（温故知新）专题05 圆-2024-2025学年六年级数学上册寒假学习精讲练（人教版）

2024-2025学年人教版数学六年级寒假学习精讲练讲义 专题05 圆 亲爱的同学们，寒假愉快！在本学期，你们凭借不懈的努力收获了满意的成绩，这着实值得欣喜与祝贺。相信通过这一学期的磨砺，你们已对自身的学习能力有了全新的感悟，对所学知识点的掌握状况也有了更深刻的洞察。 本套精心编制的资料，旨在助力大家寒假期间的学习提升。它聚焦于知识点的系统梳理，带你们全面回顾本学期的知识脉络；针对易错点，则进行细致入微的剖析，让你们逐一攻克知识薄弱环节；配备强化练习，使你们在实战中不断强化解题能力；其解析详尽且通俗易懂，从而推动你们切实地将单元知识点融会贯通、熟练运用，为新学期的学业进步筑牢根基。 知识点01：圆的特征 （1）圆是平面内封闭曲线围成的平面图形。 （2）圆的特征：外形美观，易滚动。 （3）圆心O： 圆中心的点叫做圆心．圆心一般用字母O表示。 圆多次对折之后，折痕的相交于圆的中心即圆心。圆心确定圆的位置。 半径r： 连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。在同一个圆里，有无数条半径，且所有的半径都相等。半径确定圆的大小。 直径d: 通过圆心且两端都在圆上的线段叫做直径。在同一个圆里，有无数条直径，且所有的直径都相等。直径是圆内最长的线段。 同圆或等圆内直径是半径的2倍：d=2r 或 r=d÷2 （4）等圆： 半径相等的圆叫做同心圆，等圆通过平移可以完全重合。 同心圆：圆心重合、半径不等的两个圆叫做同心圆。 5、圆是轴对称图形： 如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。折痕所在的直线叫做对称轴。 有1条对称轴的图形： 半圆、扇形、等腰梯形、等腰三角形、角。 有2条对称轴的图形：长方形 有3条对称轴的图形：等边三角形 有4条对称轴的图形：正方形 有无数条对称轴的图形：圆，圆环 知识点02：画圆 （1）圆规两脚间的距离是圆的半径。 （2）画圆步骤：定半径、定圆心、旋转一周。 知识点03：圆的面积 （1）圆的面积： 圆所占平面的大小叫做圆的面积，一般用字母S表示。 （2）圆面积公式的推导 如图把一个圆沿直径等分成若干份，剪开拼成长方形，份数越多拼成的图像越接近长方形。 圆的半径=长方形的宽 圆的周长的一半=长方形的长 长方形面积=长×宽 所以：圆的面积=圆的周长的一半（πr）×圆的半径（r） S圆 =πr×r=πr2 （3）几种图形，在面积相等的情况下，圆的周长最短，而长方形的周长最长； 反之，在周长相等的情况下，圆的面积则最大，而长方形的面积则最小。 周长相同时，圆面积最大，利用这一特点，篮子、盘子做成圆形。 （4）圆面积的变化的规律：半径扩大多少倍,直径、周长也同时扩大多少倍，圆面积扩大的倍数是半径、直径扩大的倍数的平方倍。 如果:  r1∶r2∶r3=d1∶d2∶d3=c1∶c2∶c3=2∶3∶4 则：S1∶S2∶S3=4∶9∶16 （5）环形面积 =大圆–小圆=πR2-πr2 （R为外圆半径，r为内圆半径） 扇形面积=πr2×n÷360（n表示扇形圆心角的度数） （6）跑道：每条跑道的周长等于两半圆跑道合成的圆的周长加上两条直跑道的和。因为两条直跑道长度相等，所以，起跑线不同，相邻两条跑道起跑线也不同，间隔的距离是：2×π×跑道宽度。 一个圆的半径增加a厘米，周长就增加2πa厘米。 一个圆的直径增加b厘米，周长就增加πb厘米。 （7）任意一个正方形的内切圆即最大圆的直径是正方形的边长，它们的面积比是4∶π。 （8）常用数据 π=3.14            2π=6.28  3π=9.42          4π=12.56            5π=15.7 知识点04：扇形 弧：圆上任意两点之间的部分叫做弧。 扇形：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。 圆心角：由两条半径组成，顶点在圆心的角叫做圆心角。 在同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关。 