专题02 几何证明（考题猜想，期末常考60题专项训练）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（沪教版）

专题02 几何证明（考题猜想，期末常考60题专项训练） 1．（20-21八年级上·上海浦东新·期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°． （1）在BC边上求作一点N，使得AN＝BN；（不要求写作法，但要保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：CN＝2BN． 2．（21-22八年级上·上海青浦·期末）已知：如图，点D是的边上的一点，过点D作，，垂足分别为E、F，再过点D作，交于点G，且． 求证： (1)； (2)． 3．（21-22八年级上·上海青浦·期末）已知：如图，A、E、F、D四点在一直线上，，，且．求证：． 4．（22-23八年级上·上海浦东新·期末）已知：如图，在中，，，，垂足分别是点、．求证：． 5．如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AC于点E，DF是△ABD的中线，且CE=2，DE=4，AE=8． (1)求证：； (2)求DF的长． 6．（23-24八年级上·上海黄浦·期末）如图，已知在中，，是的中点． 求证：．    7．（上海长宁·期末）如图，已知中，，，边的垂直平分线交边于点，垂足为点．取线段的中点，联结．求证：． 8．如图，在ΔABC中，CD⊥AB于点D，AC=20，BC=15，DB=9， （1）求DC的长； （2）求证：ΔABC是直角三角形． 9．（23-24八年级上·上海静安·期末）已知：如图，中，，． 操作：过点作，垂足为，在的延长线上，求作一点，使点到两边的距离相等，连接，与相交于点． 猜想：线段与之间的数量关系为：___________． 证明： 10．（23-24八年级上·上海静安·期末）已知：如图是等边三角形，M，N分别在，上，且，，交于点E，于D． 求证： (1)； (2)． 11．（23-24八年级上·上海静安·期末）如图，在和中，，连接与交于点，，分别是、的中点．求证：垂直平分． 12．（23-24八年级上·上海崇明·期末）已知如图，在中，，，，求证：． 13．（23-24八年级上·上海崇明·期末）已知：如图，在中，，，D是边上一点（不与点B、C重合），过D且垂直于的直线与过B且垂直于的直线相交于点E，点M是的中点． (1)若N为的中点，求证：； (2)若，点D为的中点，求的长； (3)若，设，试用x的代数式表示的长． 14．（23-24八年级上·上海金山·期末）如图，和的平分线交于点，过作交的延长线于点，交于点．    (1)求证：； (2)连接，求证：． 15．（上海静安·期末）如图，在四边形中，，对角线与相交于点O，M、N分别是边、的中点． (1)求证：； (2)当，，时，求的长． 16．（21-22八年级上·上海浦东新·期末）中，，点D、E分别为边AB、BC上的点，且，，联结AE交CD与点F，点M是AE的中点，联结CM并延长与AB交于点H． （1）点F是CD中点时，求证：； （2）求证： 17．（22-23八年级上·上海长宁·期末）如图，平分，，点在线段上，． (1)求证：； (2)若，，，求的面积． 18．如图，在中，D是边AB的中点，E是边AC上一动点，连接DE，过点D作DF⊥DE交边BC于点F（点F与点B、C不重合），延长FD到点G，使，连接EF、AG，已知，，． （1）试说明； （2）请你连接EG，设，，求y关于x的函数关系式； （3）当是以BF为腰的等腰三角形时，直接写出AE的长，不必说明理由． 19．（22-23八年级上·上海青浦·期末）如图，已知，按如下步骤作图： ①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于点、； ②分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点； ③作射线交于点． (1)按照上述方法所作的线段是的________；（在横线上填上正确的序号） ①中线；②角平分线；③高． (2)求作：点，使得点到直线与直线的距离相等，且；（保留作图痕迹，不写作法，但要写出结论） (3)过点分别作，，垂足分别为点、．求证：． 20．如图ABC中，AD是高，CE为中线，DC=BE，DG⊥CE于G点，求证： （1）G为CE的中点． （2）∠B=2∠BCE． 21．如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，DB＝DC． （1）求证：BE＝CF； （2）如果BD//AC，∠DAF＝15°，求证：AB＝2DF． 22．如图，已知：在△ABC中，AB= AC， ∠BAC =30°，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF∥AB交AC于F． 求证：DE =DF． 23．（23-24八年级上·上海松江·期末）已知：如图，点在上，垂直平分线段． (1)求证：； (2)连接，求证：是等腰直角三角形． 24．已知，如图：中，，是的中线：求证：．    25．（22-23八年级上·上海长宁·期末）如图，在中，，，垂足为点，是上一点，且．连接，点、分别是、的中点，求证：．    26．（23-24八年级上·上海静安·期末）已知：如图，在中，，点D在边上，. (1)与之间有怎样的数量关系？并证明你所得的结论. (2)求证：. 27．（23-24八年级上·上海宝山·期末）如图，中，，，是边上的中线，是边上一点，是边上一点，且，连接． (1)求证：； (2)如果，，求边的长． 28．（20-21八年级上·上海普陀·期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AB中点，ED∥BC，且与∠ABC的平分线BD交于点D，联结AD． (1)求证：AD⊥BD； (2)记BD与AC的交点为F，求证：BF＝2AD． 29．如图，在△ABC中，点D、E在边BC上，BD＝CE，DM⊥AC，垂足为M，EN⊥AB，垂足为N，DM与EN交于点P，且BN＝CM． (1)求证：PD＝PE； (2)求证：过点A、P的直线垂直平分线段BC． 30．（22-23八年级上·上海浦东新·期末）（1）如图1，在中，，，平分交边于．求证：点在斜边的垂直平分线上； （2）如图2，在（1）的条件下，如果点是斜边上一点（不与点、重合），过点分别作，垂足分别是． 求证：； （3）如图3，在中，，点在边上，，点是斜边上一点（不与点重合），过点分别作，垂足分别是．那么结论“”还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由． 31．已知：如图，在中，，，高与高相交于点F，G为的中点． 求证： (1)； (2)． 32．已知，如图，在中，为边上的中线，且，．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 33．（20-21八年级上·上海金山·期末）已知：如图，中，分别是上的中线，相交于点，联结．求证： （1）； （2）垂直平分． 34．（22-23八年级上·上海青浦·期末）已知，如图在中，、分别是，边上的高，、交于，，，点为的中点，． (1)求证：； (2)求证：． 35．（22-23八年级上·上海青浦·期末）已知：如图，在四边形中，，，点是边的中点，．求证： (1)； (2)． 36．（22-23八年级上·上海青浦·期末）已知：在中，，是边上的中线，且，点是线段上一个动点（点不与点、重合），连接并延长交边于点，连接． (1)如图①，若，求的长； (2)如图②，当时，求证：； (3)若是等腰三角形，求的长． 37．（22-23八年级上·上海青浦·期末）如图，已知中，，于点，是中点，，求证：． 38．（22-23八年级上·上海浦东新·期末）如图，已知在中，，点是的中点，连接，过点作，且，在取点，使，分别连接． (1)求证：； (2)求证：垂直平分． 39．（22-23八年级上·上海青浦·期末）如图，在中，垂直平分边，交于点E，平分的外角，，垂足为点G，，垂足为点H．求证：． 40．（22-23八年级上·上海静安·期末）如图所示，已知：在中，，，是边上的中线，点是直线上任意一点，，交直线于点．点是中点，延长交直线于点． (1)若点在边上， ①证明：； ②证明：； (2)若，，直接写出边的长． 41．（22-23八年级上·上海徐汇·期末）如图，已知锐角中、分别是、边上的高，M、N分别是线段、的中点．求证： (1)． (2)若，求证：是等边三角形 42．（22-23八年级上·上海宝山·期末）如图，直角三角形，直角顶点C在直线上，分别过点A、B作直线的垂线，垂足分别为点D和点E． (1)求证：； (2)如果， ①求证：； ②若设的三边分别为a、b、c，试用此图证明勾股定理． 43．（22-23八年级上·上海宝山·期末）如图，在中，于点D，，点E、F分别是、的中点且，求证：． 44．（23-24八年级上·上海嘉定·期末）已知：如图，在四边形中，，平分，点是中点，，垂足为点．求证： (1)； (2)． 45．（23-24八年级上·上海闵行·期末）已知：如图，在中，，点C在上，点E在上，，，点G是的中点． (1)求证：； (2)求证：． 46．（23-24八年级上·上海杨浦·期末）已知在中，，，点D、E在线段上． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，若点P是内任意一点，，请猜想线段、、之间的数量关系，并证明． 47．（23-24八年级上·上海普陀·期末）如图，在中，，直线，垂足为点． (1)如果点在直线上，且点到两边的距离相等，试用直尺和圆规作出满足上述条件的点（不写作法，仅保留作图痕迹，在图中清楚地标注出点）； (2)在第（1）题的条件下，连接接和，如果，请判断的形状，并说明理由． 48．（23-24八年级上·上海长宁·期末）如图，在四边形中，，，．    (1)求证：： (2)如果平分，且，求的面积． 49．（23-24八年级上·上海长宁·期末）如图，在中，，点D在边上，点E在的延长线上，，，交延长线于点F，．    (1)求证：； (2)求证：． 50．（22-23八年级上·上海长宁·期末）在中，已知，，点在射线上，连接，． (1)如图1，若的垂直平分线经过点，求的度数； (2)如图2，当点在边上时，求证：； (3)若，，请直接写出的长． 51．（23-24八年级上·上海松江·期末）在中，，点是边上一点，过作垂直，垂足为点． (1)如图1，点是的中点，，如果，求的长； (2)已知， ①如图2，连接，求证：平分； ②如图3，延长至点，连接交线段于点，当，且点是中点时，求的值． 