专题03 正比例函数与反比例函数（考点清单，3个考点清单+10种题型解读）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（沪教版）

专题03 正比例函数与反比例函数 （考点清单，3个考点清单+10种题型解读） 【清单01】函数 定义：在某个变化过程中有两个变量x和y，在变量x的允许取值范围内，变量y随x的变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量y叫x的函数. 函数记号：，表示x＝a时的函数值. 设为整式，则 函数的定义域：一切实数；函数的定义域：满足的实数； 函数的定义域：满足的实数. 【清单02】正比例函数与反比例函数 正比例函数 反比例函数 定义 形如的函数，其中k是比例系数 形如的函数，其中k是比例系数 定义域 一切实数 不等于零的一切实数 图像 经过原点（0，0）和点（1，k）的一条直线； 双曲线，它有两支 性质 当时，正比例函数的图像经过第一、三象限；y的值随x的值增大而增大； 当时，正比例函数的图像经过第二、四象限；y的值随x的值增大而减小。 当时，反比例函数的图像经过第一、三象限；在每一个象限内，y的值随x的值增大而减小； 当时，反比例函数的图像经过第二、四象限；在每一个象限内，y的值随x的值增大而增大。 图像与两支无限接近坐标轴，但不相交. 【清单03】函数的表示法 1、解析法：用等式来表示一个变量与另一个变量之间函数关系的方法，这个等式称为函数 的解析式（或函数关系式）．简单明了，能从解析式了解函数与自变量之间的关系，便于理论上的分析与研究，但求对应值时需要逐个计算，且有的函数无法用解析式表示． 2、列表法：用表格形式来表示一个变量与另一个变量之间函数关系的方法；从表格中直接 找到自变量对应的函数值，查找方便，但无法将自变量与函数值的全部对应值都列出来，且难以看出规律． 3、图像法：用图像来表示一个变量与另一个变量之间函数关系的方法；函数与自变量的 对应关系、函数的变化情况及趋势能够很直观地显示出来，但从图像上找自变量与函数的对应值一般只能是近似的，且只能反映出变量间关系的一部分而不是全体． 4、三种表示法的相互联系与转化：由函数的解析式画函数的图像，一般分为“列表、描点、 连线”三个步骤，通常称作描点作图法；同样，函数图像中点的坐标或表格中自变量与函数的对应值，也是函数解析式所表示的方程的一个解． 【考点题型一】求自变量的值与函数值（共8题） 1．（23-24八年级上·上海金山·期末）已知函数，则 ． 2．（23-24八年级上·上海松江·期末）函数中自变量的取值范围是 ． 3．（24-25八年级上·上海·期末）函数的定义域是 ． 4．（23-24八年级上·上海松江·期末）已知函数，那么 ． 5．（23-24八年级上·上海长宁·期末）如果函数，那么 ． 6．（23-24八年级上·上海·期末）已知函数，那么 ． 7．（23-24八年级上·上海普陀·期末）已知函数，那么 ． 8．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）函数的定义域是 ． 【考点题型二】正比例函数定义（共4题） 1．（21-22八年级上·上海静安·期末）下列问题中，两个变量成正比例的是（    ） A．圆的面积和它的半径； B．长方形的面积一定时，它的长和宽； C．正方形的周长与边长； D．三角形的面积一定时，它的一条边长与这条边上的高． 2．（23-24八年级上·上海闵行·期末）已知正比例函数，那么它的图象经过（    ） A．第一、三象限 B．第一、二象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 3．（22-23八年级上·上海青浦·期中）下面问题中，两个变量成正比例关系的是（    ） A．等腰三角形的面积一定，它的底边和底边上的高 B．长方形的长确定，它的面积与宽 C．长方形的长确定，它的周长与宽 D．等边三角形的面积和它的长 4．（23-24八年级上·上海静安·期末）已知函数是正比例函数，则 ． 【考点题型三】正比例函数的图象与性质（共6题） 1．（21-22八年级上·上海宝山·期末）正比例函数的图像经过第 象限． 2．（21-22八年级上·上海黄浦·期末）已知正比例函数，y随x的增大而减小，则k的取值范围是 ． 3．（23-24八年级上·上海·期末）正比例函数的图像经过，且，则k的范围是 ． 4．（21-22八年级上·上海徐汇·期末）已知正比例函数的图象经过第一、三象限，且经过点（k，k+2），则k= ． 5．（21-22八年级上·上海松江·期末）正比例函数图像经过点（1，-1），那么k= ． 6．（21-22八年级上·上海静安·期末）如果正比例函数的图象经过第二、四象限，那么m的值为 . 【考点题型四】反比例函数定义与反比例函数的值（共2题） 1．（23-24八年级上·上海金山·期末）下列函数一定是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（20-21八年级上·上海·期末）已知与成反比例，且当时，；求：当时，的值． 【考点题型五】实际问题与反比例函数（共4题） 1．（22-23八年级上·上海静安·期末）已知长方形的两条边长为、，面积是4，那么关于的函数的图像是（    ） A． B． C． D． 2．（20-21八年级上·上海青浦·期末）近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）呈反比例，其函数关系式为．如果近似眼镜镜片的焦距米，那么近视眼镜的度数为 ． 3．（22-23八年级上·上海宝山·期末）办公区域的自动饮水机，开机加热时水温每分钟上升，水温到时停止加热，此后水温开始下降．水温（）与开机通电时间成反比例关系．若水温在时接通电源，一段时间内，水温y与通电时间x之间的函数关系如图所示． (1)水温从加热到，需要 ； (2)求水温下降过程中，y与x的函数关系式，并写出定义域； (3)如果上午8点接通电源，那么8：20之前，不低于的时间有多少？ 4．（23-24八年级上·上海宝山·期末）越来越多的人选择骑自行车这种低碳方便又健身的方式出行．某日，一位家住宝山的骑行爱好者打算骑行去上海蟠龙天地，记骑行时间为t小时，平均速度为v千米/小时（骑行速度不超过40千米/小时）．根据以往的骑行经验，v、t的一些对应值如下表： v（千米/小时） 15 20 25 30 t（小时） 2 1 (1)根据表中的数据，求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数表达式； (2)如果这位骑行爱好者上午8：30从家出发，能否在上午9：10之前到达上海蟠龙天地？请说明理由； (3)若骑行到达上海蟠龙天地的行驶时间t满足，求平均速度v的取值范围． 【考点题型六】反比例函数图象与性质（共15题） 1．（23-24八年级上·上海静安·期末）设为反比例函数图象上的两点，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）反比例函数的图象经过点、、，其中，那么、的大小关系是（    ） A． B． C． D．都有可能 3．（23-24八年级上·上海普陀·期末）下列函数中，的值随的值增大而减小的是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23八年级上·上海长宁·期末）在函数的图象上有三点，，，已知，那么下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·上海宝山·期末）已知反比例函数的图象有一支在第四象限，点在正比例函数的图象上，那么点P在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．（23-24八年级上·上海普陀·期末）如果反比例函数（是常数，）的图像位于第二、四象限，那么 ．（只需写一个数值） 7．（22-23八年级上·上海青浦·期末）如果点、在反比例函数的图像上，那么、的大小关系是 ．（用“＜”号连接） 8．（23-24八年级上·上海闵行·期末）如果反比例函数在时，y的值随x的值的增大而增大，那么m的取值范围是 ． 9．（23-24八年级上·上海长宁·期末）如果点、点都在函数的图象上，且，那么m的取值范围是 ． 10．（21-22八年级上·上海宝山·期中）已知三点（a，m）、（b，n）和（c，t）在反比例函数y＝（k＞0）的图像上，若a＜0＜b＜c，则m、n和t的大小关系是 ．（用“＜”连接） 11．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）已知反比例函数的图象经过点，那么当，这个函数中的函数值随自变量值的增大而 ．