易错点01：圆的基本概念 圆心和半径的确定：对圆心和半径的概念理解不准确，导致在确定圆的位置和大小时出现错误。例如，在给定一些条件让确定圆的圆心和半径时，不能正确分析条件找到圆心和半径。 直径与半径的关系混淆：直径是半径的 2 倍，这一关系在解题中经常用到，但学生有时会混淆两者的关系，在已知半径求直径或已知直径求半径时出错。 易错点02：圆的周长和面积 公式记忆错误：圆的周长公式C=2πr或C=πd(其中r为半径，d为直径),面积公式S=πr²,学生可能会记错公式，如将周长公式与面积公式混淆，或者在计算时忘记乘以π,或者将半径的平方算错。 单位换算错误：在计算圆的周长和面积时，涉及到单位换算，如果不细心就容易出错。 易错点03：圆的组合图形 图形分析错误：对于由圆和其他图形组成的组合图形，不能正确分析图形的组成部分和各部分之间的关系。 计算复杂图形的周长和面积：在计算复杂的圆的组合图形的周长和面积时，容易出现漏算或多算的情况。 易错点04：圆的实际应用 对实际问题中的圆的理解不准确：在解决与圆有关的实际问题时，不能将实际问题中的圆的模型抽象出来，导致解题错误。 忽略实际情况中的限制条件：在实际应用中，圆的大小、位置等可能会受到一些限制条件的影响，但学生往往会忽略这些条件。 一、填空题 1．如下图，已知正方形的面积是10m2，这个圆的面积是( )m2。 2．如图所示是一个半圆（直径为4厘米），在这个半圆中画一个面积最大的三角形，这个三角形的面积是( )平方厘米。 3．下图是一个外圆内方的图形，圆的半径是2dm，圆和正方形之间部分的面积是( )dm2。 4．小刚量得一个树干的横截面的周长是125.6厘米，树干的横截面近似圆形，它的横截面大约是( )平方厘米。 5．李师傅想把3根横截面直径都是10cm的圆木用铁丝紧紧地捆绑在一起（如图），捆一圈（接头不计）至少需要铁丝( )cm，铁丝围成的图形面积是( )cm2。 6．已知图中三角形的面积是25平方厘米，圆的面积是( )平方厘米。 7．在一个长12厘米，宽6厘米的长方形中画一个最大的圆，这个圆的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 二、判断题 8．半圆的面积和周长分别是同直径圆面积和周长的一半。( ) 9．圆周率π等于3.14。( ) 10．一个圆的半径扩大到原来的2倍，它的面积也扩大到原来的2倍。( ) 11．半圆的周长就是其所属圆周长的一半。( ) 12．一个圆的半径扩大到原来的3倍，它的面积扩大到原来的9倍。( ) 三、选择题 13．下列说法正确的是（    ）。 A．圆周率π就是3.14 B．半径等于直径的一半 C．半径的长短决定圆的大小 D．圆有一条直径 14．如图，这个圆片的直径大约是（    ）。 A．0.5cm B．1cm C．1.57cm D．3.14cm 15．乐乐用三根长度均为20厘米的铁丝分别围成圆、正方形、长方形，面积最大的是（    ）。 A．正方形 B．长方形 C．圆 16．求压路机的碾轮滚动一周所行的路程，就是求压路机碾轮的（    ）。 A．直径 B．周长 C．面积 17．两个圆的半径分别是6cm、4cm，大圆和小圆的面积比是（    ）。 A．2∶3 B．9∶4 C．3∶2 四、计算题 18．求阴影部分的面积。 五、解答题 19．在一间底面边长为6米的房子外面的两个墙角上，分别拴了一条狗和一匹马。狗被拴在墙角A点处，绳长4米，它的活动面积最大是（    ）平方米。马被拴在墙角B点处，绳长8米，它的活动面积最大是（    ）平方米。（请你根据题意画出示意图，再写出答案。）注：狗和马都只能在房子外面活动。 20．瓦当是中国古建筑的重要构件，起着保护木制飞檐和美化房屋的作用。现有一块半圆形瓦当，它的周长是30.84厘米，它的面积是多少？ 21．儿童广场里有一块面积为700平方米的圆形草坪，要在草坪上安装一个自动旋转喷灌装置进行喷灌。现在有射程是15米和10米的两种装置，你认为应该选哪种装置比较合适？你打算把它安装在什么位置？请写出推理过程。 22．一个圆形音乐喷泉的周长是502.4米，喷泉外围修了一条宽4米的小路作为观赏区，观赏区外围的周长是多少米？ 23．