专题04 一元一次方程（考题猜想，易错必刷82题16种题型专项训练）（期末复习专项训练）七年级数学上学期新教材冀教版

专题04 一元一次方程（易错必刷82题16种题型专项训练） 一、列方程（共6小题） 1．若比某数的相反数大2的数是8，设某数为x，可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．甲袋有大米千克，乙袋有大米千克．如果从甲袋取出6千克倒入乙袋，则两袋大米一样重，下面等式不符合题意的是（    ） A． B． C． D． 3．把一些图书分给某班学生，如果每人分3本，则余20本；如果每人分4本，则缺25本．设有名学生，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 4．用等式表示“a的3倍与4的差等于5”为 ． 5．根据图中给出的信息，可得正确的方程是 ． 6．如图，根据图形中标出的量及其满足的关系，列出的方程，正确的是（    ） A． B． C． D． 二、等式的性质（共4小题） 7．下列等式变形，错误的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．下列等式变形中，一定正确的是（    ） A．由，可得到 B．由，可得到 C．由，可得到 D．由，可得到 9．有下列变形：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中变形正确的是 ．（请填写序号） 10．已知等式，则下列等式成立的是（  ） A． B． C． D． 三、一元一次方程定义（共3小题） 11．下列式子中，属于一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 12．已知下列方程，其中属于一元一次方程的有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 13．已知是关于的一元一次方程，则的值为（   ） A． B． C． D．以上答案都不对 四、一元一次方程的解（共4小题） 14．已知是关于x的方程的一个解，则a的值是（   ） A． B． C． D． 15．若关于的一元一次方程的解为,则的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 16．解为的方程是（   ） A． B． C． D． 17．已知是关于的方程的解，则式子的值为 ． 五、解一元一次方程（共6小题） 18．将方程移项后，正确的是（   ） A． B． C． D． 19．下列方程的变形正确的是（   ） A．由移项，得 B．由去括号，得 C．由两边同除以，得 D．由去分母，得 20．方程，可以化成（   ） A． B． C． D． 21．已知关于的方程的解是，则的值是（   ） A．1 B． C． D．-1 22．要将方程的分母去掉，应在方程的两边同乘 . 23．解下列方程． (1)； (2)； (3)． 六、一元一次方程的综合问题（共10小题） 24．对于任意四个有理数，，，，定义新运算：．已知，则的值为（   ） A． B．2 C． D． 25．小丽同学在做作业时，不小心将方程中的一个常数污染了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是，请问这个被污染的常数■是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 26．若方程的解与关于的方程的解互为相反数,则的值为（   ） A． B．1 C．2 D． 27．若方程与方程的解相同，则 ． 28．若不论k取什么数，关于x的方程（a、b是常数）的解总是，则的值是 ． 29．已知关于的方程的解比的解小．求的值． 30．对于任意两个有理数和，规定一种新运算“”：当时，；当时，． (1)分别求与的值； (2)若，求的值． 31．定义：关于x的方程与方程（a，b均为不等于0的常数）互为“反对方程”．例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)的“反对方程”是_______； (2)若关于x的方程与方程互为“反对方程”，求m，n的值； (3)若关于x的方程和其“反对方程”的解都是整数，求b的值． 32．观察下列两个等式：，，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数，为“共生有理数对”，记为，如：数对，都是“共生有理数对”． (1)数对，中是“共生有理数对”的是________； (2)若是“共生有理数对”，则________“共生有理数对”（填“是”或“不是”）； (3)若6是“共生有理数对”中的一个有理数，求这个“共生有理数对”． 33．规定关于x的一元一次方程的解为，则称该方程是“差解方程”，例如：的解为，则方程就是“差解方程”，据上述规定解答下列问题： 【定义理解】 （1）判断：方程______差解方程；（填“是”或“不是”） （2）若关于x的一元一次方程是“差解方程”，求m的值； 【知识应用】 （3）若关于x的一元一次方程是“差解方程”，求的值； （4）已知关于x的一元一次方程和都是“差解方程”，求代数式的值． 七、一元一次方程应用--配套问题（共3小题） 34．某工厂有22人，每名工人每天可加工3张桌子或10把椅子，1张桌子与4把椅子配套，现要求工人每天做的桌子和椅子完整配套，且没有剩余，若设安排名工人加工桌子，则根据题意可列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 35．