角三角形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）①；②存在一点或，使是以MN为直角边的等腰直角三角形． 【分析】（1）把代入一次函数解析式即可确定一次函数解析式为，得到，由勾股定理确定，求出，即求得，在中，利用勾股定理即可得出结果； （2）①设，利用待定系数法直线AC的解析式为，由，根据代入数值即可求出t的值； ②当N点在轴下方时，得到，设，过P点作直线轴，作，，根据全等三角形的判定定理可得：，得到，，再证明，得到，，求得，则，根据，得到，列出方程求出a即可得到点N的坐标；当N点在x轴上方时，点与N关于对称，得到点N’的坐标． 【详解】（1）把代入得：， 一次函数解析式为， 令，得， ∴， 在中，，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ； （2）①设， ∴P在线段AB上， ∴， 设直线AC的解析式为，代入，得： ， ∴， ∴， 又∵轴，则， ∴， ， 又∵， ∴得． ②如图所示，当N点在轴下方时， ∵， ∴， ∴， ∵是以PM为直角边的等腰直角三角形， 当时，，， 设， 过P点作直线轴，作，， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴，作，则， ∵， ∴， ∴M在直线AB上， ∴ ， ∴， ∴． 当N点在x轴上方时，如图所示： 点与关于对称， 则，即， 综上：存在一点或，使是以MN为直角边的等腰直角三角形． 【点睛】题目主要是考查一次函数的综合题，待定系数法求函数解析式，直线所成三角形的面积，等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定及性质，中心对称的点的性质，熟练掌握各知识点综合运用是解题的关键． 【变式训练9 求关于原点对称的点的坐标】 1．（23-24九年级下·全国·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了关于原点的对称点的坐标．根据关于原点的对称点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数即可求解． 【详解】解：∵关于原点的对称点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数， ∴点关于原点的对称点的坐标是． 故选：D． 2．（24-25九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系xOy中，点关于原点对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的两点，则其横、纵坐标互为相反数，由点关于原点对称的坐标特征即可求得对称点的坐标． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为； 故选：C． 3．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数列式求解即可． 【详解】解：点关于原点的对称点的坐标为 故答案为：． 4．（2024八年级上·甘肃兰州·专题练习）如图所示是一个坐标方格盘，你可操纵一只遥控机器蛙在方格盘上进行跳步游戏，机器蛙每次跳步只能按如下两种方式（第一种：向上、下、左、右可任意跳动格或格；第二种跳到关于原点的对称点上）中的一种进行．若机器蛙在点，现欲操纵它跳到点，请问机器蛙至少要跳 次． 【答案】 【分析】本题考查了中心对称，根据题意得到可以先向右跳三步，再向下跳一步，然后跳到关于原点的对称点即可到达，据此即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：若机器蛙在点，根据跳步游戏规则，可以先向右跳三步，再向下跳一步，然后跳到关于原点的对称点即可跳到点，这个路径步数最少，共步， 故答案为：． 5．（24-25九年级上·湖南·期中）在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，是格点三角形（顶点在网格线的交点上）． (1)作出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标； (2)把向上平移个单位长度得到，作出； (3)已知与成中心对称，则对称中心的坐标为______． 【答案】(1)图见解析，； (2)见解析； (3)． 【分析】作出点、、关于原点的对称点、、，连接点、、得到，与关于原点成中心对称，根据图中点的位置写出坐标； 把点、、分别向上平移个单位长度得到点、、，连接点、、得到； 关于某点成中心对称的两个图形的对应点连线的交点就是对称中心，本题中连接、交于一点，这个交点就是对称中心，从图可以看出对称中心的坐标为． 【详解】（1）解：如下图所示， 连接并延长到，使， 连接并延长到，使， 连接并延长到，使， 连接点、、得到， 与关于原点成中心对称， 点的坐标是； （2）解：如下图所示， 把点、、分别向上平移个单位长度得到点、、， 连接点、、得到； （3）解：如下图所示， 连接、交于一点，这个交点就是对称中心， 从图可以看出对称中心的坐标为． 【点睛】本题考查了中心对称图形的画法，平移图形的画法，中心对称的性质及平移的性质，对称中心的确定方法，正确掌握中心对称的性质及平移的性质是解题的关键． 【变式训练10 己知两点关于原点对称求参数】 1．（24-25九年级上·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，点和点关于原点对称，则的值为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查点的坐标关于原点对称，熟练掌握点的坐标关于原点对称的特征是解题的关键；根据“点的坐标关于原点对称，这两个点的横纵坐标都互为相反数”可得，然后代入求解即可． 【详解】解：由点和点关于原点对称，可知， ∴； 故选A． 2．（24-25九年级上·全国·期中）若点与点关于原点对称，则的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键． 根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，据此可得x，y的值，再代入计算即可． 【详解】点与点关于原点对称， ，， 解得：，， ， 故选：A. 3．（24-25九年级上·广东广州·期中）若点与关于原点对称，则 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了关于原点对称点的性质，利用如果两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数，由此求出，的值，代入求和即可． 【详解】解：点与点关于原点对称， ∴，， ∴． 故答案为：6． 4．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）若点与点关于原点对称，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关于原点对称的两个点的横纵坐标都互为相反数，据此求解即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（24-25八年级上·全国·课后作业）已知点，，，根据下列条件分别求a，b的值． (1)A，B两点关于x轴对称； (2)A，B两点关于y轴对称； (3)A，B两点关于坐标原点对称； (4)轴； (5)A，B两点在第二，四象限的角平分线上． