专题05 函数的应用（4大题型）（期末复习专项训练）高一数学上学期北师大版

第五章 函数的应用 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 函数的零点 · 零点存在定理 · 二分法 · 函数的应用 一．函数的零点（共8小题） 1．设，函数若恰有一个零点，则c的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】画出函数的图象如下图所示： 函数可由分段平移得到， 易知当时，函数恰有一个零点，满足题意； 当时，代表图象往上平移，显然没有零点，不符合题意； 当时，图象往下平移，当时，函数有两个零点； 当时，恰有一个零点，满足题意，即； 综上可得的取值范围是. 故选：D 2．已知函数．若是方程的四个互不相等的解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 的图象如图所示，设， 结合图像可得：，且，， 而，故， 故， 设，而在为增函数， 故， 故选：D. 3．已知数若且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则，为直线与函数图象的两个交点的横坐标，且， 由，得，则， 根据对勾函数的性质可知在上单调递减， 在上单调递增，且，， ， 所以的取值范围是． 故选：B． 4．已知函数，方程有3个实数解，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】的图象如图所示， 因为方程有3个实数解， 所以与的图象有3个不同的交点， 由图可知. 故选：A 5．已知，，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】由，得到，令，得到 所以为函数与交点的横坐标， 由，得到，所以为函数与交点的横坐标， 又与互为反函数，故它们的图象关于直线对称， 又关于对称，由，得到，所以，得到， 故选：C. 6．已知是函数的零点，是函数的零点，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】由题意可得的零点为函数与交点的横坐标， 因为和在上递增，所以在上递增， 所以为唯一的零点，设函数与交点为， 的零点为函数与交点的横坐标， 因为和在上递减，所以在上递减， 所以为唯一的零点，设函数与交点为， 因为与的图象关于直线对称，与的图象关于直线对称， 所以关于直线对称，所以. 故选：B 7.（多选）已知函数若方程有4个不同的零点，，，，且，则（   ） A． B． C． D．的取值范围为 【答案】BCD 【详解】作出的图象如下：令，则， 故，，A错误，BC正确， 令，则或 ，结合图象可知，D正确. 故选：BCD 8．（多选）设函数（且）．则下列四个结论正确的是（    ） A．当时，存在t，方程有唯一解 B．当时，存在t，方程有三个解 C．对任意实数a（且），的值域为 D．存在实数a，使得在区间上单调递增 【答案】ABD 【详解】当时，可得函数图象如下： 由；，，结合图象： 当时，函数单调递减，且； 当，函数单调递增，. 所以当时，方程有唯一解.故A正确； 当时，函数图象如下： 由；由图象可知， 当时，函数单调递减，； 当时，函数单调递增，； 当时，函数单调递增，. 因为，因为， 所以，即. 所以，当时，方程有三个解.故B正确； 如图： 由，再由， ，， 此时在上单调递减，在上单调递增，且， 即不在值域内，所以此时函数的值域不是.故C错误； 由A可得，当时，函数在上单调递增. 即：存在实数，使得在区间上单调递增.故D正确. 故选：ABD 二．零点存在定理（共4小题） 9.方程的根所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】构造函数， 因为和在上单调递减，所以函数在上单调递减， 且函数的图象是一条连续不断的曲线， 因为，，， 由的单调性可知，，则， 故函数的零点所在的区间为， 即方程的根属于区间． 故选：C 10．根据表格中的数据，可以判断方程的一个根所在的区间是（    ） x -1 0 1 2 3 0.37 1 2.72 7.39 20.09 1 2 3 4 5 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，由表格中的数据得， ，， ，，， 所以， 又的图象是连续不断的， 所以在内有零点． 故选：. 11.函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】易知函数定义域为，且函数单调递增， 又，所以上没有零点； ， ，由零点存在定理可知， 所以零点所在区间是. 故选：D 12.