第07讲 垂径定理及过不共线三点作圆（4大知识点+5大题型精讲+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（湘教版）

第07讲 垂径定理及过不共线三点作圆 课程标准 学习目标 1. 垂径定理 2. 过不共线三点作圆 1.理解圆是轴对称图形,由圆的折叠猜想垂径定理,并进行推理验证 2.掌握过不共线的三点作圆的方法;认识三角形的外接圆和外心的概念,并会进行运用。 知识点01 垂径定理 垂直于弦的 平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. 【即学即练1】 如图，是⊙的弦，过弧的中点作直径，交于点，交于点，若，，则四边形的周长为（    ） A． B． C．24 D．40 【即学即练2】 如图在中，是直径，P为上一点（点P不与A，B两点重合），弦过点P，．，则的长为 ． 【即学即练3】 如图，是的直径，是的弦，，垂足为M，E为上一点，且，连接交于点F，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 方法技巧：垂径定理源于圆的轴对积性,根据圆的轴对称性,垂径定理及其推论还可以理解为:一条直线若满足①过圆心②垂直于弦,③平分弦(不是直径),④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧中的两个条件,则可以推得另外的三个结论,简称“知二推三” 知识点02 垂径定理的应用 把实际问题转化为在圆中解决有关弦、半径的求值问题,常常需要作垂直于弦的直径作为辅助线，这样就把垂径定理和 定理结合起来，容易得到圆的半径r、圆心到弦的距离d和弦长a之间的关系:.已知其中两个,可求出第三个.、 【即学即练1】 如图是开州区竹溪镇一菜农蔬菜大棚的截面，形状为圆弧型，圆心为O，跨度（弧所对的弦）的长为8米，拱高（弧的中点到弦的距离）为2米．圆弧所在圆的半径为 米；在修建过程中，在距蔬菜大棚的一端（点B）1米处将竖立支撑杆，支撑杆的高度为 米． 知识点03 过不共线三点作圆 定理:不在同一直线上的 个点确定一个圆。 注意:(1)“不在同一直线上"这个条件不可忽略. (2)"确定"一词是指不仅能作出圆,而且只能作 圆,即"有且仅有”. (3)过平面上一点可作无数个圆. (4)过平面内A,B两点可以作无数个圆、这些圆的圆心都在线段 AB的垂直平分线上作图方法:以线段AB的垂直平分线任点为圆心,以这点到点A(或B)的距离为半径画圆. 【即学即练1】 若过平面直角坐标系中的三个点、、能确定一个圆，则 ． 知识点04 过不共线三点作圆 定义:经过三角形各 的圆叫作三角形的外接圆,这个三角形叫作这个圆的内接三角形。 外心:三角形的外接圆的圆心叫作这个三角形的外心,它是三角形三边 的交点. 【即学即练1】 直角三角形两条直角边分别为6和8，则直角三角形外接圆的半径为（   ） A．4.8 B．5 C．6 D．8 方法技巧：锐角三角形的外心在三角形内部;直角三角形的外心是斜边的中点;钝角三角形的外心在三角形外部. 题型01 利用垂径定理求值 【典例1】如图，是的直径，是的弦，且与交于点，过、分别作垂线，垂足记作和，设． (1)若， ①当时，求的长； ②求证：； (2)若，试是否为定值，若是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由． 【变式1】如图，的半径为3，弦的直角顶点B在弦上运动（可与点M，N重合），点A，C始终在上，且．关于嘉嘉和淇淇的说法判断正确的是（   ） 嘉嘉说：“当点B与点M，点N重合时，的度数是．” 淇淇说：“连接，当与弦平行时，点B到的距离为2．” A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确 C．嘉嘉正确，淇淇也正确 D．嘉嘉错误，淇淇也错误 【变式2】如图，是的直径，，弦是上的动点，取的中点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式3】．如图，已知平行四边形中，以O为圆心的经过两点，，半径于点D，． (1)求的半径； (2)E是上一点，连接交于点F，当时，求的长． 【变式4】如图，是的直径，弦于点，是上任意一点，连接，，． (1)找出图中与相等的角（不添加其它线），并说明理由； (2)若点是的中点，且＝，求的度数． 【变式5】如图，是的直径，点D为下方上一点，点C为的中点，连结，，．延长，相交于点E． (1)求证：． (2)若，，求的半径． 题型02 垂径定理的推论 【典例1】如图，已知的直径平分弦（不是直径），若，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，是的直径，的弦在直线的上方，且，以为直径向下作半圆（圆心为M）交于E、F两点，若则 ． 【变式2】追本溯源 题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）如图1，在中，，，求的度数． 方法应用 （2）如图2，在中，，E是上的点（不与点A，C重合），连接并延长至点G，连接并延长至点F．连接． ①求证：． ②若，的面积为27，求的半径． 题型03 垂径定理的实际应用 【典例1】小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（   ） A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块 、【变式1】唐代李皋发明了“奖轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长，轮子的吃水深度为，则该桨轮船的轮子半径为 ． 【变式2】往一个圆柱形管道内注入一些水以后，发现其横截面如图所示，若水面宽为，水的最大深度为，求圆柱形管道横截面的直径． 【变式3】如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端分米，为中点，为拱门最高点，圆心在线段上，分米，求拱门所在圆的半径． 题型04 判断确定圆的条件及求能确定的圆的个数 【典例1】给出下列说法：①如果两条弦相等，那么它们所对的圆周角也相等；②长度相等的弧是等弧；③平分弦的直径，平分这条弦所对的弧；④平面上不共线的三点能确定一个圆，其中正确的有（   ） A．①③ B．①④ C．③④ D．④ 【变式1】平面上有4个点，它们不在同一直线上，过其中3个点作圆，可以作出不重复的圆个，则的值不可能为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式2】过同一平面内A，B，C三个点作圆，可以作出的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．