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， (5)， 【分析】（1）关于x轴对称的两点的横坐标不变，纵坐标互为相反数，据此结合，两点的坐标可求出，； （2）关于轴对称的两点的纵坐标不变，横坐标互为相反数，据此结合，两点的坐标可求出，； （3）关于原点对称的两点的横坐标和纵坐标都互为相反数，据此结合，两点的坐标可求出，； （4）与轴平行的直线上的点的横坐标相同，纵坐标不同，据此结合，两点的坐标可求出，； （5）在第二、四象限两条坐标轴夹角的平行线上的点的横坐标和纵坐标互为相反数，据此结合，两点的坐标可求出，． 【详解】（1）解： ∵、关于x轴对称，则这两点的横坐标不变，纵坐标互为相反数， 又∵， ∴，． （2）解： ∵、关于轴对称，则这两点的纵坐标不变，横坐标互为相反数， 又∵， ∴，． （3）解：、关于原点对称，则这两点的横、纵坐标均互为相反数， ∵， ∴，． （4）解：直线轴，则、两点的横坐标相等，纵坐标不相等， ∵， ∴，． （5）解：、在第二、四象限两条坐标轴夹角的平分线上，则点、点的横坐标和纵坐标互为相反数， ∵， ∴，． 【点睛】本题考查了关于x轴、轴对称点的坐标，关于原点对称的点的坐标，熟记关于轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，关于轴对称的点的纵坐标相等，横纵标互为相反数；关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，是解题关键． 【变式训练11 判断两个点是否关于原点对称】 1．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）在平面直角坐标系中，点与点关于（    ） A．原点中心对称 B．y轴轴对称 C．x轴轴对称 D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，中心对称，关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数，关于y轴轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同，关于x轴轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此求解即可． 【详解】解；∵点与点的横坐标互为相反数，纵坐标相同， ∴点与点关于y轴轴对称， 故选B． 2．（22-23八年级上·山东淄博·期末）点和点在坐标平面内的关系是（    ） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．没有对称关系 【答案】C 【分析】根据点的横坐标和纵坐标均互为相反数即可做出判断． 【详解】解：∵点和点的横坐标和纵坐标都互为相反数， ∴点和点在坐标平面内的关系是关于原点对称． 故选：C 【点睛】此题考查了关于原点对称的点的特征，熟知关于原点对称的点横坐标和纵坐标都互为相反数是解题的关键． 3．（2022九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，△PQR是△ABC经过某种变换后得到的图形，观察点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标之间的关系．在这种变换下，如果△ABC中任意一点M的坐标为（x，y），那么它的对应点N的坐标是 ． 【答案】（﹣x，﹣y） 【分析】先观察图形可知，△PQR是△ABC绕点O旋转180°后得到的图形，即它们关于原点成中心对称；再利用关于原点对称的点的坐标特征“N点坐标与M点坐标互为相反数”即可作答． 【详解】解：观察图形可知C（1，2）、P（﹣4，﹣3）、Q（﹣3，﹣1）、A（4，3）、B（3，1）、R（﹣1，﹣2）， ∴C、R关于原点对称，A、P关于原点对称，B、Q关于原点对称， ∴△PQR和△ABC关于原点对称． ∵△PQR和△ABC关于原点对称， M（x，y）与N对称点， ∴N点坐标为：（﹣x，﹣y）． 故答案为：（﹣x，﹣y）． 【点睛】本题考查了两点成中心对称坐标的特点，关键熟悉关于原点成中心对称的坐标的特点为横纵坐标均互为相反数． 4．（22-23七年级下·全国·课后作业）（1）和点关于 对称； （2）如果点在第三象限则点关于原点的对称点在第 象限． 【答案】 原点 二 【分析】（1）根据A、B两点的横纵坐标互为相反数，即可判断它们关于原点对称； （2）先根据A在第三象限即可确定，从而可以确定B所在的象限，再根据与原点对称的点的特点进行求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴A、B两点的横纵坐标互为相反数， ∴A、B两点关于原点对称； （2）∵点在第三象限， ∴， ∴， ∴在第四象限， ∴点B关于原点对称的点在第二象限， 故答案为：原点，二． 【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征，解题的关键在于能够熟练掌握关于原点对称的两点的横纵坐标互为相反数． 5．（24-25八年级上·四川成都·期中）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形ABC（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点，的坐标分别为，． (1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； (2)请作出关于轴对称的并写出点的坐标； (3)将每个顶点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘，顺次连接这些点，会得到一个新图案，这个新图案与有怎样的位置关系？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析， (3)关于原点对称 【分析】本题考查利用轴对称设计图案，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据点的坐标建立平面直角坐标系即可． （2）根据轴对称的性质作图，即可得出答案． （3）根据轴对称的性质作图，即可得出答案． 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图所示． （2）解：如图，即为所求． （3）解：如图所示，即为所求； 这个新图案与关于原点对称． 1．（22-23九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图将绕点旋转得到，设点的坐标为，则的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设的坐标为，由于、关于点对称，则， 【详解】解：设的坐标为， 和关于点对称． ，， 解得， 点的坐标 故选：． 【点睛】本题主要考查了一个关于一点成中心对称的问题，要根据中心对称的定义，且弄清中心对称的点的坐标特征． 2．（22-23八年级上·河北唐山·期末）如图，四边形ABCD与四边形FGHE关于一个点成中心对称，则这个点是（　　） A．