一元一次方程的应用-2024-2025学年新教材七年级上册数学同步课件

一元一次方程的应用 会会老师 学习内容 01. 和差倍分问题 02. 配套与行程问题 03. 数字与工程问题 04. 销售问题 列方程解应用题的基本步骤和方法【解题思路】 ①审题： 找出能够表示应用题全部含义的相等关系 ②设元 先设未知数，再把各个量用含未知数的代数式表示出来 【例题】父子二人，已知10年前父亲的年龄是儿子年龄的4倍，10年后父亲的年龄是儿子年龄的2倍，那么儿子出生时，父亲的年龄是多少？　　 设未知数时， 要标明单位 我们了解一下列方程解应用题的基本步骤和方法，第一步就是审题，审题过程中把关键信息圈画出来，什么是关键信息呢？比如说谁和谁相等谁比谁大多少等等，要把题目弄懂，理解题意，找到相等关系之后，第二步就是设未知数，一般是问什么，就直接设什么为x，也就是直接设元；但是有时候直接设元有困难时，也可以间接设元 列方程解应用题的基本步骤和方法 ③列方程 根据等量关系列出方程 ④解方程 解这个方程，求出未知数的值 ⑤答【包含检验和作答】 【例题】父子二人，已知10年前父亲的年龄是儿子年龄的4倍，10年后父亲的年龄是儿子年龄的2倍，那么儿子出生时，父亲的年龄是多少？　　 解应用题时， 解方程的步骤不用写出 注意统一单位 第三步就是根据题目中的等量关系列方程，再到解方程，解完之后要注意你还没有做完题，你需要检验，怎么检验呢？把你求出来方程的解代回到根据题意列的方程中，等号两边各有一个得数，看看是否相等，相等就解对了，不相等就是解错了，那就去从头检查，检验的步骤不需要体现出来，可以在草稿纸上进行，要注意方程的解要符合题意，上面步骤都保证无误之后，最后别忘了作答，这是答题规范 设未知数的方法 1．“直接设元”：题目里要求的未知量是什么，就把它设为未知数，多适用于要求的未知数只有一个的情况； 【例题】用A型和B型机器生产同样的产品，已知5台A型机器一天生产的产品装满8箱后还剩4个，7台B型机器一天生产的产品装满11箱后还剩1个，每台A型机器比B型机器一天多生产1个产品.求每箱装多少个产品. 设未知数的方法 2．“间接设元”：有些应用题，若直接设未知数很难列出方程，或者所列的方程比较复杂，可以选择间接设未知数，而解得的间接未知数对确定所求的量起中介作用． 【例题】甲、乙、丙三人共同出资做生意，甲投资了24万元，乙投资了20万元，丙投资了28万元，年终时，共赚得利润36万元，甲、乙、丙三人按比例6:5:7进行分配，各可以分得多少利润？ 设未知数的方法 3．“部分设元”与“整体设元”转换：当整体设元有困难时，可以考虑设其一部分为未知数，反之亦然，如：数字问题． 【例题】已知三个连续自然数的和为60，求这三个数. 和差倍分问题 PART ONE 和差倍分问题解题思路 出现标志：谁是谁的几倍、和、差、多、少、几分之几.... 思路：找关键信息，梳理各个量之间的数量关系，列等量关系式 和差倍分问题 【例题1】某物流中心的A仓库有货物180吨，B仓库有货物120吨，现在需把B仓库一部分货物运到A仓库使B仓库货物占A仓库货物总量的30%.设把B仓库的货物运送x吨到A仓库，则可列方程( ) A.120-x=30%×180 B.120-x=30%(180+x) C.120+x=30%×180 D.180-x=30%(120+x) 【例题2】在一次美化校园活动中，先安排32人去拔草，18人去植树，后又增派20人去支援他们，结果拔草的人数是植树人数的2倍，问支援拔草和支援植树的分别有多少人?若设支援拔草的有x人，则下列方程中正确的是( ) A.32+x=2×18 B.32+x=2(38-x) C.52-x=2(18+x) D.52-x=2×18 运完后：B=30%A 支援后：拔=2值 B B 和差倍分问题 【例题3】父亲现在32岁，儿子现在5岁，x年前，父亲的年龄是儿子年龄的10倍，则:应满足的方程是( ) A.32-x=5x B.32-x=5×10 C.32-x=10(5-x) D.32+x=5×10 【例题4】父亲和女儿现在的年龄之和是91岁，当父亲的年龄是女儿现在年龄的2倍时，女儿的年龄是父亲现在年龄的，设女儿现在的年龄为x岁，依题意，列出方程为___________________________ x年前：父=10儿 C (91-x)-x=2x-(91-x) 年龄差不变 和差倍分问题 【例题5】甲班有45人，乙班有39人.现在需要从甲、乙两班各抽调一些同学去参加歌咏比赛.