0个或1个 【变式3】给出下列说法： ①能够互相重合的两个圆叫作等圆； ②长度相等的弧是等弧； ③以2cm长的半径的圆有无数个； ④平面上任意三点能确定一个圆，其中正确的有（  ） A．②④ B．①③ C．①③④ D．①②③④ 题型05 画圆(尺规作图) 【典例1】请作答： (1)用直尺和圆规作出 的外接圆 ；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若 ，，求 ⊙ 的半径长． 【变式1】如图所示，破残的圆形轮片上，弦的垂直平分线交弧于点C，交弦于点D． (1)求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）； (2)已知：，．求（1）中所作圆的半径． 【变式2】尺规作图 已知线段和，将线段沿某条直线翻折后，A、B两点恰好落在上，请按照下列要求分别作出翻折后的线段．（①保留作图痕迹；②写出必要的文字说明）． (1)如图1，的长度等于的直径； (2)如图2，的长度小于的直径． 一、单选题 1．如图，是的弦，是的中点，连接并延长交于点．若，，则的直径是（   ） A． B． C．5 D． 2．在中，直径弦，连接，且，则为（   ） A． B． C． D． 3．如图，是的直径，弦交于E点，，，，则的长为（   ） A．4 B． C．6 D． 4．如图，是的直径，弦，垂足为E，如果，，那么线段的长为（　　） A．10 B．8 C．6 D．4 5．如图，在中，是弦，于点E，点D在上，，，则的半径为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 6．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点，，，，，，在小正方形的顶点上，则的外心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 7．在中，，为所在平面内一点，且点与的任意两个顶点构成的，，均为等腰三角形．满足上述条件的点有（  ）． A．个 B．个 C．个 D．个 8．下列四个结论，不正确的是（   ） ①过三点可以作一个圆；②圆内接四边形对角相等；③平分弦的直径垂直于弦；④相等的圆周角所对的弧也相等． A．②③ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 9．如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形网格的顶点上，则的外心是（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 10．如图，是的内接三角形，把沿着折叠交弦于点，且点为的中点，若，则下列结论错误的是（   ） A． B．点为的中点 C． D． 11．如图，在平面直角坐标系中，的半径为1，，为外任意两点，且．给出如下定义：平移线段，得到的弦（，分别为点，的对应点），线段长度的最小值称为线段到的“平移距离”．下面说法正确的是（   ） ①平移线段得到的长度为1的弦和，则；②平移线段得到的长度为1的弦和，平移后弦和间的距离为；③若点，都在直线上，则线段到的“平移距离”的最小值为；④若点的坐标为，则线段到的“平移距离”的最小值为． A．①② B．①③ C．①③④ D．②③ 二、填空题 12．如图，是直径，点在上，垂足为，点是上动点（不与重合），点为的中点，若，，则的最大值为 ． 13．如图，是的直径，弦于点E，若，，则长为 ． 14．如图，的直径垂直于弦，，则 ． 15．在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是 ． 16．如图，，在边，上分别有两个动点C、D．连接，以为直角边作等腰直角三角形，当的长度保持不变且等于时，则的最大值是 ．    17．将边长为2的小正方形ABCD 和边长为4的大正方形 EFGH如图摆放，使得C、E两点刚好重合，且B、C、H三点共线，此时经过A、F、G三点作一个圆，则该圆的半径为 ． 18．石拱桥的主桥拱是圆弧形．如图，一石拱桥的跨度，拱高，那么桥拱所在圆的半径 m． 19．如图，已知是的内接三角形，的半径是，将劣孤沿折叠后刚好经过弦上的点．若，，则弦的长为 ． 三、解答题 20．如图，在中，弦直径，点E在上，且，连接，，，使． (1)求证：． (2)设交于点F，求证：． 21．如图，交于点C，D，是半径，且于点F．求证：． 22．如图，是的直径，是弦，，垂足为点E，连接，，，求的面积． 23．图1是水帘洞的截面示意图（截面为圆的一部分）．科考队测量出水帘洞的洞宽约是，洞高约是，，，三点共线． (1)__________； (2)求半径的长； (3)若，点在上． 求的度数．如图2，若生存在山洞的某生物的视角是一定的，此生物（点）在处时恰好能看到和，用数学知识解释为什么此生物（点）在洞顶活动时总能看清洞口的情况． 24．（1）初步发现：如图1，是的弦，P，Q分别是弦上两点，D是内一点，，于点E，求证：； （2）思考探究：如图2，等边内接于，其中边和分别交弦于点P和点Q，D是边上一点，，连接和，于点E，请问第（1）小题中的结论仍然成立吗？请说明理由． 25．如图，在坐标系中，、、． (1)经过、、三点的圆弧所在圆的圆心的坐标为________； (2)这个圆的半径为：_______； (3)直接判断点与的位置关系．点在________．（填“内”、“外”、“上”） 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 垂径定理及过不共线三点作圆 课程标准 学习目标 1. 垂径定理 2. 过不共线三点作圆 1.理解圆是轴对称图形,由圆的折叠猜想垂径定理,并进行推理验证 2.掌握过不共线的三点作圆的方法;认识三角形的外接圆和外心的概念,并会进行运用。 知识点01 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. 【即学即练1】 如图，是⊙的弦，过弧的中点作直径，交于点，交于点，若，，则四边形的周长为（    ） A． B． C．24 D．40 【答案】B 【分析】本题主要考查垂径定理及勾股定理．连接，利用垂径定理及勾股定理求得，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵是的直径，，， ∴，， ∴， ∵，是的直径， ∴， ∴，， ∴四边形的周长为； 故选：B． 【即学即练2】 如图在中，是直径，P为上一点（点P不与A，B两点重合），弦过点P，．，则的长为 ． 