复习专题03 代数式（3重点串讲+10考点提升+过关检测）-【寒假自学课】2025年七年级数学寒假提升精品讲义（人教版2024）

专题03 代数式 考点聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 【考点1】列代数式 【考点2】描述代数式的意义 【考点3】以开放性试题的形式考查列代数式 【考点4】用代数式表示数、图形的规律 【考点5】已知字母的值求代数式的值 【考点6】已知式子的值求代数式的值 【考点7】代数式的实际应用 【考点8】程序流程图与代数式求值 【考点9】与代数式求值有关的新定义问题 【考点10】与代数式求值有关的材料阅读类问题 知识点1：代数式 定义：用基本的运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式. 注意：1）代数式中不含有=，＜，＞，≠等符号. 2）单独的一个数或一个字母也是代数式. 3）代数式中除含有数，字母和运算符号外，还可以有括号. 知识点2：代数式的值 定义：根据问题的需要，用具体数值代替代数式中的字母，计算所得的结果叫做代数式的值. 注意：1）代数式的值并不是固定的，它会随着代数式中字母取值的变化而变化. 2）代数式中的字母取值并不是任意的，主要限制条件有： ①必须使代数式有意义，如中的a不能取1； ②实际问题中的字母取值要符合实际意义，比如小明买了b本图画书，这里的b只能是0或正整数，不能取小数或者负数. 知识点3：列代数式 定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，这就是列代数式. 代数式的书写要求： 1）数字与字母、字母与字母相乘，通常把乘号写成“·”或省略不写；数与数相乘必须写乘号. 2）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；如果字母前面的数字是1或-1时，通常省略不写. 3）除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数. 4）若代数式的最后结果含有加、减运算，则要将整个式子用括号括起来，再写单位. 考点剖析 【考点1】列代数式 1．（24-25七年级上·山东青岛·期中）下列选项中，能用代数式表示的是（    ） A．B．C．D． 2．（24-25七年级上·四川遂宁·期中）计算的结果是（ ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·山西朔州·期中）鲁班锁是我国古代传统建筑物的固定结合器，也是一种广泛流传的益智玩具．如图1是六根鲁班锁，图2是六根鲁班锁中一个构件的一个面的尺寸，这个面的面积是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·贵州毕节·期中）如图，从长为，宽为的长方形中截去两个半圆，则剩余部分（阴影部分）的面积用代数式表示是（    ） A． B． C． D． 【考点2】描述代数式的意义 5．（24-25七年级上·山东菏泽·期中）下列对代数式表示的意义解释错误的是（   ） A．表示m的2倍与n的和 B．表示a与b的和的平方 C．表示a，b两数的和与差的乘积 D．表示a，b两数的平方和减去它们乘积的2倍 6．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）甲、乙同学关于“代数式”的意义叙述，判断正确的是（   ） 甲：的倍与的和； 乙：苹果每千克元，香蕉每千克元，苹果和香蕉各买千克的总花费 A．只有甲的正确 B．只有乙的正确 C．甲、乙的都正确 D．甲、乙的都不正确 7．（24-25七年级上·山东菏泽·期中）用文字语言表示下列代数式： (1) (2) 8．（2024七年级上·山东青岛·专题练习）指出下列各代数式的意义： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 【考点3】以开放性试题的形式考查列代数式 9．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）试写出一个含的代数式 ，使得当时，代数式的值为． 10．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）请写出一个同时满足下列两个条件的代数式  ①只含字母x；      ②代数式的值恒大于0． 【考点4】用代数式表示数、图形的规律 11．（24-25七年级上·江西宜春·期中）如图，每个图形都由同样大小的小正方形按一定规律组成． 根据图形与等式的关系寻找规律，解答下列问题： (1) ， ，猜想______；（用含的代数式表示结果，不用说明理由） (2)利用（1）的结论，计算：． 12．（24-25七年级上·全国·期中）用火柴棒按图中的方式搭图形． 图形 第1个 第2个 第3个 第4个 第5个 火柴棒根数 5 9 13 请解决下列问题： (1)______，______； (2)按照这种方式搭下去，则搭第个图形需要火柴棒的根数为______（用含的代数式表示）； (3)按照这种方式搭下去，求搭第2024个图形需要的火柴棒根数． 13．（24-25七年级上·贵州六盘水·期中）先观察下列式子的变形规律： ， ， ， (1)类比思考________； (2)归纳猜想：若为正整数，那么________； (3)运用上面的知识计算：． 14．（24-25七年级上·福建泉州·期中）观察下列各式： ， …… 回答下面的问题： (1)直接写出的值是___________； 猜想：___________． (2)根据（1）中的结论，求的值． (3)思维拓展：求的值． 15．（24-25七年级上·河南周口·期中）观察式子中的规律，并回答问题． (1)观察发现 ①； ②； ③； ④；……． 式子④中_____，_____； (2)规律提炼 写出第个等式（用含有字母的式子表示）； (3)问题解决 求的值． 【考点5】已知字母的值求代数式的值 16．（24-25七年级上·山东菏泽·期中）当，时，求代数式的值． 17．（24-25七年级上·湖南邵阳·期中）已知互为相反数，互为倒数，，求的值． 18．（24-25七年级上·重庆·期中）已知，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 19．（24-25七年级上·河南南阳·期中）如果互为相反数（均不为），互为倒数，．求：． 【考点6】已知式子的值求代数式的值 20．（24-25七年级上·贵州毕节·期中）已知有理数满足，求的值． 21．（24-25七年级上·甘肃定西·期中）【例题呈现】 已知代数式：的值为9，则代数式的值为_______． 【解法呈现】 由题意得，则有， ，所以代数式的值为9． 【方法运用】 (1)若，则代数式______． (2)若代数式的值为15，求代数式的值． 22．（24-25七年级上·广东佛山·期中）数学中，运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要． 例如：已知：，则代数式． 请你根据以上材料解答以下问题： (1)若，则 ； (2)当，求的值． (3)当时，代数式，当时，代数式的值是多少？ 23．（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）有理数a，b，c，m，n满足下列条件：，且b，c互为相反数，m，n互为倒数． (1)求a，b，c的值； (2)求式子的值． 24．（24-25七年级上·山东德州·期中）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的【探究】． 【提出问题】 两个不为0的有理数a、b满足a、b同号，求的值． 【解决问题】 解：由a、b同号且都不为0可知a、b有两种可能；①a，b都是正数；②a，b都是负数． ①若a、b都是正数，即，，有，，则 ②若a、b都是负数，即，，有，，则，所以的值为2或． 【探究】 请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值； (3)已知，，求的值． 【考点7】代数式的实际应用 25．