函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在上单调递增，在上单调递增， 函数在上单调递增， ∵， ， ， 函数的零点所在的区间为. 故选：C 三．二分法（共2小题） 13．（多选）下列说法正确的是（    ） A．已知方程的解在内，则 B．函数的零点是 C．函数有两个不同的零点 D．用二分法求函数在区间内零点近似值的过程中得到，则零点近似值在区间上 【答案】AD 【详解】对A，记，易知都在单调递增， 所以在上单调递增， 又， 所以存在唯一零点，且， 即方程的唯一解在内，所以，A正确； 对B，令，解得或， 所以函数的零点是或，B错误； 对C，作出的图象如图： 当时，函数和的图象显然有一个交点， 又，所以函数和的图象在处相交， 所以有三个不同的零点，C错误； 对D，因为， 所以由零点存在性定理可知，零点近似值在区间上，D正确. 故选：AD 14.求下列函数的零点，可以采用二分法的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】不是单调函数，，不能用二分法求零点； 是单调函数，，能用二分法求零点； 不是单调函数，，不能用二分法求零点； 不是单调函数，，不能用二分法求零点. 故选：B 四．函数的应用（共10小题） 15.火箭是能使物体达到宇宙速度，克服或摆脱地球引力，进入宇宙空间的运载工具.1903年齐奥尔科夫斯基就推导出单级火箭的理想速度公式：.表示气体相对于火箭的喷射速度，表示火箭的初始质量（火箭壳与推进剂的总质量），表示推进剂用完后火箭的质量，目前液氢液氧推进剂能达到的发动机的喷射速度约为.理想情况下，对于初始质量为24吨的单级火箭，速度要达到，则需装载的推进剂的吨数约为（   ） （参考数据，） A．22.1 B．22.3 C．22.5 D．22.7 【答案】C 【详解】由题意可得，，， 代入题目公式，可得：，， ，， 代入值可得：，， 需装载的推进剂的吨数约为， ， ， ， ， 结合选项，选择C． 故选：C 16．“一尺之锤，日取其半，万世不竭”语出《庄子·天下》，意思是一尺长的棍棒，每日截取它的一半，永远截不完（一尺约等于33.33厘米）.若剩余的棍棒长度小于0.33厘米，则需要截取的最少次数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】由题意可知第一次剩余的棍棒长度为尺， 则第n次剩余的棍棒长为尺， 由，解得， 所以当剩余的棍棒长度小于1厘米时,需要截取的最少次数为7. 故选: C. 17.（多选）氚是氢的同位素之一，它的原子核带有放射性，会发生衰变.若样本中氚的质量随时间（单位：年）的衰变规律满足关系式，其中表示氚原有的质量，则（   ）（参考数据：） A．样本中氚的半衰期（放射性物质质量衰减一半所用的时间称作半衰期）为年； B．经过年后，样本中的氚元素会全部消失； C．经过年后，样本中的氚元素变为原来的； D．若年后，样本中氚元素的含量为，则. 【答案】AC 【详解】当时，，所以此时样本中氚的质量衰变了一半，故正确； 当时，，故错误； 当时，，即经过62.15年后，样本中的氚元素变为原来的，故C正确； 由题意，化简得， 将代入其中，可得，故错误. 故选：. 18.某地因地制宜发展生态农业，打造特色水果示范区，该地区某水果树的单株年产量（单位：千克）与单株施肥量（单位：千克）之间的函数关系为，且单株投入的年平均成本为元，若这种水果的销售价格为元/千克，且水果销路畅通.记该水果树的单株年利润为（单位：元）. (1)求函数的解析式； (2)求单株施肥量为多少千克时，该水果树的单株年利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)单株施肥量为千克时，单株年利润最大，最大利润为元 【详解】（1）当时，， 当时，， 所以. （2）当时，，对称轴且开口向上， 又因为，所以由此二次函数性质可知时有最大值， 所以； 当时，， 当且仅当，即时取等号， 所以； 显然， 所以单株施肥量为千克时，单株年利润最大，最大利润为元. 19.随着环保观念深入人心，自本世纪10年代开始新能源汽车开始加速发展，得益于钱学森等老一批科学家的战略眼光及中国汽车人的不懈努力，目前中国正在重新塑造全球汽车行业的格局，在电池、电机、智能化方面具有压倒性优势，成为世界新能源的领导者.2024年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本8000万元，每生产x(百辆)，需另投入成本(万元)，且；已知每辆车售价20万元，由市场调研知，全年内生产的车辆当年能全部销售完. (1)求出2024年的利润(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式； (2)2024年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 【答案】(1) (2)2024年生产量为百辆时，企业所获得利润最大，最大利润为万元. 