【答案】 【分析】作于，得到，由，得到圆的半径长，由是等腰直角三角形，得到的长，由勾股定理求出的长，即可得到的长．本题考查垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识点，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：作于， ， ， ， ， ， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 【即学即练3】 如图，是的直径，是的弦，，垂足为M，E为上一点，且，连接交于点F，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由垂径定理可得，由此可得，根据同弧或等弧对的圆周角相等可得； （2）连接，由（1）结论和等腰三角形的判定可得，然后利用勾股定理求解，则，设，在中，利用勾股定理列方程求得x值即可求解． 【详解】（1）证明：是的直径，， ， 又， ， ， ； （2）解：连接， 由（1）可知， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ， 解得：， ． 【点睛】本题主要考查了圆的相关性质，垂径定理，等腰三角形的判定、同弧或等弧对的圆周角相等以及勾股定理，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键． 方法技巧：垂径定理源于圆的轴对积性,根据圆的轴对称性,垂径定理及其推论还可以理解为:一条直线若满足①过圆心②垂直于弦,③平分弦(不是直径),④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧中的两个条件,则可以推得另外的三个结论,简称“知二推三” 知识点02 垂径定理的应用 把实际问题转化为在圆中解决有关弦、半径的求值问题,常常需要作垂直于弦的直径作为辅助线，这样就把垂径定理和勾股定理结合起来，容易得到圆的半径r、圆心到弦的距离d和弦长a之间的关系:.已知其中两个,可求出第三个.、 【即学即练1】 如图是开州区竹溪镇一菜农蔬菜大棚的截面，形状为圆弧型，圆心为O，跨度（弧所对的弦）的长为8米，拱高（弧的中点到弦的距离）为2米．圆弧所在圆的半径为 米；在修建过程中，在距蔬菜大棚的一端（点B）1米处将竖立支撑杆，支撑杆的高度为 米． 【答案】 5 1 【分析】此题考查了矩形判定和性质、勾股定理、垂径定理的应用，关键是矩形判定定理的应用． 根据垂径定理的推论得到圆心在的延长线上，设的半径为米，则米．由垂径定理得到米．由勾股定理得，得到方程，解方程即可求出该圆弧所在圆的半径；过点作于点，连，先求出，证明四边形为矩形，则．，求出．根据四边形为矩形即可得到答案． 【详解】解：垂直，点C是弧中点， 圆心在的延长线上． 设的半径为米，则米． ， （米． ， 即， 解得． 过点作于点，连接． 米， （米． ， 四边形为矩形， ，， （米． 米， 米． 米． 故答案为：5；1． 知识点03 过不共线三点作圆 定理:不在同一直线上的三个点确定一个圆。 注意:(1)“不在同一直线上"这个条件不可忽略. (2)"确定"一词是指不仅能作出圆,而且只能作一个圆,即"有且仅有”. (3)过平面上一点可作无数个圆. (4)过平面内A,B两点可以作无数个圆、这些圆的圆心都在线段 AB的垂直平分线上作图方法:以线段AB的垂直平分线任点为圆心,以这点到点A(或B)的距离为半径画圆. 【即学即练1】 若过平面直角坐标系中的三个点、、能确定一个圆，则 ． 【答案】4或 【分析】本题考查了不共线三点确定一个圆，求一次函数解析式，解一元二次方程等知识；根据题意求出直线的解析式，把点C的坐标代入函数解析式中，求得m的值，则当m不取这些值时，三点不共线，能确定一个圆． 【详解】解：直线的解析式为， 则有， 解得：， ∴直线的解析式为， 把点C的坐标代入得：， 即， 解得：， ∴当或时，A、B、C三点能确定一个圆； 故答案为：4或． 知识点04 过不共线三点作圆 定义:经过三角形各顶点的圆叫作三角形的外接圆,这个三角形叫作这个圆的内接三角形。 外心:三角形的外接圆的圆心叫作这个三角形的外心,它是三角形三边垂直平分线的交点. 【即学即练1】 直角三角形两条直角边分别为6和8，则直角三角形外接圆的半径为（   ） A．4.8 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外接圆、勾股定理，先由勾股定理求出斜边长，即可得出答案． 【详解】解：∵直角三角形两条直角边分别为6和8， ∴斜边为， ∴直角三角形外接圆的半径为， 故选：B． 方法技巧：锐角三角形的外心在三角形内部;直角三角形的外心是斜边的中点;钝角三角形的外心在三角形外部. 题型01 利用垂径定理求值 【典例1】如图，是的直径，是的弦，且与交于点，过、分别作垂线，垂足记作和，设． (1)若， ①当时，求的长； ②求证：； (2)若，试是否为定值，若是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由． 【答案】(1)①，②证明见解析； (2)为定值，定值为 【分析】（1）①如图：当时，再利用垂径定理与勾股定理计算即可；②如图：如图：过O作，连接，连接，，，根据圆周角定理、垂径定理可得，然后根据正弦的定义计算判断即可； （2）先求出，设，则，再通过证明相似三角形得到，，然后作差判断即可． 【详解】（1）解：①如图，当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图：过O作，连接，连接，，， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：； 同理可得：， ∴， ∴为定值，定值为． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、锐角三角函数的应用等知识点，综合应用所学知识成为解题的关键． 【变式1】如图，的半径为3，弦的直角顶点B在弦上运动（可与点M，N重合），点A，C始终在上，且．关于嘉嘉和淇淇的说法判断正确的是（   ） 嘉嘉说：“当点B与点M，点N重合时，的度数是．” 淇淇说：“连接，当与弦平行时，点B到的距离为2．” A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确 C．嘉嘉正确，淇淇也正确 D．