（24-25七年级上·河北保定·期中）为了绿化校园，学校决定修建一块长方形空地，空地长，宽，并在空地上修建如图所示的三面宽都相等的小路．余下的长方形（阴影部分）做草坪（草坪长为b）． (1)用含有b的代数式表示小路的宽； (2)请用含b的代数式表示草坪三面临路的总长（图中深色加粗长度），并算出当时总长的值． 26．（24-25七年级上·广东中山·期中）如图，一个零件的横截面是由长方形、正方形、三角形及圆组成的图形（长度单位：）． (1)用式子表示图中阴影部分的面积； (2)当时，求阴影部分面积的值．（，结果保留整数） 27．（24-25七年级上·天津北辰·期中）解答下列各题 (1)某地一周内每天的最高气温与最低气温记录如下表： 星期 一 二 三 四 五 六 日 最高气温（℃） 9 7 5 7 最低气温（℃） 1 0 2 ①周六的温差是__________℃； ②一周的平均最低气温是__________℃． (2)比较有理数与的大小； (3)已知，互为相反数，，互为倒数，，求的值． (4)已知一个数比a的7倍小3，另一个数比a的6倍大5，求前一个数减去后一个数的差． 28．（24-25七年级上·广西南宁·期中）“惠享双十一”，今年某品牌鞋子利用这个契机进行促销活动． 该品牌为确定一个合适的销售价格进行了5天的试销，每天试销情况如表： 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 售价/（元/双） 100 150 200 250 300 销售量/双 60 40 30 24 20 (1)该品牌鞋子在试销期间，每天的销售额是多少元？ (2)试销期间，每天的销售量是怎样随着售价变化而变化的？ (3)用表示每天售价，用表示每天销售的数量，请用式子表示与的关系．与成什么比例关系？ 【考点8】程序流程图与代数式求值 29．（2024七年级上·吉林·专题练习）如图是一个简单的数值运算程序． (1)用含x的代数式表示出运算过程； (2)当输入的x值为1时，输出的值是多少？ (3)当输入的x值为时，输出的值是多少？ 30．（24-25七年级上·陕西西安·期中）如图是一个“数值转换机”的示意图． (1)写出输出结果______（用含x的代数式表示）； (2)填写下表； x 0 1 2 输出 31．（24-25七年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）有三种运算程序如下图所示，按要求完成下列各题： (1)如图，当输入数时，输出数_____； (2)如图，第一个带？号的运算框内，应填_____；第二个带？号的运算框内，应填_____；第三个带？号的运算框内，应填_____． (3)如图，当输入时，则输出结果为_____． 32．（24-25七年级上·全国·课后作业）在数值转换机示意图的方框中，填入转换步骤． 【考点9】与代数式求值有关的新定义问题 33．（24-25七年级上·广东东莞·期中）已知：，． (1)若，，求的值． (2)若，定义一种运算“▲”：，求的值． (3)若、互为倒数，、互为相反数，是最大的负整数，求 34．（24-25七年级上·北京大兴·期中）对于有理数，我们给出如下定义：若满足，则称为“和谐有理数对”，记为．例如：，数对是“和谐有理数对”． (1)数对，其中是“和谐有理数对”的是_________； (2)若是“和谐有理数对”，求的值； (3)若是“和谐有理数对”，则________(填“是”或“不是”)“和谐有理数对”，说明你的理由． 35．（2024七年级上·全国·专题练习）定义：对于一个数，我们把称作的相伴数；如果，那么就有；如果，那么．例：． (1)求、的值； (2)若，，求的值； (3)若，当，试求代数式的值． 36．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）定义：在数轴上，若点P到点A的距离是2，则称点P为点A的“开心点”；若点P到点M、N的距离之和为5，则称点P为点M、N的“高兴点”． 【初步应用】 （1）若点P为点A的“开心点”，点A表示的数是3，则点P表示的数是_________； （2）若点P为点M、N的“高兴点”，点M表示的数是，点N表示的数是3，则点P表示的数可以是________（填一个满足要求的数即可）； 【深入理解】 （3）若点A表示的数是，点B表示的数是3，点C表示的数是，一只电子蚂蚁P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，求经过多少时间电子蚂蚁P是点A、B的“高兴点”？ 37．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期中）我们定义：若两个有理数的积等于这两个有理数的和，则称这两个数互为“友好数”．如：有理数与，因为，所以与5互为“友好数”． (1)①判断与是否互为“友好数”，并说明理由． ②求的“友好数”为 ． (2)若有理数a与b互为“友好数”，b与c互为相反数，求代数式的值． 【考点10】与代数式求值有关的材料阅读类问题 38．（24-25七年级上·河南周口·期中）综合与探究 问题情境： 如图1，数轴上有四点，它们表示的数分别是．    易知点间的距离可以表示为，点间的距离可以表示为，点间的距离可以表示为． 数学思考： (1)若两点在数轴上表示的数分别是，则两点间的距离可以表示为 ．（用含的代数式表示） 深入探究： (2)如图2，若点在数轴上表示的数分别为，点P在数轴上表示的数为，为整数且满足条件，求的值．    (3)如图3，某工厂流水线（点C表示的数为，点D表示的数为1）上依次排列的6个工作台（包括点）．每个工作台只有一名工人，现要在流水线上设置一个工具台方便工人拿取工具，工具台表示的数为整数，假如设置工具台的位置刚好使这6名工人到工具台的路程之和最小，请直接写出这个最小路程之和．    39．（24-25七年级上·山东济南·期中）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，初中数学里的代数公式，很多都可以借助几何图形进行直观推导和解释． 【方法初探】 （1）例如：求…的值（其中是正整数）．方案如下：如图，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为，，，…，个小圆圈排列组成的．而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子的值．为求式子的值，现把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形．此时，组成平行四边形的小圆圈共有 行，每行有 个小圆圈，所以组成一个三角形小圆圈的个数为 ； 【探索归纳】 （2）下面我们将利用数形结合尝试求的值（其中是正整数）．请你仔细观察图，找出图形与算式之间的关系，解决下列问题： ①探索规律：根据前面的规律，第（）个图形可以表示的等式为 ； ②归纳结论：则 （结果用含n的代数式表示）； 【拓展应用】 （3）求的值． 过关检测 1．（24-25七年级上·河南驻马店·阶段练习）在1，，3，，中任意取两个数相乘，最大的积为a，最小的积为b． (1)求的值． (2)若，求：的值． 2．（24-25七年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，某市计划在一块长方形的市民广场空地上建造一个特色徽剧表演台（阴影部分）． (1)请用代数式表示特色徽剧表演台的面积（化为最简结果）． (2)如果修建表演台的费用为元，且，那么修建特色徽剧表演台需要费用多少元？ 3．（24-25七年级上·江西吉安·期中）如图1是永新某楼盘户型图，图2是户型图的简图．相当于边长为的正方形纸片，减去两个小长方形（虚线部分）再加上一个小长方形（左上部分）得到一个户型图，设减去的右下角的小长方形的长和宽分别为、2，左下角的小长方形的长和宽分别为、1，左上角的小长方形长和宽分别为，1． (1)用含、的式子表示户型图的面积为__________；（结果必须化简） (2)用米，米时，求该户型图图形面积的值．设小区物业费收费标准是按该户型图图形面积每个月一个平方米1.5元，请问这个户型一年要交多少物业费？ 4．