O1 B．O2 C．O3 D．O4 【答案】A 【分析】连接任意两对对应点，连线的交点即为对称中心. 【详解】如图，连接HC和DE交于O1， 故选A． 【点睛】此题考查了中心对称的知识，解题的关键是了解成中心对称的两个图形的对应点的连线经过对称中心，难度不大． 3．（23-24九年级上·四川南充·期末）如图是一个中心对称图形，为对称中心，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称的性质，所对直角边是斜边的一半，由中心对称的性质得，然后根据所对直角边是斜边的一半即可求解，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． 【详解】∵该图是一个中心对称图形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：． 4．（22-23八年级下·四川成都·期末）如图，在4×4的网格纸中，ABC的三个顶点都在格点上，现要在这张网格纸的四个格点M，N，P，Q中找一点作为旋转中心．将ABC绕着这个中心进行旋转，旋转前后的两个三角形成中心对称，且旋转后的三角形的三个顶点都在这张4×4的网格纸的格点上，那么满足条件的旋转中心有（　　） A．点M，点N B．点M，点Q C．点N，点P D．点P，点Q 【答案】C 【分析】画出中心对称图形即可判断 【详解】解：观察图象可知，点P．点N满足条件． 故选：C． 【点睛】本题考查利用旋转设计图案，中心对称等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 5．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）已知一次函数的图象沿着x轴或y轴平移m个单位长度得到的图象与原图象关于原点对称，则m的值为（　　） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移，先在直线上任意取一点，然后根据关于原点对称的点，横纵坐标互为相反数求出这点的对应点的坐标，然后代入平移后函数解析式计算即可求出m值． 【详解】解：∵一次函数的图象经过一三四象限， ∴一次函数的图象y轴向上平移m个单位得到的图象与原图象关于原点对称， ∴平移后的函数的解析式为， ∵直线经过点，该点关于原点的对称点为， 将代入，得， 解得， 即平移后解析式为， 可以化为：， 所以一次函数的图象y轴向上平移4个单位得到的图象与原图象关于原点对称， 或一次函数的图象x轴向左平移4个单位得到的图象与原图象关于原点对称， 故选：D． 6．（2022九年级·浙江台州·学业考试）把直线 绕原点旋转180°，所得直线的解析式为 ． 【答案】 【分析】求出与坐标轴的交点，确定它们关于原点的对称点的坐标，设旋转后的直解析式为，将对称点的坐标代入即可． 【详解】解：当x=0, y=-1, 当y=0, x=2, ∴y=x-1与两坐标轴的交点的坐标是：（0,-1），（2,0）， ∴它们关于原点对称点坐标为（0，1），（-2,0）， 设y=kx+b, ∴, ∴, ∴y=x+1． 故答案为：y=x+1． 【点睛】本题考查了直线旋转后的解析式的求法，将其转化为点的旋转，后用待定系数法求出解析式是解题的关键． 7．（22-23九年级上·江西赣州·期中）如图，在平面直角坐标系中，若△ABC≌△DEF关于点H成中心对称，则对称中心H点的坐标是 ．    【答案】（2，-1） 【分析】连接对应点AD、CF，根据对应点的连线经过对称中心，则交点就是对称中心H点，在坐标系内确定出其坐标． 【详解】解：如图，连接AD、CF，则交点就是对称中心H点．    观察图形可知，H（2，-1）． 故答案为：（2，-1）． 【点睛】本题考查了中心对称的性质：对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分．确定H点位置是解决问题的关键． 8．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）如图，，，，与关于点C成中心对称，则的长是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了中心对称以及勾股定理，利用中心对称的性质得出，，再利用勾股定理得出的长，即可得出答案． 【详解】解：∵与关于点C成中心对称， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴． 故答案为：． 9．（2022·浙江金华·中考真题）如图， 在平面直角坐标系中， 若与关于点成中心对称， 则对称中心点的坐标是 ． 【答案】 【分析】连接与的对应点，其对应点连线的交点，即为对称中心点，进而得出坐标． 【详解】解：如图，连接，，两连线的交点，即为对称中心点， ∴对称中心点的坐标是． 故答案为： 【点睛】本题考查了坐标与图形、中心对称图形的定义，解本题的关键在正确找出对称中心． 10．（23-24九年级上·广东汕头·期中）已知点，关于原点对称，则 ， ． 【答案】 / / 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，二元一次方程组的应用．两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点O的对称点是． 根据关于原点对称的点的坐标特点列出方程，解方程分别求出x、y值，即可． 【详解】∵点，关于原点对称， ∴， 解得． 故答案为：；． 11．（24-25九年级上·山东滨州·期中）如图，已知各顶点坐标分别为、、． (1)画出关于原点对称的； (2)直接写出的各顶点坐标； (3)试求的面积． 【答案】(1)见解析； (2)，，； (3)． 【分析】（）先写出各顶点关于原点对称的点，再依次连接即可； （）根据图象及各象限坐标的特征解题； （）将图形用直角三角形面积减去两个三角形面积即可； 本题考查了网格作图—关于原点对称，象限与点坐标，三角形面积等知识，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，先找出、、关于原点对称、、，连接， ∴即为所求； （2）解：、、关于原点对称的点分别为：、、； （3）解：如图， ∴的面积． 12．（24-25九年级上·山东临沂·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． (1)若和关于原点O成中心对称，画出； (2)将绕点O顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析，的坐标为 【分析】此题考查了中心对称和旋转的作图，以及写出平面直角坐标系中点的坐标． （1）找到关于原点成中心对称的对应点，顺次连接即可； （2）找到绕点顺时针旋转得到的对应点，顺次连接即可得到，然后写出点的坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，即为所求，点的坐标为． 13．（24-25九年级上·山东济宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是点，，． (1)请画出将绕点旋转得到的，并写出点的坐标； (2)将沿着某个方向平移一定的距离后得到，已知点的对应点的坐标为，画出，此时与恰好关于某一点成中心对称，则这个对称中心的坐标为_____． 