复习专题05 一元一次方程（4重点串讲+13考点提升+过关检测）-【寒假自学课】2025年七年级数学寒假提升精品讲义（人教版2024）

专题05 一元一次方程 考点聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 知识点1： 一元一次方程的基础 方程的定义：含有未知数的等式叫做方程. 方程的判断条件：①等式；②方程. 一元一次方程的概念：只含有一个未知数（元），且未知数的次数都是1，这样的整式方程叫一元一次方程. 一元一次方程的标准形式：ax+b=0（a、b是常数，且a≠0）. 方程的解：能使方程两边的值相等的未知数的值叫做方程的解. 解方程：求方程的解得过程叫做解方程. 知识点2： 等式的性质 等式的性质1：等式的两边都加上(或减去)同一个数（或同一个式子），所得的结果仍是等式.即： 如果a=b，那么a±c=a±c 等式的性质2：等式两边都乘以同一个数，或都除以同一个不为0的数，结果仍相等.即： 如果a=b，那么ac = bc； 如果 a=b(c≠0)，那么 = 等式的性质3：如果a=b，则b=a （对称性） 等式的性质4：如果a=b，b=c，则a=c （传递性） 【易错易混】 1）利用等式的性质进行变形时，等式两边都要参加运算，而且是同一种运算. 2）等式两边同时除以一个字母时，字母不能为0，若题目没有注明该字母不为0，那么这个变形就不成立. 知识点3： 解一元一次方程 基本思路：通过适当的变形，把一元一次方程化简为ax=b（a、b为常数，且a≠0）的形式，得出方程的解为x=. 步骤 具体做法 注意事项 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 1）不要漏乘不含分母的项； 2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母. 3）如果分子是多项式，去分母后要加括号. 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 1) 去括号时，括号前的数要乘括号内的每一项; 2) 不要弄错符号. 移项 把含有未知数的项移到方程一边，其它项都移到方程另一边 1）移项时不要丢项; 2）将方程中的项从一边移到另一边要变号.而在方程同一边改变项的位置时不变号. 合并同类项 把方程变为ax=b（a≠0 )的形式 1）系数的符号处理要得当； 2）字母及其指数不变. 系数化为1 将方程两边都除以未知数系数a，得到方程的解x= 1)未知数的系数为整数或小数时,方程两边同除以该系数; 2)未知数的系数为分数时,方程两边同乘该系数的倒数. 【补充说明】 1）解具体的一元一次方程时，要根据方程的特点灵活安排解题步骤，甚至可以省略某些步骤，有分母的去分母，有括号的去括号. 2) 对于分母中含有小数的一元一次方程．当分母中含有一位小数时，含分母项的分子、分母都乘10，化分母中的小数为整数；当分母中含有两位小数时，含分母项的分子、分母都乘100． 知识点4： 一元一次方程与实际应用 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤： 审：审清题意（注意关键词），找出题中的等量关系，理清题中的已知量与未知量； 设：设未知数，并用含未知数的代数式表示其他未知量； ①设直接未知数：一般情况下，题中问什么就设什么； ②设间接未知数：特殊情况下，设直接未知数难以列出方程时，可设另一个相关的量为未知数； ③设辅助未知数：在某些问题中，为了便于列方程，可以设辅助未知数. 列：根据题中相等关系，列出一元一次方程； 解：解所列出的一元一次方程； 验：检验所得的解是不是所列方程的解、是否符合实际意义（这一步可在草稿纸上完成）； 答：写出答案，包括单位. 考点剖析 【考点1】一元一次方程的定义 1．（2024七年级上·全国·专题练习）下列方程：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次方程的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）已知是关于x的方程的一个解，则a的值是（   ） A． B． C． D． 【考点2】已知一元一次方程的解求参数或代数式的值 3．（24-25七年级上·广东东莞·期中）若方程是关于x的一元一次方程，则a等于 4．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）已知是关于的方程的解，则式子的值为 ． 5．（2024七年级上·全国·专题练习）已知与是同类项，判断是否是方程的解． 【考点3】等式的性质 6．（2024七年级上·浙江·专题练习）利用等式的基本性质解方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 7．（2024七年级上·浙江·专题练习）在下列各题的横线上填上适当的数或整式，使所得结果仍是等式，并说明变形是根据等式的哪一条性质以及是怎样变形的． (1)如果，那么 ，根据 ； (2)如果，那么 ，根据 ； (3)如果，那么 ，根据 ； (4)如果 ，那么 ，根据 ． 【考点4】解一元一次方程 8．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）解方程： (1) (2) 9．（24-25七年级上·山东潍坊·阶段练习）解下列方程 (1) (2) (3) 10．（23-24七年级上·贵州遵义·阶段练习）方程可以有多种不同的解法，观察此方程，设． (1)原方程可变形为，解方程得： ，从而可得 ． (2)上述解法所用到的数学思想是 ． (3)利用上述方法解方程： 11．（2024七年级上·全国·专题练习）若单项式与是同类项，求关于x的方程的解． 【考点5】以注重过程性学习的形式考查一元一次方程 12．（2024·浙江杭州·一模）某同学解方程的过程如下框： 解： 两边同时乘以10，得……① 合并同类项，得……② 系数化1，得……③ 请写出解答过程中最早出现错误的步骤序号，并写出正确的解答过程． 13．（2024七年级上·全国·专题练习）同学们，你们知道怎样解“绝对值方程”吗？我们可以这样考虑：因为，，所以有或，分别解得或，根据以上解法，求方程的解． 14．（24-25七年级上·福建福州·期中）在学习《求解一元一次方程》之后，老师在黑板上出了一道解方程的题，下面是小乐同学的解 题过程，请仔细阅读并完成相应的任务． 解：……………………第一步 ……………………第二步 ……………………第三步 ……………………第四步 ……………………第五步 填空： (1)以上解题过程中，第一步的变形的依据是__________；第二步去括号时依据的运算律是__________； (2)以上解题过程中从第_________步开始出现错误，这一步错误的原因是__________； (3)求该方程的正确解． 15．（24-25七年级上·广西贺州·期中）下面是小明解方程的过程： 解：去分母，得，（第一步） 去括号，得，（第二步） 移项，得，（第三步） 全并同类项，得，（第四步） 系数化为1，得．（第五步） 根据解答过程完成下列任务． 任务一：①上述解答过程中，第一步的变形依据是________________； ②第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________________； 任务二：请你根据平时解一元一次方程的经验，再给其他同学提一条建议：________________； 任务三：请你写出解该方程的正确解题过程． 【考点6】同解方程 16．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）若是关于x的一元一次方程． (1)求m的值； (2)若该方程与关于x的方程的解相同，求k的值． 17．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知关于的方程和的解相同，求的值． 18．（2024七年级上·全国·专题练习）已知关于x的两个方程与，如果两个方程的解相同，求a的值． 【考点7】根据一元一次方程解的情况求参数 19．（2024七年级上·浙江·专题练习）（1）已知关于x的方程的解与方程的解互为相反数，求m的值． （2）已知关于x的方程的解比关于x的方程的解大2，求m的值． 20．（2024七年级上·全国·专题练习）已知关于的方程． (1)若，求该方程的解； (2)若是方程的解，求的值； (3)若该方程的解与方程的解相同，求的值； (4)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求的值； (5)若该方程有正整数解，求整数的最小值． 21．（2024七年级上·全国·专题练习）已知方程． (1)当取何值时，方程无解？ (2)当取何值时，方程有无穷多个解？ (3)当取何值时，方程有唯一解？ 【考点8】与解一元一次方程有关的遮挡/污染问题 22．（24-25七年级上·山东·期末）小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了，导致其看不清楚，被污染的方程是，怎么办呢？ (1)小明猜想“”部分是，请你算一算的值； (2)小明翻看了书后的答案，此方程的解是．请你算一算这个常数应是多少． 23．（24-25七年级上·北京·期中）小涵在解关于x的一元一次方程时，发现正整数“□”被污染了，于是就去问同学小李，小李也记不清“□”的具体值了，只记得这个方程的解是正整数．小涵经过深入思考，想出了一个好办法，她将“□”设为m，通过计算，很快得到了□的值．你知道她是怎么计算的吗？请你求出□的值． 24．（23-24七年级上·河北承德·期末）嘉淇在解关于x的一元一次方程时，发现常数被污染了； (1)嘉淇猜是，请解一元一次方程； (2)老师告诉嘉淇这个方程的解为，求被污染的常数． 25．（23-24七年级上·河北廊坊·期中）嘉淇在进行解一元一次方程的练习时，发现有一个方程“■”中的常数被“■”遮挡． (1)嘉淇猜想“■”遮挡的常数是1，请你算一算x的值； (2)老师说此方程的解与方程的解相同，请你算一算“■”遮挡的常数是多少？ 【考点9】与解一元一次方程有关的新定义问题 26．（24-25七年级上·全国·期末）定义一种有理数的新运算“”其运算方式如下∶ ∶ ； ； … 观察上面的运算方式，请解决下列问题 (1)对于任意有理数，， （用含，的式子表示）∶ (2)解方程∶； (3)若关于的方程的解为整数，求整数的值． 27．（24-25七年级上·北京海淀·期中）给定有理数a，b，对整式，定义新运算“”：；对正整数和整式A，定义新运算“ “”（按从左到右的顺序依次做“”运算）．特别地，． 例如，当，时，若，，则，． (1)当，时，若，，则______，______； (2)写出一组a，b的值，使得对每一个正整数和整式，均有，并说明理由； (3)当，时，若，，是正整数，令，，且不含项，直接写出和的值． 28．（2024七年级上·浙江·专题练习）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“兄弟方程”．如：方程和为“兄弟方程”． (1)若关于的方程与方程是“兄弟方程”，求的值； (2)若某“兄弟方程”的两个解的差为，其中一个解为，求的值． 【考点10】一元一次方程与数轴综合 29．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上数到原点的距为为4，x可能在原点左边4个单位，此时的值为______，x也可能在原点右边4个单位，此时的值为______． (2)与3之间的距离表示为______，结合上面的理解，若，则______． (3)当是______时，代数式． (4)当取最大值时，的取值范围是______，最大值为______． (5)若点表示的数，点与点的距离是5，且点在点的右测，动点P、Q分别从、同时出发沿数轴正方向运动，点的速度是每秒3个单位长度，点的速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，？（请写出必要的求解过程） 30．（24-25七年级上·广东韶关·期中）已知数轴上，，三点对应的数分别为、1、5，点为数轴上任意一点，其对应的数为．点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为． (1)若，则________； (2)若，求的值； (3)若点从点出发，以每秒2个单位的速度向右运动，点以每秒1个单位的速度向左运动，点以每秒3个单位的速度向右运动，三点同时出发．运动过程中，当其中一个点与另外两个点的距离相等时，求这时三个点表示的数各是多少？ 31．