30.2二次函数的图像和性质（第3课时）（教学课件）数学冀教版九年级下册

30.2二次函数的图像和性质 （第3课时） 主讲： 冀教版九年级下册 第三十章 二次函数 学习目标 1.会用配方法或公式法将二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c（a≠0）化成顶点式y=a(x-h)2+k. 2.会熟练求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点坐标、对称轴和基本性质. 旧知回顾 y=a(x-h)2+k a>0 a<0 开口方向 顶点坐标 对称轴 增 减 性 极值 向上 向下 (h ,k) (h ,k) x=h x=h 当x<h时，y随着x的增大而减小；当x>h时， y随着x的增大而增大. 当x<h时,y随着x的增大而增大；当x>h时， y随着x的增大而减小. x=h时,y最小=k x=h时,y最大=k 抛物线y=a(x-h)2+k可以看作是由抛物线y=ax2经过平移得到的. 新知讲授 我们能否利用y=a(x-h)2+k的图像和性质，这些知识来讨论二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图像和性质？ 问题1 将 化成顶点式 例1 y=a(x-h)2+k,并指出对称轴和顶点坐标. 解：y=x2-2x+1+1. y=(x-1)2+1 对称轴：直线x=1； 顶点坐标（1，1） 新知讲授 问题2 是不是每一般式的二次函数都能化成顶点式呢？ 提取二次项系数 配方 去掉中括号 加上一次项系数一半的平方，再减去一次项系数一半的平方 合并同类项 整理 新知讲授 二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质 一般地，二次函数y=ax2+bx+c的可以通过配方化成y=a(x-h)2+k的形式，即 因此，抛物线y=ax2+bx+c 的顶点坐标是： 对称轴是：直线 请画出函数图像 新知讲授 a>0 a<0 x y O x y O (h,k) 最小值 最大值 新知讲授 表达式 开口方向 对称轴 顶点坐标 y随x的变化情况 最值 y=ax2＋bx＋c (a>0) y=ax2＋bx＋c (a<0) 对比y=a(x-h)2+k的图像和性质，填写二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图像和性质 问题3 向上 向下 x=- x=- ( , ) ( , ) 当x<- 时,y随x的增大而减小; 当x>- 时,y随x的增大而增大 当x<- 时,y随x的增大而增大; 当x>- 时,y随x的增大而减小 当x=- 时, y最小= 当x=- 时, y最大= 典例精析 例2： 求抛物线 的对称轴和顶点坐标，并画出这个二次函数的图像. 解： ∴抛物线的对称轴是x=-1， 顶点坐标是（-1，-2）， 1. 列表： 2. 描点 3.连线 x -3 -2 -1 0 1 2 -1 -2 -1 2 -3 -2 -1 0 1 2 -2 -1 -3 1 2 故该抛物线的表达式为y=-2x2-12x-13. ∴ ∴p=-12,q=-13. 解:(1)∵y=-2x2+px+q= . 例3：根据下列条件,确定抛物线的表达式. (1)抛物线y=-2x2+px+q的顶点坐标为(-3,5) (2)抛物线y=ax2+bx-6经过点A(-1,3)和B(2,-6). (2)点A(-1,3)和B(2,-6)的坐标满足抛物线的 表达式,即 解得 故该抛物线的表达式为y=3x2-6x-6. 典例精析 课堂练习 顶点坐标 对称轴 开口方向 y=-2x2-6x-1 y=3x2-6x+1 (1，-2) x=1 向上 (-，) x=1 向下 1.填下面表格 2. 已知二次函数y=－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（ ） A．b≥－1 B．b≤－1 C．b≥1 D．b≤1 D 课堂练习 3.画出二次函数y=-x2-4x-5的图像，并指出它的开口方向、顶点坐标、对称轴、最大值或最小值. 