（24-25七年级上·浙江温州·期中）在一节学习《代数式》的数学活动课上，老师让同学们互相给对方出一些与代数式有关的题目，于是，小温给她的同桌小周出了以下两个问题，请你帮助他完成吧： (1)用代数式表示的平方的倍与的差： ． (2)当，时，求该代数式的值． 5．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）已知关于x，y的单项式与（m是有理数）的次数相同． (1)求m的值，并求出两个单项式的系数分别是多少； (2)若x是的倒数，1与互为相反数，求单项式的值． 6．（24-25七年级上·福建厦门·期中）已知长方形的面积不变，相邻的两边长分别用x和y表示（如下表）． x 10 25 40 … y 20 12 3 … (1)请把表格填写完整； (2)从表格可看出，长方形的一边长y随着它的另一边长x的变大而 ；（填“变大”或“变小”） (3)用式子表示y与x之间的关系，y与x成什么关系？ ； ； (4)若长方形的一边长x增大2，则它的另一边长y如何变化？（请列代数式说明） 7．（24-25七年级上·河北保定·期中）唐山某初中数学小组在学完“整式的加减”章节后展开了交流，请你仔细阅读． 试题：求代数式的值，其中，． 嘉嘉：把，直接代入原来的代数式求值； 琪琪：把原代数式先进行常规去括号化简，然后再代数求值； 珍珍：我想到了在多项式的化简与求值中应用广泛的“整体思想”：把看成一个字母a，这个代数式可以简化为，之后化简就容易很多． (1)请按照题干中琪琪的思路将原代数式进行化简；（只化简不求值） (2)请按照题干中珍珍的思路求原代数式的值； (3)填空：①已知，则的值为________； ②已知，，，则的值为________． 8．（24-25七年级上·天津·期中）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律．如数轴上点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离表示为． 【综合运用一】如图，数轴上点E表示为，点F表示为2． （1）线段的长度是______． （2）若x表示任意一个有理数．利用数轴回答下列问题： ①当，则______． 式子是否存在最小值？若不存在，请说明理由；若存在，请直接说出x的取值范围，并化简求出最小值？ 【综合运用二】已知点A、B、C为数轴上三个点，表示的数分别是a，b，c，满足，且a为的倒数． （1）______，______，______； （2）若动点P从点A出发沿数轴正方向运动，动点Q同时从点B出发也沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度．设运动的时间为t秒（）． ①用含t的式子表示：t秒后，点P表示的数为______，点Q表示的数为______； ②当时，求t的值． （3）在（2）的条件下，P、Q出发的同时，动点M从点C出发沿数轴正方向运动，速度为每秒5个单位长度，点M追上点Q后立即返回沿数轴负方向运动．求点M追上点Q后再经过几秒，？ $$专题03代数式 考点聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 【考点1】列代数式 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/12/273:15:34；用户：gaga；邮箱：18376708956；学号：1890771 【考点2】描述代数式的意义 【考点3】以开放性试题的形式考查列代数式 【考点4】用代数式表示数、图形的规律 【考点5】已知字母的值求代数式的值 【考点6】已知式子的值求代数式的值 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/12/273:15:34；用户：gaga；邮箱：18376708956；学号：1890771 【考点7】代数式的实际应用 【考点8】程序流程图与代数式求值 【考点9】与代数式求值有关的新定义问题 【考点10】与代数式求值有关的材料阅读类问题 知识点1：代数式 定义：用基本的运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式. 注意：1）代数式中不含有=，＜，＞，≠等符号. 2）单独的一个数或一个字母也是代数式. 3）代数式中除含有数，字母和运算符号外，还可以有括号. 知识点2：代数式的值 定义：根据问题的需要，用具体数值代替代数式中的字母，计算所得的结果叫做代数式的值. 注意：1）代数式的值并不是固定的，它会随着代数式中字母取值的变化而变化. 2）代数式中的字母取值并不是任意的，主要限制条件有： ①必须使代数式有意义，如中的a不能取1； ②实际问题中的字母取值要符合实际意义，比如小明买了b本图画书，这里的b只能是0或正整数，不能取小数或者负数. 知识点3：列代数式 定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，这就是列代数式. 代数式的书写要求： 1）数字与字母、字母与字母相乘，通常把乘号写成“·”或省略不写；数与数相乘必须写乘号. 2）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；如果字母前面的数字是1或-1时，通常省略不写. 3）除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数. 4）若代数式的最后结果含有加、减运算，则要将整个式子用括号括起来，再写单位. 考点剖析 【考点1】列代数式 1．（24-25七年级上·山东青岛·期中）下列选项中，能用代数式表示的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列代数式，代数式的意义，逐项列出代数式即可，找出等量关系是解题的关键． 【详解】解：、三角形的周长为，不符合题意； 、长方形的周长为，符合题意； 、梯形的面积为，不符合题意； 、长方体的体积为，不符合题意； 故选：． 2．（24-25七年级上·四川遂宁·期中）计算的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列代数式，有理数的运算，乘法、乘方的运算定义，根据乘法的定义：个相加表示为，根据乘方的定义：个相乘表示为，由此求解即可． 【详解】 故选： B． 3．（24-25七年级上·山西朔州·期中）鲁班锁是我国古代传统建筑物的固定结合器，也是一种广泛流传的益智玩具．如图1是六根鲁班锁，图2是六根鲁班锁中一个构件的一个面的尺寸，这个面的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用代数式表示式，解题的关键是根据图形的特点求解；由大长方形面积减去小长方形的面积即可． 【详解】解：如图，这个面的面积为， 故选：A． 4．（24-25七年级上·贵州毕节·期中）如图，从长为，宽为的长方形中截去两个半圆，则剩余部分（阴影部分）的面积用代数式表示是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了列代数式，正确理解题意是解题的关键． 根据长方形和圆的面积公式列式即可． 【详解】解：∵根据题意可得长方形的面积为：，两个半圆的面积为：， ∴剩余面积为， 故选：A． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/12/273:15:34；用户：gaga；邮箱：18376708956；学号：1890771 【考点2】描述代数式的意义 5．（24-25七年级上·山东菏泽·期中）下列对代数式表示的意义解释错误的是（   ） A．表示m的2倍与n的和 B．表示a与b的和的平方 C．表示a，b两数的和与差的乘积 D．表示a，b两数的平方和减去它们乘积的2倍 【答案】B 【分析】本题主要考查代数式，根据各代数式的意义逐一判断即可． 【详解】解：A．表示m的2倍与n的和，正确，不符合题意； B．表示a的平方与b的平方的和，原叙述错误，符合题意； C．表示a，b两数的和与差的乘积，正确，不符合题意； D．表示a，b两数的平方和减去它们乘积的2倍，正确，不符合题意； 故选：B． 6．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）甲、乙同学关于“代数式”的意义叙述，判断正确的是（   ） 甲：的倍与的和； 乙：苹果每千克元，香蕉每千克元，苹果和香蕉各买千克的总花费 A．