精品解析：河南省南阳市第三中学2024-2025学年八年级上学期12月月考数学试题

八年级数学督学清单 一、选择题：（每小题3分，共30分） 1. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算．选项A根据积的乘方运算法则判断即可；选项B根据完全平方公式判断即可；选项C根据同底数幂的乘法法则以及合并同类项法则判断即可；选项D根据单项式乘多项式的运算法则判断即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项符合题意； D、，故本选项不符合题意． 故选：C． 2. 在中，a、b、c分别是、、的对边，则下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. ， B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和定理，勾股定理的逆定理，根据有一个角为直角的三角形为直角三角形，利用三角形的内角和定理，以及勾股定理逆定理逐一进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴是直角三角形，故A不符合题意； ∵， ∴设， ∴， ∴是直角三角形，故B不符合题意； ∵， ∴，三角形不是直角三角形，故C符合题意； ∵，， ∴， ∴是直角三角形，故D不符合题意； 故选C． 3. 下列命题的逆命题成立的是（ ） A. 全等三角形的对应角相等 B. 如果两个实数相等，那么它们的平方相等 C. 等边三角形是锐角三角形 D. 如果两个实数的积是正数，那么它们都是正数 【答案】D 【解析】 【分析】利用全等三角形的性质、实数的性质、等边三角形的性质等知识分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：、逆命题为对应角相等的三角形全等，不成立，不符合题意； B、逆命题为如果两个数的平方相等，那么这两个数相等，不成立，不符合题意； C、逆命题为锐角三角形是等边三角形，不成立，不符合题意； D、逆命题为如果两个数都是正数，那么它们的积也是正数，成立，符合题意； 故选：D． 【点睛】考查了命题与定理，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大． 4. 我们知道实数与数轴上的点一一对应，如图，正方形的边长为1，对角线长为，以数轴上表示数1的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴负半轴交于点P，则点P表示的实数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是实数与数轴，勾股定理，熟知数轴上各点与实数是一一对应关系是解答此题的关键． 先根据勾股定理求出的长，再根据数轴上两点间的距离公式求出点表示的数即可． 【详解】解：如图， 正方形的边长为1， ， ， 点表示1， 点到的距离为：， ∵点在数轴的负半轴上， 点表示， 故选：D． 5. 已知等腰三角形的一个底角为，则其顶角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和．根据等腰三角形“等边对等角”结合三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵等腰三角形的一个底角为， ∴顶角为：， 故选：C． 6. 如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间阴影部分是一个小正方形，这样就组成一个“赵爽弦图”．若，，则的面积为（ ） A. 20 B. 24 C. 36 D. 48 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，利用中间小正方形的面积=大正方形的面积个全等的直角三角形的面积，求出即可． 【详解】解：有图形可得：个全等的直角三角形的面积=大正方形的面积中间小正方形的面积， ∴， ∴， 故选：B． 7. 如图，在中，，，，过点A的直线，与的平分线分别交于E、D，则的长为（ ） A. 14 B. 16 C. 18 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】本题综合考查了行线的性质以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键. 由平行线的性质、角平分线的性质推知, 则，同理可得，所以线段的长度转化为线段的和即可得到答案. 【详解】解：∵, ∴， ∵平分, ∴, ∴, ∴， 同理可得: , ∴. 故选:A. 8. 如图，在3×3的正方形网格中，A，B是两个格点，连接AB，在网格中找到一个格点C，使得ABC是以AB为腰的等腰三角形，满足条件的格点C的个数是（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据网格结构，分别以A、B为圆心，AB为半径作圆与网格线的交点即为点C，即可得到点C的个数． 【详解】解：如图，以AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有5个． 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想． 9. 如图，学校实验楼前一个三级台阶，它的每—级的长、宽、高分别为24dm，3dm，3dm，点M和点N是这个台阶上两个相对的端点，M点有一只蚂蚁，想到N点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点N的最短路程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是平面展开-最短路线问题，根据题意画出台阶的平面展开图，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】解：如图所示， ∵它的每一级的长宽高分别为, ∴ 即：蚂蚁沿着台阶面爬行到点N的最短路程是， 故选：C． 