复习专题02 有理数的运算（8重点串讲+13考点提升+过关检测）-【寒假自学课】2025年七年级数学寒假提升精品讲义（人教版2024）

专题02 有理数的运算 考点聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 知识点1：有理数的加法 有理数加法运算法则： 1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加. 即:若a＞0,b＞0,则；若a＜0,b＜0,则. 2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 3）互为相反数的两个数相加和为0. 4）一个数与0相加，仍得这个数. 有理数加法运算率： 加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，和不变.即 加法结合律 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.即 注意：运用加法交换律交换加数的位置时，一定要带着性质符号一起交换. 知识点2：有理数的减法 有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数.即： 有理数的减法口诀：两变一不变.（两变指：减数变相反数，减法变加号；一不变指：被减数不变） 有理数加减法的应用的解题思路：有理数加减法在实际问题中的应用本质上是列式计算问题，解题时要抓住事物的本质，弄清是要求各数之和还是各数的绝对值之和. 知识点3：有理数的乘法 有理数乘法运算法则：1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. 2）0与任何数相乘都得0. 【补充】任何数与1相乘都等于它本身，任何数与－1相乘都等于它的相反数. 有理数乘法运算率： 乘法交换律 两个数相乘，交换因数的位置，积相等.即 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等.即 乘法分配率 一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加. 即 【补充】1）使用乘法分配律时,切勿漏乘某项. 2）用乘法交换律交换因数的位置时，要连同性质符号一起交换. 知识点4：有理数的除法 有理数除法运算法则：1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b=a×（b≠0）. 2）两数相除，同号结果为正，异号结果为负，并把绝对值相除. 有理数的加减乘除混合运算运算顺序：无括号时，先乘除，后加减，有括号的先计算括号里面的(一般先算小括号，再算中括号，最后算大括号).同级运算中，按照从左至右的顺序计算. 知识点5：有理数的乘方 定义：求n个相同因式的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂.在中，a叫做底数，n叫做指数.读作“a的n次方（或a的n次幂）”. 乘方的意义：表示n个a相乘，即. 知识点6：有理数的混合运算 运算顺序：1）先算乘方，再算乘除，最后算加减； 2)同级运算，从左到右依次进行； 3)如果有括号，就先算括号里面的，按照小括号、中括号、大括号依次进行. 【补充】加和减属于运算中的第一级运算，级别是最低的，通常放在最后面计算；乘和除属于运算中的第二级运算，级别中等，运算顺序高于加和减；而乘方和开方则属于第三级运算，级别较高，通常是最优先计算的（如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，在同一级运算中，要从左至右进行运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算）. 知识点7：科学记数法 定义：把一个绝对值大于10的数表示为（其中1≤|a|＜10，n为正整数），这种记数法叫做科学记数法． 【补充】 1）用科学记数法表示数时，不改变数的符号，只是改变数的书写形式而已，可以方便地表示日常生活中遇到的一些很大或很小的数. 2）一个负数也可以用科学记数法表示. 知识点8：近似数 准确数：在日常生活或生产实际中，能准确地表示一些数的量，成为准确数. 近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个数的近似数. 精确度：近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 【补充】对于带单位的数或用科学记数法表示的近似数，a的末位数字在还原后的数中是哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 有效数字的概念：从左边第一位非0的数字到精确数位的所有的数字.例：0.012有两个个有效数字：1,2；3.6万有两个有效数字：3,6；有四个有效数字：4,3,6,0. 考点剖析 【考点1】有理数的加减混合运算 1．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）计算题： (1)； (2)． 2．（24-25七年级上·河南洛阳·期中）数轴上两点之间的距离等于这两点所表示数的差的绝对值，也就是等于较大的数减去较小的数所得的差，如图，，，． (1)数轴上点，表示的数分别为和1，则线段_____； (2)数轴上点，表示的数分别为和，则线段_____； (3)数轴上的两个点之间的距离为5，其中一个点表示的数为2，另一个点表示的数为，求的值． 3．（24-25七年级上·广东中山·期中）分类讨论式子的不同结果． 4．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）【阅读理解】小明发现，不计算结果，也可根据绝对值的性质去掉绝对值符号，如：；；；． 【尝试应用】根据上述规律，去掉下列各式的绝对值符号： （1）______； （2）______； 【深入研究】有理数、在数轴上的位置如图所示，则______； 【解决问题】用简便的方法计算： 【考点2】有理数的加法运算律 5．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：． 6．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【考点3】有理数加减法的简便运算 7．（2024七年级上·全国·专题练习）高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算 “从到这个正整数的和”，许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，并且容易出错，聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程： 解：设，① 则，② ，得 ． ，，③ ． 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法” (1)请你运用高斯的“倒序相加法”计算：； (2)请你认真观察上面解答过程中的③式及你运算过程中出现类似的③式，猜想___________（用含的代数式表示）； 8．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）阅读例题的计算方法． 例：计算：． 解：原式 ． 上面这种解题方法叫做拆项法． (1)计算：； (2)计算：． 9．（2024七年级上·全国·专题练习）规律探究： 计算：； 如果一个个顺次相加显然太烦琐，我们仔细观察这个式子的特点，发现运用加法的运算律可简化计算，提高计算速度． . 计算： (1)； (2). 10．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 11．（24-25七年级上·河南周口·阶段练习）阅读下面的解题过程，并解决问题． 计算：． 解：原式① ② ③ ． (1)第①步经历的变形有_______________，体现了数学中的转化思想，为了计算简便，第②步应用的运算律是_________________； (2)根据以上解题技巧进行计算：． 【考点4】有理数加减法的实际应用 12．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）“十一”黄金周期间，小明与同学相约外出游玩，妈妈给了他元微信零花钱，如图是他微信钱包零钱明细的截图，请你解决如下问题（假设他初始余额为）： 零钱明细 微信红包—来自妈妈 扫二维码付款—给奶茶店 扫二维码付款—给便利店 红包—来自小华 扫二维码付款—给超市 扫二维码付款—给蛋糕店 滴滴出行 红包—来自小林 (1)截图中哪一笔支出费用最大，最大费用为多少？ (2)小明回家后想起来误删了一条景点门票的交易记录，他微信最终显示余额为元，请帮他计算出景点门票价格． 13．（24-25七年级上·贵州铜仁·期中）暑假期间沿河安监局为预防未成年人溺水事故的发生，每天安排一名工作人员在沿河六完小至沙陀电站之间巡逻，工作人员骑摩托车在河堤上巡逻．某天他从A码头出发，晚上停留在B码头处，规定上游沙陀电站为正方向，下游六完小为负方向，当天行驶情况记录如下（单位：千米）：，，，，，，， (1)B码头在A码头的上游还是下游？距离A码头多远？ (2)若摩托车每行驶1千米消耗燃油a升，这一天共消耗燃油多少升？（用含a的式子表示） 14．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续七天记录了新车每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（） (1)请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ (2)已知小明家原来的汽油车每行驶需用汽油升，汽油价元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为度，每度电为元，请计算小明家换成新能源汽车后这七天的行驶费用比使用原来汽油车节省多少钱？ 