（填写“增大”或“减小”） 12．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）已知反比例函数图像上三点的坐标分别是、、，且，试判断，，的大小关系 ． 13．（22-23八年级上·上海长宁·期末）已知点、点在同一个反比例函数的图象上，则点A与点B的距离为 ． 14．（21-22八年级上·上海·期末）参照反比例函数研究的内容与方法，研究下列函数： (1)研究函数：①画出它的图像；②它的图像是什么图形？可看作怎样的图形经过怎样的平移得到？③说明它所具有的性质． (2)研究函数的图像与性质； (3)由（1）（2）的图像经过平移，你还能得出怎样的函数图像与性质，请举例说明； (4)研究函数的图像与性质． 15．（20-21八年级上·上海青浦·期末）在平面直角坐标系中（如图），已知函数的图象和反比例函数的图象在第一象限相交于A点，其中点A的横坐标是1．    (1)求反比例函数的解析式； (2)将点A向右平移三个单位得到点C，点P在x轴上，如果，求点P的坐标． 【考点题型七】反比例函数k的几何意义（共7题） 1．（23-24八年级上·上海静安·期末）如图，反比例函数，点M是它在第二象限内的图象上一点，垂直x轴于点P，如果的面积为1，那么k的值是（   ） A．1 B． C．2 D． 2．（23-24八年级上·上海杨浦·期末）如图，点在反比例函数第一象限的图象上，垂直轴，垂足为，设的面积是，那么与之间的数量关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 3．（23-24八年级上·上海·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图像交矩形的边于点，交边于点，且．若四边形的面积为，则值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·上海静安·期末）如图，点A是函数在第一象限内的图像上一点，过点A作轴于点B，则的面积为 ． 5．（22-23八年级上·上海徐汇·期末）反比例函数在第二象限内的图像上有一点，过作轴于点，联结，已知的面积为．则反比例函数的解析式为 6．（21-22八年级上·上海静安·期末）在描述某一个反比例函数的性质时，甲同学说：“从这个反比例函数图像上任意一点向x轴、y轴作垂线，与两坐标轴所围成的长方形的面积为2022.”乙同学说：“这个反比例函数在同一个象限内，y的值随着x的值增大而增大.”根据这两位同学所描述，此反比例函数的解析式是 . 7．（21-22八年级上·上海奉贤·期末）如图，将一个长方形放置在平面直角坐标系中，，，点是的中点，反比例函数图像过点且和相交于点． (1)求直线和反比例函数的解析式； (2)求四边形的面积． 【考点题型八】正比例函数与反比例函数综合（共3题） 1．（23-24八年级上·上海静安·期末）如果，那么函数与在同一坐标系中的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   2．（23-24八年级上·上海闵行·期末）下列说法正确的是（    ） A．周长为1的矩形的长与宽成正比例 B．面积为1的等腰三角形的腰长与底边长成正比例 C．面积为1的矩形的长与宽成反比例 D．等边三角形的面积与它的边长成正比例 3．（23-24八年级上·上海崇明·期末）如图，已知正比例函数图像经过点和点． (1)求正比例函数的解析式及m的值； (2)过点A作y轴的平行线，与反比例函数在第一象限内的分支交于点B（点B在点A下方），若的面积为10，求反比例函数的解析式． 【考点题型九】反比例函数与几何综合（共10题） 1．（23-24八年级上·上海金山·期末）如图，函数和的部分图像与直线分别交于、两点，如果的面积是，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·上海虹口·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数，交边于点E，且．若四边形的面积为6，则k的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．6 3．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）在直角坐标平面内，函数的图像在同一个象限内经过A、B两点，且．过点作轴垂线，垂足为点，连接、、，若，则点的坐标是 ． 4．（24-25八年级上·上海·期末）如图，点P在反比例函数的图象上，且横坐标为1，过点P作两条坐标轴的平行线，与反比例函数的图象相交于点A、B，且A在第二象限，那么值为 ． 5．（23-24八年级上·上海闵行·期末）如图，点为第一象限内一点，过点分别作轴、轴的垂线，垂足为点、，为的中点，函数的图像经过点且交于，已知四边形的面积为，则的值为 ．    6．（22-23八年级上·上海徐汇·期末）点A、M在函数图象上，点B、N在函数图象上，分别过A、B作x轴的垂线，垂足为D、C，再分别过M、N作线段的垂线，垂足为Q、P，若四边形与四边形均为正方形，则正方形的面积是 ． 7．（21-22八年级上·上海崇明·期末）如图，点P的坐标是，过点P作x轴的平行线交y轴于点A，交双曲线于点N，作交双曲线于点M，连接AM．已知PN=4． (1)求k的值； (2)求的面积． 8．（21-22八年级上·上海·期末）如图, 在平面直角坐标系中， 是等边三角形． (1)在 轴正半轴取一点 ，使得 是一个等腰直角三角形， 与 交 于 ，已知 ，求 ； (2)若等边 的边长为 6 , 点 在边 上, 点 在边 上, 且 .反比例函数 的图像恰好经过点 和点 , 求反比例函 数解析式.(此题无须写括号理由) 9．（21-22八年级上·上海黄浦·期末）如图，反比例函数图象经过点，点B在反比例函数的图象上，横坐标为2，过点B作轴，垂足为C． (1)求反比例函数解析式及B点坐标； (2)连接，若将沿翻折，得到，求四边形的面积． 10．（23-24八年级上·上海·期末）如图，直线与函数的图象相交于点，与轴交于点，且，点是线段上一点． (1)求的值； (2)若与的面积比为，求点的坐标； (3)将绕点逆时针旋转得到，点恰好落在函数的图像上，求点的坐标． 【考点题型十】从函数的图象获取信息（共4题） 1．（22-23八年级上·上海青浦·期末）、两地相距45千米，甲骑电瓶车从地出发前往地，乙同时骑自行车从距离地20千米的地出发前往地．图中的线段和线段分别反映了两人与地的距离（千米）和行驶时间（小时）的函数关系．根据图像提供的信息回答下列问题： (1)两人谁先到达地？________．（填“甲”或“乙”） (2)甲到达地用了________小时． (3)两人在出发多少小时后相遇？ 2．（22-23八年级上·上海杨浦·期末）在全民健身环城越野赛中，甲乙两位选手都完成了比赛，甲的行程（千米）随时间（小时）变化的图象（全程）如图所示；乙的行程（千米）随时间（小时）的函数解析式为（）．    (1)在图中画出乙的行程（千米）随时间（小时）的函数图象； (2)环城越野赛的全程是________千米； (3)甲前0.5小时的速度是________千米/小时； (4)甲和乙出发1小时后相遇，相遇时甲的速度是________千米/小时． 3．（23-24八年级上·上海闵行·期末）小杰与爸爸骑车从家到公园先上坡后下坡，在这段路上小杰骑车的路程S（千米）与骑车的时间t（分钟）之间的函数关系如图所示，请根据图中信息填空： (1)小杰去公园时下坡路长________千米； (2)小杰下坡的速度为________千米/分钟； (3)如果小杰回家时按原路返回，且上坡与下坡的速度不变，那么从公园骑车到家用的时间是________分钟． 4．（22-23八年级上·上海浦东新·期末）如图，是小王和小李在赛跑过程中时间和路程的关系图． (1)这是______米的赛跑比赛； (2)小王的平均速度是________； (3)小李跑步时路程（米）与时间（秒）的函数关系式及定义域是__________； (4)谁先到达终点：__________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 正比例函数与反比例函数 （考点清单，3个考点清单+10种题型解读） 【清单01】函数 定义：在某个变化过程中有两个变量x和y，在变量x的允许取值范围内，变量y随x的变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量y叫x的函数. 函数记号：，表示x＝a时的函数值. 设为整式，则 函数的定义域：一切实数；函数的定义域：满足的实数； 函数的定义域：满足的实数. 