7.4平行线的性质课件2024-2025学年北师大版数学八年级上册

第七章 平行线的证明 7.4 平行线的性质 学习目标 1．会根据“两直线平行，同位角相等”证明“两直线平行，内错角相等（或同旁内角互补）”；并能应用这些结论推理平行于同一条直线的两条直线平行. 2.会说出性质定理和判定定理的联系，初步感受互逆的思维过程；进一步学习证明的基本步骤、书写格式和方法. 3.结合图形用符号语言来表示平行线的三条性质定理的条件和结论，并能总结归纳出证明的一般步骤. 2 问题：平行线的判定定理是什么？ 温故知新 1.同位角相等 2.内错角相等 3.同旁内角互补 两直线平行 角的关系 线的关系 判定 判定 条件和结论反过来，还成立吗？ 温故知新 命题1： 两条平行直线被第三条直线所截 ,内错角相等. 两条平行直线被第三条直线所截 ,同旁内角互补. 简述为：两直线平行，内错角相等. 简述为：两直线平行，同旁内角互补. 两条平行直线被第三条直线所截 ,同位角相等. 简述为：两直线平行，同位角相等. 命题2： 如何证明它们都是真命题？ 命题3： 定理证明 问题1：根据“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”.你能作出相关的图形吗？ A B C D E F M N 1 2 命题1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等 简述为：两直线平行，同位角相等. 条件 结论 问题2：你能根据所作的图形写出已知、求证吗？ 已知：如图，直线AB∥CD,∠1和∠2是直线AB、CD被直线EF截出的同位角. 求证：∠1=∠2. 定理证明 问题3：你能说说证明的思路吗？ A B C D E F M N G H 1 2 证明：假设∠1 ≠ ∠2，那么我们可以过点M作直线GH，使∠EMH= ∠2，如图所示. 根据“同位角相等，两直线平行”，可知GH ∥ CD. 又因为AB ∥ CD，这样经过点M存在两条直线AB和GH都与直线CD平行. 这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾. 这说明∠1 ≠ ∠2的假设不成立， 所以∠1 =∠2. 如果∠1 ≠ ∠2，AB与CD的位置关系会怎样呢？ 阅读课本175页证明 总结归纳 定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等. 简述为：两直线平行，同位角相等. b 1 2 a c ∴∠1=∠2 （两直线平行，同位角相等） ∵a∥b（已知） 几何语言: 证明该定理的依据：基本事实、已证明定理. 该定理的证明方法：反证法 转化 利用上述定理尝试证明下面两个命题 定理证明 命题2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等 简述为：两直线平行，内错角相等. 命题3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补 简述为：两直线平行，同旁内角互补. 应用二　证明“两直线平行,内错角相等” 例2 已知:如图7-4-2,直线l1∥l2,∠1和∠2是直线l1,l2被直线l截出的内错角.求证:∠1=∠2. 图7-4-2 证明:如图.∵l1∥l2(已知), ∴∠1=∠3(两直线平行,同位角相等). 又∵∠2=∠3(对顶角相等), ∴∠1=∠2(等量代换). 3 应用三　证明“两直线平行,同旁内角互补” 例3 已知:如图7-4-3,直线a∥b,∠1和∠2是直线a,b被直线c截出的同旁内角.求证:∠1+∠2=180°. 图7-4-3 3 证明:如图.∵a∥b(已知), ∴∠1=∠3(两直线平行,内错角相等). 又∵∠2+∠3=180°(平角的定义), ∴∠1+∠2=180°(等量代换). 归纳总结 定理2：两条平行直线被第三条直线所截 ,内错角相等. 简述为：两直线平行，内错角相等. ∴∠1=∠3 (已知)， ∵a∥b （两直线平行，内错角相等). 几何语言： 定理3：两条平行直线被第三条直线所截 ,同旁内角互补. 简述为：两直线平行，同旁内角互补. 