52．如图，在中，，，点是边上的动点（点与点、不重合），过点作交射线于点，连接，点是的中点，过点、作直线，交于点，连接、．      (1)当点在边上，设，，写出关于的函数关系式； (2)判断的形状，并给出证明； (3)如果，求的长． 53．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）已知：如图是直角三角形，，点分别在边上，且，，．    (1)证明：线段能组成直角三角形； (2)当是边上的中点时，判断：的位置关系． 54．（21-22八年级上·上海·期末）如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB=60°，AB=10，点F是AB中点，点D是射线CB上的一个动点，△ADE是等边三角形，联结EF． (1)当点D在线段CB上时， ①求证：△AEF≌△ADC； ②联结BE，设C、D间距离为x，，求y关于x的函数解析式及定义域； (2)当∠DAB=15°时，求△ADE的面积（直接写出答案）． 55．（22-23八年级上·上海青浦·期末）如图，在中，D是的中点，E是边上一动点，连接，过点D作交边于点F（点F与点B、C不重合），延长到点G，使，连接，已知． (1)求证：； (2)设，求y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (3)当是以为腰的等腰三角形时，求的长． 56．（24-25八年级上·上海·期末）小明在研究平面几何知识时，意识到等腰三角形和直角三角形经常同时出现，比如：等腰三角形三线合一：再比如：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．等等．在此基础上，小明同学还做了一些研究，并邀请你参加． 已知中，，将绕着点A旋转，点B、C的对应点分别是点D、E，连接． (1)求证； (2)点F在边上（且F不与点C、D重合），连接，过A作，交射线于点G，连接，小明发现线段、、能够组成一个直角三角形，你认为小明的发现正确吗？如果正确，请证明，如果不正确，请说明理由； (3)在（2）的条件下，已知，，设，，直接写出y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 57．（23-24八年级上·上海·期末）如图1，在中，，，，是的中点．是射线上一个动点，连接，过点作的垂线，交射线于． (1)如图2，如果点与点重合，求证：； (2)如图3，如果，求的长； (3)设，，求关于的函数关系式． 58．（23-24八年级上·上海普陀·期末）已知：如图，在中，点A在边的垂直平分线上，直线l经过点A，、分别垂直于直线l，垂足分别为点D、E，且． (1)求证：． (2)取边的中点F，连接，求证：平分． 59．（23-24八年级上·上海长宁·期末）已知在，，点P在边上，连接． (1)如图1，如果点P在线段的垂直平分线上，求证：； (2)过点P作，交边于点D， ①如图2，如果点P是线段的中点，且，求的度数； ②填空：如果，，且是以为腰的等腰三角形，那么的长等于 　 　． 60．（23-24八年级上·上海金山·期末）如图，在中，，，，垂足为．点为边上一点（不与、重合），连接作，射线交射线于.设，． (1)求证：； (2)当点在线段上时，求关于的函数解析式并写出定义域； (3)当时，请直接写出的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 几何证明（考题猜想，期末常考60题专项训练） 1．（20-21八年级上·上海浦东新·期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°． （1）在BC边上求作一点N，使得AN＝BN；（不要求写作法，但要保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：CN＝2BN． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【知识点】作垂线(尺规作图)、等边对等角、含30度角的直角三角形 【详解】（1）作线段AB的垂直平分线交于点，点即为所求； （2）根据等腰三角形的性质计算出∠C的度数，再计算出∠CAN的度数，然后根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得CN＝2AN，进而得到CN＝2BN． 【解答】（1）解：如图，点即为所求； （2）证明：连接AN． ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝30°． ∴∠BAC＝180°﹣2∠B＝120°． ∵AN＝BN， ∴∠BAN=∠B＝30° ∴∠NAC＝∠BAC﹣∠NAB＝120°﹣30°＝90°． ∵∠C＝30°， ∴CN＝2AN． ∴CN＝2BN． 【点睛】此题主要考查了作图，等腰三角形的性质以及含30度角的直角三角形，关键是正确画出图形，掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． 2．（21-22八年级上·上海青浦·期末）已知：如图，点D是的边上的一点，过点D作，，垂足分别为E、F，再过点D作，交于点G，且． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、根据等角对等边证明边相等、两直线平行内错角相等、角平分线的判定定理 【分析】（1）连接，先根据，且， 可知，再根据即可得出，进而可得出，由等角对等边可知； （2）先证明，得出，根据，，得出． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ∵，且， ∴平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：在和中 ， ∴，     ∴，         ∵， 又∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的判定，等边对等角，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明． 3．（21-22八年级上·上海青浦·期末）已知：如图，A、E、F、D四点在一直线上，，，且．求证：． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、内错角相等两直线平行 【分析】由条件易证明，则可得，由平行线的判定定理即可证得结论． 【详解】证明：， ， ， ， 在和中，， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定等知识，其中判定两个三角形全等是解题的关键． 4．（22-23八年级上·上海浦东新·期末）已知：如图，在中，，，，垂足分别是点、．求证：． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】利用证明，得到，即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AC于点E，DF是△ABD的中线，且CE=2，DE=4，AE=8． (1)求证：； (2)求DF的长． 【答案】(1)见解析 (2)DF的长为5． 【知识点】用勾股定理解三角形、线段垂直平分线的判定、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理，证明△ADC是直角三角形，即可得出∠ADC是直角； （2）根据三角形的中线的定义以及直角三角形的性质解答即可． 【详解】（1）证明：∵DE⊥AC于点E， ∴∠AED=∠CED=90°， 在Rt△ADE中，∠AED=90°， ∴AD2=AE2+DE2=82+42=80， 同理：CD2=20， ∴AD2+CD2=80+20=100， ∵AC=AE+CE=8+2=10， ∴AC2=100， ∴AD2+CD2=AC2， ∴△ADC是直角三角形， ∴∠ADC=90°； （2）解：∵AD是△ABC的中线，∠ADC=90°， ∴AD垂直平分BC， ∴AB=AC=10， 在Rt△ADB中，∠ADB=90°， ∵点F是边AB的中点， ∴DF=AB=5． ∴DF的长为5． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质与判定，垂直平分线的判定和的性质，熟记勾股定理与逆定理是解答本题的关键． 6．（23-24八年级上·上海黄浦·期末）如图，已知在中，，是的中点． 求证：．    【答案】见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据三线合一证明 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质．证明，推出，再利用“三线合一”的性质即可求解． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴． 7．（上海长宁·期末）如图，已知中，，，边的垂直平分线交边于点，垂足为点．取线段的中点，联结．求证：． 【答案】见解析 【知识点】线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查中垂线的性质，直角三角形斜边中线的性质，直角三角形角所对的边与斜边之间的关系；先根据线段垂直平分线的性质得：，再利用直角三角形斜边中线的性质得：与的关系，最后根据直角三角形度的性质得和的关系，从而得出结论． 【详解】证明：如图所示，连接， 是的垂直平分线， ，， ， ， 中，是的中点， ， 中，， ， ． 8．如图，在ΔABC中，CD⊥AB于点D，AC=20，BC=15，DB=9， （1）求DC的长； （2）求证：ΔABC是直角三角形． 【答案】（1）12 ；（2）证明见详解． 【知识点】用勾股定理解三角形、判断三边能否构成直角三角形 【分析】（1）直接根据勾股定理求出CD即可； （2）根据勾股定理的逆定理即可证明出△ABC是直角三角形． 【详解】解：（1）∵CD⊥AB， ∴∠CDB=∠CDA=90°， 在Rt△CDB中，∵BC=15，DB=9， ∴根据勾股定理，得CD==12； （2）证明：Rt△CDA中，CD2+AD2=AC2， ∴122+AD2=202， ∴AD=16， ∴AB=AD+BD=16+9=25， ∴AC2+BC2=202+152=625=AB2 ∴△ABC是直角三角形． 【点睛】本题考查勾股定理、勾股定理逆定理的内容，求出AB是解题的关键． 9．（23-24八年级上·上海静安·期末）已知：如图，中，，． 