在一个半径是3米的圆形水池周围修一条宽1米的石子路，这条石子路的面积是多少平方米？（π取3.14） 参考答案 1．31.4 分析：根据已知条件正方形的面积是10m2，我们可以假设正方形的边长是a，根据正方形的面积＝边长×边长，可知a×a＝10，即a2＝10。观察题中的图片可知，正方形的边长就是圆形的半径，圆的面积＝πr2，在本题中圆的半径的平方就等于正方形边长的平方，将正方形边长的平方的值代入即可求出圆的面积。 详解：假设正方形的边长为a米，则圆的半径也为a米。 正方形的面积＝a2＝10m2 圆的面积＝πr2＝πa2＝3.14×10＝31.4（m2） 点睛：这道题考查了将正方形面积和圆的面积结合起来看，正方形的面积＝边长×边长，圆的面积＝πr2，在本题中要通过观察了解正方形的边长也就是圆的半径这一点，这是解题的关键。 2．4 分析：面积最大的三角形的底是圆的直径，高是圆的半径，根据三角形的面积＝底×高÷2求出三角形的面积即可。 详解：4×（4÷2）÷2 ＝4×2÷2 ＝8÷2 ＝4（平方厘米） 所以这个三角形的面积是4平方厘米。 3．4.56 分析：用圆的面积减去正方形的面积就是圆和正方形之间部分的面积。正方形的对角线把正方形分割成两个底为圆的直径，高为圆的半径的两个三角形，所以圆和正方形之间部分的面积＝圆的面积－底为圆的直径，高为圆的半径的三角形的面积×2，据此解答。 详解：3.14×－2×2×2÷2×2 ＝3.14×4－4×2 ＝12.56－8 ＝4.56（dm2） 所以圆和正方形之间部分的面积是4.56。 4．1256 分析：根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，半径＝周长÷π÷2，代入数据，求出树干的半径，再根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，即可求出横截面的面积。 详解：125.6÷3.14÷2 ＝40÷2 ＝20（厘米） 3.14×202 ＝3.14×400 ＝1256（平方厘米） 小刚量得一个树干的横截面的周长是125.6厘米，树干的横截面近似圆形，它的横截面大约是1256平方厘米。 5． 71.4 278.5 分析：求捆一圈至少需要铁丝的长度，就是求图形的周长；图形最左边和最右边各有一个直径为10cm的半圆，可以组成一个圆；图形上面、下面的铁丝长度各相当于2条直径，所以铁丝的总长度＝圆的周长＋4条直径的长度，根据圆的周长公式C＝πd，代入数据计算求解。 铁丝围成的图形面积＝圆的面积＋长方形的面积，其中圆的半径是（10÷2）cm，长方形的长是（10×2）cm，宽是10cm；根据圆的面积公式S＝πr2，长方形的面积公式S＝ab，代入数据计算求解。 详解：3.14×10＋10×4 ＝31.4＋40 ＝71.4（cm） 3.14×（10÷2）2＋（10×2）×10 ＝3.14×52＋20×10 ＝3.14×25＋200 ＝78.5＋200 ＝278.5（cm2） 捆一圈（接头不计）至少需要铁丝71.4cm，铁丝围成的图形面积是278.5cm2。 6．157 分析：看图可知，图中是个等腰直角三角形，两直角边可以看作底和高，且两直角边都等于圆的半径，根据三角形面积×2＝底×高＝半径×半径＝半径的平方，圆的面积＝圆周率×半径的平方，列式计算即可。 详解：3.14×（25×2） ＝3.14×50 ＝157（平方厘米） 圆的面积是157平方厘米。 7． 18.84 28.26 分析：根据题意，在长方形中画一个最大的圆，则这个最大圆的直径等于长方形的宽；根据圆的周长公式C＝2πr，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算，分别求出这个圆的周长和面积。 详解：圆的周长： 3.14×6＝18.84（厘米） 圆的面积： 3.14×（6÷2）2 ＝3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（平方厘米） 这个圆的周长是18.84厘米，面积是28.26平方厘米。 8．× 分析：半圆的面积等于同直径圆面积的一半，半圆的周长等于同直径圆周长的一半加上直径。据此判断。 