【答案】(1)见解析 (2)作图见解析， 【分析】本题考查了坐标与图形－旋转、平移，熟练掌握旋转的性质以及平移的规律是解本题的关键． （1）根据旋转的性质得出点的对应点，连线即可； （2）根据平移后点的坐标得出平移方式，然后画出平移图形；根据成中心对称的两个图形对应点连线的交点即为对称中线解答即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； 由图可得，点的坐标为； （2）解：由题意知，点平移后的对应点的坐标为， 点与点的横坐标相同，纵坐标：， 向下平移3个单位长度得到， 连接，，，相交于点， 则与关于点成中心对称， 由图可知，点为线段的中点，， 点的坐标为， 这个对称中心的坐标为． 14．（23-24九年级上·河北保定·期中）如图，D是边的中点，连接并延长到点E，使，连接．    (1)和 ___________成中心对称； (2)已知的面积为4，则的面积是 ___________． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题考查了中心对称图形及三角形的中线，掌握中心对称图形及三角形的中线的性质是解题的关键． （1）根据点A和点E成中心对称，C点和点B成中心对称，即可求解；（2）根据是的中线，得到，根据D是边的中点，得到， 【详解】（1）根据中心对称图形的性质可得； 和成中心对称， 故答案为：； （2）由（1）得：和成中心对称， ∴线段是的中线， ∴， ∵D是边的中点， ∴， 故答案为：8． 15．（21-22九年级上·陕西延安·阶段练习）已知点与关于原点对称，求的值． 【答案】0 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点列出方程，解方程分别求出x、y，计算即可． 【详解】解：∵点与关于原点对称， ∴，， ∴，， 解得：，， ∴． 【点睛】本题考查的是关于原点对称的点的坐标特点，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点O的对称点是． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 中心对称（4个知识点+11大核心考点+变式训练+举一反三） 题型一 成中心对称 题型二 画已知图形关于某点对称的图形 题型三 画两个图形的对称中心 题型四 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 题型五 中心对称图形的识别 题型六 判断中心对称图形的对称中心 题型七 在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 题型八 中心对称图形规律问题 题型九 求关于原点对称的点的坐标 题型十 己知两点关于原点对称求参数 题型十一 判断两个点是否关于原点对称 知识点一 中心对称定义 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。 知识点二 中心对称性质 （1）关于中心对称的两个图形是全等形。 （2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 （3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。 知识点三 中心对称判定 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。 知识点四 中心对称图形 把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。 【核心考点一 成中心对称】 【例1】（24-25九年级上·云南玉溪·期中）如图所示，与关于点O成中心对称，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级下·全国·单元测试）下列各组图形中，与成中心对称的是（     ） A． B． C． D． 【例3】（24-25九年级上·云南昭通·阶段练习）点和点关于原点中心对称，已知点坐标为，则点坐标为 ． 【例4】（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，，若与关于某点成中心对称，且的对应点的坐标为，则的对应点的坐标为 ． 【例5】（24-25九年级上·山西大同·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点（小正方形的顶点）上，每个小正方形的边长均为1个单位长度． (1)将浇点O逆时针旋转、画出旋转后得到的； (2)画出、使与关于y轴对称； (3)与是否成中心对称？（答出“是”或“否”即可） 【核心考点二 画已知图形关于某点对称的图形】 【例1】（2023·河北衡水·二模）三个全等的等边三角形按图1所示位置摆放，现添加一个大小相同的等边三角形，使四个等边三角形组成一个中心对称图形（如图2），则添加的等边三角形所放置的位置是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【例2】（22-23九年级上·黑龙江七台河·期中）如图，两个半圆分别以P、Q为圆心，它们成中心对称，点A1，P，B1，B2，Q，A2在同一条直线上，则对称中心为（    ） A．A2P的中点 B．A1B2的中点 C．A1Q的中点 D．PQ的中点 【例3】（24-25九年级上·天津河西·期中）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A与点O分别为格线上一点． （1）当O为所在小正方形一边的中点，A为三等分点（距下方格点近）时，的长度为 ； （2）在如图所示的网格中，请用无刻度的直尺，先将点A向上平移2个单位长度得到点B，再以点O为中心，画出线段关于点O的中心对称图形（A的对应点为，B的对应点为），并简要说明点和点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【例4】（23-24九年级上·辽宁大连·期末）在学习了中心对称后，小胖绘制了一个三个顶点全在格点上的三角形（，其形状如图所示，每个小方格的边长为1）并作出其关于中心对称后的，则此时的坐标为 ． 【例5】（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)在图（1）中，画出关于原点对称的，并写出点的坐标； (2)在图（2）中，画出绕点A按顺时针旋转后的，并写出点B、C的对应点的坐标． 【核心考点三 画两个图形的对称中心】 【例1】（23-24九年级下·河北邢台·阶段练习）如图，与成中心对称则对称中心是（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 【例2】（23-24九年级上·广东珠海·期中）如图，两个半圆分别以O，为圆心，它们关于某点成中心对称，点A，B，，在同一直线上，则对称中心为（    ）    A．点O B．点B C．线段的中点 D．线段的中点 【例3】（23-24九年级上·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中（坐标系中每个小正方形单位长度为1），画关于点成中心对称的图形时，小明由于紧张对称中心选错，画出的图形是，请你找出此时的对称中心的坐标是 ． 