操作：过点作，垂足为，在的延长线上，求作一点，使点到两边的距离相等，连接，与相交于点． 猜想：线段与之间的数量关系为：___________． 证明： 【答案】猜想，证明见解析 【知识点】角平分线的判定定理、等腰三角形的性质和判定、三角形的外角的定义及性质、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】根据题意可知点P在的角平分线上，则，由此推出，设，由平行线的性质可得，如图所示，取中点H，连接，则，根据等边对等角得到，由三角形外角的性质得到，进而可证明，得到，则． 【详解】解：猜想，证明如下： ∵点到两边的距离相等， ∴点P在的角平分线上， ∴， ∵， ∴， 设， ∵， ∴， 如图所示，取中点H，连接， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质，角平分线的定义和角平分线的判定，平行线的性质，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一般是解题的关键． 10．（23-24八年级上·上海静安·期末）已知：如图是等边三角形，M，N分别在，上，且，，交于点E，于D． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质、三角形的外角的定义及性质、含30度角的直角三角形 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质： （1）先由等边三角形的性质得到，再由即可证明； （2）由全等三角形的性质得到，进而根据三角形外角的性质得到，再求出，即可证明． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 11．（23-24八年级上·上海静安·期末）如图，在和中，，连接与交于点，，分别是、的中点．求证：垂直平分． 【答案】见解析 【知识点】等腰三角形的性质和判定、斜边的中线等于斜边的一半、线段垂直平分线的判定 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质；连接，根据斜边上的中线等于斜边的一半得出，进而根据等腰直角三角形的性质，即可求解． 【详解】证明：连接， ∵，是的中点， ∴， ∵是的中点， ∴，即垂直平分． 12．（23-24八年级上·上海崇明·期末）已知如图，在中，，，，求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】等腰三角形的性质和判定、含30度角的直角三角形、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的小侄子，先根据等边对等角得到，则由三角形内角和定理得到，由垂直的定义得到，则，进一步证明，得到，则． 【详解】证明：∵在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 13．（23-24八年级上·上海崇明·期末）已知：如图，在中，，，D是边上一点（不与点B、C重合），过D且垂直于的直线与过B且垂直于的直线相交于点E，点M是的中点． (1)若N为的中点，求证：； (2)若，点D为的中点，求的长； (3)若，设，试用x的代数式表示的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、斜边的中线等于斜边的一半、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，直角三角形的性质： （1）如图所示，连接，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的额一半可得，则由三线合一定理可得； （2）如图所示，在上取一点G使得，连接，证明，得到，求出，则，进而得到； （3）同（2）求出，则． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵，点M是的中点， ∴， ∴， 又∵N为的中点， ∴； （2）解；如图所示，在上取一点G使得，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即，， ∵，即， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，在上取一点G使得，连接， 同理可证明， ∵，， ∴， ∴， ∵点M是的中点， ∴ ． 14．（23-24八年级上·上海金山·期末）如图，和的平分线交于点，过作交的延长线于点，交于点．    (1)求证：； (2)连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． （1）过点E作于点H，利用角平分线的性质即得证； （2）通过证明即可． 【详解】（1）作，垂足为点    平分，，（已知） （在角平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等） 平分，，（已知） （在角平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等） （等量代换） （2），（已知） ，（垂直的意义） 在和中， （全等三角形对应角相等） 15．（上海静安·期末）如图，在四边形中，，对角线与相交于点O，M、N分别是边、的中点． (1)求证：； (2)当，，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】线段垂直平分线的判定、斜边的中线等于斜边的一半、等边对等角、含30度角的直角三角形 【分析】（1）连接．由直角三角形斜边上中线的性质可得，由线段垂直平分线的判定即可证明结果； （2）由及可得，再由得，在中由含30度角直角三角形的性质即可求得的长． 【详解】（1）证明：如图，连接． ，点M、点N分别是边、的中点， ∴，， ∴， ∵N是的中点， ∴是的垂直平分线， ． （2）解：，， ， ， ， ， ，， ， 在中，， ∴cm， 答：的长是． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的性质，含30度角直角三角形的性质等知识，其中连接是解题的关键． 16．（21-22八年级上·上海浦东新·期末）中，，点D、E分别为边AB、BC上的点，且，，联结AE交CD与点F，点M是AE的中点，联结CM并延长与AB交于点H． （1）点F是CD中点时，求证：； （2）求证： 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、利用勾股定理证明线段平方关系、线段垂直平分线的判定、线段垂直平分线的性质 【分析】（1）联结MD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得,根据点F是CD中点，即可判断是的垂直平分线； （2）证明是的垂直平分线，可得，进而在中，，等量代换即可得 【详解】（1）证明：联结MD． ∵， ∴ ∵点M是AE的中点， ∴．同理可证：， ∴． ∵点F是CD中点， ∴． （2）证明：∵， ∴． ∵点M是AE的中点， ∴． ∵， ∴点M，点C在线段AD的垂直平分线上． ∴CM是线段AD的垂直平分线． ∴，． ∴． ∴中， ∴． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，掌握垂直平分线的性质与判定是解题的关键． 17．（22-23八年级上·上海长宁·期末）如图，平分，，点在线段上，． (1)求证：； (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、二次根式的加减运算、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，熟记全等三角形的判定与性质，角平分线的性质是解题的关键． （1）根据角平分线的性质得出，从而可证明，得出，，得出，即可推出结论； （2）根据等面积法求出的长，从而得出的长，得出的面积，可推出结果． 【详解】（1）证明：如图，过点作于， 又，平分， ， 在与中， ， ， ， 在与中， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 由（1）知，， 的面积为． 18．如图，在中，D是边AB的中点，E是边AC上一动点，连接DE，过点D作DF⊥DE交边BC于点F（点F与点B、C不重合），延长FD到点G，使，连接EF、AG，已知，，． （1）试说明； （2）请你连接EG，设，，求y关于x的函数关系式； （3）当是以BF为腰的等腰三角形时，直接写出AE的长，不必说明理由． 【答案】(1)见解析；（2）；（3）AE的长度为或 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】（1）由D是AB中点知AD=DB，结合DG=DF，∠ADG=∠BDF即可证得，从而可得结论； （2）连接EG．根据垂直平分线的判定定理即可证明EF=EG,由△ADG≌△BDF，推出∠GAB=∠B，推出∠EAG=90°，可得EF2=（8-x）2+y2，EG2=x2+（6-y）2，根据EF=EG，可得（8-x）2+y2=x2+（6-y）2，由此即可解决问题； （3）如图2中，分两种情况讨论即可．①当BF=DB时．②当DF=FB时，连接DC，过点D作DH⊥BC于H，想办法求出y的值，再利用（2）的结论即可解决问题． 【详解】（1）∵D是AB中点， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）如图，连接EG． ∵DG=FD，DF⊥DE， ∴EF=EG． ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 由（1）知 ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）如图2中， ①当BF=DB时，6-y=5， ∴y=1，1=， ∴x=，即AE=． ②当DF=FB时，连接DC，过点D作DH⊥BC于H，则DF=FB=6-y， ∵∠ACB=90°，D是AB中点， ∴DC=DB=5， ∵DH⊥BC，BC=6， ∴CH=BH=3， ∴FH=3-y， ∵DH⊥BC，由勾股定理可得DH=4， 在Rt△DHF中，（6-y）2=42+（3-y）2， 解得y=， ∴=， 解得x=，即AE=. 综上所述，AE的长度为或． 【点睛】本题考查三角形综合题、勾股定理以及逆定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用方程的思想思考问题. 