【详解】（1）当时，， 当时， ， 所以； （2）当时，， 所以当时，有最大值，为； 当时， ， 当且仅当即时，有最大值为， 所以当时，有最大值为. 综上所述：2024年生产量为百辆时，企业所获得利润最大，最大利润为万元. 20.物理学家牛顿研究提出物体在常温环境下温度变化的模型，如果物体的初始温度为，空气温度为（），则分钟后物体的温度满足（为常数）．实验测算，当时满足． (1)求的值； (2)茶艺文化是中国传统文化的重要组成部分，涵盖茶的制作、泡法、茶器、茶道等方面．经验表明，茶水的口感与茶叶品种和水温有关，某种茶叶泡制的茶水，刚沏出来时茶水温度为75℃，等茶水温度降至55℃时饮用口感最佳．已知空气温度为25℃，则刚沏出来的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？（结果保留一位小数，参考数值：，，） 【答案】(1)； (2)8.6分钟 【详解】（1）由题意可知， ，得，即， 所以； （2）设刚沏出来的茶水大约需要放置分钟才能达到最佳饮用口感， 由题意可知，，，， 所以，即， 所以， 所以刚沏出来的茶水大约需要放置8.6分钟才能达到最佳饮用口感． 21.为研究某种病毒的繁殖速度，某科研机构对该病毒在特定环境下进行培养观察，每隔单位时间进行一次记录，用表示经过单位时间的个数，用表示此病毒的数量，单位为万个，得到如下数据： 1 2 3 4 5 6 （万个） 10 50 250 若该病毒的数量（单位：万个）与经过个单位时间的关系有两个函数模型与可供选择. (1)判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式； (2)至少经过多少个单位时间该病毒的数量不少于12亿个？ 参考数据：. 【答案】(1)选择函数更合适，解析式为 (2) 【详解】（1）若选， 将和代入 可得，解得，故， 将代入，得与相差太大，不符合题意； 若选， 将和代入 可得，解得，故， 将代入，得，符合题意， 综上，选择函数更合适，解析式为. （2）依题意，设至少需要个单位时间， 则，即， 两边同时取对数，可得， 则， ，的最小值为14， 故至少经过14个单位时间该病毒的数量不少于12亿个. 22．近来，哈尔滨花式宠爱南方游客成为新晋顶流，“南方小土豆”“广西小砂糖橘”等对游客的爱称也成为网络热梗.哈尔滨的旅游热潮在一定程度上提升了该区域的经济发展活力.当地某滑雪场的一位滑雪护具售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：某品牌滑雪护具在过去的一个月内(以天计)，每件的销售价格(单位：元)与时间(单位：天)的函数关系近似满足 (为常数，且)，日销售量(单位：件)与时间(单位：天)的部分数据如下表所示 10 15 20 25 30 50 60 70 60 50 已知第天的日销售收入为元. (1)请你根据上表中的数据，求出日销售量与时间的函数解析式； (2)设该工艺品的日销售收入为(单位：元)，试求当为何值时，达到最小值，并求出最小值. 【答案】(1)，； (2)当时，取得最小值元. 【详解】（1）由表格数据知，，，解得， 所以，. （2）由（1）知，， 由，解得， 因此，， 当时，， 当且仅当，即时等号成立， 当时，函数在上单调递减， ，而， 所以当时，取得最小值元. 23.为研究某种病毒的繁殖速度，某科研机构对该病毒在特定环境下进行培养观察，每隔单位时间进行一次记录，用表示经过单位时间的个数，用表示此病毒的数量，单位为万个，得到如下数据： 1 2 3 4 5 6 （万个） 10 50 250 若该病毒的数量（单位：万个）与经过个单位时间的关系有两个函数模型与可供选择. (1)判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式； (2)至少经过多少个单位时间该病毒的数量不少于12亿个？ 参考数据：. 【答案】(1)选择函数更合适，解析式为 (2) 【详解】（1）若选， 将和代入 可得，解得，故， 将代入，得与相差太大，不符合题意； 若选， 将和代入 可得，解得，故， 将代入，得，符合题意， 综上，选择函数更合适，解析式为. （2）依题意，设至少需要个单位时间， 则，即， 两边同时取对数，可得， 则， ，的最小值为14， 故至少经过14个单位时间该病毒的数量不少于12亿个. 24．近来，哈尔滨花式宠爱南方游客成为新晋顶流，“南方小土豆”“广西小砂糖橘”等对游客的爱称也成为网络热梗.