某啤酒厂决定生产啤酒的同时，再生产一些开啤酒瓶盖的“起子”，为了方便顾客，在销售啤酒时，每箱啤酒内都装进一个“起子”．假设厂内工人的工作效率都相同，他们平时每人每天生产啤酒20箱或生产“起子”360个，那么工厂内760名工人应该分配多少人生产啤酒，多少人生产“起子”，才能使生产的啤酒和“起子”恰好配套？ 36．某工厂车间有24个工人，生产A零件和B零件，每人每天可生产A零件15个或B零件10个（每人每天只能生产一种零件），一个A零件配两个B零件，且每天生产的A零件和B零件恰好配套． (1)求该工厂有多少个工人生产A零件？ (2)工厂将零件批发给商场时，每个A零件可获利8元，每个B零件可获利5元，求该工厂每日生产的零件总获利多少元？ 八、一元一次方程应用--和差倍分问题（共4小题） 37．女儿现在的年龄是父亲现在年龄的，9年前父亲和女儿年龄之和是45岁．求父亲现在的年龄．设父亲现在的年龄为岁，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 38．一根铁丝，第一次用去它的一半少1米，第二次用去剩下的一半多1米，结果还剩下3米．求这根铁丝原来有多长？设这根铁丝原来的长度为x，可列出方程（   ） A． B． C． D． 39．跨学科试题·语文  众所周知，中华诗词博大精深，集大量的情景、情感于短短数十字之间．而数学与古诗词更是有着密切的联系．古诗中，五言绝句是四句诗，每句都是五个字；七言绝句是四句诗，每句都是七个字．有一本诗集，其中五言绝句比七言绝句多13首，总字数却反而少了20个字．则七言绝句有（   ）首． A．35 B．48 C．55 D．68 40．体育课上，体育老师要求男、女各站成一队，记男生队为A队，女生队为B队． （1）设A队有人，B队有人，从A队调人到B队，则此时B队比队多 人；（结果要化简） （2）已知A队有32人，B队有28人．从A队调人到B队后，B队人数比A队剩余人数的2倍多3人，则的值为 ． 九、一元一次方程应用--积分问题（共4小题） 41．某校七年级举行“数学头脑风暴竞技”活动，测试卷由20道题组成，答对一题得5分，不答或答错一题扣1分，考生李华的成绩为82分，则他答对了（   ）道题． A．16 B．17 C．18 D．19 42．某次篮球联赛部分积分如下： 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 24 21 18 据表格提供的信息解答下列问题： (1)列一元一次方程求出胜一场、负一场各积多少分？ (2)某队的胜场总积分能等于负场总积分吗？若能，试求出胜场数和负场数；若不能，请说明理由． 43．中山市纪中三鑫双语学校积极开展各项活动．“学习强国知识竞赛”有20道必答题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分；3道抢答题，每一题抢答对得10分，抢答错扣20分，抢答不到不得分也不扣分．甲乙两队决赛，甲队必答题得了170分，乙队必答题只答错了1题． (1)甲队必答题答对了多少道？乙队必答题得了多少分？ (2)抢答赛中，乙队抢答对了第1题，又抢到了第2题，但还没作答时，甲队啦啦队队员小黄说：“我们甲队输了!”小汪说：“小黄的话不一定对!”请你举一例说明“小黄的话”有何不对． 44．据了解第二届“澳新杯”篮球赛在12月2日圆满结束，看到运动场的宣传栏中的部分信息（如下表）： 八年级部分班篮球赛成绩公告 比赛场次 胜场 负场 积分 12 8 4 20 12 6 6 18 12 0 12 12 小明同学结合学习的知识设计了如下问题，请你帮忙完成下列问题： (1)从表中可以看出，负一场积 ___________分，胜一场积 ___________分； (2)某班在比完12场的前提下，胜场总积分能等于其负场总积分的2倍吗？请说明理由． 十、一元一次方程应用--古代问题（共6小题） 45．文化情境·数学文化中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”这道题的意思是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果我们设有辆车，则可列方程（  ） A． B． C． D． 46．文化情境·数学文化  在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的数学问题：“今有凫（凫：野鸭）起南海，七日至北海：雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”意思是野鸭从南海起飞，7天飞到北海：大雁从北海起飞，9天飞到南海．野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过几天相遇？设野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过天相遇，根据题意，下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 47．趣味题  唐代大诗人李白喜好饮酒作诗，民间有“李白斗酒诗百篇”之说．《算法统宗》中记载了一个“李白沽酒”的故事．诗云：今携一壶酒，游春郊外走．逢朋加一倍，入店饮斗九．相逢三处店，饮尽壶中酒．试问能算士，如何知原有．大意是：李白在郊外春游时，遇见一个朋友，先将壶里的酒增加一倍，再喝掉其中的19升酒．按照这样的约定，在第3次遇到朋友后正好喝光了壶中的酒，那么壶中原有酒（   ） A．升 B．升 C．升 D．升 48．