第二章 函数（6大题型）（期末复习专项训练）高一数学上学期北师大版

第二章 函数 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 函数的概念 · 函数的单调性及最值 · 函数的奇偶性 · 函数的单调性与奇偶性综合应用 · 二次函数 · 幂函数 一．函数的概念（共7小题） 1.下列四组函数中，表示相同函数的一组是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】A 选项：当 时，，，所以这两个函数的对应法则不同，不是相同函数； B 选项：，其定义域为，，其定义域为. 两个函数的定义域不同，不是相同函数； C 选项：，其定义域为，，其定义域也为. 两个函数的对应法则相同，定义域也相同，是相同函数. D 选项：，其定义域为，，其定义域为. 两个函数的定义域不同，不是相同函数. 综上所述，表示相同函数的一组是 C 选项. 故选：C. 2.若函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【详解】A选项，从图可知表示的是函数图象，定义域为，不合题意； B选项，从图可知表示的是函数图象，定义域为，值域为，符合题意； C选项，此图表示的不是函数图象，不符合题意； D选项，从图可知表示的是函数图象，定义域为，值域不是，不符合题意. 故选：B 3．中文“函数”一词，最早是由清代数学家李善兰翻译而得，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中是同一个函数的是（） A． B． C． D．和 【答案】B 【详解】对于A，和定义域均为R，， 故和定义域相同，对应关系不同，和不是同一个函数，故A错误； 对于B，和定义域均为R，， 故和定义域相同，对应关系相同，和是同一个函数，故B正确； 对于C，定义域为定义域为， 故和定义域不相同，和不是同一个函数，故C错误； 对于D，定义域为定义域为, 故和定义域不相同，和不是同一个函数，故D错误； 故选：B. 4．若函数的定义域为R，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【详解】当时，不等式恒成立. 当时，恒成立； 当时，则需满足， 综合可得的取值范围是. 故选：C 5.（多选）下面各组中的函数为同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BC 【详解】对于A，易知的定义域为，的定义域为，不是同一个函数，即A错误； 对于B，两函数定义域均为，值域为，对应关系相同，因此两函数为同一个函数，即B正确； 对于C，两函数定义域为，值域为，对应关系相同，所以函数为同一个函数，即C正确； 对于D，定义域为，的定义域为，不是同一个函数，即D错误. 故选：BC 6.已知函数，则 . 【答案】 【详解】由，则. 故答案为：. 7．已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数的定义域为， 所以 ，解得且 ， 所以函数的定义域是， 故选：B 二．函数的单调性及最值（共7小题） 8.已知函数为减函数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为函数为减函数， 所以，故， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 9．定义一种运算，设（t为常数，且）.若函数的最大值为4，则t的取值集合为 . 【答案】 【详解】在上的最大值为5， 所以由，解得或， 所以时，， 所以要使函数最大值为4，则根据定义可知， 当时，的图象必须经过点， 即时，，此时解得，符合题意； 当时，的图象必须经过点， 即时，，此时解得，符合题意。 综上所述，或. 故答案为：.    10．定义域为的函数满足条件：①对任意的，恒有；②；③，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，恒有， 所以在上恒成立，即在上单调递增， 因为，所以，即是定义在上的偶函数， 所以函数在上单调递减，又，所以， 对于不等式， 当时，，可得； 当时，，可得； 综上，不等式的解集是. 故选：A 11.已知，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，则， ， ，， 函数的值域为， 故选：C. 12.定义在上的函数满足对任意，（）时，都有成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，函数在上单调递减， 则，解得， 即实数a的取值范围是. 故选：D. 13.已知函数，若对任意，恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】不妨假设，由，得，则在上单调递减， 所以，解得. 所以实数的取值范围是. 故选：C. 14.已知函数经过，两点. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性并用定义进行证明； (3)当时，，求实数m的最小值. 【答案】(1) (2)在上单调递减，证明见解析 (3) 【详解】（1），， ，解得，. （2）在上单调递减，证明如下： 任取，，且， 则， ，，且， ，，， ，即， 所以函数在上单调递减. （3）由（2）知在上单调递减， 函数在上的最大值为， 由知，， 所以m的最小值为. 三．函数的奇偶性（共9小题） 15．已知函数是上的偶函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数为偶函数，所以. 当时，， 所以当时，. 故选：A. 16.若函数是定义在R上的奇函数，当时，，则等于（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】A 【详解】因为为奇函数， 所以. 故选：A 17．已知定义域为的奇函数在的图象如图所示，则下列说法错误的是（    ）    A． B． C．在定义域上不存在最小值 D．