第08讲 直线与圆的位置关系（5大知识点+8大题型精讲+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（湘教版）

第08讲 直线与圆的位置关系 课程标准 学习目标 1. 直线与圆的位置关系 2. 切线的性质与判定 3. 切线长定理 1.理解并掌握圆的切线判定定理,能初步运用它解决有关问题 2.掌握切线长定理，并能灵活运用切线长定理解题: 3.掌理解有关三角形的内切圆和三角形内心的概念; 知识点01 确定直线与圆的位置关系 位置关系:设圆心到直线的距离为d,圆的半径为r,则: 说明:判断直线与圆的位置关系时,一般先求出圆心到直线的距离d,再比较d与半径，的大小关系,然后得出相应的位置关系. 【即学即练1】 如图，在等边中，D为边上一点，且，连接，，若以点A为圆心，r为半径作圆． (1)当半径时，求与的位置关系； (2)当半径时，求与的位置关系． 【答案】(1)相离 (2)相切 【分析】题目主要考查直线与圆的位置关系，根据等边三角形的性质求出点到直线的距离是解题的关键 （1）根据等边三角形的性质得出，再由勾股定理确定，然后与半径比较即可； （2）根据（1）中结果，与半径比较即可． 【详解】（1）解：∵等边中，D为边上一点，且， ∴， ∵， ∴， ∴， 当半径时， ∵， ∴与的位置关系是相离； （2）当半径时， ∵， ∴与的位置关系是相切． 方法技巧：确定直线与圆的位置关系需先求出两个量:圆的半径和圆心到直线的距离,然后比较即可， 知识点02 切线的判定 判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 注意:(1)定理中的两个条件缺一不可:①经过半径的外端:②垂直于这条半径. (2) “垂直于这条半径"不要省去了“这条”两个字, 【即学即练1】 如图，是四边形外接圆O的直径，，，延长到使得，作射线交的延长线与F，交与G． (1)求证：与相切； (2)若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，证明是等边三角形，由得到，则．即可证明结论； （2）证明是等边三角形，则，在中，，得到，，则，即可得到答案． 【详解】（1）证明：连接， 是直径， ， ，， ∴， ∴， 是等边三角形， ， ， ． 又是半径， 是的切线． （2）解：，， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 在中，， ，， ， 周长． 【点睛】此题考查了切线的判定、直径对圆周角是直角、含角的直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质等知识，证明与相切是解题的关键． 方法技巧：切线的判定方法:(1)切点已知型,“连半径,证垂直”(2)切点未知型,“作垂直,证半径” 知识点03 切线的性质 定理:圆的切线垂直于过切点的半径, 切线特征:(1)切线与圆有唯一公共点;(2)圆心与切线的距离等于这个圆的半径;(3)切线垂直于过切点的半径.【即学即练1】 如图，是的外接圆，是的直径，过作于点，延长至点，连接，且是的切线． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的性质、勾股定理、三角形的面积公式、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）连接，根据是的切线，可得，根据垂线的定义得到，求得，根据等腰三角形的性质得出，等量代换即可得证； （2）由勾股定理可得，根据三角形的面积公式得到，根据垂径定理即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图，连接， 是的切线． ， ， ， ， ， （2）解：， ， ， ， ， ， ． 知识点04 切线长定理 定义:经过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段的长,叫作这点到圆的切线长.定理:过圆外一点所作的圆的两条切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角. 【即学即练1】 如图1，为直径，与相切于点，为上一点，连接、，若． (1)求证：为的切线； (2)如图2，过点作交延长线于点，连接交于点，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由切线的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论； （2）设，根据切线长定理可得，过点E作于M，可得，由勾股定理求出，求出的长，则可得出答案． 【详解】（1）证明：连接， ∵与相切于点B， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又为半径， ∴为的切线； （2）解：如图，连接， 设， ∵， ∴， ∵， ∴为的切线， ∵为的切线， ∴，， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， 过点E作于M，则， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，， ∴，解得， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题主要考查了切线的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、切线长定理等知识的综合应用． 规律总结：当已知条件中有多条切线时,要考虑应用切线长定理,常作的辅助线是作过切点的半径， 知识点05 三角形的内切圆 定义:与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆,内切圆的圆心叫作三角形的内心、三角形叫作圆的外切三角形. 内心:这个三角形的内心是这个三角形的三条角平分线的交点. 性质:三角形的内心到三角形三边的距离相等. 【即学即练1】 如图，的内切圆与，，分别相切于点D、E、F． (1)若，，求的度数； (2)若，，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的内切圆、切线长定理，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． （1）根据三角形的内心是角平分线的交点并结合三角形内角和定理计算即可得解； （2）根据切线长定理，构建方程组解决问题即可． 【详解】（1）解：∵的内切圆与，，分别相切于点D、E、F． ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵是的内切圆， ∴，，， 设，，， ∵，，， ∴， 解得：， ∴． 规律总结：在三角形中,已知内心时常连接内心和三角形的顶点,得到角平分线 题型01 判断直线和圆的位置关系 【典例1】在中，，，以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（    ） A．点A在上 B．点C在内 C．直线与相切 D．直线与相离 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、直线与圆的位置关系、点与圆的位置关系，作于，由等腰三角形的性质可得，由勾股定理可得，再逐项分析即可得解． 【详解】解：如图，作于， ， ∵， ∴， ∴， ∵以A为圆心作一个半径为3的圆， ∴点A为圆心，故A错误， ∵， ∴点C在外，故B错误； ∵，， ∴直线与相切，故C正确，D错误； 故选：C． 