【清单02】正比例函数与反比例函数 正比例函数 反比例函数 定义 形如的函数，其中k是比例系数 形如的函数，其中k是比例系数 定义域 一切实数 不等于零的一切实数 图像 经过原点（0，0）和点（1，k）的一条直线； 双曲线，它有两支 性质 当时，正比例函数的图像经过第一、三象限；y的值随x的值增大而增大； 当时，正比例函数的图像经过第二、四象限；y的值随x的值增大而减小。 当时，反比例函数的图像经过第一、三象限；在每一个象限内，y的值随x的值增大而减小； 当时，反比例函数的图像经过第二、四象限；在每一个象限内，y的值随x的值增大而增大。 图像与两支无限接近坐标轴，但不相交. 【清单03】函数的表示法 1、解析法：用等式来表示一个变量与另一个变量之间函数关系的方法，这个等式称为函数 的解析式（或函数关系式）．简单明了，能从解析式了解函数与自变量之间的关系，便于理论上的分析与研究，但求对应值时需要逐个计算，且有的函数无法用解析式表示． 2、列表法：用表格形式来表示一个变量与另一个变量之间函数关系的方法；从表格中直接 找到自变量对应的函数值，查找方便，但无法将自变量与函数值的全部对应值都列出来，且难以看出规律． 3、图像法：用图像来表示一个变量与另一个变量之间函数关系的方法；函数与自变量的 对应关系、函数的变化情况及趋势能够很直观地显示出来，但从图像上找自变量与函数的对应值一般只能是近似的，且只能反映出变量间关系的一部分而不是全体． 4、三种表示法的相互联系与转化：由函数的解析式画函数的图像，一般分为“列表、描点、 连线”三个步骤，通常称作描点作图法；同样，函数图像中点的坐标或表格中自变量与函数的对应值，也是函数解析式所表示的方程的一个解． 【考点题型一】求自变量的值与函数值（共8题） 1．（23-24八年级上·上海金山·期末）已知函数，则 ． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、求自变量的值或函数值 【分析】本题考查了求函数的值，把代入计算即可． 【详解】解：把代入，得 ∴． 故答案为：6． 2．（23-24八年级上·上海松江·期末）函数中自变量的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求自变量的取值范围、分式有意义的条件 【分析】本题考查函数有意义的条件，掌握分式的分母不为零是解题的关键． 【详解】解：由题可得：， 解得：， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·上海·期末）函数的定义域是 ． 【答案】全体实数 【知识点】求自变量的取值范围 【分析】本题考查求自变量的取值范围．利用代数式有意义的条件求解即可． 【详解】解：函数的定义域是全体实数． 故答案为：全体实数． 4．（23-24八年级上·上海松江·期末）已知函数，那么 ． 【答案】 【知识点】求自变量的值或函数值 【分析】本题考查了函数值的求解，涉及二次根式的化简，把代入函数解析式进行计算即可，理解题中的函数解析式是解题的关键． 【详解】当时，， 故答案为：． 5．（23-24八年级上·上海长宁·期末）如果函数，那么 ． 【答案】 【知识点】分母有理化、求自变量的值或函数值 【分析】本题考查求函数值．把代入函数解析式进行计算即可． 【详解】解：函数， ． 故答案为：． 6．（23-24八年级上·上海·期末）已知函数，那么 ． 【答案】/ 【知识点】求自变量的值或函数值 【分析】本题考查的是求函数值．把代入函数解析式即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 7．（23-24八年级上·上海普陀·期末）已知函数，那么 ． 【答案】2 【知识点】求自变量的值或函数值 【分析】本题考查了求函数值，将代入进行计算即可，准确计算是解此题的关键． 【详解】解：， ， 故答案为：． 8．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）函数的定义域是 ． 【答案】 【知识点】求自变量的取值范围、二次根式有意义的条件、分式有意义的条件 【分析】此题考查了分式和二次根式有意义的条件，根据分式有意义分母不为零，二次根式被开方数为非负数进行计算即可，解题的关键是列出不等式并正确求解． 【详解】由题意得，， 解得：， 故答案为：． 【考点题型二】正比例函数定义（共4题） 1．（21-22八年级上·上海静安·期末）下列问题中，两个变量成正比例的是（    ） A．圆的面积和它的半径； B．长方形的面积一定时，它的长和宽； C．正方形的周长与边长； D．三角形的面积一定时，它的一条边长与这条边上的高． 【答案】C 【知识点】正比例函数的定义 【分析】先列出函数关系式，然后再根据正比例函数的定义即可解答． 【详解】解：A、圆的面积S=πr2，不是正比例函数，故此选项不符合题意； B、长方形的面积S一定时，它的长a和宽b的关系S=ab，不是正比例函数，故此选项不符合题意； C.正方形的周长C=边长×4=4a，是正比例函数，故此选项符合题意； D. 三角形的面积S一定时，它的底边a和底边上的高h的关系S=ah，不是正比例函数，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查正比例函数的定义，解题的关键是掌握正比例函数的定义：一般地，两个变量x、y之间的关系式可以表示成形如y=kx（k为常数，且k≠0）的函数，那么y就叫做x的正比例函数． 2．（23-24八年级上·上海闵行·期末）已知正比例函数，那么它的图象经过（    ） A．第一、三象限 B．第一、二象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【答案】C 【知识点】正比例函数的图象 【分析】本题考查正比例函数的图象和性质，根据的符号，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴它的图象经过第二、四象限． 故选C． 3．（22-23八年级上·上海青浦·期中）下面问题中，两个变量成正比例关系的是（    ） A．等腰三角形的面积一定，它的底边和底边上的高 B．长方形的长确定，它的面积与宽 C．长方形的长确定，它的周长与宽 D．等边三角形的面积和它的长 【答案】B 【知识点】正比例函数的定义、等边三角形的性质 【分析】先列出函数关系式，然后根据正比例函数的定义回答即可． 【详解】解：A、等腰三角形的面积一定，它的底边和底边上的高成反比，选项不符合题意； B、长方形的长确定，它的面积等于长乘宽，是正比例关系，选项符合题意； C、长方形的长确定，它的周长等于2倍长加2倍宽，不是正比例关系，选项不符合题意； D、设等边三角形的边长为，则面积，不是正比例关系，选项不符合题意； 故选：B 【点睛】本题主要考查的是正比例函数的定义，根据题意列出函数关系是解题的关键，形如的函数为正比例函数． 4．（23-24八年级上·上海静安·期末）已知函数是正比例函数，则 ． 【答案】 【知识点】正比例函数的定义 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，一般地，形如的函数叫做正比例函数，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点题型三】正比例函数的图象与性质（共6题） 1．（21-22八年级上·上海宝山·期末）正比例函数的图像经过第 象限． 【答案】二、四 【知识点】正比例函数的性质 【分析】直接根据正比例函数的性质进行解答即可． 【详解】∵正比例函数中， ， ∴此函数的图象经过第二、四象限， 故答案为：二、四． 【点睛】本题考查的是正比例函数的性质，熟知正比例函数中，当时，函数图象经过二、四象限是解答此题的关键． 2．（21-22八年级上·上海黄浦·期末）已知正比例函数，y随x的增大而减小，则k的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】正比例函数的性质 【分析】本题考查正比例函数的性质，根据y随x的增大而减小，得到，求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． 3．（23-24八年级上·上海·期末）正比例函数的图像经过，且，则k的范围是 ． 【答案】/ 【知识点】正比例函数的性质 【分析】本题主要考查了正比例函数图象的性质，根据题意可知y随x增大而减小，则，可得．对于正比例函数，当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小． 【详解】解：∵正比例函数的图像经过，且， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（21-22八年级上·上海徐汇·期末）已知正比例函数的图象经过第一、三象限，且经过点（k，k+2），则k= ． 