专题01 线段的垂直平分线与角平分线（考题猜想，7种必考题型）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（沪教版）

专题01 线段的垂直平分线与角平分线（考题猜想，7种必考题型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一：命题（共5题） 1．（23-24八年级上·上海静安·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．由三角形一个内角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线是三角形的角平分线 B．和线段两个端点的距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线 C．三角形的外角等于两个内角之和 D．面积相等的两个三角形全等 2．（23-24八年级上·上海宝山·期末）下列命题中，逆命题是假命题的是（　　） A．两直线平行，内错角相等 B．直角三角形的两个锐角互余 C．关于某个点成中心对称的两个三角形全等 D．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等 3．（21-22八年级上·上海普陀·期末）下列命题的逆命题错误的是（      ） A．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等； B．全等三角形的三条边对应相等； C．如果两个角都是直角，那么这两个角相等； D．等边三角形每个内角都等于60°． 4．（20-21八年级上·上海金山·期末）下列命题中，是假命题的是（      ） A．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等 ； B．每个命题都有逆命题； C．每个定理都有逆定理； D．在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上． 5．（20-21八年级上·上海浦东新·期末）下列命题中，是真命题的是（    ） A．三角形的外角大于三角形的任何一个内角 B．线段的垂直平分线上的任一点与该线段两个端点能构成等腰三角形 C．三角形一边的两个端点到这边上的中线所在的直线的距离相等 D．面积都相等的两个三角形一定全等 题型二：线段的垂直平分线的性质（共11题） 1．（23-24八年级上·上海·期末）如图，中，的垂直平分线交边于点，的垂直平分线交边于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（21-22八年级上·上海·期末）如图，已知垂直平分线段，，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（20-21八年级上·上海长宁·期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E．△ABC的周长为19，△ACE的周长为13，则AB的长为（　　） A．3 B．6 C．12 D．16 4．（21-22八年级上·上海·期末）如图，在中，，斜边的垂直平分线交于点，交于点，平分，那么下列关系中不成立的是（    ） A． B． C． D． 5．（21-22八年级上·上海徐汇·期末）如图，在△ABC中，∠C=37°，边BC的垂直平分线分别与AC、BC交于点D、E，AB=CD，那么∠A= °． 6．（20-21八年级上·上海普陀·期末）如图，在△ABC中，点F是边AB、AC的中垂线的交点，联结BF、CF，如果∠BFC＝110°，那么∠A＝ °． 7．（23-24八年级上·上海静安·期末）如图，在中，，边的垂直平分线分别交边于点E、F，如果，那么 ． 8．（21-22八年级上·上海浦东新·期末）已知：如图，在中，，线段AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，如果，那么 ． 9．（21-22八年级上·上海·期末）锐角中，，AB的垂直平分线与的垂直平分线交于点，则 10．（22-23八年级上·上海·期末）如图，等腰三角形中，，线段的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，则 度． 11．（23-24八年级上·上海宝山·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知、是反比例函数的图像上的两点，连接． (1)求反比例函数的解析式； (2)线段的垂直平分线交轴于点，求点的坐标． 题型三：线段的垂直平分线的判定（共8题） 1．（23-24八年级上·上海普陀·期末）如图，在中，是钝角，以点C为圆心、的长为半径画弧，再以点A为圆心、的长为半径画弧，这两条弧相交于点D，连接，延长交于点E．下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·上海黄浦·期末）经过定点的圆的圆心的轨迹是 ． 3．（20-21八年级上·上海松江·期末）如图，在中，已知∠C=90°，AB的垂直平分线交BC，AB于点D，E，∠CAB=50°，那么∠CAD= ． 4．（23-24八年级上·上海闵行·期末）如图，等腰中，，，的垂直平分线交于D，那么的度数为 ． 5．（23-24八年级上·上海普陀·期末）已知、是两个定点，那么经过这两个定点的圆的圆心轨迹是 ． 6．（23-24八年级上·上海·期末）以为底边的等腰三角形，它的两腰上的中线交点的轨迹是 ． 7．（21-22八年级上·上海徐汇·期末）以线段AB为底边的等腰三角形，它的两底角平分线交点的轨迹是 ． 8．（20-21八年级上·上海金山·期末）已知：如图，中，分别是上的中线，相交于点，联结．求证： （1）； （2）垂直平分． 题型四：角平分线性质定理（共12题） 1．（22-23八年级上·上海宝山·期末）在中，和的平分线交于点D，于点E，如果，的面积是6，则周长是 ． 2．（22-23八年级上·上海杨浦·期末）在中，，的平分线交于点，，，那么到的距离是 ． 3．（23-24八年级上·上海闵行·期末）如图，在中，，平分，如果，，那么的面积等于 ． 4．（23-24八年级上·上海·期末）如图，已知，点为的平分线的交点．，且，则两平行线间的距离等于 ． 5．