【变式1】已知的半径为，点A在直线m上，，则直线m与的位置关系为（   ） A．相交 B．相切 C．相交或相切 D．相交或相离 【答案】C 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，设点到直线的距离为，由题意得出 的半径，即可得解． 【详解】解：设点到直线的距离为， ∵点A在直线m上，， ∴， ∵的半径为， ∴ 的半径， ∴直线m与的位置关系为相交或相切， 故选：C． 【变式2】设的半径为，圆心到直线的距离为，若直线与有交点，则与的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，若，则直线与圆相交，若，则直线与圆相切；根据直线与有交点包括一个交点和两个交点，即直线与圆相切或相交进行解答即可. 【详解】若，则直线与圆相交，直线与圆有两个交点， 若，则直线与圆相切，直线与圆有一个交点， 根据直线与有交点包括一个交点和两个交点，则与的关系为. 故选：D. 题型02 直线和圆的位置关系的应用 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相交，则平移的距离d的取值范围是 ．    【答案】/ 【分析】分两种情况讨论：位于轴左侧和位于轴右侧，根据平移的性质和圆的切线的性质分别求解，即可得到答案． 【详解】解：的圆心P的坐标为， ， 的半径为2， ， ，， 当位于轴左侧且与轴相切时，平移的距离为1， 当位于轴右侧且与轴相切时，平移的距离为5， 平移的距离d的取值范围是， 故答案为：．    【点睛】本题考查了平移的性质，直线与圆的位置关系，解题关键是掌握当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径． 【变式1】已知的圆心O到直线l的距离d是一元二次方程的一个根，若的半径为r，与直线l相离，求r的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，解一元二次方程，熟练掌握直线与圆的位置关系是解决问题的关键． 先求方程的根，可得的值，由直线与圆的位置关系的判断方法可求解． 【详解】解：∵， ， ∵的圆心到直线的距离是一元二次方程的一个根， ， ∵与直线l相离， 的半径， 即． 【变式2】已知的半径是，点在上．是所在平面内一点，且，过点作直线，使． （1）点到直线距离的最大值为 ； （2）若，是直线与的公共点，则当线段的长度最大时，的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，勾股定理， （1）如图1，当点在圆外且，，三点共线时，点到直线距离的最大，可得结论； （2）如图2，根据已知条件得到线段是的直径，根据勾股定理即可得到结论； 正确作出图形是解题的关键． 【详解】解：（1）如图1， ∵，的半径是，， ∴当点在圆外且，，三点共线时，点到直线距离的最大， 最大值为：， 故答案为：； （2）如图2， ∵，是直线与的公共点，线段的长度最大， ∴线段是的直径， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴的长为， 故答案为：． 【变式3】已知的半径为，点到直线的距离为．把直线向上平移 ，才能使与相切? 【答案】或/或 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，根据直线与圆的位置关系即可求解． 【详解】解：观察图形：∵的半径为，点到直线的距离为． ∴把直线向上平移或才能使与相切， 故答案为：或． 题型03 切线的判定 【典例1】在下图中，是的直径，要使得直线是的切线，需要添加的一个条件是 ．（写一个条件即可） 【答案】∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一） 【分析】根据切线的判定条件，只需要得到∠BAT=90°即可求解，因此只需要添加条件：∠ABT=∠ATB=45°即可． 【详解】解：添加条件：∠ABT=∠ATB=45°， ∵∠ABT=∠ATB=45°， ∴∠BAT=90°， 又∵AB是圆O的直径， ∴AT是圆O的切线， 故答案为：∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，三角形内角和定理，熟知圆切线的判定条件是解题的关键． 【变式1】如图所示，在梯形中，，为内切圆，E、F为切点． (1)试猜与的位置关系，并说明理由． (2)若，，求的面积． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查的是切线长定理的应用，勾股定理的应用，切线的性质； （1）先证明，再证明，，可得，从而可得结论； （2）先求解，结合切线的性质求解，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵在梯形中，， ∴， ∵为四边形内切圆， ∴，， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，，， ∴， ∵切于， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为：． 【变式2】如图，在矩形中，点O在对角线上，且． (1)判断直线与的位置关系，并证明你的结论； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)直线与相切，见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定，矩形的性质，三角函数解直角三角形，勾股定理等： （1）连接OE．欲证直线与相切，只需证明，即即可； （2）在中，根据三角函数的定义可以求得，然后根据勾股定理求得，同理知；在中，利用勾股定理可以求得，即，从而易得r的值． 【详解】（1）解：（1）直线与相切．理由如下： ∵四边形是矩形， ∴； 又∵， ∴． 连接，则． ∵ ∴ ∴，即． 又是的半径， ∴直线与相切． （2）解：∵，， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∵矩形中，， ∴； 在中，， 设的半径为r，， 即 解得：， 即的半径为． 【变式3】已知是的直径，点是延长线上一点，，是的弦，． (1)求证：直线是的切线； (2)若，垂足为，的半径为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的判定、同弧所对的圆周角相等、等边对等角、圆周角定理、三角形内角和定理、垂径定理、含度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，灵活运用知识点推理证明是解题的关键． （1）连接，根据同弧所对的圆周角相等得到，由等边对等角得到，利用圆周角定理得到，利用三角形内角和定理，求得，即可证明直线是的切线； （2）根据垂径定理得到，根据含度角的直角三角形的性质，得到，根据勾股定理计算，由，得出答案即可． 【详解】（1）证明：如图，连接，    ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴直线是的切线； （2）解：如图，连接， ∵是的直径，，垂足为，的半径为， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型04 切线的性质定理 【典例1】如图，是的切线，B为切点，连接，与交于点C，D为上一动点(点D不与点C，B重合)，连接．