第02讲 图形的旋转（3个知识点+12大核心考点+变式训练+举一反三）-（寒假衔接课堂）2025年八年级数学寒假衔接讲义（北师大版）

第02讲 图形的旋转（3个知识点+12大核心考点+变式训练+举一反三） 题型一 判断生活中的旋转现象 题型二 判断由一个图形旋转而成的图案 题型三 找旋转中心、旋转角、对应点 题型四 旋转的性质及辨析 题型五 画旋转图形 题型六 旋转对称图形的识别 题型七 求旋转对称图形的旋转角度 题型八 坐标与旋转规律问题 题型九 线段问题(旋转综合题) 题型十 面积问题(旋转综合题) 题型十一 角度问题(旋转综合题) 题型十二 其他问题(旋转综合题) 知识点一 旋转 1、定义 把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。 说明： （1）图形的旋转是由旋转中心和旋转的角度所决定的; （2）旋转过程中旋转中心始终保持不动。 （3）旋转过程中旋转的方向是相同的。 （4）旋转过程静止时，图形上一个点的旋转角度是一样的。⑤旋转不改变图形的大小和形状。 知识点二 性质 （1）对应点到旋转中心的距离相等; （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角; （3）旋转前、后的图形全等。 知识点三 旋转作图的步骤和方法 （1）确定旋转中心及旋转方向、旋转角; （2）找出图形的关键点; （3）将图形的关键点和旋转中心连接起来，然后按旋转方向分别将它们旋转一个旋转角度数，得到这些关键点的对应点; （4）按原图形顺次连接这些对应点，所得到的图形就是旋转后的图形。 说明：在旋转作图时，一对对应点与旋转中心的夹角即为旋转角。 【核心考点一 判断生活中的旋转现象】 【例1】（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）下列运动属于旋转的是（    ） A．运动员投掷标枪 B．火箭升空 C．飞驰的动车 D．钟表的钟摆的运动 【例2】（24-25九年级上·云南·期中）下列运动中，不属于旋转的是（    ） A．电风扇叶片的转动 B．酒店旋转门的转动 C．钟摆的摆动 D．热气球点火升空 【例3】（23-24九年级上·广东珠海·期中）下列现象中属于旋转的有 （填序号） ①火车在笔直行驶；②荡秋千运动；③地下水位下降；④钟摆的运动；⑤圆规画圆． 【例4】（22-23九年级上·湖北恩施·阶段练习）钟表的分针匀速旋转一周需要60分钟，经过20分钟，分针旋转了 ． 【例5】（21-22九年级上·全国·单元测试）我们小时候都玩过荡秋千的游戏．在夏天，我们会打开电扇，扇叶会绕着中心转轴转动起来．如图，单摆上小木球会从位置运动到位置． (1)上述几种运动是做直线运动还是做曲线运动？ (2)运动有何共同点？ 【核心考点二 判断由一个图形旋转而成的图案】 【例1】（24-25九年级上·甘肃庆阳·期中）将如图所示的图形绕其中心旋转某一角度后会与原图形重合，这个角度可以是（    ） A． B． C． D． 【例2】（22-23七年级下·北京海淀·期末）综合性学习小组设计了四种车轮，车轮中心的初始位置在同一高度，现将每种车轮在水平面上进行无滑动滚动，若某个车轮中心的运动轨迹如图所示，请利用刻度尺、量角器等合适的工具作出判断，该轨迹对应的车轮是（  ） A． B． C． D． 【例3】（2024八年级下·江苏·专题练习）与电子显示的四位数不相等，但为全等图形的四位数是 ． 【例4】（22-23八年级下·贵州贵阳·期中）如图所示，图形①经过轴对称变换得到图形②；则图形①经过 变换得到图形③；图形①经过 变换得到图形④．（填平移或旋转）    【例5】（24-25九年级上·全国·假期作业）分析左边的树形图案，经过怎样的图形变换就可能得到右边的树形图案． 【核心考点三 找旋转中心、旋转角、对应点】 【例1】（湖北省楚天名初教科研协作体2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题）如图，在正三角形网格中，将绕某个点旋转，得到，则下列四个点中能作为旋转中心的是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【例2】（24-25九年级上·甘肃武威·阶段练习）如图，将（其中，）绕点A顺时针方向旋转到的位置，使得点C、A、在同一条直线上，那么旋转角等于（  ） A． B． C． D． 【例3】（24-25九年级上·吉林白城·阶段练习）如图，在正方形网格中，绕某点旋转一定的角度得到，则旋转中心是点 ．（填“”或“”） 【例4】（24-25九年级上·湖南湘西·期中）如图，一块含角的直角三角板绕点C顺时针旋转到，当B，C，在一条直线上时，三角板的旋转角度为 ． 【例5】（24-25八年级上·天津滨海新·期中）如图，已知为正方形内一点，经过旋转后到达的位置． (1)请写出旋转中心及旋转角的度数； (2)若，求的度数和的长． 【核心考点四 旋转的性质及辨析】 【例1】（24-25八年级上·山东烟台·期中）一个图形无论经过平移还是旋转，以下说法不正确的是（   ） A．对应线段平行； B．对应线段相等； C．对应角相等； D．不改变图形的形状和大小， 【例2】（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）一个图形无论经过平移变换，还是经过旋转变换，下列说法都能正确的是（   ） ①对应线段平行；②对应线段相等；③图形的形状和大小都没有发生变化；④对应角相等． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【例3】（23-24七年级下·河南周口·期末）如图，线段可以看成是线段先绕点C 旋转，再向 平移 小格得到的． 【例4】（2022九年级上·全国·专题练习）如图，将右边的图案变成左边的图案，是通过 变化得到的． 【例5】（23-24八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，已知点、、的坐标分别为、、． (1)将沿着轴向左平移5个单位后得到，请画出；并写出的对应点的坐标______ (2)将绕着O顺时针旋转90°后得到，请画出；并写出A的对应点坐标______ (3)将线段绕着某个定点旋转180°后得到（其中点的对应点为点，点的对应点为点），则这个定点的坐标是______ 【核心考点五 画旋转图形】 【例1】（24-25七年级上·湖北武汉·开学考试）将如图所示原图中的三角形绕点O旋转后，不能得到的图形是图（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级上·全国·单元测试）经过以下变换后所得到的三角形与不全等的是（    ） A． B． C． D． 【例3】（22-23九年级上·湖南湘西·期末）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标为，，．把绕点C顺时针旋转后得到，则点的坐标为 ． 【例4】（2023·安徽合肥·一模）如图，若将（点C与点O重合）绕点O顺时针旋转度后得到，则点A的对应点的坐标是 ．    【例5】（22-23九年级上·云南·期末）作图题：如图所示，在所给的网格图中（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题： (1)作出关于直线对称的； (2)作出绕点顺时针方向旋转后的． 【核心考点六 旋转对称图形的识别】 【例1】（24-25九年级上·湖南湘西·期中）一个图形绕着某一点旋转任意角度后能与自身重合，这个图形是（    ） A．任意三角形 B．平行四边形 C．圆 D．矩形 【例2】（24-25八年级上·全国·单元测试）下列图案，既可以由平移变换得到，又可以由旋转变换得到，还可以由轴对称变换得到的是（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图所示的图案由三个叶片组成，绕点O旋转后可以和自身重合（不考虑和阴影），若每个叶片的面积为，为，则图中阴影部分的面积为 ． 【例4】（22-23七年级上·上海嘉定·期末）在正方形、长方形、线段、等边三角形和平行四边形这五种图形中，是旋转对称图形不是中心对称图形的是 . 【例5】（2023八年级下·江苏·专题练习）如图，在四边形中，，，垂足为点C，E是的中点，连接并延长交的延长线于点F． (1)图中可以由△______绕着点______旋转______度后得到； (2)写出图中的一对全等三角形______； (3)若，，．求的面积． 【核心考点七 求旋转对称图形的旋转角度】 【例1】（24-25九年级上·四川泸州·期中）如图，五角星图案绕着它的中心旋转，旋转角至少(  )度时，旋转后的五角星能与自身重合． A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·广东中山·期中）如图，六角形组合图旋转一定度数可完全重合，旋转的度数可以是（   ） A． B． C． D． 【例3】（2024七年级上·上海·专题练习）等边三角形至少旋转 度才能与自身重合． 【例4】（24-25九年级上·河北廊坊·期中）如图，该图案绕其中心至少旋转 度后能与原图案完全重合． 【例5】（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，正五边形的边长等于2，分别以正五边形各边为直径，向外作半圆． (1)这个图形________（填“是”或“不是”）旋转对称图形，若是，则旋转中心是点________，最小旋转角为________； (2)求阴影部分的周长和面积（用含π的式子表示）． 【核心考点八 坐标与旋转规律问题】 【例1】（24-25九年级上·江西宜春·期中）如图，把正方形铁片置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标，点在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置，…，则正方形铁片连续旋转2019次后，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·江西南昌·期中）将按如图方式放置在平面直角坐标系中，其中，，顶点A的坐标为，将绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点A对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点重合，轴，交轴于点．将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点A的坐标为 ． 【例4】（24-25八年级上·全国·期末）将按如图方式放在平面直角坐标系中，其中，，顶点的坐标为，将绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点对应点的坐标为 ． 【例5】（2023·安徽淮北·三模）阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点的对称中心的坐标为． 观察应用：    (1)如图，若点、的对称中心是点A，则点A的坐标为：　　． (2)在（1）的基础上另取两点、．有一电子青蛙从点处开始依次关于点、、作循环对称跳动，即第一次跳到点关于点的对称点处，接着跳到点关于点的对称点处，第三次再跳到点关于点的对称点处，第四次再跳到点关于点的对称点处，，则、的坐标分别为：　　、　　． 【核心考点九 线段问题(旋转综合题)】 【例1】（22-23九年级上·广东汕头·期末）把一副三角板如图①放置，其中，，，斜边，，把三角板绕点C顺时针旋转得到（如图②），此时与交于点O，则线段的长度为（    ）    A． B． C． D．4 【例2】（2023·浙江湖州·二模）年是癸卯兔年，“瑞兔呈祥”，小明同学查阅资料后得知，兔子的耳朵有很多功能，其中包括通过竖起耳朵利用风来散热，起到调节体温的功能．小明用图中的七巧板拼成图所示的一只奔跑中的兔子，已知小正方形的边长为，点是边的中点，通过旋转“耳朵”这块七巧板，可以将“耳朵”耷拉的状态转到竖直（如图），在旋转过程中，耳朵尖的点离小兔子的前脚掌尖的距离的最大值为（    ）．    A． B． C． D． 【例3】（22-23九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，，点的坐标为，，线段绕点旋转一定的角度后与线段重合，均为格点，则旋转中心点的坐标为 ．    【例4】（22-23八年级下·山西晋中·期末）如图，太原方特大摆锤的长度为米，当大摆锤绕点O顺时针旋转到时，点B到的距离是 米．    【例5】（2024·湖北恩施·模拟预测）如图1，和均为等边三角形，点，，在同一直线上，连接． (1)填空： ①的度数为__________； ②线段，之间的数量关系为__________； (2)如图，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一直线上，为中边上的高，连接，请判断的度数及线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在中，，，平面上一动点到点的距离为，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连，，，则是否有最大值和最小值，若有直接写出，不需要说明理由． 【核心考点十 面积问题(旋转综合题)】 【例1】（21-22九年级上·湖北武汉·期中）如图，∠MAN＝60°，点B、C分别在AM、AN上，AB＝AC，点D在∠MAN内部、△ABC外部，连接BD、CD、AD．下列结论：①DB+DC≥DA；②S△BDC≤BD•DC；③若DB＝m，DC＝n，则S△ADB≤+mn．其中错误的结论个数为（　　）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【例2】（22-23九年级上·广西玉林·期中）将直角边长为的等腰直角绕点逆时针旋转后得到△，则图中阴影部分的面积(    ) A． B． C． D． 【例3】（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在中，点在上，连接，，点在上，连接，，若，的面积为，则的长为 ．    【例4】（2023·河北唐山·二模）小明遇到一个问题：个同样大小的正方形纸片，边长是，排列形式如图所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形．他的做法是：按图所示的方法分割后，将三角形纸片①绕的中点旋转至三角形纸片②处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形．则新正方形的面积是 ；如图，在面积为的平行四边形中，点分别是边的中点，分别连接得到一个新的平行四边形．则平行四边形面积的大小是 ．    【例5】（22-23八年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知和都是等腰三角形，．    (1)如图①，当点D在外部，点E在内部时，求证：． (2)如图②，和都是等腰直角三角形，，点C，D，E在同一直线上，为中边上的高．求的度数；判断线段之间的数量关系，并说明理由． (3)如图③，和都是等腰直角三角形，，将绕点A逆时针旋转，连结．当时，在旋转过程中，与的面积和是否存在最大值？若存在，写出计算过程；若不存在，请说明理由． 【核心考点十一 角度问题(旋转综合题)】 【例1】（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，将三角板（其中，）绕点顺时针旋转得到，点在同一条直线上，那么旋转角等于（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，在正方形中，E为边上的点，连接，将绕点C顺时针方向旋转得到，连接，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【例3】（2023九年级·辽宁抚顺·学业考试）如图，中，，将绕点逆时针旋转到的位置，当时，连接，则的度数为 ．    【例4】（22-23七年级下·浙江·期末）将一副直角三角板按如图1所示位置摆放，其中，，．若将三角板绕点A按每秒的速度顺时针旋转，如图2，在此过程中，设旋转时间为t秒，当线段与三角板的一条边平行时， ．    【例5】（2024·山东济宁·二模）某校数学兴趣小组将两个边长不相等的正方形和正方形按照图方式摆放，点，，在同一条直线上，点在上． (1)操作与发现 如图2，将正方形绕点逆时针旋转． ①当时，求，，的度数； ②正方形旋转过程中，你发现与的有何数量关系？与的有何数量关系？请直接写出你发现的结论，不需要证明． (2)类比探究 如图3，将正方形绕点顺时针旋转．上面②中你发现的结论是否仍然成立？请说明理由． 【核心考点十二 其他问题(旋转综合题)】 【例1】（23-24九年级上·北京丰台·期中）两块完全相同的含角的直角三角板和重合在一起，将三角板绕直角顶点按逆时针方向旋转（），如图所示．以下结论错误的是（　　） A．当时，与的交点恰好为中点． B．当时，恰好经过点． C．在旋转过程中，存在某一时刻，使得． D．在旋转过程中，始终存在． 【例2】（22-23八年级下·河南郑州·期末）如图，在中，，若是边上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点为点，连接，则在下列结论中：①，②；③，④，一定正确的是（　　）    A．①③ B．③ C．①③④ D．①②③④ 【例3】（2023·湖北十堰·中考真题）在某次数学探究活动中，小明将一张斜边为4的等腰直角三角形硬纸片剪切成如图所示的四块（其中D，E，F分别为，，的中点，G，H分别为，的中点），小明将这四块纸片重新组合拼成四边形（相互不重叠，不留空隙），则所能拼成的四边形中周长的最小值为 ，最大值为 ．    【例4】（22-23九年级上·江西南昌·期末）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形绕点O逆时针旋转45°后得到正方形，继续旋转至2019次得到正方形，则点的坐标是 ． 【例5】（22-23九年级上·甘肃定西·期末）如图，点P是等边三角形内部一点，连接，现将绕点A顺时针旋转到的位置，求证： 是等边三角形．    【变式训练1 判断生活中的旋转现象】 1．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）下列现象中不属于旋转的是（    ） A． B． C．    D． 2．（24-25九年级上·广西防城港·期中）下列运动形式属于旋转的是（    ） A．荡秋千 B．射箭 C．立定跳远 D．晨跑运动 3．（22-23九年级上·宁夏吴忠·期中）运动“冰壶滑行到终点．直升机螺旋桨的转动．气球冉冉升起．钢架雪车加速前进”属于旋转的是 ． 4．（21-22六年级上·黑龙江大庆·期末）时针运动是 现象，拉抽屉是 现象． 5．（22-23七年级下·全国·单元测试）你能区分下列哪些是平移现象？哪些是旋转现象吗？ 