（23-24八年级上·上海静安·期末）如图，在中，，，是的角平分线，于点E，若，则的面积为 ．    6．（23-24八年级上·上海宝山·期末）如图，四边形中，，，，，那么的面积是 ． 7．（20-21八年级上·上海·期末）我们定义：一个三角形最小内角的角平分线将这个三角形分割得到的两个三角形它们的面积之比称为“最小角割比Ω”（），那么三边长分别为7，24，25的三角形的最小角割比Ω是 ． 8．（20-21八年级上·上海浦东新·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，如果CD＝1，那么BD＝ ． 9．（20-21八年级上·上海·期末）如图，AD是ABC的角平分线，若ABC的面积是48，且AC＝16，AB＝8，则点D到AB的距离是 ． 10．（23-24八年级上·上海崇明·期末）在中，平分，，，，求． 11．（23-24八年级上·上海崇明·期末）如图所示，在中，平分，于，于，厘米，厘米．已知的面积为平方厘米，求的长度． 12．（20-21八年级上·上海普陀·期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AB中点，ED∥BC，且与∠ABC的平分线BD交于点D，联结AD． (1)求证：AD⊥BD； (2)记BD与AC的交点为F，求证：BF＝2AD． 题型五：角平分线的判定定理（共2题） 1．（20-21八年级上·上海虹口·期末）平面内在角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的 ． 2．（23-24八年级上·上海普陀·期末）如图，在四边形ABCD中，，，垂足为点E．如果，，那么 ． 题型六：线段垂直平分线与角平分线综合题（共3题） 1．（21-22八年级上·上海浦东新·期末）如图，在中，，三角形的两个外角和的平分线交于点E．则 ． 2．（21-22八年级上·上海·期末）如图，在中，，的平分线与的外角平分线交于点，则的度数为 .（用含的式子表示） 3．（23-24八年级上·上海普陀·期末）【图形新发现】小普同学发现：如果一个三角形的一条角平分线与一条中线互相垂直，那么这个三角形的某两条边必有倍半关系． 如图1，已知在中，BD是的角平分线，是的中线，，垂足为点F． （1）根据图1，写出中小普同学所发现的结论，并给出证明； 【图形再探究】现将小普同学所研究的三角形称为“线垂”三角形，并将被这条内角平分线所平分的内角叫做“分角”．下面我们跟着小普同学再探究： （2）在如图1中，“线垂”三角形是否可以是直角三角形？如果可以，求的度数；如果不可以，请说明理由； （3）已知线段，是否存在一点P，使得以为一边的“线垂”三角形为等腰三角形？如果存在，请在图2中用直尺和圆规做出为“分角”的“线垂”等腰三角形（不写作法，仅保留作图痕迹，在图中清楚地标注出点P），并用文字语言归纳表述成一条与“线垂”等腰三角形的边或角有关的真命题；如果不存在，请说明理由．                  题型七：尺规作图（共4题） 1．（23-24八年级上·上海崇明·期末）已知及线段，求一点P使点P到、的距离相等，且．（不写画法，要有结论） 2．（21-22八年级上·上海静安·期末）已知：如图，，点在上． (1)求作线段的垂直平分线，交于点； (2)连结，求作的角平分线．（保留作图痕迹，不需要写出作图步骤） 3．（20-21八年级上·上海浦东新·期末）作图：已知和线段r，请在内部作点P，使得点P到AC和BC的距离相等，并且点A到点P的距离等于定长r．（不写作法，保留痕迹） 4．（21-22八年级上·上海静安·期末）如图，在△ABC中，AC=6，BC=10． (1)用尺规在AB边上求作点P，使点P到∠ACB两边的距离相等； （不要求写出作法和证明，但要求保留作图痕迹，并写出结论） (2)如果△ACP的面积为15，那么△BCP的面积是多少． $$专题01 线段的垂直平分线与角平分线（考题猜想，7种必考题型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一：命题（共5题） 1．（23-24八年级上·上海静安·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．由三角形一个内角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线是三角形的角平分线 B．和线段两个端点的距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线 C．三角形的外角等于两个内角之和 D．面积相等的两个三角形全等 【答案】B 【知识点】三角形角平分线的定义、线段垂直平分线的判定、判断命题真假、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查判断命题的真假，涉及三角形的角平分线定义、线段垂直平分线的判定、三角形的外角性质、全等三角形的判定，根据相关知识逐项判断即可求解． 【详解】解：A、由三角形一个内角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线与对边的交点和这个顶点确定的线段是三角形的角平分线，故此选项结论错误，是假命题，不符合题意； B、和线段两个端点的距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线，故此选项结论正确，是真命题，符合题意； C、三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和，故此选项结论错误，是假命题，不符合题意； D、面积相等的两个三角形不一定全等，故此选项结论错误，是假命题，不符合题意； 故选：B． 2．（23-24八年级上·上海宝山·期末）下列命题中，逆命题是假命题的是（　　） A．两直线平行，内错角相等 B．直角三角形的两个锐角互余 C．关于某个点成中心对称的两个三角形全等 D．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等 【答案】C 【知识点】判断命题真假、写出命题的逆命题、线段垂直平分线的判定、中心对称图形的识别 【分析】根据逆命题的概念分别写出各个命题的逆命题，根据平行线的判定、直角三角形的判定、中心对称、线段垂直平分线的判定定理判断即可． 