若，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了切线的性质、圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识点，掌握圆周角等于对应圆心角的一半成为解答本题的关键．连接，由切线的性质可得，再根据直角三角形两锐角互余求得，然后再根据圆周角定理解答即可． 【详解】解：如图：连接， ∵是的切线 ∴ ∵ ∴ ∵， ∴， ∴． 故答案为：或． 【变式1】如图，与相切于点A，与弦相交于点C，，若，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了切线的性质，连接，如图，先根据切线的性质得到，再证明得到，设，则，，利用勾股定理得到，然后解方程即可，熟知切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 【详解】解：连接，如图， 与相切于点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 设，则，， ， ， 解得， 即的长为4． 故答案为：4． 【变式2】在中，弦与直径相交于点， (1)如图①，若求和的大小： (2)如图②，若过点作的切线，与的延长线相交于点，求的大小． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等求得，进而根据三角形的外角性质可得；由直径所对的圆周角等于度，根据，即可求得； （2）连接，求出，由切线的性质得出，由圆周角定理得出，即可得出答案． 【详解】（1）如图1， ，， ， ， ， 是直径， ， ； （2）连接，如图②所示： ， ， ， 是的切线， ， ， ， °． 【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、三角形的外角性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解题的关键． 题型05 切线的性质和判定的综合应用 【典例1】如图，以点O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点D，连接，，过点A作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线 (2)若，，则的长 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查了切线的判定和性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论，全等三角形的性质和判定，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）连接，如图，根据圆周角定理得到，即，求得，得到，根据切线的判定定理得到答案； （2）根据勾股定理得到，求得，根据切线的性质得到根据勾股定理即可得出结论． 【详解】（1）证明：连接，如图， 为直径， ，即， 又， ， ， ， 即， 是的半径， 是的切线； （2）解：连接， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：． 【变式1】如图，为的直径，过圆上一点作的切线交的延长线于点，过点作 交于点，连接． (1)求证：直线与相切； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）如图，连接，由与相切于点D，可得，由，可得，由，可得，则，证明，则，进而结论得证； （2）设⊙O的半径为r，则，，由，，得到，即，解得，从而，由（1）知，得到，根据含角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵与相切于点D， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴直线与相切； （2）解：设⊙O的半径为r，则，， ∵是切线， ∴， ∵， ∴， 即，解得， ∴， ∵，， ∴， 由（1）知， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质等知识．熟练掌握切线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质,含30度角的直角三角形的性质是解题的关键． 【变式2】如图，在中，，，以点为圆心，2为半径画圆，过点作的一条切线，切点为，连接．将绕点按逆时针方向旋转到时，连接，设旋转角为． (1)当弧的长为时，求的度数，并求出此时线段扫过的面积； (2)如图，当时，求证：是的切线； (3)直接写出的最大值与最小值的差． 【答案】(1)； (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由弧长公式及扇形面积公式代值求解即可得到答案； （2）由是的切线，可得，证明，则，即，进而结论得证； （3）由勾股定理得，，如图3，过作，交圆于，如图所示，根据的最大值与最小值的差为，计算求解即可． 【详解】（1）解： 的半径是，弧的长为， ，解得； 线段扫过的面积； （2）证明：∵是的切线， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ∴， ∴，即， ∵是半径， ∴是的切线； （3）解：由勾股定理得，， 过作，交圆于，如图所示： ∴的最大值与最小值的差为， ∴的最大值与最小值的差为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等知识．熟练掌握切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质是解题的关键． 题型06 切线长定理的应用 【典例1】如图，已知切于点A，的半径为3，，则切线长为（    ） A． B．8 C．4 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了切线的性质、勾股定理等知识点，掌握切线的性质成为解题的关键． 如图：连接，由切线的性质可得，然后运用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵切于点A， ∴， ∵的半径为3，， ∴， ∴． 故选C． 【变式1】如图，、是的切线，切于点E，的周长为12，则 ． 【答案】6 【分析】此题考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键． 首先根据切线长定理得到，，，然后根据的周长为12得到，然后等量代换得到，进而求解即可． 【详解】解：∵、是的切线，切于点E， ∴，， ∵的周长为12， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 故答案为：6． 【变式2】已知：如图，为的直径，为的切线，D、B为切点，交于点E，的延长线交于点F，连接．以下结论：①；②点E为的内心；③；④．其中正确的结论有 ． 【答案】①②④ 【分析】设交于点G，连接，根据切线长性质，得，得，根据，得，故①正确；是的切线，，而，，即是的角平分线，根据平分，得E为的内心，故②正确；若，则应有，应有，应有，而与不一定相等，故③不正确；由②可知，又，，证明，得，得， 即得，故④正确． 【详解】解：设交于点G，连接， ∵与是的切线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故①正确； ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， 即是的角平分线， ∵平分， ∴E为的内心， 故②正确； 若，则应有， 应有， 应有， 而与不一定相等， 故③不正确； 由②可知， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故④正确． ∴正确的结论有：①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】本题主要考查了圆综合．