只有甲的正确 B．只有乙的正确 C．甲、乙的都正确 D．甲、乙的都不正确 【答案】B 【分析】本题考查了代数式的意义，根据甲、乙同学的叙述列出代数式，再进行判断即可求解，理解代数式的意义是解题的关键． 【详解】解：的倍与的和是，所以甲同学叙述错误； 苹果每千克元，香蕉每千克元，苹果和香蕉各买千克的总花费为元，所以乙同学叙述正确； 故选：． 7．（24-25七年级上·山东菏泽·期中）用文字语言表示下列代数式： (1) (2) 【答案】(1)的倍与的倍的和 (2)的平方与、乘积的一半的差 【分析】本题考查了代数式的实际意义，解题的关键是观察代数式的特点． （1）根据代数式的特点求解即可； （2）根据代数式的特点求解即可． 【详解】（1）解：表示：的倍与的倍的和； （2）表示：的平方与、乘积的一半的差． 8．（2024七年级上·山东青岛·专题练习）指出下列各代数式的意义： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 【答案】(1)a的2倍与3的和 (2)a与3的和的x倍 (3)c与a，b的积的商 (4)x与x，y两数的差的商 (5)a与b的和的平方的5倍 (6)5与t的倒数的差 【分析】本题考查了代数式的意义，正确说明意义是解题的关键． （1）结合所对应运算说明意义即可； （2）结合所对应运算说明意义即可． （3）结合所对应运算说明意义即可． （4）结合所对应运算说明意义即可． （5）结合所对应运算说明意义即可． （6）结合所对应运算说明意义即可． 【详解】（1）解：表示a的2倍与3的和． （2）解：表示a与3的和的x倍． （3）解：表示c与a，b的积的商． （4）解：表示x与x，y两数的差的商． （5）解：表示a与b的和的平方的5倍． （6）解：表示5与t的倒数的差． 【考点3】以开放性试题的形式考查列代数式 9．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）试写出一个含的代数式 ，使得当时，代数式的值为． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查代数式，根据题意写出一个符合题意的代数式即可． 【详解】解：这个代数式可以是， 当时，，符合题意， 故答案为：（答案不唯一）． 10．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）请写出一个同时满足下列两个条件的代数式  ①只含字母x；      ②代数式的值恒大于0． 【答案】答案不唯一， 【分析】本题考查了列代数式，代数式的值，实数的非负性，根据非负性列式即可． 【详解】根据题意，得， 故答案为：． 【考点4】用代数式表示数、图形的规律 11．（24-25七年级上·江西宜春·期中）如图，每个图形都由同样大小的小正方形按一定规律组成． 根据图形与等式的关系寻找规律，解答下列问题： (1) ， ，猜想______；（用含的代数式表示结果，不用说明理由） (2)利用（1）的结论，计算：． 【答案】(1)；； (2)7500 【分析】本题考查数字类规律探索，解题的关键是根据已知图形，得出一般规律即可． （1）根据已知图形、等式找出规律，利用规律求解即可； （2）将原式变形为，然后利用（1）中结论进行简便运算即可． 【详解】（1）解：图1中， 图2中， 图3中， …… ， ， 以此类推； （2）解：结合（1）中结论，可知： ． 12．（24-25七年级上·全国·期中）用火柴棒按图中的方式搭图形． 图形 第1个 第2个 第3个 第4个 第5个 火柴棒根数 5 9 13 请解决下列问题： (1)______，______； (2)按照这种方式搭下去，则搭第个图形需要火柴棒的根数为______（用含的代数式表示）； (3)按照这种方式搭下去，求搭第2024个图形需要的火柴棒根数． 【答案】(1)17，21 (2) (3)第2024个图形需要的火柴棒根数为8097根 【分析】此题主要考查了图形的变化类，注意结合图形，发现蕴含的规律，找出解决问题的途径． （1）根据所给图形可得a，b的值； （2）根据（1）的结果可得出规律； （3）把n的值代入（2）的规律式中可求值． 【详解】（1）解：由图④可数出火柴棒的根数为17，故可得， 由图①②③④可得图⑤为：， 故； 故答案为：17；21； （2）解：由（1）可得第．个图形需要火柴棒的根数为， 故答案为：； （3）解：将代入中得：． 即第2024个图形需要的火柴棒根数为8097根， 13．（24-25七年级上·贵州六盘水·期中）先观察下列式子的变形规律： ， ， ， (1)类比思考________； (2)归纳猜想：若为正整数，那么________； (3)运用上面的知识计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，求出相应的式子的值． （1）根据题目中的例子可以解答本题； （2）根据题目中的例子可以写出所求式子相应的结果； （3）根据（2）中的结果可以解答本题． 【详解】（1）解：根据规律可得： ； 故答案为：． （2）解：根据规律可得： ； 故答案为：． （3）解： ． 14．（24-25七年级上·福建泉州·期中）观察下列各式： ， …… 回答下面的问题： (1)直接写出的值是___________； 猜想：___________． (2)根据（1）中的结论，求的值． (3)思维拓展：求的值． 【答案】(1)225； (2)41075 (3)19900 【分析】（1）根据给出的等式寻找规律，得出答案即可； （2）根据例题得到原式等于，再根据规律计算即可； （3）将原式变形为，再对进行计算，最后仿照例题解答即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ∴，； （2）解： ； （3）解： ＝． 【点睛】此题考查有理数的规律计算，能读懂例题，仿照例题依次得到每个算式的计算方法是解题的关键． 15．（24-25七年级上·河南周口·期中）观察式子中的规律，并回答问题． (1)观察发现 ①； ②； ③； ④；……． 式子④中_____，_____； (2)规律提炼 写出第个等式（用含有字母的式子表示）； (3)问题解决 求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查用代数式表示数或式子的规律，有理数的混合运算， （1）观察已知算式即可得结果； （2）观察给出的算式，可得规律； （3）由（2）中的规律将式子中的每一项拆成两项，再进行加减运算即可； 解题的关键是能找到式子的规律：． 【详解】（1）解：④， ∴式子④中，， 故答案为：；； （2）解：由（1）给出的算式可得第个等式：； （3） ． 【考点5】已知字母的值求代数式的值 16．（24-25七年级上·山东菏泽·期中）当，时，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，解题的关键是正确代入数值计算．将，代入代数式中求解即可． 【详解】解：当，时， 17．（24-25七年级上·湖南邵阳·期中）已知互为相反数，互为倒数，，求的值． 【答案】1或 【分析】本题主要考查相反数，倒数，绝对值的性质，代入求值，掌握以上知识的概念及性质，代入求值是解题的关键． 根据相反数，倒数，绝对值的性质可得，分类代入计算即可求解． 【详解】解：互为相反数， ， 互为倒数， ， ， 或， 当时，； 当时，； 的值为1或． 18．（24-25七年级上·重庆·期中）已知，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)2或 (2)或35 【分析】先根据题意，由，得出，． （1）根据，由有理数的乘法运算法则，可知，异号，得出符合条件的，的值，然后再代入计算即可； （2）根据绝对值的非负性质，由，了调查，得出符合条件的，的值，然后再代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ，． ， ，异号， ，或，， 当，时，， 当，时，， 综上所述，的值是2或； （2）解：∵， ， ，， 当，时，， 当，时，， 综上所述，的值是或35． 