第11讲空间向量的综合应用讲义-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第11讲　空间向量的应用

【必备知识】

1．空间角

(1)异面直线所成的角：设异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是，则cosθ＝|cos 〈u，v〉|＝．

(2)直线与平面所成的角：如图，直线AB与平面α相交于点B，

设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，

平面α的法向量为n，则sinθ＝|cos 〈u，n〉|＝．

(3)平面与平面的夹角

如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把四个二

面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．

若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角

即为向量n1和n2的夹角或其补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则

cosθ＝|cos 〈n1，n2〉|＝．

2．空间距离

(1)点P到直线l的距离

设＝a，u是直线l的单位方向向量，则向量在直线l上

的投影向量＝(a·u)u．在Rt△APQ中，由勾股定理，

得PQ＝＝．

(2)点P到平面α的距离

若平面α的法向量为n，平面α内一点为A，则平面α外一

点P到平面α的距离d＝，如图所示．

(3)线面距离、面面距离都可以转化为点到平面的距离．

考点1　空间角

1、在正四面体ABCD中，M，N分别为棱BC，AB的中点，设＝a，＝b，＝

c，用a，b，c表示向量＝________，异面直线DM与CN所成角的余弦值为________．

2、如图，在四棱锥P­ABCD中，AP＝PD＝DC＝CB＝1，AB＝2，∠APD＝∠DCB＝∠CBA＝90°，平面PAD⊥平面ABCD．

(1)求证：PB＝PC；

(2)求直线PA与平面PCB所成角的正弦值．

(3)求二面角A­PD­C的正弦值．　　

 

 

 

 

 

 

 

考点2　空间距离

1、如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，各棱长均为4，N是CC1的中点．

(1)求点N到直线AB的距离；

(2)求点C1到平面ABN的距离．