专题01 一元二次方程（考点串讲，5大考点+5大题型突破+3大技巧突破+1大易错剖析）-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（苏科版）

九年级数学上学期·期末复习大串讲 专题01 一元二次方方程 苏科版 01 02 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 5大常考点：知识梳理 5大题型典例剖析+3大技巧 1大易错易混经典例题 目录 考点一 一元二次方程概念 考点二 解一元二次方程 考点三 根的判别式 考点四 一元二次方程根与系数的关系 考点五 一元二次方程的实际应用 考点一 一元二次方程概念 B 2.（2022秋·山东青岛·九年级青岛大学附属中学校考期中）已知关于x的方程的一个根为，则实数m的值为（　　） A．4 B． C．3 D． 3（2023秋·河北秦皇岛·九年级统考期末）已知x＝a是一元二次方程的解，则代数式2a2-4a的值为（    ） A．3 B．6 C．﹣3 D．﹣6 B B 考点一 一元二次方程概念 4．简答题： （1）当为何值时，关于的方程是一元二次方程？ （2）已知关于的一元二次方程有一个根是0，求的值． （3）在第（2）题中，如果要使已知方程有一个根是l，那么m应该等于什么数？ 【详解】 解：（1）∵关于的方程是一元二次方程， ∴，解得：； （2）∵关于的一元二次方程有一个根是0， ∴将x=0代入可得：，解得：m=-3； （3）∵关于的一元二次方程有一个根是1， ∴将x=1代入可得：，解得：m=±2. 考点二 解一元二次方程 1解方程： (1) (2) (3) （1）解：， 解得：； （2） ∴， ∴， 即， ∴， 解得：； （3） ∴， ∴， 解得：； 考点三 根的判别式 1．（2023上·内蒙古赤峰·九年级校联考阶段练习）下列一元二次方程中，没有实数根的是（    ） A． B． C． D． B 2．（2023上·陕西西安·九年级校考期中）若，则关于的一元二次方程根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 【详解】解：∵ 又， ∴， ∴ ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 考点四 一元二次方程根与系数的关系 1．（2023上·江西宜春·九年级宜春市第三中学校联考期中）已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，则m的值为 ． 【详解】解： 是关于x的一元二次方程的两个实数根， ， ， ， 解得：，经检验符合题意； 故答案为：． 考点五 一元二次方程的实际应用 2．（2023上·福建宁德·九年级福鼎市第一中学校考期中）已知a，b是方程的两根，则的值为 ． 【详解】∵a，b是方程的两根， ，即， ； 故答案为：7． 3．（2023上·江苏扬州·九年级统考期中）已知关于的方程的一个根是，则它的另一个根是（    ） A． B． C．1 D．5 D 考点五 一元二次方程的实际应用 1．“新冠肺炎”防治取得战略性成果．若有一个人患了“新冠肺炎”，经过两轮传染后共有25个人患了“新冠肺炎”，则每轮传染中平均一个人传染了_________人． 2．已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4，则这个两位数是___． 4 84 3．2024年端午节期间，合肥某食品专卖店准备了一批粽子，每盒利润为50元，平均每天可卖300盒，经过调查发现每降价1元，可多销售10盒，为了尽快减少库存，决定采取降价措施，专卖店要想平均每天盈利16000元，设每盒粽子降价元，可列方程________． 题型剖析 题型一：利用一元二次方程的解求参数或代数式的值 1. 关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（   ） A． B． C．或 D． 2. 如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（    ） A． B．2021 C． D．2025 3. 若为方程的解，则的值为（    ） A． B． C． D． B D B 题型剖析 题型二：不解方程，判断一元二次方程根的情况 1．（2023上·湖南长沙·九年级统考期末）一元二次方程根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 2．（2022上·湖南衡阳·九年级统考期末）下列一元二次方程中，没有实数根的是（　　） A． B． C． D． 3．（2021上·上海青浦·八年级校考期末）关于的一元二次方程的根的情况（    ） A．有两个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．由的取值确定 C D B 题型剖析 题型三：配方法的应用 1．已知，为任意实数，则的值(    ) A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．无法确定 【详解】解：∵， ∴ ∴的值大于0， 故选：A． 题型剖析 题型四：利用根的判别式证明方程根的情况 1．（2023上·湖北黄冈·九年级统考阶段练习）证明：无论k取何值，关于x的方程恒有实数根． 