【点睛】本题考查了代数式求值，绝对值的非负性质，有理数的加减运算，有理数的乘法运算，掌握绝对值的非负性质，有理数的加减运算法则，有理数的乘法运算法则是解题的关键． 19．（24-25七年级上·河南南阳·期中）如果互为相反数（均不为），互为倒数，．求：． 【答案】或 【分析】本题考查了相反数、倒数和绝对值的概念，根据概念得到，代入求值即可． 【详解】解： 由题意可知， 当时 当时 【考点6】已知式子的值求代数式的值 20．（24-25七年级上·贵州毕节·期中）已知有理数满足，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是绝对值非负数的性质，代数式，熟练掌握绝对值的非负性是解本题的关键； 首先根据绝对值的非负性可得，，，即可得的值，然后再将所得值代入中，计算可得答案． 【详解】解：∵，且，，， ∴，，， ∴，，， ∴， ， 21．（24-25七年级上·甘肃定西·期中）【例题呈现】 已知代数式：的值为9，则代数式的值为_______． 【解法呈现】 由题意得，则有， ，所以代数式的值为9． 【方法运用】 (1)若，则代数式______． (2)若代数式的值为15，求代数式的值． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查代数式求值，利用整体代入的思想是解题关键． （1）由题意得，整体代入中求值即可； （2）由题意得，，再整体代入求值即可． 【详解】（1）解：因为， 所以， 所以； （2）解：由题意得，则有， ， 所以代数式的值为． 22．（24-25七年级上·广东佛山·期中）数学中，运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要． 例如：已知：，则代数式． 请你根据以上材料解答以下问题： (1)若，则 ； (2)当，求的值． (3)当时，代数式，当时，代数式的值是多少？ 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】本题考查代数式求值——整体代入法．在求代数式的值时，一般先化简，再把各字母的取值代入求值．有时题目并未给出各个字母的取值，而是给出几个式子的值，这时可以把这几个式子看作一个整体，把多项式化为含这几个式子的代数式，再将式子看成一个整体代入求值．运用整体代换，往往使问题得到简化． （1）对代数式适当变形将整体代入即可； （2）由，得到，对适当变形将整体代入即可； （3）将代入得到，再代入，对所得代数式变形后，整体代入即可． 【详解】（1）解：∵， ， 故答案为：1． （2）解：， ， ． （3）解：∵当时，代数式， ， ， 当时， ． 23．（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）有理数a，b，c，m，n满足下列条件：，且b，c互为相反数，m，n互为倒数． (1)求a，b，c的值； (2)求式子的值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查代数式求值，非负数、相反数、倒数的性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质． （1）根据非负数性质，求出a、b的值，然后根据相反数的性质得到； （2）根据倒数定义得出，再代入计算求出答案即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∵b、互为相反数， ∴； （2）解：∵、互为倒数， ∴， ∴ ． 24．（24-25七年级上·山东德州·期中）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的【探究】． 【提出问题】 两个不为0的有理数a、b满足a、b同号，求的值． 【解决问题】 解：由a、b同号且都不为0可知a、b有两种可能；①a，b都是正数；②a，b都是负数． ①若a、b都是正数，即，，有，，则 ②若a、b都是负数，即，，有，，则，所以的值为2或． 【探究】 请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值； (3)已知，，求的值． 【答案】(1)0； (2)1或； (3)． 【分析】本题考查了阅读理解问题，涉及了绝对值、有理数的混合运算、分类讨论等，熟练掌握相关知识并能运用分类讨论思想是解题的关键． （1）由分2种情况讨论：①，；②，，分别求解即可； （2）由题意得：a，b，c三个有理数都为负数或其中一个为负数，另两个为正数．然后分情况讨论计算即可； （3）由，得，，，再根据得：a，b，c三个有理数中必然是一个为负数，另两个为正数．据此计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴①，；②，， 当，时，，，则； 当，时，，，则， 综上，的值为0； （2）∵，且a，b，c是有理数， ∴a，b，c三个有理数均为负数或其中一个为负数，另两个为正数， ①当a，b，c三个有理数均为负数时，即，，， ∴原式， ②当a，b，c中一个为负数，另两个为正数时，不妨设，，， ∴原式， 综上，的值为1或； （3）∵， ∴，，， ∴ ， ∵，，且a，b，c是有理数， ∴a，b，c中一个为负数，另两个为正数，不妨设，，， ∴原式， ∴的值为． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/12/273:15:34；用户：gaga；邮箱：18376708956；学号：1890771 【考点7】代数式的实际应用 25．（24-25七年级上·河北保定·期中）为了绿化校园，学校决定修建一块长方形空地，空地长，宽，并在空地上修建如图所示的三面宽都相等的小路．余下的长方形（阴影部分）做草坪（草坪长为b）． (1)用含有b的代数式表示小路的宽； (2)请用含b的代数式表示草坪三面临路的总长（图中深色加粗长度），并算出当时总长的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列代数式，代数式求值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合图形特征，得小路的宽，即可作答． （2）根据小路的宽计算出草坪的宽，再求出草坪三面临路的边长的和即可． 【详解】（1）解：依题意，结合图形特征，得小路的宽； （2）解：草坪的宽为， 则草坪三面临路的总长为， 当时，则， ∴当时总长的值为． 26．（24-25七年级上·广东中山·期中）如图，一个零件的横截面是由长方形、正方形、三角形及圆组成的图形（长度单位：）． (1)用式子表示图中阴影部分的面积； (2)当时，求阴影部分面积的值．（，结果保留整数） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列代数式，求代数式的值，解题关键是分析出图形的所有形状，按照各图形面积公式求解即可． （1）分析出图形中由四个图形组成，长方形、正方形，三角形，圆形，很容易用式子表示该图形中阴影部分的面积； （2）把代入（1）中结果计算即可． 【详解】（1）解： ， 答：阴影部分的面积为：， （2）解：当时， 原式 答：零件的横截面积约为． 27．（24-25七年级上·天津北辰·期中）解答下列各题 (1)某地一周内每天的最高气温与最低气温记录如下表： 星期 一 二 三 四 五 六 日 最高气温（℃） 9 7 5 7 最低气温（℃） 1 0 2 ①周六的温差是__________℃； ②一周的平均最低气温是__________℃． (2)比较有理数与的大小； (3)已知，互为相反数，，互为倒数，，求的值． (4)已知一个数比a的7倍小3，另一个数比a的6倍大5，求前一个数减去后一个数的差． 【答案】(1)①；② (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数加减法，倒数，相反数，绝对值，列代数式等相关概念，掌握相关知识的概念是解题的关键． （1）首先根据表格找出周六的最高气温和最低气温作差，再一周的最低气温和，即可求出一周的平均最低气温． （2）根据有理数比较的大小的方法比较即可． （3）根据倒数，相反数的概念可知，，再将其代入式子中计算即可． （4）根据题意，列出代数式，再合并同类项即可． 