15．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）如图，甲、乙两人(看成点)分别在从数轴上表示和9的点的位置开始，沿数轴做移动游戏．每次移动游戏规则：两人先进行“石头、剪刀、布”，而后根据输赢结果进行移动． ①若平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度； ②若甲赢，则甲向东移动3个单位长度，同时乙向东移动1个单位长度； ③若乙赢，则甲向西移动1个单位长度，同时乙向西移动3个单位长度． 前三局结果如下表(提示：剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀)： 第一局 第二局 第三局 … 甲的手势 石头 剪刀 石头 … 乙的手势 石头 布 布 … (1)从如图的位置开始，第一局后甲乙两人相距 个单位长度； (2)从如图的位置开始，从前五局来看，甲一平两胜两负，这五局游戏结束后，乙离原点的距离为 ． (3)从如图的位置开始，若进行了k局游戏后，甲与乙的位置相距3个单位长度，直接写出 ． 16．（2024七年级上·全国·专题练习）某股票上周五的收盘价为元，本周此股票每日的涨跌情况如下表： 某股票一周涨跌情况表（单位：元） 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 （当天的收盘价高出前一个交易日的收盘价元记作元；当天的收盘价低于前一个交易日的收盘价1.5元记作元．） (1)本周星期四此股票的收盘价是多少？ (2)若本周星期五此股票的收盘价为元，求的值，并说明星期五此股票是涨了还是跌了，涨或跌了多少元？ 【考点5】有理数的乘除混合运算 17．（24-25六年级上·上海长宁·阶段练习）计算： 18．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 19．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1) ； (2) ； (3) ． 【考点6】有理数四则运算的简便运算 20．（24-25七年级上·山东菏泽·期中）阅读下列材料： 计算：． 解法一：原式； 解法二：原式； 解法三：原式的倒数为， 故原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，则解法 是错误的； (2)请你运用合适的方法计算：． 21．（24-25七年级上·河南开封·开学考试）脱式计算．（怎样算简便就怎样算） (1) (2) (3) (4) 22．（22-23七年级上·江苏南通·阶段练习）计算（能用简便方法的要用简便方法）： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【考点7】有理数混合运算的实际应用 23．（24-25七年级上·江苏常州·期中）2022年，为了获取世界最高峰珠穆朗玛峰的臭氧、二氧化氮等相关大气数据，珠峰大气与人体健康科考分队在珠峰大本营附近进行观测设备安装任务，该科考队5名队员以珠峰大本营为基地，到距离大本营有一定距离，且相对大本营海拔为米的某山峰山顶去安装观测设备，假设海拔上升为正，海拔下降为负，经过一段时间的行进，领队的海拔记录仪上海拔变化数据如下（单位：米）： ，，，，，，，，，． (1)请问他们有没有登上该山峰顶峰？如果没有登上顶峰，他们与该测量山峰顶峰还有多少米海拔差距？ (2)登山时，由于每人都带着比较重的测量仪器，所以5名队员全程都在使用了氧气，若海拔每人每上升或下降50米消耗氧气平均为升，求该科考队此刻共消耗了多少升氧气？ 24．（24-25六年级上·山东泰安·期中）随着人们生活水平的提高，家用轿车越来越多地进入家庭，小明家中买了一辆小轿车，他连续记录了7天中每天行驶的路程（如表），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（） 0 (1)这七天中，行程最多的一天比行程最少的一天多行驶了多少？ (2)这7天小明家一共行驶了多少？ (3)若每天行驶需用汽油6升，请计算小明家这7天消耗汽油多少升？ 25．（24-25七年级上·全国·期中）如图，小天有5 张写着不同数字的卡片，请你按照要求抽出卡片，解决下列问题． (1)从中抽出2张卡片，使这2张卡片上的数字相除的商最小，应如何抽取? 最小值是多少? (2)从中抽出三张卡片，使得三张卡片中，两张上的数字先乘，再除以第三张上的数字所得的结果最大，应如何抽取? 最大值是多少? 26．（24-25七年级上·浙江温州·期中）如图，小李在某运动中设定了每天的步数目标为8000步，该用目标线上方或下方的柱状图表示每天超过或少于目标数的步数，例如周二，小李少于目标步数600步． (1)这5天中，步数最多的是周_______，步数最少的是周_______，步数相差_______步． (2)小李这5天平均每天的步数是多少？ (3)小李运动时，每1000步消耗热量约为50卡，请估计该显示的小李这5天运动消耗的总热量． 【考点8】含乘方的有理数的混合运算 27．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）计算： (1) (2)． 28．（24-25六年级上·上海长宁·阶段练习）计算：． 29．（24-25七年级上·全国·期末）计算： (1) (2) (3) (4) 【考点9】有理数混合运算的实际应用 30．（24-25七年级上·广东深圳·期中）小张准备新开一家拉面馆，选址后对这一地区的人流量进行统计，以100人为标准，超过记为正，低于记为负，一周内同一时间的人流量如表： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 人数 (1)这一周人数最多的一天比人数最少的一天多________人． (2)若这些人中有的人来吃面，按照每人一碗，每碗面14元，则平均每天的销售额是多少？ (3)拉面师傅拉面条时，将一根很粗的面捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条，拉成了许多根细的面条，拉面师傅一般拉8次可做一碗拉面，求一碗拉面有多少根？ (4)据报道，在南京的一个美食节上，一个师傅用面粉拉出了约100万根面条，请问这个师傅拉出约100万根面条大概需要拉________次．（已知..） 31．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）科技改变生活，当前网络销售日益盛行，许多农商采用网上销售的方式进行营销，实现脱贫致富．“清风谷”农场把猕猴桃放到网上销售，计划每天销售100千克，但实际每天的销售量与计划销售量相比有增减．下表是农场第一周猕猴桃的销售情况（超过计划销售量的千克数记为正数，不足计划销售量的千克数记为负数）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 猕猴桃销售情况（单位：千克） (1)农场第一周销售猕猴桃最多的一天比最少的一天多销售多少千克？ (2)农场第一周销售猕猴桃的总量是多少千克？ (3)若农场按8元/千克销售猕猴桃，平均运费为3元/千克，则农场第一周销售猕猴桃一共收入多少元（收入销售额运费）？ 32．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）萝卜快跑是由百度推出的无人驾驶出租车服务品牌，日前在北京、武汉等个城市开展服务与测试．某天下午，萝卜快跑的某辆无人驾驶出租车的营运路线全是在东西走向的大街上进行的．如果规定向东为正，向西为负，这辆车这天下午载客行车里程（单位：km）如下：，，，，，． (1)最后一次营运结束时，这辆无人驾驶出租车距离下午出发时的出发地有多远？ (2)萝卜快跑的计费标准为：不超过km，收费元；超过km的部分，按元/km收费，则这辆车这天下午前三次营运的收入共多少元？ 33．（24-25七年级上·福建泉州·期中）综合与实践 在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略． 【洗衣过程】 步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干； 步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标． 假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为，每次拧干后校服上都残留水． 浓度关系式：．其中、分别为单次漂洗前后校服上残留洗衣液浓度；为单次漂洗所加清水量（单位：）． 【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于． 【动手操作】请按要求完成下列任务： (1)如果只经过一次漂洗，只用清水，是否能达到洗衣目标？ (2)如果把清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？ (3)比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法． 【考点10】以注重过程性学习的形式考查有理数的混合运算 34．（24-25七年级上·江西·阶段练习）阅读下列材料： 计算：． 淇淇：原式． 嘉嘉：原式． (1)你认为______的解法是错误的，错误的原因是__________________． (2)请你选择合适的解法计算：． 35．（24-25七年级上·广东东莞·阶段练习）小丽同学做一道计算题的解题过程如下： 解：原式…………第一步 …………第二步 …………第三步 …………第四步 根据小丽的计算过程，回答下列问题： (1)小丽在进行第一步时，运用了乘法的______律； (2)她在计算中出现了错误，其中你认为在第______步开始出错了，因为 ； (3)请你给出正确的解答过程． 36．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）小明做了如下一道有理数混合运算，在检查时发现有错误． 