【答案】2 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用)、正比例函数的图象 【分析】先根据正比例函数的图象可得，再将点代入函数的解析式可得一个关于的一元二次方程，解方程即可得． 【详解】解：正比例函数的图象经过第一、三象限， ， 由题意，将点代入函数得：， 解得或（舍去）， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了正比例函数的图象、一元二次方程的应用，熟练掌握正比例函数的图象特点是解题关键． 5．（21-22八年级上·上海松江·期末）正比例函数图像经过点（1，-1），那么k= ． 【答案】-2 【知识点】正比例函数的图象 【分析】由正比例函数的图象经过点的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出-1=k+1，即可得出k值． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过点（1，-1）， ∴-1=k+1， ∴k=-2． 故答案为：-2． 【点睛】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx是解题的关键． 6．（21-22八年级上·上海静安·期末）如果正比例函数的图象经过第二、四象限，那么m的值为 . 【答案】− 【知识点】正比例函数的定义 【分析】首先根据正比例函数的定义可得m2−1＝1，且m−1≠0，解出m的值，再根据图象经过第二、四象限，可得m−1＜0，进而确定m． 【详解】解：由题意得：m2−1＝1，且m−1≠0， 解得：m＝±， ∵图象经过第二、四象限， ∴m−1＜0， 解得m＜1， ∴m＝−， 故答案为：−． 【点睛】此题主要考查了正比例函数的定义和性质，关键是掌握正比例函数的定义条件：k为常数且k≠0，自变量次数为1． 【考点题型四】反比例函数定义与反比例函数的值（共2题） 1．（23-24八年级上·上海金山·期末）下列函数一定是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题主要考查了反比例函数的识别，一般地，形如的函数叫做反比例函数，据此求解即可． 【详解】解：A、当时，函数不是反比例函数，不符合题意； B、不是反比例函数，不符合题意； C、不是反比例函数，不符合题意； D、是反比例函数，符合题意； 故选：D． 2．（20-21八年级上·上海·期末）已知与成反比例，且当时，；求：当时，的值． 【答案】 【知识点】求反比例函数值 【分析】设，由时，求解k，从而代入求解即可． 【详解】根据题意得，设， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，理解成反比例时表达式的设立是解题关键． 【考点题型五】实际问题与反比例函数（共4题） 1．（22-23八年级上·上海静安·期末）已知长方形的两条边长为、，面积是4，那么关于的函数的图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】根据长方形的面积公式得出，即，且，据此即可求解． 【详解】解：依题意，即，且， ∴关于的函数的图像是反比例函数图像，且图像在第一象限， 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，掌握反比例函数的性质和图像是解题的关键． 2．（20-21八年级上·上海青浦·期末）近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）呈反比例，其函数关系式为．如果近似眼镜镜片的焦距米，那么近视眼镜的度数为 ． 【答案】300 【知识点】求反比例函数值 【分析】将焦距代入函数关系式求解即可． 【详解】解：将焦距代入中，得， 故答案为：300． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的定义，本题实际上是已知自变量的值求函数值的问题，比较简单． 3．（22-23八年级上·上海宝山·期末）办公区域的自动饮水机，开机加热时水温每分钟上升，水温到时停止加热，此后水温开始下降．水温（）与开机通电时间成反比例关系．若水温在时接通电源，一段时间内，水温y与通电时间x之间的函数关系如图所示． (1)水温从加热到，需要 ； (2)求水温下降过程中，y与x的函数关系式，并写出定义域； (3)如果上午8点接通电源，那么8：20之前，不低于的时间有多少？ 【答案】(1)4 (2) (3)2分钟 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】（1）根据开机加热时水温每分钟上升即可求出水温从加热到所需时间； （2）根据反比例函数过点可求出解析式； （3）分别计算出水温达到前和达到后再降到所需时间即可． 【详解】（1）解：开机加热时水温每分钟上升， 水温从加热到，所需时间为， 故答案为：4； （2）由题可得，在反比例函数图象上， 设反比例函数解析式为， 代入点可得，， ， 当时，， 水温下降过程中，与的函数关系式是； （3）当时，设，将代入函数解析式，可得： ，解得：， ∴当时，， 当时，，解得， 当时，，解得， 水温不低于的时间为（分钟）， 答：不低于的时间有2分钟． 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的应用，读懂函数图像，获取信息是解决本题的关键． 4．（23-24八年级上·上海宝山·期末）越来越多的人选择骑自行车这种低碳方便又健身的方式出行．某日，一位家住宝山的骑行爱好者打算骑行去上海蟠龙天地，记骑行时间为t小时，平均速度为v千米/小时（骑行速度不超过40千米/小时）．根据以往的骑行经验，v、t的一些对应值如下表： v（千米/小时） 15 20 25 30 t（小时） 2 1 (1)根据表中的数据，求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数表达式； (2)如果这位骑行爱好者上午8：30从家出发，能否在上午9：10之前到达上海蟠龙天地？请说明理由； (3)若骑行到达上海蟠龙天地的行驶时间t满足，求平均速度v的取值范围． 【答案】(1) (2)不能，理由详见解析 (3) 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题考查反比例函数的应用，关键是求出反比例函数解析式． （1）由表中数据可得，从而得出结论； （2）把代入（1）中解析式，求出v，从而得出结论； （3）根据和t的取值范围得出结论． 【详解】（1）解：根据表中数据可知，， ， 平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数表达式； （2）骑行者在上午9：10之前不能到达上海蟠龙天地，理由： 从上午8：30到上午9：10，骑行者用时40分钟，即小时， 当时，（千米/时）， 骑行速度不超过40千米/小时， 骑行者在上午9：10之前不能到达上海蟠龙天地； （3）， 当时，， 解得， 平均速度v的取值范围为． 【考点题型六】反比例函数图象与性质（共15题） 1．（23-24八年级上·上海静安·期末）设为反比例函数图象上的两点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查反比例函数的性质．根据反比例函数的性质，时，在每一个象限，随着的增大而减小，进行判断即可． 【详解】解：， ，在第三象限，随着的增大而减小， ∴时，； 故选：A． 2．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）反比例函数的图象经过点、、，其中，那么、的大小关系是（    ） A． B． C． D．都有可能 【答案】A 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握当反比例函数图象位于二、四象限时，在每一象限内，y随x的增大而增大；反之，y随x的增大而增大；根据反比例函数的图象经过点，得出该反比例函数图象位于二、四象限，结合增减性，即可解答． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴该反比例函数图象位于二、四象限， ∴在每一象限内，y随x的增大而增大， ∵， ∴、都在第四象限， ∴， 故选：A． 3．