10. 如图，在中，，，于点D，，E、F分别是线段上的动点，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考了等腰三角形的性质，勾股定理，轴对称﹣最短路线问题等知识点的理解和掌握，能得到是解此题的关键． 作E关于的对称点M，连接交于F，连接，过B作于N，根据三线合一定理求出的长和平分，根据三角形面积公式求出，根据对称性质求出，根据垂线段最短得出，即可得出答案． 【详解】解：作E关于的对称点M，连接交于F，过B作于N， ， ，平分， 在上， ， ， ， ∵E关于的对称点M， ， ， 根据垂线段最短得出：， 即， 即的最小值是， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 用反证法证明“已知，在中，，．求证：”，第一步应先假设________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是反证法的应用，用反证法证明问题的关键是清楚结论的反面是什么，写出与结论相反的假设即可 【详解】用反证法证明，应先假设； 故答案为 12. 已知，则的值为_______． 【答案】81 【解析】 【详解】解：， ， ． 故答案为：81． 13. 如图，已知的面积为12，平分，且于点P，则的面积是____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的面积．延长交于点E，先证明，得，再根据中线的性质即可得出结果． 【详解】解：延长交于点E， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：6． 14. 如图，射线是的平分线，是射线上一点，且于点，，．点是射线上一动点，当时,的长度是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理及勾股定理，过点作于点，根据角平分线的性质定理得出，勾股定理求得，进而分类讨论，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 射线是的平分线，，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴ ∵点是射线上一动点， ∴或 故答案为：． 15. 如图，中，分别是边上的两个动点．将沿直线折叠，使得点A的对应点落在边的三等分点处，则线段的长为________． 【答案】3或 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理及折叠的性质，熟练掌握勾股定理及折叠的性质是解题的关键；由题意可知或，然后分两种情况进行求解即可． 【详解】解：∵点落在边的三等分点处，， ∴或， 由折叠可知：， ∴， 当时，在中，由勾股定理得：， ∴， ∴； 当时，在中，由勾股定理得：， ∴， ∴； 综上所述：的长为3或； 故答案为3或． 三、解答题（共8个小题，满分75分） 16. 计算和分解因式： （1）计算：； （2）分解因式：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根、取绝对值、开立方根、有理数的乘方以及提取公因式及公式法分解因式． （1）首先计算算术平方根、取绝对值、开立方根、有理数的乘方，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可得出答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 先化简，再求值：，其中x＝2，y＝1． 【答案】，5 【解析】 【分析】先根据整式的混合计算法则化简，然后代值计算即可． 【详解】解：原式 ， 当x＝2，y＝1时，原式． 【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则． 18. 已知；如图，，，，，．求该图形的面积． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理，先根据勾股定理求出，再用勾股定理逆定理证明是直角三角形，，作差即可得到图形中的面积． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，，， ∴, ∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴图形面积为． 19. 如图，在中，． （1）通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的 　 　，射线是的 　 　． （2）在（1）所作的图中，求的度数． 【答案】（1）垂直平分线；角平分线 （2）30° 【解析】 【分析】（1）根据作图痕迹判断即可． （2）由线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质求得，结合三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义即可求出的度数． 【小问1详解】 通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的垂直平分线，射线是的角平分线． 故答案为：垂直平分线，角平分线； 【小问2详解】 ∵垂直平分线段， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴， ∵平分 ， ∴． 