【例4】（22-23七年级下·河南洛阳·期末）关于某一点成中心对称的两个图形，连结所有对称点的线段经过 ． 【例5】（24-25九年级上·河北唐山·期中）如图，在中，． (1)将向右平移4个单位长度，画出平移后的； (2)画出关于轴对称的； (3)将绕原点旋转，画出旋转后的； (4)与关于点对称，则点的坐标为_____． 【核心考点四 根据中心对称的性质求面积、长度、角度】 【例1】（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，与关于点O成中心对称，连接，，．下列结论中正确的有（   ） ①点A与点D是对应点；②；③线段与关于点O成中心对称 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【例2】（22-23九年级上·四川广安·期中）如图所示，与关于点成中心对称，则下列结论成立的是（） ①点与点关于点对称；②；③；④． A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【例3】（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，在等边三角形中，为的中点，，与关于点中心对称，连接，则的长为 ． 【例4】（24-25九年级上·广东云浮·期中）如图，已知与关于点A中心对称，若，则的长为 ．    【例5】（24-25八年级上·河北保定·期中）已知，在的正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，其中每个小正方形的边长都为1，三点坐标分别为，，． (1)画出关于y轴对称的，并写出、、三点坐标； (2)画出关于x轴对称的； (3)观察图形，直接写出和的关系． 【核心考点五 中心对称图形的识别】 【例1】（24-25九年级上·辽宁阜新·阶段练习）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·江西赣州·阶段练习）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【例3】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，把标有序号中某个小正方形涂上阴影，使它与图中阴影部分组成的新图形是中心对称图形但不是轴对称图形，那么该小正方形的序号是 ． 【例4】（24-25九年级上·四川德阳·期中）在英文字母V、W、X、Y、Z中，是中心对称图形的英文字母有 个． 【例5】（24-25九年级上·山西吕梁·期中）图1和图2都是由边长为1的小菱形构成的网格，已有两个小菱形涂上了阴影，请你在图1中再将1个小菱形涂上色，在图2中再将3个小菱形涂上色，使两个图形中的涂色部分均为中心对称图形．（两个图形中各补出一种情况即可） 【核心考点六 判断中心对称图形的对称中心】 【例1】（24-25九年级上·天津·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，若与关于点成中心对称，则对称中心点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·天津静海·期中）如图，在平面直角坐标系中，若与关于点E成中心对称，则对称中心点E的坐标是（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，在单位长度为1的平面直角坐标系网格中，与的顶点都在格点上，且与关于点E成中心对称，则对称中心点E的坐标是 ． 【例4】（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，与成中心对称，则对称中心是 ． 【例5】（24-25九年级上·陕西西安·期中）和在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)请画出关于原点对称的； (2)若与关于点成中心对称，请写出点的坐标． 【核心考点七 在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形】 【例1】（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）如图，这是的正方形网格，选择一空白小正方形，其与阴影部分组成的图形是中心对称图形的情况有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【例2】（24-25九年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，在的方格纸中，画格点三角形（顶点均在格点上）与关于方格纸中的一个格点成中心对称，这样的三角形有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【例3】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图是3×3正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色，现在要从其余6个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个涂成黑色的部分成为中心对称图形，这样的白色小方格有 个． 【例4】（2024·江苏泰州·二模）如图，在4×4的方格纸中，画格点三角形（顶点均在格点上）与关于方格纸中的一个格点成中心对称，这样的有 个．    【例5】（2025九年级下·全国·专题练习）已知六边形是以O为中心的中心对称图形（如图），画出六边形的全部图形，并写出作法． 【核心考点八 中心对称图形规律问题】 【例1】（22-23八年级上·山东济南·期末）在平面直角坐标系中，点，的对称中心是点A，另取两点，．有一电子青蛙从点处开始依次作关于点A，B，C的循环对称跳动，即第一次跳到点关于点A的对称点处，接着跳到点关于点B的对称点处，第三次再跳到点关于点C的对称点处，第四次再跳到点关于点A的对称点处，…，则点的坐标为（      ）． A． B． C． D． 【例2】（23-24九年级上·广东汕头·期中）如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（　　） A． B． C． D． 【例3】（23-24八年级下·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，点先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到点，再把点绕点旋转得到点，那么点的坐标是 ． 【例4】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形，A，C分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为，将P点关于A对称得到，将关于O点对称得到，将关于C点对称得到，将关于B点对称得到，将关于A点对称得到，……，按照顺序以此类推，则的坐标为 ． 【例5】（23-24九年级上·北京西城·期中）在平面内，将图形关于点作中心对称变换得到图形的过程简记为：．若图形再关于点作中心对称变换得到图形，即：，则由图形变换到的过程称为图形作对称得到图形，记作：． 容易知道：若，则；若，则． 已知在平面直角坐标系中，点．    (1)如图1，已知点．