哈尔滨的旅游热潮在一定程度上提升了该区域的经济发展活力.当地某滑雪场的一位滑雪护具售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：某品牌滑雪护具在过去的一个月内(以天计)，每件的销售价格(单位：元)与时间(单位：天)的函数关系近似满足 (为常数，且)，日销售量(单位：件)与时间(单位：天)的部分数据如下表所示 10 15 20 25 30 50 60 70 60 50 已知第天的日销售收入为元. (1)请你根据上表中的数据，求出日销售量与时间的函数解析式； (2)设该工艺品的日销售收入为(单位：元)，试求当为何值时，达到最小值，并求出最小值. 【答案】(1)，； (2)当时，取得最小值元. 【详解】（1）由表格数据知，，，解得， 所以，. （2）由（1）知，， 由，解得， 因此，， 当时，， 当且仅当，即时等号成立， 当时，函数在上单调递减， ，而， 所以当时，取得最小值元. $$ 第五章 函数的应用 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 函数的零点 · 零点存在定理 · 二分法 · 函数的应用 一．函数的零点（共8小题） 1．设，函数若恰有一个零点，则c的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知函数．若是方程的四个互不相等的解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知数若且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，方程有3个实数解，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知，，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．已知是函数的零点，是函数的零点，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 7.（多选）已知函数若方程有4个不同的零点，，，，且，则（   ） A． B． C． D．的取值范围为 8．（多选）设函数（且）．则下列四个结论正确的是（    ） A．当时，存在t，方程有唯一解 B．当时，存在t，方程有三个解 C．对任意实数a（且），的值域为 D．存在实数a，使得在区间上单调递增 二．零点存在定理（共4小题） 9.方程的根所在区间是（    ） A． B． C． D． 10．根据表格中的数据，可以判断方程的一个根所在的区间是（    ） x -1 0 1 2 3 0.37 1 2.72 7.39 20.09 1 2 3 4 5 A． B． C． D． 11.函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 12.函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 三．二分法（共2小题） 13．（多选）下列说法正确的是（    ） A．已知方程的解在内，则 B．函数的零点是 C．函数有两个不同的零点 D．用二分法求函数在区间内零点近似值的过程中得到，则零点近似值在区间上 14.求下列函数的零点，可以采用二分法的是（  ） A． B． C． D． 四．函数的应用（共10小题） 15.火箭是能使物体达到宇宙速度，克服或摆脱地球引力，进入宇宙空间的运载工具.1903年齐奥尔科夫斯基就推导出单级火箭的理想速度公式：.表示气体相对于火箭的喷射速度，表示火箭的初始质量（火箭壳与推进剂的总质量），表示推进剂用完后火箭的质量，目前液氢液氧推进剂能达到的发动机的喷射速度约为.理想情况下，对于初始质量为24吨的单级火箭，速度要达到，则需装载的推进剂的吨数约为（   ） （参考数据，） A．22.1 B．22.3 C．22.5 D．22.7 16．“一尺之锤，日取其半，万世不竭”语出《庄子·天下》，意思是一尺长的棍棒，每日截取它的一半，永远截不完（一尺约等于33.33厘米）.若剩余的棍棒长度小于0.33厘米，则需要截取的最少次数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 17.（多选）氚是氢的同位素之一，它的原子核带有放射性，会发生衰变.若样本中氚的质量随时间（单位：年）的衰变规律满足关系式，其中表示氚原有的质量，则（   ）（参考数据：） A．样本中氚的半衰期（放射性物质质量衰减一半所用的时间称作半衰期）为年； B．经过年后，样本中的氚元素会全部消失； C．经过年后，样本中的氚元素变为原来的； D．若年后，样本中氚元素的含量为，则. 18.