解：原式  ……第一步     ……第二步     ……第三步 (1)小明在第______步开始出现错误； (2)请给出该题的正确解答． 【考点11】与有理数运算有关的新定义问题 37．（24-25七年级上·河北保定·期中）已知a，b是有理数，且． (1)分别求a，b的值； (2)借助有理数的运算，嘉嘉定义了一种关于有理数m，n的新运算“#”：，例如：． ①求的值； ②淇淇想利用计算探究这种新运算“#”是否具有交换律（即与的值是否相等）？请你根据（1）中a，b的值进行判断． 38．（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）若，为有理数，我们定义新运算“※”使得※如． (1)求的值； (2)求的值． 39．（24-25七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）在学习完《有理数》后，小明对有理数运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：（a、b不相等） (1)_____； (2)求的值； (3)试以和说明，新定义的运算“”满足交换律吗？ 40．（2024七年级上·全国·专题练习）新定义运算：如果，，，则叫做以为底的对数，记作，例如：因为，所以；因为，所以． (1)填空： ， ； (2)如果，求的值； (3)若，求的值． 【考点12】用科学记数法表示有理数 41．（24-25七年级上·河南周口·期中）现需要将长为，宽为，高为的大理石运往某地修建革命历史博物馆． (1)求每块大理石的体积．（结果用科学记数法表示） (2)如果一列火车总共运送了2000块大理石，每块大理石约重3500千克，估计这列火车总共运送了多少吨大理石． 42．（2024七年级上·全国·专题练习）下列是用科学记数法表示的数，原数是什么？ ，． 43．（24-25七年级上·黑龙江·课后作业）有关资料表明，一个人在一次刷牙过程中如果一直打开水龙头，将浪费大约8杯水（每杯水约0.25升）．某地区总人口约2000000人，如果该地区所有的人在刷牙过程中都不关水龙头，那么一次刷牙过程共浪费多少杯水？约多少升？（用科学记数法表示） 44．（2024七年级上·全国·专题练习）已知的氢气质量约为，请用科学记数法表示下列计算结果： (1)求一个容积为的氢气球所充氢气的质量； (2)一块橡皮重，这块橡皮的质量是的氢气质量的多少倍？ 【考点13】近似数 45．（2024七年级上·全国·专题练习）用四舍五入法，按括号内的要求对下列各数取近似数： (1)2.604（精确到十分位）； (2)40353（精确到百位）； (3)0.0234（精确到0.01）； (4)1.81万（精确到万位）． 46．（24-25七年级上·全国·课后作业）用激光技术测得地球和月球之间的距离为377985654.32米，请按要求分别取得这个数的近似值并用科学记数法表示． (1)精确到千位； (2)精确到千万位； (3)精确到亿位． 47．（24-25七年级上·全国·课后作业）用四舍五入法，按括号中的要求对下列各数取近似数： (1)（精确到0.01）； (2)（精确到百分位）； (3)（精确到百万位）； (4)亿（精确到百万位）． 过关检测 1．（2024七年级上·全国·专题练习）脱式计算．（能简算的要简算） 2．（24-25七年级上·山西吕梁·阶段练习）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法进行有理数运算的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务． 试题： 计算：． 小明：我是先把原带分数化成假分数，然后直接按照有理数加法的运算法则从左到右依次计算． 小军：我认为小明的方法很单一，而且有点麻烦，下面是按照我的方法进行解答的过程． 解：原式 ． 老师：小军的方法很有创意，值得提倡与学习． 小芳：受小军方法的启发，我也有一种方法，解题过程如下． 解：原式 ． 任务：请根据片段中的对话，仿照小军或小芳的方法进行下面的计算． (1)． (2)． 3．（24-25七年级上·山东济南·期中）定义新运算：（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如：． 若，则称有理数a，b为“隔一数对”． 例如：，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是 （请填序号） ①；② (2)计算： (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”，计算：． 4．（24-25六年级上·山东烟台·期中）阅读材料： ，； ，； ，，． 请根据以上各式解答下列问题： (1)仿照阅读材料，将下列算式变形： _____，____，____； (2)计算：； (3)计算：． 5．（2024七年级上·全国·专题练习）阅读下列材料： 即当时，；当时，． 用这个结论可以解决下面问题： (1)已知a，b是有理数，当时，求的值； (2)已知a，b，c是有理数，当时，求的值． 6．（2024七年级上·全国·专题练习）阅读下列材料，解决问题． 比较两个有理数大小的方法有一种叫做作差法，例如：比较与的大小． 解：∵ 这种利用作差法比较大小的原理是： （1）若则 （2）若，则 （3）若则 解决下列问题： 比较与的大小； 7．（2024七年级上·全国·专题练习）阅读材料，解决问题：由…不难发现3的正整数幂的个位数字以3，9，7，1为一个周期循环出现，由此可以得到：因为，所以的个位数字与的个位数字相同，应为1；因为，所以的个位数字与的个位数字相同，应为3． (1)请你仿照材料，分析求出的个位数字及的个位数字； (2)请探索出的个位数字． 8．（24-25七年级上·湖北恩施·期中）阅读材料： 求值：． 解：设，将等式两边同时乘，得， 将下式减去上式，得， 即． 请你仿照此法计算： (1)； (2)．（其中为正整数） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02有理数的运算 考点聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 知识点1：有理数的加法 有理数加法运算法则： 1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加. 即:若a＞0,b＞0,则；若a＜0,b＜0,则. 2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 3）互为相反数的两个数相加和为0. 4）一个数与0相加，仍得这个数. 有理数加法运算率： 加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，和不变.即 加法结合律 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.即 注意：运用加法交换律交换加数的位置时，一定要带着性质符号一起交换. 知识点2：有理数的减法 有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数.即： 有理数的减法口诀：两变一不变.（两变指：减数变相反数，减法变加号；一不变指：被减数不变） 有理数加减法的应用的解题思路：有理数加减法在实际问题中的应用本质上是列式计算问题，解题时要抓住事物的本质，弄清是要求各数之和还是各数的绝对值之和. 知识点3：有理数的乘法 有理数乘法运算法则：1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. 2）0与任何数相乘都得0. 【补充】任何数与1相乘都等于它本身，任何数与－1相乘都等于它的相反数. 有理数乘法运算率： 乘法交换律 两个数相乘，交换因数的位置，积相等.即 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等.即 乘法分配率 一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加. 即 【补充】1）使用乘法分配律时,切勿漏乘某项. 2）用乘法交换律交换因数的位置时，要连同性质符号一起交换. 知识点4：有理数的除法 有理数除法运算法则：1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b=a×（b≠0）. 2）两数相除，同号结果为正，异号结果为负，并把绝对值相除. 有理数的加减乘除混合运算运算顺序：无括号时，先乘除，后加减，有括号的先计算括号里面的(一般先算小括号，再算中括号，最后算大括号).同级运算中，按照从左至右的顺序计算. 知识点5：有理数的乘方 定义：求n个相同因式的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂.在中，a叫做底数，n叫做指数.读作“a的n次方（或a的n次幂）”. 乘方的意义：表示n个a相乘，即. 知识点6：有理数的混合运算 运算顺序：1）先算乘方，再算乘除，最后算加减； 2)同级运算，从左到右依次进行； 3)如果有括号，就先算括号里面的，按照小括号、中括号、大括号依次进行. 【补充】加和减属于运算中的第一级运算，级别是最低的，通常放在最后面计算；乘和除属于运算中的第二级运算，级别中等，运算顺序高于加和减；而乘方和开方则属于第三级运算，级别较高，通常是最优先计算的（如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，在同一级运算中，要从左至右进行运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算）. 知识点7：科学记数法 定义：把一个绝对值大于10的数表示为（其中1≤|a|＜10，n为正整数），这种记数法叫做科学记数法． 【补充】 1）用科学记数法表示数时，不改变数的符号，只是改变数的书写形式而已，可以方便地表示日常生活中遇到的一些很大或很小的数. 2）一个负数也可以用科学记数法表示. 