在的最大值与最小值之和为 【答案】C 【详解】对于A，由为定义域在的奇函数，则图象关于点对称，, 由图知，则，故A正确； 对于B，，为奇函数，则，故B正确； 对于C，由图知在的最大值为，则在的最小值为， 因此可得在定义域上存在最小值为，故C错误； 对于D，由在的最大值为，最小值为，则最大值与最小值之和为，故D正确. 故选：C. 18.已知函数是上的奇函数，且当时，函数的部分图象如图所示，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题设，即， 当时，， 由图可知，时，时， 当时，， 根据奇函数的对称性，有时，时， 所以，不等式的解集为. 故选：D 19.已知函数为偶函数，当时，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当，则，所以， 根据偶函数性质可知. 故选：C 20．若函数是奇函数，则实数a、b的值分别为（   ） A．1，1 B．， C．，1 D．1， 【答案】D 【详解】已知时，. 当时，，根据函数表达式，.   因为是奇函数，所以. 当时，. 由可得. 对于，等式两边对应项系数相等. 对于的系数，可得，解得. 对于的系数，可得.   故，. 故选：D. 21．已知函数为奇函数，则（   ） A． B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】由题意可知，，即， 整理得， 即对于恒成立， 则，所以，， 故选：D． 22．已知函数，，则 . 【答案】 【详解】∵，， 所以. 故答案为：． 23.已知函数且，则的值为 ． 【答案】 【详解】令，定义域为且关于原点对称， 因为，所以为奇函数， 所以，所以， 代入，可得， 故答案为：. 四．函数的单调性与奇偶性综合应用（共7小题） 24．已知是定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为是定义在上的偶函数， 所以， 解得， 所以函数的定义域为； 又因为在上为增函数， 即在上为增函数， 所以在上为减函数， 又因为， 所以， 整理得， 解得或. 所以不等式的解集为. 故选：D. 25．已知定义在上的函数满足，且在上单调递减，则，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，，由在上单调递减，，得， 所以. 故选：C 26.已知函数为定义在上的奇函数，且在区间上单调递增，在区间上单调递减，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题设，易知在上，在上，且， 由，则或， 所以原不等式的解集为. 故选：C 27.定义在上的偶函数对任意的，且，都有，且，则不等式的解集是 . 【答案】 【详解】由题意知：在上单调递减， 又因为为偶函数，， 所以在上单调递增，且， 故当时，，当或时，. 等价于或. 当时，解得：， 当时，解得：， 综上所述，的解集为， 故答案为：. 28．已知函数是定义在上的奇函数，且，若对任意的，当时，都有成立，则不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】令，则为偶函数，且， 当时，为减函数， 所以当或时，；当或时，； 因此当时，；当时，， 即不等式的解集为， 故答案为：. 29．已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有. (1)求实数的值； (2)求函数在区间上的解析式，并利用定义证明其在该区间上的单调性； (3)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)函数在区间上的解析式为，且在上单调递增，证明见解析； (3) 【详解】（1）由题可知，函数是定义在上的奇函数，且， 则，解得， 经检验符合题意. （2）由（1）可知当时，， 当时， 任取，且， 且，则 于是，所以在上单调递增. （3）由函数是定义在上的奇函数，且在上单调递增， 则在上单调递增， 所以，则， 则由可得：， 解得：， ∴不等式的解集为． 30．已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，给定函数． (1)求函数图象的对称中心； (2)用定义法证明在区间上的单调性． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题可知，当对称中心为时，. 设函数图象的对称中心为， 则， 即， 整理得， 于是，解得， 所以的对称中心为； （2）设，，且， 则， 因为且， 所以，即， 所以在上单调递增. 五．二次函数（共5小题） 31.已知函数，且不等式对一切实数x恒成立． (1)求函数的解析式； (2)在(1)的条件下，设函数，关于x的不等式，在有解，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）且，， 又对一切实数x恒成立， 对一切实数x恒成立， ①当时，，若，则，， 不符合题意； ②当时，若对一切实数x恒成立， 则，， 又，，，， ； （2）由题可知， 则关于x的不等式在有解， 即在有解， 即在有解， 当时，， 令，， 则，其中， 当时，， ，，，， 或， 实数m的取值范围为. 32．已知，为常数． (1)若为偶函数，求的值； (2)设，，若函数，为减函数，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由已知函数为偶函数， 则， 即恒成立， 化简可得，即， 又不恒为， 所以； （2）由以， 当时，， 此时， 又，则函数在上单调递减， 由在上单调递减， 所以， 解得，即. 33．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，． (1)求的解析式； (2)当时，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由是定义在上的奇函数，且当时，， 则，解得，即时，； 当时，，， 故； （2）作出函数的大致图象如图所示： 当时，函数在上单调递增，则； 当，，函数在上单调递减，在上单调递增， 此时； 当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减， ，， 则，则， 则； 当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减， ，， 则， 则，所以； 当时，即当时，函数在上单调递增， 此时， 综上所述，． 