本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 【详解】A、两直线平行，内错角相等，逆命题是内错角相等，两直线平行，是真命题，不符合题意； B、直角三角形的两个锐角互余，逆命题是有两个锐角互余的三角形是直角三角形，是真命题，不符合题意； C、关于某个点成中心对称的两个三角形全等，逆命题是两个全等三角形关于某个点成中心对称，是假命题，符合题意； D、线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等，逆命题是到线段两个端点的距离相等的点在这条线段垂直平分线上，是真命题，不符合题意； 故选：C． 3．（21-22八年级上·上海普陀·期末）下列命题的逆命题错误的是（      ） A．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等； B．全等三角形的三条边对应相等； C．如果两个角都是直角，那么这两个角相等； D．等边三角形每个内角都等于60°． 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的判定、灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）、写出命题的逆命题、等边三角形的判定和性质 【分析】根据线段垂直平分线的判定、全等三角形的判定及等边三角形的性质可进行排除选项． 【详解】解：A、“线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等”的逆命题为“平面上任意一点到一条线段两个端点的距离都相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上”，为真命题，故不符合题意； B、“全等三角形的三条边对应相等”的逆命题为“如果两个三角形的三条对应边都相等，那么这两个三角形全等”，为真命题，故不符合题意； C、“如果两个角都是直角，那么这两个角相等”的逆命题为“如果两个角相等，那么这两个角都是直角”为假命题，有可能这两个角为对顶角，故符合题意； D、“等边三角形每个内角都等于60°”的逆命题为“如果一个三角形的每个内角都为60°，那么这个三角形是等边三角形”为真命题，故不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查逆命题、线段垂直平分线的判定、全等三角形的判定及等边三角形的性质，熟练掌握逆命题、线段垂直平分线的判定、全等三角形的判定及等边三角形的性质是解题的关键． 4．（20-21八年级上·上海金山·期末）下列命题中，是假命题的是（      ） A．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等 ； B．每个命题都有逆命题； C．每个定理都有逆定理； D．在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上． 【答案】C 【知识点】写出命题的逆命题、判断命题真假、角平分线的判定定理、灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】根据全等三角形的判定，命题与定理及角平分线的判定等知识一一判断即可． 【详解】解：A．两条直角边对应相等的两个直角三角形，符合两三角形的判定定理“SAS”；故本选项是正确； B、每个命题都有逆命题，所以B选项正确； C、每个定理不一定有逆定理，所以C选项错误； D、在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上，正确． 故选C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，命题与定理以及角平分线的判定方法，熟练利用这些判定定理是解题关键． 5．（20-21八年级上·上海浦东新·期末）下列命题中，是真命题的是（    ） A．三角形的外角大于三角形的任何一个内角 B．线段的垂直平分线上的任一点与该线段两个端点能构成等腰三角形 C．三角形一边的两个端点到这边上的中线所在的直线的距离相等 D．面积都相等的两个三角形一定全等 【答案】C 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、判断命题真假 【分析】A、B、D均可举反例说明错误，C选项可构造图形证明． 【详解】解：A.钝角三角形与钝角相邻的外角小于该角，原命题是假命题，故该选项不符合题意； B.如果该点在线段上，那么不能构成等腰三角形，原命题是假命题，故该选项不符合题意； C.当该中线为等腰三角形底边上的中线时，根据三线合一即可得出这两个端点到这边上的中线所在的直线的距离相等， 当三角形不是等腰三角形或中线不是等腰三角形底边上的中线时， 如图所示，AD为△ABC的中线，BF⊥AD，CE⊥AD， ∵AD为△ABC的中线， ∴BD=CD， ∵BF⊥AD，CE⊥AD， ∴∠BFD=∠CED=90°， ∵∠ADB=∠EDC， ∴△BDF≌△CDE（AAS）， ∴BF=CE， 综上，三角形一边的两个端点到这边上的中线所在的直线的距离相等，原命题是真命题，故该选项符合题意； D.如果是一个钝角三角形和锐角三角形，某边相等且该边上的高相等，但它们不全等，原命题是假命题，故该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查判断命题的真假，主要考查三角形外角的性质，等腰三角形的性质和判定，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质．说明一个命题是假命题只需要举一个反例，判断一个命题是真命题需要证明它． 题型二：线段的垂直平分线的性质（共11题） 1．（23-24八年级上·上海·期末）如图，中，的垂直平分线交边于点，的垂直平分线交边于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定及性质，三角形内角和定理．由线段垂直平分线的性质及等腰三角形性质可得，，从而可得，即可求解． 【详解】解：的垂直平分线交边于点E， 的垂直平分线交边于点N， ，， ，， ， ， ， ； 故选：B． 2．（21-22八年级上·上海·期末）如图，已知垂直平分线段，，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质、等边对等角 【分析】根据垂直平分线可得AB=AC，即可得到． 