涉及切线长定理，切线性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，内心的概念及判定，相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握这些知识是解题的关键． 【变式3】如图，、、是的切线，点、、是切点，分别交、于、两点，若，则的度数（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查切线的性质、切线长定理和全等三角形的性质，根据切线性质，，可知，再根据为切线可知 ． 【详解】解：由题意得，连接、、， 由切线性质得，，，，，， ∴ 又， ，， ，， ， ， ， ． 故选：A． 题型07 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【典例1】如图，在中，，，，是它的内切圆，用剪刀沿切线剪一个，则的周长为（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质．设的内切圆切三边于点，连接，由切线长定理可知，根据是的切线，可得，，根据勾股定理可得，得四边形是正方形，再求出内切圆的半径为，进而可得的周长． 【详解】解：如图，设的内切圆切三边于点、、，连接、、，    由切线长定理可知，，， ∵是的切线， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 则四边形是正方形， ∵是的内切圆， ∴内切圆的半径， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为：． 故选：B． 【变式1】如图，在中， ，是的内切圆，三个切点分别为，，，若，，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形内切圆与切线长定理的应用，根据题意利用切线的性质以及正方形的判定方法得出四边形是正方形，进而利用勾股定理即可得出答案． 【详解】解：连接，， 是的内切圆，切点分别为，，， ，，，， 又， 四边形是矩形， 又， 矩形是正方形，设，则， 在中 ， 解得：， ，， ． 故选：A． 【变式2】如图，在一张纸片中，，，，是它的内切圆． （1）内切圆的半径为 ； （2）小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长为 ． 【答案】 2 20 【分析】本题考查直角三角形的内切圆，切线的性质，勾股定理．设的内切圆切三边于点F、H、G，连接、、、、，先证四边形是正方形，再证，，，（切线长定理），再由勾股定理计算出，通过等量代换可得内切圆半径等于，的周长等于． 【详解】解：如图，设的内切圆切三边于点F、H、G，连接、、、、， 由切线的性质得，，，， 又 ，， 四边形是正方形， ． 在和中，， ． ， 同理可证，，， ，，， ． ， 即内切圆的半径为2； ，， ， ， 即的周长为20． 故答案为：2；20． 【变式3】如图，在中，，的内切圆与，分别相切于点，，连接，的延长线交于点，则 ． 【答案】 【分析】本题重点考查三角形的内切圆的性质、切线长定理、三角形内角和定理、三角形外角与内角的关系．首先连接、、，根据三角形内切圆的性质可知：，，平分，平分，在中，，根据，可以求出，从而可以求出，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和可得． 【详解】解：如下图所示，连接、、， 是的内切圆， ，，平分，平分， ， ， ，， 在中，， ， 又， ， 是的外角， ， ． 故答案为：． 题型08 三角形内切圆与外接圆综合 【典例1】如图，正方形的边长是，是边的中点．将该正方形沿折叠，点C落在点处．分别与相切，切点分别为，则的半径为 ． 【答案】 【分析】如图所示，延长交于点M，连接，先证明，得到，设，则，，在中，由勾股定理得，求得x的值，进而可得的值，如图所示，连接，利用等面积法求出半径即可． 【详解】解：如图所示，延长交于点M，连接， 四边形是正方形， ， 是边的中点， ， 由折叠的性质可得：，，， ， 又， ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ， 如图所示，连接， 分别与相切，切点分别为， ，，，， ， ， ， 的半径为 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形内切圆，正方形与折叠问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【变式1】如图，在中，，，的内心、外心分别为点、点，且有，则的长度为（    ） A．8 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】延长交外接圆于点D，连接，，，，过I作于F，于G，于H，根据三角形内切圆和圆周角定理求出，根据证明，可得出，根据点I是的内心，可得出，即可求解． 【详解】解∶延长交外接圆于点D，连接，，，，过I作于F，于G，于H， 则与的内切圆相切于G，与的内切圆相切于F，与的内切圆相切于H， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∵点I是的内心， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，是半径， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， 解得， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的外心与内心，切线长定理，全等三角形的判定与性质，垂径定理等知识，明确题意，添加合适的辅助线是解题的关键． 【变式2】如图，内接于，，，D是的中点，则的半径为 ，的长度的最小值是 ． 【答案】 6 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，求线段长的最大值，圆周角定理，勾股定理，关键是延长到使，连接构造△的中位线，并应用相关定理，结合题目条件即可求得长的最小值． 连接并延长交于E，连接，则，，得到延长到E，使，作于H，连接，，，根据三角形的中位线定理得到，当长最小时，长最小，当的延长线过圆心O时，长最小，根据勾股定理得到，于是得到结论． 【详解】解：连接并延长交于E，连接， 则，， ， ， 即的半径为6， 当时，的长度的最小， D是的中点， 延长到，使，作于H，连接，，， D是的中点， 是△的中位线， ， 当长最小时，长最小，当的延长线过圆心O时，长最小， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长度的最小值是， 故答案为：6，． 一、单选题 1．下列命题错误的是（    ） A．经过不在同一直线上的三个点一定可以作圆 B．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等 C．经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 D．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 【答案】D 【分析】根据确定圆的条件、三角形外心的性质、切线的性质、垂径定理的推论逐项分析判断即可． 