明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中的数学名题“宝塔装灯”原文：远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问顶层几盏灯．题目大意是：远处有一座雄伟的七层宝塔，塔上挂了许多红灯，相邻两层下一层灯的盏数是上一层灯的盏数的2倍，共有381盏灯，则塔顶灯有 盏． 49．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等．如图所示是一个未完成的幻方，则 ． 1 9 m 50．《趣味数学》古希腊数学家丢番图的墓志铭中写到：他一生的六分之一是童年，十二分之一是无忧无虑的少年，又过了一生的七分之一组建幸福的家庭，五年后儿子出生，不料儿子先其父而死，此时儿子只活了父亲岁数的一半，丢番图在悲痛中又度过了四年，最终离开了人世．请你算一算丢番图这一生的年龄是多少岁？ 十一、一元一次方程应用--日历问题（共5小题） 51．某同学在某月的日历上圈出了三个数a，b，c，并求出了它们的和为57，则这三个数在日历中的排位位置不可能的是（   ） A． B． C． D． 52．如图是某月的月历，现用“”图形在月历中框出个数，它们的和为．不改变“”图形的大小，将“”图形在该月历上移动，所得个数的和可能是（   ） A． B． C． D． 53．如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“”型框中的个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现这个数的和不可能的是（  ） A． B． C． D． 54．如图，将连续的奇数1，3，5，7，…按图1中的方式排成一个数表，用一个十字框框住5个数，这样框出的任意5个数（如图2）分别用a，b，c，d，x表示． (1)若，则=______； (2)设，用含x的式子分别表示M； (3)判断（2）中M的值能否等于2025，请说明理由． 55．综合与实践 活动再现：在学习第四章《整式的加减》时，我们通过“数学活动”，探究了月历中数字之间的关系和变化规律． 操作发现：如图1是2024年10月的月历，小宇用带阴影的“十”字框框中5个数． (1)这5个数中，最小数与最大数的差是_________； (2)小宇发现当“十”字框任意移动时，框中的5个数之和始终是5的倍数，请通过计算说明他的发现成立． (3)小宇用如图2所示的“凹”字框在月历中任意框中5个数，将这5个数分别用字母a，b，c，d，e表示（如图3）． ①请用只含一个字母的代数式表示这5个数的和．（写出两个不同的代数式） ②这5个数的和能等于101吗？若能，请直接写出这5个数；若不能，请说明理由． 十二、一元一次方程应用--工程问题（共4小题） 56．一个道路工程，甲队单独施工9天完成，乙队单独施工24天完成．现在甲乙两队共同施工3天，因甲另有任务，剩下的工程由乙队完成，乙队还需（   ）天才能完成． A．13 B．14 C．15 D．16 57．[教材练习题变式]一个道路工程，甲队单独施工天完成，乙队单独施工天完成．现在甲乙两队共同施工天，因甲另有任务，剩下的工程由乙队完成，乙队还需（   ）天才能完成． A． B． C． D． 58．某项工程，若由甲工程队单独施工需要3周，每周耗资8万元，若由乙工程队单独施工需要6周，每周耗资3万元．若甲、乙两工程队全程合作施工，需要几周完成？共需耗资多少万元？ 59．检查一处住宅区的自来水管，甲单独完成需天，乙单独完成需天，现在先由甲单独做8天剩下的部分由甲、乙合做完成．甲、乙两人合做了多少天？ 分析：这个问题中的等量关系：全部工作量=甲单独做的工作量+______． 设：甲、乙两人合做了x天，可以根据表格分析数量关系：(请补全表格) 工作方式 工作效率 工作时间(天) 工作量 甲单独做 8 甲、乙合做 ①______ ②______ 合计 1 根据题意列方程为：______；解得______；答：略． 十三、一元一次方程应用--行程问题（共4小题） 60．社会发展情境·水利工程 小浪底水利枢纽位于河南省洛阳市孟津区，是治理开发黄河的关键性工程．为了更多地了解这个工程，小明决定从家骑车去参观．小明原计划每小时骑10千米，在预计时间就能到达，但他因事比原计划晚出发15分钟，只好以15千米/时的速度前进，结果比预计时间早到6分钟．若设小明家到小浪底水利枢纽的距离为千米，则根据题意列出的方程正确的为（   ） A． B． C． D． 61．列方程解应用题：甲乙两车分别从相距的、两地相向而行． (1)两车保持匀速行驶且甲车的速度是乙车速度的倍，若甲车比乙车提前出发，则甲车出发后两车相遇．求甲、乙两车的速度分别是多少． (2)若甲、乙两车保持（1）中的速度，同时出发，相向而行，求经过多长时间两车相距． 62．周末7个好朋友租了两辆出租车从A地一起去B地看演出，途中一辆车在离B地还有18千米处发生故障，只得由另一辆出租车将大家送达B地，但此时距离B地的演出开始还剩下50分钟，这辆出租车有如下两种方案可以实施： 方案一 先送4人，其余3人原地不动等待出租车返回接送 方案二 先送4人，其余3人先步行，途中与出租车相遇后上车前行 相关数据： 出租车行驶的平均速度：60千米/时． 乘客行走的平均速度：5千米/时． 每辆出租车限乘5人． (1)若按方案一实施，7人能否赶上B地的演出？并说明理由； (2)通过计算说明方案二能否保证7人在规定的时间到达B地的演出现场． 63．列方程解应用题：重庆一中某校区七年级学生在教育广场乘坐旅游汽车到户外参加拓展训练，七（1）班的学生乘坐红色车，组成红队，车速为60千米小时，七（2）班的学生乘坐蓝色车，组成蓝队，车速为80千米小时．