30.3 由不共线三点的坐标确定二次函数（题型专练）数学冀教版九年级下册

30.3 由不共线三点的坐标确定二次函数（分层作业） 题型1 已知三个不共线的点求解二次函数解析式 1． 已知二次函数的图象经过点（-1，-5），（0，-4）和（1，1），求这二次函数的表达式. 2． 经过两点，对称轴为直线，求抛物线的解析式. 3．已知抛物线经过点、，求抛物线的解析式． 题型2 已知顶点求解二次函数解析式 4.已知抛物线的图象顶点为，且过，试求a、b．c的值． 5．已知二次函数图象经过点，且当时，y有最大值5，求这个函数的解析式． 题型3 已知与x轴交点求解二次函数解析式 6．如图，抛物线分别经过点，，．求抛物线的函数解析式． 7.二次函数图象经过，求二次函数解析式． 8.在平面直角坐标系中，抛物线经过点，其对称轴为直线，点在该抛物线上，其横坐标为．以点为对称中心，作正方形．使轴，且点的横坐标为1． (1)求该抛物线对应的函数关系式． (2)当点与点重合时，求抛物线的顶点到正方形垂直于轴的边的最短距离． (3)当抛物线在正方形内部的部分对应的函数值随的增大而减小或随的增大而增大时，求的取值范围． (4)当抛物线与正方形的边有且只有两个交点，且这两个交点的纵坐标之和为8时，直接写出的值． 9．在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡，从点O处抛出一个小球，落到点A处．小球在空中所经过的路线是抛物线的一部分． (1)求抛物线的表达式． (2)求抛物线最高点的坐标． (3)斜坡上点B处有一棵树，B是的三等分点且，小球恰好越过树的顶端C，求这棵树的高度． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 30.3 由不共线三点的坐标确定二次函数（分层作业） 题型1 已知三个不共线的点求解二次函数解析式 1． 已知二次函数的图象经过点（-1，-5），（0，-4）和（1，1），求这二次函数的表达式. 【详解】解：设所求函数的解析式为y=ax2+bx+c， 把（-1，-5），（0，-4），（1，1）分别代入， 得：解得 所求的函数的解析式为y=2x2+3x-4． 2． 经过两点，对称轴为直线，求抛物线的解析式. 【分析】根据已知条件得到解出a，b，c即可； 【详解】设抛物线的解析式为， 根据题意，得 解得 则抛物线的解析式为． 3．已知抛物线经过点、，求抛物线的解析式． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，将、代入解析式即可求解；掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 解得：， 抛物线的解析式为． 题型2 已知顶点求解二次函数解析式 4.已知抛物线的图象顶点为，且过，试求a、b．c的值． 【详解】解：由题意设抛物线为；           把代入，得： 解得：           ∴ ∴，， 5．已知二次函数图象经过点，且当时，y有最大值5，求这个函数的解析式． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的最值，由二次函数的顶点坐标可设二次函数的关系式为，代入点可求出值，此题得解． 【详解】解：设这个二次函数的解析式为． ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴这个二次函数的解析式为． 题型3 已知与x轴交点求解二次函数解析式 6．如图，抛物线分别经过点，，．求抛物线的函数解析式． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 设交点式，然后把C点坐标代入求a即可； 【详解】解：抛物线经过点，， 设抛物线的解析式为：， 代入得：， 解得：， 抛物线的解析式：． 7.二次函数图象经过，求二次函数解析式． 【分析】本题主要考查待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的三种表达式是解题的关键；由题意可设该抛物线的解析式为，然后代入点B坐标可进行求解． 【详解】解：设该抛物线的解析式为， 把代入函数得：， 解得：， 该抛物线的解析式为，即． 8.在平面直角坐标系中，抛物线经过点，其对称轴为直线，点在该抛物线上，其横坐标为．以点为对称中心，作正方形．使轴，且点的横坐标为1． (1)求该抛物线对应的函数关系式． (2)当点与点重合时，求抛物线的顶点到正方形垂直于轴的边的最短距离． (3)当抛物线在正方形内部的部分对应的函数值随的增大而减小或随的增大而增大时，求的取值范围． (4)当抛物线与正方形的边有且只有两个交点，且这两个交点的纵坐标之和为8时，直接写出的值． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，其对称轴为直线， ， ，； 抛物线解析式为； （2）解：抛物线解析式为， 抛物线的顶点坐标为； 轴，即轴，点的横坐标为1， 点到轴的距离为1， 由正方形的性质可得，正方形的边长为2， 若点的坐标为，则，，，如图所示： 抛物线的顶点到正方形垂直于轴的边所在的直线的最短距离为； （3）解：当或时，抛物线在正方形内部的部分对应的函数值随的增大而增大；当抛物线在正方形内部的部分对应的函数值随的增大而减小， 的取值范围是或或； （4）解：点与顶点重合时，．此时、的纵坐标都为．以下分三种情况讨论． 第一种情况：点在第一象限，当时， 此时， （舍掉）或， 第二种情况：当且与交于、时，， ， ， 到的距离和到的距离相等，都是， ， （舍掉）或， ； 第三种情况：，，两个交点的纵坐标的和不可能为8，此种情况不符合题意． 综上，或． 9．在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡，从点O处抛出一个小球，落到点A处．小球在空中所经过的路线是抛物线的一部分． (1)求抛物线的表达式． (2)求抛物线最高点的坐标． (3)斜坡上点B处有一棵树，B是的三等分点且，小球恰好越过树的顶端C，求这棵树的高度． 【分析】本题考查了二次函数的应用，其中涉及到待定系数法求二次函数的解析式，二次函数顶点坐标的求解方法，相似三角形的判定和性质，难度适中利用数形结合与方程思想是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）配成顶点式，利用二次函数的性质即可求解； （3）过点、分别作轴的垂线，证明，利用相似三角形的性质求得，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵点是抛物线上的一点， 把点代入中，得， 解得：． ∴抛物线的表达式为． （2）解：由（1），得． ∴抛物线最高点的坐标为． （3）解：如图，过点A，B分别作x轴的垂线，垂足分别是E，D， ∵，， ∴． ∴． 又∵B是的三等分点，且， ∴． ∵， ∴，． ∴． 解得：． ∵， 解得：． ∴点C的横坐标为1． 将代入中，得． ∴点C的坐标为． ∴． ∴． 答：这棵树的高度为2． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$