【详解】（1）当，即时，方程为一元一次方程， 是方程的一个解. （2）当，即时，方程为一元二次方程，则 ， ∴方程有两不相等的实数根. 综上所述，无论k为何值，方程总有实数根. 题型剖析 题型五：一元二次方程与动点 1. 如图，在中，，．点从点出发，沿边以的速度向点移动；点从点同时出发，沿边以的速度向点移动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．问经过几秒后，两点的距离是？ 【详解】解：点的速度，点的速度，，， ∴点到点的时间为，点到点的时间为， ∵其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动， ∴设经过秒后，两点的距离是，且， 根据题意，，，在中，， ∴，整理得， 解得，， 当时，，符合题意， ∴秒或秒，两点的距离是． 题型剖析 题型五：一元二次方程与动点 2．（2023上·湖南长沙·九年级统考期末）如图，中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动．如果两点分别从两点同时出发，移动时间为（单位：）． (1)求的面积关于的函数解析式； (2)若的面积是面积的，求的值； (3)问：的面积能否为面积的一半？若能，请求出的值；若不能，请说明理由． 【详解】（1）解：根据题意得：，， ∴ ∴． 题型剖析 题型五：一元二次方程与动点 2．（2023上·湖南长沙·九年级统考期末）如图，中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动．如果两点分别从两点同时出发，移动时间为（单位：）． (1)求的面积关于的函数解析式； (2)若的面积是面积的，求的值； (3)问：的面积能否为面积的一半？若能，请求出的值；若不能，请说明理由． （2）解：当运动时间为时，，，， 根据题意得：，即， 整理得：， 解得：， ∴的值为． 题型剖析 题型五：一元二次方程与动点 2．（2023上·湖南长沙·九年级统考期末）如图，中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动．如果两点分别从两点同时出发，移动时间为（单位：）． (1)求的面积关于的函数解析式； (2)若的面积是面积的，求的值； (3)问：的面积能否为面积的一半？若能，请求出的值；若不能，请说明理由． （3）解：的面积不可能是面积的一半，理由如下： 根据题意得：，即， 整理得：， ∵， ∴该方程没有实数根， ∴的面积不可能是面积的一半． 技巧突破 技巧一：选用合适的方法解方程 技巧突破 技巧一：选用合适的方法解方程 1. 解方程： (1)； (2)． 【详解】（1）解：， 配方得， 即， 即， ∴，． 【详解】（1）解：， 配方得， 即， 即， ∴，． 技巧突破 技巧二：已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围 技巧突破 技巧二：已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围 1．（2023上·云南红河·九年级统考期末）一元二次方程有两个相等的实数根，则m等于（    ） A．或1 B．1 C． D．4或1 2．（2021上·湖南永州·九年级统考期末）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（    ） A． B．且 C． D．且 3．（2023上·北京海淀·九年级北京市师达中学校考阶段练习）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（    ） A．4 B． C． D．2 A B A 技巧突破 技巧三：利用根与系数的关系求解 已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根x1,x2 1）平方和 2）倒数和 + = 3）差的绝对值 | x1 - x2 |= = 技巧突破 技巧三：利用根与系数的关系求解 1．（2022上·湖北武汉·九年级校考阶段练习）若a，b为一元二次方程的两个实数根，则值是（    ） A．－52 B．－46 C．60 D．66 【详解】解：∵a，b为一元二次方程的两个实数根， ∴，a＋b＝7，ab＝−1， ∴ ， 故选：C． 技巧突破 技巧三：利用根与系数的关系求解 2．（2023上·四川眉山·九年级校联考期中）关于x的方程 (1)当k到何值时方程有实数根． (2)若方程的两实数根为，且满足，求k的值 【详解】（1）解：由题意可知： ， 解得：，∴当时，此方程有实数根； （2）解：根据题意得：，， ∵，即：，解得：或， ∵，∴k的值为． 易混易错 类型一：忽略二次项系数不能为0的隐含条件 1（2023秋·甘肃陇南·九年级统考期末）若关于x的一元二次方程的常数项为0，则m＝（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．0 【详解】若关于x的一元二次方程的常数项为0， 则， 解得， 故选：B． 1.（2020秋·四川凉山·九年级校考期中）下列方程中，一元二次方程共有（    ）个． ①x2﹣2x﹣1＝0；②ax2＋bx＋c＝0；③；④﹣x2＝0；⑤（x﹣1）2＋y2＝2； ⑥（x﹣1）（x﹣3）＝x2 A．1 B．2 C．3 D．4 $$