知识点8：近似数 准确数：在日常生活或生产实际中，能准确地表示一些数的量，成为准确数. 近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个数的近似数. 精确度：近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 【补充】对于带单位的数或用科学记数法表示的近似数，a的末位数字在还原后的数中是哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 有效数字的概念：从左边第一位非0的数字到精确数位的所有的数字.例：0.012有两个个有效数字：1,2；3.6万有两个有效数字：3,6；有四个有效数字：4,3,6,0. 考点剖析 【考点1】有理数的加减混合运算 1．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）计算题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算及加减简便运算，掌握加减运算法则是解题的关键． （1）利用有理数的加减法则计算即可． （2）利用有理数的加减法则结合简便方法进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 2．（24-25七年级上·河南洛阳·期中）数轴上两点之间的距离等于这两点所表示数的差的绝对值，也就是等于较大的数减去较小的数所得的差，如图，，，． (1)数轴上点，表示的数分别为和1，则线段_____； (2)数轴上点，表示的数分别为和，则线段_____； (3)数轴上的两个点之间的距离为5，其中一个点表示的数为2，另一个点表示的数为，求的值． 【答案】(1)10 (2)3 (3)或7 【分析】本题主要考查了两点之间的距离， 对于（1），根据题意，可知，可得答案； 对于（2），根据题意，可知，可得答案； 对于（3），根据题意，可知或，求解得出答案． 【详解】（1）解：根据题意，得. 故答案为：10； （2）解：根据题意，得. 故答案为：3； （3）解：根据题意，得 或， 解得或． 3．（24-25七年级上·广东中山·期中）分类讨论式子的不同结果． 【答案】见解析 【分析】本题考查化简绝对值，有理数的加减运算，利用分类讨论的思想是解题关键．分，②，③，④，⑤时，⑥，⑦和⑧，8种情况，分别化简绝对值，计算即可． 【详解】解：分类讨论：①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式； ④当时，原式； ⑤当时，原式； ⑥当时，原式； ⑦当时，原式； ⑧当时，原式． 4．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）【阅读理解】小明发现，不计算结果，也可根据绝对值的性质去掉绝对值符号，如：；；；． 【尝试应用】根据上述规律，去掉下列各式的绝对值符号： （1）______； （2）______； 【深入研究】有理数、在数轴上的位置如图所示，则______； 【解决问题】用简便的方法计算： 【答案】[尝试应用]（1）；（2）； [深入研究]；[解决问题] 【分析】本题考查了绝对值的非负性质，有理数的加减混合运算，数轴； （1）根据绝对值的性质去掉绝对值符号即可； （2）根据绝对值的性质去掉绝对值符号即可； [深入研究]根据数轴中，的位置得出，，且，进而推出，根据绝对值的性质化简得出答案； [解决问题]利用绝对值的性质化简，然后根据有理数的加减混合运算法则计算即可． 【详解】[尝试应用]（1） ， 故答案为：． （2） ， 故答案为：． [深入研究] 根据数轴中，的位置得出，，且， ，，， ； 故答案为：； [解决问题]解：原式 ． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/12/273:15:34；用户：gaga；邮箱：18376708956；学号：1890771 【考点2】有理数的加法运算律 5．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法运算，先拆项，然后利用加法交换律和结合律计算即可． 【详解】 ． 6．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数加法运算，涉及加法运算律，熟练掌握有理数加法运算法则是解决问题的关键． （1）先由加法交换律和结合律恒等变形，再由有理数加法运算法则求解即可得到答案； （2）先将小数化为分数，再由加法交换律和结合律恒等变形，最后由有理数加法运算法则求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【考点3】有理数加减法的简便运算 7．（2024七年级上·全国·专题练习）高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算 “从到这个正整数的和”，许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，并且容易出错，聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程： 解：设，① 则，② ，得 ． ，，③ ． 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法” (1)请你运用高斯的“倒序相加法”计算：； (2)请你认真观察上面解答过程中的③式及你运算过程中出现类似的③式，猜想___________（用含的代数式表示）； 【答案】(1)1275 (2) 【分析】此题考查了数的运算规律，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1 ）原式利用高斯的“倒序相加法”计算即可求出值； （2 ）归纳总结得到一般性规律，写出即可，利用高斯的“倒序相加法”计算即可求出值． 【详解】（1）解：设 则， ，得， 所以， ， 所以； （2）解：由（1 ）及题目例题的解析可得： ， 设 则， ，得， 所以， ， 所以． 故答案为：． 8．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）阅读例题的计算方法． 例：计算：． 解：原式 ． 上面这种解题方法叫做拆项法． (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据提供的方法，拆项计算即可； （2）根据提供的方法，拆项计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 9．（2024七年级上·全国·专题练习）规律探究： 计算：； 如果一个个顺次相加显然太烦琐，我们仔细观察这个式子的特点，发现运用加法的运算律可简化计算，提高计算速度． . 计算： (1)； (2). 【答案】(1) (2)2550 【分析】本题主要考查了有理数加法中的简便计算，熟练掌握有理数加法运算法则，是解题的关键． （1）将原式变形为，然后进行运算即可； （2）将原式变形为，然后进行运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2)2 (3) (4) (5)9 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数加减运算法则，加法的运算律是解题的关键． （1）根据有理数加减混合运算法则进行计算即可； （2）根据有理数加减混合运算法则，结合加法的运算律进行计算即可； （3）根据有理数加减混合运算法则，结合加法的运算律进行计算即可； （4）根据有理数加减混合运算法则，结合加法的运算律进行计算即可； （5）根据有理数加减混合运算法则，结合加法的运算律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 11．（24-25七年级上·河南周口·阶段练习）阅读下面的解题过程，并解决问题． 计算：． 解：原式① ② ③ ． (1)第①步经历的变形有_______________，体现了数学中的转化思想，为了计算简便，第②步应用的运算律是_________________； (2)根据以上解题技巧进行计算：． 【答案】(1)去括号、省略加号；加法交换律、加法结合律 (2) 【分析】本题考查有理数的知识，解题的关键是掌握有理数的加减运算，运用有理数的加减运算进行计算即可； （1）根据有理数的加减运算步骤，进行计算即可； （2）根据（1）中的运算法则，进行计算，即可． 【详解】（1）去括号、省略加号；加法交换律、加法结合律； （2） 【考点4】有理数加减法的实际应用 12．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）“十一”黄金周期间，小明与同学相约外出游玩，妈妈给了他元微信零花钱，如图是他微信钱包零钱明细的截图，请你解决如下问题（假设他初始余额为）： 零钱明细 微信红包—来自妈妈 扫二维码付款—给奶茶店 扫二维码付款—给便利店 红包—来自小华 扫二维码付款—给超市 扫二维码付款—给蛋糕店 滴滴出行 红包—来自小林 (1)截图中哪一笔支出费用最大，最大费用为多少？ (2)小明回家后想起来误删了一条景点门票的交易记录，他微信最终显示余额为元，请帮他计算出景点门票价格． 【答案】(1)给超市这笔支出最大； (2)元 【分析】本题考查了正数和负数，有理数的加减运算，熟练掌握相反意义的量用正数和负数表示是解题的关键； （1）根据图中数据即可求解； （2）根据题中支出情况即可求解； 【详解】（1）解：给超市这笔支出最大（或第三笔支出最大，或第五笔交易记录），最大费用是元 （2）解：根据题意，列出式子： 元 答：景点门票价格元； 13．（24-25七年级上·贵州铜仁·期中）暑假期间沿河安监局为预防未成年人溺水事故的发生，每天安排一名工作人员在沿河六完小至沙陀电站之间巡逻，工作人员骑摩托车在河堤上巡逻．某天他从A码头出发，晚上停留在B码头处，规定上游沙陀电站为正方向，下游六完小为负方向，当天行驶情况记录如下（单位：千米）：，，，，，，， (1)B码头在A码头的上游还是下游？