某地因地制宜发展生态农业，打造特色水果示范区，该地区某水果树的单株年产量（单位：千克）与单株施肥量（单位：千克）之间的函数关系为，且单株投入的年平均成本为元，若这种水果的销售价格为元/千克，且水果销路畅通.记该水果树的单株年利润为（单位：元）. (1)求函数的解析式； (2)求单株施肥量为多少千克时，该水果树的单株年利润最大？最大利润是多少？ 19.随着环保观念深入人心，自本世纪10年代开始新能源汽车开始加速发展，得益于钱学森等老一批科学家的战略眼光及中国汽车人的不懈努力，目前中国正在重新塑造全球汽车行业的格局，在电池、电机、智能化方面具有压倒性优势，成为世界新能源的领导者.2024年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本8000万元，每生产x(百辆)，需另投入成本(万元)，且；已知每辆车售价20万元，由市场调研知，全年内生产的车辆当年能全部销售完. (1)求出2024年的利润(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式； (2)2024年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 20.物理学家牛顿研究提出物体在常温环境下温度变化的模型，如果物体的初始温度为，空气温度为（），则分钟后物体的温度满足（为常数）．实验测算，当时满足． (1)求的值； (2)茶艺文化是中国传统文化的重要组成部分，涵盖茶的制作、泡法、茶器、茶道等方面．经验表明，茶水的口感与茶叶品种和水温有关，某种茶叶泡制的茶水，刚沏出来时茶水温度为75℃，等茶水温度降至55℃时饮用口感最佳．已知空气温度为25℃，则刚沏出来的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？（结果保留一位小数，参考数值：，，） 21.为研究某种病毒的繁殖速度，某科研机构对该病毒在特定环境下进行培养观察，每隔单位时间进行一次记录，用表示经过单位时间的个数，用表示此病毒的数量，单位为万个，得到如下数据： 1 2 3 4 5 6 （万个） 10 50 250 若该病毒的数量（单位：万个）与经过个单位时间的关系有两个函数模型与可供选择. (1)判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式； (2)至少经过多少个单位时间该病毒的数量不少于12亿个？ 参考数据：. 22．近来，哈尔滨花式宠爱南方游客成为新晋顶流，“南方小土豆”“广西小砂糖橘”等对游客的爱称也成为网络热梗.哈尔滨的旅游热潮在一定程度上提升了该区域的经济发展活力.当地某滑雪场的一位滑雪护具售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：某品牌滑雪护具在过去的一个月内(以天计)，每件的销售价格(单位：元)与时间(单位：天)的函数关系近似满足 (为常数，且)，日销售量(单位：件)与时间(单位：天)的部分数据如下表所示 10 15 20 25 30 50 60 70 60 50 已知第天的日销售收入为元. (1)请你根据上表中的数据，求出日销售量与时间的函数解析式； (2)设该工艺品的日销售收入为(单位：元)，试求当为何值时，达到最小值，并求出最小值. 23.为研究某种病毒的繁殖速度，某科研机构对该病毒在特定环境下进行培养观察，每隔单位时间进行一次记录，用表示经过单位时间的个数，用表示此病毒的数量，单位为万个，得到如下数据： 1 2 3 4 5 6 （万个） 10 50 250 若该病毒的数量（单位：万个）与经过个单位时间的关系有两个函数模型与可供选择. (1)判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式； (2)至少经过多少个单位时间该病毒的数量不少于12亿个？ 参考数据：. 24．近来，哈尔滨花式宠爱南方游客成为新晋顶流，“南方小土豆”“广西小砂糖橘”等对游客的爱称也成为网络热梗.哈尔滨的旅游热潮在一定程度上提升了该区域的经济发展活力.当地某滑雪场的一位滑雪护具售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：某品牌滑雪护具在过去的一个月内(以天计)，每件的销售价格(单位：元)与时间(单位：天)的函数关系近似满足 (为常数，且)，日销售量(单位：件)与时间(单位：天)的部分数据如下表所示 10 15 20 25 30 50 60 70 60 50 已知第天的日销售收入为元. (1)请你根据上表中的数据，求出日销售量与时间的函数解析式； (2)设该工艺品的日销售收入为(单位：元)，试求当为何值时，达到最小值，并求出最小值. $$