34．设是定义在上的奇函数，当时，. (1)求函数的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，，又是定义在上的奇函数， 故， 即，又， 故； （2）当时，， 故在上单调递增， 又，是定义在上的奇函数， 故在上单调递增， 则有， 即有，解得. 35.已知二次函数满足：有两个实数根. (1)若，求实数的取值范围; (2)若，记在时的最小值为，求的表达式; (3)若与都是整数且，求的值. 【答案】(1)或； (2)； (3)时，，，时，，． 【详解】（1）由已知有两个不等实根， 所以，解得或； （2）由，可知， 又，故，显然， 所以， 当时，的图象是开口向上的抛物线， 当时，，， 当时，， 当时，的图象是开口向下的抛物线， 时，，， 时，，， 所以； （3）由题意，， 由得， 又方程的解都是整数，则或2， ，即时，，， ，即时，，． 综上，时，，，时，，． 六．幂函数（共9小题） 36.如图是幂函数的部分图像，已知分别取这四个值，则与曲线相应的依次为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，幂函数在上单调递增， 当时，幂函数在上单调递减， 并且在直线的右侧，图象自下而上所对应的函数的幂指数依次增大， 所以，所以. 故选：A 37.（多选）幂函数，，则下列结论正确的是（    ） A． B．函数是偶函数 C． D．函数的值域为 【答案】ABD 【详解】因为是幂函数，且， 所以，可得，则，A正确； 又定义域为，，B正确； 又，，C错误； 由，可知D正确. 故选：ABD 38．（多选）已知函数的图象经过点则（   ） A．的图象经过点 B．的图象关于轴对称 C．在上单调递减 D．在内的值域为 【答案】CD 【详解】由题意，则，∴， ∴是奇函数，图象关于原点对称，在上是减函数，值域为， ， 故选：CD 39．（多选）幂函数在上是增函数，则以下说法正确的是（   ） A． B．函数在上单调递增 C．函数是偶函数 D．函数的图象关于原点对称 【答案】ABD 【详解】因为幂函数在上是增函数， 所以解得，所以， 所以，故为奇函数，函数图象关于原点对称， 所以在上单调递增,ABD正确，C错误 故选：ABD． 40．（多选）已知幂函数的图象经过点，则下列结论正确的是（    ） A． B．是增函数 C．是偶函数 D．不等式的解集为 【答案】BD 【详解】设幂函数，因为图象经过点，所以将点代入中，可得，那么，即. 分析选项A,，定义域为，所以不在定义域内，无意义，A选项错误. 分析选项B,幂函数，因为，根据幂函数性质，当时，幂函数在定义域上单调递增，B选项正确. 分析选项C,，无意义，不满足，不是偶函数，C选项错误. 分析选项D,由，即，解不等式， ， 又因为定义域为，所以不等式的解集为，D选项正确. 故选：BD. 41．若，且函数与的图象若只有个交点，则写出一个符合条件的集合 ；若有两个交点，则满足条件的不同集合有 个． 【答案】 （答案不唯一） 【详解】函数与的图象分别有个，个，个交点； 函数与的图象都有个交点； 函数与的图象有个交点， 所以函数与的图象若只有个交点， 则或； 函数与的图象若只有个交点， 则或或或. 故答案为：（答案不唯一）；. 42．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数． (1)求和的值； (2)若实数满足，求的最小值. 【答案】(1)或1， (2)2 【详解】（1）幂函数，则，解得或1， 又幂函数在上是减函数，故，解得， 因为，故或， 当时，幂函数为，图象关于轴对称，符合题意； 当时，幂函数为，图象关于原点对称，不合题意， 综上所述：或1，； （2）∵实数满足， ∴，则， ∴ . 当且仅当且，即时等号成立. 所以的最小值是2. 43．已知函数为幂函数，且在区间上单调递增，令． (1)求函数的解析式； (2)当时，求函数在区间上的值域； (3)若对任意恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）依题意，解得或； 当时，在区间上单调递减，不合题意，舍去； 当时，在区间上单调递增，符合题意， 所以； （2）当时，可得， 令，因为，所以， 即可得， 当时，，当时，； 所以函数在区间上的值域为 （3）令，因为，所以， 即可得， 因为对任意恒成立，所以对于任意恒成立； 所以. 当时，在上单调递减，可得，符合题意； 当时，图象的对称轴为， 易知恒成立，因此在上的最小值为，符合题意； 当时，若，此时，可得，此时不等式无解，不符合题意； 当时，，此时在上的最小值为，解得. 综上可知，实数a的取值范围为. 44．已知幂函数在单调增，. (1)求函数的解析式； (2)如果函数在区间上是增函数，求的取值范围； (3)求关于的不等式解集(其中). 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【详解】（1）由题意可得，或， 又因为在单调增，，， 所以. （2）由（1）知，函数在区间上是增函数， ，，即的取值范围为. （3）不等式转化为，则. 当时，解得或，即不等式的解集为或， 当时，解得或，即不等式的解集为或， 当时，解得，即不等式的解集为. 综上可得当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为. $第二章 函数 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 函数的概念 · 函数的单调性及最值 · 函数的奇偶性 · 函数的单调性与奇偶性综合应用 · 二次函数 · 幂函数 一．函数的概念（共7小题） 1.下列四组函数中，表示相同函数的一组是（   ） A．， B．， C．， D．， 2.若函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能是（   ） A．   B．   C．   D．   3．