红队出发1小时后，蓝队才出发，同时蓝队派联络员小梦自驾车在两队之间不断地来回进行联络，小梦自驾车的速度为100千米小时． (1)小梦出发多久后，第一次追上红队； (2)小梦从出发到他折返后第一次与蓝队相遇，经过了多少时间？ (3)当蓝队追上红队时，小梦行驶的路程是多少千米？ 十四、一元一次方程应用--营销问题（共6小题） 64．如图，这是某超市电子表的价格标签，一导购员不小心将墨水滴在标签上，使得原价看不清楚，请你帮助算一算，该电子表的原价是（   ） 　 A．15.36元 B．19.6元 C．20元 D．24元 65．某种商品每件的进价为元，按标价的九折销售时，利润率为，这种商品每件的标价是（   ） A．380元 B．250元 C．320元 D．288元 66．旅游商店出售两件纪念品，每件120元，其中一件赚，而另一件亏，那么这家商店出售这样两件纪念品是赚了还是赔了，或是不赚也不赔呢？（   ） A．赚了 B．赔了 C．不赚也不赔 D．无法计算 67．为了丰富学生的课余生活，拓展学生的视野，学校小卖部准备购进甲、乙两类中学生书刊．若购买400本甲类书刊和300本乙类书刊共需要6400元，其中甲、乙两类书刊的进价和售价如表： 甲 乙 进价（元/本） 售价（元/本） 20 13 (1)求甲、乙两类书刊的进价各是多少元？ (2)第一次小卖部购进的甲、乙两类书刊共800本，全部售完后总利润为5750元，求小卖部甲、乙两类书刊分别购进多少本？ 68．元旦即将到来，两超市分别推出如下促销方式： 甲超市：全场均按八五折优惠； 乙超市：购物不超过300元，按九折优惠；超过300元，不超过300元的部分按九折优惠，超过300元的部分按八折优惠； 假设超市相同商品的标价都一样． (1)当一次性购物总额为400元时，甲、乙两家超市实付款分别是多少？ (2)当购物总额是多少时，甲、乙两家超市实付款相同． (3)现有丙超市推出每满100元减18元的活动，当购物总额为450元时去哪家超市划算？ 69．根据以下素材完成任务． 温州杨梅有着丰富的历史文化、多样的品种、广泛的种植区域以及较高的经济价值．家住茶山的小温一家种植了一些的杨梅树，在每年杨梅成熟的时节，除了自家食用之外，其余的都要运到市场进行销售．正值周末，小温同学也想为家里的杨梅销售贡献自己的一份力量． 素材1 已知当地杨梅售价为30元/千克．本周六，小温家一共采摘了10筐杨梅进行销售，每筐以10千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如下表示： 与标准质量的差值 （单位：千克） 0.3 0.2 0.1 筐数 1 3 2 2 2 素材2 据了解，当地快递公司收费标准：浙江省内，首重1千克以内10元（含1千克），续重（超过1千克的部分）2元/千克，不足1千克按1千克计，物件超过20千克则需要额外支付包装费8元． 素材3 杨梅种植成本主要有： 1．肥料和农药成本：在杨梅生长过程中，需要施肥和喷洒农药．一年肥料和农药大概花费3000元． 2．劳动力成本：包括修剪、采摘等环节的人工费用，每人每天150元． 任务1 小温跟着家人一起去市场帮忙售卖，请求出小温一家售出这10筐杨梅的实际收入是多少元？ 任务2 第二天，小温又采摘了22.8千克杨梅，准备通过快递邮寄的方式送给她的同学小周，请帮小温算算，她需要支付给快递员多少邮费？ 任务3 本年采摘时间即将结束，小温想帮家里算一算今年售出了多少千克的杨梅．由于某些原因，小温只知道今年的销售利润为12450元（销售利润销售收入成本），另外本年请了2个修剪工人工作了3天，请了3个采摘工人工作了6天，则小温一家今年售出了多少千克杨梅？ 十五、一元一次方程应用--方案问题（共5小题） 70．某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，房客共六三，大比小多二一．后半部分的意思是：房客共有人，大人比小孩多21人． (1)求该房客大人，小孩各有多少人？ (2)假设成人每人收费元，店主李三公推出两种订房方案：方案一：房客超过人，超过的按原价八折优惠，方案二：大人原价，小孩半价．若诗中“众客”再次一起入住，他们选择哪种方案订房更合算？ 71．某牛奶加工厂现有鲜奶，若市场上直接销售鲜奶，每吨可获取利润500元；若制成酸奶销售，每吨可获取利润1 200元；若制成奶片销售，每吨可获取利润2 000元．该工厂的生产能力是：若制成酸奶，每天可加工；若制成奶片，每天可加工．受人员制约，两种加工方式不可同时进行；受气温制约，这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕．为此，该工厂设计了两种可行方案： 方案一：尽可能多地制成奶片，其余直接销售鲜奶； 方案二：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成． 你认为选择哪种方案获利较多？多获利多少？ 72．随着互联网的普及和城市交通的多样化，人们出行的时间与方式有了更多的选择．某市有出租车、滴滴快车和神州专车三种网约车，收费标准见下表（该市规定网约车行驶的平均速度为公里/时）． 起步价：元 超公里费：超过公里元/公里 不足公里按公里计 滴滴快车 起步价：元 里程费：元/公里 时长费：元/分钟 神州专车 起步价：元 里程费：元/公里 时长费：元/分钟 问题一：“奋进小组”提出的问题是：如果乘坐这三种网约车的里程数都是公里，他们发现乘坐出租车最节省钱，费用为 ___________元； 问题二：请解答“质疑小组”提出的以下两个问题， （1）从甲地到乙地，乘坐出租车比滴滴快车节省13.6元，求甲、乙两地间的里程数； （2）神州专车和滴滴快车对第一次下单的乘客有如下优惠活动：神州专车收费打八折，另外加5.3元的空车费；滴滴快车超过8公里收费立减6.5元；如果两位顾客都是第一次下单，分别乘坐神州专车、滴滴快车且收费相同，求这两位顾客乘车的里程数． 