（24-25七年级上·四川成都·期中）如图，在以点为原点的数轴上，点表示的数是6，点在原点的左侧，且（点与点之间的距离记作） (1)则点表示的数为 ；点到点、点的距离相等，则点表示的数为 ； (2)若动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度匀速向左运动，问经过几秒钟后，并求出此时点在数轴上对应的数； (3)若动点从出发，以2个单位长度秒的速度向点匀速运动，同时点从点出发，以3个单位长度秒的速度向点运动；当点到达点后，立即以原速返回，到达点停止运动，当点到达点立即以原速返回，到达点停止运动，设点的运动时间为秒，求为多少时，点和点之间的距离是18个长度单位． 32．（24-25七年级上·重庆渝北·期中）如图：在数轴上点A表示数，点B表示数1，点C表示数8，点A，点B和点C分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为t秒（）． (1)请利用上述结论，结合数轴，完成下列问题：表示点A到点C之间的距离，运动之前，的距离为____________，运动t秒后，点A表示的数为____________（用含t的式子表示）； (2)若t秒钟过后，点C在线段之间，且，求t值； (3)当点C在点B右侧时，是否存在常数m，使的值为定值？若存在，求出m和的值；若不存在，请说明理由． 【考点11】列方程 33．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）一根铁丝，第一次用去它的一半少1米，第二次用去剩下的一半多1米，结果还剩下3米．求这根铁丝原来有多长？设这根铁丝原来的长度为x，可列出方程（   ） A． B． C． D． 34．（2024七年级上·全国·专题练习）惠怡妈妈在商场购买了x元的东西，结账时发现商场推出一种优惠卡，优惠方案：卡售价50元，购物打八折，惠怡妈妈掐指一算，发现使用优惠卡后可以少付10元．则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 35．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）如图，两根铁棒直立于圆柱形水桶的桶底．一根露出水面的长度是它的，另一根露出水面的长度是它的，两根铁棒长度之和为，如果设此时水桶中水的深度是，下列方程符合题意的是（   ） A． B． C． D． 36．（2024七年级上·河南·专题练习）在做科学实验时，老师将第一个量筒（圆柱）中的水全部倒入第二个量筒中，如图所示，根据图中给出的信息，可得正确的方程是（   ） A． B． C． D． 37．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某车间有90名工人生产螺丝与螺母，平均每人每天生产50个螺丝或80个螺母，要使每天生产的螺丝和螺母按配套，如果有m人生产螺丝，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【考点12】一元一次方程与实际问题 38．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）(列一元一次方程解决问题)甲、乙两个车站相距，一列货车从甲站开出，每小时行驶，一列客车从乙站开出，每小时行驶． (1)两列火车同时开出，相向而行，多少小时后两车相遇？ (2)货车从甲站开出后，客车从乙站开出，两车同向行驶，客车开出几小时后两车相距？ 39．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）某校新进了一批课桌椅，七年级（2）班的学生利用活动课时间帮助学校搬运部分课桌椅，已知七年级（2）班共有学生45人，其中男生人数比女生人数的2倍少24人，要求每个学生搬运6张桌子或者搬运15把椅子．请解答下列问题： (1)七年级（2）班男生、女生分别有多少人？ (2)一张桌子配两把椅子，为了使搬运的桌子和椅子刚好配套，应该分配多少个学生搬运桌子，多少个学生搬运椅子？ 40．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）某公司为迎接新年，计划定购一批礼品，现有甲、乙两个工厂可以生产这批礼品，若这两个工厂单独生产这批礼品，则甲工厂比乙工厂多用5天完成，已知甲工厂每天生产240件，乙工厂每天生产360件． (1)求这批礼品共有多少件？ (2)在礼品生产过程中，该公司每天支付给甲工厂的费用是5000元，每天支付给乙工厂的费用是9000元，公司有两种方案可选择，方案一：由乙工厂单独生产；方案二：甲、乙两个工厂共同生产．请计算两种方案的费用差． 41．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）（1）【情境导入】某服装成本为100元，售价为120元，则利润为　　　　　元． （2）【课本再现】下面是苏教版初中数学教科书七年级上册第129页的部分内容（销售中的盈亏）． 某商店以240元的相同售价卖出两件不同的衬衫，其中一件盈利，另一件亏损，商店卖出这两件衬衫是盈利，还是亏损？回答：　　　　　（填“盈利”、“亏损”或“不赢不亏”）． （3）【解决问题】七年级实践小组去商场调查，了解到某款羽绒服以每件元的价格购进了200件，并以每件120元的价格销售了一部分，为回笼资金，商场将剩下的羽绒服在原售价的基础上每件降价销售，并全部销售完毕．已知这批羽绒服总利润是5600元，请你算一算降价前共售出多少件？ 42．（24-25七年级上·河北邯郸·阶段练习）某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了3个参赛者的得分情况： 参赛者 答对题数 答错题数 总得分 甲 20 0 100 乙 19 1 94 丙 14 6 64 (1)由表可知：答对1题得______分，答错1题得______分； (2)参赛者丁得了88分，他答对了几道题？ (3)参赛者戊说他得了80分，你认为可能吗？为什么？ 43．（24-25七年级上·吉林·阶段练习）七年级准备组织学生到某社会实践基地参加社会实践活动，门票为每人20元，由各班班长负责买票．下面是1班班长与售票员咨询的对话： 你好！我们每个班的学生人数都超过40人，请问购买团队票有优惠吗？ 你好！购票人数超过40人的团体票，有两种优惠方案： 方案一：若每人都购票，每张门票打8折； 方案二：若打9折，有7人可免票． (1)已知1班学生人数为44，选择了方案一购票，求1班购票需要多少元？ (2)若2班选择了方案二，购票费用为702元，求2班有多少人？ (3)求当人数为多少时，两种方案所需钱数一样． 44．（24-25七年级上·湖北宜昌·期中）将连续的奇数1，3，5；7，9，……排成如图所示： (1)十字框中5个数之和是41的几倍？ (2)设十字框中间的数为，用式子分别表示十字框中其它四个数，并求出这五个数的和． (3)十字框中的五个数之和能等于2000吗？若能，请写出这五个数，若不能，请说明理由． 45．（24-25七年级上·广东江门·期中）把若干宣纸分给七年级优秀绘画爱好者，若每人分3张，则剩余12本，若每人分5张，则缺10张，绘画爱好者有几人？这批宣纸有多少张． 46．（2024七年级上·全国·专题练习）为了倡导节约用水，某市自去年开始实行阶梯水价．具体收费标准如下：每户每月用水量不超过12吨，每吨3.2元；超过12吨的部分，每吨4.6元． (1)林敏家今年5月用水15吨，他家应付多少元水费？ (2)马老师家5月份共交了84.4元水费，马老师家5月份一共用水多少吨？ 47．（24-25七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）列一元一次方程解决实际问题． 《九章算术》是我国第一部自成体系的数学专著，其中“盈不足术”记载：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数几何？译文：今有人合伙买金，每人出钱，剩余钱；每人出钱，剩余钱．问合伙人数是多少？ 48．（2024七年级上·全国·专题练习）《孙子算经》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．问：几何？译文为：现在有一根木头，不知道有多长，用一段绳子去测量，拉直后绳子还多四尺五寸；将绳子对折后去量木头，木头还剩一尺．问：木头多长？（一尺等于十寸） 【考点13】一元一次方程与几何综合 49．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）【定义】若，，且，则称、互为“半余角”．已知，如图，O为直线上一点，，． (1)图中的“半余角”有哪几对？ (2)若射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒． ①当时，请判断与是否互为“半余角”，并说明理由； ②若射线同时绕点O以每秒的速度顺时针旋转，当与互为“半余角”时，直接写出t的值． 50．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”，图中点A表示，点B表示8，点C表示14，我们称点A和点C在“折线数轴”上相距22个长度单位，动点P、Q同时出发，点P从点A出发，以4单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的四分之一，之后立刻恢复原速；动点Q从点C出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原述．设运动的时间为t秒，问： (1)当动点P在上时，把点P到点A的距离记为，则________（用t的代数式表示）； (2)当动点P在上时，把点P到点O的距离记为，则________（用t的代数式表示）； (3)当点Q在上时，Q、B两点在“折线数轴”上相距的长度与P，O两点在“折线数轴”上相距的长度相等时，t的值为________（直接写出结果）． 过关检测 1．（24-25七年级上·全国·期末）已知等式，则下列等式成立的是（  ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级上·河南新乡·期末）如图，已知，，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）如图：第1个图案中，内部“△”的个数为1个，外侧边上“●”的个数为3个；第2个图案中，内部“△”的个数为3个，外侧边上“●”的个数为6个；第3个图案中，内部“△”的个数为6个，外侧边上“●”的个数为9个；依此类推，当内部“△”的个数是外侧边上“●”的个数的3倍时，的值为（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 4．（24-25七年级上·全国·期末）下列方程变形中，正确的是（    ） A．方程，未知数系数化为1，得 B．方程，移项，得 C．方程，去括号，得 D．方程，去分母后化成 5．（2024·贵州·模拟预测）如图，在两台天平的左右两边分别放入“□”“ ”“”三种物体．若图①所示的天平保持平衡，要使图②的天平也保持平衡，则需在右盘放入“”的个数是（    ） A． B． C．7 D．8 6（2024七年级上·河南·专题练习）方程的解是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 7．（2024七年级上·吉林·专题练习）方程，可以化成（   ） A． B． C． D． 8．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）如果的解与的解相同，则a的值是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 9．（24-25七年级上·湖南永州·期中）数轴上点A、B分别表示数字a、b，且若动点P以每秒2个单位长度的速度从A点出发向B匀速运动，动点Q以每秒1个单位长度的速度从B点出发向A做匀速运动，当运动时间为（    ）秒时，P、Q相距3个单位长度． A．3 B．5 C．3或5 D．无法确定 10．（20-21七年级下·浙江杭州·期末）在求一个两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行算，求解过程如图1~4所示，现仿照这几个图，用“列竖式”的方法计算一个两位数的平方，部分过程如图5所示，若这个两位数的个位数字为，则这个两位数为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．（24-25七年级上·全国·期末）若关于的方程是一元一次方程，则的值为 ． 12．（23-24七年级上·辽宁锦州·期末）如图，点B，C在线段上，且，点E为的中点，若，则 ． 13．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）爱动脑筋的小明同学设计了如图所示的“幻方”游戏图，将1，，3，，5，，7，分别填入图中的圆圈内，使得横、竖以及内外两个正方形的4个数字之和都相等，他已经将、5、7、这四个数填入了圆圈，则图中的值为 ． 14．（2024七年级上·全国·专题练习）已知关于x的方程的解与方程的解相同，则a的值为 ． 三、解答题 15．（24-25七年级上·山东·期末）解方程： (1)； (2)． 16．（2024七年级上·全国·专题练习）小明在解方程时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1没有乘10，由此求得的解为，试求a的值，并求出方程正确的解． 17．（23-24七年级上·湖南娄底·期末）阅读下列材料：根据绝对值的定义，表示数轴上表示数x的点与原点的距离，那么，如果数轴上两点P、Q表示的数为时，点P与点Q之间的距离为根据上述材料，解决下列问题：如图，在数轴上，点A、B表示的数分别是，8（A、B两点的距离用表示），点M是数轴上一个动点，表示数m． (1) 个单位长度； (2)若，则 ；若，则 ；若，则 ；若点M在A、B之间，则 ； (3)若，求m的值． 18．（24-25七年级上·全国·期末）如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，a、b满足．点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度在数轴上向右运动，若在点B处放一挡板(挡板厚度忽略不计)，点P在碰到挡板后立即返回，以每秒3个单位长度的速度在数轴上向左运动，设点P活动的时间为t(秒)()． (1)点A表示的数为______，点B表示的数______． (2)当点P碰到挡板时，t的值为______． (3)当时，点P表示的有理数为______；当时，点P表示的有理数为______； (4)试探究：点P到挡板的距离与它到原点的距离可能相等吗？若能，直接写出相等时t的值；若不能，请说明理由． (5)当点P碰到挡板的同时，挡板从点B以每秒1个单位长度的速度在数轴上向左运动，直接写出点P在整个运动过程中到挡板的距离是它到原点距离的2倍时t的值． 19．（24-25七年级上·全国·期末）为了庆祝元旦，甲、乙两校准备共同组织文艺汇演，两校共有92人参加演出，其中甲校人数比乙校多，且甲校人数不足90人，现准备购买演出服装．下表是某服装厂给出的演出服装的价格表，如果两所学校单独购买一共需要付5 000元． 购买服装的套数 1至45套 46至89套 90套及以上 每套服装的价格 60元 50元 40元 (1)如果两校联合起来购买演出服装，比各自购买可以节省多少钱？ (2)甲、乙两校各有多少人参加演出？ 20．（22-23七年级上·浙江台州·期末）如图1，点O是直线上一点，三角板（其中）的边与射线重合，将它绕O点以每秒m°顺时针方向旋转到边与重合；同时射线与重合的位置开始绕O点以每秒n°逆时针方向旋转至，两者哪个先到终线则同时停止运动，设运动时间为t秒． (1)若，，秒时，________°； (2)若，，当在的左侧且平分时，求t的值； (3)如图2，在运动过程中，射线始终平分． ①若，，当射线，，中，其中一条是另两条射线所形成夹角的平分线时，直接写出________秒； ②当在的左侧，且与始终互余，求m与n之间的数量关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 一元一次方程 考点聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 知识点1： 一元一次方程的基础 方程的定义：含有未知数的等式叫做方程. 方程的判断条件：①等式；②方程. 一元一次方程的概念：只含有一个未知数（元），且未知数的次数都是1，这样的整式方程叫一元一次方程. 一元一次方程的标准形式：ax+b=0（a、b是常数，且a≠0）. 方程的解：能使方程两边的值相等的未知数的值叫做方程的解. 解方程：求方程的解得过程叫做解方程. 知识点2： 等式的性质 等式的性质1：等式的两边都加上(或减去)同一个数（或同一个式子），所得的结果仍是等式.即： 如果a=b，那么a±c=a±c 等式的性质2：等式两边都乘以同一个数，或都除以同一个不为0的数，结果仍相等.即： 如果a=b，那么ac = bc； 如果 a=b(c≠0)，那么 = 等式的性质3：如果a=b，则b=a （对称性） 等式的性质4：如果a=b，b=c，则a=c （传递性） 【易错易混】 1）利用等式的性质进行变形时，等式两边都要参加运算，而且是同一种运算. 2）等式两边同时除以一个字母时，字母不能为0，若题目没有注明该字母不为0，那么这个变形就不成立. 知识点3： 解一元一次方程 基本思路：通过适当的变形，把一元一次方程化简为ax=b（a、b为常数，且a≠0）的形式，得出方程的解为x=. 步骤 具体做法 注意事项 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 1）不要漏乘不含分母的项； 2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母. 3）如果分子是多项式，去分母后要加括号. 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 1) 去括号时，括号前的数要乘括号内的每一项; 2) 不要弄错符号. 移项 把含有未知数的项移到方程一边，其它项都移到方程另一边 1）移项时不要丢项; 2）将方程中的项从一边移到另一边要变号.而在方程同一边改变项的位置时不变号. 合并同类项 把方程变为ax=b（a≠0 )的形式 1）系数的符号处理要得当； 2）字母及其指数不变. 系数化为1 将方程两边都除以未知数系数a，得到方程的解x= 1)未知数的系数为整数或小数时,方程两边同除以该系数; 2)未知数的系数为分数时,方程两边同乘该系数的倒数. 【补充说明】 1）解具体的一元一次方程时，要根据方程的特点灵活安排解题步骤，甚至可以省略某些步骤，有分母的去分母，有括号的去括号. 2) 对于分母中含有小数的一元一次方程．当分母中含有一位小数时，含分母项的分子、分母都乘10，化分母中的小数为整数；当分母中含有两位小数时，含分母项的分子、分母都乘100． 知识点4： 一元一次方程与实际应用 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤： 审：审清题意（注意关键词），找出题中的等量关系，理清题中的已知量与未知量； 设：设未知数，并用含未知数的代数式表示其他未知量； ①设直接未知数：一般情况下，题中问什么就设什么； ②设间接未知数：特殊情况下，设直接未知数难以列出方程时，可设另一个相关的量为未知数； ③设辅助未知数：在某些问题中，为了便于列方程，可以设辅助未知数. 列：根据题中相等关系，列出一元一次方程； 解：解所列出的一元一次方程； 验：检验所得的解是不是所列方程的解、是否符合实际意义（这一步可在草稿纸上完成）； 答：写出答案，包括单位. 考点剖析 【考点1】一元一次方程的定义 1．（2024七年级上·全国·专题练习）下列方程：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次方程的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的定义．熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 根据一元一次方程的定义判断作答即可． 【详解】解：由题意知，①中不是整式方程，故不是一元一次方程，故不符合要求； ②中是一元一次方程，故符合要求； ③中是一元一次方程，故符合要求； ④中最高次数为2，故不是一元一次方程，故不符合要求； ⑤中含有两个未知数，故不是一元一次方程，故不符合要求； 故选：B． 2．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）已知是关于x的方程的一个解，则a的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的解，掌握方程的解即为使方程成立的未知数的值是解题关键．将代入中，求解a即可． 【详解】解：将代入，得：， 解得：． 故选C． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/12/27 3:15:34；用户：gaga；邮箱：18376708956；学号：1890771 【考点2】已知一元一次方程的解求参数或代数式的值 3．（24-25七年级上·广东东莞·期中）若方程是关于x的一元一次方程，则a等于 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．根一元一次方程的定义：含有一个未知数且未知数的次数为的整式方程为一元一次方程． 【详解】解：由题意可得：， 解得， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）已知是关于的方程的解，则式子的值为 ． 【答案】2024 【分析】把代入方程，得到，整体思想，变形求代数式的值即可． 本题考查了一元一次方程的解，求代数式的值，熟练掌握一元一次方程的解，正确求代数式的值是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴, 解得， ∴， ∴ 故答案为：． 5．（2024七年级上·全国·专题练习）已知与是同类项，判断是否是方程的解． 【答案】是方程的解 【分析】本题考查了一元一次方程的解和同类项，根据同类项的定义求出m、n的值，将m、n的值代入，可求得x的值，再用方程的解的定义进行验证可得结论． 【详解】解：因为与是同类项， 所以， 解得， 所以． 把代入方程，得左边右边． 故是方程的解． 【考点3】等式的性质 6．（2024七年级上·浙江·专题练习）利用等式的基本性质解方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】 本题考查利用等式的基本性质解方程，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键．利用等式的基本性质解各个方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： （6） 解： ． 7．（2024七年级上·浙江·专题练习）在下列各题的横线上填上适当的数或整式，使所得结果仍是等式，并说明变形是根据等式的哪一条性质以及是怎样变形的． (1)如果，那么 ，根据 ； (2)如果，那么 ，根据 ； (3)如果，那么 ，根据 ； (4)如果 ，那么 ，根据 ． 【答案】(1)，等式的性质2；变形过程见解析 (2)，等式的性质2；变形过程见解析 (3)6，等式的性质2；变形过程见解析 (4)，等式的性质1；变形过程见解析 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练利用等式的性质解一元一次方程是解题的关键． （1）根据等式的性质2，等号两边都乘以，等号仍成立，得出所求； （2）根据等式的性质2，等号两边都除以，等号仍成立，得出所求； （3）根据等式的性质2，等号两边都除以，等号仍成立，得出所求； （4）根据等式的性质1，等号两边都减去，再除以，等号仍成立，得出所求． 【详解】（1）解：如果，根据等式的性质2，等号两边都乘以，等号仍成立，那么； 故答案为：，等式的性质2； （2）解：如果，根据等式的性质2，等号两边都除以，等号仍成立，那么； 故答案为：，等式的性质2； （3）解：如果，根据等式的性质2，等号两边都除以，等号仍成立，那么； 故答案为：6，等式的性质2； （4）解：如果，根据等式的性质1，等号两边都减去，等号仍成立，那么，， 等号两边都除以，那么； 故答案为：，等式的性质1． 【考点4】解一元一次方程 8．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． （1）方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】（1）解：， 去括号得：， 移项得：， ∴， 解得：． （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 整理得：， 解得：． 9．（24-25七年级上·山东潍坊·阶段练习）解下列方程 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解题关键． （1）去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求解即可； （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求解即可； （3）先整理，再去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求解即可． 【详解】（1）解： 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 化系数为1，得：； （2）解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 化系数为1，得：； （3）解： 整理，可得， 去分母，得， 去括号，得 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 10．（23-24七年级上·贵州遵义·阶段练习）方程可以有多种不同的解法，观察此方程，设． (1)原方程可变形为，解方程得： ，从而可得 ． (2)上述解法所用到的数学思想是 ． (3)利用上述方法解方程： 【答案】(1)， (2)换元思想（整体思想） (3) 【分析】本题通过代换法的应用以及解一元一次方程，掌握换元思想是解题关键． （1）解出方程得到的值，进而得到的值即可； （2）解题方法用到了换元思想； （3）设，将原方程换成的方程，解出方程得到的值，进而得到的值即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴，解得， 故答案为：，． （2）上述解法用到的数学思想为换元思想或者整体思想． 故答案为：换元思想（整体思想）． （3）设，原方程变形为：， ， ， ， ， ∴， ∴． 11．（2024七年级上·全国·专题练习）若单项式与是同类项，求关于x的方程的解． 【答案】 【分析】本题考查了同类项的定义、解一元一次方程，由同类项的定义求出，，代入方程得出，再解方程即可得解，熟练掌握同类项的定义是解此题的关键． 【详解】解：因为单项式与是同类项， 所以，， 所以． 把，代入关于x的方程，得， 解得． 【考点5】以注重过程性学习的形式考查一元一次方程 12．（2024·浙江杭州·一模）某同学解方程的过程如下框： 解： 两边同时乘以10，得……① 合并同类项，得……② 系数化1，得……③ 请写出解答过程中最早出现错误的步骤序号，并写出正确的解答过程． 【答案】最早出现错误的步骤是，正确的解法见解析． 【分析】此题主要考查了解一元一次方程，第1步是将方程中未知数的系数化为整数，而不是去分母可得出错误的步骤序号，先将系数化为整数得，再合并同类项，最后再将未知数的系数化为1即可得出该方程的解，熟练掌握解一元一次方程的方法和步骤是解决问题的关键． 【详解】解：最早出现错误的步骤是，正确的解法如下： 对于方程， 将系数化为整数，得， 合并同类项，得， 系数化，得． 13．（2024七年级上·全国·专题练习）同学们，你们知道怎样解“绝对值方程”吗？我们可以这样考虑：因为，，所以有或，分别解得或，根据以上解法，求方程的解． 【答案】或 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，绝对值等知识点，根据绝对值的性质得到两个一元一次方程，分别解一元一次方程即可，熟练掌握绝对值和解一元一次方程是解决此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴或， ∴或． 14．（24-25七年级上·福建福州·期中）在学习《求解一元一次方程》之后，老师在黑板上出了一道解方程的题，下面是小乐同学的解 题过程，请仔细阅读并完成相应的任务． 解：……………………第一步 ……………………第二步 ……………………第三步 ……………………第四步 ……………………第五步 填空： (1)以上解题过程中，第一步的变形的依据是__________；第二步去括号时依据的运算律是__________； (2)以上解题过程中从第_________步开始出现错误，这一步错误的原因是__________； (3)求该方程的正确解． 【答案】(1)等式的基本性质，乘法分配律 (2)三，移项时没有变号 (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的基本步骤以及注意事项是解题的关键． （1）根据解一元一次方程的基本步骤逐步分析、判定即可解答； （2）检查步骤发现，移项时没有变号，据此可解答； （3）直接解方程即可． 【详解】（1）解：以上解题过程中，第一步的变形的依据是等式的基本性质；第二步去括号时依据的运算律是乘法分配律； 故答案为：等式的基本性质，乘法分配律； （2）解：以上解题过程中从第三步开始出现错误，这一步错误的原因是移项时没有变号； 故答案为：三，移项时没有变号； （3） ． 15．（24-25七年级上·广西贺州·期中）下面是小明解方程的过程： 解：去分母，得，（第一步） 去括号，得，（第二步） 移项，得，（第三步） 全并同类项，得，（第四步） 系数化为1，得．（第五步） 根据解答过程完成下列任务． 任务一：①上述解答过程中，第一步的变形依据是________________； ②第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________________； 任务二：请你根据平时解一元一次方程的经验，再给其他同学提一条建议：________________； 任务三：请你写出解该方程的正确解题过程． 【答案】任务一：①等式的性质；②三，移项没有变号；任务二：（答案不唯一）去分母注意不要漏乘或去括号要注意符号或养成口头检验的习惯等；任务三：见解析 【分析】此题考查了解一元一次方程，以及等式的性质，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1是解本题的关键． 任务一：观察这位同学解方程的步骤，利用等式的基本性质，判断即可得到结果； 任务二：答案不唯一，建议只要合理即可； 任务三：根据解一元一次方程的步骤解答即可． 【详解】解：任务一：①第一步的变形依据是等式的性质； ②第三步开始出现错误，这一步错误的原因是：移项没有变号； 任务二：（答案不唯一）去分母注意不要漏乘或去括号要注意符号或养成口头检验的习惯等 任务三：解方程：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得：， 系数化为1，得． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/12/27 3:15:34；用户：gaga；邮箱：18376708956；学号：1890771 【考点6】同解方程 16．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）若是关于x的一元一次方程． (1)求m的值； (2)若该方程与关于x的方程的解相同，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是一元一次方程的定义、一元一次方程的解的定义，解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键． （1）依据一元一次方程的定义可得到，且，然后求解即可； （2）由（1）可得方程为，即可求出它的解，将该解代入方程即可解答． 【详解】（1）解：是关于x的一元一次方程 ∴， 解得：， ； （2）解：由（1）得，方程为：， 解得：， 该方程与关于x的方程的解相同， ， 解得：． 17．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知关于的方程和的解相同，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程和解一元一次方程，理解方程解的定义，能正确解一元一次方程是解题关键．先求出第一个方程的解，再把代入第二个方程得出，再求解即可得到答案． 【详解】解：解方程， ， 得：， 把代入方程， 得：， ， ， ， 解得：． 18．（2024七年级上·全国·专题练习）已知关于x的两个方程与，如果两个方程的解相同，求a的值． 【答案】5 【分析】本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法和步骤是解题的关键；根据题意，可先求出方程的解，代入方程，即可求得a的值． 【详解】解：因为，即， 解得， 因为两个方程的解相同， 将代入，得， 解得． 故a的值为5． 【考点7】根据一元一次方程解的情况求参数 19．（2024七年级上·浙江·专题练习）（1）已知关于x的方程的解与方程的解互为相反数，求m的值． （2）已知关于x的方程的解比关于x的方程的解大2，求m的值． 【答案】（1）；（2）m 【分析】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． （1）求出第二个方程的解，根据两方程解互为相反数求出第一个方程的解，即可求出m的值； （2）分别求两个方程的解，根据已知可列出关于m的方程，可求出m的值． 【详解】解：（1）方程， 解得：， 把代入得：， 解得：； （2）， 移项得：， 系数化为一得：x， ， 移项得：， 系数化为一得：， ∴， 解得：m． 20．（2024七年级上·全国·专题练习）已知关于的方程． (1)若，求该方程的解； (2)若是方程的解，求的值； (3)若该方程的解与方程的解相同，求的值； (4)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求的值； (5)若该方程有正整数解，求整数的最小值． 【答案】(1) (2) (3) (4)； (5) 【分析】本题考查同解方程、一元一次方程的解法、求代数式的值， （1）依据题意得，当时，方程为，求解即可； （2）依据题意，由是方程的解，得，解关于的方程，再将的值代入计算即可； （3）依据题意，由方程的解为，从而得，再解关于的方程即可； （4）依据题意，由误将“”看成了“”，得到方程的解为，可得，再解关于的方程即可； （5）依据题意，由，可得，再结合取正整数，从而为的正因数，又取最小值，进而得解； 解题时要能读懂题意并列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，方程为， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是方程的解， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴的值为； （3）解：∵， 解得：， ∵方程的解与方程的解相同， ∴， ∴， 解得：， ∴的值为； （4）解：∵误将“”看成了“”，得到方程的解为， ∴是方程的解， ∴， 解得：， ∴的值为； （5）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵取正整数， ∴为的正整数倍数． 又∵取最小值， ∴， ∴， ∴的值为． 21．（2024七年级上·全国·专题练习）已知方程． (1)当取何值时，方程无解？ (2)当取何值时，方程有无穷多个解？ (3)当取何值时，方程有唯一解？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，化简绝对值等知识．熟练掌握一元一次方程的解，解一元一次方程，化简绝对值是解题的关键． （1）由题意知，方程整理得，，当，且时，方程无解，计算求解即可； （2）由题意知，当，且时，方程有无穷多个解，计算求解即可； （3）把代入，得，然后根据，，化简绝对值，然后求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：， 整理得，， 由题意知，当，且时，方程无解， 解得， ∴当时，方程无解； （2）解：由题意知，当，且时，方程有无穷多个解， 解得， ∴当时，方程有无穷多个解； （3）解：把代入，得， 当时，， 解得（不合题意，舍去）； 当时，， 解得， ∴当时，方程有唯一解． 【考点8】与解一元一次方程有关的遮挡/污染问题 22．（24-25七年级上·山东·期末）小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了，导致其看不清楚，被污染的方程是，怎么办呢？ (1)小明猜想“”部分是，请你算一算的值； (2)小明翻看了书后的答案，此方程的解是．请你算一算这个常数应是多少． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查解一元一次方程的解法；解一元一次方程常见的过程有去括号、移项、未知数系数化为1． （1）代入 ，解方程即可； （2）设常数为y，把代入解关于y的方程即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：； （2）解：设常数为y，把代入得：， 解得：． 23．（24-25七年级上·北京·期中）小涵在解关于x的一元一次方程时，发现正整数“□”被污染了，于是就去问同学小李，小李也记不清“□”的具体值了，只记得这个方程的解是正整数．小涵经过深入思考，想出了一个好办法，她将“□”设为m，通过计算，很快得到了□的值．你知道她是怎么计算的吗？请你求出□的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程的拓展，设被污染的正整数为，则有，解方程得到，根据方程的解为正整数得到是正整数，且为正整数，可得或或，进一步解答即可得到答案． 【详解】解：设被污染的正整数为，则有， ∴， 解得， ∵这个方程的解是正整数， ∴是正整数，且为正整数， ∴或或， ∴当或时，不是正整数， 时，，符合题意， ∴被污染的正整数是2． 24．（23-24七年级上·河北承德·期末）嘉淇在解关于x的一元一次方程时，发现常数被污染了； (1)嘉淇猜是，请解一元一次方程； (2)老师告诉嘉淇这个方程的解为，求被污染的常数． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题考查解一元一次方程，掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键． （1）运用解一元一次方程的一般步骤求解即可； （2）被污染的常数为k得到，将代入此方程求出k即可． 【详解】（1）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）设被污染的常数为k， 则原方程可化为：， ∵这个方程的解为， ∴将代入得：， 解得：， 即污染的常数为5． 25．（23-24七年级上·河北廊坊·期中）嘉淇在进行解一元一次方程的练习时，发现有一个方程“■”中的常数被“■”遮挡． (1)嘉淇猜想“■”遮挡的常数是1，请你算一算x的值； (2)老师说此方程的解与方程的解相同，请你算一算“■”遮挡的常数是多少？ 【答案】(1) (2)遮挡的常数是19 【分析】本题主要考查了解一元一次方程； （1）根据题意得出方程，然后解方程即可； （2）先解方程得出，设遮挡的常数为a，然后把代入方程得，求出a的值即可． 解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的一般方法，准确计算． 【详解】（1）解：由题意得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 设遮挡的常数为a， 把代入方程得， 解得． 故遮挡的常数是19． 【考点9】与解一元一次方程有关的新定义问题 26．（24-25七年级上·全国·期末）定义一种有理数的新运算“”其运算方式如下∶ ∶ ； ； … 观察上面的运算方式，请解决下列问题 (1)对于任意有理数，， （用含，的式子表示）∶ (2)解方程∶； (3)若关于的方程的解为整数，求整数的值． 【答案】(1) (2) (3)的值为，，， 【分析】本题考查有理数的新运算，解一元一次方程，解题的关键是观察有理数的新运算，得到规律，根据规律，进行计算，解一元一次方程，即可． （1）观察有理数的新运算，得到规律，根据规律，进行计算； （2）由（1）得，有理数新运算规律，再根据解一元一次方程，即可； （3）由（1）得，有理数新运算规律，再根据解一元一次方程，进行计算，即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：． （2）解：∵， ∴ ， ∵， ∴， 解得：． （3）解：∵， ， ， ∴， 解得：， ∵为整数， ∴为整数， ∵为整数， ∴的值为：，，，． 27．（24-25七年级上·北京海淀·期中）给定有理数a，b，对整式，定义新运算“”：；对正整数和整式A，定义新运算“ “”（按从左到右的顺序依次做“”运算）．特别地，． 例如，当，时，若，，则，． (1)当，时，若，，则______，______； (2)写出一组a，b的值，使得对每一个正整数和整式，均有，并说明理由； (3)当，时，若，，是正整数，令，，且不含项，直接写出和的值． 【答案】(1)， (2)，，理由见解析 (3)， 【分析】本题主要考查了新运算的定义与理解、指数运算与代数运算、方程求解与逻辑推理，熟练掌握新运算的理解和指数运算与代数运算是解题的关键； （1）根据新定义直接代入化简即可； （2）将运算展开，进一步化简，然后根据使得这个方程对每一个正整数 n 都成立，代入即可； （3）根据已知条件分别表示出P、Q，然后化简，根据不含有的项的系数为0，化简，然后找出正整数的解即可； 【详解】（1）解：当 ， 时，若，， ， 故答案为：，． （2）解：取 ，，理由如下： ， 若 ，则， 令 ，， 这是一个关于 a 和 b 的方程，我们需要找到一组解使得这个方程对每一个正整数 n 都成立 ， 通过观察，我们可以发现当 ，时，上式变为 ， 即， 这个等式对每一个正整数 n 都成立． 因此，我们找到了一组满足条件的 a 和 b 的值，即，． 所以对每一个正整数n和整式A，均有 ． （3）解：根据新运算的定义得，， 当，时， 当，时，上式变为： ， 不含项， ， 当，，此时q不是正整数，舍去， 当，，此时q不是正整数，舍去， 当，，此时q不是正整数，舍去， 当，,此时，解得：， ，． 28．（2024七年级上·浙江·专题练习）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“兄弟方程”．如：方程和为“兄弟方程”． (1)若关于的方程与方程是“兄弟方程”，求的值； (2)若某“兄弟方程”的两个解的差为，其中一个解为，求的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查有关解一元一次方程、一元一次方程的解，解题的关键是知道解一元一次方程的方法． （1）根据关于的方程与方程是“兄弟方程”，先求出方程的解为，再代入中求解； （2）根据“兄弟方程”其中一个解为，则“兄弟方程”的另一个解为，利用两个解的差为，列出方程求解． 【详解】（1）解： 解方程， 得 ∵关于的方程与方程是“兄弟方程”， ∴方程的解为， ∴， ， ∴． （2）解：因为“兄弟方程”其中一个解为，则“兄弟方程”的另一个解为． ∵两个解的差为， ∴或， ∴，． 【考点10】一元一次方程与数轴综合 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/12/27 3:15:34；用户：gaga；邮箱：18376708956；学号：1890771 29．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上数到原点的距为为4，x可能在原点左边4个单位，此时的值为______，x也可能在原点右边4个单位，此时的值为______． (2)与3之间的距离表示为______，结合上面的理解，若，则______． (3)当是______时，代数式． (4)当取最大值时，的取值范围是______，最大值为______． (5)若点表示的数，点与点的距离是5，且点在点的右测，动点P、Q分别从、同时出发沿数轴正方向运动，点的速度是每秒3个单位长度，点的速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，？（请写出必要的求解过程） 【答案】(1)，； (2)，或； (3)或； (4)，； (5)运动秒或秒后，． 【分析】本题考查了绝对值的定义，数轴上两点间的距离，解一元一次方程等知识，解题的关键是掌握绝对值的定义． （1）数轴上到原点距离为的点有两个，分别在原点的左右两边，根据数轴上点的特征即可求解； （2）根据绝对值的定义即可求解． （3）根据的取值范围取绝对值，分①当时；②当时；③当时，三种情况进行讨论求解即可； （4）根据绝对值的性质分类讨论，可得答案； （5）设运动秒后，根据题意求得点表示的数为，得到秒后点表示的数为，点表示的数为，则，整理求解即可． 【详解】（1）解：数轴上到原点距离为的点有两个， 当在原点左边时，的值为， 当在原点右边时，的值为， 故答案为：，； （2）解：与之间的距离表示为：， 若则 解得：或 故答案为：，或； （3）解：①当时，原方程可化为：， 解得：， ②当时，原方程可化为：， 此时方程无解， ③当时，原方程可化为：， 解得：， 综上可得的值为或， 故答案为：或； （4）解：当时，，， ∴， 当时，，， ∴， ∴，即； 当时，，， ∴， 综上可知：当时，取最大值，最大值为， 故答案为：，； （5）解：设运动秒后， ∵点表示的数为，点与点的距离是，且点在点的右侧 ∴点表示的数为：， 由题意可得秒后点表示的数为，点表示的数为， 则， 整理得：， ∴或 解得：或， ∴运动秒或秒后． 30．（24-25七年级上·广东韶关·期中）已知数轴上，，三点对应的数分别为、1、5，点为数轴上任意一点，其对应的数为．点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为． (1)若，则________； (2)若，求的值； (3)若点从点出发，以每秒2个单位的速度向右运动，点以每秒1个单位的速度向左运动，点以每秒3个单位的速度向右运动，三点同时出发．运动过程中，当其中一个点与另外两个点的距离相等时，求这时三个点表示的数各是多少？ 【答案】(1) (2)的值为或 (3)这时点、、表示的数各是，，或13，，13 【分析】本题考查了数轴在有理数加减运算中的简单应用，数形结合及分类讨论是解题的关键． （1）可得点为的中点，即可解答； （2）分三种情况，点在点左侧，点在点右侧，点在点、之间，列方程即可解答； （3）分三种情况，，点在左侧；，点、相遇；，点追上点，在点右侧，列方程即可解答． 【详解】（1）解：当时，可得点为的中点， 可得， 故答案为：； （2）解：∵ 分3种情况 ①若点在点左侧 ∵ ∴， ∴， ②若点在点右侧 ∵ ∴， ∴ ③若点在点、之间 ∵ ∴ 这与题目条件矛盾 ∴综上所述的值为或． （3）解：设移动的时间为秒， 则动点，，对应的数分别为，，， 分三种情况： ①，点在左侧 ∴， ∴， 此时，点表示的数为， 点表示的数为， 点表示的数为． ②，点、相遇 ∴， ∴， 此时，点表示的数为：， 点表示的数为：， 点表示的数为：． ③，点追上点，在点右侧 ∴（舍去）； 综上所述，当其中一个点与另外两个点的距离相等时，求这时点、、表示的数各是，，或13，，13． 31．（24-25七年级上·四川成都·期中）如图，在以点为原点的数轴上，点表示的数是6，点在原点的左侧，且（点与点之间的距离记作） (1)则点表示的数为 ；点到点、点的距离相等，则点表示的数为 ； (2)若动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度匀速向左运动，问经过几秒钟后，并求出此时点在数轴上对应的数； (3)若动点从出发，以2个单位长度秒的速度向点匀速运动，同时点从点出发，以3个单位长度秒的速度向点运动；当点到达点后，立即以原速返回，到达点停止运动，当点到达点立即以原速返回，到达点停止运动，设点的运动时间为秒，求为多少时，点和点之间的距离是18个长度单位． 【答案】(1)； (2)或 (3)为2.4或9.6或12或24秒时，点和点之间的距离是18个长度单位 【分析】本题考查了数轴上数的表示，线段的和差，列一元一次方程方程解决问题，熟练应用一元一次方程，结合数轴，进行分类讨论解决数轴问题是解题的关键． （1），，得出点表示的数；点到点、点的距离相等，则是的中点，据此可得点表示的数； （2）根据题意列方程解答即可； （3）根据题意列方程解答即可． 【详解】（1）解：， ， ， 点表示的数是． ， 点到点、点的距离相等， 点表示的数为； 故答案为：；； （2）设经过秒钟后，根据题意得： 或， 解得或， ， ； 点在数轴上对应的数是或． （3）①第一次相遇前， ， ． ②第一次相遇后， ， ． ③第二次相遇前，点还没有到达，点返回后，、就相距18个单位． ， ． ④设秒后第二次相遇， ， ， 即第18秒时第二次相遇， 后，不动，动． ， ． 为2.4或9.6或12或24秒时，点和点之间的距离是18个长度单位． 32．（24-25七年级上·重庆渝北·期中）如图：在数轴上点A表示数，点B表示数1，点C表示数8，点A，点B和点C分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为t秒（）． (1)请利用上述结论，结合数轴，完成下列问题：表示点A到点C之间的距离，运动之前，的距离为____________，运动t秒后，点A表示的数为____________（用含t的式子表示）； (2)若t秒钟过后，点C在线段之间，且，求t值； (3)当点C在点B右侧时，是否存在常数m，使的值为定值？若存在，求出m和的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)10， (2) (3)当时的值为定值 【分析】本题考查数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，整式加减中的无关型问题． （1）根据数轴上两点间距离等于两数之差的绝对值直接求解即可得到答案； （2）表示出，，三点所表示的数，得当点在线段之间时，，，根据题意列出方程； （3）表示出，根据值为定值得到的系数为0，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵运动前点表示数，点表示数8， ∴， ∵点以每秒2个单位长度速度运动， ∴点表示的数为：， 故答案为：10，； （2）点、点和点分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动， ∴点表示的数为：，点表示的数字为：，点表示的数字为：， ∵， ∴点在点左侧， 则当点在线段之间时，，， ∵， ∴， 解得：； （3）存在，当时的值为定值，理由如下， ∵点在点右侧， ∴，， 则， 当时，即：，， ∴当时的值为定值． 【考点11】列方程 33．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）一根铁丝，第一次用去它的一半少1米，第二次用去剩下的一半多1米，结果还剩下3米．求这根铁丝原来有多长？设这根铁丝原来的长度为x，可列出方程（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，利用剩下的部分铁丝原来的长度第一次用去的长度第二次用去的长度，即可列出关于的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：∵第一次用去它的一半少1米，即米， ∴第一次剩余米， ∵第二次用去剩下的一半多1米， ∴第二次用去米， 根据题意，得， 故选：B． 34．（2024七年级上·全国·专题练习）惠怡妈妈在商场购买了x元的东西，结账时发现商场推出一种优惠卡，优惠方案：卡售价50元，购物打八折，惠怡妈妈掐指一算，发现使用优惠卡后可以少付10元．则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键理解：“卡售价50元，购物打八折，发现使用优惠卡后可以少付10元”，设出未知数，根据题中的关键描述语列出方程求解即可． 【详解】解：惠怡妈妈在商场购买了x元的东西，则有：． 故选：A． 35．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）如图，两根铁棒直立于圆柱形水桶的桶底．一根露出水面的长度是它的，另一根露出水面的长度是它的，两根铁棒长度之和为，如果设此时水桶中水的深度是，下列方程符合题意的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，找出题目中的等量关系，是解题的关键．设此时水桶中水的深度是，根据一根露出水面的长度是它的，另一根露出水面的长度是它的，表示出两根铁棒的长度分别为，，再根据两根铁棒长度之和为，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设此时水桶中水的深度是， 根据题意得：， 故选：C． 36．（2024七年级上·河南·专题练习）在做科学实验时，老师将第一个量筒（圆柱）中的水全部倒入第二个量筒中，如图所示，根据图中给出的信息，可得正确的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．根据等量关系为“第一个量筒中水的体积第二个量筒中水的体积”建立方程即可解题． 【详解】解：由题知，第一个量筒（圆柱）中的水的体积为：， 第二个量筒中的水的体积为：， 根据表示同一个量的两个式子相等有， 故选：A． 37．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某车间有90名工人生产螺丝与螺母，平均每人每天生产50个螺丝或80个螺母，要使每天生产的螺丝和螺母按配套，如果有m人生产螺丝，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用（配套问题），读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系并列出方程是解题的关键． 设分配m人生产螺丝，则有人生产螺母，根据每天生产的螺丝和螺母按配套，列出方程即可． 【详解】解：设分配m人生产螺丝，则有人生产螺母， 每天生产螺丝个，生产螺母个， 每天生产的螺丝和螺母按配套， ， 故选：． 【考点12】一元一次方程与实际问题 38．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）(列一元一次方程解决问题)甲、乙两个车站相距，一列货车从甲站开出，每小时行驶，一列客车从乙站开出，每小时行驶． (1)两列火车同时开出，相向而行，多少小时后两车相遇？ (2)货车从甲站开出后，客车从乙站开出，两车同向行驶，客车开出几小时后两车相距？ 【答案】(1)两列火车同时开出，相向而行，小时后两车相遇； (2)两车同向行驶，客车开出小时或小时后两车相距 【分析】本题考查一元一次方程的应用； （1）设两列火车同时开出，相向而行，小时后两车相遇，可得，即可解得答案； （2）设客车开出小时后两车相距，根据题意得：或，即可解得答案． 【详解】（1）解：设两列火车同时开出，相向而行，小时后两车相遇， 根据题意得：， 解得；， ∴两列火车同时开出，相向而行，小时后两车相遇； （2）设客车开出小时后两车相距， 根据题意得：或， 解得或， ∴两车同向行驶，客车开出小时或小时后两车相距． 39．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）某校新进了一批课桌椅，七年级（2）班的学生利用活动课时间帮助学校搬运部分课桌椅，已知七年级（2）班共有学生45人，其中男生人数比女生人数的2倍少24人，要求每个学生搬运6张桌子或者搬运15把椅子．请解答下列问题： (1)七年级（2）班男生、女生分别有多少人？ (2)一张桌子配两把椅子，为了使搬运的桌子和椅子刚好配套，应该分配多少个学生搬运桌子，多少个学生搬运椅子？ 【答案】(1)七年（2）班有男生22人、女生23人 (2)应该分配25名学生搬运桌子，20名学生搬运椅子 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，确定相等关系是解本题的关键； （1）设女生有人，根据男生人数比女生人数的2倍少24人得到男生人数，再利用总人数建立方程求解即可； （2）设分配名学生搬运桌子，可得人搬运椅子，利用搬运的桌子和椅子刚好配套，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设女生有人， 由题意得：， 解得， （人）， 答：七年（2）班有男生22人、女生23人； （2）解：设分配名学生搬运桌子， 由题意得：， 解得， （名）， 答：应该分配25名学生搬运桌子，20名学生搬运椅子． 40．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）某公司为迎接新年，计划定购一批礼品，现有甲、乙两个工厂可以生产这批礼品，若这两个工厂单独生产这批礼品，则甲工厂比乙工厂多用5天完成，已知甲工厂每天生产240件，乙工厂每天生产360件． (1)求这批礼品共有多少件？ (2)在礼品生产过程中，该公司每天支付给甲工厂的费用是5000元，每天支付给乙工厂的费用是9000元，公司有两种方案可选择，方案一：由乙工厂单独生产；方案二：甲、乙两个工厂共同生产．请计算两种方案的费用差． 【答案】(1)这批礼品共有3600件； (2)两种方案的费用差为6000元． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意找准等量关系，正确列出方程是解题的关键． （1）设乙工厂单独生产这批礼品需要x天，则甲工厂单独生产这批礼品需要天，利用公式：生产总量生产时间生产效率，列出方程，求解即可； （2）分别计算乙工厂单独生产，甲、乙两个工厂共同生产的费用，再将2个计算结果作差即可解答． 【详解】（1）解：设乙工厂单独生产这批礼品需要x天，则甲工厂单独生产这批礼品需要天， 根据题意得：， 解得：， ． 答：这批礼品共有3600件． （2）乙工厂单独生产的费用：（元）， 甲、乙两个工厂共同生产的费用：（元）， 两种方案的费用差为（元）． 答：两种方案的费用差为6000元． 41．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）（1）【情境导入】某服装成本为100元，售价为120元，则利润为　　　　　元． （2）【课本再现】下面是苏教版初中数学教科书七年级上册第129页的部分内容（销售中的盈亏）． 某商店以240元的相同售价卖出两件不同的衬衫，其中一件盈利，另一件亏损，商店卖出这两件衬衫是盈利，还是亏损？回答：　　　　　（填“盈利”、“亏损”或“不赢不亏”）． （3）【解决问题】七年级实践小组去商场调查，了解到某款羽绒服以每件元的价格购进了200件，并以每件120元的价格销售了一部分，为回笼资金，商场将剩下的羽绒服在原售价的基础上每件降价销售，并全部销售完毕．已知这批羽绒服总利润是5600元，请你算一算降价前共售出多少件？ 【答案】（1）20；（2）亏损；（3）150件 【分析】本题主要考查了有理数减法的实际应用，一元一次方程的实际应用： （1）根据利润售价进价即可得出答案． （2））设盈利的衬衫的进价为x元，亏损的衬衫的进价为y元，根据题意分别求出两件衣服的进价，再根据利润售价进价把两件衣服的利润相加即可得出答案． （3）设降价前共售出m件，则降价后售出件，根据利润（单价售价单价进价）销售量列出方程求解即可． 【详解】解：（1）服装成本为100元，售价为120元，则利润为（元） （2）设盈利的衬衫的进价为x元，亏损的衬衫的进价为y元， 根据题意得：， 解得：，， ∴ 答：商店卖出这两件衬衫亏损了． （3）设降价前共售出m件，则降价后售出件， 由题意得，， 解得， 答：降价前共售出150件． 42．（24-25七年级上·河北邯郸·阶段练习）某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了3个参赛者的得分情况： 参赛者 答对题数 答错题数 总得分 甲 20 0 100 乙 19 1 94 丙 14 6 64 (1)由表可知：答对1题得______分，答错1题得______分； (2)参赛者丁得了88分，他答对了几道题？ (3)参赛者戊说他得了80分，你认为可能吗？为什么？ 【答案】(1)， (2)她答对了道题 (3)不可能，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解此题的关键． （1）根据表格列式计算即可得出答案； （2）设他答对了道题，则答错了道题，根据“参赛者丁得88分”列出一元一次方程，解方程即可得出答案； （3）设他答对了道题，则答错了道题，根据“参赛者戊说他得了80分”列出一元一次方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：答对1题得：（分）， 答错1题得：（分）， 故答案为：，； （2）解：设他答对了道题，则答错了道题， 由题意得：， 解得：， 则他答对了道题； （3）解：不可能，理由如下： 设他答对了道题，则答错了道题， 由题意得：， 解得：，不符合题意， 参赛者戊说他得了80分，是不可能的． 43．（24-25七年级上·吉林·阶段练习）七年级准备组织学生到某社会实践基地参加社会实践活动，门票为每人20元，由各班班长负责买票．下面是1班班长与售票员咨询的对话： 你好！我们每个班的学生人数都超过40人，请问购买团队票有优惠吗？ 你好！购票人数超过40人的团体票，有两种优惠方案： 方案一：若每人都购票，每张门票打8折； 方案二：若打9折，有7人可免票． (1)已知1班学生人数为44，选择了方案一购票，求1班购票需要多少元？ (2)若2班选择了方案二，购票费用为702元，求2班有多少人？ (3)求当人数为多少时，两种方案所需钱数一样． 【答案】(1)1班购票需要704元 (2)2班有46人 (3)当人数为63人时，两种方案所需钱数一样 【分析】此题考查了一元一次方程的实际应用，方案选择问题，找准题目间等量关系是解题的关键． （1）用人数44乘以票价20再乘以0.8即可； （2）设2班有人，列方程，求解即可得到答案； （3）设有人，由题意得，得，当班级人数为63人时，两种方案费用相等． 【详解】（1）解：（元， 答：1班购票需要704元； （2）解：设2班有人，由题意得， 解得， 答：2班有46人； （3）解：设有人，由题意得， 解得， 当班级人数为63人时，两种方案费用相等． 44．（24-25七年级上·湖北宜昌·期中）将连续的奇数1，3，5；7，9，……排成如图所示： (1)十字框中5个数之和是41的几倍？ (2)设十字框中间的数为，用式子分别表示十字框中其它四个数，并求出这五个数的和． (3)十字框中的五个数之和能等于2000吗？若能，请写出这五个数，若不能，请说明理由． 【答案】(1)5倍 (2)见解析， (3)不能，见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，规律型：数字的变化类，根据十字框中5个数之间的关系求出5个数之和是解题的关键． （1）将十字框中的5个数相加除以41即可得出结论； （2）观察图形，根据5个数之间的关系即可求出这十字框中五个数的和； （3）假设能，令，求出的值，根据为偶数不是奇数即可得出假设不成立，此题得解． 【详解】（1）解：， 答：十字框中5个数之和是41的5倍． （2）解：∵十字框中间的数为，左边的数为，右边的数为，上面的数为，下面的数为， ∴这十字框中五个数的和为： ． （3）解：假设能，设中间的数为， 根据题意，得：， 解得：． ∵400为偶数， ∴假设不成立，即十字框中的五个数之和不能等于2000． 45．（24-25七年级上·广东江门·期中）把若干宣纸分给七年级优秀绘画爱好者，若每人分3张，则剩余12本，若每人分5张，则缺10张，绘画爱好者有几人？这批宣纸有多少张． 【答案】绘画爱好者有人，这批宣纸有张 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设绘画爱好者有x人，根据题意分别这批宣纸的张数，根据这批宣纸的张数不变列方程，求解即可． 【详解】解：设绘画爱好者有x人， ， 解得， 即绘画爱好者有人， 则， 即这批宣纸有张， 答：绘画爱好者有人，这批宣纸有张． 46．（2024七年级上·全国·专题练习）为了倡导节约用水，某市自去年开始实行阶梯水价．具体收费标准如下：每户每月用水量不超过12吨，每吨3.2元；超过12吨的部分，每吨4.6元． (1)林敏家今年5月用水15吨，他家应付多少元水费？ (2)马老师家5月份共交了84.4元水费，马老师家5月份一共用水多少吨？ 【答案】(1)林敏家今年5月用水15吨，他家应付52.2元水费 (2)马老师家5月份一共用水22吨 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）15吨大于12吨，所以把15吨分成两部分，第一部分是12吨，按照每吨3.2元缴费；第二部分是剩下的3吨，按照每吨4.6元缴费，分别根据总价＝单价×数量求出两部分需要缴费的钱数，再相加； （2）设他家5月份用水x吨，先确定用水12吨应交的水费为38.4元，可知他家5月份用水超过12吨，超过12吨部分的水费为元，可列方程，解方程求出x的值即可． 【详解】（1）解：（元）， （元）， （元）， 答：林敏家今年5月用水15吨，他家应付52.2元水费． （2）解：设马老师家5月份一共用水x吨， 用水12吨时，水费为（元）， ∵84.4元＞38.4元， ∴马老师家5月份5月份用水量超过了12吨， 根据题意得， 解得， 答：马老师家5月份一共用水22吨． 47．（24-25七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）列一元一次方程解决实际问题． 《九章算术》是我国第一部自成体系的数学专著，其中“盈不足术”记载：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数几何？译文：今有人合伙买金，每人出钱，剩余钱；每人出钱，剩余钱．问合伙人数是多少？ 【答案】合伙人数为人 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设合伙人数为人，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设合伙人数为人 由题意得： 解得： 答：合伙人数为人 48．（2024七年级上·全国·专题练习）《孙子算经》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．问：几何？译文为：现在有一根木头，不知道有多长，用一段绳子去测量，拉直后绳子还多四尺五寸；将绳子对折后去量木头，木头还剩一尺．问：木头多长？（一尺等于十寸） 【答案】6.5尺 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据拉直后绳子还多四尺五寸，将绳子对折后去量木头，木头还剩一尺，列一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：设木头长x尺， 根据题意，得， 解得， 答：木头长6.5尺． 【考点13】一元一次方程与几何综合 49．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）【定义】若，，且，则称、互为“半余角”．已知，如图，O为直线上一点，，． (1)图中的“半余角”有哪几对？ (2)若射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒． ①当时，请判断与是否互为“半余角”，并说明理由； ②若射线同时绕点O以每秒的速度顺时针旋转，当与互为“半余角”时，直接写出t的值． 【答案】(1)三对，和，和，和 (2)①是，理由见解析；②2或18 【分析】本题主要考查了结合图形中角的计算，一元一次方程的应用，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． （1）根据半余角定义进行求解即可； （2）①先求出，，再根据半余角定义判断即可； ②分两种情况：当与在的上方时，当与在的下方时，分别列出方程，求出结果即可． 【详解】（1）解：三对：和，和，和． ∵，， ∴， ， ， ∴， ， ， 和互为“半余角”，和互为“半余角”，和互为“半余角”； （2）解：是 ；理由如下： 当时，， ∴， ， 和是互为“半余角”； 当与在的上方时， 由题意可知：， ， ∴， 解得：，舍去， 当与在的下方时， 由题意可知：， ， ， 解得：，舍去， 综上所述的值为或． 50．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”，图中点A表示，点B表示8，点C表示14，我们称点A和点C在“折线数轴”上相距22个长度单位，动点P、Q同时出发，点P从点A出发，以4单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的四分之一，之后立刻恢复原速；动点Q从点C出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原述．设运动的时间为t秒，问： (1)当动点P在上时，把点P到点A的距离记为，则________（用t的代数式表示）； (2)当动点P在上时，把点P到点O的距离记为，则________（用t的代数式表示）； (3)当点Q在上时，Q、B两点在“折线数轴”上相距的长度与P，O两点在“折线数轴”上相距的长度相等时，t的值为________（直接写出结果）． 【答案】(1)； (2)； (3)1或 ． 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题、一元一次方程的应用，读懂题意，找到等量关系并列出方程是正确解答本题的关键． （1）根据路程、速度和时间的关系列式即可解答； （2）根据路程、速度和时间的关系列式即可解答； （3）由Q在上可判定时间t的取值范围，然后根据点P的位置分类讨论，再根据P、O 两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等列出一元一次方程求解即可． 【详解】（1）由题意可得：当动点P在上时，运动时间，点P到点A的距离， 故答案为：； （2）当动点P在上时，运动时间，则点P到点O的距离． 故答案为：； （3）由点Q在上时，则时间，所以， 当点P在上时，，由题意可得： ， 解得：； 当点P在 上时，，由题意可得： ， 解得：， 综上，t的值为1或 ， 故答案为：1或 ． 过关检测 1．（24-25七年级上·全国·期末）已知等式，则下列等式成立的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键；根据等式的性质“等式的两边同时加、减一个数或式子，等式仍然成立；等式两边同时乘或除以一个不为0 的数或式子，等式仍然成立”，结合已知等式，即可判断求解． 【详解】因为，所以，即，故选项A错误； 因为，所以，即，故选项B正确； 因为，所以，即，故选项C错误； 因为，所以，即，故选项D错误； 故选：B． 2．（22-23七年级上·河南新乡·期末）如图，已知，，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义、角的计算、方程，根据已知条件列方程即可． 【详解】设，则，． 因为，所以，解得． 所以 故选：C． 3．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）如图：第1个图案中，内部“△”的个数为1个，外侧边上“●”的个数为3个；第2个图案中，内部“△”的个数为3个，外侧边上“●”的个数为6个；第3个图案中，内部“△”的个数为6个，外侧边上“●”的个数为9个；依此类推，当内部“△”的个数是外侧边上“●”的个数的3倍时，的值为（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】B 【分析】本题考查了图形规律的探究，根据前四个图案，得到外侧边上的点的个数的一般性规律和内部三角形的个数的一般性规律，从而得到结果． 【详解】解：第一个图案，外侧边上有3个“●”，内部“△”的个数为1， 第二个图案，外侧边上有6个“●”，内部“△”的个数为， 第三个图案，外侧边上有9个“●”，内部“△”的个数为， 第四个图案，外侧边上有12个“●”，内部“△”的个数为， …… 第n个图案，外侧边上有个“●”，内部“△”的个数是， ∵内部“△”的个数是外侧边上“●”的个数的3倍， ∴ ∵， ∴， 解得， ∴第17个图案时，内部“△”的个数是外侧边上“●”的个数的3倍． 故选：B． 4．（24-25七年级上·全国·期末）下列方程变形中，正确的是（    ） A．方程，未知数系数化为1，得 B．方程，移项，得 C．方程，去括号，得 D．方程，去分母后化成 【答案】D 【分析】本题考查解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题关键．A．根据等式的性质即可得到答案；B．根据等式的性质即可得到答案；C．根据去括号法则即可得到答案；D．根据等式的性质，两边同时乘21，可得答案． 【详解】A．方程，未知数系数化为1，得，原变形不正确，故不符合题意； B．方程，移项，得，原变形不正确，故不符合题意； C．方程，去括号，得，原变形不正确，故不符合题意； D．，去分母得，原变形正确，故不符合题意． 故选：D． 5．（2024·贵州·模拟预测）如图，在两台天平的左右两边分别放入“□”“ ”“”三种物体．若图①所示的天平保持平衡，要使图②的天平也保持平衡，则需在右盘放入“”的个数是（    ） A． B． C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质，代数式的求值．设□表示的数为，表示的数为，表示的数为，由图①可知，，由图②中，可得，即可解答． 【详解】解：设□表示的数为，表示的数为，表示的数为， 由图①知，， ∴， ∴图②中， ∴图②中需在右盘放入“”的个数是， 故选：B． 6（2024七年级上·河南·专题练习）方程的解是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了解绝对值方程，由得，分两种情况分别解方程即可． 【详解】解：因为， 所以分以下两种情况讨论： ①当时，解得； ②当时，解得． 综上所述，方程的解是或． 故选：A． 7．（2024七年级上·吉林·专题练习）方程，可以化成（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的基本步骤是解题的关键．