3.2.2双曲线的几何性质限时训练-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019） 选择性必修第一册

双曲线的几何性质 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分 【基础巩固】 1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是(　　) A．2 B．2 C．4 D．4 2．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，其中一条渐近线与x轴的夹角为，则双曲线的渐近线方程是(　　) A．y＝±3x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 3．若一双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为(　　) A．y2－3x2＝36 B．x2－3y2＝36 C．3y2－x2＝36 D．3x2－y2＝36 4．设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线互相垂直，顶点到一条渐近线的距离为1，则双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为(　　) A．2 B. C．2 D．4 5．(多选)若双曲线C的一个焦点为F(5,0)，P是双曲线上一点，且渐近线方程为y＝±x，则下列结论正确的是 (　　) A．C的方程为－＝1 B．C的离心率为 C．焦点到渐近线的距离为3 D．PF的最小值为2 6．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若双曲线上存在点P满足PF1∶PF2∶F1F2＝4∶6∶5，则该双曲线的离心率为(　　) A．2 B. C. D．5 7．(5分)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F(2，0)，且离心率为e＝，则双曲线的标准方程为________________． 8．(5分)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点，若PF1＋PF2＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为________． 9．(10分)中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的两条渐近线与圆(x－5)2＋y2＝16相切． (1)求双曲线的离心率；(5分) (2)P(3，－4)是渐近线上一点，F1，F2是双曲线的左、右焦点，若PF1⊥PF2，求双曲线的方程．(5分) 10．(12分)设双曲线－＝1(0<a<b)的半焦距为c，直线l过(a,0)，(0，b)两点，已知原点到直线l的距离为c，求双曲线的离心率． 【综合运用】 11．已知双曲线C：－y2＝1(a>0)的一条渐近线为x＋ay＝0，则双曲线C的焦距为(　　) A．2 B．4 C. D．2 12．已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为(　　) A. B．2 C. D. 13.如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点，若M，O，N将椭圆的长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是(　　) A．3 B．2 C. D. 14．(5分)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率是，F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，过点F2且垂直于x轴的垂线在x轴上方交双曲线C于点M，则tan∠MF1F2的值为________． 【创新拓展】 15．(5分)张老师在课堂上与学生一起探究某双曲线的简单几何性质时，有四位同学分别给出了一个结论： 甲：该双曲线的实轴长为6； 乙：该双曲线的虚轴长为8； 丙：该双曲线的焦距为5； 丁：该双曲线的一条渐近线方程可以为y＝x. 如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是________． 16．(12分)已知双曲线C1：x2－＝1. (1)求与双曲线C1有相同的焦点，且过点P(4，)的双曲线C2的标准方程；(5分) (2)直线l：y＝x＋m分别交双曲线C1的两条渐近线于A，B两点，当·＝3时，求实数m的值．(7分) 双曲线的几何性质 1．