【详解】∵垂直平分线段， ∴AB=AC， ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查垂直平分线的性质、等腰三角形等边对等角的性质，解题的关键是找到等腰三角形． 3．（20-21八年级上·上海长宁·期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E．△ABC的周长为19，△ACE的周长为13，则AB的长为（　　） A．3 B．6 C．12 D．16 【答案】B 【知识点】多边形的周长、线段垂直平分线的性质 【分析】根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式即可得到结论． 【详解】∵AB的垂直平分线交AB于点D， ∴AE＝BE， ∵△ACE的周长＝AC+AE+CE＝AC+BE+CE=AC+BC＝13，△ABC的周长＝AC+BC+AB＝19， ∴AB＝△ABC的周长﹣△ACE的周长＝19﹣13＝6， 故选：B． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形周长等知识，解答本题的关键是熟练掌握运用垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 4．（21-22八年级上·上海·期末）如图，在中，，斜边的垂直平分线交于点，交于点，平分，那么下列关系中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】根据线段垂直平分线的性质，，则，再由平分，得．从而得出答案． 【详解】解：、，且， ， 又平分， ， 故．正确，不符合题意； 、在与中，，， 根据三角形内角和定理．正确，不符合题意； 、，且， ∴EB=EA ，正确，不符合题意； 、不一定成立，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 5．（21-22八年级上·上海徐汇·期末）如图，在△ABC中，∠C=37°，边BC的垂直平分线分别与AC、BC交于点D、E，AB=CD，那么∠A= °． 【答案】74 【知识点】等边对等角、线段垂直平分线的性质 【分析】连接BD，由题意易得BD=CD=AB，然后可得∠DBC=∠C=37°，进而根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质可求解． 【详解】解：连接BD，如图所示： ∵DE垂直平分BC，AB=CD， ∴BD=CD=AB， ∵∠C=37°， ∴∠DBC=∠C=37°， ∴∠ADB=2∠C=74°， ∵AB=BD， ∴∠A=∠ADB=74°， 故答案为74． 【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质定理、三角形外角的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质定理、三角形外角的性质及等腰三角形的性质是解题的关键． 6．（20-21八年级上·上海普陀·期末）如图，在△ABC中，点F是边AB、AC的中垂线的交点，联结BF、CF，如果∠BFC＝110°，那么∠A＝ °． 【答案】55 【知识点】线段垂直平分线的性质、三角形的外角的定义及性质 【分析】联结并延长至点，根据线段垂直平分线的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，，根据三角形的外角性质计算，得到答案． 【详解】解：联结并延长至点， 点是边、的中垂线的交点， ，， ，， ，， ， 故答案为：55． 【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形的外角性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 7．（23-24八年级上·上海静安·期末）如图，在中，，边的垂直平分线分别交边于点E、F，如果，那么 ． 【答案】/30度 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形的内角和定理，根据等腰三角形的性质求得，，再根据线段垂直平分线的性质得到，进而求得即可求解．熟练掌握等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质是解答的关键． 【详解】解：∵在中，，， ∴，， ∵边的垂直平分线分别交边于点E、F， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（21-22八年级上·上海浦东新·期末）已知：如图，在中，，线段AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，如果，那么 ． 【答案】32°/32度 【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、等边对等角 【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠ABC＝∠ACB，再根据线段垂直平分线的性质求出∠A与∠ABE的关系，根据三角形内角和定理列方程解答即可． 【详解】解：∵△ABC中，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵DE是线段AB的垂直平分线， ∴∠A＝∠ABE， 设∠A＝x°，则∠ABC＝∠ACB＝x°＋42°， ∴∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°， 即x°＋x°＋42°＋x°＋42°＝180°， 解得，x＝32°． 故∠A＝32°． 故答案为：32°． 【点睛】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．①线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等；②可得到等腰三角形，再利用等腰三角形的知识解答． 9．