73．某校为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需采购一批某种菜苗开展种植活动．已知甲、乙两菜苗基地该种菜苗每捆的标价都是元（菜苗的质量一样好），但甲、乙两菜苗基地的优惠条件却不同，如下所示． 甲菜苗基地：若购买不超过捆，则按标价付款；若一次性购买捆以上，前捆按标价付款，超过捆的部分按标价的付款； 乙菜苗基地：按标价的付款． (1)若学校决定购买该种菜苗捆，则在甲菜苗基地购买，需付款______元，在乙菜苗基地购买，需付款______元； (2)设学校购买该种菜苗捆，补全下列表格（需化简）； 的取值范围 在甲菜苗基地购买的费用（元） 在乙菜苗基地购买的费用（元） 小于等于 大于 (3)根据购买该种菜苗的捆数选择在哪个基地更省钱． 74．某校七年级准备组织学生观看一部电影，已知票价为每张20元，由各班班长负责买票，下图是1班班长与售票员咨询的对话： (1)1班学生人数为44，选择了方案一购票，求1班购票需要多少元？ (2)2班选择了方案二，购票费用为702元，求2班有多少人？ (3)3班的学生人数为，3班班长思考了一会儿说：“我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的．”请问3班有多少人？ 十六、一元一次方程应用--几何问题（共8小题） 75．如图，一个长方形的周长为26，如果这个长方形的长减少4，宽增加3，就可围成一个正方形，那么这个长方形的长和宽分别为（   ）      A．11，2 B．10，3 C．8，5 D．7，6 76．如图，A、O、B三点在一条直线上，，平分，，求的度数． 77．定义：若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．    (1)如图1，点M是线段的一个三等分点，满足，若，则； (2)如图2，已知，点C从点A出发，点D从点B出发，两点同时出发，都以每秒的速度沿射线方向运动t秒． ①当t为何值时，点C是线段的三等分点 ②在点C，点D开始出发的同时，点E也从点B出发，以某一速度沿射线方向运动，在运动过程中，当点C是线段的三等分点时，点E也是线段的三等分点，请直接写此时出线段的长度． 78．在数轴上A点在原点的左侧，所表示的数是a；B点在原点的右侧，所表示的数是b，且a，b满足. (1)求a，b的值； (2)点P、Q是数轴上的两个动点，点P从点A出发沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发沿数轴向右运动，且点P的速度是点Q速度的2倍，经过6秒钟点P与点Q相遇，求点Q与点P的速度分别为每秒几个单位； (3)若P、Q两点同时以（2）中各自的速度相向而行，点P从点A出发沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发沿数轴向左运动，且点P运动到B点后原速返回，当点Q到达点A时，P、Q停止运动，经过几秒钟，P、Q两点相距6个单位长度． 79．【新考向】如图，在数轴上有相距个单位长度的，两点，点表示的数是，点为线段上的一个动点．规定：当线段，，中的任意两条线段之间满足三倍的数量关系时，我们称此时的点为线段的“奇分点”． (1)当点与数轴原点重合时，此时点________（填“是”或“不是”）线段的“奇分点”； (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，设运动时间为秒． ①在这个过程中，点表示的数是________（用含的代数式表示）； ②若点是线段的“奇分点”，求运动时间； ③若动点同时从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，则当点是线段的“奇分点”时，求运动时间． 80．【阅读理解】 射线是内部的一条射线，若，则我们称射线是射线的伴随线．例如，如图1，，，则，称射线是射线的伴随线；同时，由于，称射线是射线的伴随线． (1)【知识运用】如图2，，射线是射线的伴随线，则________，若的度数是，射线是射线的伴随线，射线是的平分线，则的度数是________用含的代数式表示 (2)如图3若，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度逆时针转动，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度顺时针转动，当射线与射线重合时，运动停止． 是否存在某个时刻（秒）使得的度数是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 当的值为多少时，射线，，中恰好有一条射线是其余两条射线中任意一条射线的伴随线？ 81．已知：b是最小的正整数，且a、b、c满足，请回答问题： (1)______，______，______． (2)动点P从A出发，以每秒2各单位长度的速度向右运动，到C后停止运动，设运动时间为t．求t为何值时，点P到A、B、C三点的距离之和为7个单位？ (3)已知点A、B、C在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒过后，若点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为，请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若改变，请说明理由；若不变，请求其值． 82．