【详解】解：A. 经过不在同一直线上的三个点一定可以作圆，命题正确，故选项不符合题意； B. 三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等，命题正确，故选项不符合题意； C. 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心，命题正确，故选项不符合题意； D. 平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，命题错误，故选项符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查了判断命题真假，确定圆的条件，三角形外心的性质，切线的性质，垂径定理的推论等知识点，熟练掌握真假命题的判断方法是解题的关键：要说明一个命题是正确的，需要根据命题的题设和已学的有关公理、定理进行说明（推理、证明），要说明一个命题是假命题，只需举一个反例即可． 2．已知的半径长为4，点B在线段上，且，如果与有公共点，那么的半径r的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆与圆的位置关系，注意掌握数形结合思想的应用． 求得内切于时的半径和内切于时的半径，根据图形即可求得． 【详解】解：如图，当内切于时，的半径为， 当内切于时，的半径为， ∴如果与有公共点，那么的半径的取值范围是， 故选：D． 3．如图，点和分别是的内心和外心，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理以及三角形的内心的性质．根据圆周角定义，以及内心的定义，可以利用表示出和，即可得到两个角的关系可进一步得出结论． 【详解】解：∵点I是的内心， ∴，， ∴ ， ∵， ∴， ∵点O是的外心， ∴， 故选：D． 4．如图，，，是的切线，切点分别是，，．若，，则的长是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角． 首先根据切线长定理，可得，再由可求得的长，最后再次利用切线长定理，即可求得的长． 【详解】解：，是的切线， ， ， ， ，是的切线， ， 故选：． 5．如图，，与分别相切于点A，B，，，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质，切线长定理的应用，先证明，再证明为等边三角形，从而可得答案． 【详解】解：∵与分别相切于点，，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 故选B． 6．如图，是的切线，切点分别是、，，那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了切线的性质，由切线的性质可得，再根据四边形的内角和即可求解，掌握切线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵是的切线，切点分别是、， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故选：． 7．如图，等边三角形的边长为4，的半径为，P为边上一动点，过点P作的切线，切点为Q，则的最小值为（   ）    A．2 B．3 C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质、勾股定理、解直角三角形、等边三角形的性质，连接、，作于，根据切线的性质可得，则，当时，最小，取最小值，求出的最小值即可得解． 【详解】解：如图，连接、，作于，    ∵是的切线， ∴， ∴， 当时，最小，取最小值， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：B． 8．如下图，是的切线，是直径，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，利用切线的性质，以及圆周角定理得到、、，根据，利用等边对等角及外角性质求出度数，即可根据四边形的内角和求出度数． 【详解】解：连接， ∵是的切线，是直径 ， ，， ， ， ∴在四边形中，． 故选：D． 【点睛】此题考查了切线的性质，圆周角定理，四边形的内角和定理，以及等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键． 9．如图，在矩形中，，，以点为圆心作与直线相切，点是上一个动点，连接交于点，则的最大值是（   ） A．4 B． C． D．2 【答案】D 【分析】过点作于，过点作于，设与相切于点，连接，并延长交于，则，根据勾股定理求出，再根据等面积法求出，，进而得到，证明，得到，由于是定值，所以若要最大，则最大，得出当与重合时，，此时有最大值，即，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于，过点作于，设与相切于点，连接，并延长交于，则， 在矩形中，，， ， ，即， ， 同理可得：， ， ，， ， 又 ， ， ， 是定值， 若要最大，即最大，则最大， 当与重合时，，此时有最大值，即， 的最大值是， 故选：D． 【点睛】本题考查了切线的性质，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解题的关键是正确作出辅助线，证明，从而得出若要最大，则最大． 10．如图，是的直径，交的中点，是的切线，交于点，下列结论：①；②；③，其中正确的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】由直径所对的圆周角是直角，由点是的中点，得出为的中垂线，即可判断出，从而判定结论①正确；又证明，，，故②正确；证明，利用相似三角形的性质可判定结论③正确． 【详解】解：∵是直径， ∴， ∴， 连接，如图， ∵点是的中点，， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵是圆的切线， ∴， ∴， ∴，故结论②正确； ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ 故③正确； 则正确结论的个数为个． 故选：． 【点睛】此题属于圆的综合问题，考查了圆周角定理、切线的性质及直角三角形的性质等知识，证明切线时连接是解这类题经常连接的辅助线． 二、填空题 11．如图，的内切圆分别与三边相切于点D，点E和点F，若，，则的面积为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了切线长定理和勾股定理，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握切线长定理的相关内容，找到线段之间的关系．直接利用切线长定理得出，，，设，再结合勾股定理得出的长，进而得出答案． 【详解】解：的内切圆分别与斜边、直角边、切于点D、E、F，，， ，，， 设， 则， 整理得，， 解得：，（不合题意舍去）， 则，    ， ， 故的面积为20， 故答案为20． 12．矩形，，分别以A、C为圆心的两圆相切，点D在圆C内，点B在圆C外，求圆A的半径r的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】此题综合考查了点和圆的位置关系以及两圆的位置关系与数量关系之间的等价关系．同时注意勾股定理的运用．特别注意两圆相切，可能内切或外切． 首先根据点在内，点在外，求得的半径是大于3而小于4；再根据勾股定理求得，最后根据两圆的位置关系得到其数量关系． 