【详解】（1）周六最高气温为，最低气温为， 周六的温差是， 一周的最低气温的和为， 一周的平均最低气温是． （2） ，， ， ， ． （3） ，是互为相反数， ， 即 ，是互为倒数， ， ， ． （4）根据题意可得，． 28．（24-25七年级上·广西南宁·期中）“惠享双十一”，今年某品牌鞋子利用这个契机进行促销活动． 该品牌为确定一个合适的销售价格进行了5天的试销，每天试销情况如表： 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 售价/（元/双） 100 150 200 250 300 销售量/双 60 40 30 24 20 (1)该品牌鞋子在试销期间，每天的销售额是多少元？ (2)试销期间，每天的销售量是怎样随着售价变化而变化的？ (3)用表示每天售价，用表示每天销售的数量，请用式子表示与的关系．与成什么比例关系？ 【答案】(1)每天的销售额是6000元． (2)每天的销售量随着售价的增多而减少 (3)，反比例关系 【分析】本题主要考查列代数式，反比例关系，读懂题意、弄清量之间的关系是解题的关键． （1）根据销售额、售价、销售量间的关系即可解答； （2）根据表格得出规律即可解答； （3）根据（1）中的数据即可解答． 【详解】（1）解：（元）， （元）， （元）， …… 所以每天的销售额是6000元． 答：该品牌鞋子在试销期间，每天的销售额是6000元． （2）解：根据表格中的数据可得：试销期间，每天的销售量随着售价的增多而减少． （3）解：（元）， （元）， （元）， …… 所以． 所以x与y成反比例关系． 【考点8】程序流程图与代数式求值 29．（2024七年级上·吉林·专题练习）如图是一个简单的数值运算程序． (1)用含x的代数式表示出运算过程； (2)当输入的x值为1时，输出的值是多少？ (3)当输入的x值为时，输出的值是多少？ 【答案】(1) (2) (3)26 【分析】本题考查了列代数式，求代数式的值，解题的关键是正确理解题目所给运算程序的运算顺序． （1）根据题目所给的运算程序，列出代数式即可； （2）将代入（1）中得出的代数式，即可解答； （3）将代入（1）中得出的代数式，即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可得：输出的结果为； （2）解：当时，； （3）解：当时，． 30．（24-25七年级上·陕西西安·期中）如图是一个“数值转换机”的示意图． (1)写出输出结果______（用含x的代数式表示）； (2)填写下表； x 0 1 2 输出 【答案】(1) (2)13，4，1，4，13 【分析】本题主要考查了代数式求值与程序流程图，正确列出对应的代数式是解题的关键． （1）根据程序流程图列出对应的代数式即可； （2）根据（1）所求，分别将x的值代入代数式即可得出输出值． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：当时，； 当，； 当，； 当，； 当，； 填表如下 x 0 1 2 输出 13 4 1 4 13 31．（24-25七年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）有三种运算程序如下图所示，按要求完成下列各题： (1)如图，当输入数时，输出数_____； (2)如图，第一个带？号的运算框内，应填_____；第二个带？号的运算框内，应填_____；第三个带？号的运算框内，应填_____． (3)如图，当输入时，则输出结果为_____． 【答案】(1) (2)，， (3) 【分析】（1）利用图中公式计算得出答案； （2）利用最后的代数式推出空格中的式子； （3）根据图中计算公式及判断条件分别计算得出答案． 【详解】（1）解：如图，当输入数时，输出数， 故答案为：； （2）解：第一个带？号的运算框内，应填：， 第二个带？号的运算框内，应填：， 第三个带？号的运算框内，应填：， 故答案为：，，； （3）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， 输出结果为：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了程序流程图与有理数计算，有理数四则混合运算，代数式表示的实际意义，程序流程图与代数式求值等知识点，看懂程序流程图并得出正确信息是解题的关键． 32．（24-25七年级上·全国·课后作业）在数值转换机示意图的方框中，填入转换步骤． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是列代数式，理解先算什么，后算什么是解题关键．根据流程图，结合有理数运算法则分析即可． 【详解】解：根据数值转换机示意图可知， 输出，应先算括号内，再算与的乘积； 输出，应先算括号内，再算平方，然后算与2的乘积，最后计算． 即转换步骤为： 【考点9】与代数式求值有关的新定义问题 33．（24-25七年级上·广东东莞·期中）已知：，． (1)若，，求的值． (2)若，定义一种运算“▲”：，求的值． (3)若、互为倒数，、互为相反数，是最大的负整数，求 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了有理数的混合运算，倒数，相反数以及绝对值、求代数式的值，熟练掌握有理数运算法则是解本题的关键． （1）利用绝对值的代数意义求出与的值，代入代数式计算即可求值； （2）把的值代入定义的算式中即可求解； （3）先求出，再代入代数式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ， ； （3）解：根据题意得：， 当时， 原式， 当时， 原式． 34．（24-25七年级上·北京大兴·期中）对于有理数，我们给出如下定义：若满足，则称为“和谐有理数对”，记为．例如：，数对是“和谐有理数对”． (1)数对，其中是“和谐有理数对”的是_________； (2)若是“和谐有理数对”，求的值； (3)若是“和谐有理数对”，则________(填“是”或“不是”)“和谐有理数对”，说明你的理由． 【答案】(1) (2)7 (3)是，理由见解析 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算和新定义，代数式求值； （1）先分别求出各组数据中的和的值，然后根据已知条件中的新定义解析判断即可； （2）先根据新定义，列出关于的等式，求出的值，再利用整体代入求出答案即可； （3）先根据已知条件和新定义，求出关于，的等式，然后再求出当，时，和，进行判断即可． 【详解】（1）解：当，时， ，， ， 是“和谐有理数对”； 当，时， ， 不是“和谐有理数对”； 当，时， ， 是“和谐有理数对”； 故答案为：． （2） 是“和谐有理数对”， ， ， ， ， ； （3）是“和谐有理数对”，理由如下： ，是和谐有理数对， ， 当，时， ，， 是“和谐有理数对”， 故答案为：是． 35．（2024七年级上·全国·专题练习）定义：对于一个数，我们把称作的相伴数；如果，那么就有；如果，那么．例：． (1)求、的值； (2)若，，求的值； (3)若，当，试求代数式的值． 【答案】(1)0 (2)或0 (3) 【分析】本题主要考查了代数式求值． （1）根据所给新定义进行列式计算可以得解； （2）根据所给新定义进行分类讨论，求出，后代入计算可以得解； （3）依据题意，由，且，从而可分两种情形：①，②，，进而求出后即可判断得解． 【详解】（1）解：， ； （2）解：当时，， ； 当时，， ； 当时，， ； 当时，，解得，不合题意； 当，时，； 当，时，； 或0； （3）解：，且， ，不能同号，即，异号， 可分两种情形： ①当，时， ，， ， ，； 原式； ②当，时， ，， ， ，， 原式． 综上所述：代数式的值为． 36．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）定义：在数轴上，若点P到点A的距离是2，则称点P为点A的“开心点”；若点P到点M、N的距离之和为5，则称点P为点M、N的“高兴点”． 