嘉嘉错误，淇淇也错误 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，等边三角形的性质与判定，圆的基本性质，，当点B与点M重合时，连接，可证明是等边三角形，据此求出的度数，进一步可求出的度数；过点O作于D，连接，利用垂径定理和勾股定理求出的长即可求出当与弦平行时，点B到的距离，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，当点B与点M重合时，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴； 同理可得当点B与点N重合时，，故嘉嘉的说法正确； 如图所示，过点O作于D，连接， ∴， ∴， ∵， ∴点B到的距离为，故淇淇说法错误， 故选：A． 【变式2】如图，是的直径，，弦是上的动点，取的中点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等边三角形的性质和判定、勾股定理、垂径定理等知识，解题的关键是正确寻找点D的运动轨迹，学会构造辅助圆解决问题． 如图，连接，首先证明点的运动轨迹为以为直径的，连接，当点在的延长线上时，的值最大，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∴点的运动轨迹为以为直径的，连接， ∵， ∴当点在的延长线上时，的值最大， ∵是的直径，，弦， ∴， ∴是等边三角形， ， 取的中点，连接， 则，， 在中，， ， ， ∴的最大值为， 故选：A． 【变式3】．如图，已知平行四边形中，以O为圆心的经过两点，，半径于点D，． (1)求的半径； (2)E是上一点，连接交于点F，当时，求的长． 【答案】(1)； (2)； 【分析】本题考查垂径定理，平行四边形的性质，勾股定理： （1）根据垂径定理得到的长度，在中利用勾股定理求解即可得到答案； （2）过作，连接，根据垂径定理得到，求出，根据平行四边形的性质求出，结合勾股定理求解即可得到答案； 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 设圆的半径为r， ∵， ∴由勾股定理得：， 解得：， ∴的半径为； （2）解：过作，连接， ∵，， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴． 【变式4】如图，是的直径，弦于点，是上任意一点，连接，，． (1)找出图中与相等的角（不添加其它线），并说明理由； (2)若点是的中点，且＝，求的度数． 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，弧与圆心角的关系； （1）根据垂径定理得出，即可求解； （2）连接，得出，根据垂径定理可得，进而得出，则，进而解（1）的结论，圆周角定理，即可求解． 【详解】（1）解：和相等的角是． 证明如下： ∵是的直径且， ∴， ∴． （2）解：连接， ∵， ∴， ∵是的直径且， ∴，则， ∵ 点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式5】如图，是的直径，点D为下方上一点，点C为的中点，连结，，．延长，相交于点E． (1)求证：． (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理． （1）延长交于F，连接，根据直径所对的圆周角为直角得，则，再根据垂径定理得：，由此可得出结论； （2）设的半径为R，则，，证明是的中位线，则，，进而得，，在和中利用勾股定理构造方程，由此解出R即可． 【详解】（1）证明：延长交于F，连接，如图所示： ∵为的直径， ∴， 即， ∵点C为的中点， ∴根据垂径定理得：， ∴； （2）解：设的半径为R，则，， ∵点C为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴的半径为5． 题型02 垂径定理的推论 【典例1】如图，已知的直径平分弦（不是直径），若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了垂径定理的逆定理，圆周角定理，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据垂径定理的逆定理得到，然后根据圆周角定理求解即可． 【详解】∵的直径平分弦（不是直径）， ∴ ∴． 故选：B． 【变式1】如图，是的直径，的弦在直线的上方，且，以为直径向下作半圆（圆心为M）交于E、F两点，若则 ． 【答案】10 【分析】本题考查了垂径定理及其推论，勾股定理等知识，应用好垂径定理及其推论是解题的关键； 设，则得，，；连接，过点M作于N；由垂径定理得，从而；由M是的中点，则得，在中，由勾股定理求得，在中由勾股定理得，在中，由勾股定理得：，由此建立方程求得k的值，即可求得结论． 【详解】解：∵， ∴设，则， ∴，； 如图，连接，过点M作于N； ∴，； ∵为的一条弦，且， ∴， ∴； 由题意知，M是的中点，且为的直径， ∴， 由垂径定理推论知：； 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴． 故答案为：10． 【变式2】追本溯源 题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）如图1，在中，，，求的度数． 方法应用 （2）如图2，在中，，E是上的点（不与点A，C重合），连接并延长至点G，连接并延长至点F．连接． ①求证：． ②若，的面积为27，求的半径． 【答案】（1）；（2）①证明见解析，②半径为5 【分析】（1）根据圆周角定理和三角形的内角和定理即可求解； （2）①由四边形为圆内接四边形，得到，进而可得，再根据同弧(或等弧)所对圆周角相等得出，由对顶角相等可得，进而证明结论； ②过点作于点，连接，根据垂径定理可知点O在上，，由求出，设，则．根据在中， ，列方程即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）①证明：点均在上， 四边形为圆内接四边形， ． 又． ∴， ， ， 又， ； ②解：如图，过点作于点． ， 点在上， ． ，即， ，解得． 设，则． 在中，由勾股定理得， 即，解得， 的半径为5． 【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理的推论，垂径定理的推论，勾股定理，三角形的内角和定理等知识．正确作出辅助线并利用数形结合的思想是解题关键． 题型03 垂径定理的实际应用 【典例1】小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（   ） A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块 【答案】B 【分析】本题考查了圆的相关概念，根据圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心即可得解． 