如果从乙班抽调的人数比甲班抽调的人数多4人，那么甲班剩余人数恰好是乙班剩余人数的1.5倍.请问从甲、乙两班各抽调了多少参加歌咏比赛? 解：设从甲班抽调的人数为x人，则从乙班抽调的人数为(x+4)人 由题意得：45-x=1.5[39-(x+4)] 解得：x=15 则x+4=34 答：从甲班抽调的人数为15人，则从乙班抽调的人数为19人. 和差倍分问题 【例题6】A,B两点分别居于数轴上原点的两旁，A与B之间的距离是9个单位长度，且点A到原点的距离比点B到原点的距离的3倍还多1个单位长度，求A，B两点所对应的数. 解：设点A到原点的距离为x，则点B到原点的距离为9-x 由题意得：x=3(9-x)+1 解得：x=7，则9-x=2 ①点A在点B左侧，A，B两点所对应的数分别为-7,2； ②点A在点B右侧，A，B两点所对应的数分别为7,-2； 配套问题 PART TWO 配套问题解题思路 本质：根据比例关系列式子 例如：一个镜架配两个镜片，配套之间的数量关系 镜架数量×2=镜片数量 配套问题 【例题1】某生产车间有60名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片200片或镜架50个，应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使每天生产的产品配套( ) A.40人生产镜片，20人生产镜架 B.20人生产镜片，40人生产镜架 C.20人生产镜片，60人生产镜架 D.60人生产镜片，40人生产镜架 镜片：镜架=2:1 B 解：设生产A种工件的工人有x名，则生产B种工件的工人有(75-x)人 由题意得：2×15x=20(75-x) 解得：x=30 则75-x=75-30=45 答：车间安排30名工人生产A工件，45名工人生产B种工件，才能保证连续安装机械时，两种工件恰好配套 解：设安排x名工人加工大齿轮，则加工小齿轮的人数为(85-x)名 由题意得：3×16x=2×10(85-x) 解得：x=25 答： 解：设安排x人生产第一道工序，则(30-x)人生产第二道工序 由题意得：6x=4(30-x) 解得：x=12 30-x=18 答： 行程问题 PART THREE 行程问题解题思路 本质：路程=速度×时间(s=vt) ①顺水和逆水问题 顺水(风)速度=船在静水(风)中的速度+水(风)流的速度 逆水(风)速度=船在静水(风)中的速度-水(风)流的速度 ②相遇问题与追及问题 路程和=速度和×相遇时间/路程差=速度差×追击时间 ③火车过桥问题 火车完全过桥：车速×过桥时间=桥长+车长 火车完全在桥上：车速×过桥时间=桥长-车长 行程问题 【例题1】小刚和小强从A、B两地同时出发，小刚骑自行车，小强步行，沿同一条路线相向匀速而行，出发后2h两人相遇，相遇时小刚比小强多行进24km，相遇后经过30min小刚到达B地，两人的行进速度分别是多少?相遇后经过多少时间小强到达A地? 解：设小刚的速度为xkm/h,则相遇时小刚走了2xkm，小强走了(2x-24)km， 由题意得：2x+(2x-24)=x 解得：x=16，则小强的速度为(2×16-24)÷2=4(km/h) 2×16÷4=8(h) 答：两人的行进速度分别是16km/h,4km/h,相遇后经过8小时小强到达A地. 总路程不变 刚AB=刚的路程+强的路程 行程问题 【例题2】A、B两地相距450千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行.已知甲车速度为120干米/小时，乙车速度为80千米/小时，问经过多久两车相距50千米？ 解：设经过x小时后两车相距50千米， ①相遇前相距50km 由题意得:120x+80x=450-50 解得：x=2 答： 路程差是50km不变 ②相遇后相距50km 由题意得：120x+80x=450+50 解得：x=2.5 A 解：轮船顺流航行的速度为(a+10)km/h 由题意得：3(a+10)=180 解得：a=50 逆流航行速度为50-10=40km/h 1×40=40 行程问题 【例题4】数轴上有两点A和B，分别代表的数是-20，10，若点A沿着数轴往右6个单位速度长度每秒运动，点B沿着数轴往左4个单位长度每秒运动，经过t秒后两点距离10，请问t的值为( ) A.2 B.3 C.2或3 D.2或4 D 【例题5】-列火车匀速行驶，经过一条长720米的隧道需要30秒的时间，隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是6秒，求这列火车的速度和火车的长度. 