距离A码头多远？ (2)若摩托车每行驶1千米消耗燃油a升，这一天共消耗燃油多少升？（用含a的式子表示） 【答案】(1)B码头在A码头下游，距离A码头千米 (2)升 【分析】本题主要考查了正负数的意义，解题关键是在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． （1）把所有行驶记录相加，再根据正负数的意义解答； （2）求出所有行驶记录的绝对值的和，然后计算即可得解． 【详解】（1）解： （千米）； 答：B码头在A码头下游，距离A码头千米； （2）解： （千米）， （升）, 答：这一天共消耗燃油升． 14．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续七天记录了新车每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（） (1)请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ (2)已知小明家原来的汽油车每行驶需用汽油升，汽油价元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为度，每度电为元，请计算小明家换成新能源汽车后这七天的行驶费用比使用原来汽油车节省多少钱？ 【答案】(1)； (2)元． 【分析】本题主要考查正负数的实际应用及有理数的混合运算． 首先计算出表格中的和为，再用每天行驶的标准乘以天得到七天的行驶标准为，两数相加求出总路程即可． 利用中的总路程计算出用汽油的总费用和用电的总费用，两数相减即可． 【详解】（1）解：由题意得： ， ， 答：小明家的新能源汽车这七天一共行驶了； （2）解： (元)， 答：小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省元． 15．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）如图，甲、乙两人(看成点)分别在从数轴上表示和9的点的位置开始，沿数轴做移动游戏．每次移动游戏规则：两人先进行“石头、剪刀、布”，而后根据输赢结果进行移动． ①若平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度； ②若甲赢，则甲向东移动3个单位长度，同时乙向东移动1个单位长度； ③若乙赢，则甲向西移动1个单位长度，同时乙向西移动3个单位长度． 前三局结果如下表(提示：剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀)： 第一局 第二局 第三局 … 甲的手势 石头 剪刀 石头 … 乙的手势 石头 布 布 … (1)从如图的位置开始，第一局后甲乙两人相距 个单位长度； (2)从如图的位置开始，从前五局来看，甲一平两胜两负，这五局游戏结束后，乙离原点的距离为 ． (3)从如图的位置开始，若进行了k局游戏后，甲与乙的位置相距3个单位长度，直接写出 ． 【答案】(1)13 (2)4 (3)6或9 【分析】本题主要考查了数轴及有理数的混合运算，本题是动点型题目，找出移动后甲乙距离变化的规律是解题的关键． （1）利用规则：若平局，则甲向东移动个单位长度，同时乙向西移动个单位长度，即可得结论； （2）根据题意可得整个过程乙一平两输两赢，利用规则，结合数轴进行计算便可； （3）由题意可得刚开始两人的距离为，分①若两人尚未相遇，②若两人已经相遇两种情况分析即可得解． 【详解】（1）解：完成了次移动游戏，结果为平局， 则甲向东移动个单位长度到， 乙向西移动个单位长度到； ∴第一局后甲乙两人相距个单位长度 故答案为：13； （2）因为从前五局来看，甲一平两胜两负， 整个过程看：甲一平两胜两负，而乙一平两负两胜，向东为正， 根据规则五局之后甲对应的数为：， 根据规则五局之后乙对应的数为：， 故乙离原点个单位， 故答案为：； （3）的值为或，理由如下： 刚开始甲乙两人相距个单位长度， ①若两人尚未相遇， 若平局，则甲向东移动个单位长度，同时乙向西移动个单位长度， 若平局，移动后甲乙的距离缩小个单位， 若甲赢，则甲向东移动个单位长度；同时乙向东移动个单位长度， 若甲赢，移动后甲乙的距离缩小个单位， 若乙赢，则甲向西移动个单位长度，同时乙向西移动个单位长度， 若乙赢，移动后甲乙的距离缩小个单位， 甲乙每移动一次甲乙的距离缩小个单位， 最终甲与乙的位置相距个单位， 则共需缩小个单位 ②若两人已经相遇， 按照相遇前的距离缩小规律，第七局甲与乙的位置相距1个单位， 同理分析可得：第八局甲与乙的相对位置交换，且相距1个单位， 继续则甲乙的距离每局增加个单位，第九局甲与乙的位置相距个单位 综上所述：的值为或． 故答案为：或． 16．（2024七年级上·全国·专题练习）某股票上周五的收盘价为元，本周此股票每日的涨跌情况如下表： 某股票一周涨跌情况表（单位：元） 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 （当天的收盘价高出前一个交易日的收盘价元记作元；当天的收盘价低于前一个交易日的收盘价1.5元记作元．） (1)本周星期四此股票的收盘价是多少？ (2)若本周星期五此股票的收盘价为元，求的值，并说明星期五此股票是涨了还是跌了，涨或跌了多少元？ 【答案】(1)元 (2)星期五此股票跌了，跌了元 【分析】本题考查了正数和负数，有理数的加减法运算的应用； （1）根据题意将星期一到星期四的涨跌情况相加再加上上周五的收盘价，即可求解； （2）根据（1）的结论加上等于，根据有理数的减法计算，结合正负数的意义即可求解． 【详解】（1）解：上周五的收盘价为元， 周四收盘价：元． （2）由（1）中求出的周四收盘价，及周五收盘价得： ， 故星期五此股票跌了，跌了元． 【考点5】有理数的乘除混合运算 17．（24-25六年级上·上海长宁·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算．根据有理数的乘除运算法则即可得到本题答案． 【详解】解： ． 18．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了多个有理数的乘法运算，有理数乘法运算律，有理数乘除混合运算等知识点，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）先利用有理数乘法交换律，将转化为，然后计算，进而可得出答案； （2）先将带分数化为假分数，然后将除法运算转化为乘法运算，再利用有理数乘法结合律，先将第二项和第三项相乘，即，进而可得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1) ； (2) ； (3) ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合运算，熟知运算法则是正确解决本题的关键． （1）先把除法转化成乘法，最后计算即可． （2）先把除法转化成乘法，最后计算即可． （3）先算乘除，最后算加减即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． （3）解：原式 ． 【考点6】有理数四则运算的简便运算 20．（24-25七年级上·山东菏泽·期中）阅读下列材料： 计算：． 解法一：原式； 解法二：原式； 解法三：原式的倒数为， 故原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，则解法 是错误的； (2)请你运用合适的方法计算：． 【答案】(1)一 (2) 【分析】（）由于除法没有分配律，故解法一错误； （）根据解法三进行计算即可求解； 本题考查了有理数的四则混合计算，有理数乘法分配律，掌握有理数的运算法则和运算律是解题的关键． 【详解】（1）解：由于除法没有分配律，解法一中用到了“除法分配律”，故解法一是错误的，其他两个解法是正确的， 故答案为：一； （2）解：原式的倒数为 ， ∴原式． 21．（24-25七年级上·河南开封·开学考试）脱式计算．（怎样算简便就怎样算） (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)3 (3) (4) 【分析】（1）根据混合运算法则计算求解即可． （2）根据混合运算法则计算求解即可． （3）根据混合运算法则计算求解即可． （4）根据混合运算法则计算求解即可． 本题考查了有理数的混合运算，乘法运算律的应用，熟练掌握运算法则和运算律是解题的关键． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 22．（22-23七年级上·江苏南通·阶段练习）计算（能用简便方法的要用简便方法）： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)5.3 (2) (3) (4)3750 (5) (6) 【分析】（1）根据有理数的加减法可以解答本题； （2）根据有理数的加减法可以解答本题； （3）根据有理数的乘除法可以解答本题； （4）根据乘法分配律简便计算； （5）先计算括号内的，再根据有理数的除法即可解答本题； （6）根据有理数的除法即可解答本题． 【详解】（1）解： =5.3； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘除，后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/12/273:15:34；用户：gaga；邮箱：18376708956；学号：1890771 【考点7】有理数混合运算的实际应用 23．（24-25七年级上·江苏常州·期中）2022年，为了获取世界最高峰珠穆朗玛峰的臭氧、二氧化氮等相关大气数据，珠峰大气与人体健康科考分队在珠峰大本营附近进行观测设备安装任务，该科考队5名队员以珠峰大本营为基地，到距离大本营有一定距离，且相对大本营海拔为米的某山峰山顶去安装观测设备，假设海拔上升为正，海拔下降为负，经过一段时间的行进，领队的海拔记录仪上海拔变化数据如下（单位：米）： ，，，，，，，，，． (1)请问他们有没有登上该山峰顶峰？如果没有登上顶峰，他们与该测量山峰顶峰还有多少米海拔差距？ (2)登山时，由于每人都带着比较重的测量仪器，所以5名队员全程都在使用了氧气，若海拔每人每上升或下降50米消耗氧气平均为升，求该科考队此刻共消耗了多少升氧气？ 【答案】(1)他们没有登上顶峰，他们与该测量山峰顶峰还有米海拔差距． (2)该科考队此刻共消耗了升氧气． 【分析】本题考查了有理数加减法的应用，有理数的混合运算，理解题意正确的计算是解题的关键． （1）将行程的数据相加，与比较，进而判断是否登上顶峰，再计算距离顶峰多少米； （2）将行程的数据的绝对值相加，根据海拔每人每上升或下降50米消耗氧气平均为升计算即可 【详解】（1）解： （米）． （米）， 答：他们没有登上顶峰，他们与该测量山峰顶峰还有米海拔差距． （2） （米）， 海拔每人每上升或下降50米消耗氧气平均为升， （升）， 答：该科考队此刻共消耗了升氧气． 24．（24-25六年级上·山东泰安·期中）随着人们生活水平的提高，家用轿车越来越多地进入家庭，小明家中买了一辆小轿车，他连续记录了7天中每天行驶的路程（如表），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（） 0 (1)这七天中，行程最多的一天比行程最少的一天多行驶了多少？ (2)这7天小明家一共行驶了多少？ (3)若每天行驶需用汽油6升，请计算小明家这7天消耗汽油多少升？ 【答案】(1) (2) (3)升 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算、正负数，掌握运算法则，根据题意列出算式是解题关键． （1）用最大的值减去最小的值； （2）7天标准里程比标准路程多行驶的路程天一共行驶的路程； （3）这7天的行程这7天消耗汽油的升数． 【详解】（1）解：七天中，行程最多的一天比行程最少的一天多行驶：， ∴七天中，行程最多的一天比行程最少的一天多行． （2）解：依题意，7天比标准路程多行驶：， ∴7天一共行驶：，． （3）解： （升） ∴小明家这7天的汽油升数是升． 25．（24-25七年级上·全国·期中）如图，小天有5 张写着不同数字的卡片，请你按照要求抽出卡片，解决下列问题． (1)从中抽出2张卡片，使这2张卡片上的数字相除的商最小，应如何抽取? 最小值是多少? (2)从中抽出三张卡片，使得三张卡片中，两张上的数字先乘，再除以第三张上的数字所得的结果最大，应如何抽取? 最大值是多少? 【答案】(1)抽取写有和的卡片，最小值是 (2)抽取写有，5和的卡片，最大值是 【分析】本题考查了有理数的大小比较，有理数的乘法、除法运算．熟练掌握有理数的大小比较，有理数的乘法、除法运算是解题的关键． （1）由负数小于0，小于正数，且两个负数比大小绝对值大的反而小，可知当抽取写有和的卡片，此时这2张卡片上的数字相除的商最小，然后计算求解即可； （2）同理（1），由题意知，抽取写有，5和的卡片，能取最大值，然后计算求解即可． 【详解】（1）解：∵负数小于0，小于正数，且两个负数比大小绝对值大的反而小， ∴抽取写有和的卡片，此时这2张卡片上的数字相除的商最小为； ∴抽取写有和的卡片，最小值是； （2）解：同理（1），由题意知，抽取写有，5和的卡片，能取最大值，且最大值为， ∴抽取写有，5和的卡片，最大值是． 26．（24-25七年级上·浙江温州·期中）如图，小李在某运动中设定了每天的步数目标为8000步，该用目标线上方或下方的柱状图表示每天超过或少于目标数的步数，例如周二，小李少于目标步数600步． (1)这5天中，步数最多的是周_______，步数最少的是周_______，步数相差_______步． (2)小李这5天平均每天的步数是多少？ (3)小李运动时，每1000步消耗热量约为50卡，请估计该显示的小李这5天运动消耗的总热量． 【答案】(1)三 ， 五，1800 (2)8200（步）； (3)2050（卡）． 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，正确的列出算式，是解题的关键： （1）根据正负数的意义，结合图象，进行求解即可； （2）求出五个数据的平均数加上8000即可； （3）求出本周的总步数，除以1000，再乘以50卡即可． 【详解】（1）解：由图象可知，步数最多的是周三，最少的是周五， （步）； 故答案为：三 ， 五，1800； （2）（步） （步）； 答：小李这5天平均每天的步数是8200步； （3）（卡）； 答：小李这5天运动消耗的总热量为2050卡． 【考点8】含乘方的有理数的混合运算 27．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序． （1）先去括号，再将分母相同的两个数分别结合为一组求解； （2）先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 28．（24-25六年级上·上海长宁·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，绝对值．原式先算乘方及绝对值，再算乘除，最后算加减即可得到结果． 【详解】解： ． 29．（24-25七年级上·全国·期末）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的运算， （1）利用乘法分配律将原式展开，然后进行乘法运算，最后进行加减运算即可； （2）先计算乘方、绝对值，然后进行乘法运算，最后进行加减运算即可（注意：零乘以任何数得零）； （3）根据有理数的乘除运算法则进行计算即可； （4）先计算乘方、绝对值，同时将除法转化为乘法，然后进行乘法运算，最后进行加减运算即可； 掌握相应的运算法则、运算律和运算顺序是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 【考点9】有理数混合运算的实际应用 30．（24-25七年级上·广东深圳·期中）小张准备新开一家拉面馆，选址后对这一地区的人流量进行统计，以100人为标准，超过记为正，低于记为负，一周内同一时间的人流量如表： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 人数 (1)这一周人数最多的一天比人数最少的一天多________人． (2)若这些人中有的人来吃面，按照每人一碗，每碗面14元，则平均每天的销售额是多少？ (3)拉面师傅拉面条时，将一根很粗的面捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条，拉成了许多根细的面条，拉面师傅一般拉8次可做一碗拉面，求一碗拉面有多少根？ (4)据报道，在南京的一个美食节上，一个师傅用面粉拉出了约100万根面条，请问这个师傅拉出约100万根面条大概需要拉________次．（已知..） 【答案】(1)42人 (2)882元 (3)256根 (4)20 【分析】本题主要考查正数和负数、乘方，熟练掌握正数和负数表示的实际意义、乘方的定义是解决本题的关键． （1）根据正数和负数表示的实际意义解决此题； （2）根据正数和负数表示的实际意义解决此题； （3）根据有理数的乘方的定义解决此题； （4）根据有理数的乘方运算即可求解． 【详解】（1）解：这一周人数最多的一天是星期日，人数为（人）． 这一周人数最少的一天是星期三，人数为（人）． 这一周人数最多的一天比人数最少的一天多的人数为（人）． （2）解：这一周的人流量为（人）． 平均每天的销售额为（元）． （3）解：拉伸1次，得到的面条数为（根）． 拉伸2次，得到的面条数为（根）． 拉伸3次，得到的面条数为（根）． 一次类推，拉伸8次，得到的面条数为（根）． 一碗拉面有256根． （4）解：∵， ∴大约需要拉20次， 故答案为：20． 31．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）科技改变生活，当前网络销售日益盛行，许多农商采用网上销售的方式进行营销，实现脱贫致富．“清风谷”农场把猕猴桃放到网上销售，计划每天销售100千克，但实际每天的销售量与计划销售量相比有增减．下表是农场第一周猕猴桃的销售情况（超过计划销售量的千克数记为正数，不足计划销售量的千克数记为负数）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 猕猴桃销售情况（单位：千克） (1)农场第一周销售猕猴桃最多的一天比最少的一天多销售多少千克？ (2)农场第一周销售猕猴桃的总量是多少千克？ (3)若农场按8元/千克销售猕猴桃，平均运费为3元/千克，则农场第一周销售猕猴桃一共收入多少元（收入销售额运费）？ 【答案】(1) (2) (3)元 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用； （1）根据表格列出，即可求解； （2）根据表格列出，即可求解； （3）列出即可求解； 能结合实际意义列出算式是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得 （）， 答：农场第一周销售猕猴桃最多的一天比最少的一天多销售千克； （2）解：由题意得 （kg）， 答：农场第一周销售猕猴桃的总量是千克； （3）解：由题意得 （元）， 答：农场第一周销售猕猴桃一共收入元． 32．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）萝卜快跑是由百度推出的无人驾驶出租车服务品牌，日前在北京、武汉等个城市开展服务与测试．某天下午，萝卜快跑的某辆无人驾驶出租车的营运路线全是在东西走向的大街上进行的．如果规定向东为正，向西为负，这辆车这天下午载客行车里程（单位：km）如下：，，，，，． (1)最后一次营运结束时，这辆无人驾驶出租车距离下午出发时的出发地有多远？ (2)萝卜快跑的计费标准为：不超过km，收费元；超过km的部分，按元/km收费，则这辆车这天下午前三次营运的收入共多少元？ 【答案】(1)最后一次营运结束时，这辆无人驾驶出租车距离下午出发时的出发地km． (2)这辆车这天下午前三次营运的收入共元． 