详解：由分析可知，半圆的面积等于同直径圆面积的一半，而半圆的周长不等于同直径圆周长的一半。 所以原题说法错误。 故答案为：× 9．× 分析：圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母π表示。π是一个常数，它是一个无限不循环小数，π＝3.1415926535…。在日常生活中，通常都用3.14代表圆周率去进行近似计算。据此解答。 详解：通过分析可得：圆周率π是一个无限不循环小数，不等于3.14。原题说法错误。 故答案为：× 10．× 分析：此题考查了积的变化规律在圆的面积公式中的灵活应用，这里可得结论：圆的半径扩大n倍，则这个圆的面积就扩大n的平方倍。圆的面积＝π×r×r，其中π是一个定值，根据积的变化规律：一个因数不变，另一个因数扩大几倍，积就扩大几倍，即可解答。 详解：圆的面积＝π×r×r，r扩大2倍，则圆的面积就扩大：2×2＝4倍，所以原题说法错误。 故答案为：× 11．× 分析：周长是指封闭图形一周的长度，据此得出半圆的周长＝圆周长的一半＋直径；据此判断。 详解：如图： 半圆的周长等于其所属圆周长的一半加上一条直径的长度。 原题说法错误。 故答案为：× 12．√ 分析：根据圆的面积公式S＝πr2，以及积的变化规律：一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积也乘或除以几可知：圆的半径扩大到原来的3倍，即圆的半径乘3，那么它的面积就要乘32，即面积扩大到原来的（3×3）倍。 详解：3×3＝9 如果圆的半径扩大到原来的3倍，那么它的面积就扩大到原来的9倍。原题干说法正确。 故答案为：√ 点睛：本题考查圆的面积公式以及积的变化规律的应用。 13．C 分析：根据圆的概念和特点可知：圆周率是圆的周长与直径的比值，是一个无限不循环小数；在同圆或等圆中，圆的直径是半径的2倍；圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小；同一个圆里，有无数条直径，所有直径长度都相等。据此判断。 详解：A．π≈3.14，该选项说法错误； B．在同圆或等圆中，圆的半径是直径的一半；该选项说法错误； C．半径的长短决定圆的大小；该选项说法正确； D．圆有无数条直径；该选项说法错误。 故答案为：C 14．B 分析：据图可知，这个圆片的周长大约是3.15cm，再根据圆的直径＝周长÷π列式求出直径即可。 详解：3.15÷3.14≈1（cm） 这个圆片的直径大约是1cm。 故答案为：B 15．C 分析：根据题意，用三根长度均为20厘米的铁丝围成圆、正方形、长方形，那么长方形、正方形和圆的周长都等于铁丝的长度，可以根据铁丝的长度计算围成图形的面积； ①根据圆的周长公式C＝2πr可知，r＝C÷π÷2，由此求出圆的半径；再根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆的面积； ②根据正方形的周长＝边长×4可知，正方形的边长＝周长÷4；再根据正方形的面积＝边长×边长，求出正方形的面积； ③根据长方形的周长＝（长＋宽）×2可知，长方形的长、宽之和＝周长÷2，由此假设出长方形的长、宽，再根据长方形的面积＝长×宽，求出长方形的面积； 最后比较长方形、正方形和圆的面积大小，得出哪个图形的面积最大。 详解：①圆的半径：20÷3.14÷2≈3（厘米） 圆的面积：3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（平方厘米） ②正方形的边长：20÷4＝5（厘米） 正方形的面积：5×5＝25（平方厘米） ③长方形的长、宽之和：20÷2＝10（厘米） 假设长方形的长是6厘米，宽是4厘米； 长方形的面积：6×4＝24（平方厘米） 28.26＞25＞24 圆的面积＞正方形的面积＞长方形的面积 所以，面积最大的是圆。 故答案为：C 16．B 分析：求压路机滚动一周所行的路程，就是求压路机碾轮的周长。 详解：这个压路机是一个圆柱体，滚动一周所行的路程求压路机碾轮圆面的周长。 故答案为：B 17．