【详解】解：第②块出现一段完整的弧，可在这段弧上任作两条弦，分别作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心，从而可得到半径的长，可以配到与原来大小一样的圆形玻璃 故选：B． 【变式1】唐代李皋发明了“奖轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长，轮子的吃水深度为，则该桨轮船的轮子半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理．设半径为，再根据圆的性质及勾股定理，可求出答案． 【详解】解：设半径为，则， ， ， ， 在中，有 ，即， 解得， 则该桨轮船的轮子半径为， 故答案为：． 【变式2】往一个圆柱形管道内注入一些水以后，发现其横截面如图所示，若水面宽为，水的最大深度为，求圆柱形管道横截面的直径． 【答案】圆柱形管道横截面的直径为 【分析】本题考查了垂径定理的应用及勾股定理．由题意可得，，根据垂径定理求得，设圆的半径为，则，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：由题意可得，， ∴， ∵， ∴， 设圆的半径为，则，， 在中， ∴， 解得：， ∴圆柱形管道横截面的直径为． 【变式3】如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端分米，为中点，为拱门最高点，圆心在线段上，分米，求拱门所在圆的半径． 【答案】分米 【分析】本题主要考查了垂径定理的实际应用，勾股定理，连接，根据垂径定理求得分米，设圆的半径为分米，则分米，米，根据勾股定理即可求得，进而可得答案． 【详解】解：连接， ∵过圆心，为的中点， ∴， ∵分米，C为的中点， ∴分米， 设圆的半径为x分米，则分米， ∵分米， ∴分米， 在中，由勾股定理， ∴， ∴， 即拱门所在圆的半径是15分米． 题型04 判断确定圆的条件及求能确定的圆的个数 【典例1】给出下列说法：①如果两条弦相等，那么它们所对的圆周角也相等；②长度相等的弧是等弧；③平分弦的直径，平分这条弦所对的弧；④平面上不共线的三点能确定一个圆，其中正确的有（   ） A．①③ B．①④ C．③④ D．④ 【答案】D 【分析】本题考查了圆的有关性质，垂径定理，确定圆的条件，根据圆心角、弧、弦的关系对①进行判断；根据等弧的定义对②进行判断；根据垂径定理的推论对③进行判断；根据确定圆的条件对④进行判断即可． 【详解】解：①在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆周角也相等，故不符合题意； ②在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，故不符合题意； ③平分弦（非直径）的直径，也平分这条弦所对的两条弧，故不符合题意； ④平面上不共线的三点能确定一个圆，正确，符合题意； 故正确的结论是④， 故选：D 【变式1】平面上有4个点，它们不在同一直线上，过其中3个点作圆，可以作出不重复的圆个，则的值不可能为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了确定圆的条件，分为三种情况：①当四点都在同一个圆上时，②当三点在一直线上时，③当A、B、C、D四点不共圆，且其中的任何三点都不共线时，根据不在同一直线上的三点可以画一个圆，画出图形，即可得出答案． 【详解】解：分为三种情况：①当四点都在同一个圆上时，如图1，此时， ②当三点在一直线上时，如图2， 分别过或或作圆，共3个圆，即， ③当四点不共圆，且其中的任何三点都不共线时， 分别过或或或作圆，共4个圆，即此时， 即不能是2， 故选：C． 【变式2】过同一平面内A，B，C三个点作圆，可以作出的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．0个或1个 【答案】D 【分析】本题考查确定圆的条件，分三点共线和不共线求解即可． 【详解】解：若平面内A，B，C三个点共线，则过三点不能作出一个圆， 若平面内A，B，C三个点不共线，则过这三点能作出1个圆， 故过同一平面内A，B，C三个点作圆，可以作出的个数为0个或1个． 故选：D． 【变式3】给出下列说法： ①能够互相重合的两个圆叫作等圆； ②长度相等的弧是等弧； ③以2cm长的半径的圆有无数个； ④平面上任意三点能确定一个圆，其中正确的有（  ） A．②④ B．①③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了圆的相关性质，解题关键是熟练掌握等圆、等弧等知识点，逐个判断即可． 【详解】解：①能够互相重合的两个圆叫作等圆，说法正确； ②能够互相重合的弧是等弧，原说法错误； ③以2cm长的半径的圆有无数个，说法正确； ④平面上不在同一直线上的三点能确定一个圆，原说法错误； 故选：B． 题型05 画圆(尺规作图) 【典例1】请作答： (1)用直尺和圆规作出 的外接圆 ；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若 ，，求 ⊙ 的半径长． 【答案】(1)图形见详解 (2) 【分析】本题考查了三角形外接圆的作图原理、圆周角定理，明确三角形外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点是解决第一问的关键．能够综合运用圆周角定理及三角函数求解半径是解决第二问的关键． （1）分别作线段，的垂直平分线交于点，以点为圆心，为半径作⊙，⊙即为所求． （2）根据圆周角定理由的度数得到，再根据等腰三角形‘三线合一’得到与的值，最后利用三角函数求得⊙的半径长即可． 【详解】（1）如图，⊙即为所求． （2）设的垂直平分线交于点，连接，． ． ． ，是的垂直平分线． ，． ． 即⊙ 的半径长为． 【变式1】如图所示，破残的圆形轮片上，弦的垂直平分线交弧于点C，交弦于点D． (1)求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）； (2)已知：，．求（1）中所作圆的半径． 【答案】(1)见解析 (2)此残片所在圆的半径为10． 【分析】本题考查圆的垂径定理，勾股定理，熟练掌握通过垂径定理找圆心，通过勾股定理构造方程求边长是解题的关键． （1）由于是弦的垂直平分线，则圆心在直线上，因此连接，圆心在的垂直平分线上，故作的垂直平分线，交于点O，则点O就是所求的圆心； （2）连接，设半径为x，即，则，根据是的垂直平分线，得到，，因此在中，根据勾股定理构造方程，即可求出x的值，即为此残片所在圆的半径． 