【分析】本题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，关键是要正确理解题意，在运算中注意符号，不要出错． （1）根据题意，向东为正，向西为负，把各数相加求和，即可得到结果； （2）根据题意，前三次营运的里程分别为3 km，16 km，5 km，按要求计算每次的收费情况，即可得到前三次的总收入． 【详解】（1）解：这辆车这天下午载客行车里程（单位：km）如下：，，，，，， （km）， 答：最后一次营运结束时，这辆无人驾驶出租车距离下午出发时的出发地17 km； （2）解：前三次营运的里程分别为3 km，16 km，5 km， 第一次3 km，收费为13元， 第二次16 km，收费为（元）， 第三次5 km，收费为（元）， ∴这天下午前三次营运总收入为（元）， 答：这辆车这天下午前三次营运的收入共元． 33．（24-25七年级上·福建泉州·期中）综合与实践 在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略． 【洗衣过程】 步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干； 步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标． 假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为，每次拧干后校服上都残留水． 浓度关系式：．其中、分别为单次漂洗前后校服上残留洗衣液浓度；为单次漂洗所加清水量（单位：）． 【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于． 【动手操作】请按要求完成下列任务： (1)如果只经过一次漂洗，只用清水，是否能达到洗衣目标？ (2)如果把清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？ (3)比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法． 【答案】(1)能达到 (2)能达到 (3)见解析 【分析】本题考查有理数的混合运算在实际生活中的应用，熟练理解题意和给出的浓度关系式是解题的关键． （1）将，代入公式计算即可； （2）第一次漂洗，将，代入公式求得，第二次漂洗：再将，代入公式得，即可解决； （3）比较两次结果，都能达标，但用水量不同，回答合理即可． 【详解】（1）解：依题意，得，， ，符合题意， 只经过一次漂洗，能达到洗衣目标； （2）解：第一次漂洗：，， ， 第二次漂洗：， ， ， 进行两次漂洗，能达到洗衣目标； （3）解：由（1）（2）的计算结果发现：经过两次漂洗既能达到洗衣目标，还能大幅度节约用水， ∴从洗衣用水策略方面来讲，采用两次漂洗的方法值得推广学习． 【考点10】以注重过程性学习的形式考查有理数的混合运算 34．（24-25七年级上·江西·阶段练习）阅读下列材料： 计算：． 淇淇：原式． 嘉嘉：原式． (1)你认为______的解法是错误的，错误的原因是__________________． (2)请你选择合适的解法计算：． 【答案】(1)淇淇，除法没有分配律； (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． （1）观察两种解法的解答过程可得答案； （2）先将括号内通分，再将除法化为乘法计算即可． 【详解】（1）解：淇淇的解法是错误的，错误的原因是除法没有分配律， 故答案为：淇淇，除法没有分配律； （2）解： ． 35．（24-25七年级上·广东东莞·阶段练习）小丽同学做一道计算题的解题过程如下： 解：原式…………第一步 …………第二步 …………第三步 …………第四步 根据小丽的计算过程，回答下列问题： (1)小丽在进行第一步时，运用了乘法的______律； (2)她在计算中出现了错误，其中你认为在第______步开始出错了，因为 ； (3)请你给出正确的解答过程． 【答案】(1)分配； (2)二，除法没有分配律 (3)见解析． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：“先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化”． （1）根据乘法分配律可得答案； （2）除法没有分配律，据此可得答案； （3）先利用乘法分配律展开，然后计算括号内的减法，再计算乘除，最后计算加减即可． 【详解】（1）解：小丽在进行计算第一步时运用了乘法分配律， 故答案为：分配； （2）解：她在第二步出错了，因为除法没有分配律， 故答案为：二；除法没有分配律； （3）解： ． 36．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）小明做了如下一道有理数混合运算，在检查时发现有错误． 解：原式  ……第一步     ……第二步     ……第三步 (1)小明在第______步开始出现错误； (2)请给出该题的正确解答． 【答案】(1)二； (2)解答见解析． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是根据运算顺序和运算法则进行计算． （1）根据有理数的混合运算的运算顺序和运算法则判断即可； （2）根据有理数的混合运算的运算顺序和运算法则计算可得． 【详解】（1）解：小明在第二步开始出现错误， 故答案为：二； （2）解：         ． 【考点11】与有理数运算有关的新定义问题 37．（24-25七年级上·河北保定·期中）已知a，b是有理数，且． (1)分别求a，b的值； (2)借助有理数的运算，嘉嘉定义了一种关于有理数m，n的新运算“#”：，例如：． ①求的值； ②淇淇想利用计算探究这种新运算“#”是否具有交换律（即与的值是否相等）？请你根据（1）中a，b的值进行判断． 【答案】(1)， (2)①；②，所以新运算“#”不具有交换律 【分析】本题考查了有理数的混合运算以及绝对值的非负性和偶次方的非负性，掌握理解新运算的定义是解题关键． （1）根据绝对值的非负性和偶次方的非负性即可求解． （2）①根据题中的新定义结合（1）中数字进行计算即可． ②求出和比较即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，． （2）解：①根据题意可得 ． ②根据题意可得 ． ∵， ∴新运算“#”不具有交换律． 38．（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）若，为有理数，我们定义新运算“※”使得※如． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义，有理数的混合运算，理解新定义是解答本题的关键． （1）直接根据新定义把转化为有理数的混合运算计算即可； （2）先算，再算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 39．（24-25七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）在学习完《有理数》后，小明对有理数运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：（a、b不相等） (1)_____； (2)求的值； (3)试以和说明，新定义的运算“”满足交换律吗？ 【答案】(1) (2)40 (3)不满足，理由见解析 【分析】本题主要考查新运算，有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则及新定义的运用． （1）将代入计算可得； （2）根据法则，先计算，再计算可得； （3）计算和即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2） ； （3）新运算“”不满足交换律． ， ， ， 新运算“”不满足交换律． 40．（2024七年级上·全国·专题练习）新定义运算：如果，，，则叫做以为底的对数，记作，例如：因为，所以；因为，所以． (1)填空： ， ； (2)如果，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1)1，4 (2)的值为29或 (3)30 【分析】（1）根据“如果，，，则”进行解答即可； （2）根据新定义的运算，得出，再根据绝对值的定义求出答案即可； （3）根据新定义的运算求出，，进而得到，再根据新定义运算求出结果即可． 【详解】（1）解：， ， 又，而， ， 故答案为：1，4； （2）， ， 解得或， 答：的值为29或； （3）， ，， ，即， ， 当时，． 【点睛】本题考查绝对值，有理数的乘方，掌握有理数乘方的计算方法以及绝对值的定义是正确解答的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/12/273:15:34；用户：gaga；邮箱：18376708956；学号：1890771 【考点12】用科学记数法表示有理数 41．（24-25七年级上·河南周口·期中）现需要将长为，宽为，高为的大理石运往某地修建革命历史博物馆． (1)求每块大理石的体积．（结果用科学记数法表示） (2)如果一列火车总共运送了2000块大理石，每块大理石约重3500千克，估计这列火车总共运送了多少吨大理石． 【答案】(1) (2)7000吨 【分析】本题主要考查了长方体的体积公式，科学记数法的表示方法，及同底数的幂的乘法．解题的关键是明确同底数幂的乘法和除法的运算法则． （1）根据长方体的体积=长×宽×高，先求出它的体积，再用科学记数法表示．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数； （2）根据总重量÷大理石块数=每块大理石的重量列出代数式即可． 【详解】（1）根据题意．得每块大理石的体积， 答：每块大理石的体积为． （2）根据题意，得（千克）（吨） 答：这列火车总共运选了约7000吨大理石． 42．