点作下面的变换后，对应点仍在的内部或边上的是___________（写序号）：①对称；②对称；③对称；④对称． (2)点在直线上，线段，当线段与坐标轴有公共点时，求点的横坐标的取值范围； (3)点是平面内一点，．若线段上存在点，使点作对称后的对应点在轴上，直接写出点的横坐标的取值范围． 【核心考点九 求关于原点对称的点的坐标】 【例1】（24-25九年级上·天津·阶段练习）在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·辽宁大连·期中）在平面直角坐标系内，点关于原点对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25九年级上·山东济宁·期中）点关于原点的对称点的坐标是 ． 【例4】（湖北省楚天名初教科研协作体2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题）若与关于原点对称，则 ． 【例5】（24-25九年级上·贵州·阶段练习）如图所示的正方形网格中（每个小正方形的边长是1，小正方形的顶点叫作格点），的顶点均在格点上，请在所给平面直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： (1)作出关于点O成中心对称的； (2)以点O为旋转中心，将绕点O逆时针旋转得，画； (3)若点是边上的一个动点，则点P在边上的对应点的坐标是_______． 【核心考点十 己知两点关于原点对称求参数】 【例1】（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期中）已知点与点关于原点对称，则的值为（   ） A．5 B． C．1 D． 【例2】（24-25七年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则a、b的值为（  ） A． B． C． D． 【例3】（24-25九年级上·广东广州·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点为，则 ． 【例4】（24-25九年级上·湖北武汉·期中）已知点与点关于原点O中心对称，则m的值是 ． 【例5】（23-24九年级上·云南曲靖·期中）已知点和点关于x轴对称，求P和Q的值，若M，N关于y轴对称呢？关于原点对称呢？ 【核心考点十一 判断两个点是否关于原点对称】 【例1】（23-24八年级下·陕西西安·期中）把各点的横、纵坐标都乘后，得到的图形是（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级上·广东东莞·阶段练习）在平面直角坐标系中，点、，则，两点关于（ ）对称． A．原点 B．轴 C．轴 D．轴和轴 【例3】（21-22九年级上·湖北武汉·阶段练习）在平面直角坐标系中，点与点是关于某点成中点对称的两点，则对称中心的坐标为 【例4】（2023·广西柳州·一模）已知点与点，则这两个点关于 对称． 【例5】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，轴，且，点A的坐标为，点C的坐标为． (1)写出点B，D的坐标； (2)你发现点A，B，C，D的坐标之间有何特征？ 【变式训练1 成中心对称】 1．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，若与关于E点成中心对称，则对称中心E点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·湖南湘西·期末）关于论述：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等；④把绕点旋转后得到，则和关于点对称，正确的有（    ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 3．（24-25九年级上·山东济宁·期中）如图，小好同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称．若点，，，……，，都在函数图象上，这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1，则的值是 ． 4．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，如果和关于点中心对称，那么必过点 ，且被这个点 ；和 相同，大小 ，即它们是 关系．    5．（23-24九年级上·北京海淀·开学考试）对于点和图形，若点关于图形上任意的一点的对称点为点，所有点组成的图形为，则称图形为点关于图形的“对称图形”．在平面直角坐标系中，已知点，，，．    (1)①在点，，中，是点关于线段的“对称图形”上的点有_______． ②画出点关于四边形的“对称图形”； (2)点是轴上的一动点． ①若点关于四边形的“对称图形”与关于四边形的“对称图形”有公共点，求的取值范围； ②直线与轴交于点，与轴交于点，线段上存在点，使得点是点关于四边形的“对称图形”上的点，直接写出的取值范围． 【变式训练2 画已知图形关于某点对称的图形】 1．（2024·广东广州·中考真题）下列图案中，点为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点对称的是（    ） A．   B．   C．   D．     2．（22-23八年级上·广东深圳·期中）在平面直角坐标系中，与点A（3，2）关于原点成中心对称的点的坐标是（　　） A．（3，﹣2） B．（﹣3，2） C．（﹣3，﹣2） D．（﹣2，﹣3） 3．（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，有任意四边形，分别是A、B、C、D关于B、C、D、A的对称点，设S表示四边形的面积，表示四边形的面积，则的值为 ． 4．（22-23八年级上·山东威海·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，一个电动玩具从坐标原点O出发，第一次跳跃到点，使得点与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点B成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点C成中心对称，第四次跳跃到点，使得点与点关于点A成中心对称；第五次跳跃到点，使得点与点关于点B成中心对称……照此规律重复下去，则点的坐标为 ． 5．（24-25九年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，每个小方格的边长为1个单位长度，在第二象限内有横、纵坐标均为整数的A，B两点，点，点A的横坐标为，且． (1)在平面直角坐标系中标出点A，并连接，，． (2)画出关于点O成中心对称的图形． 【变式训练3 画两个图形的对称中心】 1．（23-24九年级上·河北唐山·期中）如图，在平面直角坐标系中，若与关于点成中心对称，则对称中心点的坐标是（）    A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·山西临汾·期中）如图，在平面直角坐标系中，画关于点O成中心对称的图形时，由于紧张对称中心选错，画出的图形是，请你找出此时的对称中心是（　　） A． B． C． D． 