【详解】（1）解：如图，点O为所求的圆心． （2）解：连接，    设半径为x，即， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ， ∴在中，， 即， 解得：， ∴此残片所在圆的半径为10． 【变式2】尺规作图 已知线段和，将线段沿某条直线翻折后，A、B两点恰好落在上，请按照下列要求分别作出翻折后的线段．（①保留作图痕迹；②写出必要的文字说明）． (1)如图1，的长度等于的直径； (2)如图2，的长度小于的直径． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查了作圆以及线段垂直平分线的相关作图题． （1）作线段的垂直平分线，取线段的中点，以为圆心，为半径作，连接作的垂直平分线l，作点B关于直线l的对称点；连接并延长交于点，线段即为所求． （2）位于两侧，有两种情况，作线段的垂直平分线m，在直线m上取点，使得等于的半径长，作的等圆；连接，作的垂直平分线l，作点B关于直线l的对称点，A关于直线l的对称点；连接，线段即为所求． 【详解】（1）解：作法如下∶ ①作线段的垂直平分线，取线段的中点； ②以为圆心，为半径作，连接； ③作的垂直平分线l，作点B关于直线的对称点； ④连接并延长交于点，线段即为所求． （2）解：作法如下∶ 注∶ 位于两侧，有两种情况，作法相同∶ ①作线段的垂直平分线m，在直线m上取点，使得等于的半径长，作的等圆； ②连接，作的垂直平分线l，作点B关于直线l的对称点，A关于直线l的对称点； ③连接，线段即为所求． 当位于的右侧时：如下图线段即为所求： 当位于的左侧时：如下图线段即为所求： 一、单选题 1．如图，是的弦，是的中点，连接并延长交于点．若，，则的直径是（   ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是垂径定理及勾股定理，根据垂径定理判断出是的垂直平分线是解答此题的关键．根据垂径定理求出的长，由勾股定理可得出的长． 【详解】 是的中点，， ， 设的半径为， ， ， ， 即， 解得， 的直径是， 故选：D． 2．在中，直径弦，连接，且，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理和圆周角定理，解题关键是根据垂径定理得出两条弧相等，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求解． 【详解】解：连接，在中，直径 ， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 3．如图，是的直径，弦交于E点，，，，则的长为（   ） A．4 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，垂径定理，掌握以上定理是解题的关键． 过点O作，连接，根据已知条件求得，，根据含30度角的直角三角形的性质即可求得，根据勾股定理即可求得，根据垂径定理即可得出答案． 【详解】解：过点O作，连接， ， ∵是的直径，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 在中 ， ∵， ∴， 故选B． 4．如图，是的直径，弦，垂足为E，如果，，那么线段的长为（　　） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，连接，求出，在中利用勾股定理求出，再由垂径定理求出即可． 【详解】解：如图，连接． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 5．如图，在中，是弦，于点E，点D在上，，，则的半径为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查垂径定理，圆周角定理以及勾股定理等知识，连接，由圆周角定理得，得，由垂径定理得，设的半径为R，根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：连接，如图， ∵， ∴ ∵, ∴ ∴， ∵， ∴， 设则 又 ∴， 解得，， 即则的半径为4， 故选：C． 6．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点，，，，，，在小正方形的顶点上，则的外心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的外心的定义，根据三角形三边垂直平分线相交于一点，这一点叫做它的外心，据此解答即可． 【详解】解：连接，，，由图可知， ， ∴， ∴点在，，三边的垂直平分线上， ∴点是外心， 故选：C． 7．在中，，为所在平面内一点，且点与的任意两个顶点构成的，，均为等腰三角形．满足上述条件的点有（  ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】的外心到三角形三个顶点的距离相等，所以的外心满足条件； 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，作等腰的底边的垂直平分线，再以点为圆心为半径作圆，这个圆与的垂直平分线的两个交点也满足条件； 分别以点、为圆心，以长为半径画圆，这两个圆相交于两点，其中一点是点，另一点为满足条件的点； 以点为圆心为半径画圆，这个圆和以点为圆心为半径的圆有两个交点，其中一个交点是点，另一个交点为满足条件的点； 同理以点为圆心为半径画圆，这个圆和以点为圆心为半径的圆有两个交点，其中一个交点是点，另一个交点为满足条件的点． 【详解】解：如图所示，作的垂直平分线， 的外心为满足条件的一个点， 以点为圆心，以长为半径画圆，、为满足条件的点， 分别以点、为圆心，以长为半径画圆，为满足条件的点， 分别以点、为圆心，以长为半径画圆，、为满足条件的点， 综上所述，满足条件的所有点的个数为． 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，主要利用了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，三角形的外心到三个顶点的距离相等，圆的半径相等的性质． 8．下列四个结论，不正确的是（   ） ①过三点可以作一个圆；②圆内接四边形对角相等；③平分弦的直径垂直于弦；④相等的圆周角所对的弧也相等． A．②③ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查确定圆的条件、圆的内接四边形的性质、垂径定理及圆心角、弧、弦的关系定理，熟练掌握相关性质及定理是解题关键．根据确定圆的条件、圆的内接四边形的性质、垂径定理及圆心角、弧、弦的关系定理逐一判断即可得答案． 