19．（22-23八年级上·上海青浦·期末）如图，已知，按如下步骤作图： ①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于点、； ②分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点； ③作射线交于点． (1)按照上述方法所作的线段是的________；（在横线上填上正确的序号） ①中线；②角平分线；③高． (2)求作：点，使得点到直线与直线的距离相等，且；（保留作图痕迹，不写作法，但要写出结论） (3)过点分别作，，垂足分别为点、．求证：． 【答案】(1)② (2)见解析 (3)见解析 【知识点】作垂线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质定理、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】（1）根据作图方法可得答案； （2）作线段的垂直平分线，交于点M即可； （3）连接，，根据证明即可． 【详解】（1）由作图方法可知线段是的角平分线． 故答案为：②； （2）∵点到直线与直线的距离相等， ∴点在的平分线上． ∵， ∴点在的垂直平分线上． 如图，点M即为所求； （3）如图，连接，． ∵点在的平分线上， ，， ∴． ∵点在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的作图及性质，线段垂直平分线的作图及性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 20．如图ABC中，AD是高，CE为中线，DC=BE，DG⊥CE于G点，求证： （1）G为CE的中点． （2）∠B=2∠BCE． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和HL综合（HL）、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】（1）证是的中点，即，可证它们所在的三角形全等，即连接，证； （2）由（1）知：是等腰三角形，则，根据三角形外角的性质可得． 【详解】证明：（1）连接， ，是的中点， 是斜边上的中线，即； ； 又， ， ， 是的中点． （2）由（1）知：； ，； ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质，作出辅助线是解题的关键． 21．（20-21七年级上·上海浦东新·期末）如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，DB＝DC． （1）求证：BE＝CF； （2）如果BD//AC，∠DAF＝15°，求证：AB＝2DF． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【知识点】角平分线性质的实际应用、含30度角的直角三角形、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】（1）证明，；进而证明 ，即可解决问题； （2）根据平行线的性质和含的直角三角形的性质解答即可． 【详解】证明：（1）平分，， ， ，； 在和中， ， ， ； （2）平分，， ，， ， ，， ， ， 在中，， ， ， 平分，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定、角平分线的性质及其应用等几何知识点，熟悉相关性质是解题的关键． 22．如图，已知：在△ABC中，AB= AC， ∠BAC =30°，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF∥AB交AC于F． 求证：DE =DF． 【答案】答案见解析 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、与三角形中位线有关的证明、含30度角的直角三角形、根据三线合一证明 【分析】利用等腰三角形三线合一的性质得知AD是△ABC的对称轴，利用三角形中位线定理推出F点是线段AC的中点，取AB的中点G，利用三角形中位线定理推出DF=DG，∠DGB =∠BAC =30°，再利用含30度角的直角三角形的性质即可证明结论． 【详解】∵AB= AC，D是BC的中点，∠BAC =30°， ∴AD是△ABC的对称轴，AD⊥BC， ∵DF∥AB，且D是BC的中点， ∴F点是线段AC的中点， ∴DF=AC， 取AB的中点G，连接DG， ∴DG是△ABC的中位线， ∴DG=AC= DF，∠DGB =∠BAC =30°， ∵DE⊥AB， ∴∠GED=90°， 在Rt△DEG中，∠DGE=30°， ∴DE=DG =DF． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，三角形中位线的性质，含30度角的直角三角形的性质，作出辅助线证得DF=DG，∠DGB =∠BAC =30°是解题的关键． 23．（23-24八年级上·上海松江·期末）已知：如图，点在上，垂直平分线段． (1)求证：； (2)连接，求证：是等腰直角三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定和性质定理，线段垂直平分线的性质，垂直的定义即可得到结论； （2）根据全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵垂直平分线段， ∴， 在 和 中, ， ， ， ， ， ， ∴； （2）证明：延长交的延长线于， 由（1）知， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴ ， ， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴,， ∴是等腰直角三角形． 24．已知，如图：中，，是的中线：求证：．    【答案】见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、等腰三角形的性质和判定 【分析】利用中线加倍证，可得，，由，可得进而可证，再证即可． 【详解】证明：延长到F，使，连接，    ∵E是中点， ∴， ∴在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ， ∴， 在和中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查中线加倍构图，三角形全等判定与性质，等腰三角形性质，掌握中线加倍构图，三角形全等判定与性质，等腰三角形性质是解题关键． 25．（22-23八年级上·上海长宁·期末）如图，在中，，，垂足为点，是上一点，且．连接，点、分别是、的中点，求证：．    【答案】见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据，，推出，从而证明，得出，再根据直角三角形斜边上的中线的性质即可证明． 【详解】证明：， ，， ， 在和中 又点、分别是、的中点 ， ． 26．（23-24八年级上·上海静安·期末）已知：如图，在中，，点D在边上，. (1)与之间有怎样的数量关系？并证明你所得的结论. (2)求证：. 【答案】(1)，证明过程见解析 (2)证明过程见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边对等角、对顶角相等、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，再根据，即可得出结论； （2）在上截取，根据对顶角相等可得，再根据三角形内角和可得，由，可得，从而可得，可证，即可得出结论． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：在上截取， ∵，， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、对顶角相等、三角形内角和定理及全等三角形的判定与性质，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 27．（23-24八年级上·上海宝山·期末）如图，中，，，是边上的中线，是边上一点，是边上一点，且，连接． (1)求证：； (2)如果，，求边的长． 【答案】(1)证明详见解析； (2)． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、斜边的中线等于斜边的一半、用勾股定理解三角形、等腰三角形的定义 【分析】（）证，即可得出结论； （）由全等三角形的性质得，，则是等腰直角三角形，得，再由勾股定理求出的长，即可得出结论； 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质以及勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵是边上的中线， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：由（）可知，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 即边的长为． 28．（20-21八年级上·上海普陀·期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AB中点，ED∥BC，且与∠ABC的平分线BD交于点D，联结AD． (1)求证：AD⊥BD； (2)记BD与AC的交点为F，求证：BF＝2AD． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】两直线平行内错角相等、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）由平行线的性质和角平分线的性质可得，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，可证； （2）由“”可证，可得，由“”可证，可得． 【详解】（1）解：证明：为中点， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：延长，交于点， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是添加恰当辅助线构造全等三角形． 29．如图，在△ABC中，点D、E在边BC上，BD＝CE，DM⊥AC，垂足为M，EN⊥AB，垂足为N，DM与EN交于点P，且BN＝CM． (1)求证：PD＝PE； (2)求证：过点A、P的直线垂直平分线段BC． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、等腰三角形的性质和判定、角平分线的判定定理、线段垂直平分线的判定 【分析】（1）利用等式的性质可知BE＝CD，再运用HL证明Rt△BNE≌Rt△CMD，得∠NED＝∠MDC，则有PD＝PE； （2）连接AP并延长交BC于点Q，由（1）知AB＝AC，再说明AP平分∠BAC，从而证明结论． 【详解】（1）证明：（1）∵DM⊥AC，EN⊥AB， ∴∠BNE＝∠CMD＝90°， ∵BD＝CE， ∴BD+DE＝CE+DE， ∴BE＝CD， 在Rt△BNE与Rt△CMD中， ， ∴Rt△BNE≌Rt△CMD（HL）， ∴∠NED＝∠MDC， ∴PD＝PE； （2）解：连接AP并延长交BC于点Q， ∵Rt△BNE≌Rt△CMD， ∴∠B＝∠C，NE＝MD， ∴AB＝AC， ∵NE＝MD，PD＝PE， ∴NE﹣PE＝MD﹣PD， ∴PN＝PM， 又∵PN⊥AB，PM⊥AC， ∴AP平分∠BAC， 即AQ平分∠BAC， ∴AQ⊥BC，BQ＝CQ， 即过点A、P的直线垂直平分线段BC． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，角平分线的判定，线段垂直平分线的判定，熟知等腰三角形的性质与判定条件是解题的关键． 30．（22-23八年级上·上海浦东新·期末）（1）如图1，在中，，，平分交边于．求证：点在斜边的垂直平分线上； （2）如图2，在（1）的条件下，如果点是斜边上一点（不与点、重合），过点分别作，垂足分别是． 求证：； （3）如图3，在中，，点在边上，，点是斜边上一点（不与点重合），过点分别作，垂足分别是．那么结论“”还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）成立，理由见解析 【知识点】线段垂直平分线的判定、根据等角对等边证明边相等、与三角形的高有关的计算问题、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查角平分线的定义、线段垂直平分线的性质、30度直角三角形的性质、 （1）根据题意和角平分线的定义，可以得到和的关系，然后即可得到和的关系，再根据线段垂直平分线的性质，即可证明结论成立； （2）根据30度直角三角形的性质得，，进而得出结论； （3）利用面积法得到求证即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴点在斜边的垂直平分线上； （2）证明：∵，， ∴， 由（1）可得， 又∵， ∴，， ∴， ∴； （3）成立，理由如下： 连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 31．已知：如图，在中，，，高与高相交于点F，G为的中点． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等三角形综合问题、三角形内角和定理的应用、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形内角和定理． （1）根据等腰直角三角形的性质证明，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，进而可以解决问题； （2）由（1）得，然后证明，进而根据三角形内角和定理即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∵G为的中点． ， ， ∴E为的中点． ， ； （2）证明：由（1）知：， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 32．已知，如图，在中，为边上的中线，且，．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）根据中线的定义推出，进而得到，，推出，根据同角的余角相等，即可得证； （2）根据含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）证明：为边上的中线， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：，，， ， ， ， ， ， 的长为． 【点睛】本题考查等边对等角，勾股定理，含30度角的直角三角形．解题的关键是掌握相关知识点，并灵活运用． 33．（20-21八年级上·上海金山·期末）已知：如图，中，分别是上的中线，相交于点，联结．求证： （1）； （2）垂直平分． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【知识点】线段垂直平分线的判定、根据等角对等边证明等腰三角形 【分析】（1）利用三角形的全等，得到一对对应角，后利用等角对等边证明即可； （2）根据线段垂直平分线的判定证明即可． 【详解】（1）∵分别是上的中线， ∴BE=CD，∠EBC=∠DCB， ∵BC=CB， ∴△EBC≌△DCB， ∴∠ECB=∠DBC， ∴OB=OC； （2）设AO与DE的交点为F， ∵△EBC≌△DCB， ∴EC=DB， ∵OB=OC； ∴OD=OE， ∴点O在线段DE的垂直平分线上， ∵AE=AD， ∴点A在线段DE的垂直平分线上， ∴直线AO是线段DE的垂直平分线， ∴垂直平分． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的全等，中线的定义，垂直平分线的判定和性质，同一个三角形中，等角对等边，熟练掌握线段垂直平分线的逆定理是解题的关键． 34．（22-23八年级上·上海青浦·期末）已知，如图在中，、分别是，边上的高，、交于，，，点为的中点，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】（1）由全等三角形的判定定理HL证得结论即可； （2）结合（1）中全等三角形的对应边相等得到DC=DH，结合直角三角形斜边中线性质得到，然后证明是等边三角形，推出，根据得到，即可求出． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴（HL）． （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查直角三角形斜边中线的性质，直角三角形30度角的性质等，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 35．（22-23八年级上·上海青浦·期末）已知：如图，在四边形中，，，点是边的中点，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】根据三线合一证明、线段垂直平分线的性质、斜边的中线等于斜边的一半、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）延长交于点F，证明，可得，，从而得到垂直平分，进而得到，即可； （2）根据等腰三角形的性质可得，再由，可得，从而得到，进而得到，可得到，即可． 【详解】（1）证明：如图，延长交于点F， ∵， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵，， ∴，， ∵，， ∴，即，   ∴，即：， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质是解题的关键． 36．（22-23八年级上·上海青浦·期末）已知：在中，，是边上的中线，且，点是线段上一个动点（点不与点、重合），连接并延长交边于点，连接． (1)如图①，若，求的长； (2)如图②，当时，求证：； (3)若是等腰三角形，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【知识点】用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质、斜边的中线等于斜边的一半、含30度角的直角三角形 【分析】（1）根据直角三角形的性质，可得，从而得到是等边三角形，进而得到，可得到，再由勾股定理求出，即可求解； （2）证明，可得，从而得到，再根据等腰三角形的判定，可得，即可； （3）分三种情况讨论：当时；当时，过点D作于点M；当时，过点Q作于点E，即可． 【详解】（1）解：∵，是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：当时，， ∵， ∴， ∴， 此时点Q，B重合，不符合题意，舍去； 当时，如图，过点D作于点M， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，如图，过点Q作于点E， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定，二次根式的化简，全等三角形的判定和性质，熟练掌握直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 37．（22-23八年级上·上海青浦·期末）如图，已知中，，于点，是中点，，求证：． 【答案】证明见详解 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质和判定 【分析】连接，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得出等腰三角形，再等量代换即可得到结论； 【详解】证明：连接， ∵， ∴ ， ∵是中点， ∴； ∴ ∵ ∴ 在中 外角 ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了三角形的外角定理，平行线额性质以及直角三角形的性质，正确地识别图形是解题的关键． 38．（22-23八年级上·上海浦东新·期末）如图，已知在中，，点是的中点，连接，过点作，且，在取点，使，分别连接． (1)求证：； (2)求证：垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】根据三线合一证明、等腰三角形的性质和判定、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判定和性质，等腰三角形三线合一： （1）根据直角三角形斜边中线的性质求出，，可证； （2）证出，得出，证出，根据等腰三角形三线合一即可得出结论． 【详解】（1）证明： ，，点是的中点， ，， ； （2）证明：， ， ，， ， ， ， 是的角平分线， 又， ，平分， 垂直平分． 