3．（22-23八年级下·宁夏银川·期中）如图，在平面直角坐标系中，若与关于点D中心对称，则对称中心点D的坐标是 ． 4．（22-23九年级上·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC顶点的横、纵坐标都是整数．若将△ABC以某点为旋转中心，旋转得到△A′B′C′，则旋转中心的坐标是 ．   5．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，在正方形网络中，的三个顶点都在格点上，点A、B、C的坐标分别为，，，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题： (1)画出关于原点O对称的； (2)将向右平移4个单位，使点A移动到点，画出平移后的； (3)在、、中，与_________成中心对称，其对称中心的坐标为_________． 【变式训练4 根据中心对称的性质求面积、长度、角度】 1．（24-25九年级上·山西吕梁·期中）如图，与关于点成中心对称，下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）如图，与关于点中心对称，则下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·新疆阿克苏·期中）如图，已知与关于点A成中心对称，且，，，则的长为 ． 4．（21-22八年级下·江苏泰州·期中）如图，与关于点C成中心对称，，，，则的长是 ． 5．（24-25九年级上·四川广安·期中）如图，与关于点G中心对称，点E，F分别在上，且．求证：． 【变式训练5 中心对称图形的识别】 1．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）下列各图案中，属于中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）函数的图像如图所示，下列对该函数性质的论断正确的是 （1）该函数的图像是中心对称图形； （2）当时，该函数在时取得最小值2； （3）在每个象限内，的值随值的增大而减小； （4）的值不可能为1． 4．（24-25九年级上·山西大同·阶段练习）给出下列图形：①等边三角形；②矩形；③平行四边形；④菱形；⑤正方形；⑥圆．其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 （填写图形的相应编号） 5．（23-24八年级下·山西运城·期中）如图，平面直角坐标系中，各顶点的坐标依次为，，．    (1)将先向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到． ①请在图中画出； ②点，，的坐标可以看成是点，，的横坐标分别______、纵坐标分别______得到的； ③也可以看成是沿的方向一次平移______个单位长度得到； (2)将点，，的横、纵坐标分别乘，依次得到点，，， ①请在图中画出； ②请写出与的位置关系：______． 【变式训练6 判断中心对称图形的对称中心】 1．（23-24七年级下·河南洛阳·期末）如图，已知与成中心对称，则对称中心可能是（    ） A．点 B．点 C．线段的中点 D．线段的中点 2．（2024·山东青岛·一模）如图，两个年春晚吉祥物“龙辰辰”的图案成中心对称，则对称中心的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，和关于点P成中心对称，则点P坐标是 ．    4．（22-23九年级上·全国·单元测试）已知与关于某点中心对称，若对称点，C的坐标分别是，，则对称中心的坐标是 ． 5．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度．的三个顶点，，． (1)将以点C为旋转中心，顺时针旋转，得到，请画出，并写出点的坐标； (2)平移，使点A的对应点坐标为，请画出平移后对应的，并写出点的坐标； (3)若将绕某一点旋转可得到，请直接写出旋转中心P点的坐标 ． 【变式训练7 在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形】 1．（23-24八年级上·山东东营·阶段练习）在的正方形网格中，在其中选择一个白色的小正方形并涂黑，使图中黑色部分是一个中心对称图形，你能找到（    ）个这样的白色小正方形． A．0 B．1 C．2 D．3 2．（22-23八年级下·浙江丽水·期中）如图，将①②③④中的一块涂成阴影后能与图中原有阴影部分组成中心对称图形的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 3．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在的方格纸中，画格点三角形（顶点均在格点上）与关于方格纸中的一个格点成中心对称，这样的有 个． 4．（21-22八年级下·重庆大渡口·期末）如图，在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，涂黑的小正方形序号是 ． 5．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，图①、图②、图③均是的正方形网格，小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，所画图形不全等，不要求写出画法．    (1)在图①中以线段为边画一个面积是3的等腰． (2)在图②中以线段为边画一个面积是6的轴对称四边形． (3)在图③中以线段为边画一个面积是6的中心对称四边形． 【变式训练8 中心对称图形规律问题】 1．（22-23八年级下·湖北武汉·期中）画两条直线四等分正方形的面积，不同的画法有（  ） A．一种 B．两种 C．三种 D．无数种 2．（22-23九年级上·天津·期中）以对角线交点为旋转中心旋转正方形，要想使旋转之后的图形与原图形重合，则至少应该旋转（    ） A． B． C．120° D． 3．（2024七年级下·全国·专题练习）在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，…，如此作下去，则的顶点的坐标是 ． 4．（21-22九年级上·辽宁盘锦·期中）在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，如此作下去．则（n是正整数）的顶点的坐标是 ． 5．（21-22八年级上·广东佛山·期中）如图1，平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+m交x轴于点A（4，0），交y轴正半轴于点B，直线AC交y轴负半轴于点C，且BC＝AB． （1）求线段AC的长度． （2）P为线段AB（不含A，B两点）上一动点． ①如图2，过点P作y轴的平行线交线段AC于点Q，记四边形APOQ的面积为S，点P的横坐标为t，当S＝时，求t的值． ②M为线段BA延长线上一点，且AM＝BP，在直线AC上是否存在点N，使得△PMN是以PM为直角边的等腰直角三角形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练9 求关于原点对称的点的坐标】 1．