【详解】解：过不在同一条直线上的三点可以作一个圆，故①错误； 圆的内接四边形对角互补，故②错误； 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，故③错误； 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等，故④错误， 综上所述：不正确的结论有①②③④， 故选：D． 9．如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形网格的顶点上，则的外心是（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 【答案】C 【分析】本题考查三角形外心的定义，根据三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点解答即可，也是解题关键． 【详解】解：作线段和线段的垂直平分线，如图， 由图可知点F是线段和线段的垂直平分线交点， ∴点F是 的外心． 故选C． 10．如图，是的内接三角形，把沿着折叠交弦于点，且点为的中点，若，则下列结论错误的是（   ） A． B．点为的中点 C． D． 【答案】B 【分析】连接，过点作垂足为，过点作，垂足为，则四边形是矩形，根据垂径定理可得，根据等弧所对的圆周角相等可得，进而证明是等腰直角三角形，矩形是正方形，得出，证明得出是等腰直角三角形，即可得出，，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作垂足为，过点作，垂足为，则四边形是矩形， ∵是的中点，， ∴，故A选项正确， ∵， ∴，故C选项正确， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴矩形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，故D选项正确， 则无法证明点为的中点，故B选项错误， 故选：B． 【点睛】本题考查了折叠的性质，弧与圆心角的关系，垂径定理，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 11．如图，在平面直角坐标系中，的半径为1，，为外任意两点，且．给出如下定义：平移线段，得到的弦（，分别为点，的对应点），线段长度的最小值称为线段到的“平移距离”．下面说法正确的是（   ） ①平移线段得到的长度为1的弦和，则；②平移线段得到的长度为1的弦和，平移后弦和间的距离为；③若点，都在直线上，则线段到的“平移距离”的最小值为；④若点的坐标为，则线段到的“平移距离”的最小值为． A．①② B．①③ C．①③④ D．②③ 【答案】B 【分析】由平移的性质可知，，，可判断①的正误；如图1，连接，，作于，于，由垂径定理可知，，由勾股定理得，，同理，，则平移后弦和间的距离为，可判断②的正误；如图2，作等边，使点在轴负半轴上，，记直线交轴于，交轴于，则，，如图2，过作于，则即为线段到的“平移距离”，由，可得，则，进而可判断③的正误；如图3，以为圆心1为半径作，作直线交于，交于，以为邻边构造平行四边形，以为边构造等边、，则，的长即为线段到的“平移距离”，当与重合时，的值最小，，可判断④的正误． 【详解】解：由平移的性质可知，，，①正确，故符合要求； 如图1，连接，，作于，于， 由垂径定理可知，， 由勾股定理得，， 同理，， ∴平移后弦和间的距离为，②错误，故不符合要求； 如图2，作等边，使点在轴负半轴上，，记直线交轴于，交轴于， 当时，，即； 当时，， 解得，，即； 如图2，过作于，则即为线段到的“平移距离”， ∵， ∴， ∴， 由题意知，， ∴线段到的“平移距离”的最小值为，正确，故③符合要求, 如图3，以为圆心1为半径作，作直线交于，交于，以为邻边构造平行四边形，以为边构造等边、，则， ∴的长即为线段到的“平移距离”， 当与重合时，的值最小，，④错误，故不符合要求； 故选：B． 【点睛】本题考查了平移的性质，垂径定理，勾股定理，正切，正弦，等边三角形的性质，平行四边形的性质等知识．理解题意，熟练掌握平移的性质，垂径定理，勾股定理，正切，正弦，等边三角形的性质，平行四边形的性质是解题的关键． 二、填空题 12．如图，是直径，点在上，垂足为，点是上动点（不与重合），点为的中点，若，，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，三角形中位线定理，勾股定理，延长交于点，连接，根据垂径定理得到，推出，得到当取最大值时，也取得最大值，设的半径为，则，利用勾股定理求出即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：延长交于点，连接， ∵，即，是的直径， ∴， ∵点为的中点， ∴， 当取最大值时，也取得最大值， 设的半径为，则， 在中，， ∴，解得：， ∴的最大值为， ∴的最大值为， 故答案为：． 13．如图，是的直径，弦于点E，若，，则长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查圆中求线段长问题，涉及到垂径定理、圆周角定理、特殊角的直角三角形三边关系，熟练掌握利用垂径定理构造直角三角形是解决问题的关键．利用垂径定理求出，根据圆周角定理求求出，得出，再利用特殊直角三角形三边关系求线段长即可． 【详解】解：是的直径，弦于点E， 根据垂径定理可得， ，， ， ∴， ∵在中，，，， ∴． 故答案为：． 14．如图，的直径垂直于弦，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理、圆周角定理，由垂径定理得出，推出，再由圆周角定理即可得解． 【详解】解：∵的直径垂直于弦， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是 ． 【答案】10 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心、勾股定理等知识． 先根据勾股定理求得斜边长为10，再根据直角三角形外接圆直径等于斜边求出即可． 【详解】解：在中，，，， ， 其外接圆的直径为10． 故答案为：10． 16．如图，，在边，上分别有两个动点C、D．连接，以为直角边作等腰直角三角形，当的长度保持不变且等于时，则的最大值是 ．    【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形的外接圆、圆周角定理等知识，作的外接圆，圆心为，连接，，，，得到是等腰直角三角形，求出，，根据得到当、、共线时，最大，计算的长可得结论． 【详解】解：如图所示，作的外接圆，圆心为，连接，，，，      ∵，即为圆周角， ， ∴等腰直角， ∴， ， ∴， ∴半径， ∵是等腰直角三角形， ，， ， 由勾股定理得：， ， ∴当、、三点共线时的值最大，最大值为， 的最大值是， 故答案为：． 