39．（22-23八年级上·上海青浦·期末）如图，在中，垂直平分边，交于点E，平分的外角，，垂足为点G，，垂足为点H．求证：． 【答案】证明见解析． 【知识点】线段垂直平分线的性质、角平分线的性质定理、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】根据角平分线的性质得到，根据线段垂直平分线的性质得到，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】证明：∵平分的外角，，， ∴， ∵垂直平分边， ∴， 在和中，， ∴（HL）， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，是熟练正确全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 40．（22-23八年级上·上海静安·期末）如图所示，已知：在中，，，是边上的中线，点是直线上任意一点，，交直线于点．点是中点，延长交直线于点． (1)若点在边上， ①证明：； ②证明：； (2)若，，直接写出边的长． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)或 【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）①连接，推出，，，证即可； ②连接，根据直角三角形斜边上中线求出，推出，推出，推出即可； （2）求出，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】（1）①证明：连接，，是边上的中线，，， ， 又， ， ，， ， ， ， 在和中， ，，， ， ； ②证明：连接， ，为的中点， ， ，为的中点， ， ， ． 又， ， ，， ， ， ； （2）如图，当在线段上时， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ； 如图，当E在线段CA延长线时， ， 综合上述：或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，综合运用以上知识是解题的关键． 41．（22-23八年级上·上海徐汇·期末）如图，已知锐角中、分别是、边上的高，M、N分别是线段、的中点．求证： (1)． (2)若，求证：是等边三角形 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【知识点】等边三角形的判定、三角形内角和定理的应用、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】（1）连接、，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，然后由等腰三角形“三线合一”即可得到答案； （2）根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质求出即可证明． 【详解】（1）如图：连接、， 、分别是、边上的高， ,， 在与中， M是线段的中点， ,， ， 是等腰三角形， 又因为N是线段的中点， ； （2）在中，， ， 由（1）可知： ， ，， ， ， ， 由（1）可知是等腰三角形， 是等边三角形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形的内角和，等边三角形的证明；掌握基本性质是解题的关键． 42．（22-23八年级上·上海宝山·期末）如图，直角三角形，直角顶点C在直线上，分别过点A、B作直线的垂线，垂足分别为点D和点E． (1)求证：； (2)如果， ①求证：； ②若设的三边分别为a、b、c，试用此图证明勾股定理． 【答案】(1)见解析 (2)见解析；见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、勾股定理的证明方法、直角三角形的两个锐角互余 【分析】（1）根据已知得到，，证得，，推出； （2）证明即可得到结论； 根据全等三角形的性质得到，根据四边形的面积即可推出． 【详解】（1）证明：∵三角形是直角三角形，直角顶点C在直线上， ∴， ∵过点A、B作直线的垂线，垂足分别为点D和点E． ∴， ∴，， ∴； （2）在和中 ∴， ∴； ∵， ∴， ∵四边形的面积 ∴， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的推导，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理及勾股定理的公式是解题的关键． 43．（22-23八年级上·上海宝山·期末）如图，在中，于点D，，点E、F分别是、的中点且，求证：． 【答案】见解析 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】利用证明，即可解决问题． 【详解】证明： ， ． ∵点E、F分别是、的中点， ，， ， ， 在和中， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上中线的性质，正确证明三角形全等是解题的关键． 44．（23-24八年级上·上海嘉定·期末）已知：如图，在四边形中，，平分，点是中点，，垂足为点．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】等腰三角形的性质和判定、斜边的中线等于斜边的一半、线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定 【分析】（1）由垂直的定义得到，再由三角形内角和定理得到，则； （2）如图所示，连接，根据直角三角形的性质得到，则，再由角平分线的定义证明，推出，即可证明垂直平分，则． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图所示，连接， ∵，是中点， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，相等垂直平分线的性质与判定等等，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 45．（23-24八年级上·上海闵行·期末）已知：如图，在中，，点C在上，点E在上，，，点G是的中点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】等腰三角形的性质和判定、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定和性质． （1）连接，得到，根据三线合一，即可得证； （2）三线合一，得到，根据，得到，即可得证； 掌握斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键． 【详解】（1）解：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵点G是的中点， ∴； （2）由（1）知：， ∴， ∵点G是的中点， ∴． 46．（23-24八年级上·上海杨浦·期末）已知在中，，，点D、E在线段上． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，若点P是内任意一点，，请猜想线段、、之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)，证明见解析 【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据旋转的性质求解、全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形 【分析】（1）如图所示，过点C作于F，利用三线合一定理得到，由此即可证明； （2）如图所示，将绕点C沿逆时针方向旋转得到，连接，则，证明，得，再证明，则，即可证得； （3）将绕点C沿逆时针方向旋转得到，连接，则，所以，再证明，则，可证得． 【详解】（1）证明：如图所示，过点C作于F， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图所示，将绕点C沿逆时针方向旋转得到，连接， ∵， ∴， 由旋转得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：，证明如下： 如图，将绕点C沿逆时针方向旋转得到，连接， 由旋转得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确利用旋转构造全等三角形是解题的关键． 47．（23-24八年级上·上海普陀·期末）如图，在中，，直线，垂足为点． (1)如果点在直线上，且点到两边的距离相等，试用直尺和圆规作出满足上述条件的点（不写作法，仅保留作图痕迹，在图中清楚地标注出点）； (2)在第（1）题的条件下，连接接和，如果，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)为直角三角形．理由见解析 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，尺规作图，勾股定理，解题的关键是掌握角平分线的性质． （1）根据角平分线的性质，尺规作的平分线，与直线交于点； （2）过点作于，根据角平分线性质得出，根据三角形面积公式求出，结合，可得，即可解答． 【详解】（1）解：如图，点即为所求， （2）为直角三角形， 理由如下：过点作于． 平分，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 为直角三角形． 48．（23-24八年级上·上海长宁·期末）如图，在四边形中，，，．    (1)求证：： (2)如果平分，且，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解、角平分线的性质定理、含30度角的直角三角形 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，即可解答； （2）过点A作，垂足为E，先利用角平分线的性质可得，然后在中，利用勾股定理求出的长，再在中，利用含30度角的直角三角形的性质求出的长，从而求出的长，最后利用三角形的面积公式进行计算，即可解答． 