【变式训练2 判断由一个图形旋转而成的图案】 1．（24-25九年级上·北京·阶段练习）将校徽按顺时针方向旋转后得到的图形是图中的（   ）    A．   B．   C．   D．   2．（23-24八年级下·全国·期中）如图，编号为①至④的四个四边形中，不能由四边形 经过平移或旋转得到的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 3．（21-22七年级下·湖南长沙·期末）关于如图的形成过程：（1）由一个三角形平移形成的；（2）由一个三角形绕中心依次旋转形成的；（3）由一个三角形作轴对称形成的；（4）由一个三角形先平移再旋转形成的，说法正确的有 ；（填序号） 4．（22-23九年级下·广东广州·阶段练习）将两边长分别是和的矩形以其一边所在的直线为轴旋转一周，所得的几何体的侧面积是 . 5．（24-25九年级上·全国·假期作业）分析下列图形的形成过程． 【变式训练3 找旋转中心、旋转角、对应点】 1．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，点，，，，都在方格纸的格点上，若可以由旋转得到，则正确的旋转方式是（    ）    A．绕点逆时针旋转 B．绕点顺时针旋转 C．绕点逆时针旋转 D．绕点逆时针旋转 2．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）下列运动不属于旋转的是（   ） A．大风车转动 B．火箭升空的运动 C．关上教室门 D．钟表的钟摆的摆动 3．（24-25九年级上·甘肃定西·期中）如图，在的方格纸中，格点四边形甲经过旋转后得到格点四边形乙，则其旋转中心是点 ． 4．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，将含有角的直角三角板绕着点顺时针旋转到处（点，，在一条直线上），则这次旋转的旋转角为 度． 5．（24-25九年级上·辽宁抚顺·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，已知，，． (1)将绕原点旋转后得到，在图中画出，并写出，的坐标； (2)将绕点沿顺时针旋转一定角度后得到，请在图中画出点，并写出点的坐标是多少？ 【变式训练4 旋转的性质及辨析】 1．（23-24七年级上·上海·单元测试）平移和旋转前后的两个图形是（　　） A．形状不变，但大小不等 B．大小不变，但形状不同 C．形状不变，且大小相等 D．以上都不对 2．（23-24八年级下·广东深圳·期末）在图形的平移和旋转变换中，下列说法正确的是（    ） A．对应点所连线段都平行 B．对应线段都平行 C．对应点所连线段都相等 D．对应线段都相等 3．（22-23九年级·江西·自主招生）若正六边形ABCDEF绕着中心O旋转角α得到的图形与原来的图形重合，则α的最小值为 ． 4．（22-23八年级下·江苏徐州·阶段练习）如图，如果△ABC和△DEF关于点G成中心对称，那么△ABC绕点G旋转 °后能与△DEF重合． 5．（22-23八年级下·全国·课后作业）如图是一个三叶吊扇的图片，回答下列问题： （1）吊扇正常工作（运转）时，其叶片的转动可以看成是一个旋转运动，试找出它的旋转中心； （2）当第一个叶片转动到第二个叶片的位置时，它转过了多少度？转动到第三个叶片的位置时呢？ （3）在转动过程中，叶片的大小和形状发生变化了吗？ 【变式训练5 画旋转图形】 1．（21-22六年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）将左边图案绕点O按顺时针方向旋转，得到的图案是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·陕西安康·期中）下列图形不是旋转对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   3．（22-23六年级下·黑龙江大庆·期末）有如图，从图形甲到图形乙，所进行的图形运动是先绕点 时针旋转，再向右移动 格．    4．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）两块不同的三角板按如图1所示摆放，AC与边重合，，．接着如图2保持三角板ACD不动，将三角板绕着点C按逆时针旋转后停止．在此旋转过程中，当与三角板ACD的一条边恰好平行时， ．    5．（24-25七年级上·全国·期中）请你作出如图所示的四边形绕点O顺时针旋转75度后的图形．（不用写作法，但要保留作图痕迹） 【变式训练6 旋转对称图形的识别】 1．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）下列图片中，哪些是由图片（1）分别经过平移和旋转得到的（   ） A．（3）和（4） B．（2）和（3） C．（2）和（4） D．（4）和（3） 2．（24-25九年级上·全国·假期作业）给出下列图形：①线段；②正方形；③等腰三角形；④等边三角形；⑤梯形．其中属于旋转对称图形的有（    ） A．①②③④⑤ B．①②④⑤ C．②③⑤ D．①②④ 3．（22-23七年级上·上海杨浦·阶段练习）在线段.角.等腰三角形.正方形和圆中，旋转对称图形是 ； 4．（22-23七年级上·上海闵行·阶段练习）在等腰三角形、平行四边形、等腰梯形、五角星及圆中共有 个旋转对称图形. 5．（21-22八年级上·云南昆明·期中）在如图所示的方格图中，我们称每个小正方形的顶点为“格点”，以格点为顶点的三角形叫做“格点三角形”根据图形，解决下面的问题： (1)图中的格点是由格点通过哪些变换方法得到的？ (2)如果以直线，为坐标轴建立平面直角坐标系后，点的坐标为，请写出格点各顶点坐标． 【变式训练7 求旋转对称图形的旋转角度】 1．（2024·云南怒江·一模）风力发电机可以在风力作用下发电，如图，该叶片图案绕中心旋转后能与原来的图案重合，则旋转角至少为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图可以看成是由一个等腰直角三角形旋转若干次形成的，则每次旋转的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·天津河西·期中）把图中的等边三角形绕着它的两条中线的交点O旋转，要使旋转后的三角形能与自身重合，则旋转角的度数至少为 ． 4．（24-25九年级上·贵州黔东南·期中）由一个等腰直角三角形旋转若干次形成的图形如图所示，则每次旋转的度数是 ． 5．（22-23七年级上·全国·期末）如图，在边长为6的正方形ABCD内部有两个大小相同的长方形AEFG、HMCN，HM与EF相交于点P，HN与GF相交于点Q，AG=CM=x，AE=CN=y． （1）用含有x、y的代数式表示长方形AEFG与长方形HMCN重叠部分的面积S四边形HPFQ，并求出x应满足的条件； （2）当AG=AE，EF=2PE时， ①AG的长为_______； ②四边形AEFG旋转后能与四边形HMCN重合，请指出该图形所在平面内能够作为旋转中心的所有点，并分别说明如何旋转的． 【变式训练8 坐标与旋转规律问题】 1．（24-25九年级上·河南许昌·期中）如图，在中，顶点，，，将与正方形组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第300次旋转结束时，点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形绕点顺时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点O连续旋转2024次得到正方形，那么点的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·山东日照·期中）如图，在平面直角坐标系中，有一个正三角形，其中B，C的坐标分别为和．若在无滑动的情况下，将这个正三角形沿着x轴向右滚动，则在滚动的过程中，这个正三角形的顶点A，B，C中，会过点的是点 ． 4．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到的位置，点、分别落在点、处，点在轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，依次进行下去……，若点，．则点的坐标是 ． 5．（21-22九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，坐标分别为A（2，2），B（1，0），C（3，1）． (1)画出△ABC沿水平方向向左平移4个单位长度的，并直接写出、的坐标； (2)画出将△ABC绕原点O顺时针旋转所得的，并直接写出、的坐标； (3)可由绕点G旋转得到，则点G的坐标为 ． 【变式训练9 线段问题(旋转综合题)】 1．（2023八年级下·江苏·专题练习）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，使点在的延长线上，则的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（22-23九年级上·天津武清·期中）如图，P为正方形内一点，，将绕点C逆时针旋转得到，则的长是（        ） A．1 B． C．2 D． 3．（2023·浙江宁波·一模）如图，中，，中，，直线与交于，当绕点任意旋转的过程中，到直线距离的最大值是 ． 4．（21-22九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在中，，P是内一点，求的最小值为 ． 5．（2024·北京通州·一模）在平面直角坐标系中，已知点，A为坐标系中任意一点．现定义如下两种运动：P运动：将点A向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到点，再将点绕点O逆时针旋转，得到点； Q运动：将点A绕点O逆时针旋转，得到点，再将点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到点． (1)如图，已知点，，点A分别经过P运动与Q运动后，得到点，． ①若，请你在下图中画出点，的位置； ②若，求m的值． (2)已知，点A，B分别经过P运动与Q运动后，得到点，与点，，连接，．若线段与存在公共点，请直接写出此时线段长度的取值范围（用含有t的式子表示）． 【变式训练10 面积问题(旋转综合题)】 1．（22-23八年级下·山东菏泽·期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，点D是斜边上任意一点，将点D绕点C逆时针旋转60°得到点E，则线段DE长度的最小值为（　　） A． B． C． D．3 2．（2022·江苏盐城·一模）O为线段AB上一动点，且AB=2，绕O点将AB旋转半周，则线段AB所扫过的面积的最小值为（     ） A．4π B．3π C．2π D．π 3．（2022·陕西宝鸡·一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是AC的中点，将CD绕着点C逆时针旋转，在旋转的过程中点D的对应点为点E，连接AE、BE，则△AEB面积的最小值是 ． 4．（21-22九年级上·全国·单元测试）如图，直角△ABC的直角边AB的长为6cm，∠C=30°，将△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，则图中两三角形重叠部分的面积等于 cm2． 5．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，分别以正方形的边和为直径画两个半圆交于点，若正方形的边长为，求阴影部分的面积．    【变式训练11 角度问题(旋转综合题)】 1．（22-23九年级上·福建福州·期中）如图，将绕点逆时针旋转一个角度得到，点的对应点恰好落在边上，且，，三点在同一条直线上，若，则旋转角的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（21-22九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图将绕点C逆时针旋转得到，点B恰好落在上，若，则旋转角为（　　） A．30° B．35° C．40° D．45° 3．（22-23九年级上·福建厦门·期中）如图，将绕点逆时针旋转110°，得到，若点落在线段的延长线上，则大小为 ． 4．（2022·江苏泰州·一模）如图，在△ABC中，∠CAB＝40°，将△ABC在平面内绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为 ． 5．（22-23九年级上·北京东城·开学考试）如图，在中，，将边绕点C逆时针旋转得到线段．    （1）判断与的数量关系并证明； （2）将边绕点C顺时针旋转α得到线段，连接与边交于点M（不与点A，C重合）． ①用等式表示线段，之间的数量关系，并证明． ②若，，直接写出的长． 【变式训练12 其他问题(旋转综合题)】 1．（22-23八年级下·江苏南京·阶段练习）对于题目：“如图，平面上，正方形内有一长为、宽为的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转即平移或旋转的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数”甲、乙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长，再取最小整数． 甲：如图，思路是当为矩形对角线长时就可移转过去；结果取． 乙：如图，思路是当为矩形的长与宽之和的倍时就可移转过去：结果取． 下列正确的是（  ） A．甲的思路对，他的值错 B．乙的思路错，他的值对 C．甲和乙的思路都对 D．甲和乙的值都对 2．（21-22九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，每次旋转都以图中的A、B、C、D、E、F中不同的点为旋转中心，旋转角度为k•90°（k为整数），现在要将左边的阴影四边形正好通过n次旋转得到右边的阴影四边形，则n的值可以是（    ） A．n＝1可以，n＝2，3不可 B．n＝2可以，n＝1，3不可 C．n＝1，2可以，n＝3不可 D．n＝1，2，3均可 3．（21-22八年级下·山东济南·期中）如图，把绕顶点C顺时针旋转得到，若直线DF垂直平分AB，垂足为点E，连接BF、CE，且．下面四个结论：①；②；③；④的面积为，其中正确的结论有 ． 4．（21-22八年级上·四川眉山·期末）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，BD＝CD，∠BDC＝120°，以点D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长是 ． 5．（22-23八年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中中，四边形是长方形，点，点，点，以点A为中心，顺时针方向旋转长方形，得到长方形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为． (1)如图①，当时，求点D的坐标； (2)如图②，当点E落在的延长线上时，求点E的坐标； (3)当点D落在线段上时，直接写出点D的坐标． 1．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，在下列三种图形变换中，本题图案不包括的变换是（    ） A．轴对称 B．平移 C．旋转 D．以上三项均不包括 2．（24-25九年级上·辽宁营口·期中）如图，将绕点P顺时针旋转得到，则点P的坐标是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24九年级下·山东青岛·阶段练习）如图，线段放在边长为个单位的小正方形网格中，点均落在格点上，先将线段绕点逆时针旋转得到线段，再将线段向下平移个单位得到线段，则坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·浙江台州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B在第一象限内，，，将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转后，点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．（22-23九年级上·贵州黔东南·期中）如图，点是等边三角形内一点，若，，，则（　　） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·安徽淮南·期中）如图，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段． （1）旋转中心是 ， （2）旋转角为 ． 7．（23-24七年级下·河南洛阳·期末）如图，在正方形中，于点M，，且点M是的中点，那么正方形绕点M至少旋转 度与它本身重合． 8．（24-25九年级上·新疆省直辖县级单位·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，对连续作旋转变换，依次得到三角形（1），三角形（2），三角形（3），三角形（4），…，则三角形（2024）的直角顶点的坐标是 ． 9．（24-25九年级上·广西南宁·期中）如图，在直角坐标系中，已知点，，对连续作旋转变换，依次得到，，，，，则的直角顶点的坐标为 ． 10．（23-24九年级上·河南商丘·期中）如图，中，，，平分．过点作交于，将绕点逆时针旋转，得到，连接，，当时， ． 11．（22-23八年级下·山西运城·期中）四边形若满足两组对角互补，即，，则我们称该四边形为“对角互补四边形”    (1)【思路点拨】 如图1，四边形为对角互补四边形，，． 求证：平分． 小云同学是这么做的：延长至，使得，连，可证明，得到是等腰直角三角形，由此证明出平分． ①还可以知道、、三者数量关系为：_________； ②请你用旋转的知识描述如何旋转得到 _________； (2)【变式拓展】 如图2，四边形为对角互补四边形，且满足，，请你仿照小云的做法，证明： 平分； ②； (3)【能力提升】 如图3，四边形ABCD为对角互补四边形，且满足，，则、、三者数量关系为：_________． 12．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，在方格纸中，每个小方格的边长均为个单位长度，线段的两个端点和点都在小方格的格点上．请根据下列要求用无刻度直尺作图． (1)将线段平移，使平移后的线段经过点． ①请在图中画出一条符合要求的线段； ②写出线段平移至线段的方法； (2)第（1）问的线段也可由线段旋转得到，请作出其旋转中心． 13．（22-23九年级上·全国·课后作业）已知如图，正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC边上一点，CE=CF. （1）∠FDC=∠EBC，相等吗？ （2）△DCF能与△BCE重合吗？ （3）BE与DF垂直吗？ 14．（23-24九年级下·全国·期中）如图，在方格纸中按要求画图． (1)画出线段绕点O顺时针旋转后得到的线段，连接； (2)画出与关于直线对称的图形，点A的对称点是C． 15．（22-23八年级下·江苏南京·期中）如图，线段绕点顺时针旋转一定的角度得到线段． （1）请用直尺和圆规作出旋转中心（不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接、、、，根据旋转的性质用符号语言写出2条不同类型的正确结论． （3）如图，在中，，，点的坐标是，，将旋转到的位置，点在上，则旋转中心的坐标为______． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 图形的旋转（3个知识点+12大核心考点+变式训练+举一反三） 题型一 判断生活中的旋转现象 题型二 判断由一个图形旋转而成的图案 题型三 找旋转中心、旋转角、对应点 题型四 旋转的性质及辨析 题型五 画旋转图形 题型六 旋转对称图形的识别 题型七 求旋转对称图形的旋转角度 题型八 坐标与旋转规律问题 题型九 线段问题(旋转综合题) 题型十 面积问题(旋转综合题) 题型十一 角度问题(旋转综合题) 题型十二 其他问题(旋转综合题) 知识点一 旋转 1、定义 把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。 说明： （1）图形的旋转是由旋转中心和旋转的角度所决定的; （2）旋转过程中旋转中心始终保持不动。 （3）旋转过程中旋转的方向是相同的。 （4）旋转过程静止时，图形上一个点的旋转角度是一样的。⑤旋转不改变图形的大小和形状。 知识点二 性质 （1）对应点到旋转中心的距离相等; （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角; （3）旋转前、后的图形全等。 知识点三 旋转作图的步骤和方法 （1）确定旋转中心及旋转方向、旋转角; （2）找出图形的关键点; （3）将图形的关键点和旋转中心连接起来，然后按旋转方向分别将它们旋转一个旋转角度数，得到这些关键点的对应点; （4）按原图形顺次连接这些对应点，所得到的图形就是旋转后的图形。 说明：在旋转作图时，一对对应点与旋转中心的夹角即为旋转角。 【核心考点一 判断生活中的旋转现象】 【例1】（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）下列运动属于旋转的是（    ） A．运动员投掷标枪 B．火箭升空 C．飞驰的动车 D．钟表的钟摆的运动 【答案】D 【分析】本题考查旋转的定义，熟练掌握旋转的定义是解题的关键； 在平面内，把一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转． 【详解】解：根据旋转的定义可以知道钟表的钟摆的运动是旋转； 运动员投掷标枪、火箭升空的运动、飞驰的动车都是平移， 故选：D 【例2】（24-25九年级上·云南·期中）下列运动中，不属于旋转的是（    ） A．电风扇叶片的转动 B．酒店旋转门的转动 C．钟摆的摆动 D．热气球点火升空 【答案】D 【分析】本题考查了生活中的旋转现象；旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键，根据旋转的定义解答即可． 【详解】解：A. 电风扇叶片的转动，属于旋转，故不符合题意； B. 酒店旋转门的转动，属于旋转，故不符合题意； C. 钟摆的摆动，属于旋转，故不符合题意； D. 热气球点火升空，属于平移，故符合题意； 故选：D． 【例3】（23-24九年级上·广东珠海·期中）下列现象中属于旋转的有 （填序号） ①火车在笔直行驶；②荡秋千运动；③地下水位下降；④钟摆的运动；⑤圆规画圆． 【答案】②④⑤ 【分析】旋转变换：把一个图形绕着某个点旋转一定的角度，得到另一个图形，即为旋转变换；平移变换：把一个图形沿着一定的方向移动一定的距离，即为平移变换． 【详解】解：①火车在笔直行驶，③地下水位下降；是平移； ②荡秋千运动；④钟摆的运动；⑤圆规画圆,属于旋转， 故答案为：②④⑤． 【点睛】本题考查旋转和平移的概念，熟练掌握这两个基础概念是解题的关键． 【例4】（22-23九年级上·湖北恩施·阶段练习）钟表的分针匀速旋转一周需要60分钟，经过20分钟，分针旋转了 ． 【答案】/120度 【分析】根据钟表一周为，分针匀速旋转一周需要60分钟，得到1分钟分针旋转，进而求出20分钟，分针旋转的度数即可． 【详解】解：∵钟表一周为，分针匀速旋转一周需要60分钟， ∴1分钟分针旋转， ∴经过20分钟，分针旋转了：； 故答案为：． 【点睛】本题考查钟表中的旋转．熟练掌握钟表一周为，分针旋转一分钟是，是解题的关键． 【例5】（21-22九年级上·全国·单元测试）我们小时候都玩过荡秋千的游戏．在夏天，我们会打开电扇，扇叶会绕着中心转轴转动起来．如图，单摆上小木球会从位置运动到位置． (1)上述几种运动是做直线运动还是做曲线运动？ (2)运动有何共同点？ 【答案】(1)曲线运动 (2)见解析 【分析】本题考查了生活中的旋转． （1）根据几种运动的路线分析得出答案； （2）根据运动方式得出几种运动都属于旋转，根据旋转的性质，即可解答． 【详解】（1）解：上述几种运动是做曲线运动； （2）解：运动的共同点是都属于旋转，运动前后对应线段相等，对应角相等，对应点到旋转中线的距离相等． 【核心考点二 判断由一个图形旋转而成的图案】 【例1】（24-25九年级上·甘肃庆阳·期中）将如图所示的图形绕其中心旋转某一角度后会与原图形重合，这个角度可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查图形旋转，分析出图中图形的构造方式即可求解． 【详解】解：此图形可看作由一个基本图形旋转组成的，故这个角度可以是或的整数倍， 故选C． 【例2】（22-23七年级下·北京海淀·期末）综合性学习小组设计了四种车轮，车轮中心的初始位置在同一高度，现将每种车轮在水平面上进行无滑动滚动，若某个车轮中心的运动轨迹如图所示，请利用刻度尺、量角器等合适的工具作出判断，该轨迹对应的车轮是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图形中心的运动轨迹问题，正确理解图形中心的变化规律是解题的关键．根据车轮中心在运动过程中中心位置的变化情况判断即可． 【详解】解：圆的中心在运动过程中位置始终不变，正方形中心的变化每循环一次，五边形中心的变化每循环一次，六边形中心的变化每循环一次， 用量角器量得图2中一个弧所对的圆心角为， 所以，该轨迹对应的车轮为正方形的． 故选：B． 【例3】（2024八年级下·江苏·专题练习）与电子显示的四位数不相等，但为全等图形的四位数是 ． 【答案】5269 【分析】本题考查全等图形的概念，根据全等的性质把这四位数旋转所得图形与原来的图形全等，翻转过来所得四位数是5269． 【详解】解：四位数6925旋转得到5269， 与电子显示的四位数6925不相等，但为全等图形的四位数是5269， 故答案为：5269． 【例4】（22-23八年级下·贵州贵阳·期中）如图所示，图形①经过轴对称变换得到图形②；则图形①经过 变换得到图形③；图形①经过 变换得到图形④．（填平移或旋转）    【答案】 旋转 平移 【分析】观察各个图形的特点，根据平移、旋转和轴对称的性质解答即可． 【详解】解：仔细观察各个图的位置关系可知：①和②是轴对称关系，①和③图形的大小一样，但方向发生了变化，是旋转，①和④的形状大小一样，是平移关系． ∴图形①经过旋转变换得到图形③； 图形①经过平移变换得到图形④． 故答案为轴对称；旋转；平移． 【点睛】本题考查了生活中的旋转、平移及轴对称现象，图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化；旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变，两组对应点连线的交点是旋转中心；轴对称是两个图形沿某条直线对折后能够完全重合． 【例5】（24-25九年级上·全国·假期作业）分析左边的树形图案，经过怎样的图形变换就可能得到右边的树形图案． 【答案】见解析 【分析】本题考查图形的旋转、轴对称、平移变换，根据图形的位置进行适当的旋转、轴对称、平移变换即可求解． 【详解】解：据左右两图形的位置关系可知，若要由左图得到右图，可以通过以下的途径： （1）把左图绕点A沿顺时针方向旋转一个角度，使左边的树形图案与直线垂直，然后再作轴对称变换（要注意对称轴的正确选择），即可得到右边的树形图案． （2）把左图先做轴对称变换（要注意对称轴的正确选择），使左边的树形图案与直线垂直，然后再作平移变换，即可得到右边的树形图案． 【核心考点三 找旋转中心、旋转角、对应点】 【例1】（湖北省楚天名初教科研协作体2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题）如图，在正三角形网格中，将绕某个点旋转，得到，则下列四个点中能作为旋转中心的是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】C 【分析】本题考查了旋转中心，熟练掌握旋转中心的定义，学会构造旋转对应点连线的垂直平分线找出旋转中心是解题的关键．连接、，分别作和的垂直平分线，则交点即为旋转中心． 【详解】解：将绕某个点旋转，得到，则与为对应点，则与为对应点， 连接、，分别作和的垂直平分线，如图所示交于点C，故点C为旋转中心． 故选：C． 【例2】（24-25九年级上·甘肃武威·阶段练习）如图，将（其中，）绕点A顺时针方向旋转到的位置，使得点C、A、在同一条直线上，那么旋转角等于（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查是旋转的性质，三角形外角的性质；熟知图形旋转后所得图形与原图形全等是解答此题的关键． 根据题意可得，再结合旋转的性质可得答案． 【详解】解：∵，点、、在同一条直线上， ， ∵将绕点按顺时针方向旋转到的位置， ∴旋转角为． 故选：C． 【例3】（24-25九年级上·吉林白城·阶段练习）如图，在正方形网格中，绕某点旋转一定的角度得到，则旋转中心是点 ．（填“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了找旋转中心，根据网格的特点找到的垂直平分线的交点，即为所求 【详解】解：如图所示，的垂直平分线的交点为，点即为旋转中心 故答案为：． 【例4】（24-25九年级上·湖南湘西·期中）如图，一块含角的直角三角板绕点C顺时针旋转到，当B，C，在一条直线上时，三角板的旋转角度为 ． 【答案】/150度 【分析】此题主要考查了旋转的性质，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，正确得出对应边是解题关键．直接利用旋转的性质得出对应边，再根据三角板的内角的度数得出答案． 【详解】解：∵将一块含角的直角三角板绕点C顺时针旋转到， ∴与是对应边， ∴旋转角． 故答案为：． 【例5】（24-25八年级上·天津滨海新·期中）如图，已知为正方形内一点，经过旋转后到达的位置． (1)请写出旋转中心及旋转角的度数； (2)若，求的度数和的长． 【答案】(1)旋转中心为点，旋转角的度数为； (2)，． 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，勾股定理 （1）由旋转的性质可求解； （2）由旋转的性质可得，，由等腰直角三角形的性质以及勾股定理可求解． 【详解】（1）解：经过旋转后到达的位置， ∴旋转中心为点，旋转角的度数为； （2）经过旋转后到达的位置 ， ，， ，． 【核心考点四 旋转的性质及辨析】 【例1】（24-25八年级上·山东烟台·期中）一个图形无论经过平移还是旋转，以下说法不正确的是（   ） A．对应线段平行； B．对应线段相等； C．对应角相等； D．不改变图形的形状和大小， 【答案】A 【分析】本题考查了平移和旋转的性质，熟知平移和旋转的性质是解题的关键． 根据平移和旋转的性质分析即可得出答案． 【详解】A．平移后对应线段平行或共线，旋转对应线段不一定平行，故本选项说法错误，符合题意； B．无论平移还是旋转，对应线段相等，故本选项正确，不符合题意； C．无论平移还是旋转，对应角相等，故本选项正确，不符合题意； D．无论平移还是旋转，图形的形状和大小都没有发生变化，故本选项正确，不符合题意； 故选：A． 【例2】（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）一个图形无论经过平移变换，还是经过旋转变换，下列说法都能正确的是（   ） ①对应线段平行；②对应线段相等；③图形的形状和大小都没有发生变化；④对应角相等． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】B 【分析】此题考查了图形变换的性质及其区别，掌握平移和旋转的性质及其区别，平移变换对应线段平行，但旋转后对应线段不平行．根据以上性质逐一分析即可． 【详解】解：平移后对应线段平行（或在同一直线上）；对应线段相等；对应角相等；图形的形状和大小没有发生变化． 旋转后对应线段不平行；对应线段相等；对应角相等；图形的形状和大小没有发生变化． 故选：B． 【例3】（23-24七年级下·河南周口·期末）如图，线段可以看成是线段先绕点C 旋转，再向 平移 小格得到的． 【答案】 逆时针 左 1 【分析】本题考查了线段的旋转，平移，根据题意和旋转的相关知识即可得；掌握旋转角度，旋转方向，平移是解题的关键． 【详解】解：由图可知，线段可以看成是线段先绕点C逆时针旋转，再向左平移1小格得到的， 故答案为：逆时针；左；1． 【例4】（2022九年级上·全国·专题练习）如图，将右边的图案变成左边的图案，是通过 变化得到的． 【答案】旋转 【分析】根据图形旋转的性质即可得出结论． 【详解】解：将右边的图案旋转90°即可得到左边的图案． 故答案为：旋转． 【点睛】本题考查的是几何变换的类型，熟知图形旋转的性质是解答此题的关键． 【例5】（23-24八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，已知点、、的坐标分别为、、． (1)将沿着轴向左平移5个单位后得到，请画出；并写出的对应点的坐标______ (2)将绕着O顺时针旋转90°后得到，请画出；并写出A的对应点坐标______ (3)将线段绕着某个定点旋转180°后得到（其中点的对应点为点，点的对应点为点），则这个定点的坐标是______ 【答案】(1)图见详解， (2)图见详解， (3) 【分析】本题考查作图旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质，属于中考常考题型． （1）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （3）连接，交于点，点即为所求． 【详解】（1）解：如图，△即为所求； ∴； （2）解：如图，△即为所求； ∴； （3）解：将线段绕着某个定点旋转后得到（其中点的对应点为点，点的对应点为点，则这个定点的坐标． 故答案为：． 【核心考点五 画旋转图形】 【例1】（24-25七年级上·湖北武汉·开学考试）将如图所示原图中的三角形绕点O旋转后，不能得到的图形是图（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据旋转的意义解答即可． 本题考查了旋转的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：逆时针旋转可得到A； 顺时针旋转可得到B； 顺时针旋转可得到C； 无法旋转得到D， 故选：D． 【例2】（23-24八年级上·全国·单元测试）经过以下变换后所得到的三角形与不全等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据平移，旋转，翻折的性质即可解决问题． 【详解】解：∵平移，旋转，翻折前后的三角形全等， ∴选项A，B，C不符合题意， 故选：D． 【例3】（22-23九年级上·湖南湘西·期末）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标为，，．把绕点C顺时针旋转后得到，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了作图—旋转变换，旋转的性质，坐标两点的距离公式，弧长公式，掌握旋转的性质是解题关键．根据旋转的性质作图，再写出点的坐标即可 【详解】如图，点的坐标为． 故答案为：． 【例4】（2023·安徽合肥·一模）如图，若将（点C与点O重合）绕点O顺时针旋转度后得到，则点A的对应点的坐标是 ．    【答案】 【分析】根据题意，画出旋转图形，根据坐标系即可求解． 【详解】解：如图所示，    ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，求点的坐标，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 【例5】（22-23九年级上·云南·期末）作图题：如图所示，在所给的网格图中（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题： (1)作出关于直线对称的； (2)作出绕点顺时针方向旋转后的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了轴对称变换和旋转变换，理解并掌握轴对称变换和旋转变换的性质是解题关键． （1）根据轴对称的性质确定点关于直线的对称点，然后顺次连接即可； （2）根据旋转的性质确定点绕点顺时针方向旋转后的对应点，然后顺次连接即可． 【详解】（1）解：如下图，即为所求； （2）如下图，即为所求． 【核心考点六 旋转对称图形的识别】 【例1】（24-25九年级上·湖南湘西·期中）一个图形绕着某一点旋转任意角度后能与自身重合，这个图形是（    ） A．任意三角形 B．平行四边形 C．圆 D．矩形 【答案】C 【分析】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．绕其对称中心点旋转任意角度后，所得到的图形都和原图形重合就是旋转不变图形，根据旋转的性质即可作出判断． 【详解】解：圆，绕圆心旋转任意角度后都能与原图形重合， 故选：C． 【例2】（24-25八年级上·全国·单元测试）下列图案，既可以由平移变换得到，又可以由旋转变换得到，还可以由轴对称变换得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移，旋转，轴对称的基本概念，根据平移，旋转，轴对称的定义即可作出判断．解题的关键是掌握平移，旋转，轴对称的判定方法． 