（21-22八年级上·上海·期末）锐角中，，AB的垂直平分线与的垂直平分线交于点，则 【答案】/136度 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】根据垂直平分线的性质可得，由三角形内角和定理可求出，从而可求出 【详解】解：如图， 根据直平分线的性质可得， ∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为：136° 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．解题的关键是利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理． 10．（22-23八年级上·上海·期末）如图，等腰三角形中，，线段的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，则 度． 【答案】54 【知识点】线段垂直平分线的性质、等边对等角、三角形内角和定理的应用 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 由等腰三角形中，，可求得的度数，又由线段的垂直平分线交于点D，交于点E，可求得，即可求得的度数，继而求得答案． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵等腰三角形中，， ∴， ∴． 故答案为：54． 11．（23-24八年级上·上海宝山·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知、是反比例函数的图像上的两点，连接． (1)求反比例函数的解析式； (2)线段的垂直平分线交轴于点，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】反比例函数与几何综合、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图像上点的坐标特征，线段垂直平分线的性质，熟练掌握待定系数法以及线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求得即可； （2）由反比例函数的解析式求得点的坐标，设点的坐标为，根据垂直平分线的性质得出，即可得出，解方程即可． 【详解】（1）解：是反比例函数的图像上的点， ， 反比例函数的解析式为； （2）把代入得，， ， 设点的坐标为， 线段的垂直平分线交轴于点， ， ， 解得， 点的坐标为． 题型三：线段的垂直平分线的判定（共8题） 1．（23-24八年级上·上海普陀·期末）如图，在中，是钝角，以点C为圆心、的长为半径画弧，再以点A为圆心、的长为半径画弧，这两条弧相交于点D，连接，延长交于点E．下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的判定、作垂线(尺规作图) 【分析】本题主要考查了尺规作图、垂直平分线的判定与性质等知识点，掌握5种基本作图是解决问题的关键． 根据作图过程可得，则根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可判断垂直平分，进而即可得到答案 【详解】解：由作法得， ∴垂直平分， ∴． 故选：C． 2．（23-24八年级上·上海黄浦·期末）经过定点的圆的圆心的轨迹是 ． 【答案】直线 【知识点】线段垂直平分线的判定 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，由于该圆圆心到点P和到点Q的距离相等，则到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上，据此可得经过定点的圆的圆心的轨迹是直线． 【详解】解：∵一个圆经过定点， ∴该圆圆心到点P和到点Q的距离相等， ∴该圆圆心在线段的垂直平分线上， ∴经过定点的圆的圆心的轨迹是直线， 故答案为：直线． 3．（20-21八年级上·上海松江·期末）如图，在中，已知∠C=90°，AB的垂直平分线交BC，AB于点D，E，∠CAB=50°，那么∠CAD= ． 【答案】10°/10度 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、线段垂直平分线的性质 【分析】先求出∠B，再根据垂直平分线的性质，求出∠DAB，进而即可求解． 【详解】∵在中，∠C=90°，∠CAB=50°， ∴∠B=90°-50°=40°， ∵AB的垂直平分线交BC，AB于点D，E， ∴DA=DB， ∴∠DAB=∠B=40°， ∴∠CAD=∠CAB-∠DAB=10°， 故答案是：10°． 【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，中垂线的性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握中垂线的性质和等腰三角形的性质，是解题的关键． 4．（23-24八年级上·上海闵行·期末）如图，等腰中，，，的垂直平分线交于D，那么的度数为 ． 【答案】 【知识点】等边对等角、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查等边对等角，中垂线的性质．根据等边对等角，求出的度数，中垂线的性质，推出，利用角的和差关系求解即可．掌握相关性质，是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵的垂直平分线交于D， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 5．（23-24八年级上·上海普陀·期末）已知、是两个定点，那么经过这两个定点的圆的圆心轨迹是 ． 【答案】线段的垂直平分线 【知识点】线段垂直平分线的性质、圆的基本概念辨析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，即“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等” ．利用圆的性质可以得到圆上所有点到圆心的距离相等，从而得到所有圆心到、两点的距离相等，从而得出结论． 【详解】解：圆上的所有点到圆心的距离相等， 无论圆心在哪里，所有圆心到、两点的距离相等， 到、两点的距离相等的点在线段的垂直平分线上， 故答案为：线段的垂直平分线． 6．（23-24八年级上·上海·期末）以为底边的等腰三角形，它的两腰上的中线交点的轨迹是 ． 