【详解】解：∵在矩形中，， ， ∵点在内，点在外， 设的半径是， ∴的半径的取值范围为：， 当和外切时，圆心距等于两圆半径之和是5，即， 又， 则的取值范围是． 当和内切时，圆心距等于两圆半径之差是5， 即， 又， 则的取值范围是． 所以半径的取值范围是或． 故答案为：或． 13．如图，在中，，，的内切圆与边、、分别相切于点、、，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查切线长定理，等边对等角，根据切线长定理得出，，再根据等边对等角得出，，进而可得出答案． 【详解】解：∵的内切圆与边、、分别相切于点、、， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：． 14．如图，、分别与相切于A、两点，是优弧上的一个动点，若，则 °． 【答案】55 【分析】本题考查了切线的性质，四边形的内角和，圆周角定理． 连接、，根据切线的性质得，再利用四边形的内角和计算出的度数，然后根据圆周角定理计算的度数． 【详解】解：连接、，如图， ∵，分别与相切于A，B两点， ∴，, ∴， ∴， ∴． 故答案为：55． 15．如图，是半圆的直径，将沿弦折叠，使与相切，若，则的长的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，折叠的性质，根据题意画出图形，分别求出的最大值和最小值即可求解，正确画出图形是解题的关键． 【详解】解：如图，当时，的值最大， 过点作交于点，连接，则， 由折叠可得，    ， ∴， ∴； 如图，当点与点重合，时，的值最小， ∵，， ∴； ∴的长的取值范围是， 故答案为：． 16．已知的直径为，点C是上的动点，点D是的中点，延长线交于点E，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】如图，以为直径作，当直线切于D时，的值最大． 【详解】解：如图，连接， 因为，所以， 所以． 所以点D在以为直径的圆上运动． 以为直径作，作于F， ,, 是直径， ， , ， ∴， ∴， ∴， ∵， , ， 当直线切于D时，即、两点重合，的值最大． 是的切线， ， ， 故答案为． 【点睛】本题考查动点问题，圆周角定理，平行线的性质，相似三角形的判定及性质，切线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 17．如图，是的切线，切点分别是点A和B，是的直径．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据切线长定理，结合已知条件，可得为等边三角形，继而求得的长度，结合切线的性质定理与圆周角定理，利用解直角三角形即可求解． 【详解】 解：如图，连接， 是的切线， ， ， 为等边三角形， ， 是的切线， ， ， 是的直径， ， 在中， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线长定理，切线性质定理，圆周角定理，等边三角形性质，解直角三角形的知识点，熟练掌握这些性质和定理是解题的关键． 18．如图，在中，，截三边所得的弦长相等，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的内心，三角形内角和定理，掌握三角形内心的定义是解题关键．根据截三边所得的弦长相等可知，到三条边的距离相等，即是的内心，进而得到，，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：截三边所得的弦长相等， 到三条边的距离相等，即是的内心， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 19．已知是的直径，点D是延长线上一点，，是的弦，． (1)求证：直线是的切线； (2)若，垂足为M，的半径为2，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】对于（1），连接，根据同弧所对的圆周角相等得，再根据等边对等角得，然后根据圆周角定理得，最后根据三角形内角和定理得出答案； 对于（2），先根据垂径定理得，再根据直角三角形的性质得，然后根据勾股定理得，最后根据得出答案． 【详解】（1）连接， ∵， ∴， ∵， ∴． ∵所对的圆周角是，圆心角是， ∴， ∴， ∴． ∵是的半径， ∴直线是的切线； （2）∵是的直径，，垂足为M，的半径是2， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 根据勾股定理得， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，直角三角形的性质，连接圆心和圆上的点是证明切线的作辅助线的基本思路． 20．如图，已知为的直径，为上一点，为延长线上一点，连接，过点作于点，交于点，且满足． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】（1）根据垂直定义可得，从而可得，再根据等腰三角形的性质，可得，从而可得，进而可得，即可得证； （2）由得，由及三角形中位线定理得，，由，设，，由得，则，即可得的值． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：∵为的直径， ∴， ∵ ， ∵， ，； ， 设，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，垂径定理，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识， 21．如图，在中，以为直径的分别与，相交于点D，E，过点D作，垂足为F． (1)求证：是的切线； (2)分别延长，相交于点G，，的半径为6，求阴影部分的周长． 【答案】(1)证明过程见详解； (2) 【分析】（1）要证明是的切线，则可考虑证明，连接，由同圆中半径相等，结合，利用等边对等角推理得到，则，此时结合即可得证； （2）观察阴影部分，可将问题转化为求扇形的弧长与、的和，结合已知可得，根据含角的直角三角形的性质求出，接下来根据弧长公式计算出的长，问题即可解答． 【详解】（1）证明：连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：，， 是等边三角形， ， ， ， ，， ， ，则， ， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，切线的判定，勾股定理、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质，是一道综合题，难度中等． 22．如图，在中，，点O在上，以O为圆心，为半径的⊙O切于点D，过点A作交的延长线于点E． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题是圆综合题，考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数的定义、三角形面积的计算等知识，熟练掌握切线的性质是解题的关键． （1）由切线的性质得出再证得，得出，即可得出结论； （2）由，设，则，再由锐角三角函数定义求出，然后由勾股定理求出，进而得出，求出，最后由即可得出结果． 【详解】（1）切于点D， 在和中 ， （2）在中，， 设，则， 在中， ， ， 解得， ， 在中， 由勾股定理得， ， 即的长为． 23．如图，在中，，以点A为圆心作与相切于D，交于点F，在上取点E，使，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求点C到的距离． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）连接，根据切线的性质可得，从而可得，再利用等腰三角形的性质可得，从而利用等角的余角相等可得，然后利用证明，从而可得即可解答； （2）过点C作，垂足为G，在中，利用勾股定理求出的长，再利用（1）的结论可得，从而可得，然后在中，利用勾股定理求出的长，从而在中，利用勾股定求出的长，再利用等腰三角形的三线合一性质可得，最后利用两角相等的两个三角形相似证明，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【详解】（1）证明：如图：连接， ∵与相切于D， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：过点C作，垂足为G， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴点C到的距离为． 【点睛】本题主要考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，正确添加适当的辅助线是解题的关键． 24．如图，在中，，的平分线交于点，过点作直线的垂线交于点，是的外接圆． (1)求证：是圆的切线； (2)过点作于点，求证：平分； (3)连接，若，，求圆的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接，由等边对等角可得，由三角形角平分线的定义可得，进而可得，由内错角相等两直线平行可得，由两直线平行同位角相等可得，然后由切线的判定定理即可得出结论； （2）由垂线的性质可得，，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，由等边对等角可得，由可得，再结合，即可得出结论； （3）连接，由角平分线的性质定理可得，由圆内接四边形的性质定理可得，进而可得，利用可证得，于是可得，，由勾股定理可得，设，则，在中，根据勾股定理可得，即，解方程即可求得圆的半径． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， 又平分， ， ， ， ， ， 是圆的切线； （2）证明：，， ，， ， ， ， ， ， ， 又， ， 即：平分； （3）解：如图，连接， 是的平分线，且，， ， ，， ， ， ， ，， ， 设，则， 在中，根据勾股定理可得： ， ， 解得：， 圆的半径为． 【点睛】本题主要考查了等边对等角，三角形角平分线的定义，内错角相等两直线平行，两直线平行同位角相等，切线的判定定理，垂线的性质，直角三角形的两个锐角互余，等式的性质，角平分线的性质定理，圆内接四边形的性质定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，线段的和与差，解一元一次方程等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 25．在中，弦与直径相交于点， (1)如图①，若求和的大小： (2)如图②，若过点作的切线，与的延长线相交于点，求的大小． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等求得，进而根据三角形的外角性质可得；由直径所对的圆周角等于度，根据，即可求得； （2）连接，求出，由切线的性质得出，由圆周角定理得出，即可得出答案． 【详解】（1）如图1， ，， ， ， ， 是直径， ， ； （2）连接，如图②所示： ， ， ， 是的切线， ， ， ， °． 【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、三角形的外角性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解题的关键． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 直线与圆的位置关系 课程标准 学习目标 1. 直线与圆的位置关系 2. 切线的性质与判定 3. 切线长定理 1.理解并掌握圆的切线判定定理,能初步运用它解决有关问题 2.掌握切线长定理，并能灵活运用切线长定理解题: 3.掌理解有关三角形的内切圆和三角形内心的概念; 知识点01 确定直线与圆的位置关系 位置关系:设圆心到直线的距离为d,圆的半径为r,则: 说明:判断直线与圆的位置关系时,一般先求出圆心到直线的距离d,再比较d与半径，的大小关系,然后得出相应的位置关系. 【即学即练1】 如图，在等边中，D为边上一点，且，连接，，若以点A为圆心，r为半径作圆． (1)当半径时，求与的位置关系； (2)当半径时，求与的位置关系． 方法技巧：确定直线与圆的位置关系需先求出两个量:圆的半径和圆心到直线的距离,然后比较即可， 知识点02 切线的判定 判定定理:经过半径的外端并且 于这条半径的直线是圆的切线. 注意:(1)定理中的两个条件缺一不可:①经过半径的外端:②垂直于这条半径. (2) “垂直于这条半径"不要省去了“这条”两个字, 【即学即练1】 如图，是四边形外接圆O的直径，，，延长到使得，作射线交的延长线与F，交与G． (1)求证：与相切； (2)若，求的周长． 方法技巧：切线的判定方法:(1)切点已知型,“连半径,证垂直”(2)切点未知型,“作垂直,证半径” 知识点03 切线的性质 定理:圆的切线 于过切点的半径, 切线特征:(1)切线与圆有 公共点;(2)圆心与切线的距离 这个圆的半径;(3)切线垂直于过切点的半径. 【即学即练1】 如图，是的外接圆，是的直径，过作于点，延长至点，连接，且是的切线． (1)求证：； (2)若，求的长． 知识点04 切线长定理 定义:经过圆外一点作圆的 ,这点和切点之间的线段的长,叫作这点到圆的切线长.定理:过圆外一点所作的圆的两条切线长 ,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角. 【即学即练1】 如图1，为直径，与相切于点，为上一点，连接、，若． (1)求证：为的切线； (2)如图2，过点作交延长线于点，连接交于点，若，求的长． 规律总结：当已知条件中有多条切线时,要考虑应用切线长定理,常作的辅助线是作过切点的半径， 知识点05 三角形的内切圆 定义:与三角形各边都 的圆叫作三角形的内切圆,内切圆的圆心叫作三角形的内心、三角形叫作圆的外切三角形. 内心:这个三角形的内心是这个三角形的三条 的交点. 性质:三角形的内心到三角形三边的 相等. 【即学即练1】 如图，的内切圆与，，分别相切于点D、E、F． (1)若，，求的度数； (2)若，，，求的长． 规律总结：在三角形中,已知内心时常连接内心和三角形的顶点,得到角平分线 题型01 判断直线和圆的位置关系 【典例1】在中，，，以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（    ） A．点A在上 B．点C在内 C．直线与相切 D．直线与相离 【变式1】已知的半径为，点A在直线m上，，则直线m与的位置关系为（   ） A．相交 B．相切 C．相交或相切 D．相交或相离 【变式2】设的半径为，圆心到直线的距离为，若直线与有交点，则与的关系为（   ） A． B． C． D． 题型02 直线和圆的位置关系的应用 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相交，则平移的距离d的取值范围是 ．    【变式1】已知的圆心O到直线l的距离d是一元二次方程的一个根，若的半径为r，与直线l相离，求r的取值范围． 