【初步应用】 （1）若点P为点A的“开心点”，点A表示的数是3，则点P表示的数是_________； （2）若点P为点M、N的“高兴点”，点M表示的数是，点N表示的数是3，则点P表示的数可以是________（填一个满足要求的数即可）； 【深入理解】 （3）若点A表示的数是，点B表示的数是3，点C表示的数是，一只电子蚂蚁P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，求经过多少时间电子蚂蚁P是点A、B的“高兴点”？ 【答案】（1）1或5；（2）；（3）或秒 【分析】此题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上动点问题，绝对值的意义等知识，解题的关键是掌握数轴上两点之间的距离的表示方法． （1）根据两点间距离求解即可； （2）根据题意得到点P到点M、N的距离之和为5，然后求出点M到点N的距离为，得到点P在点M和点N之间，进而求解即可； （3）首先得到点P表示的数为，然后根据题意得到，整理得到，然后分三种情况讨论求解即可． 【详解】解：（1）∵点P为点A的“开心点”，点A表示的数是3， ∴点P表示的数是或， 故答案为：1或5； （2）∵点P为点M、N的“高兴点”， ∴点P到点M、N的距离之和为5， ∵点M表示的数是，点N表示的数是3， ∴点M到点N的距离为 ∴当点P在点M和点N之间时，点P到点M、N的距离之和为5， ∴点P可以为（答案不唯一）； （3）根据题意得，点P表示的数为 ∵P是点A、B的“高兴点” ∴ ∴ ∴ ∴ ∴当时，，解得； 当时，，方程无解； 当时，，解得； 综上所述，经过秒或秒电子蚂蚁P是点A、B的“高兴点”． 37．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期中）我们定义：若两个有理数的积等于这两个有理数的和，则称这两个数互为“友好数”．如：有理数与，因为，所以与5互为“友好数”． (1)①判断与是否互为“友好数”，并说明理由． ②求的“友好数”为 ． (2)若有理数a与b互为“友好数”，b与c互为相反数，求代数式的值． 【答案】(1)①与3不是互为“友好数”，理由见解析② 2 (2) 【分析】本题考查有理数的计算，代数式求值： （1）根据“友好数”的定义，进行作答即可； （2）根据题意，得到，利用整体代入法进行求值即可． 【详解】（1）解：①与3不是互为“友好数”，理由如下： ∵，，， ∴与3不是互为“友好数”；           ②∵ ∴2的“友好数”为2； 故答案为：2； （2）∵有理数a与b互为“友好数”，b与c互为相反数， ∴， ∴ ． 【考点10】与代数式求值有关的材料阅读类问题 38．（24-25七年级上·河南周口·期中）综合与探究 问题情境： 如图1，数轴上有四点，它们表示的数分别是．    易知点间的距离可以表示为，点间的距离可以表示为，点间的距离可以表示为． 数学思考： (1)若两点在数轴上表示的数分别是，则两点间的距离可以表示为 ．（用含的代数式表示） 深入探究： (2)如图2，若点在数轴上表示的数分别为，点P在数轴上表示的数为，为整数且满足条件，求的值．    (3)如图3，某工厂流水线（点C表示的数为，点D表示的数为1）上依次排列的6个工作台（包括点）．每个工作台只有一名工人，现要在流水线上设置一个工具台方便工人拿取工具，工具台表示的数为整数，假如设置工具台的位置刚好使这6名工人到工具台的路程之和最小，请直接写出这个最小路程之和．    【答案】(1) (2)5或11 (3)9 【分析】（1）根据数轴上两点间的距离，结合绝对值的几何意义，即可求解； （2）由题意，易知，结合题意分类讨论点P的位置，即可求解； （3）根据题意，分类讨论工具台的位置代表的数，结合数轴上两点间的距离，即可求解． 【详解】（1）由题意得，两点间的距离可以表示为； （2）由（1）可知，，，所以． 因为两点之间的距离为， 所以点P不在之间． 当点P在点N的右侧时，即时， 因为， 解得， 所以点P表示的数为4， 所以． 当点P在点M的左侧时，即时， 因为， 解得， 所以点P表示的数为． 所以． 综上所述，的值为5或11； （3）当工具台设置在表示的数为时，6名工作人员所走的路程和为． 当工具台设置在表示的数为时，6名工作人员所走的路程和为， 当工具台设置在表示的数为时，6名工作人员所走的路程和为， 当工具台设置在表示的数为时，6名工作人员所走的路程和为， 当工具台设置在表示的数为0时，6名工作人员所走的路程和为， 当工具台设置在表示的数为1时，6名工作人员所走的路程和为， 所以当工具台设计在表示的数为或的位置时，6名工人所走的路程之和最小，最小路程之和为9． 39．（24-25七年级上·山东济南·期中）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，初中数学里的代数公式，很多都可以借助几何图形进行直观推导和解释． 【方法初探】 （1）例如：求…的值（其中是正整数）．方案如下：如图，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为，，，…，个小圆圈排列组成的．而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子的值．为求式子的值，现把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形．此时，组成平行四边形的小圆圈共有 行，每行有 个小圆圈，所以组成一个三角形小圆圈的个数为 ； 【探索归纳】 （2）下面我们将利用数形结合尝试求的值（其中是正整数）．请你仔细观察图，找出图形与算式之间的关系，解决下列问题： ①探索规律：根据前面的规律，第（）个图形可以表示的等式为 ； ②归纳结论：则 （结果用含n的代数式表示）； 【拓展应用】 （3）求的值． 【答案】（1），，；（2）①；②；（3）． 【分析】本题考查数字规律探究，利用数形结合，探究出规律是解题的关键． （1）根据平行四边形的面积公式列式即可得解； （2）①根据前四个图总结规律即可得解；②根据①中的等式总结规律即可得解； （3）根据（1）（2）中的结论求解即可． 【详解】解：（1）把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形．此时，组成平行四边形的小圆圈共有行，每行有个小圆圈， ∴组成一个三角形小圆圈的个数为， 故答案为：，，； （2）①∵由第图形得， 由第图形得， 由第图形得， 由第图形得， ∴第（）个图形可以表示的等式为， 故答案为：； ②∵， ， ， ， ， ∴， 故答案为：； （3）； 过关检测 1．（24-25七年级上·河南驻马店·阶段练习）在1，，3，，中任意取两个数相乘，最大的积为a，最小的积为b． (1)求的值． (2)若，求：的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的乘法，解题的关键是熟练掌握有理数的乘法法则和绝对值的性质． （1）根据有理数的乘法法则得出，的值，代入计算可得； （2）将，的值代入，根据非负数的性质得出，的值，继而代入计算可得． 【详解】（1）解：根据题意知，， 所以； （2）解：知，， 由题意知， 则且， 解得，， ． 2．（24-25七年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，某市计划在一块长方形的市民广场空地上建造一个特色徽剧表演台（阴影部分）． (1)请用代数式表示特色徽剧表演台的面积（化为最简结果）． (2)如果修建表演台的费用为元，且，那么修建特色徽剧表演台需要费用多少元？ 【答案】(1) (2)72000元 【分析】本题考查列代数式、代数式求值以及整式的加减，解题的关键是明确题意，列出相应的代数式，会求代数式的值． （1）根据图形列出算式，再进一步化简求解即可； （2）先根据化简后的代数式求出表演台的面积，再乘以单价即可得出答案． 【详解】（1）解：特色徽剧表演台的面积 ． （2）解：当时， ， 所以修建特色徽剧表演台需要费用（元）． 3．（24-25七年级上·江西吉安·期中）如图1是永新某楼盘户型图，图2是户型图的简图．