C　[双曲线方程化为标准方程为－＝1，所以a2＝4，a＝2，从而2a＝4，故选C.] 2．C　[由双曲线－＝1(a>0，b>0)， 可知渐近线方程为y＝±x， 又双曲线的一条渐近线与x轴的夹角为， 故＝tan ＝， 即渐近线方程为y＝±x.] 3．A　[椭圆4x2＋y2＝64化为标准方程为 ＋＝1， a2＝64，c2＝64－16＝48， ∴焦点为(0,4)，(0，－4)，离心率e＝， 则双曲线的焦点在y轴上，c′＝4，e′＝， 从而a′＝6，b′2＝12， 故所求双曲线的方程为y2－3x2＝36.] 4．B　[因为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线互相垂直，所以a＝b. 所以渐近线方程为y＝±x， 因为顶点到一条渐近线的距离为1， 所以a＝1， 所以a＝b＝， 所以双曲线C的方程为－＝1， 焦点坐标为(－2,0)，(2,0)， 所以双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为 d＝＝.] 5．AD　[ 双曲线C的一个焦点为F(5,0)，且渐近线方程为y＝±x，可得c＝5，焦点坐标在x轴上，所以＝，因为c＝5，所以b＝4，a＝3，所以C的方程为－＝1，A正确；离心率为e＝，B不正确；焦点到渐近线的距离为d＝b＝4，C不正确； PF的最小值为c－a＝2，D正确．] 6．B　[设PF1＝4k，则PF2＝6k，F1F2＝5k，k>0，所以e＝＝＝.] 7.－＝1 解析　由焦点坐标，知焦点在x轴上且c＝2，由e＝＝，可得a＝4，所以b＝＝2，则双曲线的标准方程为－＝1. 8. 解析　不妨设PF1>PF2，则PF1－PF2＝2a，又PF1＋PF2＝6a，得PF1＝4a，PF2＝2a，F1F2＝2c，则在△PF1F2中，∠PF1F2＝30°，由余弦定理得(2a)2＝(4a)2＋(2c)2－2×(4a)×(2c)×cos 30°，整理得(e－)2＝0，所以e＝. 9．解　(1)设经过第一、三象限的渐近线的方程为y＝kx，则＝4，解得k＝. 若双曲线焦点在x轴上，则＝，e＝； 若双曲线焦点在y轴上，则＝，e＝， 故所求双曲线的离心率为e＝或e＝. (2)由题意设F1(－c,0)，F2(c,0)， 由PF1⊥PF2得·＝0. 所以(3＋c)(3－c)＋16＝0，解得c＝5， 由(1)知＝，又a2＋b2＝c2＝25， 所以a＝3，b＝4， 所以双曲线的方程为－＝1. 10．解　设直线l的方程为＋＝1， 即bx＋ay－ab＝0. 于是有＝c， 所以ab＝c2，两边平方，得a2b2＝c4. 又b2＝c2－a2，所以16a2(c2－a2)＝3c4， 两边同时除以a4，得3e4－16e2＋16＝0， 解得e2＝4或e2＝. 又b>a，所以e2＝＝1＋>2，则e＝2. 于是双曲线的离心率为2. 11．D　[因为双曲线的渐近线方程为y＝±x， 得＝，解得a＝1， 则双曲线的方程为x2－y2＝1，则c＝＝， 则焦距为2c＝2.] 12．D　[不妨取点M在第一象限，如图所示，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则BM＝AB＝2a， ∠MBx＝180°－120°＝60°， ∴M点的坐标为(2a，a)． ∵M点在双曲线上，∴－＝1，a＝b， ∴c＝a，e＝＝.] 13．B　[设椭圆与双曲线的标准方程分别为 ＋＝1(a>b>0)， －＝1(m>0，n>0)， 因为它们共焦点， 所以设它们的半焦距均为c， 所以椭圆与双曲线的离心率分别为e1＝， e2＝， 由点M，O，N将椭圆长轴四等分可知m＝a－m， 即2m＝a，所以＝＝＝2.] 14. 解析　由题意得，e＝＝， 点M的横坐标为c，将x＝c代入双曲线C的方程， 得－＝1，所以y＝±， 又y>0，所以M， 所以tan∠MF1F2＝＝＝＝＝＝. 15．丙 解析　设双曲线的实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，有c2＝a2＋b2，即c>a，c>b， 显然甲、乙、丙3人的结论中至少有两个正确，由于焦距比实轴、虚轴都长，因此丙的结论是错误的， 此时a＝3，b＝4，则该双曲线的一条渐近线方程可以为y＝x，丁的结论也正确，符合题意， 所以结论错误的同学是丙． 16．解　(1)双曲线C1的焦点坐标为(，0)，(－，0)， 设双曲线C2的标准方程为－＝1(a>0，b>0)， 则解得 所以双曲线C2的标准方程为－y2＝1. (2)双曲线C1的渐近线方程为y＝2x，y＝－2x， 设A(x1,2x1)，B(x2，－2x2)， 由消去y化简得3x2－2mx－m2＝0， 由Δ＝(－2m)2－4×3×(－m2)＝16m2>0，得m≠0. 因为x1x2＝－， ·＝x1x2＋2x1(－2x2)＝－3x1x2＝m2， 所以m2＝3，即m＝±. 学科网（北京）股份有限公司 $$