17．将边长为2的小正方形ABCD 和边长为4的大正方形 EFGH如图摆放，使得C、E两点刚好重合，且B、C、H三点共线，此时经过A、F、G三点作一个圆，则该圆的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查确定圆的圆心，由题意可知，，，取的中点，连接，，，由勾股定理可得，可知点为、、三点所作圆的圆心，进而可得答案． 【详解】解：由题意可知，，， 取的中点，则，， 连接，，， 由勾股定理可得：，， ∴， 即：点为、、三点所作圆的圆心， 则该圆的半径为， 故答案为：． 18．石拱桥的主桥拱是圆弧形．如图，一石拱桥的跨度，拱高，那么桥拱所在圆的半径 m． 【答案】10 【分析】本题主要考查了桥拱问题，熟练利用勾股定理和垂径定理，是解答问题的关键． 设圆弧形桥拱所在圆的半径为r，则，根据 得到，中根据，解得． 【详解】设圆弧形桥拱所在圆的半径为r， 则， ∵，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， 解得． 故圆弧形拱桥所在圆的半径是10米． 故答案为：10． 19．如图，已知是的内接三角形，的半径是，将劣孤沿折叠后刚好经过弦上的点．若，，则弦的长为 ． 【答案】 【分析】设折叠后的所在圆的圆心为，连接，，，，过点O作于点E，解直角三角形得出，根据与为等圆，得出，，，证明，得出，过A作于，设，则，，，根据勾股定理得出，求出x的值，即可得出答案． 【详解】解：设折叠后的所在圆的圆心为，连接，，，，过点O作于点E，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵与为等圆， ∴，，， ∴， ∴， 过A作于， ∵ 设，则，， ∴， ∵， ∴在中，， ， ∵， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的综合应用，解直角三角形，圆周角定理，勾股定理，三角形全等的判定和性质，垂径定理，解题的关键是作出辅助线，数形结合，根据勾股定理建立方程． 三、解答题 20．如图，在中，弦直径，点E在上，且，连接，，，使． (1)求证：． (2)设交于点F，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查的是垂径定理的应用，圆心角，弧，弦之间的关系的应用，相似三角形的判定； （1）先证明，结合，可得，证明，再进一步可得结论； （2）先证明，再利用垂径定理与圆心角，弧，弦之间的关系证明，从而可得结论． 【详解】（1）证明：∵弦⊥直径， ∴． ∵， ∴， ∴． 即． ∴． （2）证明：∵， ∴． ∵弦直径， ∴． ∵， ∴． ∴． 又∵， ∴． 21．如图，交于点C，D，是半径，且于点F．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查垂径定理．由垂径定理得，根据等腰三角形的性质可得，再根据线段的和差关系可得结论． 【详解】证明：∵为的弦， ， ， ， ， ． 22．如图，是的直径，是弦，，垂足为点E，连接，，，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，先根据是的直径，是弦，，得出，再运用勾股定理列式，代入数值计算，得出半径是，再运用三角形的面积公式列式进行计算，即可作答． 【详解】解：连接， ∵ ∴， 设的半径为r，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 23．图1是水帘洞的截面示意图（截面为圆的一部分）．科考队测量出水帘洞的洞宽约是，洞高约是，，，三点共线． (1)__________； (2)求半径的长； (3)若，点在上． 求的度数．如图2，若生存在山洞的某生物的视角是一定的，此生物（点）在处时恰好能看到和，用数学知识解释为什么此生物（点）在洞顶活动时总能看清洞口的情况． 【答案】(1)14 (2) (3)，见解析 【分析】本题考查垂径定理的应用，圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． （1）由垂径定理求解即可； （2）设，利用勾股定理求出即可； （3）补全，在的下方取一点，连接，利用圆周角定理，圆内接四边形的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，为半圆的半径， ， 故答案为：14； （2）解：设． 在中，， ， ， ； （3）解：如图，补全，在的下方取一点，连接，，，． ，， ． 不变，是定值， “某生物”（点）在洞顶上活动时总能看清洞口的情况． 24．（1）初步发现：如图1，是的弦，P，Q分别是弦上两点，D是内一点，，于点E，求证：； （2）思考探究：如图2，等边内接于，其中边和分别交弦于点P和点Q，D是边上一点，，连接和，于点E，请问第（1）小题中的结论仍然成立吗？请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）成立，见解析 【分析】（1）根据垂径定理即可求证； （2）连接，先证明，再证明，则可证明为等边三角形，再由垂径定理和等腰三角形的三线合一即可求证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：成立，理由如下： 证明：连接， ∵为等边三角形， ∴ ∵等边内接于， ∴， 而， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，难度较大，重点在于构造全等三角形解决问题． 25．如图，在坐标系中，、、． (1)经过、、三点的圆弧所在圆的圆心的坐标为________； (2)这个圆的半径为：_______； (3)直接判断点与的位置关系．点在________．（填“内”、“外”、“上”） 【答案】(1) (2) (3)外 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，也考查了垂径定理和点与圆的位置关系． （1）根据题意，的垂直平分线所在直线为，可知圆心M在直线为上，设，根据，可求出圆心M的坐标； （2）由（1）求出，即可求圆的半径长； （3）根据，即可判断D点的位置． 【详解】（1）解： 、， 的垂直平分线所在直线为， 圆心M在直线为， 设， ， ， 解得， ， 故答案为：； （2）解：，， ， 圆的半径长为， 故答案为：； （3）解：，， ， ， 点在外， 故答案为：外． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$