本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，根据题目的逐一条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴． （2）解：过点A作，垂足为E，，    ∵平分，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为：， ∴的面积为． 49．（23-24八年级上·上海长宁·期末）如图，在中，，点D在边上，点E在的延长线上，，，交延长线于点F，．    (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和HL综合（HL）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）由“”可证，可得； （2）由全等三角形的性质可得，，由等腰三角形的性质和外角性质可证，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：， ，， ， ， ， ， ， ， ． 50．（22-23八年级上·上海长宁·期末）在中，已知，，点在射线上，连接，． (1)如图1，若的垂直平分线经过点，求的度数； (2)如图2，当点在边上时，求证：； (3)若，，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【知识点】等边对等角、用勾股定理解三角形、线段垂直平分线的性质、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】（1）根据垂直平分线的性质，可推出，得到，再利用三角内角和可得到，求出，最后由，即可得到答案； （2）取的中点，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得到，从而推出，再由，推出，从而得到，得证； （3）①当在边上时，作于，由，推出，设，用表示出、、、、，然后在中和在中利用勾股定理建立方程，求解即可；②当在的延长线上时，连接，作于，再取的中点，连接，先证明，同①，设，然后在中和在中利用勾股定理建立方程，求解即可． 【详解】（1）解：的垂直平分线经过点 又 又， （2）证明：如图1，取的中点，连接 又 （3）解：如图2，当在边上时，作于， 由（2）可知， 设， ， ， 在中， 在中， 解得：，即 如图3，当在的延长线上时，连接，作于，再取的中点，连接． 由题意， 又 设， ． 在中， 在中， 解得：，即 综上，的长为或． 故答案为：的长为或． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并能作出合适的辅助线是解题的关键． 51．（23-24八年级上·上海松江·期末）在中，，点是边上一点，过作垂直，垂足为点． (1)如图1，点是的中点，，如果，求的长； (2)已知， ①如图2，连接，求证：平分； ②如图3，延长至点，连接交线段于点，当，且点是中点时，求的值． 【答案】(1) (2)①见解析  ② 【知识点】根据正方形的性质与判定证明、全等三角形综合问题 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，然后证明即可解题； （2）①过点作于点，过点作，交的延长线于点，利用直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质和正方形的判定与性质解答即可； ②过点作于点，过点作，交的延长线于点，利用①的结论，全等三角形的判定与性质，平行线的性质解答即可得出结论． 【详解】（1）解：连， ∵是中点，， ∴ ∵， ∴ ∴； （2）①证明：过点作于点，过点作，交的延长线于点，如图， ，，， 四边形为矩形， ， ， ， ． 在和中， ， ， ， 矩形为正方形， ， 平分； ②解：过点作于点，过点作，交的延长线于点，如图， 由（2）知：四边形为正方形， ，． ． ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 在和中， ， ， ，． ． 在和中， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，垂直的定义，全等三角形的判定与性质矩形的判定与性质正方形的判定与性质，恰当的添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 52．如图，在中，，，点是边上的动点（点与点、不重合），过点作交射线于点，连接，点是的中点，过点、作直线，交于点，连接、．      (1)当点在边上，设，，写出关于的函数关系式； (2)判断的形状，并给出证明； (3)如果，求的长． 【答案】(1) (2)等腰直角三角形，见解析 (3)或 【知识点】等腰三角形的性质和判定、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】（1）先证为等腰直角三角形，由勾股定理得，再由即可得出答案； （2）由题意得，再由点是的中点知，，则，，，可推出，据此可得答案； （3）分点在线段上和线段延长线上两种情况，分别求出、的长，即可得出答案． 【详解】（1）解：，， ，， 又， 为等腰直角三角形， ，， ， 又， ， ； （2）证明：，， ， 点是的中点， ，， ，，， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形； （3）解：如图1，当点在线段上时，，，   ， ， ，即， ， 又， ，， 在中，， ，即， ， ； 如图2，当点在线段的延长线上时，，，，    同理可得，， 在中，， ， 综上，如果，的长为或． 【点睛】本题主要是三角形的综合问题，主要考查等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，含直角三角形的性质，勾股定理，三角形外角的性质等知识，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质、直角三角形斜边上的中线的性质、含直角三角形的性质是解题的关键． 53．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）已知：如图是直角三角形，，点分别在边上，且，，．    (1)证明：线段能组成直角三角形； (2)当是边上的中点时，判断：的位置关系． 【答案】(1)证明见解析； (2)，理由见解析． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、判断三边能否构成直角三角形、根据三线合一证明、用勾股定理解三角形 【分析】（）根据勾股逆定理即可求证； （）延长，使得，连接，证明，得到，，得到，根据平行线的性质得到，由勾股定理得到，进而得到，由等腰三角形三线合一即可求证； 本题考查了勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，正确作出辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴线段能组成直角三角形； （2）解：． 理由：延长，使得，连接，    ∵是边上的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， 即． 54．（21-22八年级上·上海·期末）如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB=60°，AB=10，点F是AB中点，点D是射线CB上的一个动点，△ADE是等边三角形，联结EF． (1)当点D在线段CB上时， ①求证：△AEF≌△ADC； ②联结BE，设C、D间距离为x，，求y关于x的函数解析式及定义域； (2)当∠DAB=15°时，求△ADE的面积（直接写出答案）． 【答案】(1)①见解析；② (2)或 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、斜边的中线等于斜边的一半、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形 【分析】（1）①证明：直角△ABC中，利用特殊角和斜边的中线是斜边的一半，可得AF=BF=AC，再结合等边△ADE，有AE=AD，利用SAS即可得△ADC≌△EAF(SAS)；②根据△ADC≌△EAF，有∠EFA=∠C=90，结合F是AB中点，即有EF是AB的中垂线，进而有AE=EB，AD=AE=EB，在Rt△ACD中，有，即，则有； （2）分两种情况讨论，即当点在线段BC上和点在CB的延长线上两种情况，分别求出AD，即可得等边△ADE的面积． 【详解】（1）解：证明①：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB=60°，AB=10， ∴∠ABC=30， ∴AC=AB=5， ∵F是AB的中点， ∴AF=BF=AB， ∴AF=BF=AC， ∵等边△ADE， ∴AE=AD，∠EAD=60， ∴∠EAD=∠CAB =60， ∴∠EAD-∠BAD=∠CAB-∠BAD， 即∠DAC=∠EAF， 在△ADC与△EAF中，， ∴△ADC≌△EAF(SAS)； ②∵△ADC≌△EAF， ∴∠EFA=∠C=90， 又F是AB中点， ∴EF是AB的中垂线， ∴AE=EB， ∴AD=AE=EB， 在Rt△ACD中，∠C=90， ∴， ∴， ∴； （2）解：或， 分情况讨论： 第一种情况：当点在线段BC上时， 由∠DAB=15°，可得∠CAD=45°，△ADC是等腰直角三角形， 则=50，则AD=， 如图，过A点作AG⊥DE于G点， 在等边△ADE中，由AG⊥DE可得DG=DE=DE=AD=， 则利用勾股定理可得：， 则等边△ADE的面积为：， 第二种情况：当点在线段CB的延长线上时， 由∠DAB=15°，可得∠ADB=15°， ∴BD=BA=10， ∴在Rt△ACD中，利用勾股定理可得：， 则同理可求得等边△ADE的面积为：， 综上所述：或， 【点睛】此题考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质等知识，解题的关键是正确找到全等三角形以及熟练掌握勾股定理． 55．（22-23八年级上·上海青浦·期末）如图，在中，D是的中点，E是边上一动点，连接，过点D作交边于点F（点F与点B、C不重合），延长到点G，使，连接，已知． (1)求证：； (2)设，求y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (3)当是以为腰的等腰三角形时，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)，自变量x的取值范围： ； (3)或． 