（23-24八年级上·上海普陀·期末）下列函数中，的值随的值增大而减小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正比例函数的性质、判断反比例函数的增减性 【分析】本题考查正比例函数和反比例函数的性质，解题的关键是掌握正比例函数和反比例函数的性质．由正比例函数与反比例函数的图像和性质知，，时，随的增大而增大，反之随的增大而减小；中应在每个象限内讨论增减性． 【详解】解：A、中，，随的增大而增大； C、，，随增大而减小； B、和D、，应在每个象限内讨论，在整个实数范围内无法判断其增减性． 故选：C． 4．（22-23八年级上·上海长宁·期末）在函数的图象上有三点，，，已知，那么下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小、判断反比例函数的增减性 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，判断出反比例函数在每个象限的增减性，进而可得到答案． 【详解】解：∵， ∴函数图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大， 又∵， ∴． 故选：A． 5．（23-24八年级上·上海宝山·期末）已知反比例函数的图象有一支在第四象限，点在正比例函数的图象上，那么点P在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【知识点】正比例函数的图象、已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】本题考查的是反比例函数的性质及一次函数图象上点的坐标特征，熟知函数图象与系数的关系是解题的关键．先根据反比例函数的图象有一支在第四象限判断出的符号，再由一次函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：反比例函数的图象有一支在第四象限， ， ， 正比例函数的图象经过一、三象限， 点在正比例函数的图象上， 点在第一象限． 故选：A． 6．（23-24八年级上·上海普陀·期末）如果反比例函数（是常数，）的图像位于第二、四象限，那么 ．（只需写一个数值） 【答案】 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据“反比例函数，当时，函数过一、三象限，当时，函数过二、四象限”，即可解答． 【详解】解：反比例函数（是常数，）的图像位于第二、四象限， ， ， 故答案为：． 7．（22-23八年级上·上海青浦·期末）如果点、在反比例函数的图像上，那么、的大小关系是 ．（用“＜”号连接） 【答案】 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】根据反比例函数的增减性求解即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象分布在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． 8．（23-24八年级上·上海闵行·期末）如果反比例函数在时，y的值随x的值的增大而增大，那么m的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数 【分析】本题考查反比例函数的性质．根据时，y的值随x的值的增大而增大，得到，求解即可．掌握反比例函数的增减性，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． 9．（23-24八年级上·上海长宁·期末）如果点、点都在函数的图象上，且，那么m的取值范围是 ． 【答案】/ 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，根据题意可得在每个象限内y随x增大而增大，据此可得，则． 【详解】解：∵点、点都在函数的图象上，且， ∴在每个象限内y随x增大而增大， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（21-22八年级上·上海宝山·期中）已知三点（a，m）、（b，n）和（c，t）在反比例函数y＝（k＞0）的图像上，若a＜0＜b＜c，则m、n和t的大小关系是 ．（用“＜”连接） 【答案】 【知识点】判断反比例函数图象所在象限、比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】先画出反比例函数y＝（k＞0）的图象，在函数图象上描出点（a，m）、（b，n）和（c，t），再利用函数图象可得答案. 【详解】解：如图，反比例函数y＝（k＞0）的图像在第一，三象限， 而点（a，m）、（b，n）和（c，t）在反比例函数y＝（k＞0）的图像上，a＜0＜b＜c， 即 故答案为： 【点睛】本题考查的是反比例函数的图象与性质，掌握“利用数形结合比较反比例函数值的大小”是解本题的关键. 11．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）已知反比例函数的图象经过点，那么当，这个函数中的函数值随自变量值的增大而 ．（填写“增大”或“减小”） 【答案】增大 【知识点】判断反比例函数的增减性 【分析】此题考查了反比例函数的性质，根据题意，利用待定系数法解出系数的符号，再根据值的正负确定函数值的增减性，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象与性质． 【详解】设反比例函数的图象解析式为， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴当时，随的增大而增大， 故答案为：增大． 12．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）已知反比例函数图像上三点的坐标分别是、、，且，试判断，，的大小关系 ． 【答案】 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了反比例函数图象和性质，根据反比例函数的图象和性质即可求解，掌握反比例函数图象和性质 是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴双曲线分布在第一、三象限，在每一支曲线上，随的增大而减小，且时，，时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（22-23八年级上·上海长宁·期末）已知点、点在同一个反比例函数的图象上，则点A与点B的距离为 ． 【答案】 【知识点】求反比例函数值、求反比例函数解析式、化为最简二次根式 【分析】本题考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数图象和性质，图象上的点的坐标特征，是解决问题的关键． 设反比例函数解析式为，把、点代入，得，求出m的值，而后运用两点间的距离公式计算即可． 【详解】设反比例函数为， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 14．（21-22八年级上·上海·期末）参照反比例函数研究的内容与方法，研究下列函数： (1)研究函数：①画出它的图像；②它的图像是什么图形？可看作怎样的图形经过怎样的平移得到？③说明它所具有的性质． (2)研究函数的图像与性质； (3)由（1）（2）的图像经过平移，你还能得出怎样的函数图像与性质，请举例说明； (4)研究函数的图像与性质． 【答案】(1)①见解析；②双曲线，向上平移1个单位得到；③见解析； (2)见解析； (3)见解析； (4)见解析 【知识点】用描点法画函数图象、判断（画）反比例函数图象、判断反比例函数的增减性 【分析】（1）①利用描点法画出函数图像，即可求解；②观察图像，可得它的图像是双曲线，可看作双曲线向上平移1个单位得到；③观察图像，即可求解； （2）根据题意可得函数的图像是双曲线，可看作是双曲线向左平移3个单位得到，即可求解； （3）根据题意可得，即可求解； （4）根据题意可得函数=，即可求解． 【详解】（1）解∶ ①列表如下∶ x …… -2 -1 1 2 …… y …… 0.5 0 -1 -2 4 3 2 1.5 …… 画出图象，如下： ②它的图像是双曲线，可看作双曲线向上平移1个单位得到； ③图像的两个分支在y轴两侧，在每一侧，y随x的增大而减小；图像的两支都无限接近于直线y=1和x=0，但不会与它们相交； （2）解：函数的图像是双曲线，可看作是双曲线向左平移3个单位得到；图像的两个分支在直线x=-3的两侧，在每一侧y随x的增大而减小，图像的两支都无限接近于直线y=0和x=-3，但不会与它们相交； （3）解：； （4）解：函数==，它的图像是双曲线，可看作双曲线向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到； 图像的两个分支在直线x=2的两侧，在每一侧y随x的增大而减小，图像的两支都无限接近于直线y=4和x=2，但不会与它们相交． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图形和性质，熟练掌握反比例函数的图形和性质，利用类比思想和数形结合思想解答是解题的关键． 15．（20-21八年级上·上海青浦·期末）在平面直角坐标系中（如图），已知函数的图象和反比例函数的图象在第一象限相交于A点，其中点A的横坐标是1．    (1)求反比例函数的解析式； (2)将点A向右平移三个单位得到点C，点P在x轴上，如果，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2) 【知识点】坐标与图形、求反比例函数解析式、由平移方式确定点的坐标 【分析】（1）把点A的横坐标代入函数中，求得点A的纵坐标，即得到点A的坐标，设反比例函数的解析式为，把点A的坐标代入，即可求出k的值，即可解答； （2）根据点在平面直角坐标系中平移时坐标的变化规律可得点C的坐标为，连接，作的垂直平分线与x轴交于点P，则，为所求的点．设的中点为点Q，则 点Q的坐标为，又轴，可得点P的坐标为． 【详解】（1）把代入函数中，得， ∴点A的坐标为， 设反比例函数的解析式为， ∵该反比例函数的图象过点 ∴， ∴反比例函数的解析式为． （2）∵将点向右平移三个单位得到点C， ∴点C的坐标为， 连接，作的垂直平分线与x轴交于点P，则，为所求的点． 设的中点为点Q， ∵， ∴点Q的坐标为，轴 ∴轴， ∴点P的坐标为．    【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数的解析式，坐标系中点的平移，垂直平分线的性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【考点题型七】反比例函数k的几何意义（共7题） 1．（23-24八年级上·上海静安·期末）如图，反比例函数，点M是它在第二象限内的图象上一点，垂直x轴于点P，如果的面积为1，那么k的值是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】先根据的面积为1可求出的值，再根据即可得出k的值，故可得出反比例函数解析式．本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，即反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变． 【详解】解：∵点M是反比例函数的图象上一点，垂直x轴于点P，的面积为1，， ∴， ∵反比例函数图象经过第二象限， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为；． 故选：D 2．（23-24八年级上·上海杨浦·期末）如图，点在反比例函数第一象限的图象上，垂直轴，垂足为，设的面积是，那么与之间的数量关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题考查了反比例函数的性质以及反比例函数系数的几何意义，根据题意得出，再结合反比例函数的图象在第一象限，得出，即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：点在反比例函数第一象限的图象上，垂直轴， ， ， 反比例函数的图象在第一象限， ， ， 故选：C． 3．（23-24八年级上·上海·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图像交矩形的边于点，交边于点，且．若四边形的面积为，则值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据矩形的性质求线段长、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查了矩形的性质、三角形面积的计算、反比例函数的图象与解析式的求法，连接，由矩形的性质和已知条件得出，再求出的面积，即可得出k的值，熟练掌握矩形的性质和反比例函数解析式的求法是解决问题的关键． 【详解】连接，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴，， ∵、在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵， ∴，由， ∴， 故选：． 4．（23-24八年级上·上海静安·期末）如图，点A是函数在第一象限内的图像上一点，过点A作轴于点B，则的面积为 ． 【答案】 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题考查反比例函数比例系数k的几何意义，根据反比例函数的比例系数k的几何意义，得到的面积为即可求解． 【详解】解：∵点A是函数在第一象限内的图像上一点，轴于点B， ∴的面积为， 故答案为：． 5．（22-23八年级上·上海徐汇·期末）反比例函数在第二象限内的图像上有一点，过作轴于点，联结，已知的面积为．则反比例函数的解析式为 【答案】 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】根据反比例函数系数的几何意义及图像所在的象限求出，即可求出反比例函数解析式． 【详解】解：根据题意可知：， 反比例函数的图象位于第二象限，， ， 反比例函数解析式为． 故答案为： 【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解决问题的关键． 6．（21-22八年级上·上海静安·期末）在描述某一个反比例函数的性质时，甲同学说：“从这个反比例函数图像上任意一点向x轴、y轴作垂线，与两坐标轴所围成的长方形的面积为2022.”乙同学说：“这个反比例函数在同一个象限内，y的值随着x的值增大而增大.”根据这两位同学所描述，此反比例函数的解析式是 . 【答案】 【知识点】求反比例函数解析式、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】根据反比例函数中k的几何意义可求得|k|，再根据 “这个反比例函数在同一个象限内，y的值随着x的值增大而增大”可判定函数图像在二、四象限，即可判断k的值． 【详解】解：根据题意得， 又∵这个反比例函数在同一个象限内，y的值随着x的值增大而增大， ∴函数图像在二、四象限，即k＜0 ∴k=-2022 故反比例函数的解析式是． 【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义，判断反比例函数的象限、确定k的正负是解答本题的关键． 7．（21-22八年级上·上海奉贤·期末）如图，将一个长方形放置在平面直角坐标系中，，，点是的中点，反比例函数图像过点且和相交于点． (1)求直线和反比例函数的解析式； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)直线的解析式：；反比例函数的解析式： (2)12 【知识点】坐标与图形、求一次函数解析式、求反比例函数解析式、由反比例函数值求自变量 【分析】（1）先求出点B和点E的坐标，然后用待定系数法求解即可； （2）根据求解即可． 【详解】（1）∵，， ∴， ∵点是的中点， ∴ 设直线的解析式：，把代入，得 ， ∴， ∴， 设反比例函数的解析式：，把代入，得 ， ∴， ∴； （2）设代入，得， ∴， ，， =--=． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，待定系数法求函数解析式，以及割补法求图形的面积，熟练掌握待定系数法是解答本题的关键 【考点题型八】正比例函数与反比例函数综合（共3题） 1．（23-24八年级上·上海静安·期末）如果，那么函数与在同一坐标系中的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【知识点】判断（画）反比例函数图象、正比例函数的图象 【分析】本题考查反比例函数的图象、正比例函数的图象，根据得到反比例函数的图象、正比例函数的图象所在的象限即可求解． 【详解】解：∵， ∴函数的图象经过第二、四象限，函数的图象位于第二、四象限， 故选项C中图像符合题意， 故选：C． 2．（23-24八年级上·上海闵行·期末）下列说法正确的是（    ） A．周长为1的矩形的长与宽成正比例 B．面积为1的等腰三角形的腰长与底边长成正比例 C．面积为1的矩形的长与宽成反比例 D．