命题点8 二次函数的图象与性质（必考）-【一战成名新中考】2025江西中考数学·一轮复习·基础夯实练优质课件PPT（讲册）

数学 1 第三章 函 数 命题点8 二次函数的图象与性质（必考） 2 要点1 二次函数的图象与性质（图象 抛物线） 概念 形如,,为常数且的函数叫作 的二次函数 三种表达式 一般式 顶点式 交点式 大致 图象 开口向上 ______________________________ ________________________________ ________________________________ . . 3 三种表达式 一般式 顶点式 交点式 大致 图象 开 口向下 ______________________________ ______________________________ ______________________________ 对称轴 直线 ①_ ____ 直线 ②___ 直线 ③_ _____ 顶点坐标 ④_ _____________ ⑤______ — ， 4 三种表达式 一般式 顶点式 交点式 最值 时， 有最 小值⑥_ ______ 时， 有 最小值⑦___ 时， 有最 ⑧____值 时， 有最 大值⑨_ ______ 时， 有 最大值⑩___ 时， 有最 ⑪____值 小 大 5 增减 性 在对称轴左侧时，随 增大而⑫______； 在对称轴右侧时，随 增大而⑬______ 在对称轴左侧时，随 增大而⑭______； 在对称轴右侧时，随 增大而⑮______ 增大 减小 注：特别地，若已知二次函数的表达式为 ，则二次函数图象 必过原点；反之，若已知二次函数 的图象过原点，则必 有 . 减小 增大 6 对点练习 1.根据表格填空： 表达式 顶点式： 交点式： 一般式： 由表达式直接得到的信息 ①顶点坐标为______； ②对称轴为直线 ______； ③有最____值为___ ①与 轴交点坐标 为___________； ②对称轴为直线 _______ ①与 轴交点坐标为_________； ②对称轴为直线 ______ 最值 _ ____时， _____ _____时， _____ ____时， ______ 大 4 和 2 1 4 7 表达式 顶点式： 交点式： 一般式： 与坐标轴交点坐标 与 轴交点坐标为 _ ______________________________；与 轴交点坐标为________ 与 轴交点坐标为 ________ 与 轴交点坐标为 __________________________________ 画出示意图 和 和 8 要点2 二次函数的图象与、、 的关 系 决定抛物线的开口方 向， 决定开口大小 ，抛物线开口向上； ，抛物线开口向下 、 决定抛物线对称轴的位置（对称轴为直线 ） ，对称轴为⑯_____； ，对称轴在 轴⑰____侧； ，对称轴在 轴⑱____侧 轴 左 右 9 决定抛物线与 轴交点 的位置 ，抛物线过原点； ，抛物线与 轴交于正半轴； ，抛物线与 轴交于负半轴 决定抛物线与 轴的交 点个数 时，与 轴有唯一的交点（顶点）； 时，与 轴有⑲______交点； 时，与 轴没有交点 两个 10 特 殊 关 系 先把含、、 的项移到等式（或不等式）的一边； 看到，比较和1的大小；看到，比较与 的大小； 看到，令，看的值；看到，令 ，看 的值； 看到，令，看的值；看到 ，令，看 的值 11 对点练习 第2题图 2.已知二次函数 图象的对称轴为直 线，与轴的一个交点的坐标为 ，其部分图象 如图所示，下列结论中正确的是____________（填序号）. ①③④⑦⑨ ；；③ ； ④；⑤;⑥ ; ⑦一元二次方程的两个根是 ， ； ⑧当时，；⑨当时，随 的增大而增大； ⑩若点，, 是函数图象上的两点，则 . 12 要点3 对称轴的理解与应用（仅2015.6单独考查，常在二次函数综合题中涉及） （1）求对称轴 例1 抛物线过和 两点，则此抛物线的 对称轴为（⑳___） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 √ 方法指导 如图1，若抛物线上两点的纵坐标相等， 横坐标不相等、，则对称轴为直线 . 图1 13 （2）判断函数类型：给出几组自变量与函数值 的对应值，若有下表的 特征，则该函数为二次函数； 【获取信息】由表可得，该二次函数的图象性质： ①开口㉑______，对称轴为直线㉒______，顶点坐标为㉓________； ②当时，随的增大而 ㉔______，当时，随 的增大而㉕ ______；函数有最㉖____值，为㉗____； ③该二次函数的图象与 轴的交点有㉘___个，坐标为㉙_______________， 与 轴的交点坐标为㉚________. 向上 减小 增大 小 2 ， 14 （3）利用对称轴求点坐标 例2 已知抛物线与 轴的一个交点的坐标为,则此抛 物线与 轴的另一个交点的坐标为㉛______. 15 例2变式题图 ［变式］ 如图，抛物线的 对称轴为直线 ，抛物线与直线交于点 ， 根据图象可知抛物线的对称轴为㉜_____________， 点关于对称轴对称的点 的坐标为㉝_______. 直线 方法指导 ①已知对称轴为直线，与轴的一个交点为,则与 轴 的另一个交点坐标为㉞___________；②若已知抛物线上任意一点的坐标 为,对称轴为直线,则点 关于对称轴对称的点的坐标为 ㉟____________. （4）利用对称轴，比较函数值大小 例3 多解法 若二次函数的图象过 ， ，，则,, 的大小关系是（㊱___） A. B. C. D. √ 17 方法指导 解法一：代入法.若二次函数表达式已知，将点的横坐标代入， 求出对应的纵坐标直接比较. 解法二：异侧转同侧结合增减性比较.需求出点关于对称轴对称的点的横坐 标，然后利用同侧的增减性比较，如图2，3. 图2 图3 18 解法三： 距离法.先定开口方向，再算“距离”，开口向上，距离对称轴越 远的值越大，开口向下，距离对称轴越远的值越小.如图4，可得点,, 到 抛物线对称轴的距离的大小关系为 （用含的代数式分别表示距离），因为抛物线开口向上，所以, , 的大小关系是㊲____ ㊳____ ㊴____. 图4 19 （5）利用对称轴求自变量取值范围内函数最值（涉及分类讨论） 例4 已知二次函数，当 时，该二次函数的最 大值为㊵___． 1 ［变式］ 已知二次函数（为常数），当自变量 的值满足 时，与其对应的函数值的最大值为，则 的值为 （） A.3或6 B.1或6 C.1或3 D.4或6 图5 【思路点拨】如图5，通过对称轴在所给区间左侧、内 部、右侧三种情况分类讨论,求出符合条件的 的值. ①当 时，有㊶________________，解得㊷______； ②当时， 的最大值为㊸___，不 符合题意； ③当 时，有㊹________________，解得㊺______. 【答案】㊻___ 0 B 21 方法指导 已知二次函数图象的对称轴为直线 ，且函数 图象经过点和，根据下列二次函数图象，当 时，函数 的最大值与最小值如下. 图象 _________________________________________ _________________________________________ __________________________________________ _________________________________________ 最大值 最小值 22 图象 _________________________________________ __________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ 最大值 最小值 注：①当对称轴在自变量取值范围左侧或右侧时，函数在所给自变量取值 范围端点处取得最大值与最小值； ②当对称轴在自变量取值范围内时，函数在顶点处取得一个最值，在所给 自变量取值范围距对称轴较远处一端点取得另一个最值. 23 温馨提示：请完成分层作业本P39-40习题 24 $$