解：设火车的长度是x米， 由题意得：= 解得：x=180 180÷6=30m/s（108km/h） 答： 行程问题 始 末 桥 速度不变 数字问题 PART FOUR 数字问题解题思路 1．多位数字的表示方法： 两位数：十位数字×10+个位数字 三位数：百位数字×100+十位数字×10+个位数字 2．奇数与偶数的表示方法： 偶数可表示为2k，奇数可表示为2k+1(其中k表示整数)． 3．三个相邻的整数的表示方法： 可设中间一个整数为a，则这三个相邻的整数可表示为a-1，a，a+1． 数字问题 【例题1】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的4倍多1，将两个数字调换位置后所得的数比原数小63，求原数. 解：设原数个位上的数字为x，则十位数字上是(4x+1) 由题意得：10x+4x+1+63=10(4x+1)+x 解得：x=2 ∴原数为10(4x+1)+x=92 答： 新数+63=原数 数字问题 【例题2】在如图的2016年6月份的月历表中，任意框出表中竖列上三个相邻的数，这三个数的和不可能是( ) A.27 B.51 C.69 D.72 D 数字问题 【变式】如图，在某年11月的月历表中框出 3，5，11，17，19 五个数，它们的和为55，若在图中换个位置框出五个数，则它们的和可能是( ) A.40 B.88 C.107 D.110 D 数字问题 【例题3】观察下列按一定规律排列的n个数:2，4，6，8，10，12，…，若最后三个数之和是180，则n=___________ 31 工程问题 PART FIVE 工程问题解题思路 工作总量=工作时间×工作效率 各部分工作量之和=1 变式： ①多人：工程总量=人均工作效率×工作时间×人数 ②两人：工程总量=两人工作效率之和×工作时间 ③合作：工程总量=甲单独完成部分+乙单独完成部分+两人合作完成部分 B 工程问题 【例题2】一件工程，已知甲单独做需10天完成，乙单独做需要15天完成，如果甲先做2天后，乙加入一起完成剩下的工程，请问还需要多少天完成？ 解：设还需要x天完成 由题意得：2×+()x=1 解得：x= 答：还需要天完成. 工程总量=甲先完成部分+甲乙合作完成部分 工程问题 【例题3】有一些相同的房间需要粉刷墙面.一天3名一级技工去粉刷8个房间，结果其中有50平方米墙面未来得及粉刷;同样时间内5名二级技工粉刷了10个房间之外，还多粉刷了另外的40平方米墙面.每名一级工比二级工一天多粉刷10平方米墙面，求每名一级工、二级工每天分别刷墙面多少平方米. 解：设每一个房间有x平方米 由题意得：-=10 解得x=52 =122，=112 答： 1一级工-1二级工=10 D 销售问题 PART SIX 销售问题解题思路 解题关键： 利润=售价-进价 利润率= 售价=进价×(1+利润率) 利润=进价×利润率 实际售价=标价×打折率 利润 进价 ×100% B A C C 销售问题 【例题5】某社区小型便利超市第一次用3000元购进甲、乙两种商品，两种商品都销售完以后获利500元，其进价和售价如下表: 甲 乙 进价(/元件) 15 20 售价(元/件) 17 24 (1)该超市第一次购进甲、乙两种商品各多少件? 解：设第一次购进甲种商品x件 由题意得:(17-15)x+(24-20)·=500 解得:x=100 则=75 答： 销售问题 【例题5】某社区小型便利超市第一次用3000元购进甲、乙两种商品，两种商品都销售完以后获利500元，其进价和售价如下表: 甲 乙 进价(/元件) 15 20 售价(元/件) 17 24 (2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品.其中甲种商品的件数不变，乙种商品的件数是第一次的2倍;乙种商品按第一次的售价销售，而甲种商品降价销售.若第二次两种商品都销售完以后获利700元，求甲种商品第二次的售价. 解：设甲种商品第二次的售价为y. 由题意得:(y-15)·100+(24-20)×75×2=700 解得:y=16 答： 课程总结 1.列方程解应用题的基本步骤和方法 审、设、列、解、答 2.设未知数的方法 3.和差倍分问题 4.配套问题和行程问题 5.数字问题和工程问题 6.销售问题 下次课再见！ THANK YOU 会会老师 $$