（2024七年级上·全国·专题练习）下列是用科学记数法表示的数，原数是什么？ ，． 【答案】38 000，50 070 000 【分析】本题考查了把用科学记数法表示的数写成原数，用科学记数法表示的数还原成原数时，时，n是几，小数点就向右移几位． 【详解】解：， . 43．（24-25七年级上·黑龙江·课后作业）有关资料表明，一个人在一次刷牙过程中如果一直打开水龙头，将浪费大约8杯水（每杯水约0.25升）．某地区总人口约2000000人，如果该地区所有的人在刷牙过程中都不关水龙头，那么一次刷牙过程共浪费多少杯水？约多少升？（用科学记数法表示） 【答案】一次刷牙过程共浪费杯水，约升 【分析】本题主要考查科学记数法及有理数的乘法运算，熟练掌握科学记数法及有理数的乘法运算是解题的关键；因此此题可根据题意直接进行求解 【详解】解：由题意得： （杯），（升）． 答：一次刷牙过程共浪费杯水，约升． 44．（2024七年级上·全国·专题练习）已知的氢气质量约为，请用科学记数法表示下列计算结果： (1)求一个容积为的氢气球所充氢气的质量； (2)一块橡皮重，这块橡皮的质量是的氢气质量的多少倍？ 【答案】(1) (2)倍 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用； （1）先用乘法求出氢气球所充氢气的质量, 再用科学记数法表示最终结果； （2）先用除法计算出这块橡皮的质量是的氢气质量的多少倍，再用科学记数法表示最终结果. 【详解】（1）解：． （2）． 故这块橡皮的质量是的氢气质量的倍． 【考点13】近似数 45．（2024七年级上·全国·专题练习）用四舍五入法，按括号内的要求对下列各数取近似数： (1)2.604（精确到十分位）； (2)40353（精确到百位）； (3)0.0234（精确到0.01）； (4)1.81万（精确到万位）． 【答案】(1)2.6 (2) (3)0.02 (4) 【分析】本题考查求一个数的近似数； （1）对百分位上的数字0进行四舍五入即可； （2）对十位上的数字5进行四舍五入即可； （3）对千分位上的数字3进行四舍五入即可； （4）对千位上的数字8进行四舍五入即可． 【详解】（1）解：2.604（精确到十分位）为2.6； （2）解：40353（精确到百位）为； （3）解：0.0234（精确到0.01）为0.02； （4）解：1.81万（精确到万位）为． 46．（24-25七年级上·全国·课后作业）用激光技术测得地球和月球之间的距离为377985654.32米，请按要求分别取得这个数的近似值并用科学记数法表示． (1)精确到千位； (2)精确到千万位； (3)精确到亿位． 【答案】(1)米 (2)米 (3)米 【分析】本题考查了求近似数、科学记数法，正确求出近似数是解此题的关键． （1）先求出近似数，再利用科学记数法表示即可； （2）先求出近似数，再利用科学记数法表示即可； （3）先求出近似数，再利用科学记数法表示即可． 【详解】（1）解：377985654.32米米，即米； （2）解：377985654.32米米，即米； （3）解：377985654.32米米，即米． 47．（24-25七年级上·全国·课后作业）用四舍五入法，按括号中的要求对下列各数取近似数： (1)（精确到0.01）； (2)（精确到百分位）； (3)（精确到百万位）； (4)亿（精确到百万位）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查求一个数的近似数，熟练掌握四舍五入法，是解题的关键： （1）对千分位上的数字进行四舍五入即可； （2）对千分位上的数字进行四舍五入即可； （3）对十万位上的数字进行四舍五入即可； （4）对十万位上的数字进行四舍五入即可． 【详解】（1）解： （2） （3） （4）13.052亿 过关检测 1．（2024七年级上·全国·专题练习）脱式计算．（能简算的要简算） 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算，先根据把所求式子裂项，再根据有理数的加减计算法则求解即可． 【详解】解： ． 2．（24-25七年级上·山西吕梁·阶段练习）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法进行有理数运算的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务． 试题： 计算：． 小明：我是先把原带分数化成假分数，然后直接按照有理数加法的运算法则从左到右依次计算． 小军：我认为小明的方法很单一，而且有点麻烦，下面是按照我的方法进行解答的过程． 解：原式 ． 老师：小军的方法很有创意，值得提倡与学习． 小芳：受小军方法的启发，我也有一种方法，解题过程如下． 解：原式 ． 任务：请根据片段中的对话，仿照小军或小芳的方法进行下面的计算． (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了有理数的加减混合运算． （1）根据题意并利用有理数加法交换律和结合律进行计算即可； （2）根据题意并利用有理数加法交换律和结合律进行计算即可． 【详解】（1）解： （2） 3．（24-25七年级上·山东济南·期中）定义新运算：（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如：． 若，则称有理数a，b为“隔一数对”． 例如：，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是 （请填序号） ①；② (2)计算： (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”，计算：． 【答案】(1)① (2) (3) 【分析】本题考查有理数的四则混合运算，读懂新运算，把新运算转化为熟悉的运算是解题的关键． （1）直接按新运算计算后判定即可； （2）先按新运算计算，再算加减法； （3）根据把全部转化为分数加减法，把互为相反数相加为零，据此求解． 【详解】（1）解：①， ， ， ∵， ∴和是“隔一数对”； ②， ， ∵， ∴和不是“隔一数对”； 故答案为：①； （2）解： （3）∵两个连续的非零整数都是“隔一数对”， ∴，，，， ∴ ． 4．（24-25六年级上·山东烟台·期中）阅读材料： ，； ，； ，，． 请根据以上各式解答下列问题： (1)仿照阅读材料，将下列算式变形： _____，____，____； (2)计算：； (3)计算：． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解拆项相消是解答本题的关键． （1）仿照阅读材料变形即可； （2）仿照阅读材料，裂项相消即可； （3）先把分母变形，再裂项相消即可． 【详解】（1）解：， ， ． 故答案为：，，； （2）解： （3）解： 5．（2024七年级上·全国·专题练习）阅读下列材料： 即当时，；当时，． 用这个结论可以解决下面问题： (1)已知a，b是有理数，当时，求的值； (2)已知a，b，c是有理数，当时，求的值． 【答案】(1)或0 (2)或 【分析】本题考查了绝对值的化简，分类思想，有理数除法法则，熟练掌握分类思想，准确理解绝对值化简是解题的关键． （1）根据题意，分类讨论：①，，②，，进行计算即可得； （2）根据题意可分，，和，，，和a，b，c两负一正和a，b，c两正一负，四种情形求解即可． 【详解】（1）解：已知a，b是有理数，当时， ①若，，则； ②若，，则； ③若a，b异号，则． 故的值为或0； （2）解：已知a，b，c是有理数，当时， ①若，，，则； ②若，，，则； ③若a，b，c两负一正，则； ④若a，b，c两正一负，则． 故的值为或． 6．（2024七年级上·全国·专题练习）阅读下列材料，解决问题． 比较两个有理数大小的方法有一种叫做作差法，例如：比较与的大小． 解：∵ 这种利用作差法比较大小的原理是： （1）若则 （2）若，则 （3）若则 解决下列问题： 比较与的大小； 【答案】 【分析】本题主要考查的是有理数的大小以及有理数的减法运算，依据材料作差法即可比较大小． 【详解】解：， ∴； 7．（2024七年级上·全国·专题练习）阅读材料，解决问题：由…不难发现3的正整数幂的个位数字以3，9，7，1为一个周期循环出现，由此可以得到：因为，所以的个位数字与的个位数字相同，应为1；因为，所以的个位数字与的个位数字相同，应为3． (1)请你仿照材料，分析求出的个位数字及的个位数字； (2)请探索出的个位数字． 【答案】(1)3，2 (2)7 【分析】此题主要是考查乘方的尾数特征，解题关键是发现个位数字的循环规律，根据规律进行计算． （1）此题不难发现：的个位数字是7，9，3，1四个一循环，所以，则的个位数字是3；的个位数字是8，4，2，6四个一循环，所以，则的个位数字是2； （2）分别找出，，的个位数字，然后个位数字相加所得个位数字就是的个位数字． 【详解】（1）解：∵， ∴7的正整数幂的个位数字以7，9，3，1为一个周期循环出现， ∵， ∴的个位数字与的个位数字相同，应为3； ∵， ∴8的正整数幂的个位数字以8，4，2，6为一个周期循环出现．因为， ∴的个位数字与的个位数字相同，应为2； （2）解：∵， ∴2的正整数幂的个位数字以2，4，8，6为一个周期循环出现， ∴的个位数字与相同，是2， 根据（1）可知，的个位数字是7，的个位数字是8，， ∴的个位数字是7． 8．（24-25七年级上·湖北恩施·期中）阅读材料： 求值：． 解：设，将等式两边同时乘，得， 将下式减去上式，得， 即． 请你仿照此法计算： (1)； (2)．（其中为正整数） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的乘方，解决本题的关键是明确题意，运用题目中的解题方法,运用类比的数学思想解答问题． （1）根据题目中材料可以得到用类比的方法得到的值． （2）根据题目中材料可以得到用类比的方法得到的值． 【详解】（1）解：设， 则， ∴． ∴． ∴． （2）解：设， 则， ∴， 即，． ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$