等边三角形的面积与它的边长成正比例 【答案】C 【知识点】等边三角形的性质、用反比例函数描述数量关系、正比例函数的定义 【分析】本题考查了正比例函数、反比例函数的定义，属于基础题，关键是掌握反比例函数解析式的一般形式． 根据正比例函数的定义及形式反比例函数的定义及形式可判断各个命题的真假． 【详解】解：A、设长方形的长为x、宽为y， ∴，即， ∴长方形的长和宽不成任何比例关系，故本选项错误； B、设等腰三角形的腰为a，底边长为b， ∴等腰三角形底边上的高为， ∵等腰三角形的面积为1， ∴，即， ∴面积一定的等腰三角形的腰长和底边长不成任何比例关系，故本选项错误； C、∵长方形的面积长宽，该长方形的面积是定值1， ∴长与宽的乘积为定值， ∴面积为1的长方形的长与宽成反比例，故本选项正确； D、设等边三角形的边长为t，面积为S， ∴等边三角形的高为， ∴， ∴等边三角形的面积与边长不成比例关系，故本选项错误． 故选C． 3．（23-24八年级上·上海崇明·期末）如图，已知正比例函数图像经过点和点． (1)求正比例函数的解析式及m的值； (2)过点A作y轴的平行线，与反比例函数在第一象限内的分支交于点B（点B在点A下方），若的面积为10，求反比例函数的解析式． 【答案】(1)正比例函数解析式为， (2) 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、正比例函数的性质 【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式，反比例函数比例系数的几何意义，求正比例自变量的值： （1）先利用待定系数法求出正比例函数解析式，进而求出m的值即可； （2）延长交x轴于C，设反比例函数解析式为，先证明轴，则，再求出，则，可得，则反比例函数解析式为． 【详解】（1）解：设正比例函数解析式为， 把代入中得：，解得， ∴正比例函数解析式为， 在中，当时，， ∴； （2）解：延长交x轴于C，设反比例函数解析式为， ∵轴， ∴轴， ∵， ∴， ∴， ∵的面积为10， ∴， ∵点B在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为． 【考点题型九】反比例函数与几何综合（共10题） 1．（23-24八年级上·上海金山·期末）如图，函数和的部分图像与直线分别交于、两点，如果的面积是，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】反比例函数与几何综合、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，记交轴于点，根据求出，再由求出，即可解题． 【详解】解：记交轴于点，如图所示： 由知，, 的面积是， , ， ， 故选：B． 2．（23-24八年级上·上海虹口·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数，交边于点E，且．若四边形的面积为6，则k的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】C 【知识点】根据三角形中线求面积、根据图形面积求比例系数（解析式）、反比例函数与几何综合 【分析】连接，由矩形的性质和已知条件得出的面积的面积四边形ODBE的面积，再求出的面积，即可得出k的值． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形是矩形， ，的面积的面积， ∵D、E在反比例函数的图象上， 的面积的面积， 的面积的面积四边形ODBE的面积， ， 的面积的面积， ； 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形面积的计算、反比例函数的图象与解析式的求法；熟练掌握矩形的性质和反比例函数解析式的求法是解决问题的关键． 3．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）在直角坐标平面内，函数的图像在同一个象限内经过A、B两点，且．过点作轴垂线，垂足为点，连接、、，若，则点的坐标是 ． 【答案】或． 【知识点】反比例函数与几何综合 【分析】此题主要考查了反比例函数的图像，利用待定系数法求反比例函数的表达式，利用点的坐标表示出相关线段的长度．根据过点求得反比例函数，再设点B的坐标为，则有，过点作则有，结合三角形面积公式即可求得答案． 【详解】解∵函数的图像经过， ∴， ∴该函数得为：， ∵点在反比例函数上， ∴设点的坐标为， ∵轴于点，则， 过点作于点，如下图所示： ∵点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由，解得：， 由，解得：， 当时，点的坐标为， 当时，点的坐标为， 故答案为：或． 4．（24-25八年级上·上海·期末）如图，点P在反比例函数的图象上，且横坐标为1，过点P作两条坐标轴的平行线，与反比例函数的图象相交于点A、B，且A在第二象限，那么值为 ． 【答案】 【知识点】反比例函数与几何综合 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，求出线段，关于k的代数式是解答本题的关键．根据条件得到，继而得到，，列出线段，关于k的代数式，代入求出比值即可． 【详解】解：当时，， ， 过点P作两条坐标轴的平行线，与反比例函数的图象相交于点A、B，且A在第二象限， ， ，， ． 故答案为：． 5．（23-24八年级上·上海闵行·期末）如图，点为第一象限内一点，过点分别作轴、轴的垂线，垂足为点、，为的中点，函数的图像经过点且交于，已知四边形的面积为，则的值为 ．    【答案】 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、反比例函数与几何综合 【分析】此题考查了反比例函数的系数的几何意义及矩形的性质与判定，连接，由四边形为矩形，可得，则，同理，再根据四边形的面积为即可求解， 解题的关键是正确理解系数的几何意义，运用数形结合的思想方法． 【详解】连接，    ∵，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵为的中点, ∴， ∵在函数图象上， ∴， ∴， ∵四边形的面积为， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 6．（22-23八年级上·上海徐汇·期末）点A、M在函数图象上，点B、N在函数图象上，分别过A、B作x轴的垂线，垂足为D、C，再分别过M、N作线段的垂线，垂足为Q、P，若四边形与四边形均为正方形，则正方形的面积是 ． 【答案】/ 【知识点】反比例函数与几何综合、根据正方形的性质求线段长 【分析】设点，，，，根据正方形的性质找到a、b之间的等量关系；m、n之间的等量关系．再根据正方形面积公式求解即可． 【详解】解：设点，，，，那么 ∵四边形为正方形， ∴， 解得， ∴． ∵四边形为正方形， ∴， 由①，得③， 把③代入②并整理，得 ， 解得：（不符合题意，舍去）；． ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了反比例函数的性质和正方形的性质，解题的关键是熟练运用上述知识，数形结合找出等量关系． 7．（21-22八年级上·上海崇明·期末）如图，点P的坐标是，过点P作x轴的平行线交y轴于点A，交双曲线于点N，作交双曲线于点M，连接AM．已知PN=4． (1)求k的值； (2)求的面积． 【答案】(1)-14 (2)4 【知识点】坐标与图形、反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式 【分析】（1）由题意可得出，．再根据PN=4，可求出AN =7，即得出N的坐标，最后将N的坐标代入反比例函数解析式，即可求出k的值； （2）由题意可得出，代入所求出的反比例函数解析式，即得出M的纵坐标，从而可求出PM的长，最后由三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）由题意可知，． ∵PN=4， ∴AN=AP+PN=3+4=7， ∴， ∴N(7，-2)． 将N(7，-2)代入，得： 解得：． （2）由题意可知． 由（1）可知反比例函数解析式为：， 将代入得： ∴， ∴． 【点睛】本题考查坐标与图形，求反比例函数的解析式，反比例函数与几何的综合．利用数形结合的思想是解题关键． 8．（21-22八年级上·上海·期末）如图, 在平面直角坐标系中， 是等边三角形． (1)在 轴正半轴取一点 ，使得 是一个等腰直角三角形， 与 交 于 ，已知 ，求 ； (2)若等边 的边长为 6 , 点 在边 上, 点 在边 上, 且 .