【详解】解：选项A的图形可以由旋转变换得到，但不能由平移变换和轴对称得到，故A不符合题意； 选项B的图形可以通过旋转变换和平移变换得到，但不能由轴对称得到，故B不符合题意； 选项C的图形可以由平移变换得到，又可以由旋转变换得到，还可以由轴对称变换得到，故C符合题意； 选项D的图形可以由旋转变换和轴对称变换得到，但不能由平移变换得到，故D不符合题意； 故选：C． 【例3】（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图所示的图案由三个叶片组成，绕点O旋转后可以和自身重合（不考虑和阴影），若每个叶片的面积为，为，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转对称图形，如果一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形，根据题意得出图中阴影部分的面积之和等于三叶片的面积和的三分之一，计算即可得解． 【详解】解：∵图案由三个叶片组成，绕点O旋转后可以和自身重合，为， ∴图中阴影部分的面积为， 故答案为：． 【例4】（22-23七年级上·上海嘉定·期末）在正方形、长方形、线段、等边三角形和平行四边形这五种图形中，是旋转对称图形不是中心对称图形的是 . 【答案】等边三角形 【分析】根据中心对称图形的定义以及旋转图形的性质分别判断得出即可． 【详解】正方形、长方形、线段、等边三角形和平行四边形这五种图形中、线段和平行四边形和正方形和长方形都是中心对称图形，只有等边三角形是旋转对称图形但不是中心对称图形；故答案为：等边三角形． 【点睛】此题主要考查了旋转图形的性质，注意中心对称图形也属于旋转图形，但要按要求答题 【例5】（2023八年级下·江苏·专题练习）如图，在四边形中，，，垂足为点C，E是的中点，连接并延长交的延长线于点F． (1)图中可以由△______绕着点______旋转______度后得到； (2)写出图中的一对全等三角形______； (3)若，，．求的面积． 【答案】(1)，E， (2) (3)25 【分析】（1）通过证明即可得到可以由绕点E旋转后得到； （2）根据（1）可直接得到答案； （3）利用可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵E是的中点， ∴， 在和中， , ∴（AAS）， ∴可以由绕点E旋转后得到， 故答案为：，E，； （2）解：由（1）可知 故答案为：； （3）解：∵，， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定、梯形的面积公式运用以及中心对称的知识，解题的关键证得． 【核心考点七 求旋转对称图形的旋转角度】 【例1】（24-25九年级上·四川泸州·期中）如图，五角星图案绕着它的中心旋转，旋转角至少(  )度时，旋转后的五角星能与自身重合． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．五角星图案，可以被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是，并且圆具有旋转不变性，因而旋转的整数倍，就可以与自身重合． 【详解】解：该图形被平分成五部分，，则旋转的整数倍，就可以与自身重合，旋转角至少为． 故选：B 【例2】（24-25九年级上·广东中山·期中）如图，六角形组合图旋转一定度数可完全重合，旋转的度数可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查图形的旋转，正多边形的性质，图中六角形组合图可以被经过中心的射线平分成6个全等的部分，因此旋转的度数为的倍数即可． 【详解】解：， 因此旋转的度数为的数即可． 观察选项可知，只有B选项中符合要求， 故选B． 【例3】（2024七年级上·上海·专题练习）等边三角形至少旋转 度才能与自身重合． 【答案】120 【分析】等边三角形的中心到三个顶点的距离相等，相邻顶点与中心连线的夹角相等，求旋转角即可．本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角． 【详解】解：∵等边三角形的中心到三个顶点的距离相等，相邻顶点与中心连线的夹角相等， ∴旋转角为， ∴至少旋转120度才能与自身重合． 故答案为：120． 【例4】（24-25九年级上·河北廊坊·期中）如图，该图案绕其中心至少旋转 度后能与原图案完全重合． 【答案】 【分析】本题考查了利用旋转设计图案，旋转对称图形，根据已知图形得出最小旋转角度数是解答关键． 观察图形可得，图形由四个形状相同的部分组成，从而能计算出旋转角度． 【详解】解：图形可看作由一个基本图形每次旋转，旋转次所组成， 所以最小旋转的角为． 故答案为：． 【例5】（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，正五边形的边长等于2，分别以正五边形各边为直径，向外作半圆． (1)这个图形________（填“是”或“不是”）旋转对称图形，若是，则旋转中心是点________，最小旋转角为________； (2)求阴影部分的周长和面积（用含π的式子表示）． 【答案】(1)是，O， (2)周长为，阴影部分的面积为 【分析】此题考查了旋转对称图形，熟练掌握旋转对称图形的概念以及最小旋转角的求法是解答此题的关键．旋转对称图形：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心．根据定义可知，最小旋转角等于周角除以正多边形的边数． 【详解】（1）解：根据题意，可知这个图案是旋转对称图形，点是旋转对称中心， 这个图案的最小旋转角为； 故答案为：是，O， （2）由题意得，阴影部分的周长为， 阴影部分的面积为． 【核心考点八 坐标与旋转规律问题】 【例1】（24-25九年级上·江西宜春·期中）如图，把正方形铁片置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标，点在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置，…，则正方形铁片连续旋转2019次后，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查图形与坐标规律，读懂题意，数形结合，找到坐标规律是解决问题的关键． 按照题意，连接右下角轴上的点与，如图所示，由旋转性质逐步求出各个位置时点的坐标，找到循环规律求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示：   点，点， ，则， 由旋转的性质可得， 第一次； 如图所示：   ， ，则由旋转的性质可得， 第二次， 如图所示：   ， ，则由旋转的性质可得， 第三次， 如图所示：   ， ，则由旋转性质可得， 第四次， … 数形结合，发现点的位置4次一个循环，每循环一次横坐标增加12， ∵， 的纵坐标与相同为，横坐标为， ∴， 故选：A． 【例2】（24-25九年级上·江西南昌·期中）将按如图方式放置在平面直角坐标系中，其中，，顶点A的坐标为，将绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点A对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，规律型：点的坐标，解直角三角形等知识，6次一个循环，分别求出第一次到第六次的点A的坐标，利用规律解决问题即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵将绕原点逆时针旋转，每次旋转， ∴第一次旋转后的坐标为， 第二次旋转后的坐标为， 第三次旋转后的坐标为， 第四次旋转后的坐标为， 第五次旋转后的坐标为， 第六次旋转后的坐标为， ， 6次一个循环， ∵， ∴第2024次旋转结束时，点A对应点的坐标为， 故选：B． 【例3】（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点重合，轴，交轴于点．将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点A的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形的性质，规律型问题，坐标与图形变化——旋转等知识．首先确定点A的坐标，再根据4次一个循环，推出经过第101次旋转后点的坐标即可． 【详解】解：∵正六边形边长为2，中心与原点O重合，轴， ∴， ∴， ∴第1次旋转结束时，点A的坐标为， 第2次旋转结束时，点A的坐标为， 第3次旋转结束时，点A的坐标为， 第4次旋转结束时，点A的坐标为， ∴4次一个循环， ∵， ∴第101次旋转结束时，点A的坐标为． 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·全国·期末）将按如图方式放在平面直角坐标系中，其中，，顶点的坐标为，将绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查图形的旋转规律，坐标与图形，掌握题中规律是解题的关键．根据得，由绕原点逆时针旋转，每次旋转，每旋转6次回到原位，可知第2025次旋转结束时，相当于由此位置旋转，进而可求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵绕原点逆时针旋转，每次旋转，每旋转6次回到原位， ∴， ∴第2025次旋转结束时，相当于由此位置旋转， ∴第2025次旋转结束时，点对应点与点A关于原点对称， ∴点对应点的坐标为． 故答案为：． 【例5】（2023·安徽淮北·三模）阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点的对称中心的坐标为． 观察应用：    (1)如图，若点、的对称中心是点A，则点A的坐标为：　　． (2)在（1）的基础上另取两点、．有一电子青蛙从点处开始依次关于点、、作循环对称跳动，即第一次跳到点关于点的对称点处，接着跳到点关于点的对称点处，第三次再跳到点关于点的对称点处，第四次再跳到点关于点的对称点处，，则、的坐标分别为：　　、　　． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】（1）设，利用题中公式分别计算出和的值即可； （2）利用中心对称的性质画图可得到点、，从而得到它们的坐标． 【详解】（1）设， 点、的对称中心是点， ，， 点坐标为， 故答案为：； （2）点、的坐标分别为，．   故答案为：，． 【点睛】本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． 【核心考点九 线段问题(旋转综合题)】 【例1】（22-23九年级上·广东汕头·期末）把一副三角板如图①放置，其中，，，斜边，，把三角板绕点C顺时针旋转得到（如图②），此时与交于点O，则线段的长度为（    ）    A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】根据旋转可得，进而可求出，再结合勾股定理即可求解． 【详解】解：由图①可得： 因为旋转角度为 为等腰直角三角形 在中： 故选：A 【点睛】本题考查了旋转、勾股定理的应用．根据已知条件进行几何推导是解题关键． 【例2】（2023·浙江湖州·二模）年是癸卯兔年，“瑞兔呈祥”，小明同学查阅资料后得知，兔子的耳朵有很多功能，其中包括通过竖起耳朵利用风来散热，起到调节体温的功能．小明用图中的七巧板拼成图所示的一只奔跑中的兔子，已知小正方形的边长为，点是边的中点，通过旋转“耳朵”这块七巧板，可以将“耳朵”耷拉的状态转到竖直（如图），在旋转过程中，耳朵尖的点离小兔子的前脚掌尖的距离的最大值为（    ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据小正方形的边长为，结合等腰直角三角形以及勾股定理可求出七巧板中各个边的长度，根据题意可知耳朵尖（平行四边形）的点绕D点旋转，当M、D、O点三点共线时，耳朵尖点离前脚掌尖的距离有最大值，再分别求出、，问题得解． 【详解】根据小正方形的边长为，结合等腰直角三角形以及勾股定理可求出七巧板中各个边的长度，如下图所示：    ∵耳朵尖（平行四边形）的点绕D点旋转， ∴当M、D、O点三点共线时，耳朵尖点离前脚掌尖的距离有最大值， 如图，    ∵点是边的中点， ∴， ∴， 如图，连接，过D点作，    根据等腰直角三角形的性质可知：， 即， 利用勾股定理可得：， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理以及旋转的性质等知识，明确题意，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求出各边是解答本题的关键． 【例3】（22-23九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，，点的坐标为，，线段绕点旋转一定的角度后与线段重合，均为格点，则旋转中心点的坐标为 ．    【答案】， 【分析】画出平面直角坐标系，对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心． 【详解】解：平面直角坐标系如图所示，作、的垂直平分线交于点，旋转中心是点，，．    故答案为，． 【点睛】本题考查坐标与图形变化旋转，解题的关键是理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心． 【例4】（22-23八年级下·山西晋中·期末）如图，太原方特大摆锤的长度为米，当大摆锤绕点O顺时针旋转到时，点B到的距离是 米．    【答案】 【分析】过B点作于点D，利用含角的直角三角形的性质求出，再利用勾股定理即可求解． 【详解】过B点作于点D，如图，    根据题意有：，， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴（米）， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，含角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，掌握含角的直角三角形的性质，是解答本题的关键． 【例5】（2024·湖北恩施·模拟预测）如图1，和均为等边三角形，点，，在同一直线上，连接． (1)填空： ①的度数为__________； ②线段，之间的数量关系为__________； (2)如图，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一直线上，为中边上的高，连接，请判断的度数及线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在中，，，平面上一动点到点的距离为，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连，，，则是否有最大值和最小值，若有直接写出，不需要说明理由． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 (3)存在，最小值为，最大值为 【分析】本题考查了等边三角形的性质，正方形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，圆的性质定理，旋转的性质，三角形全等的判定和性质等知识，做题的关键是熟练掌握这些知识． （1）由条件易证明，故，，因为，所以． （2）仿照（1）中的解法可求出，证出，由为等腰直角三角形，及为中上的高，可得，从而证得． （3）如图时，因为点到点的距离是，所以点是以点为圆心，为半径的圆，当、、三点在同一条直线上时，有最小值，因为，，所以，在与中，，得，所以，，在中，，所以，，此时时，的最小值为，同理可得：如图4，当、、三点在同一条直线上时，的最大值为：． 【详解】（1）解：∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 又∵ ∴， 又∵， ∴． 故答案为：，． （2）解：∵和均为等腰直角三角形，， ∴，，， 即， 在和中，， ∴， ∴，，， ∴， 在等腰直角三角形中，为斜边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴， （3）解：如图， ∵点到点的距离是， ∴点是以点为圆心，为半径的圆， 当、、三点在同一条直线上时，有最小值， ∵，， ∴， 在与中，， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 此时时，的最小值为， 同理可得：如图4，当、、三点在同一条直线上时， 的最大值为：． 【核心考点十 面积问题(旋转综合题)】 【例1】（21-22九年级上·湖北武汉·期中）如图，∠MAN＝60°，点B、C分别在AM、AN上，AB＝AC，点D在∠MAN内部、△ABC外部，连接BD、CD、AD．下列结论：①DB+DC≥DA；②S△BDC≤BD•DC；③若DB＝m，DC＝n，则S△ADB≤+mn．其中错误的结论个数为（　　）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】①将△ACD绕点A逆时针旋转60°得到△ABC′，可证得△AC′D是等边三角形，再运用三角形三边关系即可判断①正确； ②过点C作CH⊥BD于H，则∠BHC＝90°，根据S△BDC＝BD•CH，由垂线段最短判断出②正确； ③把△BDC绕点B顺时针旋转60°得到△ABK，连接DK，由旋转的性质可证得△BDK是等边三角形，分K落在△ABD的边上、内部、外部讨论即可判断③正确． 【详解】解：①如图1，将△ACD绕点A逆时针旋转60°得到△ABC′， 则△ABC′≌△ACD， ∴AC′＝AD，BC′＝CD， ∵∠DAC′＝60°， ∴△AC′D是等边三角形， ∴C′D＝AD， 在△BC′D中，BC′+BD＞C′D， ∴CD+BD＞AD， 当∠ADC＝60°，即∠AC′B＝60°时，C′、B、D三点共线， ∴CD+BD＝AD， 故①正确； ②如图2，过点C作CH⊥BD于H， 则∠BHC＝90°， ∴S△BDC＝BD•CH， 由垂线段最短知，CH≤CD， ∴S△BDC≤BD•CD， 故②正确； ③把△BDC绕点B顺时针旋转60°得到△ABK，连接DK， 由旋转得：BD＝BK，∠DBK＝60°， ∴△BDK是等边三角形， （推导等边三角形的面积公式如下： S△ABC=） ∴S△BDK＝， ∵△ABK≌△BDC（根据旋转的性质）， 当K落在△ABD外部时，S△ABK＝S△BDC≤BD•CD， 即S△ABK≤mn， ∴S△ABD<S△ABK+S△BDK≤+mn， 当K落在AD边上时， S△ABD= S△ABK+S△BDK≤+mn， 当K落在△ABD内部时， 过点B、D分别作BN⊥AK于N，DM⊥AK于M，设AK与BD交于点O， S△ABD=S△BDK+S△ABK+S△ADK =m2+AK·BN+AK·DM=m2+AK（BN+DM） ∵BO≥BN，OD≥DM， ∴S△ABD≤m2+AK（OB+OD）=m2+mn 故③正确； 综上所述，正确的结论为3个，错误的结论为0个， 故选：A． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转变换的性质，三角形面积等知识点，解题关键是利用旋转变换构造全等三角形． 【例2】（22-23九年级上·广西玉林·期中）将直角边长为的等腰直角绕点逆时针旋转后得到△，则图中阴影部分的面积(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据旋转的性质，旋转角∠CAC=15∘，则∠BAC=45∘−15∘=30°，可见阴影部分是一个锐角为30°的直角三角形，且已知直角边AC=3厘米，根据勾股定理或者三角函数求出另一直角边即可解答． 【详解】解：设与交于点， 根据旋转性质得，而， ， 又，， ， 阴影部分的面积． 故选：． 【点睛】本题考查旋转的性质和解直角三角形．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点·旋转中心；②旋转方向；③旋转角度 【例3】（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在中，点在上，连接，，点在上，连接，，若，的面积为，则的长为 ．    【答案】 【分析】先进行把绕点逆时针旋转，，绕点逆时针旋转，根据性质可以得出，继而利用勾股定理可得，利用面积即可求解． 【详解】如图，绕点逆时针旋转，点与对应，点与对应，绕点逆时针旋转，点与对应，点与对应            ∵，，， ∴旋转后与重合，与重合， ∴，， ∵，， ∴， ∴点，，三点共线，， ∴， ∴，，， ∴ ∴，， 在，由勾股定理得：， ∴， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了旋转及勾股定理，解题的关键是熟练掌握旋转的性质与勾股定理得应用． 【例4】（2023·河北唐山·二模）小明遇到一个问题：个同样大小的正方形纸片，边长是，排列形式如图所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形．他的做法是：按图所示的方法分割后，将三角形纸片①绕的中点旋转至三角形纸片②处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形．则新正方形的面积是 ；如图，在面积为的平行四边形中，点分别是边的中点，分别连接得到一个新的平行四边形．则平行四边形面积的大小是 ．    【答案】 5 /0.4 【分析】由旋转的性质可得图形①和图形②面积相等，则新正方形面积等于个小的正方形面积的和，采用逆向思维的方式得到所求的图形进而求出所求图形的面积，把它返回到个相同的平行四边形的状态，进而得出平行四边形的面积． 【详解】解：将三角形纸片①绕的中点旋转至三角形纸片②处， 图形①和图形②面积相等， 新正方形的面积等于个小的正方形面积的和， 新正方形的面积等于， 根据题意可得出：图形是个相同的平行四边形的状态， 那么其中一个面积为原图形的，那么平行四边形的面积=， 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质，图形的剪拼，培养学生动手操作能力及想象力，是热点题型，多思考、多总结，注意问题过程的形成． 【例5】（22-23八年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知和都是等腰三角形，．    (1)如图①，当点D在外部，点E在内部时，求证：． (2)如图②，和都是等腰直角三角形，，点C，D，E在同一直线上，为中边上的高．求的度数；判断线段之间的数量关系，并说明理由． (3)如图③，和都是等腰直角三角形，，将绕点A逆时针旋转，连结．当时，在旋转过程中，与的面积和是否存在最大值？若存在，写出计算过程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)存在，7 【分析】（1）证明 ，即可得出结论； （2）由等腰直角三角形的性质得 ，则 ，同 （1） 得 ，则 ， 然后由等腰直角三角形的性质得 ，即可解决问题； （3）根据旋转的过程中 的面积始终保持不变，而在旋转的过程中， 的边 始终保持不变，即可解决问题； 【详解】（1）证明：∵， 即 ， 在 和 中， （2），理由如下： ∵ 是等腰直角三角形， ∴， ∴， 同 （1）得： (SAS)， ∴， ∴， ∵ 是等腰直角三角形， 为 中 边上的高， ∴， ∵， ∴； （3） 与 的面积和存在最大值为7，理由如下： 如图（4）    由旋转可知，在旋转的过程中 的面积始终保持不变 ， ∵ 与 面积的和达到最大， ∴ 面积最大， ∵在旋转的过程中， 始终保持不变， ， ∴ 面积最大时， 点 到 的距离最大， ∴， ∴ 与 面积的和达到的最大值为： 【点睛】此题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性 质以及三角形面积等知识，本题综合性强， 熟练掌握等腰三角形的性质和旋转的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型 【核心考点十一 角度问题(旋转综合题)】 【例1】（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，将三角板（其中，）绕点顺时针旋转得到，点在同一条直线上，那么旋转角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，求角度的问题，由题意可知，旋转角，结合的度数可得的度数即可，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点在同一条直线上，， ∴， 故选：C． 【例2】（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，在正方形中，E为边上的点，连接，将绕点C顺时针方向旋转得到，连接，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方形的性质及旋转的性质可得是等腰直角三角形，再根据，即得结果． 【详解】解：由旋转的性质得，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】解答本题的关键是熟练掌握旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等． 【例3】（2023九年级·辽宁抚顺·学业考试）如图，中，，将绕点逆时针旋转到的位置，当时，连接，则的度数为 ．    【答案】/75度 【分析】根据旋转得出，，得出等腰三角形，利用三角形的内角和计算即可． 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∵绕点C逆时针旋转到的位置， ∴，， ∴是等腰三角形， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是直角三角形和旋转，解题的关键是旋转前后的线段长度不变，旋转的角度相等． 【例4】（22-23七年级下·浙江·期末）将一副直角三角板按如图1所示位置摆放，其中，，．若将三角板绕点A按每秒的速度顺时针旋转，如图2，在此过程中，设旋转时间为t秒，当线段与三角板的一条边平行时， ．    【答案】秒或秒或秒 【分析】由线段与三角板的一条边平行可知有三种情况：（1）当时，点E落在线段上，由此可求出旋转角，进而可求出t的值；（2）当时，则，由此可求出旋转角，进而可求出t的值；（3）当，则，由此可求出旋转角，进而可求出t的值． 【详解】解：设旋转角为α，则旋转的时间（秒）， 在顺时针旋转的过程中，线段与三角板的一条边平行， 有以下三种情况： （1）当时， ， ∴点E落在线段上时，   旋转角， （秒）； （2）当时，则，   ， ， 旋转角， （秒）； （3）当时，则，   ， 旋转角， （秒）； 综上所述：秒或秒或秒． 故答案为：秒或秒或秒． 【点睛】此题主要考查了图形的旋转变换与性质，平行线的判定，解答此题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质，难点是利用分类讨论的思想进行分类讨论． 【例5】（2024·山东济宁·二模）某校数学兴趣小组将两个边长不相等的正方形和正方形按照图方式摆放，点，，在同一条直线上，点在上． (1)操作与发现 如图2，将正方形绕点逆时针旋转． ①当时，求，，的度数； ②正方形旋转过程中，你发现与的有何数量关系？与的有何数量关系？请直接写出你发现的结论，不需要证明． (2)类比探究 如图3，将正方形绕点顺时针旋转．上面②中你发现的结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】(1)①；；② (2)，理由见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，角度的计算； （1）①根据旋转的性质，角度的计算即可求解； ②根据旋转的性质，角度的计算，即可求解； （2）根据旋转的性质即可求解． 【详解】（1）解：①∵，四边形是正方形， ∴， ； ②∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【核心考点十二 其他问题(旋转综合题)】 【例1】（23-24九年级上·北京丰台·期中）两块完全相同的含角的直角三角板和重合在一起，将三角板绕直角顶点按逆时针方向旋转（），如图所示．以下结论错误的是（　　） A．当时，与的交点恰好为中点． B．当时，恰好经过点． C．在旋转过程中，存在某一时刻，使得． D．在旋转过程中，始终存在． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的性质可得， ，再根据旋转角求出等边三角形，判断出正确，假设，则可推出，可得与已知矛盾，判断出错误，再根据四边形的内角和等于求出与 的夹角为，判断出正确． 【详解】解：∵直角三角板和重合在一起， ∴，， ：当时，°， 设与交点为，如图所示， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 即与的交点为的中点， 故正确； ：当时，， ∵， ∴以点、、构成的三角形是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴恰好经过， 故正确； 在旋转过程中，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故错误； ：如图，设直线与直线交于， ∵，， ∴， 同理可得， 又∵， ∴， ∴， ∴在旋转过程中，始终存在， 故正确； 故选：． 【点睛】此题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 【例2】（22-23八年级下·河南郑州·期末）如图，在中，，若是边上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点为点，连接，则在下列结论中：①，②；③，④，一定正确的是（　　）    A．①③ B．③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】根据旋转变换的性质，等边三角形的性质，平行线的性质判断即可． 【详解】解：①， ， 由旋转的性质可知，， ，故本选项结论错误，不符合题意； ②当为等边三角形时，，除此之外，与不平行，故本选项结论错误，不符合题意； ③由旋转的性质可知，，， ，， ， ，本选项结论正确，符合题意； ④只有当点为的中点时，，才有，故本选项结论错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是旋转变换，等腰三角形的性质，平行线的判定，掌握旋转变换的性质是解题的关键． 【例3】（2023·湖北十堰·中考真题）在某次数学探究活动中，小明将一张斜边为4的等腰直角三角形硬纸片剪切成如图所示的四块（其中D，E，F分别为，，的中点，G，H分别为，的中点），小明将这四块纸片重新组合拼成四边形（相互不重叠，不留空隙），则所能拼成的四边形中周长的最小值为 ，最大值为 ．    【答案】 8 【分析】根据题意，可固定四边形，平移或旋转其它图形，组合成四边形，求出周长，判断最小值，最大值． 【详解】    如图1，，， ∴四边形周长=；          如图2， ∴四边形周长为； 故答案为：最小值为8，最大值. 【点睛】本题考查图形变换及勾股定理，通过平移、旋转组成满足要求的四边形是解题的关键． 【例4】（22-23九年级上·江西南昌·期末）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形绕点O逆时针旋转45°后得到正方形，继续旋转至2019次得到正方形，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】由题意依次写出前几个，找到规律，根据规律求即可． 【详解】解：由题意可得：，，，，，，，，．．． 故周期为8， 故答案为： 【点睛】本题考查了旋转找规律，准确计算出每个点变化之后的坐标是解题关键． 【例5】（22-23九年级上·甘肃定西·期末）如图，点P是等边三角形内部一点，连接，现将绕点A顺时针旋转到的位置，求证： 是等边三角形．    【答案】是等边三角形，见解析 【分析】根据等边三角形的性质得，，由旋转得：，，根据得，即可得． 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴，， 由旋转得：，， ∵， ∴， ∴是等边三角形． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识点． 【变式训练1 判断生活中的旋转现象】 1．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）下列现象中不属于旋转的是（    ） A． B． C．    D． 【答案】D 【分析】本题考查了判断生活中的旋转现象，熟练掌握旋转的定义是解题的关键：旋转是围绕一点旋转一定角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这是判断旋转的关键． 根据旋转的定义逐项分析判断即可得出答案． 【详解】 解：A. 属于旋转现象，故选项不符合题意； B. 属于旋转现象，故选项不符合题意； C. 属于旋转现象，故选项不符合题意； D. 属于平移现象，不属于旋转现象，故选项符合题意； 故选：． 2．（24-25九年级上·广西防城港·期中）下列运动形式属于旋转的是（    ） A．荡秋千 B．射箭 C．立定跳远 D．晨跑运动 【答案】A 【分析】本题考查了旋转“把一个平面图形绕平面内某一点转动一个角度，叫做图形的旋转”，熟记旋转的定义是解题关键．根据旋转的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、荡秋千，是属于旋转，则此项符合题意； B、射箭，不属于旋转，则此项不符合题意； C、立定跳远，不属于旋转，则此项不符合题意； D、晨跑运动，不属于旋转，则此项不符合题意； 故选：A． 3．（22-23九年级上·宁夏吴忠·期中）运动“冰壶滑行到终点．直升机螺旋桨的转动．气球冉冉升起．钢架雪车加速前进”属于旋转的是 ． 【答案】直升机螺旋桨的转动 【分析】根据旋转和平移的定义可得答案． 【详解】解：冰壶滑行到终点属于旋转加平移；直升机螺旋桨的转动属于旋转；气球冉冉升起属于平移；钢架雪车加速前进属于平移， 故答案为：直升机螺旋桨的转动． 【点睛】本题考查了生活中常见的旋转和平移现象，熟知旋转和平移的定义是解题的关键． 4．（21-22六年级上·黑龙江大庆·期末）时针运动是 现象，拉抽屉是 现象． 【答案】 旋转 平移 【分析】根据旋转和平移的定义求解即可． 【详解】解：时针运动是旋转现象，拉抽屉是平移现象， 故答案为：旋转；平移． 【点睛】本题主要考查了平移现象和旋转现象，熟知二者的定义是解题的关键；在平面内，将一个图形绕一个点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转；在平面内，将一个图形上的所有点按照某个方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做平移． 5．（22-23七年级下·全国·单元测试）你能区分下列哪些是平移现象？哪些是旋转现象吗？ 【答案】(1)(2)(3)是平移现象，(4)(5)(6)是旋转现象． 【分析】将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，这样的图形运动叫作图形的平移运动；把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转；据此解答即可． 【详解】(1)(2)(3)是平移现象，(4)(5)(6)是旋转现象． 【点睛】本题是考查平移、旋转的意义．平移与旋转的相同点是图形的大小、形状不变，不同点是平移不改变图形的方向，旋转改变图形的方向． 【变式训练2 判断由一个图形旋转而成的图案】 1．（24-25九年级上·北京·阶段练习）将校徽按顺时针方向旋转后得到的图形是图中的（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转的性质可得答案． 【详解】解：将校徽按顺时针方向旋转后得到的图形是：    故选：D． 2．（23-24八年级下·全国·期中）如图，编号为①至④的四个四边形中，不能由四边形 经过平移或旋转得到的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形的平移和旋转，平移只改变位置，不改变大小，方向和形状，旋转只改变位置，方向，但是不改变大小和形状，据此求解即可． 【详解】解：∵平移只改变位置，不改变大小，方向和形状， ∴图①可以由四边形 经过平移得到， ∵旋转只改变位置，方向，但是不改变大小和形状， ∴图③和图④可以由四边形 经过旋转得到， 而图②不能由四边形 经过平移或旋转得到， 故选：B． 3．（21-22七年级下·湖南长沙·期末）关于如图的形成过程：（1）由一个三角形平移形成的；（2）由一个三角形绕中心依次旋转形成的；（3）由一个三角形作轴对称形成的；（4）由一个三角形先平移再旋转形成的，说法正确的有 ；（填序号） 【答案】（2），（3），（4） 【详解】解：由题意可知，原图形可以由一个三角形绕中心依次旋转形成；或由一个三角形作轴对称形成的；或由一个三角形先平移再旋转形成的． 故(2)、(3)、(4)正确， 故答案为：(2)、(3)、(4) ． 【点睛】本题考查平移、旋转等知识，解题的关键是掌握旋转变换、平移变换的性质． 4．（22-23九年级下·广东广州·阶段练习）将两边长分别是和的矩形以其一边所在的直线为轴旋转一周，所得的几何体的侧面积是 . 【答案】 【分析】根据长方形绕一边旋转一周，可得圆柱．分类讨论：将矩形以6cm的一边所在直线为轴旋转一周，那么圆柱的底面半径为4cm，高为6cm，那么圆柱的侧面积为底面圆周长乘以圆柱的高；若将矩形以4cm的一边所在直线为轴旋转一周，那么圆柱的底面半径为6cm，高为4cm，用同样方法即可求出圆柱体的侧面积． 【详解】解：这个长方形绕一边所在直线旋转一周后是圆柱． 