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形，由D是的中点，得到，根据全等三角形的性质得到，推出，于是得到结论； （2）连接，根据勾股定理得到，根据全等三角形的性质得到，由勾股定理得到，于是得到方程，即可得到结论 （3）①当时，，求得y的值，再代入中，即可得到；②当时，连接，过点，垂足为点H，可得，根据勾股定理得方程，求得，代入中，即可求得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴由勾股定理，得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴由勾股定理，得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，解得：， ∴自变量x的取值范围：； （3）解：①当时，， ∴， ∴， ∴，即； ②当时，连接，过点D作，垂足为点H， ∴， ∵，D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴由勾股定理，得， 在中，由勾股定理可得， 解得：， ∴ ，即， 综上所述，的长度是或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 56．（24-25八年级上·上海·期末）小明在研究平面几何知识时，意识到等腰三角形和直角三角形经常同时出现，比如：等腰三角形三线合一：再比如：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．等等．在此基础上，小明同学还做了一些研究，并邀请你参加． 已知中，，将绕着点A旋转，点B、C的对应点分别是点D、E，连接． (1)求证； (2)点F在边上（且F不与点C、D重合），连接，过A作，交射线于点G，连接，小明发现线段、、能够组成一个直角三角形，你认为小明的发现正确吗？如果正确，请证明，如果不正确，请说明理由； (3)在（2）的条件下，已知，，设，，直接写出y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)小明的发现是正确的，理由见解析 (3)； 【知识点】用勾股定理解三角形、函数解析式、根据旋转的性质求解、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理推导出即可； （2）延长，交于点M，连接，证明，再由垂直平分线的性质得出，在直角三角形中，，即； （3）由（2），可得，在中，，整理得到，连接，当G点与C点重合时求出的长，即可求x的取值范围． 【详解】（1）证明：由旋转可知，，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：小明的发现是正确的，理由如下： 如图，延长，交于点M，连接，如图所示： 根据旋转可知，，，， ∴B、A、D在同一直线上， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 在中，，即， ∴， 整理得，， 当G点与C点重合时，连接，如图所示： ∵，， ∴垂直平分， ∴， 根据旋转可知：， 在中，， 即， 解得：， ∵点G在射线上， ∴． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，求函数解析式，求自变量的取值范围，三角形全等的判定和性质，解题的关键是数形结合，作出辅助线． 57．（23-24八年级上·上海·期末）如图1，在中，，，，是的中点．是射线上一个动点，连接，过点作的垂线，交射线于． (1)如图2，如果点与点重合，求证：； (2)如图3，如果，求的长； (3)设，，求关于的函数关系式． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)． 【知识点】用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形、斜边的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）在中，利用斜边中线的性质可得，可求得，再利用含30度角的直角三角形的性质可证； （2）过B作于H，在中由勾股定理，利用含30度角的直角三角形的性质可求，据此求解即可； （3）分两种情况讨论，当时，，当时，，利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）解：在中，，，，是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵D与P重合， ∴； （2）解：过B作于H， ∵，，， ∴， 在中由勾股定理， 又因为， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：由（2）得， 在中，， 当时，， 在中，由勾股定理得：， 即， 即， 当时，， 在中由勾股定理得：， 即， 即， 综上，． 【点睛】本题考查直角三角形性质，勾股定理，等腰直角三角形性质，函数关系，掌握直角三角形性质，勾股定理，等腰直角三角形性质函数关系，解题关键是在中利用勾股定理构造等式求出函数关系． 58．（23-24八年级上·上海普陀·期末）已知：如图，在中，点A在边的垂直平分线上，直线l经过点A，、分别垂直于直线l，垂足分别为点D、E，且． (1)求证：． (2)取边的中点F，连接，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和HL综合（HL）、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）根据角平分线的性质可得，结合已知条件可证； （2）设l交于点Q，连接，过作于， 于，根据（1）结论可得，推出，可得为等腰直角三角形，推出，证，可得，得到，即得． 【详解】（1）∵，， ∴，与为直角三角形， ∵点A在边垂直平分线上， ∴， 在也中， ， ∴， 即； （2）设l交于点Q，连接，过作于，作于， ∴ 由（1）知， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∵为中点， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴平分． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线，全等三角形，等腰直角三角形，角平分线等，熟练掌握线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，角平分线的判定，是解决问题的关键． 59．（23-24八年级上·上海长宁·期末）已知在，，点P在边上，连接． (1)如图1，如果点P在线段的垂直平分线上，求证：； (2)过点P作，交边于点D， ①如图2，如果点P是线段的中点，且，求的度数； ②填空：如果，，且是以为腰的等腰三角形，那么的长等于 　 　． 【答案】(1)见解析 (2)①；②或 【知识点】全等三角形综合问题、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质得，则，再证，得，即可得出结论； （2）①取的中点E，连接，由直角三角形斜边上的中线性质得，再证，得，则，即可解决问题； ②分两种情况，a、时，b、时，由直角三角形的性质和勾股定理分别求出的长即可． 【详解】（1）证明：∵点P在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：①如图2，取的中点E，连接， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，点P是线段的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 即的度数为； ②∵，，， ∴， 分两种情况： a、如图3，时， 由（1）可知，， 过点P作于点M， 则， ∴， 设，则， 在和中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， ∴； b、如图4，时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴； 综上所述，的长等于或， 故答案为：或． 　　　　 【点睛】本题是三角形综合题，考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及勾股定理是解题的关键，属于中考常考题型． 60．（23-24八年级上·上海金山·期末）如图，在中，，，，垂足为．点为边上一点（不与、重合），连接作，射线交射线于.设，． (1)求证：； (2)当点在线段上时，求关于的函数解析式并写出定义域； (3)当时，请直接写出的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)，定义域为 (3)或 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形 【分析】（1）作辅助线，构造出全等三角形，即可得到结果； （2）作出三角形面积的高，证明两个三角形全等，找到三角形的底和高，根据面积公式得到关系式以及定义域； （3）根据点E在线段上，点E在直线上，分两种情况求得的值． 【详解】（1）证明：作平分交于点，如图所示： 得， 即， 又， ， ， 得（两直线平行，同旁内角互补）， ， ， ， ， 即， 在和中， （ASA）， ； （2）解：作，垂足为点，如图所示： 由题意可得，，，， 由，可得，， ， ， ， 又， ， 得， ，， ， 在和中， ， （AAS）， （全等三角形对应边相等）， ， ， 即， 定义域为； （3）解：①当点在线段上时，过点D作的垂线，交于一点N，如图所示： ∵， 则是的角平分线， 故， 则， 解得：， 将的值代入，可得； ②当点E在直线上时，过点E作的垂线，交的延长线于一点G，作平分交于点，如图所示： ∵，， ∴， 由（1）同理证得， ∴，， ∵， ∴， 在中， ， ∴（AAS）， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 即， 根据，解得：， 将代入， 得：， ∴的值是或者． 【点睛】本题考查了三角形综合题，等腰直角三角形的性质、面积的计算、角平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练运用知识点是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$