【变式2】已知的半径是，点在上．是所在平面内一点，且，过点作直线，使． （1）点到直线距离的最大值为 ； （2）若，是直线与的公共点，则当线段的长度最大时，的长为 ． 【变式3】已知的半径为，点到直线的距离为．把直线向上平移 ，才能使与相切? 题型03 切线的判定 【典例1】在下图中，是的直径，要使得直线是的切线，需要添加的一个条件是 ．（写一个条件即可） 【变式1】如图所示，在梯形中，，为内切圆，E、F为切点． (1)试猜与的位置关系，并说明理由． 【变式2】如图，在矩形中，点O在对角线上，且． (1)判断直线与的位置关系，并证明你的结论； (2)若，，求的半径． 【变式3】已知是的直径，点是延长线上一点，，是的弦，． (1)求证：直线是的切线； (2)若，垂足为，的半径为，求的长． 题型04 切线的性质定理 【典例1】如图，是的切线，B为切点，连接，与交于点C，D为上一动点(点D不与点C，B重合)，连接．若，则的度数为 ． 【变式1】如图，与相切于点A，与弦相交于点C，，若，，则的长为 ． 【变式2】在中，弦与直径相交于点， (1)如图①，若求和的大小： (2)如图②，若过点作的切线，与的延长线相交于点，求的大小． 题型05 切线的性质和判定的综合应用 【典例1】如图，以点O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点D，连接，，过点A作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线 (2)若，，则的长 【变式1】如图，为的直径，过圆上一点作的切线交的延长线于点，过点作 交于点，连接． (1)求证：直线与相切； (2)若，求的长． 【变式2】如图，在中，，，以点为圆心，2为半径画圆，过点作的一条切线，切点为，连接．将绕点按逆时针方向旋转到时，连接，设旋转角为． (1)当弧的长为时，求的度数，并求出此时线段扫过的面积； (2)如图，当时，求证：是的切线； (3)直接写出的最大值与最小值的差． 题型06 切线长定理的应用 【典例1】如图，已知切于点A，的半径为3，，则切线长为（    ） A． B．8 C．4 D．2 【变式1】如图，、是的切线，切于点E，的周长为12，则 ． 【变式2】已知：如图，为的直径，为的切线，D、B为切点，交于点E，的延长线交于点F，连接．以下结论：①；②点E为的内心；③；④．其中正确的结论有 ． 【变式3】如图，、、是的切线，点、、是切点，分别交、于、两点，若，则的度数（　　） A． B． C． D． 题型07 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【典例1】如图，在中，，，，是它的内切圆，用剪刀沿切线剪一个，则的周长为（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 【变式1】如图，在中， ，是的内切圆，三个切点分别为，，，若，，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在一张纸片中，，，，是它的内切圆． （1）内切圆的半径为 ； （2）小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长为 ． 【变式3】如图，在中，，的内切圆与，分别相切于点，，连接，的延长线交于点，则 ． 题型08 三角形内切圆与外接圆综合 【典例1】如图，正方形的边长是，是边的中点．将该正方形沿折叠，点C落在点处．分别与相切，切点分别为，则的半径为 ． 【变式1】如图，在中，，，的内心、外心分别为点、点，且有，则的长度为（    ） A．8 B．6 C． D． 【变式2】如图，内接于，，，D是的中点，则的半径为 ，的长度的最小值是 ． 一、单选题 1．下列命题错误的是（    ） A．经过不在同一直线上的三个点一定可以作圆 B．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等 C．经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 D．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 2．已知的半径长为4，点B在线段上，且，如果与有公共点，那么的半径r的取值范围是（） A． B． C． D． 3．如图，点和分别是的内心和外心，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，，，是的切线，切点分别是，，．若，，则的长是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 5．如图，，与分别相切于点A，B，，，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 6．如图，是的切线，切点分别是、，，那么等于（   ） A． B． C． D． 7．如图，等边三角形的边长为4，的半径为，P为边上一动点，过点P作的切线，切点为Q，则的最小值为（   ）    A．2 B．3 C．4 D． 8．如下图，是的切线，是直径，，则等于（   ） A． B． C． D． 9．如图，在矩形中，，，以点为圆心作与直线相切，点是上一个动点，连接交于点，则的最大值是（   ） A．4 B． C． D．2 10．如图，是的直径，交的中点，是的切线，交于点，下列结论：①；②；③，其中正确的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题 11．如图，的内切圆分别与三边相切于点D，点E和点F，若，，则的面积为 ． 12．矩形，，分别以A、C为圆心的两圆相切，点D在圆C内，点B在圆C外，求圆A的半径r的取值范围是 ． 13．如图，在中，，，的内切圆与边、、分别相切于点、、，则的度数为 ． 14．如图，、分别与相切于A、两点，是优弧上的一个动点，若，则 °． 15．如图，是半圆的直径，将沿弦折叠，使与相切，若，则的长的取值范围是 ． 16．已知的直径为，点C是上的动点，点D是的中点，延长线交于点E，则的最大值为 ． 17．如图，是的切线，切点分别是点A和B，是的直径．若，则的长为 ． 18．如图，在中，，截三边所得的弦长相等，则的度数是 ． 三、解答题 19．已知是的直径，点D是延长线上一点，，是的弦，． (1)求证：直线是的切线； (2)若，垂足为M，的半径为2，求的长． 20．如图，已知为的直径，为上一点，为延长线上一点，连接，过点作于点，交于点，且满足． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的长． 21．如图，在中，以为直径的分别与，相交于点D，E，过点D作，垂足为F． (1)求证：是的切线； (2)分别延长，相交于点G，，的半径为6，求阴影部分的周长． 22．如图，在中，，点O在上，以O为圆心，为半径的⊙O切于点D，过点A作交的延长线于点E． (1)求证：． (2)若，求的长． 23．如图，在中，，以点A为圆心作与相切于D，交于点F，在上取点E，使，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求点C到的距离． 24．如图，在中，，的平分线交于点，过点作直线的垂线交于点，是的外接圆． (1)求证：是圆的切线； (2)过点作于点，求证：平分； (3)连接，若，，求圆的半径． 25．在中，弦与直径相交于点， (1)如图①，若求和的大小： (2)如图②，若过点作的切线，与的延长线相交于点，求的大小． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$