当把矩形6cm的一边所在直线为轴旋转一周，那么圆柱的底面半径为4cm，高为6cm， ∴圆柱的侧面积为4×2π×6=48π（cm2）； 当把矩形4cm的一边所在直线为轴旋转一周，那么圆柱的底面半径为6cm，高为4cm， ∴圆柱的侧面积为6×2π×4=48π（cm2）. 故答案为48π. 【点睛】本题考查点、线、面、体，利用了圆的周长公式，圆柱的侧面积公式，分类讨论是解题关键． 5．（24-25九年级上·全国·假期作业）分析下列图形的形成过程． 【答案】见解析 【分析】本题考查了几何变换，分清图形变换的几个最基本概念是解题的关键．仔细观察图案，分析构成的基本图形，再分析图形变换的过程和方式．是通过平移、轴对称、旋转中的一种变换还是其中的几种变换的组合，另外要注意图形形成不是唯一的，即基本图形也不唯一，要全面思考，认真分析． 【详解】 解：仔细观察会发现这四个图形分别是由以下的基本图形构成的．第一个是由基本图形旋转十次后得到的，第二个是由基本图形平移两次后得到的，第三个是由基本图形旋转五次后得到的，第四个是可以由轴对称变换得到 【变式训练3 找旋转中心、旋转角、对应点】 1．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，点，，，，都在方格纸的格点上，若可以由旋转得到，则正确的旋转方式是（    ）    A．绕点逆时针旋转 B．绕点顺时针旋转 C．绕点逆时针旋转 D．绕点逆时针旋转 【答案】C 【分析】本题考查了旋转性质根据图形所反映的特点，利用旋转的性质逐个判断即可得出答案． 【详解】解：根据图形可知：， ∴图形是以为旋转中心，旋转后和重合，和重合，和重合， ∵可以由旋转得到， ∴正确的旋转方式是绕点逆时针旋转， 故选C． 2．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）下列运动不属于旋转的是（   ） A．大风车转动 B．火箭升空的运动 C．关上教室门 D．钟表的钟摆的摆动 【答案】B 【分析】本题考查旋转的定义，熟练掌握旋转的定义是解题的关键； 在平面内，把一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转． 【详解】解：根据旋转的定义可以知道火箭升空的运动不是旋转； 故选：B． 3．（24-25九年级上·甘肃定西·期中）如图，在的方格纸中，格点四边形甲经过旋转后得到格点四边形乙，则其旋转中心是点 ． 【答案】 【分析】此题考查了旋转的性质．连接两组对应顶点，作对应顶点所连线段的垂直平分线，交于点即可． 【详解】解：如图，连接两组对应顶点，作对应顶点所连线段的垂直平分线，交于点，    故答案为：． 4．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，将含有角的直角三角板绕着点顺时针旋转到处（点，，在一条直线上），则这次旋转的旋转角为 度． 【答案】 【分析】本题考查了找旋转角，深刻理解旋转角的定义是解题的关键. 根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，据此即可求解． 【详解】解：旋转角是： ， 故答案为：． 5．（24-25九年级上·辽宁抚顺·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，已知，，． (1)将绕原点旋转后得到，在图中画出，并写出，的坐标； (2)将绕点沿顺时针旋转一定角度后得到，请在图中画出点，并写出点的坐标是多少？ 【答案】(1)画图见解析，，； (2)画图见解析，． 【分析】（）根据中心对称的性质作图即可； （）画和垂直平分线，两线交点即为所求； 本题主要考查了作旋转图形，作中心对称图形，掌握作图的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：如图将绕原点旋转后， ∴即为所求，，； （2）解：如图，分别画和垂直平分线， ∴根据网格特点可知，点即为所求，． 【变式训练4 旋转的性质及辨析】 1．（23-24七年级上·上海·单元测试）平移和旋转前后的两个图形是（　　） A．形状不变，但大小不等 B．大小不变，但形状不同 C．形状不变，且大小相等 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了旋转变换与平移变换，根据旋转变换与平移变换都是只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小即可求解，掌握旋转变换与平移变换的性质是解题的关键． 【详解】解：∵平移和旋转都不改变图形的形状和大小， ∴平移和旋转前后的两个图形形状不变，且大小相等， 故选：． 2．（23-24八年级下·广东深圳·期末）在图形的平移和旋转变换中，下列说法正确的是（    ） A．对应点所连线段都平行 B．对应线段都平行 C．对应点所连线段都相等 D．对应线段都相等 【答案】D 【分析】本题考查平移的性质，旋转的性质，掌握平移和旋转的性质是解题关键．根据平移和旋转后的对应线段都相等解答即可． 【详解】解：平移的性质：对应点所连线段平行（在同一直线上）、对应点所连线段相等、对应线段平行（在同一直线上）、对应线段相等、对应角相等； 旋转的性质：对应线段相等、对应角相等、对应点到旋转中心的距离相等． 故选D． 3．（22-23九年级·江西·自主招生）若正六边形ABCDEF绕着中心O旋转角α得到的图形与原来的图形重合，则α的最小值为 ． 【答案】60° 【分析】根据旋转对称图形和旋转角的概念作答． 【详解】解：如图： 正六边形被平分成六部分，因而每部分被分成的圆心角是60°， 并且圆具有旋转不变性，因而旋转60度的整数倍，就可以与自身重合． 则α最小值为60°． 故答案为：60°. 【点睛】本题考查旋转对称图形的旋转角的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角． 4．（22-23八年级下·江苏徐州·阶段练习）如图，如果△ABC和△DEF关于点G成中心对称，那么△ABC绕点G旋转 °后能与△DEF重合． 【答案】180 【分析】根据中心对称的定义进行填空即可. 【详解】根据中心对称的定义可知：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么就说明这两个图形的形状关于这个点成中心对称，这个点叫做它的对称中心，据此因为△ABC和△DEF关于点G成中心对称，所以△ABC绕点G旋转180°后能与△DEF重合，故答案为180. 【点睛】本题考查的是中心对称的定义，熟知中心对称的定义是解题的关键. 5．（22-23八年级下·全国·课后作业）如图是一个三叶吊扇的图片，回答下列问题： （1）吊扇正常工作（运转）时，其叶片的转动可以看成是一个旋转运动，试找出它的旋转中心； （2）当第一个叶片转动到第二个叶片的位置时，它转过了多少度？转动到第三个叶片的位置时呢？ （3）在转动过程中，叶片的大小和形状发生变化了吗？ 【答案】（1）旋转中心为吊扇中间转盘的中心；（2）；（3）没有发生变化 【分析】分别利用旋转的性质可依次求解． 【详解】解：（1）旋转中心是三片叶片的交点； （2）第一个叶片转动到第二个叶片的位置时，它转过了120度，第一个叶片转动到第三个叶片的位置时，它转过了240度； （3）在转动过程中，叶片的大小和形状不发生变化． 【点睛】本题考查了旋转的性质，灵活运用旋转的性质是本题的关键． 【变式训练5 画旋转图形】 1．（21-22六年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）将左边图案绕点O按顺时针方向旋转，得到的图案是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了图形的旋转，根据旋转方式确定上部分和下部分阴影部分三角形的形状即可得到答案． 【详解】 解：将左边图案绕点O按顺时针方向旋转，得到的图案是， 故选；C． 2．（23-24九年级上·陕西安康·期中）下列图形不是旋转对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了旋转对称图形的概念．如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形，由此即可判断． 【详解】解：A、B、C均能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转一定的角度（小于）后能与原图形重合，所以都是旋转对称图形； 选项D不能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转一定的角度（小于）后能与原图形重合，所以不是旋转对称图形； 故选：D． 3．（22-23六年级下·黑龙江大庆·期末）有如图，从图形甲到图形乙，所进行的图形运动是先绕点 时针旋转，再向右移动 格．    【答案】 逆 10 【分析】根据旋转性质及平移性质即可得到答案． 【详解】解：观察甲乙两图可知，将甲图以为旋转中心，逆时针旋转，再向右平移个单位长度即可得到乙图， 故答案为：逆；． 【点睛】本题考查旋转及平移性质，熟记旋转性质及平移性质作图是解决问题的关键． 4．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）两块不同的三角板按如图1所示摆放，AC与边重合，，．接着如图2保持三角板ACD不动，将三角板绕着点C按逆时针旋转后停止．在此旋转过程中，当与三角板ACD的一条边恰好平行时， ．    【答案】或 【分析】分两种情况：①当时，②当时，分别求解即可． 【详解】解：由题意可知，， 在旋转过程中，若与三角板的一条边恰好平行， 则有两种情况： ①当时，如图，    此时， ∴旋转角； ②当时，如图，作，    此时，， ∴旋转角． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了三角板拼接、旋转问题，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 5．（24-25七年级上·全国·期中）请你作出如图所示的四边形绕点O顺时针旋转75度后的图形．（不用写作法，但要保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查的是旋转变换的作图方法，在旋转作图时，一定要明确三个要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度．根据旋转角、旋转方向、旋转中心找出旋转后的对应点，顺次连接即可． 【详解】解：所作图形如图所示： 【变式训练6 旋转对称图形的识别】 1．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）下列图片中，哪些是由图片（1）分别经过平移和旋转得到的（   ） A．（3）和（4） B．（2）和（3） C．（2）和（4） D．（4）和（3） 【答案】A 【分析】本题考查的是学生对旋转和平移的掌握程度，根据平移后的图形与原图形完全相同，旋转后的图形与原图形方向不同，形状大小相同判断即可． 【详解】解：图（3）是由图（1）平移得到的，图（4）是由图（1）旋转得到的． 故选A． 2．（24-25九年级上·全国·假期作业）给出下列图形：①线段；②正方形；③等腰三角形；④等边三角形；⑤梯形．其中属于旋转对称图形的有（    ） A．①②③④⑤ B．①②④⑤ C．②③⑤ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角． 根据旋转对称图形的定义逐个判定即可解答． 【详解】解：①线段；②正方形；③等腰三角形；④等边三角形；⑤梯形，其中属于旋转对称图的有①②④． 故选：D． 3．（22-23七年级上·上海杨浦·阶段练习）在线段.角.等腰三角形.正方形和圆中，旋转对称图形是 ； 【答案】线段，正方形和圆 【分析】利用旋转对称图形的定义解答即可． 【详解】解：是旋转对称图形的为线段，正方形和圆 故答案为：线段，正方形和圆. 【点睛】本题主要考查了旋转对称图形的概念，如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形． 4．（22-23七年级上·上海闵行·阶段练习）在等腰三角形、平行四边形、等腰梯形、五角星及圆中共有 个旋转对称图形. 【答案】3 【分析】根据旋转对称图形的定义：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．解答即可． 【详解】解：在等腰三角形、平行四边形、等腰梯形、五角星及圆中只有五角星、圆、平行四边形是旋转对称图形． 故答案为3． 【点睛】本题考查旋转对称图形的概念；注意掌握旋转对称图形的定义是关键． 5．（21-22八年级上·云南昆明·期中）在如图所示的方格图中，我们称每个小正方形的顶点为“格点”，以格点为顶点的三角形叫做“格点三角形”根据图形，解决下面的问题： (1)图中的格点是由格点通过哪些变换方法得到的？ (2)如果以直线，为坐标轴建立平面直角坐标系后，点的坐标为，请写出格点各顶点坐标． 【答案】(1)先向右平移5小格，使点C移到点C'，再以C'为中心，顺时针方向旋转90°； (2)D（0，-2），E（-4，-4），F（2，-3）， 【分析】（1）根据题意可得C应先平移到对应点C'的位置，AC由竖直方向转换为水平方向，是绕点C顺时针旋转90°形成的，即可求解； （2）根据题意，写出△DEF各顶点坐标，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：先向右平移5小格，使点C移到点C'，再以C'为中心，顺时针方向旋转90°得到△A'B'C'； （2）解：∵点的坐标为， ∴D（0，-2），E（-4，-4），F（2，-3）， 【点睛】本题主要考查了图形的平移和旋转，坐标与图形，熟练掌握图形的平移和旋转的性质是解题的关键． 【变式训练7 求旋转对称图形的旋转角度】 1．（2024·云南怒江·一模）风力发电机可以在风力作用下发电，如图，该叶片图案绕中心旋转后能与原来的图案重合，则旋转角至少为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转对称图形的定义．熟练掌握“把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角”是解题的关键． 根据旋转对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：由图可得，该图形被平分三部分，每部分的度数为， ∴旋转角至少为，该叶片图案绕中心旋转后能与原来的图案重合， 故选：C． 2．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图可以看成是由一个等腰直角三角形旋转若干次形成的，则每次旋转的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求旋转角，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 图是由一个等腰直角三角形旋转8次形成的，则每次旋转的度数． 【详解】解：由图可得：图是由一个等腰直角三角形旋转8次形成的， ∴每次旋转的度数 故选：C． 3．（24-25九年级上·天津河西·期中）把图中的等边三角形绕着它的两条中线的交点O旋转，要使旋转后的三角形能与自身重合，则旋转角的度数至少为 ． 【答案】/120度 【分析】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质．对应点与旋转中心所连线段的夹角叫做旋转角．根据旋转角及旋转对称图形的定义结合图形特点作答． 【详解】解：∵等边三角形的两条中线的交点O， ∴， ∴， ∴该图形绕中心至少旋转120度后能和原来的图案互相重合． 故选：C． 4．（24-25九年级上·贵州黔东南·期中）由一个等腰直角三角形旋转若干次形成的图形如图所示，则每次旋转的度数是 ． 【答案】/45度 【分析】本题主要查了图形的旋转．根据旋转的性质解答，即可． 【详解】解：∵一个周角是360度，等腰直角三角形的一个锐角是45度， ∴如图所示的图形是由一个等腰直角三角形每次旋转45度，且旋转8次形成的图形， ∴每次旋转的度数是45度． 故答案是∶ ． 5．（22-23七年级上·全国·期末）如图，在边长为6的正方形ABCD内部有两个大小相同的长方形AEFG、HMCN，HM与EF相交于点P，HN与GF相交于点Q，AG=CM=x，AE=CN=y． （1）用含有x、y的代数式表示长方形AEFG与长方形HMCN重叠部分的面积S四边形HPFQ，并求出x应满足的条件； （2）当AG=AE，EF=2PE时， ①AG的长为_______； ②四边形AEFG旋转后能与四边形HMCN重合，请指出该图形所在平面内能够作为旋转中心的所有点，并分别说明如何旋转的． 【答案】（1），；（2）①4；②见解析． 【分析】根据矩形和正方形的性质可x、y表示出PH、PF的长，利用长方形面积公式即可得 【详解】（1）∵AG=CM=x，AE=CN=y，四边形ABCD是正方形， ∴，， ∴， ∴重叠部分长方形的面积为：， ∵长方形AEFG与长方形HMCN有重叠部分，正方形ABCD边长为6， ∴3<AG<6，即． （2）①∵AG=AE=EF，EF=2PE， ∴PE=AG， ∵DG=PE，AD=6， ∴AD=AG+DG=AG+AG=6， 解得：AG=4， 故答案为：4 ②如图，连接HF、PQ，设相交的点为点O， ∵AG=AE，EF=2PE， ∴四边形AEFG、都是正方形，点既是的中点也是的中点，点既是的中点也是的中点， ∴该图形所在平面上可以作为旋转中心的点为点、点、点， 四边形绕着点逆时针方向（或顺时针方向）旋转度可与四边形重合； 四边形绕着点顺时针方向旋转度（或逆时针方向旋转度）可与四边形重合； 四边形绕着点逆时针方向旋转度（或顺时针方向旋转度）可与四边形重合． 【点睛】本题考查正方形的性质及旋转的性质，根据四边形AEFG、HMCN都是正方形，正确找出旋转中心是解题关键． 【变式训练8 坐标与旋转规律问题】 1．（24-25九年级上·河南许昌·期中）如图，在中，顶点，，，将与正方形组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第300次旋转结束时，点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形变化－旋转．先求出，再利用正方形的性质确定，由于，所以第30次旋转结束时，此时旋转前后的点D不变，据此求解即可． 【详解】解：，， ， 四边形ABCD为正方形， ， ， ∵每次旋转，∴每4次一个循环， ， 第300次旋转结束时，此时旋转前后的点D不变， 点D的坐标为． 故选：B． 2．