【答案】线段的垂直平分线（底边中点除外） 【知识点】根据三角形中线求长度、三线合一、线段垂直平分线的判定 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形中线的性质，线段垂直平分线的逆定理．根据三角形的三条中线交于一个，和等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：如图， ∵，分别是的中点，点是的交点， 连接并延长交于点， ∴是底边的中线，也是的垂线， ∴点在底边的垂直平分线上（底边中点除外）， 故答案为：线段的垂直平分线（底边中点除外）． 7．（21-22八年级上·上海徐汇·期末）以线段AB为底边的等腰三角形，它的两底角平分线交点的轨迹是 ． 【答案】线段AB的垂直平分线（AB中点除外） 【知识点】等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线的判定 【分析】根据等边对等角，得到两个底角相等，两个底角的一半也是相等的，利用等角对等边，交点到A，B的距离相等，得到结论． 【详解】如图，∵CA=CB， ∴∠CAB=∠CBA， ∵AD，BD分别是∠CAB，∠CBA的平分线， ∴∠CAB=∠CBA， ∴∠DAB=∠DBA， ∴D在AB的垂直平分线上， 故答案为：线段AB的垂直平分线（AB中点除外）． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等腰三角形的判定，线段垂直平分线的逆定理， 熟练等腰三角形的性质，线段垂直平分线的逆定理是解题的关键． 8．（20-21八年级上·上海金山·期末）已知：如图，中，分别是上的中线，相交于点，联结．求证： （1）； （2）垂直平分． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【知识点】线段垂直平分线的判定、根据等角对等边证明等腰三角形 【分析】（1）利用三角形的全等，得到一对对应角，后利用等角对等边证明即可； （2）根据线段垂直平分线的判定证明即可． 【详解】（1）∵分别是上的中线， ∴BE=CD，∠EBC=∠DCB， ∵BC=CB， ∴△EBC≌△DCB， ∴∠ECB=∠DBC， ∴OB=OC； （2）设AO与DE的交点为F， ∵△EBC≌△DCB， ∴EC=DB， ∵OB=OC； ∴OD=OE， ∴点O在线段DE的垂直平分线上， ∵AE=AD， ∴点A在线段DE的垂直平分线上， ∴直线AO是线段DE的垂直平分线， ∴垂直平分． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的全等，中线的定义，垂直平分线的判定和性质，同一个三角形中，等角对等边，熟练掌握线段垂直平分线的逆定理是解题的关键． 题型四：角平分线性质定理（共12题） 1．（22-23八年级上·上海宝山·期末）在中，和的平分线交于点D，于点E，如果，的面积是6，则周长是 ． 【答案】 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】根据角平分线的性质得到，．根据的面积，利用即可解答． 【详解】解：如图，过点作于点，于点，连接． 平分，，， ． 平分，，， ． ， ， 即， ∴ ， 即的周长为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到两边的距离相等以及面积的计算方法是解题的关键． 2．（22-23八年级上·上海杨浦·期末）在中，，的平分线交于点，，，那么到的距离是 ． 【答案】3 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得解． 【详解】解：如图，过点作， ∵平分，， ∴， ∵，， ∴； 即：到的距离是3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，是解题的关键． 3．（23-24八年级上·上海闵行·期末）如图，在中，，平分，如果，，那么的面积等于 ． 【答案】9 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查角平分线的性质．过点作，根据角平分线的性质得到，再利用面积公式进行求解即可． 【详解】解：过点作， ∵，平分， ∴， ∴的面积等于； 故答案为：9． 4．（23-24八年级上·上海·期末）如图，已知，点为的平分线的交点．，且，则两平行线间的距离等于 ． 【答案】/ 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，平行线的性质．过点O作于点M，交于点N，根据，得出，求出，根据角平分线的性质得出，，即可得出结论． 【详解】解：过点O作于点M，交于点N，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴， ∵、分别平分，， ∵， ∴，， ∴， ∴两平行线、之间的距离为． 故答案为：． 5．（23-24八年级上·上海静安·期末）如图，在中，，，是的角平分线，于点E，若，则的面积为 ．    【答案】20 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查角平分线的性质定理、三角形的面积公式，熟知角平分线上的点到这个角的两边的距离相等是解答的关键．过点D作于F，根据角平分线的性质定理得到，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：过点D作于F，如图，    ∵是的角平分线，，， ∴， ∵， ∴，又， ∴的面积为， 故答案为：20． 6．（23-24八年级上·上海宝山·期末）如图，四边形中，，，，，那么的面积是 ． 【答案】24 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查角平分线的性质，关键是由角平分线的性质得到．过作于，由角平分线的性质得到，而，即可求出的面积． 【详解】解：过作于， ，， ， ， 的面积． 故答案为：24． 7．（20-21八年级上·上海·期末）我们定义：一个三角形最小内角的角平分线将这个三角形分割得到的两个三角形它们的面积之比称为“最小角割比Ω”（），那么三边长分别为7，24，25的三角形的最小角割比Ω是 ． 【答案】． 【知识点】角平分线的有关计算、角平分线的性质定理 【分析】根据题意作出图形，然后根据角平分线的性质得到，再根据三角形的面积和最小角割比Ω的定义计算即可． 