【点睛】本题考查作图﹣基本作图，三角形内角和定理等知识，解题的关键是读懂图象信息，熟练掌握线段垂直平分线和角平分线的作法． 20. 定义：如图，点、把线段分割成、、，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点、是线段的勾股分割点． （1）已知、把线段分割成、、，若，，，则点、是线段的勾股分割点吗？请说明理由． （2）已知点、是线段的勾股分割点，且为直角边，若，，求的长． 【答案】（1） 解：是，理由： ，， ， 、、为边的三角形是一个直角三角形， 点、是线段的勾股分割点； （2）或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的运用，解题的关键是理解题意，学会分类讨论，不能漏解． （1）根据勾股定理逆定理，即可判断点、是线段的勾股分割点； （2）设，则，分两种情形：当为最长线段时，；当为最长线段时，；分别列出方程即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，则， 当为最长线段时，依题意， 即， 解得； 当为最长线段时，依题意得， 即， 解得， 综上所述，或． 21. 如图是某区域仓储配送中心的部分平面图，A区为商品入库区，B区，C区是配送中心区．已知B，C两个配送中心区相距250m，A，B区相距200m，A，C区相距150m，为了方便商品从库区分拣传送至配送中心，现有两种搭建传送带的方案． 甲方案：从A区直接搭建两条传送带分别到B区，C区； 乙方案：在B区，C区之间搭建一条传送带，再从A区搭建一条垂直于BC的传送带，两条传送带的连接处为中转站D区（接缝忽略不计）． （1）请判断此平面图形的形状（要求写出推理过程） （2）甲，乙两种方案中，哪一种方案所搭建的传送带较短？请通过计算说明． 【答案】（1）是直角三角形； （2）甲方案所搭建的传送带较短． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、三角形面积的计算；熟练掌握勾股定理，由勾股定理的逆定理证出是直角三角形是解决问题的关键． （1）由勾股定理的逆定理即可得出是直角三角形； （2）由的面积求出，得出，即可得出结果． 【小问1详解】 解：是直角三角形； 理由如下： ∴，， ∴， ∴是直角三角形，； 【小问2详解】 解：甲方案所搭建的传送带较短； 理由如下： ∵是直角三角形， ∴的面积， ∴（m）， ∵，， ∴， ∴甲方案所搭建的传送带较短． 22. 数学兴趣小组利用所学数学知识来解决实际问题，实践报告如下： 活动课题 风筝离地面垂直高度探究 问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度． 测量数据 抽象模型 小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离的长为15m，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17m．牵线放风筝的手到地面的距离为1.8m． 问题产生 经过讨论，兴趣小组得出以下问题： （1）运用所学勾股定理相关知识，根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度． （2）如果想要风筝沿方向再上升12m，且长度不变，则他应该再放出多少米线？ 问题解决 …… 该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以上问题． 【答案】（1）9.8米；（2）8米 【解析】 【分析】本题考查了用勾股定理解决实际问题，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为、，斜边为，那么． （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理计算即可得到结论． 【详解】解：（1）由题意得，，米，米， 在中，由勾股定理，可得：（米）， （米）． 答：风筝离地面的垂直高度为9.8米； （2）如图，当风筝沿方向再上升12米， 所以米， 在中，，米， 由勾股定理，可得（米）， 则应该再放出（米）， 答：他应该再放出8米长的线． 23. 已知，在中，，，点D为的中点．点E、F分别为射线上的点，且于点． （1）观察猜想 如图①，当点E，F分别为边上的点，且于点D，则线段与的数量关系式是 （不需要说明理由）； （2）类比探究 如图②，若点E、F分别为延长线上的点，且于点D，请写出与的数量关系式，并说明理由； （3）解决问题 若则线段的长为 ． 【答案】（1） （2） 解：． 理由：如图②中， ，，点D为的中点， ，，， ， ， ， ； （3）或 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识． （1）连接．只要证明可得结论； （2）结论成立，证明方法类似（1）； （3）连接，分两种情况讨论，利用（1）或（2）的结论，利用勾股定理求出即可解决问题． 【小问1详解】 解：， 理由：如图①中，连接． ，，点D为的中点， ，，， ， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接， 当点E，F分别为边上的点时， 由（1）得，∴，∵，∴； 当点E、F分别为延长线上的点时， 由（2）得，∴，∵，∴； 综上，线段的长为或． 故答案为：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学督学清单 一、选择题：（每小题3分，共30分） 1. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，a、b、c分别是、、的对边，则下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. ， B. C. D. 3. 下列命题的逆命题成立的是（ ） A. 全等三角形的对应角相等 B. 如果两个实数相等，那么它们的平方相等 C. 等边三角形是锐角三角形 D. 如果两个实数的积是正数，那么它们都是正数 4. 我们知道实数与数轴上的点一一对应，如图，正方形的边长为1，对角线长为，以数轴上表示数1的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴负半轴交于点P，则点P表示的实数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知等腰三角形的一个底角为，则其顶角为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间阴影部分是一个小正方形，这样就组成一个“赵爽弦图”．若，，则的面积为（ ） A. 20 B. 24 C. 36 D. 48 7. 如图，在中，，，，过点A的直线，与的平分线分别交于E、D，则的长为（ ） A. 14 B. 16 C. 18 D. 20 8. 如图，在3×3的正方形网格中，A，B是两个格点，连接AB，在网格中找到一个格点C，使得ABC是以AB为腰的等腰三角形，满足条件的格点C的个数是（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 9. 如图，学校实验楼前一个三级台阶，它的每—级的长、宽、高分别为24dm，3dm，3dm，点M和点N是这个台阶上两个相对的端点，M点有一只蚂蚁，想到N点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点N的最短路程（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，于点D，，E、F分别是线段上的动点，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. D. 6 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 用反证法证明“已知，在中，，．求证：”，第一步应先假设________． 12. 已知，则的值为_______． 13. 如图，已知的面积为12，平分，且于点P，则的面积是____． 14. 如图，射线是的平分线，是射线上一点，且于点，，．点是射线上一动点，当时,的长度是________． 15. 如图，中，分别是边上的两个动点．将沿直线折叠，使得点A的对应点落在边的三等分点处，则线段的长为________． 三、解答题（共8个小题，满分75分） 16. 计算和分解因式： （1）计算：； （2）分解因式：． 17. 先化简，再求值：，其中x＝2，y＝1． 18. 已知；如图，，，，，．求该图形的面积． 19. 如图，在中，． （1）通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的 　 　，射线是的 　 　． （2）在（1）所作的图中，求的度数． 20. 定义：如图，点、把线段分割成、、，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点、是线段的勾股分割点． （1）已知、把线段分割成、、，若，，，则点、是线段的勾股分割点吗？请说明理由． （2）已知点、是线段的勾股分割点，且为直角边，若，，求的长． 21. 如图是某区域仓储配送中心的部分平面图，A区为商品入库区，B区，C区是配送中心区．已知B，C两个配送中心区相距250m，A，B区相距200m，A，C区相距150m，为了方便商品从库区分拣传送至配送中心，现有两种搭建传送带的方案． 甲方案：从A区直接搭建两条传送带分别到B区，C区； 乙方案：在B区，C区之间搭建一条传送带，再从A区搭建一条垂直于BC的传送带，两条传送带的连接处为中转站D区（接缝忽略不计）． （1）请判断此平面图形的形状（要求写出推理过程） （2）甲，乙两种方案中，哪一种方案所搭建的传送带较短？请通过计算说明． 22. 数学兴趣小组利用所学数学知识来解决实际问题，实践报告如下： 活动课题 风筝离地面垂直高度探究 问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度． 测量数据 抽象模型 小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离的长为15m，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17m．牵线放风筝的手到地面的距离为1.8m． 问题产生 经过讨论，兴趣小组得出以下问题： （1）运用所学勾股定理相关知识，根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度． （2）如果想要风筝沿方向再上升12m，且长度不变，则他应该再放出多少米线？ 问题解决 …… 该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以上问题． 23. 已知，在中，，，点D为的中点．点E、F分别为射线上的点，且于点． （1）观察猜想 如图①，当点E，F分别为边上的点，且于点D，则线段与的数量关系式是 （不需要说明理由）； （2）类比探究 如图②，若点E、F分别为延长线上的点，且于点D，请写出与的数量关系式，并说明理由； （3）解决问题 若则线段的长为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $