复习专题04 整式的加减（5重点串讲+16考点提升+过关检测）-【寒假自学课】2025年七年级数学寒假提升精品讲义（人教版2024）

专题04整式的加减 考点聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 知识点1：单项式 单项式的定义：由数字与字母、字母与字母的乘积组成的式子叫单项式. 单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数. 单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数. 知识点2：多项式 多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式. 多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项. 多项式的次数：一个多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数. 升幂排列与降幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母降幂排列；若按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列． 知识点3：合并同类项 1.同类项 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项. 判断同类项的标准：一是所含字母相同；二是相同字母的指数也相同，缺一不可. 2.合并同类项 定义：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项. 法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母与字母的指数不变.（简称：一相加两不变） 合并同类项的一般步骤： 1）准确找出同类项； 2）利用法则，把同类项的系数相加，字母与字母的指数不变； 3）写出合并后的结果，一般按照某一个字母的升幂/降幂排列，注意不要漏项. 知识点4：去括号法则 去括号法则：括号前面是“＋”号，把括号和前面的“＋”号去掉，括号里各项符号都不改，括号前面是“－”号，把括号和前面的“－”号去掉，括号里各项符号都要改变.（简记：去掉正括号，各项不变号；去掉负括号，各项都变号） 添括号法则：添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号. 【总结】添（去）括号法则：括号外是“+”，添(去)括号不变号；括号外是“-”，添(去)括号都变号. 【补充】去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误. 知识点5：整式的加减 运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 【补充说明】整式加减实际上就是：去括号、合并同类项； 考点剖析 【考点1】整式的相关概念 1．（24-25七年级上·云南昆明·期中）下列说法正确的是（    ） A．单项式的系数是2 B．多项式的常数项是1 C．的底数是 D．是按b的降幂排列的 【答案】D 【分析】本题主要考查的是单项式和多项式的概念，熟练掌握相关概念是解题的关键． 依据单项式和多项式的相关概念、乘方的意义进行解答即可． 【详解】解：A、单项式的系数是，原说法错误，故此选项不符合题意； B、多项式的常数项是，原说法错误，故此选项不符合题意； C、的底数是，原说法错误，故此选项不符合题意； D、是按b的降幂排列的，原说法正确，故此选项符合题意． 故选：D． 2．（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）代数式、、、、、、，其中整式有（  ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的定义，根据整式的定义：整式为单项式和多项式的统称，是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除、乘方五种运算，但在整式中除数不能含有字母，进行判断即可． 【详解】解：整式有、、、、，共5个， 故选：B． 3．（24-25七年级上·江西九江·期中）若多项式是关于x、y的四次多项式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式的项数和次数，根据多项式中单项式的个数为多项式的项数，最高项的次数为多项式的次数，得到，求出的值即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴； 故答案为：． 4．（24-25七年级上·广东汕头·阶段练习）在下列代数式中： ①，②，③，④，⑤，⑥a，⑦，⑧， 单项式有： ；多项式有： ．（只填序号） 把整式按字母x的降幂排列是 ． 【答案】①②④⑥；③⑤⑧； 【分析】本题考查了整式的定义，单项式和多项式统称整式；‌单项式‌是由数与字母的积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也称为单项式；几个单项式的和（或者差），叫做多项式，根据单项式，多项式的定义进行选择，按某个字母降幂排列的知识解决即可． 【详解】解：单项式有：①②④⑥；多项式有：③⑤⑧； 整式按字母x的降幂排列是， 故答案为：①②④⑥；③⑤⑧；． 5．（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）把下列各代数式填在相应的横线上：，，，，，， (1)单项式_______； (2)多项式_______； (3)二次三项式_______． 【答案】(1)， (2)，，， (3) 【分析】本题考查了单项式、多项式的定义，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据单项式是数与字母的积可得答案； （2）根据多项式是几个单项式的和可得答案； （3）根据多项式中的每个单项式是多项式的项结合多项式的次数概念可得答案． 【详解】（1）解：单项式：，． （2）解：∵，中分母带字母， ∴是多项式，不是整式， ∴多项式：，，，． （3）解：∵，有两项，次数最高的项的次数是3， ∴，，不是二次三项式， ∴二次三项式：． 6．（24-25七年级上·全国·期末）已知多项式是四次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同． (1)求的值； (2)是一个关于x，y的二次三项式，且x，y满足，求这个多项式的值． 【答案】(1)6 (2)28 【分析】本题考查了代数式求值，单项式，多项式，非负数的性质：绝对值、偶次方，熟练掌握这些知识点是解题的关键． （1）根据多项式的次数、单项式的次数的定义即可求出m、n的值，从而求出的值； （2）根据多项式的项、次数的定义求出m的值，根据非负数的性质求出x、y的值，即可求出这个多项式的值． 【详解】（1）解：∵多项式是四次四项式， ， 解得， ∵单项式的次数与这个多项式的次数相同， ， ； （2）解：， 又，， ，， ，， 是一个关于x，y的二次三项式， ，， 解得， ∴这个二次三项式是， ∴这个多项式的值为． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/12/273:15:34；用户：gaga；邮箱：18376708956；学号：1890771 【考点2】与单项式有关的规律探索 7．（24-25九年级上·云南玉溪·期中）按规律排列的式子如下：x，则第n个式子是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了单项式的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 由，，，，可推导一般性规律为，第n个式子是，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，， ， ， ， ∴可推导一般性规律为，第n个式子是， 故选：C． 8．（2024·云南昆明·模拟预测）按一定规律排列的单项式：，，，，，，，第n个单项式是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查单项式的规律探究．由所给的单项式可得，系数的符号是，系数的分母是，次数为，则可求第n个单项式为． 【详解】解：由所给的单项式可得，系数的符号是，系数的分母是，次数为， ∴第n个单项式为：， 故选：D． 9．（24-25七年级上·山东济宁·阶段练习）观察下列单项式：根据摆放规律，从第2024个单项式到第2025个单项式的箭头是 ．（填→、↑、←、↓） 【答案】 【分析】本题考查图形类规律探究，根据箭头规律按照的顺序为一个循环，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：箭头规律按照的顺序为一个循环， ∵， ∴第2024个单项式的位置与的位置相同， ∴第2024个单项式到第2025个单项式的箭头为：； 故答案为：． 【考点3】已知同类项求指数中字母的值或代数式的值 10．（24-25七年级上·陕西西安·期中）已知与是同类项，先化简下列代数式，再求值：． 【答案】，24 【分析】此题考查了整式的加减——化简求值，同类项，及利用同类项的定义求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 由同类项的定义可求得a、b的值，再化简代数式代入求值即可． 【详解】解： 与是同类项， ，， 解得：，， ， ， ， 把，，代入得 ， ． 11．（24-25七年级上·广西梧州·期中）已知有理数，满足：与是同类项． (1)求和的值； (2)先化简，再求值：． 【答案】(1)，； (2)，， 【分析】（1）根据同类项的概念，所含字母相同并且相同字母的指数相等的单项式为同类项，求解即可； （2）根据整式加减运算进行化简，然后代入求解即可． 此题考查了同类项的概念以及整式的化简求值，解题的关键是熟练掌握同类项的概念，正确求得的值． 【详解】（1）解：由题意可得：，， 解得，， 故答案为：，； （2）解： ， 将，代入得原式． 12．（24-25七年级上·全国·课后作业）已知与是同类项，的系数为，的次数是4，计算的值． 【答案】8 【分析】本题考查了同类项的定义、单项式的系数和次数的定义，结合题意求出x、y、m的值，然后代入代数式计算即可． 【详解】解：根据题意，得， 所以， 则． 13．（24-25七年级上·全国·期末）已知单项式与单项式是同类项，c是多项式的次数． (1) ， ， ； (2)若关于x的二次三项式的值是3，求代数式的值． 【答案】(1)1，3，2 (2)2022 【分析】此题考查同类项的定义，多项式的次数的定义，已知代数式的值求整式的值，根据同类项的定义，多项式的次数的定义列式计算是解题的关键； （1）根据同类项的定义可得，根据多项式的次数的定义可得，即可求出a，b，c的值； （2）先求出，再整体代入变形后的代数式即可． 【详解】（1）解：单项式与单项式是同类项， ， 解得， c是多项式的次数， ， 故答案为：； （2）解：由（1）可得：， ， ， 代数式的值为． 【考点4】整式的加减 14．（24-25六年级上·上海长宁·阶段练习）化简：． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减混合运算．先计算括号内的运算，然后合并同类项，即可得到答案． 【详解】解： ． 15．（24-25七年级上·河南许昌·期中）化简 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是整式的加减运算，掌握去括号，合并同类项是解本题的关键； （1）先去括号，再合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【考点5】利用整体的思想解决整式的加减 16．（24-25七年级上·广东广州·期中）我们知道：，类似地，若我们把看成一个整体，则有．这种解决问题的方法渗透了数学中的“整体思想”，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，其应用极为广泛．请运用“整体思想”解答下面的问题： (1)把看成一个整体，合并； (2)已知：，求代数式的值； (3)已知，，，求 的值． 【答案】(1) (2)6 (3)8 【分析】本题考查了合并同类项，整体思想应用，根据式子的值，求代数式的值，熟练掌握整体思想，求代数式的值是解题的关键． （1）根据阅读提供的解法解答即可． （2）把看成整体，利用整体代入计算，求代数式的值即可． （3）根据题意，，，先求出的值，后整体代入计算代数式的值即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：∵， ∴ ． （3）解：，，， ， ， ． 17．（24-25七年级上·四川广元·期中）【阅读理解】 “整体思想”是一种重要的数学思想方法，在多项式的化简求值中应用极为广泛．例如：已知，求的值．我们将作为一个整体代入，则原式． 【尝试应用】 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： （1）若，则__________； （2）如果，求的值． 【拓展探索】 （3）若，，求的值． 【答案】（1）2026；（2）57；（3） 【分析】本题考查了代数式求值，整式的加减，利用整体思想解题是关键． （1）由已知得到，再整体代入求值即可； （2）将变形为，再整体代入求值即可； （3）将变形为，再整体代入求值即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴ ； （3）∵，， ． 【考点6】整式加减中的化简求值 18．（24-25六年级上·上海长宁·阶段练习）先化简，再求值.，其中，. 【答案】， 【分析】本题主要考查整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．先去括号再合并同类项，最后代数求值即可． 【详解】解：原式 ， 将，代入， 原式 ； 19．（24-25七年级上·广西·阶段练习）先化简，再求值：，其中与互为相反数． 【答案】 【分析】此题考查了整式的加减化简求值，以及绝对值和平方的非负性，熟练掌握运算法则是解本题的关键．首先根据原式去括号合并得到最简结果，利用非负数的性质求出，，代入计算即可求出值． 【详解】 ， 与互为相反数， ， ，， ，， 原式 20．（24-25七年级上·四川成都·期中）先化简再求值：已知，，且，求的值． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的加减—化简求值、绝对值性质、有理数的乘方，解决本题的关键是正确掌握相关运算法则．根据，，且，求出，，然后去括号，合并同类项，化简整式，最后将、代入求值，即可解题． 【详解】解：因为， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以，， ， 当，时， 原式； 当，时， 原式， 综上，原式的结果是． 21．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示： (1)比较的大小（用“”将它们连接起来）； (2)化简：______ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查数轴、有理数的大小比较、绝对值的化简，合并同类项； （1）根据数轴可得，，把对应的点在数轴上标出来，再进行大小比较即可； （2）由（1）可得，，可得，，，再根据绝对值的性质进行化简即可． 【详解】（1）解：由数轴可得，，， ∴对应的点在数轴上如图所示； ∴． （2）解：由数轴可得，，， ∴，，， ∴ ． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/12/273:15:34；用户：gaga；邮箱：18376708956；学号：1890771 【考点7】整式加减中的无关型问题 22．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）已知，； (1)求； (2)若的值与无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式化简求值，解题的关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则，注意括号前面为负号时，将负号和括号去掉后，括号里每一项的符号要发生改变． （1）根据去括号，合并同类项法则进行计算即可； （2）根据，的值与无关，得出，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ． （2）解：， ∵的值与无关， ∴， 解得：． 23．（24-25七年级上·湖北宜昌·期中），． (1)当时，求的值； (2)若代数式的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用去括号的法则去掉括号后，合并同类项，得，再利用非负数的意义求得，的值，最后将，值代入运算即可； （2）根据代数式的值与的取值无关，可知的系数为0，可求出的值，进而求解． 此题考查了整式的加减－化简求值，无关型问题，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， ， ∵，， ∴，， ∴，， ∴原式 ； （2）解：依题意，， ∵代数式的值与的取值无关， ∴， 解得， ∴的值为． 24．（24-25七年级上·山西临汾·阶段练习）已知两个多项式A、B，其中，小明在计算时，误将其抄成了，求得结果为． (1)求多项式A． (2)多项式，是否存在数，使得关于a，b的多项式的化简结果与的值无关？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】本题考查整式的加减，熟练掌握整式的加减法则是解题的关键； （1）根据题意用结果加上，即可求多项式； （2）根据题意计算，然后计算，即可求解； 【详解】（1）解： （2）解：存在，                         的化简结果与b的值无关 ， 故； 【考点8】整式加减中的不含型问题 25．（22-23七年级上·江苏宿迁·期中）已知M、N是关于x的多项式，，． (1)时，化简； (2)在（1）的条件下，若，求Q的代数式； (3)若M与N的差中不含项，求m的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将代入，利用整式加减运算法则进行计算即可； （2）根据，得出，求出Q的值即可； （3）先求出M与N的差，然后根据差中不含项，得出关于m的方程解方程即可． 【详解】（1）解：时，， ∴ ； （2）解：∵， ∴ ； （3）解： ， ∵M与N的差中不含项， ∴， 解得：． 【点睛】本题主要考查了整式加减运算，解题的关键是熟练掌握整式加减运算法则，准确进行计算． 26．（24-25七年级上·福建泉州·期中）已知关于x的多项式A，B，其中，（m，n为有理数）． (1)当，时，化简； (2)若的结果不含x项和项，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的加减运算及不含某项问题，熟练掌握整式的加减运算及不含某项问题是解题的关键； （1）把，代入A、B两个多项式，然后根据题意化简即可； （2）先对进行运算，然后根据不含x项和项可进行求解． 【详解】（1）解：当，时， ； （2）解：， ∵的结果不含x项和项， ∴， ∴， ∴． 【考点9】与整式加减有关的新定义问题 27．（24-25七年级上·青海海东·期中）定义一种新运算“※”，，例如． (1)______； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义运算，涉及整式加减及乘法运算、有理数的加减运算及乘法运算等知识，读懂题意，理解新定义运算是解决问题的关键． （1）根据新定义运算法则，按要求代值求解即可得到答案； （2）根据新定义运算法则，将化简，再将代入化简后的代数式求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ， ， 故答案为：； （2）解： ， ， 当时，． 28．（24-25七年级上·北京·期中）对于有理数a、b，定义一种新运算“⊙”，规定． (1)直接写出的值为________； (2)当a、b在数轴上的位置如图所示时，化简； (3)在条件（2）下，直接写出______． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了新定义运算、绝对值的意义、利用数轴判断式子的正负，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据题干的新定义列式计算即可得解； （2）由数轴可得，，得出，，根据题干的新定义结合绝对值的性质计算即可得解； （3）由（2）可得：，，根据题干的新定义结合绝对值的性质计算即可得解． 【详解】（1）解：； （2）解：由数轴可得：，， ∴，， ∴； （3）解：由（2）可得：，， ∴． 29．（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）定义一种新运算，观察下列式子： ； ； ； … 若符合上面式子的规律． (1)_______（用含的代数式表示）； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题主要考查了规律探究，代数式求值，整式加减运算，解题的关键是理解题意，得出运算规律． （1）根据已知给出的式子，即可猜想出结果； （2）根据，得出，根据新定义化简，再整体代入求值即可． 【详解】（1）解：∵； ； ； ∴． （2）解：∵， ∴， ∴ ． 30．（24-25七年级上·福建泉州·期中） 材料一 定义：对任意一个四位数（其中，，，且均为整数），若，，则称为“久久数”． 材料二 如果一个两位数的个位数是，十位数是，那么我们可以把这个两位数简记为，即． 阅读以上材料，完成下列任务： 任务一 填空： （“是”或“不是”）“久久数”， （“是”或“不是”）“久久数”； 任务二 请用含，，，的代数式表示 ； 任务三 求证：任意一个“久久数”都能被整除． 【答案】任务一：是，不是 任务二： 任务三：证明见解析 【分析】（1）结合新定义“久久数”，直接判断即可； （2）结合材料二直接表示为：； （3）依题意，结合新定义和数的表示方法可得：，于是得证． 【详解】解：（1）依题意， ，， 是久久数， ，， 不是久久数， 故答案为：是，不是； （2）根据材料二表示一个数的方法可得： ， 故答案为：； （3）依题意可得： ，， ， 任意一个“久久数”都能被整除． 【点睛】本题主要考查了列代数式，整式的加减运算，去括号，合并同类项，等式的性质等知识点，读懂题意，弄清新定义并准确列式计算是解题的关键． 31．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）定义：若一个多项式的各项系数之和为的整数倍，则称这个多项式为“卓越多项式”． 例如：多项式的系数和为，所以多项式是“卓越多项式”． 请根据这个定义解答下列问题： (1)在下列多项式中，属于“卓越多项式”的是________．（在横线上填写序号） ①；②；③． (2)若多项式是关于，的“卓越多项式”（其中，均为整数），则多项式也是关于，的“卓越多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． 【答案】(1)①③ (2)是，理由见解析 【分析】本题考查了新定义“卓越多项式”，理解定义是解题的关键． （1）根据“卓越多项式”的定义求解即可； （2）根据多项式是关于，的“卓越多项式”，可设（为整数，），则，多项式的系数和为，得到，即可求解． 【详解】（1）解：①多项式的系数和为， 该多项式是“卓越多项式”， ②多项式的系数和为， 该多项式不是“卓越多项式”， ③多项式的系数和为， 该多项式是“卓越多项式”， 故答案为：①③； （2）是，理由如下： 多项式是关于，的“卓越多项式”， 为的整数倍， 设（为整数，）， 则， 多项式的系数和为， ， ， 是的整数倍，即是的整数倍， 多项式是关于，的“卓越多项式”（其中，均为整数），则多项式也是关于，的“卓越多项式”． 【考点10】以注重过程性学习的形式考查整式的加减 32．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）以下是圆圆化简的解答过程． 解法一：原式 ； 解法二：原式 ． 圆圆发现两种解答的结果不同，是否有正确的解答？如果两种解答都错误，写出正确的解答过程． 【答案】两种解法都错误；正确解答过程见解析 【分析】本题主要考查了整式加减运算，解题的关键是熟练掌握整式加减运算法则．根据解法一和解法二的解题过程可以判断出两种解法都错误，然后写出正确的解题过程即可． 【详解】解：由解法一的过程可知，第一步中的减2应该变为加2，因此解法一错误；解法二中将分母直接去掉是错误的； 正确的解题过程为： ． 33．（24-25七年级上·山西晋中·期中）阅读材料：数学课上，老师展示了一位同学的作业如下： 已知多项式，，化简：． 下面是这位同学的解题过程： 解：…第一步 …第二步 ．…第三步 请回答下列问题： (1)这位同学从第______步开始出现错误，错误的原因是_________； (2)请正确化简，并求当，时，的值． 【答案】(1)二，去括号时括号前是负号，括号内第二项没有变号 (2)，27 【分析】本题考查整式的减法计算，掌握运算法则是解题关键． （1）根据去括号法则可知第二步开始出现错误，原因是去括号时未变号； （2）根据整式的减法计算法则计算，再将，代入计算即可． 【详解】（1）解：这位同学第二步开始出现错误，错误原因是去括号时括号前是负号，括号内第二项没有变号； （2）解： ； 当，时，原式． 34．（24-25七年级上·湖南永州·期中）以下是小飞同学进行整式化简的过程，请根据下列化简步骤回答问题： 化简： 原式………………第一步 ………………第二步 ………………第三步 (1)以上步骤中第一步依据的运算律是________； A．加法结合律    B．乘法分配律    C．加法交换律 从第________步开始出现错误，出现错误的原因是________________； (2)请写出正确的化简过程，并计算当，满足，时该整式的值． 【答案】(1)C，二，括号前是负号，去括号时没有改变符号； (2)见解析，17． 【分析】根据小飞同学的化简过程可以看出：小飞同学第一步依据的运算律是乘法分配律，从第二步开始出现错误，出现错误的原因是括号前是负号，去括号时没有改变符号； 根据去括号法则，括号前是负号去掉括号和括号前面的负号括号里面的各项都变号可得化简结果为，再把已知中所给出的、代入化简的结果计算即可． 【详解】（1）解：第一步依据的运算律是乘法分配律， 故应选：B； 从第二步开始出现错误，出现错误的原因是括号前是负号，去括号时没有改变符号， 故答案为：括号前是负号，去括号时没有改变符号； （2）解： ， ，， 原式 ． 【点睛】本题主要考查了整式的加减、代数式的求值．整式的化简就是去括号、合并同类项，本题中求代数式的值时需要整体代入求值． 35．（24-25七年级上·河南新乡·期中）思齐同学在做一道改编自课本上的习题时，解答过程如下： 先化简，再求值：，其中，． 解：原式  第一步   第二步   第三步   第四步 当，时， ． (1)上述计算过程中，第一步运算的理论依据是______； (2)已知思齐同学的解答是错误的，则他开始出现错误是在第______步； (3)请给出正确的解答过程． 【答案】(1)去括号的法则 (2)二，中括号前为负数，去括号后没有变号 (3)原式，当时，原式 【分析】本题主要考查了整式的加减混合运算，解题的关键是熟练掌握去括号的法则，根据整式的加减混合运算顺序和运算法则进行计算．注意去括号时，括号前为负数时，要变号． （1）根据去括号的法则即可进行解答； （2）根据去括号得法则即可进行解答； （3）先将整式进行化简，再代入求值即可． 【详解】（1）解：第一步运算的理论依据是：去括号的法则； 故答案为：去括号的法则． （2）解：根据题意得：他开始出现错误是在第二步，错误原因是：中括号前为负数，去括号后没有变号． 故答案为：二，中括号前为负数，去括号后没有变号． （3）解：原式 ， 当时，原式． 【考点11】整式加减的应用 36．（24-25七年级上·全国·期末）我校有三个年级，其中初三年级有名学生，初二年级有名学生，初一年级有名学生，请你算一算，我校共有多少名学生？ 【答案】名 【分析】本题考查了整式的加减运算的应用，掌握加减法则是关键；把三个年级人数相加即可． 【详解】解： （名）； 答：我校共有名学生． 37．（24-25七年级上·江西九江·期中）学校花卉管理师傅在学校劳动基地选用了一块长方形和一块正方形花坛进行新品种花卉的培育，其中长方形花坛中共种植株，正方形花坛中共种植了株（）． (1)正方形花坛比长方形花坛多种植了多少株花卉？ (2)当，时，这两块花坛一共种植了多少株花卉？ 【答案】(1)株 (2)48株 【分析】本题考查整式加减的实际应用： （1）用正方形花坛中数量减去长方形花坛中的数量进行计算即可； （2）先求和，再把，代入，计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可知：株， 答：正方形花坛比长方形花坛多种植了株花卉； （2）根据题意可知：这两块花坛共种植了花卉：株， 当，时，， 答：这两块花坛一共种植了48株花卉． 38．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）小颖为妈妈准备了一份生日礼物，礼物外包装盒为长方体形状，长、宽、高分别为a、b、c（），小颖决定在包装盒外用丝带打包装饰，她发现，可以用如图所示的三种打包方式，所需丝带的长度分别为，，（不计打结处丝带长度）． (1)用含a、b、c的代数式分别表示，，； (2)请帮小颖选出最节省丝带的打包方式，并说明理由． 【答案】(1)；；； (2)最节省丝带的打包方式为③． 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减． （1）观察分析可得，可把该题看作与长，宽，高平行的丝带分别有几条，再求和即可； （2）通过比较（1）中计算出来的三种方式所用的丝带总长来判断． 【详解】（1）解：丝带的长度为：； 丝带的长度为：； 丝带的长度为：； （2）解：∵， ∴ ， ∴； ， ∴； ∴最节省丝带的打包方式为③． 39．（24-25七年级上·全国·期中）某班将买一些乒乓球和乒乓球拍，现了解情况如下：甲、乙两家商店出售同样品牌的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球拍每副定价元，乒乓球每盒定价元，经洽谈后，甲店每买一副球拍赠一盒乒乓球，乙店全部按定价的九折优惠．该班需要乒乓球拍副，乒乓球盒（不小于盒）． (1)分别用代数式表示在甲、乙两家商店购买所需的费用； (2)当需要盒乒乓球时，通过计算，说明此时去哪家购买较为划算． 【答案】(1)在甲商店购买所需的费用为元，在乙商店购买所需的费用为元 (2)去乙店购买合算 【分析】本题考查列代数式，求代数式的值，理解两种方案的优惠方案，得出运算的方法是解决问题的关键． （1）在甲商店购买时，购买乒乓球需要付费的盒数为盒，在乙商店购买时，购买的所有乒乓球都要付费，分别用含的代数式表示在两店购买所需的费用即可； （2）根据（1）中所列的代数式，分别求出当时代数式的值即为在每家商店购买所需的费用，再进行比较，可知去哪家商店购买较为合算． 【详解】（1）解：甲店购买需付款：（元）， 乙店购买需付款：（元）， ∴在甲商店购买所需的费用为元，在乙商店购买所需的费用为元； （2）当时， 甲店需：（元）， 乙店需：（元）， ∵， ∴去乙店购买合算． 40．（24-25七年级上·全国·期末）一个两位数，它的十位数字是x，个位数字是y．若把十位数字与个位数字对调，得到一个新的两位数．请分别计算新数与原数的和与差，并回答，这个和能被11整除吗？差呢？ 【答案】和能被11整除，差不能被11整除，理由见解析 【分析】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 根据题意表示出新数与原数，求出它们的和、差，即可作出判断． 【详解】解：和能被11整除，差不能被11整除， 理由：根据题意得原数为，调换后的新数为． 因为新数与原数的和为， 所以新数与原数的和能被11整除． 新数与原数的差为， ∵， 所以这个差会被9整除，不能被11整除． 41．（24-25七年级上·山东德州·期中）如图，这是某年月的月历表，用如图所示的“”字形覆盖住月历表中的五个数，则这五个数从小到大依次为，，，，这五个数的和能被整除吗？为什么？ (1)甲同学设，请通过计算得出结论； (2)乙同学说自己设更简单，请你也来试一试； (3)“Z”字形覆盖住月历表中的五个数的和能是120吗？若能，求出5个数的值；若不能，说明理由； (4)小明受到启发，改编了下面一道题目，请解答：代数式的值是否为定值？若是，请求出它的值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)这五个数的和能被5整除，见解析； (2)这五个数的和能被5整除，见解析； (3)不能，见解析； (4)是定值，为． 【分析】本题主要考查了列代数式、整式的加减等知识点，掌握整式的加减运算法则是解题的关键． （1）设，则，根据题意得出五个数的和为即可求解； （2）设，则，根据题意得出五个数的和为，即可求解； （3）设，则E的值是，由于月历中没有数值32即可解答； （4）设设，则，然后代入运用整式的加减运算法则求解即可． 【详解】（1）解：这五个数的和能被5整除，计算见解析： 设，则． ∴． ∵是5的倍数， ∴能被5整除． ∴这五个数的和能被5整除． （2）解：这五个数的和能被5整除，计算见解析： 设，则． ∴． ∵能被5整除， ∴这五个数的和能被5整除． （3）解：不能，理由如下： 设，则E的值是， ∵月历中没有数值32， ∴“Z”字形覆盖住月历表中的五个数的和不能是120． （4）解：是定值，求解如下： 设，则． ∴ ． ∴代数式的值是定值，定值为． 42．（2024七年级上·全国·专题练习）奇奇同学发现按下面的步骤进行运算，所得结果一定能被9整除．请你用我们学过的代数式的知识解释这一现象． 步骤：任意写一个十位数字比个位数字大的两位数（个位数字不为0）→交换这个两位数的十位数字和个位数字，得到一个新数→将原数与新数相减，得出结果． 举例：原数新数求差：判断：54能被9整除． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了整式的加减的应用，熟练掌握去括号法则与合并同类项法则是解本题的关键． 设原来的两位数十位数字为a，个位数字为b，表示出原来两位数与新的两位数，相减得到结果，即可发现能被9整除． 【详解】解：设原来的两位数十位数字为a，个位数字为b，则原来两位数为，交换后的新两位数为． 由题意可得：． 故这个结果一定能被9整除． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/12/273:15:34；用户：gaga；邮箱：18376708956；学号：1890771 【考点12】与整式加减有关的面积计算类问题 43．（2024七年级上·全国·专题练习）某学校有一块长方形花园，长12米、宽10米．花园中间欲铺设横纵各一条道路（图①空白部分），且它们互相垂直．若横向道路的宽是纵向道路的宽的2倍，设纵向道路的宽是米．（提示：） (1)如图①，横向道路的宽是_____米，花园道路的面积为_____平方米；（用含的代数式表示） (2)若把纵向道路的宽改为原来的2倍，横向道路的宽改为原来的（如图②所示）．设图①与图②中花园的面积（阴影部分）分别为，，试比较与的大小． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了列代数式、整式的加减的应用、长方形的面积，正确表示出花园道路的面积是解答的关键． （1）根据横向道路的宽是x米，根据纵向道路的宽是横向道路的宽的2倍即可得到横向道路的宽；用纵向道路的面积加上横向道路的面积即可； （2）将，的面积分别表示出来比较大小即可． 【详解】（1）解：横向道路的宽是x米，且纵向道路的宽是横向道路的宽的2倍， 纵向道路的宽是米， 由题意，图①中花园道路的面积为：平方米； （2）解：由题意得，题图①中花园的面积平方米， 题图②中花园的面积．平方米， 则． 因为， 所以， 所以． 44．（24-25七年级上·广东汕头·期中）综合与实践 如何设计装饰布，优化透光面积 素材1 小亮家进行装修，窗户的装饰布由两片不透光的四分之一圆组成（半径相同），如图1所示．已知长方形窗户的长为，宽为． 素材2 小亮想改变窗户的透光面积，他购买了4片形状为四分之一圆的装饰布，半径均为． 问题解决 任务1 分析数量关系 结合素材1，用含，的代数式表示窗户的透光面积为________（结果保留） 任务2 确定透光面积 结合素材1，当，时，求窗户的透光面积．（取14） 任务3 设计悬挂方案 结合素材2，请你帮小亮设计一种悬挂装饰布的方案，要求：①四片装饰布都要使用，且保持形状不变；②每片装饰布必须全部挂在窗户顶部；③装饰布不可以出现重叠；④设计图要呈现对称美．画出示意图，并算出设计方案中窗户透光的面积．（取） 【答案】任务1：；任务2：；任务3：图见解析，． 【分析】此题主要考查了列代数式，整式的加减，求代数式的值． 任务1：根据窗户透光面积为“长方形的面积两个四分之一圆的面积”列出代数式即可； 任务2：当，代入任务一中的代数式进行计算即可； 任务3：根据设计的示意图，可得“窗户透光面积长方形的面积四个四分之一圆的面积”列出代数式． 【详解】解：任务1，∵长方形窗户的长为，宽为，两个四分之圆的半径为， 窗户透光面积； 故答案为：； 任务2：当，时，，窗户透光面积； 任务3：设计示意图如下图所示： 此时窗户透光面积， 45．（24-25七年级上·山东青岛·期中）如图是一长方形空地，长为a米，宽为米．现准备在这个长方形空地的四个角分别修建半径为b米的扇形花圃（阴影部分），中间修一条长为a米，宽为b米的小路，除花圃和小路外的地方都是绿地．    (1)四个花圃的总面积为______平方米； (2)求绿地的面积； (3)当时，求绿地的面积． 【答案】(1) (2)平方米 (3)平方米 【分析】本题考查列代数式，代数式求值．利用数形结合的思想是解题关键． （1）根据圆的面积公式求解即可； （2）根据绿地的面积=长方形空地面积-小路的面积-四个花圃的总面积求解即可； （3）将代入（2）所求式子，求值即可． 【详解】（1）解：由图可知4个花圃组成一个半径为b米的圆， 所以四个花圃的总面积为平方米； （2）解：由图可知小路的面积为平方米，长方形空地的面积为平方米， 所以绿地的面积平方米； （3）解：当时，绿地的面积平方米． 46．（24-25七年级上·江西赣州·期中）有这样一道题：关于x的多项式与的和的值与字母x的取值无关，求a的值．通常的解题方法是：两式相加后，把x看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即，所以，则． 【初步尝试】 （1）若关于x的多项式的值与x无关，求a的值． 【深入探究】 （2）7张如图1的小长方形，长为n，宽为m，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为． ①若，求的值． ②当的长变化时，的值始终保持不变，求m与n的等量关系． 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，涉及整式的乘法、整式的加减知识，熟练掌握整式加减乘法的运算法则是解题关键． （1）根据含项的系数为0建立方程，解方程即可得； （2）①先求出、，从而可得的值． ②根据“当的长变化时，的值始终保持不变”可知的值与的值无关，由此即可得． 【详解】解：（1） ， ∵关于的多项式的值与的取值无关， ， 解得：． （2）①根据题意可得，， ，， 则， ， 则． ②设， 由图可知，， 则 ， ∵当的长变化时，的值始终保持不变， ∴的值与的值无关， ∴， ． 【考点13】整式加减与数轴综合 47．（24-25七年级上·广东·期中）数轴上点A和点C表示的数分别为a和c，且，我们把数轴上点A，B两点之间的距离记为． (1)______，______； (2)若点D对应的数为0，只移动D点，要使得A，C，D其中一点到另两点之间的距离相等，请写出所有的移动方法． (3)动点B从数1对应的点开始向右运动，速度为每秒1个单位长度，同时点A，C在数轴上运动，点A，C的运动速度分别为每秒2个单位长度、每秒3个单位长度，设运动的时间为t秒．若点A向左运动，点C向右运动，式子的值不随时间的变化而变化，试求的值． 【答案】(1)；30 (2)把点D向左移到5个单位长度或把点D向左移到70个单位长度或把点D向右移到80个单位长度 (3) 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，数轴上两点距离计算，非负数的性质： （1）几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0，据此可得答案； （2）当点D到点A和点C的距离相等时，当点A到点D和点C的距离相等时，当点C到点A和点D的距离相等时，三种情况分别求出点D表示的数即可得到移到方式； （3）分别求出点A，点B，点C表示的数，进而求出，再根据的值与时间无关求出m的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：；30； （2）解：由（1）得点A表示的数为，点C表示的数为30， 当点D到点A和点C的距离相等时，则点D表示的数为， ∴此时移动方法为把点D向左移到5个单位长度； 当点A到点D和点C的距离相等时，则点D表示的数为， ∴此时移动方法为把点D向左移到70个单位长度； 当点C到点A和点D的距离相等时，则点D表示的数为， ∴此时移动方法为把点D向右移到80个单位长度； 综上所述，移动方法为把点D向左移到5个单位长度或把点D向左移到70个单位长度或把点D向右移到80个单位长度； （3）解：由题意得，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为， ∴，， ∴ ， ∵的值不随时间的变化而变化， ∴， ∴， ∴． 48．（24-25七年级上·全国·期中）已知：b是最小的正整数，且a、b满足，请回答问题    (1)请直接写出a，b，c的值：________；________；________； (2)a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在0到2之间运动时（即时），请化简式子：（请写出化简过程） 【答案】(1)，，； (2)或． 【分析】本题考查了数轴与绝对值：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数；③当a是零时，a的绝对值是零． （1）根据b是最小的正整数，即可确定b的值，然后根据非负数的性质，几个非负数的和是0，则每个数是0，即可求得a，b，c的值； （2）根据x的范围，确定，，的符号，然后根据绝对值的意义即可化简． 【详解】（1）解：∵b是最小的正整数， ∴． ∵ ∴， ∴，，； （2）解：∵， ∴，， 当时，， 当时，， ∴当时， ； 当时， ． 综上所述，的值为或． 49．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，，两点在数轴上分别表示有理数，，且满足，点为原点． (1)请直接写出______，______； (2)一动点从出发，以每秒2个单位长度向左运动，一动点从出发，以每秒3个单位长度向左运动，设运动时间为（秒）． ①试探究：、两点到原点的距离可能相等吗？若能，请直接写出的值；若不能，请说明理由； ②若动点从出发后，到达原点后保持原来的速度向右运动，当点在线段上运动时，分别取和的中点，，试判断的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)①或12；②的值是一个定值，为2 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，非负数的性质，数轴，两点间的距离公式．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． （1）根据非负数的性质即可求出a、b的值； （2）①先表示出运动t秒后P点对应的数为，Q点对应的数为，再根据两点间的距离公式得出，，利用建立方程，求解即可； ②先分别表示出点E表示的数，点F表示的数，再计算即可； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）①∵若动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从出发，以每秒3个单位长度向左运动， ∵点A表示的数为，点B表示的数为9， ∴运动t秒后P点对应的数为，Q点对应的数为， ∴，， 当时，， 解得或12， 答：点P的运动时间t为或12秒； ②的值是一个定值，理由如下： 当点Q运动到线段上时，中点E表示的数是 ， 当Q从B向O运动时，中点F表示的数是， 则， 所以； 当Q从O向B运动时，Q点对应数为， 中点F表示的数是， 则， 所以； 故的值是一个定值，为2． 50．（24-25七年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）如图，数轴上有三个点、、，表示的数分别是、、，请回答： (1)若使两点的距离与两点的距离相等，则需将点向左移动　　　个单位； (2)若移动、、三点中的两个点，使三个点表示的数相同，移动方法有　　　种，其中移动所走的距离和最小的是　　　个单位； (3)若在原点处有一只小青蛙，一步跳1个单位长．小青蛙第1次先向左跳1步，第2次再向右跳3步，然后第3次再向左跳5步，第4次再向右跳7步，…，按此规律继续跳下去，那么跳第次时，应跳　　　步，落脚点表示的数是　　　； (4)数轴上有个动点表示的数是，则的最小值是　　　． 【答案】(1)3或7 (2) (3) (4)5 【分析】（1）由等于2，结合数轴即可知道向左移动的距离； （2）分为三种：移动，移动，移动，然后计算每种情况移动所走的距离和即可； （3）根据规律发现，所跳步数都是奇数，写出表达式，然后把代入进行计算即可求解，根据向左跳是负数，向右跳是正数，列出算式，然后两个数一组，计算后再求和即可，当跳了n次时，分n是偶数与n是奇数两种情况讨论求解； （4）根据绝对值的意义，可知是数轴上表示数x的点与表示数2的点之间的距离，是数轴上表示数x的点与表示数的点之间的距离，现在要求的最小值，由线段的性质，两点之间，线段最短，可知当时，有最小值． 【详解】（1） 由数轴可知：，两点的距离为2， B点，C点表示的数分别为：，此时的距离为5， 所以当两点的距离与，两点的距离相等时， C点表示的数应为或， 需将点C向左移动3个单位或7个单位． （2） 有3种方法：①移动，把点B向左移动2个单位长度， 把C向左移动7个单位长度，移动距离之和为：， ②移动，把点A向右移动2个单位长度，把C向左移动5个单位长度， 移动距离之和为：， ③移动，把点A向右移动7个单位长度，把B向左右移动5个单位长度， 移动距离之和为：． 所以移动所走的距离和最小的是7个单位． （3） ∵第1次跳1步，第2次跳3步， 第3次跳5步，第4次跳7步，， 第n次跳步， 当时，， 由向左跳是负数，向右跳是正数， 此时，所表示的数是：， ， ， ． 应跳步，落脚点表示的数是． （4） 当时，有最小值， 此时，， ． 则的最小值是5． 【点睛】本题主要考查数轴上两点之间的距离的求解问题，以及数字变化规律的探讨问题，仔细分析，从中理清问题变化的思路是解决问题的关键． 51．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作，数轴上表示数的点与表示数的点距离记作： (1)数轴上表示和3的两点和之间的距离是______；如果，那么为______； (2)当满足条件______时，取最小值，最小值是______； (3)当满足条件______时，取最小值，最小值是______； (4)的最小值是______； (5)的最小值是______． 【答案】(1)；5或 (2)；4 (3)；10 (4)4 (5) 【分析】本题考查的是两点间的距离公式，解题的关键明白两点间的距离就是两点表示的两个数差的绝对值． （1）利用两点间的距离公式求解即可； （2）当有两个点时，距离和最小，就取以这两点为端点的线段上的任意点； （3）当有三个点时，距离和最小，就取中间的点； （4）化为一个点到多个点的距离和最小形式，根据求一个点到多个点距离和最小时，取中间的点，和最小即可求解； （5）化为一个点到多个点的距离和最小形式，根据求一个点到多个点距离和最小时，取中间的点，和最小即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， 或； 故答案为：；5或； （2）解：表示x到，3这两个数的距离的和， 当时，到这两个数的距离的和最小， 最小值为； 故答案为：；4； （3）解： 表示到，，3这三个数的距离的和， 当取中间数时，到三个数的距离的和最小， 最小值为； 故答案为：；10； （4） 同理（3）得：当时，取最小值4， （5）解： 同理（3）得：当时，， 即的最小值是． 【考点14】整式加减与绝对值综合 52．（24-25七年级上·湖南邵阳·期中）数轴是非常重要的数学工具，它可以使代数中的推理更加直观．借助数轴解决下列问题： 【知识回顾】 数轴上点A，B表示的数分别为a，b，A，B两点之间的距离记为； （1）若，则 ； 若，则 ； 一般地， （用含a，b的代数式表示）． 【概念理解】 （2）代数式的最小值为 ； 【深入探究】 （3）代数式（m为常数）的最小值随m值的变化而变化，直接写出该代数式的最小值及对应的m的取值范围（用含m的代数式表示）； 【答案】（1）4，3，；（2）7；（3）当时，有最小值，最小值为，当时，有最小值，最小值为；当时，有最小值，最小值为 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离计算，绝对值的意义，整式的加减运算，正确推出在时，有最小值是解题的关键． （1）根据数轴上两点距离公式进行求解即可； （2）分当时，当时，当时，三种情况去绝对值进行求解即可； （3）分当时，当时，当时，三种情况根据（2）的结论进行求解即可； 【详解】解：（1）若，则； 若，则； 一般地，； （2）当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，有最小值7， （3）当时，由（2）可知当，取最小值， ∴， ∴的最值为， 当时，由（2）可知，当时， 的最值为7， ∵当时，， ∴当时，有最小值，最小值为； 当时，由（2）可知，当时， 的最值为， ∵当时，， ∴当时，有最小值，最小值为； 综上：当时，有最小值，最小值为，当时，有最小值，最小值为；当时，有最小值，最小值为． 53．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）同学们都知道：表示与-之差的绝对值，实际上也可理解为与-两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：    (1)数轴上表示与-的两点之间的距离可以表示为 ． (2)同样的道理，表示数轴上有理数所对应的点到-和所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得 ，这样的整数是 ． (3)根据数轴，若的最小值是，请直接写出的值． (4)由以上探索猜想是否有最小值？如果有，直接写出最小值，并求出所有符合条件的整数的和；如果没有，说明理由． 【答案】(1) (2)，，， (3)或 (4)有，最小值为，和为 【分析】本题考查绝对值的意义；整式的加减、数轴、绝对值； （1）根据距离公式即可解答； （2）利用绝对值和数轴求解即可； （3）根据表示到的和为，则分，两种情形讨论，求得最小值，即可求解． （4）|理解为：在数轴上表示到、、和的距离之和，当在与之间的线段上时取得最小值，进而即可求解． 【详解】（1）数轴上表示与的两点之间的距离可以表示为， 故答案为； （2）表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和，， 为到之间的整数，这样的整数有、、、， 故答案为、、、； （3）∵的最小值是， 即表示到的和为 由于与之间的距离为，小于最小值，则或； ①当时，即，则在到之间时，最小值为 ∴ ∴ ②当时，即， ∴ 综上所述，或 （4）有最小值， 理由是|理解为：在数轴上表示到、、和的距离之和， ∴当在和之间时，取得最小值， ∴最小值为 ∴符合条件的整数为 ∴所有符合条件的整数的和为 54．（24-25七年级上·山东济南·期中）类比是应用过去的经验去解决新问题的一种思维过程． 【回顾·反思】 数学兴趣小组在研究的最小值问题时，利用“一个数的绝对值就是这个数所对应的点到原点的距离”这一概念，发现就是x和所对应的两个点之间的距离，就是x和7所对应的两个点之间的距离．同学们用和7这两个数所对应的点将数轴分为三个部分，然后分别在这三个部分上探究x到与x到7的距离之和，并运用数形结合的思想解决了这个问题： 在数轴上， ①如图1，若x代表的数在的左侧，则x到与x到7的距离之和大于11； ②如图2，若x代表的数在与7之间，则x到与x到7的距离之和等于11； ③如图3，若x代表的数在7的右侧，则x到与x到7的距离之和大于11； ④若，则x到与x到7的距离之和等于11； ⑤若，则x到与x到7的距离之和等于11； 综合以上各种情况，的最小值为11． 【操作·思考】 数学兴趣小组的同学们想通过类比学习的方式探究的最大值问题． 就是x和 所对应的两个点之间的距离，就是x和 所对应的两个点之间的距离，这两个数所对应的点可以将数轴分为三个部分，分别在三个部分上进行探究，可以得出的最大值为 ； 【尝试·思考】 当或b时，代数式的值为相等的正数，则 ． 【答案】【操作·思考】，3，5；【尝试·思考】12． 【分析】【操作·思考】根据题干可知前两空为和3，在画出数轴，根据范围分类讨论即可得解； 【尝试·思考】根据题干和第一问可知一定会利用数形结合，所以先画出数轴，然后分类讨论观察结果为正还是负，所以，当在2到6和6到10这两段时其值为正数，最后在根据等式建立方程求解即可． 【详解】解：【操作·思考】根据题干可知是和所对应的两个点的距离， 是是3两个点所对应的距离， 如图所示， ①当时， ； ②当时， ，在此范围内， 当时，最大； ③当时， ， 综上，最大值为5； 故答案为：，3，5； 【尝试思考】 如图所示， ①当时， ，为负数，不合题意； ②当时， ，为负数，不合题意； ③当时， ，为正数，符合题意； ④当时， ， 此时要想满足其值为正数，则还要小于10， 所以，当在2到6和6到10这两段时其值为正数， 即可以在和6之间，则在6和10之间， 当在和6之间时，， 当在6和10之间时，， 所以， 所以． 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点之间的距离、绝对值的意义，整式的加减得应用，等内容，数形结合和分类讨论是解决本题得关键． 【考点15】数字类规律探索 55．（24-25七年级上·河南·阶段练习）阅读下列材料： ①，，… ②，，… ③，，… 利用由①②③组中你发现的等式规律计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律探索，找到题目中式子的规律是解题关键． 根据①中的规律写出第n个式子，根据②中的规律总结即可得到第n个式子，按照题目①②③中的规律计算即可． 【详解】解：根据题意得：①组中第n个等式为：； ②组的第n个等式为：； ∴原式               ， 故答案为：． 56．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，数轴上点表示的数为，点 （不与重合）、分别到1对应的点的距离相等，点 （不与重合）、分别到2对应的点的距离相等，点 （不与重合）、分别到3对应的点的距离相等，……，按此规律，点表示的数为 ． 【答案】98 【分析】本题考查数字变化的规律，能依次求出点(为正整数)所表示的数并发现规律是解题的关键；依次求出点(为正整数)所表示的数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知，数轴上点表示的数为，且(不与重合)，分别到1对应的点的距离相等， 所以， 即点表示的数为4； 依次类推，点表示的数为0，点表示的数为6，点表示的数为2，点表示的数为8，点表示的数为， 所以点(为正整数)表示的数为：，点表示的数为：． 当时，， 即点表示的数为98； 故答案为：98． 57．（23-24七年级上·海南省直辖县级单位·期中）有一个多项式为，按这样的规律加下去，第项是 ；第项是 ． 【答案】 ； 【分析】本题考查了数字类规律变化，由多项式得，符号的规律为：为奇数时，项的符号为负号，为偶数时，项的符号为正号；系数的绝对值的规律为：第个对应的系数的绝对值是；指数的规律为：第个对应的指数是，据此解答即可求解，找到项的变化规律是解题的关键． 【详解】解：有一个多项式为，按这样的规律加下去，第项是；第项是， 故答案为：，． 58．（24-25七年级上·河南平顶山·期中）已知，，，，，…则的个位数是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了尾数特征，数字的变化规律，根据已知式子得出末尾数字以，，，循环，结合即可得解． 【详解】解：∵，，，，… ∴式子末尾数字以，，，循环， ∵， ∴的个位数是， 故答案为：． 【考点16】图形类规律探索 59．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，把边长为的等边三角形每边三等分，经其向外长出一个边长为原来三分之一的小等边三角形得到图，称为一次“生长”．在得到的多边形上类似“生长”，一共“生长”次，则得到的多边形的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形的变化规律，解题的关键是理解题意，数形结合．观察图形，求出一次“生长”和二次“生长”的图形的周长，从中发现规律，即可求解． 【详解】解：观察图形发现，第一个图形的周长是，经过一次“生长”的图形的周长是； 经过二次“生长”的图形的周长是； 以此类推，则“生长”次，得到的多边形的周长是， 故答案为：． 60．（24-25七年级上·广东佛山·期中）如图所示，第个图案是由黑白两种颜色的六边形地面砖组成的，第个，第个图案可 以看成是由第个图案经过平移而得，那么第个图案中有白色六边形地面砖 块． 【答案】 【分析】此题考查了图形的变化规律，根据所给的图案，发现：第一个图案中，有块白色地砖，后边依次多块，由此规律解决问题，读懂题意，找出规律是解题的关键． 【详解】解：第个图案中有白色六边形地面砖有块； 第个图案中有白色六边形地面砖有（块）； 第个图案中有白色六边形地面砖有（块）； 第个图案中有白色六边形地面砖有（块）； ； 第个图案中有白色地面砖（块）， 故答案为：． 61．（24-25七年级上·山东济南·期中）王老师为调动学生参加班级活动的积极性，给每位学生设计了一个如图所示的面积为1的圆形纸片，若在活动中表现优胜者，可依次用彩色纸片覆盖圆面积的，，，……请你根据数形结合的思想，依据图形的变化，推断当n为整数时， ． 【答案】 【分析】本题考查图形类规律探究，根据图形可知，最后剩余的空白的面积为，利用数形结合的思想可知，的和为圆的面积减去剩余的空白的面积，即可得出结果． 【详解】解：由题意和图可知：剩余的空白的面积为，的和可以看作用彩色纸片覆盖的面积等于圆的总面积减去剩余的空白的面积， ∴； 故答案为：． 62．（2025七年级下·全国·专题练习）将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，第1次对折后得到的图形面积为，第2次对折后得到的图形面积为，第次对折后得到的图形面积为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查图形中的规律问题．掌握“错位相减法”是解题关键．由题意可得，据此即可求解． 【详解】解：由题意，可得， 所以． 令， 则， 所以，即， 所以． 故答案为：． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/12/273:15:34；用户：gaga；邮箱：18376708956；学号：1890771 过关检测 1．（24-25七年级上·河北邯郸·阶段练习）阅读下列材料．让我们规定一种运算，如，再如．按照这种运算规定，请解答下列问题． (1)计算______；______；______； (2)当时，求的值（要求写出计算过程）． 【答案】(1)1，， (2)11 【分析】本题考查了整式的化简求值以及新定义的运算，读懂题意掌握新运算并能用其将整式进行化简是解题的关键． （1）根据新运算的定义式，代入数据求出结果即可； （2）根据新运算的定义式将原式化简为，代入即可得出结论． 【详解】（1）解： ； ； ． 故答案为：1，，； （2）解：原式 当时，原式． ∴当时，的值为11． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）先化简，再求值：，其中，满足． 【答案】， 【分析】本题主要考查了代数式求值，非负数的性质，理解绝对值的非负性，偶数的非负性是解答关键． 先利用去括号的法则、整式加减法的运算法则进行化简，再利用绝对值的非负性，偶数的非负性求出和，最后代入化简后的代数式中进行计算求解． 【详解】解： ． ， ，， 解得，， 原式． 3．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）先化简再求值：，其中，． 【答案】，2 【分析】本题主要考查了整式化简求值，解题的关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则，注意括号前面为负号时，将负号和括号去掉后，括号里每一项的符号要发生改变．先根据整式加减运算法则进行化简，然后再把数据代入求值即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 4．（24-25七年级上·全国·期末）若多项式与的差的值与x所取的值无关，试求多项式的值． 【答案】 【分析】本题考查的是整式加减运算，代数式求值，解题的关键是掌握去括号法则、合并同类项法在等知识． 先化简代数式，根据题意可知含x项的系数为0，进而求得m，n的值，代入化简后的代数式即可求解． 【详解】解： 根据题意得，，， 解得，， ∴ ． 5．（24-25七年级上·甘肃张掖·期中）已知，． (1)求； (2)求； (3)如果，那么的表达式是什么？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的加减应用 （1）根据题意把和表示的代数式代入，然后合并同类项求解即可； （2）根据题意把和表示的代数式代入，然后合并同类项求解即可； （3）根据题意把和表示的代数式代入，然后表示出即可； 【详解】（1）解：∵， ∴=； （2）∵， ∴ ； （3）∵， ∴将A和B代入， 得： 6．（24-25七年级上·湖北恩施·期中）对于两个有理数a，b的大小比较，有下面的方法： 若，则；若，则；若，则；我们把这种比较两个数大小的方法叫做“作差法”． (1)分别求出图1中长方形A的周长和图2中长方形B的周长； (2)若，请用“作差法”比较，的大小； (3)若，，直接写出图1与图2中长方形的周长之和______． 【答案】(1)，， (2) (3)60 【分析】本题考查了整式化简求值，整式的加减运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据长方形的周长等于长加宽的和再乘2，即可作答． （2）根据，，列式，再结合，即可作答． （3）根据，，列式由（1）得，再把，代入计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，长方形A的周长， 长方形B的周长， （2）解：由（1）得，， 则 ， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（1）得，， ∴ ∵，， ∴， 即， ∴图1与图2中长方形的周长之和为60． 故答案为：60． 7．（24-25七年级上·江西南昌·期中）已知有理数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，且满足，．    (1)分别求a，b，c的值； (2)若点D在数轴上对应的数为x，当A、D间距离是B、C间距离的5倍时，请求出x的值； (3)若点A和点B分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为t秒， ①当t为何值时，点A到点B、点C的距离之和是40？ ②是否存在一个常数k，使得的值在一定时间范围内不随运动时间t的改变而改变？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)①；②存在， 【分析】（1）绝对值和平方具有非负性，由非负数的和等于0，每个非负数都为零，求出a，b，c； （2）由数轴上两点间的距离公式表示出和，建立方程求解x； （3）假设存在符合条件的k，表示，再利用整式的性质求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵点A表示的数是1，B表示的数是，C表示的数是，点D表示的数是， ∴A、D间距离是，B、C间距离是， ∵当A、D间距离是B、C间距离的5倍， ∴， ∴， 当时，， 当时，， 综上：或； （3）解：①当运动时间为t秒时， 点A表示的数是，点B表示的数是， ∴点A、B间的距离， 点A、C间的距离， 当点A到点B、点C的距离之和是40时， ， ∴； ②∵，， ∴， ∵的值在一定时间范围内不随运动时间t的改变而改变， ∴， ∴， ∴存在符合条件的k，． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、数轴、绝对值以及偶次方的非负性，整式的加减，解题的关键是：（1）利用绝对值及偶次方的非负性，求出a，b的值；（2）①找准等量关系，正确列出一元一次方程；②用含t的代数式表示出的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04整式的加减 考点聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 知识点1：单项式 单项式的定义：由数字与字母、字母与字母的乘积组成的式子叫单项式. 单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数. 单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数. 知识点2：多项式 多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式. 多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项. 多项式的次数：一个多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数. 升幂排列与降幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母降幂排列；若按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列． 知识点3：合并同类项 1.同类项 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项. 判断同类项的标准：一是所含字母相同；二是相同字母的指数也相同，缺一不可. 2.合并同类项 定义：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项. 法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母与字母的指数不变.（简称：一相加两不变） 合并同类项的一般步骤： 1）准确找出同类项； 2）利用法则，把同类项的系数相加，字母与字母的指数不变； 3）写出合并后的结果，一般按照某一个字母的升幂/降幂排列，注意不要漏项. 知识点4：去括号法则 去括号法则：括号前面是“＋”号，把括号和前面的“＋”号去掉，括号里各项符号都不改，括号前面是“－”号，把括号和前面的“－”号去掉，括号里各项符号都要改变.（简记：去掉正括号，各项不变号；去掉负括号，各项都变号） 添括号法则：添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号. 【总结】添（去）括号法则：括号外是“+”，添(去)括号不变号；括号外是“-”，添(去)括号都变号. 【补充】去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误. 知识点5：整式的加减 运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 【补充说明】整式加减实际上就是：去括号、合并同类项； 考点剖析 【考点1】整式的相关概念 1．（24-25七年级上·云南昆明·期中）下列说法正确的是（    ） A．单项式的系数是2 B．多项式的常数项是1 C．的底数是 D．是按b的降幂排列的 2．（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）代数式、、、、、、，其中整式有（  ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 3．（24-25七年级上·江西九江·期中）若多项式是关于x、y的四次多项式，则 ． 4．（24-25七年级上·广东汕头·阶段练习）在下列代数式中： ①，②，③，④，⑤，⑥a，⑦，⑧， 单项式有： ；多项式有： ．（只填序号） 把整式按字母x的降幂排列是 ． 5．（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）把下列各代数式填在相应的横线上：，，，，，， (1)单项式_______； (2)多项式_______； (3)二次三项式_______． 6．（24-25七年级上·全国·期末）已知多项式是四次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同． (1)求的值； (2)是一个关于x，y的二次三项式，且x，y满足，求这个多项式的值． 【考点2】与单项式有关的规律探索 7．（24-25九年级上·云南玉溪·期中）按规律排列的式子如下：x，则第n个式子是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·云南昆明·模拟预测）按一定规律排列的单项式：，，，，，，，第n个单项式是（  ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级上·山东济宁·阶段练习）观察下列单项式：根据摆放规律，从第2024个单项式到第2025个单项式的箭头是 ．（填→、↑、←、↓） 【考点3】已知同类项求指数中字母的值或代数式的值 10．（24-25七年级上·陕西西安·期中）已知与是同类项，先化简下列代数式，再求值：． 11．（24-25七年级上·广西梧州·期中）已知有理数，满足：与是同类项． (1)求和的值； (2)先化简，再求值：． 12．（24-25七年级上·全国·课后作业）已知与是同类项，的系数为，的次数是4，计算的值． 13．（24-25七年级上·全国·期末）已知单项式与单项式是同类项，c是多项式的次数． (1) ， ， ； (2)若关于x的二次三项式的值是3，求代数式的值． 【考点4】整式的加减 14．（24-25六年级上·上海长宁·阶段练习）化简：． 15．（24-25七年级上·河南许昌·期中）化简 (1) (2) 【考点5】利用整体的思想解决整式的加减 16．（24-25七年级上·广东广州·期中）我们知道：，类似地，若我们把看成一个整体，则有．这种解决问题的方法渗透了数学中的“整体思想”，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，其应用极为广泛．请运用“整体思想”解答下面的问题： (1)把看成一个整体，合并； (2)已知：，求代数式的值； (3)已知，，，求 的值． 17．（24-25七年级上·四川广元·期中）【阅读理解】 “整体思想”是一种重要的数学思想方法，在多项式的化简求值中应用极为广泛．例如：已知，求的值．我们将作为一个整体代入，则原式． 【尝试应用】 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： （1）若，则__________； （2）如果，求的值． 【拓展探索】 （3）若，，求的值． 【考点6】整式加减中的化简求值 18．（24-25六年级上·上海长宁·阶段练习）先化简，再求值.，其中，. 19．（24-25七年级上·广西·阶段练习）先化简，再求值：，其中与互为相反数． 20．（24-25七年级上·四川成都·期中）先化简再求值：已知，，且，求的值． 21．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示： (1)比较的大小（用“”将它们连接起来）； (2)化简：______ 【考点7】整式加减中的无关型问题 22．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）已知，； (1)求； (2)若的值与无关，求的值． 23．（24-25七年级上·湖北宜昌·期中），． (1)当时，求的值； (2)若代数式的值与的取值无关，求的值． 24．（24-25七年级上·山西临汾·阶段练习）已知两个多项式A、B，其中，小明在计算时，误将其抄成了，求得结果为． (1)求多项式A． (2)多项式，是否存在数，使得关于a，b的多项式的化简结果与的值无关？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 【考点8】整式加减中的不含型问题 25．（22-23七年级上·江苏宿迁·期中）已知M、N是关于x的多项式，，． (1)时，化简； (2)在（1）的条件下，若，求Q的代数式； (3)若M与N的差中不含项，求m的值． 26．（24-25七年级上·福建泉州·期中）已知关于x的多项式A，B，其中，（m，n为有理数）． (1)当，时，化简； (2)若的结果不含x项和项，求的值． 【考点9】与整式加减有关的新定义问题 27．（24-25七年级上·青海海东·期中）定义一种新运算“※”，，例如． (1)______； (2)当时，求的值． 28．（24-25七年级上·北京·期中）对于有理数a、b，定义一种新运算“⊙”，规定． (1)直接写出的值为________； (2)当a、b在数轴上的位置如图所示时，化简； (3)在条件（2）下，直接写出______． 29．（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）定义一种新运算，观察下列式子： ； ； ； … 若符合上面式子的规律． (1)_______（用含的代数式表示）； (2)已知，求的值． 30．（24-25七年级上·福建泉州·期中） 材料一 定义：对任意一个四位数（其中，，，且均为整数），若，，则称为“久久数”． 材料二 如果一个两位数的个位数是，十位数是，那么我们可以把这个两位数简记为，即． 阅读以上材料，完成下列任务： 任务一 填空： （“是”或“不是”）“久久数”， （“是”或“不是”）“久久数”； 任务二 请用含，，，的代数式表示 ； 任务三 求证：任意一个“久久数”都能被整除． 31．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）定义：若一个多项式的各项系数之和为的整数倍，则称这个多项式为“卓越多项式”． 例如：多项式的系数和为，所以多项式是“卓越多项式”． 请根据这个定义解答下列问题： (1)在下列多项式中，属于“卓越多项式”的是________．（在横线上填写序号） ①；②；③． (2)若多项式是关于，的“卓越多项式”（其中，均为整数），则多项式也是关于，的“卓越多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． 【考点10】以注重过程性学习的形式考查整式的加减 32．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）以下是圆圆化简的解答过程． 解法一：原式 ； 解法二：原式 ． 圆圆发现两种解答的结果不同，是否有正确的解答？如果两种解答都错误，写出正确的解答过程． 33．（24-25七年级上·山西晋中·期中）阅读材料：数学课上，老师展示了一位同学的作业如下： 已知多项式，，化简：． 下面是这位同学的解题过程： 解：…第一步 …第二步 ．…第三步 请回答下列问题： (1)这位同学从第______步开始出现错误，错误的原因是_________； (2)请正确化简，并求当，时，的值． 34．（24-25七年级上·湖南永州·期中）以下是小飞同学进行整式化简的过程，请根据下列化简步骤回答问题： 化简： 原式………………第一步 ………………第二步 ………………第三步 (1)以上步骤中第一步依据的运算律是________； A．加法结合律    B．乘法分配律    C．加法交换律 从第________步开始出现错误，出现错误的原因是________________； (2)请写出正确的化简过程，并计算当，满足，时该整式的值． 35．（24-25七年级上·河南新乡·期中）思齐同学在做一道改编自课本上的习题时，解答过程如下： 先化简，再求值：，其中，． 解：原式  第一步   第二步   第三步   第四步 当，时， ． (1)上述计算过程中，第一步运算的理论依据是______； (2)已知思齐同学的解答是错误的，则他开始出现错误是在第______步； (3)请给出正确的解答过程． 【考点11】整式加减的应用 36．（24-25七年级上·全国·期末）我校有三个年级，其中初三年级有名学生，初二年级有名学生，初一年级有名学生，请你算一算，我校共有多少名学生？ 37．（24-25七年级上·江西九江·期中）学校花卉管理师傅在学校劳动基地选用了一块长方形和一块正方形花坛进行新品种花卉的培育，其中长方形花坛中共种植株，正方形花坛中共种植了株（）． (1)正方形花坛比长方形花坛多种植了多少株花卉？ (2)当，时，这两块花坛一共种植了多少株花卉？ 38．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）小颖为妈妈准备了一份生日礼物，礼物外包装盒为长方体形状，长、宽、高分别为a、b、c（），小颖决定在包装盒外用丝带打包装饰，她发现，可以用如图所示的三种打包方式，所需丝带的长度分别为，，（不计打结处丝带长度）． (1)用含a、b、c的代数式分别表示，，； (2)请帮小颖选出最节省丝带的打包方式，并说明理由． 39．（24-25七年级上·全国·期中）某班将买一些乒乓球和乒乓球拍，现了解情况如下：甲、乙两家商店出售同样品牌的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球拍每副定价元，乒乓球每盒定价元，经洽谈后，甲店每买一副球拍赠一盒乒乓球，乙店全部按定价的九折优惠．该班需要乒乓球拍副，乒乓球盒（不小于盒）． (1)分别用代数式表示在甲、乙两家商店购买所需的费用； (2)当需要盒乒乓球时，通过计算，说明此时去哪家购买较为划算． 40．（24-25七年级上·全国·期末）一个两位数，它的十位数字是x，个位数字是y．若把十位数字与个位数字对调，得到一个新的两位数．请分别计算新数与原数的和与差，并回答，这个和能被11整除吗？差呢？ 41．（24-25七年级上·山东德州·期中）如图，这是某年月的月历表，用如图所示的“”字形覆盖住月历表中的五个数，则这五个数从小到大依次为，，，，这五个数的和能被整除吗？为什么？ (1)甲同学设，请通过计算得出结论； (2)乙同学说自己设更简单，请你也来试一试； (3)“Z”字形覆盖住月历表中的五个数的和能是120吗？若能，求出5个数的值；若不能，说明理由； (4)小明受到启发，改编了下面一道题目，请解答：代数式的值是否为定值？若是，请求出它的值；若不是，请说明理由． 42．（2024七年级上·全国·专题练习）奇奇同学发现按下面的步骤进行运算，所得结果一定能被9整除．请你用我们学过的代数式的知识解释这一现象． 步骤：任意写一个十位数字比个位数字大的两位数（个位数字不为0）→交换这个两位数的十位数字和个位数字，得到一个新数→将原数与新数相减，得出结果． 举例：原数新数求差：判断：54能被9整除． 【考点12】与整式加减有关的面积计算类问题 43．（2024七年级上·全国·专题练习）某学校有一块长方形花园，长12米、宽10米．花园中间欲铺设横纵各一条道路（图①空白部分），且它们互相垂直．若横向道路的宽是纵向道路的宽的2倍，设纵向道路的宽是米．（提示：） (1)如图①，横向道路的宽是_____米，花园道路的面积为_____平方米；（用含的代数式表示） (2)若把纵向道路的宽改为原来的2倍，横向道路的宽改为原来的（如图②所示）．设图①与图②中花园的面积（阴影部分）分别为，，试比较与的大小． 44．（24-25七年级上·广东汕头·期中）综合与实践 如何设计装饰布，优化透光面积 素材1 小亮家进行装修，窗户的装饰布由两片不透光的四分之一圆组成（半径相同），如图1所示．已知长方形窗户的长为，宽为． 素材2 小亮想改变窗户的透光面积，他购买了4片形状为四分之一圆的装饰布，半径均为． 问题解决 任务1 分析数量关系 结合素材1，用含，的代数式表示窗户的透光面积为________（结果保留） 任务2 确定透光面积 结合素材1，当，时，求窗户的透光面积．（取14） 任务3 设计悬挂方案 结合素材2，请你帮小亮设计一种悬挂装饰布的方案，要求：①四片装饰布都要使用，且保持形状不变；②每片装饰布必须全部挂在窗户顶部；③装饰布不可以出现重叠；④设计图要呈现对称美．画出示意图，并算出设计方案中窗户透光的面积．（取） 45．（24-25七年级上·山东青岛·期中）如图是一长方形空地，长为a米，宽为米．现准备在这个长方形空地的四个角分别修建半径为b米的扇形花圃（阴影部分），中间修一条长为a米，宽为b米的小路，除花圃和小路外的地方都是绿地．    (1)四个花圃的总面积为______平方米； (2)求绿地的面积； (3)当时，求绿地的面积． 46．（24-25七年级上·江西赣州·期中）有这样一道题：关于x的多项式与的和的值与字母x的取值无关，求a的值．通常的解题方法是：两式相加后，把x看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即，所以，则． 【初步尝试】 （1）若关于x的多项式的值与x无关，求a的值． 【深入探究】 （2）7张如图1的小长方形，长为n，宽为m，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为． ①若，求的值． ②当的长变化时，的值始终保持不变，求m与n的等量关系． 【考点13】整式加减与数轴综合 47．（24-25七年级上·广东·期中）数轴上点A和点C表示的数分别为a和c，且，我们把数轴上点A，B两点之间的距离记为． (1)______，______； (2)若点D对应的数为0，只移动D点，要使得A，C，D其中一点到另两点之间的距离相等，请写出所有的移动方法． (3)动点B从数1对应的点开始向右运动，速度为每秒1个单位长度，同时点A，C在数轴上运动，点A，C的运动速度分别为每秒2个单位长度、每秒3个单位长度，设运动的时间为t秒．若点A向左运动，点C向右运动，式子的值不随时间的变化而变化，试求的值． 48．（24-25七年级上·全国·期中）已知：b是最小的正整数，且a、b满足，请回答问题    (1)请直接写出a，b，c的值：________；________；________； (2)a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在0到2之间运动时（即时），请化简式子：（请写出化简过程） 49．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，，两点在数轴上分别表示有理数，，且满足，点为原点． (1)请直接写出______，______； (2)一动点从出发，以每秒2个单位长度向左运动，一动点从出发，以每秒3个单位长度向左运动，设运动时间为（秒）． ①试探究：、两点到原点的距离可能相等吗？若能，请直接写出的值；若不能，请说明理由； ②若动点从出发后，到达原点后保持原来的速度向右运动，当点在线段上运动时，分别取和的中点，，试判断的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 50．（24-25七年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）如图，数轴上有三个点、、，表示的数分别是、、，请回答： (1)若使两点的距离与两点的距离相等，则需将点向左移动　　　个单位； (2)若移动、、三点中的两个点，使三个点表示的数相同，移动方法有　　　种，其中移动所走的距离和最小的是　　　个单位； (3)若在原点处有一只小青蛙，一步跳1个单位长．小青蛙第1次先向左跳1步，第2次再向右跳3步，然后第3次再向左跳5步，第4次再向右跳7步，…，按此规律继续跳下去，那么跳第次时，应跳　　　步，落脚点表示的数是　　　； (4)数轴上有个动点表示的数是，则的最小值是　　　． 应跳步，落脚点表示的数是． 51．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作，数轴上表示数的点与表示数的点距离记作： (1)数轴上表示和3的两点和之间的距离是______；如果，那么为______； (2)当满足条件______时，取最小值，最小值是______； (3)当满足条件______时，取最小值，最小值是______； (4)的最小值是______； (5)的最小值是______． 【考点14】整式加减与绝对值综合 52．（24-25七年级上·湖南邵阳·期中）数轴是非常重要的数学工具，它可以使代数中的推理更加直观．借助数轴解决下列问题： 【知识回顾】 数轴上点A，B表示的数分别为a，b，A，B两点之间的距离记为； （1）若，则 ； 若，则 ； 一般地， （用含a，b的代数式表示）． 【概念理解】 （2）代数式的最小值为 ； 【深入探究】 （3）代数式（m为常数）的最小值随m值的变化而变化，直接写出该代数式的最小值及对应的m的取值范围（用含m的代数式表示）； 53．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）同学们都知道：表示与-之差的绝对值，实际上也可理解为与-两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：    (1)数轴上表示与-的两点之间的距离可以表示为 ． (2)同样的道理，表示数轴上有理数所对应的点到-和所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得 ，这样的整数是 ． (3)根据数轴，若的最小值是，请直接写出的值． (4)由以上探索猜想是否有最小值？如果有，直接写出最小值，并求出所有符合条件的整数的和；如果没有，说明理由． 54．（24-25七年级上·山东济南·期中）类比是应用过去的经验去解决新问题的一种思维过程． 【回顾·反思】 数学兴趣小组在研究的最小值问题时，利用“一个数的绝对值就是这个数所对应的点到原点的距离”这一概念，发现就是x和所对应的两个点之间的距离，就是x和7所对应的两个点之间的距离．同学们用和7这两个数所对应的点将数轴分为三个部分，然后分别在这三个部分上探究x到与x到7的距离之和，并运用数形结合的思想解决了这个问题： 在数轴上， ①如图1，若x代表的数在的左侧，则x到与x到7的距离之和大于11； ②如图2，若x代表的数在与7之间，则x到与x到7的距离之和等于11； ③如图3，若x代表的数在7的右侧，则x到与x到7的距离之和大于11； ④若，则x到与x到7的距离之和等于11； ⑤若，则x到与x到7的距离之和等于11； 综合以上各种情况，的最小值为11． 【操作·思考】 数学兴趣小组的同学们想通过类比学习的方式探究的最大值问题． 就是x和 所对应的两个点之间的距离，就是x和 所对应的两个点之间的距离，这两个数所对应的点可以将数轴分为三个部分，分别在三个部分上进行探究，可以得出的最大值为 ； 【尝试·思考】 当或b时，代数式的值为相等的正数，则 ． 【考点15】数字类规律探索 55．（24-25七年级上·河南·阶段练习）阅读下列材料： ①，，… ②，，… ③，，… 利用由①②③组中你发现的等式规律计算： ． 56．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，数轴上点表示的数为，点 （不与重合）、分别到1对应的点的距离相等，点 （不与重合）、分别到2对应的点的距离相等，点 （不与重合）、分别到3对应的点的距离相等，……，按此规律，点表示的数为 ． 57．（23-24七年级上·海南省直辖县级单位·期中）有一个多项式为，按这样的规律加下去，第项是 ；第项是 ． 58．（24-25七年级上·河南平顶山·期中）已知，，，，，…则的个位数是 ． 【考点16】图形类规律探索 59．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，把边长为的等边三角形每边三等分，经其向外长出一个边长为原来三分之一的小等边三角形得到图，称为一次“生长”．在得到的多边形上类似“生长”，一共“生长”次，则得到的多边形的周长是 ． 60．（24-25七年级上·广东佛山·期中）如图所示，第个图案是由黑白两种颜色的六边形地面砖组成的，第个，第个图案可 以看成是由第个图案经过平移而得，那么第个图案中有白色六边形地面砖 块． 61．（24-25七年级上·山东济南·期中）王老师为调动学生参加班级活动的积极性，给每位学生设计了一个如图所示的面积为1的圆形纸片，若在活动中表现优胜者，可依次用彩色纸片覆盖圆面积的，，，……请你根据数形结合的思想，依据图形的变化，推断当n为整数时， ． 62．（2025七年级下·全国·专题练习）将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，第1次对折后得到的图形面积为，第2次对折后得到的图形面积为，第次对折后得到的图形面积为，则 ． 过关检测 1．（24-25七年级上·河北邯郸·阶段练习）阅读下列材料．让我们规定一种运算，如，再如．按照这种运算规定，请解答下列问题． (1)计算______；______；______； (2)当时，求的值（要求写出计算过程）． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）先化简，再求值：，其中，满足． 3．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）先化简再求值：，其中，． 4．（24-25七年级上·全国·期末）若多项式与的差的值与x所取的值无关，试求多项式的值． 5．（24-25七年级上·甘肃张掖·期中）已知，． (1)求； (2)求； (3)如果，那么的表达式是什么？ 6．（24-25七年级上·湖北恩施·期中）对于两个有理数a，b的大小比较，有下面的方法： 若，则；若，则；若，则；我们把这种比较两个数大小的方法叫做“作差法”． (1)分别求出图1中长方形A的周长和图2中长方形B的周长； (2)若，请用“作差法”比较，的大小； (3)若，，直接写出图1与图2中长方形的周长之和______． 7．（24-25七年级上·江西南昌·期中）已知有理数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，且满足，．    (1)分别求a，b，c的值； (2)若点D在数轴上对应的数为x，当A、D间距离是B、C间距离的5倍时，请求出x的值； (3)若点A和点B分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为t秒， ①当t为何值时，点A到点B、点C的距离之和是40？ ②是否存在一个常数k，使得的值在一定时间范围内不随运动时间t的改变而改变？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$