【详解】解：如图示，，，， 则，根据题意，作的角平分线交于点， 过点，作交于点， 过点，作交于点， 则 ∵，， 则（） 故答案是：． 【点睛】本题考查了三角形角平分线的性质和三角形的面积计算，熟悉相关性质是解题的关键． 8．（20-21八年级上·上海浦东新·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，如果CD＝1，那么BD＝ ． 【答案】 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE＝CD，再求出△BDE是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形斜边等于直角边的倍解答． 【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于E， ∵AD平分∠CAB，∠C＝90°， ∴DE＝CD＝1， ∵AC＝BC，∠C＝90°， ∴∠B＝45°， ∴△BDE是等腰直角三角形， ∴BD＝DE＝． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，等腰直角三角形的直角边与斜边的关系． 9．（20-21八年级上·上海·期末）如图，AD是ABC的角平分线，若ABC的面积是48，且AC＝16，AB＝8，则点D到AB的距离是 ． 【答案】4 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】过点作于，于，如图，根据角平分线的性质得到，再利用三角形面积公式得到，然后求出即可． 【详解】解：过点作于，于，如图， 是的角平分线， ， ， ， 即， ， 即点到的距离为4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等，也考查了三角形面积． 10．（23-24八年级上·上海崇明·期末）在中，平分，，，，求． 【答案】6 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积计算，过点D 作，垂足分别为E、F，根据三角形面积计算公式求出，再由角平分线的性质得到，据此利用三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D 作，垂足分别为E、F， ∵，， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴． 11．（23-24八年级上·上海崇明·期末）如图所示，在中，平分，于，于，厘米，厘米．已知的面积为平方厘米，求的长度． 【答案】厘米 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】此题主要考查角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，以及三角形面积的求法． 由角平分线的性质可得，，又，据此求解． 【详解】解：平分，于，于， ， ，厘米，厘米， ， 解得 即的长度为3厘米． 12．（20-21八年级上·上海普陀·期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AB中点，ED∥BC，且与∠ABC的平分线BD交于点D，联结AD． (1)求证：AD⊥BD； (2)记BD与AC的交点为F，求证：BF＝2AD． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】两直线平行内错角相等、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）由平行线的性质和角平分线的性质可得，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，可证； （2）由“”可证，可得，由“”可证，可得． 【详解】（1）解：证明：为中点， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：延长，交于点， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是添加恰当辅助线构造全等三角形． 题型五：角平分线的判定定理（共2题） 1．（20-21八年级上·上海虹口·期末）平面内在角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的 ． 【答案】角平分线 【知识点】角平分线的判定定理 【分析】根据角平分线的判定可知． 【详解】解：根据角平分线的判定可知：平面内在角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的角平分线， 故答案为：角平分线． 【点睛】本题考查了角平分线的判定，解题关键是明确在角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上． 2．（23-24八年级上·上海普陀·期末）如图，在四边形ABCD中，，，垂足为点E．如果，，那么 ． 【答案】 【知识点】角平分线的判定定理、三角形内角和定理的应用、三线合一 【分析】本题考查等腰三角形性质，角平分线判定及性质，三角形内角和定理．根据题意过点作，再利用已知条件得到平分，再利用等腰三角形性质及三角形内角和定理即可得到本题答案． 【详解】解：过点作， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴平分， ∴， ∵， ∴为等腰三角形， ∴平分， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 题型六：线段垂直平分线与角平分线综合题（共3题） 1．（21-22八年级上·上海浦东新·期末）如图，在中，，三角形的两个外角和的平分线交于点E．则 ． 【答案】26°/26度 【知识点】角平分线的判定定理、角平分线的性质定理、角平分线的有关计算 【分析】根据题意过点作三边的垂线段，根据角平分线的性质可得，，进而判定是的角平分线，根据角平分线的定义即可求得 【详解】解：如图，过点作三边的垂线段， 三角形的两个外角和的平分线交于点E 在的角平分线上，即是的角平分线 故答案为： 【点睛】本题考查了角平分线的性质与判定，证明是的角平分线是解题的关键． 2．（21-22八年级上·上海·期末）如图，在中，，的平分线与的外角平分线交于点，则的度数为 .