已知两点在数轴上，与互为相反数，点表示的数是，且．      (1)点表示的数为______； (2)如图1，当点位于原点的同侧时，动点分别从点处在数轴上同时相向而行，动点的速度是动点的速度的1.5倍，4秒后两动点相遇，当动点到达点时，运动停止．在整个运动过程中，当　　秒，使得两点的距离为5； (3)如图2，当点位于原点的异侧时，动点分别从点处在数轴上向右运动，动点比动点晚出发1秒；当动点运动2秒后，动点到达点处，此时动点立即掉头以原速向左运动3秒恰与动点相遇；相遇后动点又立即掉头以原速的2倍向右运动6秒，此时动点到达点处，动点到达点处，当时，求动点的原速和运动的速度． 试卷第60页，共62页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！20 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 一元一次方程（易错必刷82题16种题型专项训练） 一、列方程（共6小题） 1．若比某数的相反数大2的数是8，设某数为x，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了方程的定义， 根据数学语言转化为等式即可得解． 【详解】解：设某数为x，则某数的相反数为， 根据题意，则， 故选：A． 2．甲袋有大米千克，乙袋有大米千克．如果从甲袋取出6千克倒入乙袋，则两袋大米一样重，下面等式不符合题意的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了列方程、等式的性质等知识点，掌握等式的基本性质是解题的关键． 根据题干可得，如果从甲袋中倒出6千克放入乙袋，则两袋大米一样重，可得，然后根据等式的性质变形逐项判断即可． 【详解】解：∵甲袋有大米千克，乙袋有大米千克．如果从甲袋取出6千克倒入乙袋，则两袋大米一样重， ∴，即A选项正确，不符合题意； ，即B选项错误，符合题意； ， 则，即C选项正确，不符合题意； ，即D选项正确，不符合题意． 故选：B． 3．把一些图书分给某班学生，如果每人分3本，则余20本；如果每人分4本，则缺25本．设有名学生，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图书的数量不变，列出等量关系式，即可求解， 本题考查了列一元一次方程，解题的关系式：根据图书数量不变，列出等量关系式． 【详解】解：根据题意得：， 故选：． 4．用等式表示“a的3倍与4的差等于5”为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列方程，根据等量关系列出等式即可，解题的关键是理解题意． 【详解】解：用等式表示“a的3倍与4的差等于5”为． 故答案为：． 5．根据图中给出的信息，可得正确的方程是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了列一元一次方程，圆柱的体积公式，根据圆柱的体积公式得：左边一个圆柱形水瓶中水的体积为右边一个圆柱形水瓶中水的体积为，然后再根据两个水瓶里的水是同等体积列出方程即可，熟练掌握圆柱的体积公式是解决问题的关键． 【详解】解：∵大量筒的直径为，大量筒中水面的高为， ∴大量筒中水的体积为： ∵小量筒的直径为，小量筒中水面的高为 ∴小量筒的体积为：， ∵大小两个量筒中的水量相同， ， 故答案为：． 6．如图，根据图形中标出的量及其满足的关系，列出的方程，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列方程，根据三角形面积公式列出方程即可． 【详解】解：根据题意直角三角形两直角边的边长分别为，面积为6， 则， 故选：D． 二、等式的性质（共4小题） 7．下列等式变形，错误的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了等式的基本性质“性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等”，熟练掌握等式的基本性质是解题关键．根据等式的基本性质逐项判断即可得． 【详解】解：A、若，则，则此项正确，不符合题意； B、若，则，则此项正确，不符合题意； C、若，则，则此项正确，不符合题意； D、若，则当时，，则此项错误，符合题意； 故选：D． 8．下列等式变形中，一定正确的是（    ） A．由，可得到 B．由，可得到 C．由，可得到 D．由，可得到 【答案】C 【分析】本题考查等式的性质，根据等式的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解∶A．由，可得到，故原变形错误，不符合题意； B．由，可得到，故原变形错误，不符合题意； C．由，可得到，故原变形正确，符合题意； D．由，可得到，故原变形错误，不符合题意； 故选：C． 9．有下列变形：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中变形正确的是 ．（请填写序号） 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键：等式的性质：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等，即如果，那么；等式的性质：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为的数，结果仍相等，即如果，那么，如果，那么． 根据等式的性质逐项分析判断即可． 