第11讲空间向量的综合应用讲义-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

努力成就梦想 方法创造奇迹 第11讲　空间向量的应用 【必备知识】 1．空间角 (1)异面直线所成的角：设异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是，则cosθ＝|cos 〈u，v〉|＝． (2)直线与平面所成的角：如图，直线AB与平面α相交于点B， 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u， 平面α的法向量为n，则sinθ＝|cos 〈u，n〉|＝． (3)平面与平面的夹角 如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把四个二 面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角． 若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角 即为向量n1和n2的夹角或其补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则 cosθ＝|cos 〈n1，n2〉|＝． 2．空间距离 (1)点P到直线l的距离 设＝a，u是直线l的单位方向向量，则向量在直线l上 的投影向量＝(a·u)u．在Rt△APQ中，由勾股定理， 得PQ＝＝． (2)点P到平面α的距离 若平面α的法向量为n，平面α内一点为A，则平面α外一 点P到平面α的距离d＝，如图所示． (3)线面距离、面面距离都可以转化为点到平面的距离． 考点1　空间角 1、在正四面体ABCD中，M，N分别为棱BC，AB的中点，设＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示向量＝________，异面直线DM与CN所成角的余弦值为________． 2、如图，在四棱锥P­ABCD中，AP＝PD＝DC＝CB＝1，AB＝2，∠APD＝∠DCB＝∠CBA＝90°，平面PAD⊥平面ABCD． (1)求证：PB＝PC； (2)求直线PA与平面PCB所成角的正弦值． (3)求二面角A­PD­C的正弦值．　　 考点2　空间距离 1、如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，各棱长均为4，N是CC1的中点． (1)求点N到直线AB的距离； (2)求点C1到平面ABN的距离． 限时训练（30分钟） 姓名： 得分： 一、单选题（每题6分，共36分） 1．已知点，，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D．2 2．已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为（   ） A．或－1 B．或1 C．－1或2 D． 3．在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 4．已知是圆锥的底面直径，C是底面圆周上的点， ，，，则与平面 所成角的正弦值为（    ）A． B． C． D． 5．在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则直线到平面的距离为（ ）A． B． C． D． 6．如图，在正三棱柱中，，则 平面与平面夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每题6分，共12分） 7．已知空间四点，，，，则下列四个结论中正确的是（   ）A． B． C．点到直线的距离为 D．点到平面的距离为 8．已知正方体的棱长为1，点E，O分别是，的中点，点P在正方体内部且满足，则下列说法正确的是（    ） A．BE与所成角的正弦值是 B．点O到平面的距离是 C．平面与平面间的距离为 D．点P到直线AB的距离为 三、填空题（每题6分，共12分） 9．设直线的方向向量为，平面的法向 量为，则直线与平面所成角的大小为 . 10．如图，已知正方体的棱长为1， 为棱的中点，则点到平面的距离为 ． 四、解答题（每题20分，共40分） 11．如图，在正方体中，已知棱长为4，点E，F分别在，上，. (1)求异面直线AE和所成角的余弦值; (2)求直线AE和平面所成角的正弦值； 12．四棱锥中，底面为菱形，底面，． （1）求点到平面的距离； （2）求二面角的余弦值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$