相当于边长为的正方形纸片，减去两个小长方形（虚线部分）再加上一个小长方形（左上部分）得到一个户型图，设减去的右下角的小长方形的长和宽分别为、2，左下角的小长方形的长和宽分别为、1，左上角的小长方形长和宽分别为，1． (1)用含、的式子表示户型图的面积为__________；（结果必须化简） (2)用米，米时，求该户型图图形面积的值．设小区物业费收费标准是按该户型图图形面积每个月一个平方米1.5元，请问这个户型一年要交多少物业费？ 【答案】(1) (2)面积为106平方米，物业费为元． 【分析】考查了列代数式，代数式求值，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系是解答本题的关键． （1）根据图形，用正方形的面积减去两个长方形的面积加上一个长方形的面积，列式整理即可； （2）把米，米的值代入代数式进行计算即可得解． 【详解】（1）解：根据图形有：， 故答案为：； （2）米，米时， 平方米， ∴物业费为：元， 即面积为106平方米，物业费为元． 4．（24-25七年级上·浙江温州·期中）在一节学习《代数式》的数学活动课上，老师让同学们互相给对方出一些与代数式有关的题目，于是，小温给她的同桌小周出了以下两个问题，请你帮助他完成吧： (1)用代数式表示的平方的倍与的差： ． (2)当，时，求该代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了代数式，解题的关键是理解题意． （1）根据题意写出代数式即可； （2）将，代入代数式中计算即可． 【详解】（1）解：的平方的倍与的差为， 故答案为：； （2）当，时， ， ， ， ． 5．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）已知关于x，y的单项式与（m是有理数）的次数相同． (1)求m的值，并求出两个单项式的系数分别是多少； (2)若x是的倒数，1与互为相反数，求单项式的值． 【答案】(1)，单项式的系数为，单项式的系数为； (2)． 【分析】本题考查代数式求值、单项式的次数和系数，解一元一次方程，掌握单项式的次数的定义、倒数的定义及相反数的性质是解题的关键． （1）根据单项式的次数的定义列关于的方程并求解即可； （2）根据倒数的定义及相反数的性质求出和的值并代数单项式求值即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， ∴单项式的系数为：， 单项式的系数为：； （2）解：∵x是的倒数，1与互为相反数， ∴，， ∴． 6．（24-25七年级上·福建厦门·期中）已知长方形的面积不变，相邻的两边长分别用x和y表示（如下表）． x 10 25 40 … y 20 12 3 … (1)请把表格填写完整； (2)从表格可看出，长方形的一边长y随着它的另一边长x的变大而 ；（填“变大”或“变小”） (3)用式子表示y与x之间的关系，y与x成什么关系？ ； ； (4)若长方形的一边长x增大2，则它的另一边长y如何变化？（请列代数式说明） 【答案】(1)见解析 (2)变小 (3)，反比例 (4)． 【分析】本题考查了列代数式． （1）根据长方形的面积公式填表即可； （2）根据表格数据即可看出结论； （3）根据长方形的面积公式列式，即可求解； （4）长方形的面积不变为120，x增大后边长为，根据长方形的面积公式即可列式． 【详解】（1）解：填写表格如下； x 6 10 25 40 … y 20 12 4.8 3 … （2）解：从表格可看出，长方形的一边长y随着它的另一边长x的变大而变小； 故答案为：变小； （3）解：由题意得，即， y与x成反比例关系， 故答案为：，反比例； （4）解：若长方形的一边长x增大2，即一边长为， 则它的另一边长． 7．（24-25七年级上·河北保定·期中）唐山某初中数学小组在学完“整式的加减”章节后展开了交流，请你仔细阅读． 试题：求代数式的值，其中，． 嘉嘉：把，直接代入原来的代数式求值； 琪琪：把原代数式先进行常规去括号化简，然后再代数求值； 珍珍：我想到了在多项式的化简与求值中应用广泛的“整体思想”：把看成一个字母a，这个代数式可以简化为，之后化简就容易很多． (1)请按照题干中琪琪的思路将原代数式进行化简；（只化简不求值） (2)请按照题干中珍珍的思路求原代数式的值； (3)填空：①已知，则的值为________； ②已知，，，则的值为________． 【答案】(1) (2) (3)①2，② 【分析】本题考查了整式的加减运算，化简求值，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先去括号再合并同类项，即可作答． （2）依题意，把看成一个字母a，原式，再把，最后把，代入，进行计算，即可作答． ①先把原式化简得，再把代入进行计算，即可作答． ②先由，，，得出，再把原式去括号合并同类项得，即可作答． 【详解】（1）解：依题意， ； （2）解：依题意，把看成一个字母a， ， 把代入，得， 把，代入， 得． 故答案为：； （3）解：①依题意， ∵， ∴； 故答案为：2； ②依题意， ∵，， ∴， 即， ∵， ∴， 即， ， 故答案为：． 8．（24-25七年级上·天津·期中）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律．如数轴上点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离表示为． 【综合运用一】如图，数轴上点E表示为，点F表示为2． （1）线段的长度是______． （2）若x表示任意一个有理数．利用数轴回答下列问题： ①当，则______． 式子是否存在最小值？若不存在，请说明理由；若存在，请直接说出x的取值范围，并化简求出最小值？ 【综合运用二】已知点A、B、C为数轴上三个点，表示的数分别是a，b，c，满足，且a为的倒数． （1）______，______，______； （2）若动点P从点A出发沿数轴正方向运动，动点Q同时从点B出发也沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度．设运动的时间为t秒（）． ①用含t的式子表示：t秒后，点P表示的数为______，点Q表示的数为______； ②当时，求t的值． （3）在（2）的条件下，P、Q出发的同时，动点M从点C出发沿数轴正方向运动，速度为每秒5个单位长度，点M追上点Q后立即返回沿数轴负方向运动．求点M追上点Q后再经过几秒，？ 【答案】综合运用一：（1）5；（2）①或3；②当时，取得最小值，最小值为5； 综合运用二：（1），13，7；（2）①，；②或6；（3）秒或2秒 【分析】综合运用一：（1）根据两点间的距离公式即可求解； （2）根据的几何意义即可解答； 综合运用二：（1）根据平方和绝对值的非负性，倒数的定义即可解答； （2）①根据题意直接列出代数式即可； ②由，结合两点间的距离公式即可得到关于t的方程，求解即可； （3）点M未追上点Q时，表示出点M表示的数，根据点M追上点Q时，点M，Q表示的数相同，可求出运动的时间和此时点M表示的数，从而可求出点M返回沿负方向运动时所表示的数，根据两点间的距离公式，根据可列出方程，求解即可． 【详解】解：综合运用一： （1）∵点E表示为，点F表示为2， ∴； 故答案为：5 （2）①∵点E表示为，点F表示为2， 数轴上到点E的距离和到点F的距离之和为7的点表示的数是或3， ∴当时，或3； 故答案为：或3 ②∵是指表示x的点到点E的距离与到点F的距离之和， 由数轴可得，当表示x的点位于点E，F之间时，它们的距离之和为线段的长，此时它们的距离之和最小， ∴当时，取得最小值，最小值为5； 综合运用二： （1）∵a为的倒数， ∴， ∵，，且， ∴，， ∴，． 故答案为：，13，7 （2）①当运动t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为． 故答案为：， ②当时，， ∴， 解得或6 （3）点M未追上点Q时，点M表示的数为， 当点M追上点Q时，， 解得， 即当它们运动2秒时，点M追上点Q，此时点M表示的数为， ∵点M追上点Q后立即返回沿数轴负方向运动， ∴点M表示的数为， 当时， ∴， 解得或， ∴，， ∴点M追上点Q后再经过秒或2秒， 【点睛】本题考查绝对值的几何意义，列代数式，数轴上两点间的距离，一元一次方程解决实际问题，掌握绝对值的几何意义，熟练运用方程思想是解题的关键． $$