B 分析：根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，求出圆的面积，再根据比的意义，用大圆面积∶小圆面积，即可解答。 详解：（π×62）∶（π×42） ＝（36π）∶（16π） ＝（36π÷4π）∶（16π÷4π） ＝9∶4 两个圆的半径分别是6cm、4cm，大圆和小圆的面积比是9∶4。 故答案为：B 18．（1）8cm2；（2）14.13cm2 分析：（1）如图所示，图中①、②、③、④的面积是相等的，将①和②分别移到③和④的位置，则阴影部分的面积就等于正方形的面积的一半，据此解答。 （2）阴影部分的面积＝（大圆的面积－小圆的面积）÷2，小圆的半径为（8÷2＝4）cm，大圆的半径为（10÷2＝5）cm；根据圆的面积＝πr2，代入相应数值计算即可解答。 详解：（1）4×4÷2 ＝16÷2 ＝8（cm2） （2）小圆的半径：8÷2＝4（cm） 大圆的半径：10÷2＝5（cm） （3.14×52－3.14×42）÷2 ＝（3.14×25－3.14×16）÷2 ＝（78.5－50.24）÷2 ＝28.26÷2 ＝14.13（cm2） 19．37.68；157；图见详解 分析：观察可知，4米＜6米，所以狗的活动范围的面积是一个半径是4米的圆面积的；8米＞6米，8－6＝2米，所以马的活动范围的面积＝一个半径是8米的圆面积的＋一个半径是2米的圆面积的×2，据此画图：再根据圆面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，求狗的活动范围面积和马的活动范围面积。 详解：如图： 3.14×42× ＝3.14×16× ＝50.24× ＝37.68（平方米） 3.14×82×＋3.14×（8－6）2××2 ＝3.14×64×＋3.14×22××2 ＝200.96×＋3.14×4××2 ＝150.72＋12.56××2 ＝150.72＋3.14×2 ＝150.72＋6.28 ＝157（平方米） 在一间底面边长为6米的房子外面的两个墙角上，分别拴了一条狗和一匹马。狗被拴在墙角A点处，绳长4米，它的活动面积最大是37.68平方米。马被拴在墙角B点处，绳长8米，它的活动面积最大是157平方米。 20．56.52平方厘米 分析：根据半圆的周长＝πr＋2r，计算出半径r；再根据圆的面积＝πr2，代入相应数值计算出圆形瓦当的面积，再把圆的面积除以2，计算出半圆形瓦当的面积。 详解：30.84÷（3.14＋2） ＝30.84÷5.14 ＝6（厘米） 3.14×62÷2 ＝3.14×36÷2 ＝113.04÷2 ＝56.52（平方厘米） 答：一块半圆形瓦当的面积是56.52平方厘米。 21．推理过程见详解 选射程为15米的装置合适，灌溉面积接近700平方米，安装在中心位置。 分析：根据圆的面积＝×半径的平方，分别求出半径是15米和半径是10米的圆的面积，与700平方米最接近的即为所求。 详解：3.14× ＝3.14×225 ＝706.5（平方米） 3.14× ＝3.14×100 ＝314（平方米） 706.5平方米更接近700平方米。 答：射程是15米的自动旋转喷灌装置，灌溉面积接近700平方米，把它安装在安装在中心位置。 22．527.52米 分析：一个圆形音乐喷泉的周长是502.4米，根据圆的周长＝，得出圆的半径是80米，喷泉外围修了一条宽4米的小路作为观赏区，则外面的圆是一个半径是84米，根据圆的周长公式求出圆的周长。 详解：502.4÷3.14＝160（米） 160÷2＝80（米） （80＋4）×2×3.14 ＝84×2×3.14 ＝527.52（米） 答：观赏区外围的周长是527.52米。 23．21.98平方米 分析：根据题意，在一个半径是3米的圆形水池周围修一条宽1米的石子路，求这条石子路的面积，就是求圆环的面积；圆环的内圆半径r是3米，外圆半径R是（3＋1）米；根据圆环的面积公式S环＝π（R2－r2），代入数据计算即可求解。 详解：3＋1＝4（米） 3.14×（42－32） ＝3.14×（16－9） ＝3.14×7 ＝21.98（平方米） 答：这条石子路的面积是21.98平方米。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$