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形绕点顺时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点O连续旋转2024次得到正方形，那么点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与图形变化—旋转及点的坐标规律变化，由题意可得每旋转八次点的对应点重复出现，结合即可得解，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴每旋转八次点的对应点重复出现， ∵， ∴点的坐标与点的坐标相同， ∵点与点重合，且点的坐标为， ∴点的坐标是， 故选：D． 3．（24-25八年级上·山东日照·期中）如图，在平面直角坐标系中，有一个正三角形，其中B，C的坐标分别为和．若在无滑动的情况下，将这个正三角形沿着x轴向右滚动，则在滚动的过程中，这个正三角形的顶点A，B，C中，会过点的是点 ． 【答案】A和B/和A 【分析】本题考查的是等边三角形的性质、旋转的性质及坐标与图形的性质，根据题意作出辅助圆，利用旋转的性质得出经过，…的等边三角形的顶点，利用数形结合解决问题．先作直线，以C为圆心以1为半径作圆，发现在第一次滚动过程中，点A、B经过点，同理可得，再根据每3个单位长度正好等于正三角形滚动一周即可得出结论． 【详解】解：由题意可知： 第一次滚动：点A、B经过点， 第二次滚动：点B、C经过点， 第三次滚动：点A、C经过点， 第四次滚动：点A、B经过点， … 发现，每三次一循环，所以， ∴这个正三角形的顶点A、B、C中，会过点的是点A、B， 故答案为：A和B． 4．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到的位置，点、分别落在点、处，点在轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，依次进行下去……，若点，．则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形的变化−旋转、勾股定理等知识，先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，B、、…，即可得每偶数之间的B相差6个单位长度，根据这个规律可以求得的坐标，解题的关键是从特殊到一般探究规律，发现规律，利用规律解决问题． 【详解】由图象可知点在第一象限， ∵，，， ∴， ∴，，，…， ∵， ∴， ∴， 故答案为． 5．（21-22九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，坐标分别为A（2，2），B（1，0），C（3，1）． (1)画出△ABC沿水平方向向左平移4个单位长度的，并直接写出、的坐标； (2)画出将△ABC绕原点O顺时针旋转所得的，并直接写出、的坐标； (3)可由绕点G旋转得到，则点G的坐标为 ． 【答案】(1)作图见解析，、； (2)作图见解析，、； (3)G(-2，-2)． 【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A， B， C的对应点A1， B1， Ci即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出A， B， C的对应点A2， B2， C2即可； （3）利用旋转变换的性质求解即可． 【详解】（1）解∶如图1，△A1BlC1即为所求作的三角形，由图可知、； （2）解：如图，△A2B2C2即为所求作的三角形，由图可知、； （3）解：设G(x0，y0)， ∵可由绕点G旋转得到，、，、， ∴， 化简得， 解得， ∴G(-2，-2)， 故答案为：G(-2，-2)． 【点睛】本题考查旋转变换， 平移变换，求解二元一次方程组等知识，掌握旋转变换，平移变换的性质是解题的关键． 【变式训练9 线段问题(旋转综合题)】 1．（2023八年级下·江苏·专题练习）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，使点在的延长线上，则的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】在中，利用勾股定理可得，再由旋转的性质可得，然后由即可获得答案． 【详解】解：在中，， ∵，， ∴， 由旋转可知，， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 2．（22-23九年级上·天津武清·期中）如图，P为正方形内一点，，将绕点C逆时针旋转得到，则的长是（        ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质，旋转后的三角形是等腰直角三角形，由勾股定理可求得 【详解】∵绕点C逆时针旋转得到，其旋转中心是点C，旋转角度是 ∴, ∴是等腰直角三角形 ∴ 故选项是B． 【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握正方形和旋转的性质，得出三角形是等腰直角三角形是解决问题的关键 3．（2023·浙江宁波·一模）如图，中，，中，，直线与交于，当绕点任意旋转的过程中，到直线距离的最大值是 ． 【答案】/ 【分析】数形结合，根据动点的运动情况判断点的运动轨迹，再根据角度以及勾股定理求解最大值． 【详解】解：如图旋转，连接 以为直径作，以为半径作 过点作的切线交于点 在和中 ∴点共圆，点共圆， 点在上运动 ，的半径为 ∴ 又∵， ∴当点运动到点时，到直线距离的最大， 过点作，过点作，， ∴四边形是矩形，   是圆心， 设 解得：（舍去） ∴ 故答案为：． 【点睛】本题主要考查圆动点的最值问题。熟练运用四点共圆性质以及勾股定理解直角三角形是解决本题的关键． 4．（21-22九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在中，，P是内一点，求的最小值为 ． 【答案】 【分析】将△APC绕点C顺时针旋转得△DFC，可得PC=PF，DF=AP，将转化为，此时当B、P、F、D四点共线时，的值最小，最小值为BD的长；根据勾股定理求解即可． 【详解】解：将△APC绕点C顺时针旋转得△DFC，连接PF、AD、DB，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E； ∴AP=DF，∠PCF=∠ACD=，PC=FC，AC=CD， ∴△PCF、△ACD是等边三角形， ∴PC=PF，AD=AC=1，∠DAC= ∴， ∴当B、P、F、D四点共线时，的值最小，最小值为BD的长； ∵，∠CAD=， ∴∠EAD=， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查费马点问题，解题的关键在于将△APC绕点C顺时针旋转得△DFC，将三条线段的长转化到一条直线上． 5．（2024·北京通州·一模）在平面直角坐标系中，已知点，A为坐标系中任意一点．现定义如下两种运动：P运动：将点A向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到点，再将点绕点O逆时针旋转，得到点； Q运动：将点A绕点O逆时针旋转，得到点，再将点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到点． (1)如图，已知点，，点A分别经过P运动与Q运动后，得到点，． ①若，请你在下图中画出点，的位置； ②若，求m的值． (2)已知，点A，B分别经过P运动与Q运动后，得到点，与点，，连接，．若线段与存在公共点，请直接写出此时线段长度的取值范围（用含有t的式子表示）． 【答案】(1)①见详解；② (2) 【分析】本题考查了旋转的性质，平移的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）①根据P运动和Q运动的运动方式求解即可; ②首先表示出点的坐标为，的坐标为，然后根据得到，进而求解即可； （2）由题意得：，设，经过P运动，则，则；Q运动后，，，则即可求解． 【详解】（1）①作图如图所示： 由P运动知，由旋转得，， 而， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 由Q运动同理可求，再向右平移1个单位，向上平移0个单位得到． ②∵， ∴点A经过P运动后得到的点的坐标为 点A经过Q运动后得到的点的坐标为 ∵ ∴， ∴． （2）由题意可得： 由旋转的不变性和平移的性质得：，， 设，经过P运动，则，则； Q运动后，，， 则， ∴当时，线段与存在公共点， ∴， ∴． 【变式训练10 面积问题(旋转综合题)】 1．（22-23八年级下·山东菏泽·期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，点D是斜边上任意一点，将点D绕点C逆时针旋转60°得到点E，则线段DE长度的最小值为（　　） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】由旋转的性质可证△CDE为等边三角形，当DE最短，CD最短，CD⊥AB时，CD最短，由直角三角形等面积法，即可求得． 【详解】解：由旋转的性质得，CD＝CE，∠DCE＝60°， ∴△CDE为等边三角形， ∴CD＝CE＝DE， 当DE最短，CD最短， 当CD⊥AB时，CD最短， 此时S△ABC＝AC•BC＝AB•CD， 即AC•BC＝AB•CD， 在Rt△ABC中，∠ACD＝90°，AB＝5，BC＝3， 由勾股定理得，AC＝4， ∴3×4＝5CD， ∴CD＝， ∴线段DE长度的最小值是， ∴故选：A． 【点睛】本题主要考查了旋转以及等边三角形，熟练等面积法是解决本题的关键． 2．（2022·江苏盐城·一模）O为线段AB上一动点，且AB=2，绕O点将AB旋转半周，则线段AB所扫过的面积的最小值为（     ） A．4π B．3π C．2π D．π 【答案】D 【分析】当O是AB中点时，线段AB所扫过的面积的最小，根据公式求解即可． 【详解】解：当O是AB中点时，线段AB所扫过的面积的最小， 最小面积=π•12=π， 故选D． 【点睛】本题考查扇形面积的计算、旋转变换的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 3．（2022·陕西宝鸡·一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是AC的中点，将CD绕着点C逆时针旋转，在旋转的过程中点D的对应点为点E，连接AE、BE，则△AEB面积的最小值是 ． 【答案】1 【分析】作于，如图，先利用勾股定理计算出，再利用面积法计算出，再根据旋转的性质得，然后利用点在线段上时，点到的距离最小，从而可计算出的面积的最小值． 【详解】解：作于，如图， ，，， ， ， ， 点是的中点，   ， 将绕着点逆时针旋转，在旋转过程中点的对应点为点， ，即点在以为圆心，2为半径的圆上， 点在线段上时，点到的距离最小， 的面积的最大值为． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了勾股定理． 4．（21-22九年级上·全国·单元测试）如图，直角△ABC的直角边AB的长为6cm，∠C=30°，将△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，则图中两三角形重叠部分的面积等于 cm2． 【答案】18 【分析】B′C′交AC于D，如图，利用互余得∠BAC=60°，再根据旋转的性质得AB′=AB=6，∠BAB′=15°，∠AB′C′=∠B=90°，则∠B′AD=45°，于是可判断△AB′D为等腰直角三角形，然后根据三角形的面积公式计算出S△AB′D即可． 【详解】解：B′C′交AC于D，如图， ∵∠B=90°，∠C=30°， ∴∠BAC=60°， ∵△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′， ∴AB′=AB=6，∠BAB′=15°，∠AB′C′=∠B=90°， ∴∠B′AD=60°﹣15°=45°， ∴△AB′D为等腰直角三角形， ∴B′D=AB′=6， ∴S△AB′D=×6×6=18（cm2）． 即图中两三角形重叠部分的面积等于18cm2． 故答案为18． 【点睛】本题主要考查了旋转以及等腰直角三角形的面积，熟练旋转的性质以及三角形面积的求法是解决本题的关键． 5．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，分别以正方形的边和为直径画两个半圆交于点，若正方形的边长为，求阴影部分的面积．    【答案】 【分析】连接交于点O，将①顺时针旋转恰与③重合，将②逆时针旋转恰与④重合，化零为整求解即可； 【详解】解：如图，连接交于点O， 将①顺时针旋转恰与③重合，将②逆时针旋转恰与④重合， ∴阴影部分的面积等于正方形面积的一半，即；    【点睛】本题主要考查图形的旋转，应用图形旋转的性质求面积是解题的关键． 【变式训练11 角度问题(旋转综合题)】 1．（22-23九年级上·福建福州·期中）如图，将绕点逆时针旋转一个角度得到，点的对应点恰好落在边上，且，，三点在同一条直线上，若，则旋转角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据绕点逆时针旋转一个角度得到，可得，在中，根据三角形内角和定理，可得，从而算出旋转角的度数． 【详解】∵绕点逆时针旋转得到，点的对应点是， ∴，， ∴，，， ∴， ∴． ∵，，三点在同一条直线上， ∴在中，， 即， ∴， 解得． ∴旋转角的度数是． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的旋转变换，熟练掌握三角形内角和定理和旋转的性质是解本题的关键． 2．（21-22九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图将绕点C逆时针旋转得到，点B恰好落在上，若，则旋转角为（　　） A．30° B．35° C．40° D．45° 【答案】C 【分析】先求出，根据旋转的性有，即可证明，即问题得解． 【详解】解：∵， ∴， 根据旋转的性有， ∵，， ∴， ∵， ∴， 即旋转角度为40°， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及三角形的外角的定义的知识，掌握旋转的性质是解答本题的关键． 3．（22-23九年级上·福建厦门·期中）如图，将绕点逆时针旋转110°，得到，若点落在线段的延长线上，则大小为 ． 【答案】/35度 【分析】根据旋转的性质可得出，再根据等腰三角形的性质可求出的度数，此题得解． 【详解】解：根据旋转的性质，可得：， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质，根据旋转的性质结合等腰三角形的性质求解是解题的关键． 4．（2022·江苏泰州·一模）如图，在△ABC中，∠CAB＝40°，将△ABC在平面内绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为 ． 【答案】100°/100度 【分析】根据平行线的性质和旋转的性质求出∠C′CA＝∠CAB＝40°，AC′＝AC，求出∠AC′C＝∠C′CA＝40°，根据三角形内角和求出∠C′AC即可． 【详解】解：∵CC′∥AB，∠CAB＝40°， ∴∠C′CA＝∠CAB＝40°， ∵将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置， ∴AC′＝AC， ∴∠AC′C＝∠C′CA＝40°， ∴∠C′AC＝180°−40°−40°＝100°， 即旋转角的度数是100°， 故答案为：100°． 【点睛】本题考查了旋转的性质和平行线的性质，能灵活运用旋转的性质进行推理是解此题的关键． 5．（22-23九年级上·北京东城·开学考试）如图，在中，，将边绕点C逆时针旋转得到线段．    （1）判断与的数量关系并证明； （2）将边绕点C顺时针旋转α得到线段，连接与边交于点M（不与点A，C重合）． ①用等式表示线段，之间的数量关系，并证明． ②若，，直接写出的长． 【答案】（1），证明见解析；（2）①，证明见解析；②的长为． 【分析】（1）由旋转可知，再由，由三角形内角和可得，即可证明； （2）①在上取点N使得，先证明，再证明，即可求解；②由①可知，，则，即可求出． 【详解】解：（1），理由如下： 由旋转可知， ， ， ， ； （2）①，理由如下：    在上取点N使得， ，， ， ， ，， 又， ， ， ， ； ②由①可知，，， ， ． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查图形旋转的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握图形旋转的性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键． 【变式训练12 其他问题(旋转综合题)】 1．（22-23八年级下·江苏南京·阶段练习）对于题目：“如图，平面上，正方形内有一长为、宽为的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转即平移或旋转的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数”甲、乙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长，再取最小整数． 甲：如图，思路是当为矩形对角线长时就可移转过去；结果取． 乙：如图，思路是当为矩形的长与宽之和的倍时就可移转过去：结果取． 下列正确的是（  ） A．甲的思路对，他的值错 B．乙的思路错，他的值对 C．甲和乙的思路都对 D．甲和乙的值都对 【答案】A 【分析】据矩形长为宽为，可得矩形的对角线长为，由矩形在该正方形的内部及边界通过平移或旋转的方式，自由地从横放变换到竖放，可得该正方形的边长不小于，进而可得正方形边长的最小整数的值． 【详解】解：矩形长为宽为， 矩形的对角线长为：， 矩形在该正方形的内部及边界通过平移或旋转的方式，自由地从横放变换到竖放， 该正方形的边长不小于， ， 该正方形边长的最小正数为． 故甲的思路正确，长方形对角线最长，只要对角线能通过就可以，； 乙的思路与计算都错误，图示情况不是最长； 故选：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，熟练运用矩形的性质是解题的关键． 2．（21-22九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，每次旋转都以图中的A、B、C、D、E、F中不同的点为旋转中心，旋转角度为k•90°（k为整数），现在要将左边的阴影四边形正好通过n次旋转得到右边的阴影四边形，则n的值可以是（    ） A．n＝1可以，n＝2，3不可 B．n＝2可以，n＝1，3不可 C．n＝1，2可以，n＝3不可 D．n＝1，2，3均可 【答案】D 【分析】利用旋转变换的性质一一判断即可． 【详解】解：将左边的阴影四边形绕点E顺时针旋转90°得到右边的阴影四边形，此时n＝1． 左边的阴影四边形绕点A逆时针旋转90°，再将得到的四边形绕点C顺时针旋转180°可得右边的阴影四边形，此时n＝2． 