第10讲用空间向量研究直线、平面的位置关系讲义-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

努力成就梦想 方法创造奇迹 第10讲 用空间向量研究直线、平面的位置关系 【必备知识】 1、空间中直线的方向向量 在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量． 2、空间中平面的法向量 如图，若直线 l⊥α ，取直线 l 的方向向量a ，我们称 a为平面α的法向量；过点A且以 a为法向量的平面完全 确定，可以表示为集合 {P|a·＝0}． 3．空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 l1∥l2 n1∥n2⇔n1＝λn2 l1⊥l2 n1⊥n2⇔n1·n2＝0 直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m l∥α n⊥m⇔n·m＝0 l⊥α n∥m⇔n＝λm 平面α，β的法向量分别为n，m α∥β n∥m⇔n＝λm α⊥β n⊥m⇔n·m＝0 考点1、直线的方向向量 1．（多选）设，是空间直线l上的两点，则直线l的一个方向向量的坐标可以是（       ） A．（2，1，3） B．（4，1，6） C． D． 考点2、求平面的法向量 2．如图，在棱长为3的正方体中，点在棱上，且．以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系． (1)求平面的一个法向量； (2)求平面的一个法向量． 考点3、线面位置关系 1、在底面是矩形的四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，点E，F分别是PB，PD的中点，PA＝AB＝1，BC＝2． (1)求证：EF∥平面ABCD； (2)求证：平面PAD⊥平面PDC． 2、如图，在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PD⊥平面ABCD，AD＝1，AB＝，BC＝4． (1)求证：BD⊥PC； (2)设点E在棱PC上，＝λ，若DE∥平面PAB，求λ的值． 限时训练（30分钟） 姓名： 得分： 一、单选题（每题6分，共36分） 1．在中，若，，则是（       ） A．顶角为锐角的等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．顶角为钝角的等腰三角形 2．若，在直线l上，则直线l的一个方向向量为（       ） A． B． C． D． 3．如图所示，在正方体中，是底面正方 形的中心，是的中点，是的中点， 则直线，的位置关系是（       ） A．平行 B．相交 C．异面垂直 D．异面不垂直 4．已知平面α的法向量为，，则直线AB与平面α的位置关系为（       ） A．AB∥α B．AB⊂α C．AB与α相交 D．AB⊂α或AB∥α 5．已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，，则直线与平面（       ）A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．位置关系无法确定 6．如图，正方体的棱长为a、M、N分别为 A1B和AC上的点，，则MN与 平面的位置关系是（　　） A．相交但不平行 B．平行 C．相交且垂直 D．不能确定 二、多选题（每题6分，共12分） 7．已知，分别为直线的，方向向量（，不重合），，分别为平面，的法向量（，不重合），则下列说法中，正确的是（       ）． A． B． C． D． 8．如图所示，正方体中，，点在侧面（包括边界）上运动，并且总是保持，则以下四个结论正确的是（       ） A． B．点必在线段上 C． D．平面 三、填空题（每题6分，共12分） 9．以下真命题共有___________个. ①一个平面的单位法向量是唯一的； ②一条直线的方向向量和一个平面的法向量垂直，则这条直线和这个平面平行； ③若两个平面的法向量不平行，则这两个平面相交. 10．在棱长为3的正方体中，点E，F分别在棱AB，BC上，，点G，H为棱上的动点．若平面平面，，则＝___．  四、解答题（每题20分，共40分） 11．如图所示，在长方体中，，，、分别、的中点.（1）求证：平面； （2）求证：平面. 12．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点． （1）求证：A1E⊥BD； （2）若平面A1BD⊥平面EBD，试确定E点的位置 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$