几何语言： (已知)， ∵a∥b ∴∠1+∠2=180º （两直线平行，同旁内角互补). 定理1：两条平行直线被第三条直线所截 ,同位角相等. 这里的结论,以后可以直接运用. 想一想：完成一个命题的证明，需要哪些主要的环节？ 总结归纳 (1)审，弄清条件和结论； (2)画，根据题意画出相应的图形（一般）； (3)写，根据条件和结论写出已知,求证； (4)证，分析证明思路,写出证明过程； （5）查，检查表达过程是否正确、完整. 应用四　证明“平行于同一条直线的两条直线平行” 例4 (教材典题)已知:如图7-4-4,b∥a,c∥a,∠1,∠2,∠3是直线a,b,c被直线d截出的同位角.求证:b∥c. 图7-4-4 证明:∵b∥a(已知), ∴∠2=∠1(两直线平行,同位角相等). ∵c∥a(已知),∴∠3=∠1(两直线平行,同位角相等). ∴∠2=∠3(等量代换). ∴b∥c(同位角相等,两直线平行). 归纳总结 定理4：如果两条直线都和第三条直线平行， 那么这两条直线也互相平行. ∵a∥b,a∥c（已知） 几何语言： ∴b∥c（平行于同一条直线的两条直线平行） 简述为：平行于同一条直线的两条直线平行 归纳总结 思考：平行线三个性质的条件是什么？结论是什么？ 它与判定有什么区别？ 两直线平行 同位角相等 内错角相等 同旁内角互补 平行线的判定 平行线的性质 线的关系 角的关系 性质 角的关系 线的关系 判定 互逆 课堂小结 思考1：平行线三个性质的条件是什么？结论是什么？语言如何转化？ 课堂小结 思考2：命题证明的一般步骤？ 课堂检测 解: ∠A =∠D.理由： ∵ AB∥DE( 　) ∴∠A=_______ ( ) ∵AC∥DF( ) ∴∠D=______ ( ) ∴∠A=∠D ( ) 1.如图1,若AB∥DE ,　AC∥DF，请说出∠A和∠D之 间的数量关系，并说明理由. P F C E B A D 图１ 已知 ∠CPE 两直线平行,同位角相等 已知 ∠CPE 两直线平行,同位角相等 等量代换 课堂检测 解: ∠A+∠D=180o. 理由： ∵ AB∥DE( 　) ∴∠A= ______ ( ) ∵AC∥DF( ) ∴∠D+ _______=180o ( ) ∴∠A+∠D=180o（ ） 如图2,若AB∥DE ,　AC∥DF，请说出∠A和∠D之间的数量关系，并说明理由. 图2 F C E B A D P 已知 ∠CPD 两直线平行,同位角相等 已知 ∠CPD 两直线平行,同旁内角互补 等量代换 解：∵BA//PQ，∴∠ABO=∠BOP. ∵∠BOP=45°，∴∠ABO=45°. ∵CD//PQ，∴∠DCO+∠QOC=180°， ∴∠DCO=180°－∠QOC.又∵∠QOC=88°，∴∠DCO=92°. 1.太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，从点O照射到抛物线上的光线OB，OC等反射以后沿着与POQ平行的方向射出.图中如果∠BOP=45°，∠QOC= 88°，那么∠ABO和∠DCO各是多少度？ 课本P177—习题7.5 证明：∵AD//BC（已知），∴∠D=∠DBC（两直线平行，内错角相等）. 又∵∠ABD=∠D（已知）， ∴∠ABD=∠DBC（等量代换）， ∴BD平分∠ABC（角平分线的定义）. 2.已知：如图，AD∥BC，∠ABD=∠D.求证：BD平分∠ABC． 证明：∵AB//CD， ∴∠A+∠D=180°. 又∵AD//BC， ∴∠D+∠C=180°. ∴∠A=∠C. 同理可证∠B=∠D. 3.已知：如图，AB∥CD，AD∥BC．求证：∠A=∠C，∠B=∠D． （1）解：EC//BF,AB//CD.理由： ∵∠1=∠2， ∴EC//BF，∴∠B=∠AEC. 又∵∠B=∠C，∴∠AEC=∠C，∴AB//CD. （2）证明：∵AB//CD，∴∠A=∠D. 4.如图，一条直线分别与直线BE、直线CE、直线BF、直线CF相交于点A，G，H，D，且∠1=∠2，∠B=∠C. （1）找出图中相互平行的线，说说它们之间为什么是平行的； （2）证明：∠A=∠D． 课本P177—习题7.5 课堂检测 课本P177—习题7.5 课堂检测 $$