反比例函数 的图像恰好经过点 和点 , 求反比例函 数解析式.(此题无须写括号理由) 【答案】(1) (2) 【知识点】反比例函数与几何综合 【分析】（1）过点M作MH⊥OB于点H，得△MOB是等腰直角三角形，根据勾股定理可求出MH=3，再根据直角三角形的性质可求出MO的值； （2）过作轴交轴于点， 过作轴交轴于点，设，通过解直角三角形COF和DBG得，，求出a的值，再运用待定系数法求解即可 【详解】（1）如图，过作轴交轴于点，设 因为， 是一个等腰直角三角形 所以， ． 所以直角也是等腰直角三角形， 即 由 得：． 又 是等边三角形，所以 因此：， 所以 在中，， 即：，解得：， (舍) 所以． （2）过作轴交轴于点， 过作轴交轴于点 设 因为 是等边三角形，所以， 所以， 所以 ， ， 因为， 所以， 因此，所以 在中，， 在中，， 因此， 因为点 和点 在上 则：  解得： ， 所以反比例函数解析式为． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质以及运用待定系数法求反比例函数关系式，用a表示出点C和点D的坐标是解答本题的关键． 9．（21-22八年级上·上海黄浦·期末）如图，反比例函数图象经过点，点B在反比例函数的图象上，横坐标为2，过点B作轴，垂足为C． (1)求反比例函数解析式及B点坐标； (2)连接，若将沿翻折，得到，求四边形的面积． 【答案】(1)，， (2) 【知识点】坐标与图形、反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）设反比例函数解析式的解析式为，把点，代入求得，于是得到反比例函数解析式为；根据点在反比例函数的图象上，横坐标为2，于是得到点坐标为，； （2）过作轴于，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：设反比例函数解析式的解析式为， 反比例函数图象经过点，， ， 反比例函数解析式为； 点在反比例函数的图象上，横坐标为2， ， 点坐标为，； （2）过作轴于， 过点作轴，垂足为， ， 反比例函数图象经过点，， ， ， 将沿翻折，得到， ， 四边形的面积． 10．（23-24八年级上·上海·期末）如图，直线与函数的图象相交于点，与轴交于点，且，点是线段上一点． (1)求的值； (2)若与的面积比为，求点的坐标； (3)将绕点逆时针旋转得到，点恰好落在函数的图像上，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、求绕原点旋转90度的点的坐标、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）把代入，可求出的值； （2）过点作轴于点，过点作轴于点，由与的面积比为可推出，由点的坐标可求出，从而求出点的纵坐标，根据题意求出直线的解析式，由于点在直线上，进而求出点坐标； 过点作轴于，设，则，将其坐标代入到得到关于的方程内解方程即可求出结果． 【详解】（1）在函数的图象上， ， （2）如图1，过点作轴于点，过点作轴于点， ， ， 点的坐标为， ， ， ， 设直线的解析式为， 点在直线上， 直线的解析式为， 把代入中，， ， （3）如图2，过点作轴于， 直线的解析式为， 设， 点落在函数的图象上， ， 或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求解析式，三角形的面积，反比例函数的性质，旋转的性质等，能够熟练运用一次函数和反比例函数的性质是解本题的关键． 【考点题型十】从函数的图象获取信息（共4题） 1．（22-23八年级上·上海青浦·期末）、两地相距45千米，甲骑电瓶车从地出发前往地，乙同时骑自行车从距离地20千米的地出发前往地．图中的线段和线段分别反映了两人与地的距离（千米）和行驶时间（小时）的函数关系．根据图像提供的信息回答下列问题： (1)两人谁先到达地？________．（填“甲”或“乙”） (2)甲到达地用了________小时． (3)两人在出发多少小时后相遇？ 【答案】(1)甲 (2) (3) 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】（1）直接观察图象，即可求解； （2）求出甲的速度，即可求解； （3）设两人在出发t小时后相遇，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：观察图象得：甲先到达地； 故答案为：甲 （2）解：根据题意得：甲的速度为千米/小时， ∴甲到达地用了小时； 故答案为： （3）解：设两人在出发t小时后相遇，根据题意得： ， 解得：， 即两人在出发小时后相遇． 【点睛】本题主要考查了函数图象，准确从函数图象获取信息，利用数形结合思想解答是解题的关键． 2．（22-23八年级上·上海杨浦·期末）在全民健身环城越野赛中，甲乙两位选手都完成了比赛，甲的行程（千米）随时间（小时）变化的图象（全程）如图所示；乙的行程（千米）随时间（小时）的函数解析式为（）．    (1)在图中画出乙的行程（千米）随时间（小时）的函数图象； (2)环城越野赛的全程是________千米； (3)甲前0.5小时的速度是________千米/小时； (4)甲和乙出发1小时后相遇，相遇时甲的速度是________千米/小时． 【答案】(1)图见解析 (2)20 (3)16 (4)4 【知识点】用描点法画函数图象、从函数的图象获取信息 【分析】（1）根据两点确定一条直线，进行作图即可； （2）根据乙的图象，求出时，的值即可； （3）结合图象，利用路程除以时间进行求解即可； （4）结合图象，利用路程除以时间进行求解即可； 【详解】（1）解：∵，（），当时，，当时，， ∴乙的行程（千米）随时间（小时）的函数图象经过点， 画出图象如下：      （2）∵，（）， ∴当时，， 即：环城越野赛的全程是20千米； 故答案为：20； （3）由图象可知：甲前0.5小时的速度是千米/小时； 故答案为：16； （4）由图象可知：相遇时甲的速度是千米/小时； 故答案为：4． 【点睛】本题考查利用函数图象表示变量之间的关系，解题的关键是从函数图象中有效的获取信息． 3．（23-24八年级上·上海闵行·期末）小杰与爸爸骑车从家到公园先上坡后下坡，在这段路上小杰骑车的路程S（千米）与骑车的时间t（分钟）之间的函数关系如图所示，请根据图中信息填空： (1)小杰去公园时下坡路长________千米； (2)小杰下坡的速度为________千米/分钟； (3)如果小杰回家时按原路返回，且上坡与下坡的速度不变，那么从公园骑车到家用的时间是________分钟． 【答案】(1)3 (2) (3) 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题考查函数图象的实际应用． （1）结合图象得到下坡长为千米，作答即可； （2）利用路程除以时间进行求解即可； （3）先求出上坡和下坡的速度，利用路程除以速度进行求解即可． 从图象中有效的获取信息，是解题的关键． 【详解】（1）解：由图象可知，分钟所走的路程为下坡路长， ∴下坡路长千米， 故答案为：3； （2）千米/分钟； 故答案为：； （3）由图象可知，上坡速度为：千米/分钟； ∴从公园骑车到家用的时间是分钟； 故答案为：． 4．（22-23八年级上·上海浦东新·期末）如图，是小王和小李在赛跑过程中时间和路程的关系图． (1)这是______米的赛跑比赛； (2)小王的平均速度是________； (3)小李跑步时路程（米）与时间（秒）的函数关系式及定义域是__________； (4)谁先到达终点：__________． 【答案】(1)100 (2)米/秒 (3) (4)小李 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题主要考查了函数图象的应用，从中获取信息的能力，以及路程、速度与时间的关系． （1）观察函数图象易得到甲乙都跑了100米； （2）由速度路程时间即可得到结论； （3）先根据图象得出小李跑100米用了10秒，再根据速度路程时间，计算出小李的速度，即可得到结论； （4）这次赛跑中先到达终点的是用时较少的． 【详解】（1）解：根据图象可以得到路程s的最大值是100米， ∴这次赛跑的赛程为100米； （2）解：从图象可知，小王跑完全程用时12秒， 所以小王的速度为：(米/秒) （3）解：∵小李跑100米用了10秒， ∴小李的速度(米/秒)； ∴； （4）解：从图象可知，小李跑完全程用时10秒，小王跑完全程用时12秒， 所以先到达终点的是小李． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$