（23-24九年级下·全国·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系xOy中，点关于原点对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为 ． 4．（2024八年级上·甘肃兰州·专题练习）如图所示是一个坐标方格盘，你可操纵一只遥控机器蛙在方格盘上进行跳步游戏，机器蛙每次跳步只能按如下两种方式（第一种：向上、下、左、右可任意跳动格或格；第二种跳到关于原点的对称点上）中的一种进行．若机器蛙在点，现欲操纵它跳到点，请问机器蛙至少要跳 次． 5．（24-25九年级上·湖南·期中）在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，是格点三角形（顶点在网格线的交点上）． (1)作出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标； (2)把向上平移个单位长度得到，作出； (3)已知与成中心对称，则对称中心的坐标为______． 【变式训练10 己知两点关于原点对称求参数】 1．（24-25九年级上·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，点和点关于原点对称，则的值为（    ） A． B． C．1 D．3 2．（24-25九年级上·全国·期中）若点与点关于原点对称，则的值等于（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·广东广州·期中）若点与关于原点对称，则 ． 4．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）若点与点关于原点对称，则 ． 5．（24-25八年级上·全国·课后作业）已知点，，，根据下列条件分别求a，b的值． (1)A，B两点关于x轴对称； (2)A，B两点关于y轴对称； (3)A，B两点关于坐标原点对称； (4)轴； (5)A，B两点在第二，四象限的角平分线上． 【变式训练11 判断两个点是否关于原点对称】 1．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）在平面直角坐标系中，点与点关于（    ） A．原点中心对称 B．y轴轴对称 C．x轴轴对称 D．以上都不对 2．（22-23八年级上·山东淄博·期末）点和点在坐标平面内的关系是（    ） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．没有对称关系 3．（2022九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，△PQR是△ABC经过某种变换后得到的图形，观察点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标之间的关系．在这种变换下，如果△ABC中任意一点M的坐标为（x，y），那么它的对应点N的坐标是 ． 4．（22-23七年级下·全国·课后作业）（1）和点关于 对称； （2）如果点在第三象限则点关于原点的对称点在第 象限． 5．（24-25八年级上·四川成都·期中）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形ABC（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点，的坐标分别为，． (1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； (2)请作出关于轴对称的并写出点的坐标； (3)将每个顶点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘，顺次连接这些点，会得到一个新图案，这个新图案与有怎样的位置关系？ 1．（22-23九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图将绕点旋转得到，设点的坐标为，则的坐标为（ ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·河北唐山·期末）如图，四边形ABCD与四边形FGHE关于一个点成中心对称，则这个点是（　　） A．O1 B．O2 C．O3 D．O4 3．（23-24九年级上·四川南充·期末）如图是一个中心对称图形，为对称中心，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23八年级下·四川成都·期末）如图，在4×4的网格纸中，ABC的三个顶点都在格点上，现要在这张网格纸的四个格点M，N，P，Q中找一点作为旋转中心．将ABC绕着这个中心进行旋转，旋转前后的两个三角形成中心对称，且旋转后的三角形的三个顶点都在这张4×4的网格纸的格点上，那么满足条件的旋转中心有（　　） A．点M，点N B．点M，点Q C．点N，点P D．点P，点Q 5．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）已知一次函数的图象沿着x轴或y轴平移m个单位长度得到的图象与原图象关于原点对称，则m的值为（　　） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 6．（2022九年级·浙江台州·学业考试）把直线 绕原点旋转180°，所得直线的解析式为 ． 7．（22-23九年级上·江西赣州·期中）如图，在平面直角坐标系中，若△ABC≌△DEF关于点H成中心对称，则对称中心H点的坐标是 ．    8．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）如图，，，，与关于点C成中心对称，则的长是 ． 9．（2022·浙江金华·中考真题）如图， 在平面直角坐标系中， 若与关于点成中心对称， 则对称中心点的坐标是 ． 10．（23-24九年级上·广东汕头·期中）已知点，关于原点对称，则 ， ． 11．（24-25九年级上·山东滨州·期中）如图，已知各顶点坐标分别为、、． (1)画出关于原点对称的； (2)直接写出的各顶点坐标； (3)试求的面积． 12．（24-25九年级上·山东临沂·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． (1)若和关于原点O成中心对称，画出； (2)将绕点O顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标． 13．（24-25九年级上·山东济宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是点，，． (1)请画出将绕点旋转得到的，并写出点的坐标； (2)将沿着某个方向平移一定的距离后得到，已知点的对应点的坐标为，画出，此时与恰好关于某一点成中心对称，则这个对称中心的坐标为_____． 14．（23-24九年级上·河北保定·期中）如图，D是边的中点，连接并延长到点E，使，连接．    (1)和 ___________成中心对称； (2)已知的面积为4，则的面积是 ___________． 15．（21-22九年级上·陕西延安·阶段练习）已知点与关于原点对称，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$