中文“函数”一词，最早是由清代数学家李善兰翻译而得，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中是同一个函数的是（） A． B． C． D．和 4．若函数的定义域为R，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 5.（多选）下面各组中的函数为同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 6.已知函数，则 . 7．已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 二．函数的单调性及最值（共7小题） 8.已知函数为减函数，则实数的取值范围是 . 9．定义一种运算，设（t为常数，且）.若函数的最大值为4，则t的取值集合为 .   10．定义域为的函数满足条件：①对任意的，恒有；②；③，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 11.已知，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 12.定义在上的函数满足对任意，（）时，都有成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 13.已知函数，若对任意，恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 14.已知函数经过，两点. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性并用定义进行证明； (3)当时，，求实数m的最小值. 三．函数的奇偶性（共9小题） 15．已知函数是上的偶函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 16.若函数是定义在R上的奇函数，当时，，则等于（    ） A． B． C．0 D．2 17．已知定义域为的奇函数在的图象如图所示，则下列说法错误的是（    ）    A． B． C．在定义域上不存在最小值 D．在的最大值与最小值之和为 18.已知函数是上的奇函数，且当时，函数的部分图象如图所示，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 19.已知函数为偶函数，当时，则当时，（    ） A． B． C． D． 20．若函数是奇函数，则实数a、b的值分别为（   ） A．1，1 B．， C．，1 D．1， 21．已知函数为奇函数，则（   ） A． B．， C．， D．， 22．已知函数，，则 . 23.已知函数且，则的值为 ． 四．函数的单调性与奇偶性综合应用（共7小题） 24．已知是定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 25．已知定义在上的函数满足，且在上单调递减，则，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 26.已知函数为定义在上的奇函数，且在区间上单调递增，在区间上单调递减，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 27.定义在上的偶函数对任意的，且，都有，且，则不等式的解集是 . 28．已知函数是定义在上的奇函数，且，若对任意的，当时，都有成立，则不等式的解集为 ． 29．已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有. (1)求实数的值； (2)求函数在区间上的解析式，并利用定义证明其在该区间上的单调性； (3)解关于的不等式. 30．已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，给定函数． (1)求函数图象的对称中心； (2)用定义法证明在区间上的单调性． 五．二次函数（共5小题） 31.已知函数，且不等式对一切实数x恒成立． (1)求函数的解析式； (2)在(1)的条件下，设函数，关于x的不等式，在有解，求实数m的取值范围． 32．已知，为常数． (1)若为偶函数，求的值； (2)设，，若函数，为减函数，求实数的取值范围． 33．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，． (1)求的解析式； (2)当时，求的最小值． 34．设是定义在上的奇函数，当时，. (1)求函数的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 35.已知二次函数满足：有两个实数根. (1)若，求实数的取值范围; (2)若，记在时的最小值为，求的表达式; (3)若与都是整数且，求的值. 六．幂函数（共9小题） 36.如图是幂函数的部分图像，已知分别取这四个值，则与曲线相应的依次为（   ） A． B． C． D． 37.（多选）幂函数，，则下列结论正确的是（    ） A． B．函数是偶函数 C． D．函数的值域为 38．（多选）已知函数的图象经过点则（   ） A．的图象经过点 B．的图象关于轴对称 C．在上单调递减 D．在内的值域为 39．（多选）幂函数在上是增函数，则以下说法正确的是（   ） A． B．函数在上单调递增 C．函数是偶函数 D．函数的图象关于原点对称 40．（多选）已知幂函数的图象经过点，则下列结论正确的是（    ） A． B．是增函数 C．是偶函数 D．不等式的解集为 41．若，且函数与的图象若只有个交点，则写出一个符合条件的集合 ；若有两个交点，则满足条件的不同集合有 个． 42．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数． (1)求和的值； (2)若实数满足，求的最小值. 43．已知函数为幂函数，且在区间上单调递增，令． (1)求函数的解析式； (2)当时，求函数在区间上的值域； (3)若对任意恒成立，求实数a的取值范围． 44．已知幂函数在单调增，. (1)求函数的解析式； (2)如果函数在区间上是增函数，求的取值范围； (3)求关于的不等式解集(其中). $$