将分子分母同时乘以10即可得到答案． 【详解】解：分子分母同时乘以10得：即， 故选：A． 8．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）如果的解与的解相同，则a的值是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】此题主要考查了同解方程，首先计算出方程的解，再把x的值代入方程，解出a即可． 【详解】解：， 解得：， 把代入中得：， 解得：． 故选：A． 9．（24-25七年级上·湖南永州·期中）数轴上点A、B分别表示数字a、b，且若动点P以每秒2个单位长度的速度从A点出发向B匀速运动，动点Q以每秒1个单位长度的速度从B点出发向A做匀速运动，当运动时间为（    ）秒时，P、Q相距3个单位长度． A．3 B．5 C．3或5 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，绝对值的非负性，解一元一次方程，列代数式，整式的加减运算，绝对值方程等知识点，用含的代数式表示、表示的数并列方程解决问题是解题的关键．根据可得，，由已知条件可得表示的数是，表示的数是，而、两点相距3个单位长度，故可列方程，解之即可得出答案． 【详解】解：， ，， 解得：，， 动点P以每秒2个单位长度的速度从A点出发向B匀速运动，动点Q以每秒1个单位长度的速度从B点出发向A做匀速运动，设运动时间为秒， 表示的数是，表示的数是， 根据题意可得： ， 即：， 解得：或3， 故选：C． 10．（20-21七年级下·浙江杭州·期末）在求一个两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行算，求解过程如图1~4所示，现仿照这几个图，用“列竖式”的方法计算一个两位数的平方，部分过程如图5所示，若这个两位数的个位数字为，则这个两位数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题是对数字变化规律的考查．仔细观察图形，观察出前两行的数与两位数的十位和个位上的数字的关系是解题的关键． 观察图象可知，第一行从右向左分别为个位数和十位数字的平方，每个数的平方占两个空，平方是一位数的前面的空用0填补，第二行从左边第2个空开始向右是这个两位数的两个数字的乘积的2倍，然后相加即为这个两位数的平方，根据此规律求解．设这个两位数的十位数字为b，根据图3，利用十位数字与个位数字的乘积的2倍的关系列出方程求出b，然后写出答案即可． 【详解】解：设这个两位数的十位数字为b， 由题意得，， 解得， ∴这个两位数是． 故选：B． 二、填空题 11．（24-25七年级上·全国·期末）若关于的方程是一元一次方程，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程的定义，掌握只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程是解题关键．根据一元一次方程的定义得出，，求解即可． 【详解】解：因为关于的方程是一元一次方程， 所以，， 所以． 故答案为：． 12．（23-24七年级上·辽宁锦州·期末）如图，点B，C在线段上，且，点E为的中点，若，则 ． 【答案】9.6 【分析】本题考查线段中点的定义，线段和、差、倍的计算，一元一次方程的实际应用，根据点E为的中点，设，由，列方程求出即可求解． 【详解】解：∵点E为的中点， ∴． 设，则， ∴， 解得， ∴， 故答案为：9.6． 13．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）爱动脑筋的小明同学设计了如图所示的“幻方”游戏图，将1，，3，，5，，7，分别填入图中的圆圈内，使得横、竖以及内外两个正方形的4个数字之和都相等，他已经将、5、7、这四个数填入了圆圈，则图中的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是有理数的加法及解一元一次方程、求代数式的值，关键在于理解题意，正确计算出a、b的值． 因为这8个数字的和是，所以横、竖以及内外两个正方形的4个数字之和都等于，因此；内圈右边的圆圈应填3，则或，或． 【详解】解∶这8个数字的和是， 横、竖以及内外两个正方形的4个数字之和都等于， 根据题意有∶，解得； 根据内圈正方形的4个数字之和等于，得内圈右边的圆圈应填3，则或． 因此，或． 故答案为：或． 14．（2024七年级上·全国·专题练习）已知关于x的方程的解与方程的解相同，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程和解一元一次方程的应用，关键是得出关于a的方程．求出第二个方程的解，把x的值代入第一个方程，求出方程的解即可． 【详解】解：， ， 解得， ∵关于x的方程的解与方程的解相同， ∴把代入方程得：, 解得：． 故答案为：． 三、解答题 15．（24-25七年级上·山东·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是： （1）按照去括号，按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． （2）按照去分母，去括号，按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 16．（2024七年级上·全国·专题练习）小明在解方程时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1没有乘10，由此求得的解为，试求a的值，并求出方程正确的解． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解题关键．先根据小明去分母的方法求出相应的方程，再将代入可求出a的值，然后按照解一元一次方程的步骤解方程即可得． 【详解】解：由题意，得方程的解为． 把代入，得． 将代入原方程，得． 去分母，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 系数化为1，得． 17．（23-24七年级上·湖南娄底·期末）阅读下列材料：根据绝对值的定义，表示数轴上表示数x的点与原点的距离，那么，如果数轴上两点P、Q表示的数为时，点P与点Q之间的距离为根据上述材料，解决下列问题：如图，在数轴上，点A、B表示的数分别是，8（A、B两点的距离用表示），点M是数轴上一个动点，表示数m． (1) 个单位长度； (2)若，则 ；若，则 ；若，则 ；若点M在A、B之间，则 ； (3)若，求m的值． 【答案】(1)12 (2)16，24，12，12 (3)或12 【分析】（1）利用数轴上两点间的距离公式，即可求出的值； （2）根据绝对值的定义，代入m的值求值即可； （3）分及，这三种情况解方程即可． 本题考查了一元一次方程的应用、绝对值以及数轴，熟练掌握绝对值的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得：． 故答案为：12； （2）解：根据题意，得： 若，则； 若，则； 若，则； 若点M在A、B之间，则． 故答案为：16，24，12，12； （3）解：当时， 解得； 当时，， 解得． 当时，，故舍去； 答：m的值为或12． 18．（24-25七年级上·全国·期末）如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，a、b满足．点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度在数轴上向右运动，若在点B处放一挡板(挡板厚度忽略不计)，点P在碰到挡板后立即返回，以每秒3个单位长度的速度在数轴上向左运动，设点P活动的时间为t(秒)()． (1)点A表示的数为______，点B表示的数______． (2)当点P碰到挡板时，t的值为______． (3)当时，点P表示的有理数为______；当时，点P表示的有理数为______； (4)试探究：点P到挡板的距离与它到原点的距离可能相等吗？若能，直接写出相等时t的值；若不能，请说明理由． (5)当点P碰到挡板的同时，挡板从点B以每秒1个单位长度的速度在数轴上向左运动，直接写出点P在整个运动过程中到挡板的距离是它到原点距离的2倍时t的值． 【答案】(1)，12 (2)9 (3)4，6 (4)可能，或 (5)或或． 【分析】（1）非负性求出的值即可； （2）用的距离除以点的速度，即可； （3）用点表示的数加上点运动5秒时的路程，即为点表示的数，用点表示的数减去点返回的路程，表示出点运动11秒时表示的数； （4）分点碰到挡板之前和碰到挡板之后，两种情况，列出方程进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； ∴点表示的数为，点表示的数为； 故答案为：，； （2）解：秒； ∴当点P碰到挡板时，t的值为； 故答案为：9； （3）解：当时，点表示的数为：； 当时，由（2）可知点运动9秒后碰到挡板， ∴点表示的数为：； 故答案为：4，6； （4）解：能， ①当点碰到挡板之前，点表示的数为， 当点在原点和挡板中间时，满足题意，即：， 解得：， ②当点碰到挡板之后，点表示的数为， 当点在原点和挡板中间时，满足题意，即：， 解得：； 综上：或； （5）解：①当点碰到挡板之前，点表示的数为， 由题意，得：， 解得：或（舍去）； ②当点碰到挡板返回时：点表示的数为，挡板表示的数为， 由题意，得， 解得：或； 综上：或或． 【点睛】本题考查非负性，两点间的距离公式，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用．掌握数轴上两点间的距离公式，是解题的关键． 19．（24-25七年级上·全国·期末）为了庆祝元旦，甲、乙两校准备共同组织文艺汇演，两校共有92人参加演出，其中甲校人数比乙校多，且甲校人数不足90人，现准备购买演出服装．下表是某服装厂给出的演出服装的价格表，如果两所学校单独购买一共需要付5 000元． 购买服装的套数 1至45套 46至89套 90套及以上 每套服装的价格 60元 50元 40元 (1)如果两校联合起来购买演出服装，比各自购买可以节省多少钱？ (2)甲、乙两校各有多少人参加演出？ 【答案】(1)可以节省1320元 (2)甲校52人参加，乙校40人参加 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，一元一次方程的应用，准确理解题意是解题的关键． （1）根据节省的钱=单独购买的钱-联合购买的钱列式求解即可； （2）设乙校x人，甲校人，根据两所学校单独购买一共需要付5 000元列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：（元）， 答：比各自购买服装共可以节省1320元； （2）解：∵， ∴甲校人数多于46少于90，乙校人数少于46， 设乙校x人，甲校人，由题意得：， 解得：， 则（人）， 答：甲校52人，乙校40人． 20．（22-23七年级上·浙江台州·期末）如图1，点O是直线上一点，三角板（其中）的边与射线重合，将它绕O点以每秒m°顺时针方向旋转到边与重合；同时射线与重合的位置开始绕O点以每秒n°逆时针方向旋转至，两者哪个先到终线则同时停止运动，设运动时间为t秒． (1)若，，秒时，________°； (2)若，，当在的左侧且平分时，求t的值； (3)如图2，在运动过程中，射线始终平分． ①若，，当射线，，中，其中一条是另两条射线所形成夹角的平分线时，直接写出________秒； ②当在的左侧，且与始终互余，求m与n之间的数量关系． 【答案】(1)100； (2)； (3)①12或30或48；② 【分析】本题考查的是角平分线的性质，平角的定义，解题的关键是能采用数形结合的思想和分类讨论的思想解答． （1）根据，即可求解； （2）根据平分线的性质得，再由平角为即可求解； （3）①当是的角平分线，当是的角平分线时，当是的角平分线时，分三种情况进行计算即可， ②由与始终互余，得出，进而可求解． 【详解】（1）解：当，，秒时， ，， ， ； 故答案为：100； （2）解：， 又在的左侧且平分， 解得：， （3）解：①当是的角平分线时，如图所示： 又始终平分， ∴， 当是的角平分线时，如图所示： 又始终平分， ，此时射线与重合， 解得：， 当是的角平分线时，如图所示： 又始终平分， ， 又， ， 解得：， 故答案为：或30或48； ②当在的左侧时，如图所示： 又始终平分， 与始终互余， ， 化简得：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$