（用含的式子表示） 【答案】 【知识点】角平分线的性质定理、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质、角平分线的判定定理 【分析】如图，过点E作三边的垂线，垂足分别为D，F，G，先根据角平分线的性质证得EF=DE，然后根据角平分线的判定证得，再根据三角形外角的性质和角平分线的性质求得∠EBA=，∠BAE=，最后根据三角形内角和求解． 【详解】解：过点E作于点D，于点F，于点G， ∵CE平分∠ACB，BE平分∠ABC的外角， ∴， ∴AE也是∠BAC外角的平分线， ∴∠EBA=，∠BAE=， ∴∠EBA+∠BAE==， ∴∠AEB==． 故答案为：． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的性质和判定，正确理解三角形的有关性质是解本题的关键． 3．（23-24八年级上·上海普陀·期末）【图形新发现】小普同学发现：如果一个三角形的一条角平分线与一条中线互相垂直，那么这个三角形的某两条边必有倍半关系． 如图1，已知在中，BD是的角平分线，是的中线，，垂足为点F． （1）根据图1，写出中小普同学所发现的结论，并给出证明； 【图形再探究】现将小普同学所研究的三角形称为“线垂”三角形，并将被这条内角平分线所平分的内角叫做“分角”．下面我们跟着小普同学再探究： （2）在如图1中，“线垂”三角形是否可以是直角三角形？如果可以，求的度数；如果不可以，请说明理由； （3）已知线段，是否存在一点P，使得以为一边的“线垂”三角形为等腰三角形？如果存在，请在图2中用直尺和圆规做出为“分角”的“线垂”等腰三角形（不写作法，仅保留作图痕迹，在图中清楚地标注出点P），并用文字语言归纳表述成一条与“线垂”等腰三角形的边或角有关的真命题；如果不存在，请说明理由．                  【答案】（1），证明见解析；（2）可以，的度数为或；（3）存在，见解析 【知识点】线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、角平分线的性质定理 【分析】本题考查新定义，尺规作图，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，角平分线定义，中线定义等知识点，理解新定义，熟练掌握相关知识，合理分类讨论是解题的关键． （1）利用角平分线性质及垂直的定义得到，即为等腰三角形，再根据中线定义即可得到本题答案； （2）分，，三种情况讨论，根据（1）中结论即角平分线性质即可得到本题答案； （3）作线段的垂直平分线交线于O，以M为圆心，为半径画弧，以N为圆心，为半径画弧，两弧相交点，连接，即可． 【详解】（1）解：，证明如下： ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∴； （2）解：可以， 理由如下： ①当时，如图， ∵，是中线， ∴， 在“线垂”三角形中，， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∵是的角平分线， ∴； ②当时，如图， ∵是中线， ∴， 在“线垂”三角形中，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ③当，，与“线垂”三角形中，，相矛盾，故舍去； 综上，的度数为或； （3）解：存在，如图，即为所求， 由作图知：O为中点，，，平分， ∴， ∴等腰是以为“分角”的“线垂”三角形， “线垂”等腰三角形的两底角相等． 题型七：尺规作图（共4题） 1．（23-24八年级上·上海崇明·期末）已知及线段，求一点P使点P到、的距离相等，且．（不写画法，要有结论） 【答案】见解析 【知识点】角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质、作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图) 【分析】本题主要考查了角平分线的性质和尺规作图，线段垂直平分线的性质和尺规作图，点到、的距离相等，则点在的角平分线上，，则点在线段的垂直平分线上，据此作出的角平分线和线段的垂直平分线，二者的交点即为点． 【详解】解：如图所示，点P即为所求． 2．（21-22八年级上·上海静安·期末）已知：如图，，点在上． (1)求作线段的垂直平分线，交于点； (2)连结，求作的角平分线．（保留作图痕迹，不需要写出作图步骤） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查尺规作图，掌握尺规作图的方法是解题的关键． （1）根据作已知线段垂直平分线的作法，即可求解； （2）根据作已知角的平分线的作法，即可求解． 【详解】（1）解：如图，就是所求作的直线， （2）解：如图，就是所求作的射线， 3．（20-21八年级上·上海浦东新·期末）作图：已知和线段r，请在内部作点P，使得点P到AC和BC的距离相等，并且点A到点P的距离等于定长r．（不写作法，保留痕迹） 【答案】图见解析． 【知识点】作角平分线(尺规作图) 【分析】根据题意点P到AC和BC的距离相等，可知点P在的角平分线上，点A到点P的距离等于定长r，可知点P在以点A为圆心，以定长r为半径的圆上，由此作图即可． 【详解】如图，先作的角平分线，再以点A为圆心，以定长r为半径作圆弧，圆弧与角平分线的交点即为点P． 【点睛】本题主要考查角平分线的画法，属于基础题，需要有一定的画图能力，熟练掌握角平分线的画法是解题的关键． 4．（21-22八年级上·上海静安·期末）如图，在△ABC中，AC=6，BC=10． (1)用尺规在AB边上求作点P，使点P到∠ACB两边的距离相等； （不要求写出作法和证明，但要求保留作图痕迹，并写出结论） (2)如果△ACP的面积为15，那么△BCP的面积是多少． 【答案】(1)见解析 (2)25 【知识点】作角平分线(尺规作图)、角平分线的性质定理 【分析】（1）作∠ACB的角平分线与AB的交点即为点P； （2）如图：过点P作PE⊥CA延长线于点E，PF⊥BC于点F，然后证得，最后代入计算即可． 【详解】（1）解：如图：点P即为所求； （2）解：如图：过点P作PE⊥CA延长线于点E，PF⊥BC于点F ∵CP平分∠ACB， ∴PE=PF， ∴ ∵=15 ∴ ∴=25． 【点睛】本题主要考查了作角平分线、角平分线的性质定理等知识点，解题的关键是灵活运用角平分线的性质． $$