左边的阴影四边形绕点B顺时针旋转90°，再将得到的四边形绕点E顺时针旋转90°，将得到的四边形绕点C逆时针旋转90°可得右边的阴影四边形，此时n＝3． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了旋转变换，理解题意、灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． 3．（21-22八年级下·山东济南·期中）如图，把绕顶点C顺时针旋转得到，若直线DF垂直平分AB，垂足为点E，连接BF、CE，且．下面四个结论：①；②；③；④的面积为，其中正确的结论有 ． 【答案】①②④ 【分析】利用旋转的性质，易证BC=CF，则△BCF为等腰直角三角形，结合垂直平分线的性质，可证；；结合三角形的外角定理和等腰三角形两底角相等，可证；过点E作EG⊥BC与点G，证明EG是△ABC的中位线，． 【详解】①∵△绕顶点C顺时针旋转得到， ∴BC=CF，∠BCF=90°，则△BCF为等腰直角三角形， ∵， ∴BF= ∵直线DF垂直平分AB， ∴，故①正确； ②∵△绕顶点C顺时针旋转得到， ∴△ABC≌△DCF， ∴AB=DF， ∵直线DF垂直平分AB， ∴，故②正确； ③∵△BCF为等腰直角三角形， ∴∠BCF=45°， ∵AF=BF， ∴，故③错误； ④ 过点E作EG⊥BC与点G， ∵BC=CF=2，BF=AF= ∴AC=CD= ∵EG⊥BC，AC⊥BC， ∴， ∵点E为AB中点， ∴EG为△ABC中位线，则EG= ∴，故④正确； 综上：正确的有①②④， 故答案为：①②④ 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，旋转是一种全等的变化，旋转前后的图形是全等的，对应点与旋转中心的连线所成的夹角等于旋转角，熟练地掌握旋转的性质是解题的关键． 4．（21-22八年级上·四川眉山·期末）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，BD＝CD，∠BDC＝120°，以点D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长是 ． 【答案】12 【分析】将△BDM绕点D旋转120°，构造出全等三角形，将MN转为为BM+CN即可 【详解】 将△BDM绕点D旋转120°得到△； ∵△由△BDM旋转所得， ∴DM=，BD=DC，BM=∠=∠BDM； ∵∠BDC＝120°，∠MDN=60°， ∴∠BDM+∠CDN=120°-60°=60°， 故∠+∠CDN=60°，即∠=60°； 在△MDN和△中∶ DM=，∠=∠MDN，DN=DN ∴△MDN≌△； ∴MN=； △AMN的周长=AM+AN+MN =AM+AN+ =AM+AN+CN+ =(AM+)+(AN+CN) =AB+AC； ∵△ABC是边长为6， ∴△AMN的周长=6+6=12． 故答案为：12 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质和旋转的性质，根据旋转的性质构建全等三角形，将未知长度的边转化为已知长度的边是解题的关键． 5．（22-23八年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中中，四边形是长方形，点，点，点，以点A为中心，顺时针方向旋转长方形，得到长方形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为． (1)如图①，当时，求点D的坐标； (2)如图②，当点E落在的延长线上时，求点E的坐标； (3)当点D落在线段上时，直接写出点D的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点作轴于，由旋转的性质得出，，，由直角三角形的性质得出，，得出，即可得出点的坐标为； （2）根据勾股定理可得，从而得到，则，即可得出答案； （3过点D作轴于，可得，从而得到，设，则，根据勾股定理，可求，则，即可得出答案． 【详解】（1）过点作轴于，如图所示： 点，点． ，， 以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形， ，，， 在中，，， ， 点的坐标为； （2）由旋转可知 在中 在矩形中 ∴ 在中 则 ∴ （3），理由如下： 过点D作轴于，如图所示： 由旋转的性质得：，， ∵ ∴ 则 ∴ 设 则 在中 即 解得（不合题意，舍去） ∴ 则 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、旋转变换的性质、含角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出辅助线． 1．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，在下列三种图形变换中，本题图案不包括的变换是（    ） A．轴对称 B．平移 C．旋转 D．以上三项均不包括 【答案】B 【分析】考查图形的三种变换方式：轴对称、平移、旋转．轴对称的特点是一个图形沿着一条直线对折，直线两旁的图形能够完全重合；平移是将一个图形沿某一直线方向移动，得到的新图形与原图形的形状、大小和方向完全相同．旋转是指将一个图形绕着一点转动一个角度的变换．观察时要紧扣图形变换特点，认真判断即可． 【详解】解：A、本题图案包含轴对称变换．不符合题意； B、不存在平移变换，符合题意． C、将图形绕着中心点旋转的整数倍后均能与原图形重合，本题图案包含旋转变换．不符合题意； D、根据以上判断知本选项不符合题意． 故选：B． 2．（24-25九年级上·辽宁营口·期中）如图，将绕点P顺时针旋转得到，则点P的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查旋转中心的确定，两组对应点连成的线段的垂直平分线的交点就是旋转中心．分别找到两组对应点A与，C与，然后作线段的垂直平分线，它们的交点即为所求． 【详解】解：如图， 由图可知，点； 故选：B． 3．（23-24九年级下·山东青岛·阶段练习）如图，线段放在边长为个单位的小正方形网格中，点均落在格点上，先将线段绕点逆时针旋转得到线段，再将线段向下平移个单位得到线段，则坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转和平移，坐标与图形，根据题意，画出变换后的图形即可求解，掌握旋转和平移的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意作图如下： 由图可得，点坐标为， 故选：． 4．（24-25九年级上·浙江台州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B在第一象限内，，，将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转后，点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化旋转、点的坐标变化规律及等腰三角形的性质．根据所给图形，依次求出每次旋转后点对应点的坐标，发现规律即可解决问题． 【详解】解：因为， 所以每旋转六次，点的位置重复出现． 又因为余2， 所以第2024次旋转后点的位置与第2次旋转后点的位置相同． 过点作轴的垂线，垂线为， 因为， 所以， 因为点坐标为， 所以． 在中，， 所以， 所以． 同理可得， ， 所以， 所以点的坐标为． 显然点和点关于轴对称， 所以点的坐标为， 即第2024次旋转后，点的坐标为． 故选：C． 5．（22-23九年级上·贵州黔东南·期中）如图，点是等边三角形内一点，若，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将绕点逆时针旋转得，连接，根据旋转的性质得，，则为等边三角形，得到，根据勾股定理的逆定理可得到为直角三角形，且，即可得到的度数． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， 如下图，将绕点逆时针旋转得，连接，则， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 6．（24-25九年级上·安徽淮南·期中）如图，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段． （1）旋转中心是 ， （2）旋转角为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了旋转的性质；①当点的对应点为点时，②当点的对应点为点时，根据网格的特点得出旋转中心与旋转角，即可求解． 【详解】解：①当点的对应点为点时，连接、，分别作线段、的垂直平分线交于点，如图所示， 点的坐标为，点的坐标为， 点的坐标为； 根据网格可得 ②当点的对应点为点时，连接、，分别作线段、的垂直平分线交于点，如图所示， 点的坐标为，点的坐标为， 点的坐标为． 根据网格可得 综上所述：这个旋转中心的坐标为或，旋转角为 故答案为或；． 7．（23-24七年级下·河南洛阳·期末）如图，在正方形中，于点M，，且点M是的中点，那么正方形绕点M至少旋转 度与它本身重合． 【答案】90 【分析】本题主要考查了旋转对称图形、全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定与性质解题的关键． 根据题意得出对角线互相垂直，进而得出旋转的角度，据此可解决问题． 【详解】解：根据题意可得： ， 在和中 ， ， ， 同理可得，， ， 又∵， ∴至少旋转会与它本身重合． 故答案为：90． 8．（24-25九年级上·新疆省直辖县级单位·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，对连续作旋转变换，依次得到三角形（1），三角形（2），三角形（3），三角形（4），…，则三角形（2024）的直角顶点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标规律探索，勾股定理，旋转的性质．先利用勾股定理计算出，从而得到的周长为12，根据旋转变换可得的旋转变换为每3次一个循环，且直角顶点的横坐标每个循环增加12，由于，于是可判断三角形（2024）与三角形（2）的状态一样，据此计算即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∴在中，， 第（2）个三角形如图，作于点， ∵，，， ∴，解得， ∴， ∴第（2）个三角形直角顶点的坐标是 ∴的周长， 由图可知，第4个三角形与第1个三角形的所处形状相同，即每三次旋转为一个循环，且直角顶点的横坐标每个循环增加12， ∵， ∴三角形（2024）与三角形（2）的状态一样， ∴三角形（2024）的直角顶点的横坐标，纵坐标为， ∴三角形（2024）的直角顶点的坐标是． 故答案为：． 9．（24-25九年级上·广西南宁·期中）如图，在直角坐标系中，已知点，，对连续作旋转变换，依次得到，，，，，则的直角顶点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，点的坐标变化规律，勾股定理根据勾股定理列式求出的长，再根据第四个三角形与第一个三角形的位置相同可知每三个三角形为一个循环组依次循环，然后求出一个循环组旋转前进的长度，再用除以，则的直角顶点是第个循环组的最后一个三角形的直角顶点，求出即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为：， ∵， ∴的直角顶点是第个循环组的最后一个三角形的直角顶点， ∵， ∴的直角顶点的坐标为， 故答案为：． 10．（23-24九年级上·河南商丘·期中）如图，中，，，平分．过点作交于，将绕点逆时针旋转，得到，连接，，当时， ． 【答案】或 【分析】此题主要考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质和等腰梯形的性质等知识，把绕点A逆时针旋转与过点C与平行的直线相交于M、N，然后分两种情况，根据等腰梯形的性质和等腰三角形的性质分别求解即可．根据数形结合熟练掌握相关定理是解题关键． 【详解】解：在绕点A逆时针旋转过程中，点E经过的路径（圆弧）与过点C且与平行的直线相交于点M、N，如图， ①当点与点M重合时， ∵，， ∴， ∵平分， ∴ ∴ 则， 即 故 四边形是等腰梯形， 所以， 又∵， ∴； ②当点与点N重合时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上所述，当旋转角为或时，． 故答案为：或． 11．（22-23八年级下·山西运城·期中）四边形若满足两组对角互补，即，，则我们称该四边形为“对角互补四边形”    (1)【思路点拨】 如图1，四边形为对角互补四边形，，． 求证：平分． 小云同学是这么做的：延长至，使得，连，可证明，得到是等腰直角三角形，由此证明出平分． ①还可以知道、、三者数量关系为：_________； ②请你用旋转的知识描述如何旋转得到 _________； (2)【变式拓展】 如图2，四边形为对角互补四边形，且满足，，请你仿照小云的做法，证明： 平分； ②； (3)【能力提升】 如图3，四边形ABCD为对角互补四边形，且满足，，则、、三者数量关系为：_________． 【答案】(1)①；②绕点A逆时针旋转得到 (2)①见解析；②见解析； (3) 【分析】（1）①由题意可得，，，即可得； ②根据旋转的定义可得出答案； （2）①延长至，使，连接，证明，可确定是等边三角形，在求出，即可证明； ②由①直接可证明； （3）延长至，使，连接，证明，结合已知可求，过点作交于点，则有，，再由即可求解． 【详解】（1）解：①， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ②∵， ∴绕点A逆时针旋转得到． （2）解：①延长至，使，连接，如图2，    四边形为对角互补四边形， ， ， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 平分； ②，， ， ； （3）解：延长至，使，连接，如图3，    四边形为对角互补四边形， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 过点作交于点， 为的中点， ， 在中，， ， ， 【点睛】本题是四边形的综合题，熟练掌握三角形全等的判定及性质，等腰三角形的性质，勾股定理，恰当的构造辅助线是解题的关键． 12．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，在方格纸中，每个小方格的边长均为个单位长度，线段的两个端点和点都在小方格的格点上．请根据下列要求用无刻度直尺作图． (1)将线段平移，使平移后的线段经过点． ①请在图中画出一条符合要求的线段； ②写出线段平移至线段的方法； (2)第（1）问的线段也可由线段旋转得到，请作出其旋转中心． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平移作图，作旋转中心； （1）①根据平移的性质，使得点平移至，点平移至点，即可求解； ②将线段向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到线段； （2）连接交于点，即可求解． 【详解】（1）解：①如图所示，线段即为所求； ②将线段向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到线段，线段经过点． （2）解：如图所示，点即为所求． 13．（22-23九年级上·全国·课后作业）已知如图，正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC边上一点，CE=CF. （1）∠FDC=∠EBC，相等吗？ （2）△DCF能与△BCE重合吗？ （3）BE与DF垂直吗？ 【答案】（1）相等，（2）△DCF能与△BCE重合；（3）BE⊥DF 【分析】（1）相等，根据正方形的性质和已知条件证明△DCF≌△BCE即可； （2）能，根据（1）可得结论； （3）BE⊥DF．延长BE交DC于M，证明∠DME=90°即可． 【详解】解：（1）相等； ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC=CD，∠DCF=∠BCE=90°， 在△DCF和△BCE中， ， ∴△DCF≌△BCE， ∴∠FDC=∠EBC， 故答案为相等； （2）∵△DCF≌△BCE， ∴△DCF能与△BCE重合， 故答案为能； （3）垂直， 理由如下：延长BE交DC于M， ∵△DCF≌△BCE， ∴∠CDF=∠EBC， ∵∠EBC+∠BEC=90°， ∴∠CDF+∠DEM=90°， ∴∠DME=90°， ∴BE⊥DF， 故答案为垂直． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质以及垂直的判定，解本题的关键是△BCE≌△DCF的求证． 14．（23-24九年级下·全国·期中）如图，在方格纸中按要求画图． (1)画出线段绕点O顺时针旋转后得到的线段，连接； (2)画出与关于直线对称的图形，点A的对称点是C． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了旋转作图及作轴对称图形，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质结合题目叙述画出图形即可； （2）根据对称的性质作出点A的对称点C，连接，即可画出图形； 【详解】（1）解：所作线段，如图所示： （2）解：所作关于直线对称的图形如图所示： 15．（22-23八年级下·江苏南京·期中）如图，线段绕点顺时针旋转一定的角度得到线段． （1）请用直尺和圆规作出旋转中心（不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接、、、，根据旋转的性质用符号语言写出2条不同类型的正确结论． （3）如图，在中，，，点的坐标是，，将旋转到的位置，点在上，则旋转中心的坐标为______． 【答案】（1）见解析；（2）①，；②；（3） 【分析】（1）分别连接AA1，BB1，分别作其垂直平分线，交点即为旋转中心O； （2）根据图形写出2条不同类型的结论； （3）与的垂直平分线的交点即为旋转中心，连接，过作轴于F，求出BD和PD，知道求出，得到和点D，算出OF，最后用勾股定理即可求解． 【详解】（1）如图，点即为所求． （2）如图； ①， ② （3）解：如图，与的垂直平分线的交点即为旋转中心，连接，过作轴于， ∵点在上， ∴点到、的距离相等，都是， 即， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点的坐标是， ∴， 由勾股定理得，， ∴旋转中心的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了作图-旋转变换以及勾股定理的应用，解答本题的关键是找出旋转中心． 学科网（北京）股份有限公司 $$