【提示】要画出二次函数y=-x2-4x-5的图像，可先将函数表达式变 形为y＝a(x+h)2 ＋k的形式. 解：y=-x2-4x-5 =-(x2+4x+4-4)-5 =-(x+2)2-1. 二次项系数-1<0，函数图像开口向下，顶点坐标为(-2，-1)，对称轴 是过点(-2，-1)且平行于y轴的直线. 二次函数y=-x2-4x-5的图像如图所示. 由图像可知，当x=-2时，y的值最大，最大值是-1. y 1 2 3 4 5 x 2 o -1 -2 -3 -4 -5 1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 知识拓展 ①y=2x2-5x+3 ③y=(x-3)(x+2) ②y=－ x2+4x-9 请画出下列二次函数的草图并写出下列二次函数图像的 开口、顶点、对称轴 3 －9 －6 你发现了什么？ 知识拓展 ⑴a决定抛物线的开口方向： a＞0 开口向上 a＜0 开口向下 ③  c＜0 图象与y轴交点在y轴负半轴。 ⑵c决定抛物线与y轴交点（0，c）的位置： ①  c＞0 图象与y轴交点在y轴正半轴； ②  c=0 图象过原点； 【思考】b决定了什么呢？ 知识拓展 ①    a，b同号 对称轴在y轴左侧； ②    b=0 对称轴是y轴； ③ a，b异号 对称轴在y轴右侧 ⑶a，b决定抛物线对称轴的位置: 对称轴是直线x = 左同右异 练习 若一次函数 y=ax+b 的图象经过第二、三、四象限，则二次函数 y=ax2+bx-3 的大致图象是 ( ) x y o x y o x y o x y o A B C D -3 -3 -3 -3 C 课堂练习 0 -1 1 -2 1.已知y=ax2+bx+c的图象如图所示, a___0, b____0, c_____0, abc____0 b___2a, 2a-b_____0, b2-4ac_____0 a+b+c_____0, a-b+c____0 4a-2b+c_____0 ＞ ＞ ＞ ＞ ＞ ＞ ＜ ＜ ＜ ＜ x y 2.若二次函数 y=ax2+bx+c的图象如下,与x轴的一个交 点为（1,0），则下列各式中不成立的是( ) A.b2-4ac＞0 B.abc＞0 C.a+b+c=0 D.a-b+c＜0 1 O x y -1 B （中考真题）已知关于x的方程（m-1）x2+（m-2）x-1=0． （1）求证：无论m为何实数，方程总有实数根； （2）m为何整数时，方程有两个不相等的整数根； （3）m 取不同的实数（m ≠1）,就对应不同的抛物线 y=（m-1）x2+（m-2）x-1，请证明当m（m ≠1）变化时，所有这些不同的抛物线y=（m-1）x2+（m-2）x-1有公共点，并求出它们 的公共点. （1）证明：当m=1时，方程为-x-1=0有唯一实数根x=1 当m ≠1时 △=(m﹣2)2+4（m﹣2） =m2 ≥0 ∴无论m为何实数，方程总有实数根. （2）解：要使方程有不相等的实数根，则方程必为一元二次 方程，即m ≠1； 此时方程（m-1）x2+（m-2）x-1=0的两个根为 x1= ， x2=-1   ∵ x1= 为整数，   ∴ m-1=±1 即m=2或0 ∵ x1≠ x2 ∴ m=2 即当 m=2时方程有两个不相等的整数根； 挑战自我 （3）证明： ∵ m 取不同的实数（m ≠1）,就对应不同的 抛物线y=（m-1）x2+（m-2）x-1 ∴ 关于m的方程（x2+x）2m=(x+1)2+y有无数个实数根 x2+x=0 (x+1)2+y=0 ∴ { 解得 x1= 0 y1=-1 { x2=-1 y2= 0 { 即无论m 取何值（m ≠1）,方程y=（m-1）x2+（m-2）x-1 有且有两个恒定的解 从几何意义上说，当m （m ≠1）变化时,所有这些不同的抛 物线y=（m-1）x2+（m-2）x-1有且仅有2个公共点，这2个公 共点为（0，-1），（-1,0）. 挑战自我 课堂小结 顶点： 对称轴：直线 y=ax2+bx+c（a ≠0) (一般式) 配方 公式法 (顶点式) 顶点：（h，k） 对称轴：直线 x=k y=ax2+bx+c y=a(x-h)2+k 配方法 主讲： 感谢聆听 冀教版九年级下册 $$