【详解】解：若，则，符合等式的性质，故变形正确； 若，则，原变形缺少，故变形错误； 若，则，原变形缺少，故变形错误； 若，则，符合等式的性质，故变形正确； 故答案为：． 10．已知等式，则下列等式成立的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键；根据等式的性质“等式的两边同时加、减一个数或式子，等式仍然成立；等式两边同时乘或除以一个不为0 的数或式子，等式仍然成立”，结合已知等式，即可判断求解． 【详解】因为，所以，即，故选项A错误； 因为，所以，即，故选项B正确； 因为，所以，即，故选项C错误； 因为，所以，即，故选项D错误； 故选：B． 三、一元一次方程定义（共3小题） 11．下列式子中，属于一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程，即为一元一次方程，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元一次方程，故该选项不符合题意； B、中的的次数是1，不是一元一次方程，故该选项不符合题意； C、属于一元一次方程，故该选项符合题意； D、不是一元一次方程，故该选项不符合题意； 故选：C． 12．已知下列方程，其中属于一元一次方程的有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】此题主要考查了一元一次方程定义，关键是掌握一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．根据只含有一个未知数（元，且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程进行分析即可． 【详解】解：②；③；⑤是一元一次方程，共3个， 故选：C． 13．已知是关于的一元一次方程，则的值为（   ） A． B． C． D．以上答案都不对 【答案】C 【分析】本题考查的是一元一次方程的定义，充分理解一元一次方程的定义是解题的关键．根据方程是关于的一元一次方程可知的系数应为0，并且的系数不能为0，列式计算即可. 【详解】解：由题意可知：且， 解得， 故答案为：C． 四、一元一次方程的解（共4小题） 14．已知是关于x的方程的一个解，则a的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的解，掌握方程的解即为使方程成立的未知数的值是解题关键．将代入中，求解a即可． 【详解】解：将代入，得：， 解得：． 故选C． 15．若关于的一元一次方程的解为,则的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能得出关于b的一元一次方程是解此题的关键．首先根据求出，再把代入方程中得，再求出关于b的方程的解即可． 【详解】方程为关于的一元一次方程， ， 解得， 又方程的解为， ， 解得， ， 故选：B． 16．解为的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的解：能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值称为一元一次方程的解．将代入各方程即可判断． 【详解】解：∵，故A不符合题意； ∵，故B符合题意； ∵，，故C不符合题意； ∵，，故D不符合题意； 故选：B 17．已知是关于的方程的解，则式子的值为 ． 【答案】2024 【分析】把代入方程，得到，整体思想，变形求代数式的值即可． 本题考查了一元一次方程的解，求代数式的值，熟练掌握一元一次方程的解，正确求代数式的值是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴, 解得， ∴， ∴ 故答案为：． 五、解一元一次方程（共6小题） 18．将方程移项后，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查解一元一次方程中的移项，注意移项要变号．方程利用移项得到结果，即可作出判断． 【详解】解：一元一次方程移项得： ， 故选：D． 19．下列方程的变形正确的是（   ） A．由移项，得 B．由去括号，得 C．由两边同除以，得 D．由去分母，得 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的知识，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的性质，从而完成求解．根据一元一次方程的性质分析，即可得到答案． 【详解】解：A、由移项，得，故选项A错误； B、由去括号，得，故选项B错误； C、由系数化为1，得，故选项C错误； D、由去分母，得，故选项D正确； 故选：D． 20．方程，可以化成（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的基本步骤是解题的关键．将分子分母同时乘以10即可得到答案． 【详解】解：分子分母同时乘以10得：即． 故选：A． 21．已知关于的方程的解是，则的值是（   ） A．1 B． C． D．-1 【答案】A 【分析】本题考查了方程解的定义，一元一次方程的解法，把代入原方程即可得到答案． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴， 解得， 故选：A． 22．要将方程的分母去掉，应在方程的两边同乘 . 【答案】15 【分析】本题考查了解一元一次方程，找出方程中分母的最小公倍数即可得解． 【详解】解：要将方程的分母去掉，应在方程的两边同乘15， 故答案为：15． 23．解下列方程． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查解一元一次方程： （1）去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可； （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可； （3）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可． 【详解】（1）解： 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得； （2）解： 去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． （3）解： 去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． 六、一元一次方程的综合问题（共10小题） 24．对于任意四个有理数，，，，定义新运算：．已知，则的值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了定义新运算和解一元一次方程，根据运算规律列出方程是解题关键．首先看清这种运算的规则，将转化为一元一次方程，通过去括号、移项、系数化为1等过程，求得的值． 【详解】解：由题意得：将可化为：， 去括号得：， 移项，得：， 合并得：，， 系数化为1得：． 故选：C． 25．小丽同学在做作业时，不小心将方程中的一个常数污染了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是，请问这个被污染的常数■是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了方程的解、解一元一次方程，把代入得，再解方程即可得解． 【详解】解：把代入得， 解得， 故选C． 26．若方程的解与关于的方程的解互为相反数,则的值为（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的解法，先解两个方程求出方程的解，然后根据题意得到，解题求出m的值即可． 【详解】解：解方程得， 解方程得， 因为两个方程的解互为相反数， 所以， 解得． 故选C． 27．若方程与方程的解相同，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次方程的解，一元一次方程的解法，先解方程可得，把代入即可得到答案． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， ∴， 解得：， 将代入方程， ∴， 解得：． 故答案为：． 28．若不论k取什么数，关于x的方程（a、b是常数）的解总是，则的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次方程的解，掌握方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值是解题关键；将代入中，化简得到，由不论k取什么数，关于x的方程（a、b是常数）的解总是可知，k的值对方程没有影响，即可得到，求解即可． 【详解】不论k取什么数，关于x的方程（a、b是常数）的解总是， ， ， ， ，， ，， ． 故答案为：． 29．已知关于的方程的解比的解小．求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，首先分别解两个关于的方程，把它们的解用含的代数式表示出来，再根据两个方程的解的关系得到关于的一元一次方程，解方程求出的值． 【详解】解：解方程， 可得：， 解方程， 可得：， 比小， ， 解得． 30．对于任意两个有理数和，规定一种新运算“”：当时，；当时，． (1)分别求与的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解一元一次方程； （1）根据新运算进行计算即可求解； （2）分，，根据新运算列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，， ； （2）解：当时，， ， ∴； 当时，， ∴． 综上，或． 31．定义：关于x的方程与方程（a，b均为不等于0的常数）互为“反对方程”．例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)的“反对方程”是_______； (2)若关于x的方程与方程互为“反对方程”，求m，n的值； (3)若关于x的方程和其“反对方程”的解都是整数，求b的值． 【答案】(1) (2) (3)或1 【分析】本题考查的是一元一次方程的解，能够正确理解概念是解决此题关键． （1）根据“反对方程”的定义直接可得答案； （2）将“反对方程”组成方程组求解可得答案； （3）根据“反对方程”与的解均为整数，可得与都是整数，由此可得答案． 【详解】（1）解：根据定义得，的“反对方程”为， 故答案为：； （2）解：∵关于x的方程与方程互为“反对方程”， ∴，， 解得：； （3）解：关于x的方程和其“反对方程”是， ∴， ， ； ， （1-3b）x=2， ， ∵关于x的方程和其“反对方程”的解都是整数， ∴与都是整数， 当，即时，，，都为整数， 当即时，，，都为整数， ∴b的值为或1． 32．观察下列两个等式：，，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数，为“共生有理数对”，记为，如：数对，都是“共生有理数对”． (1)数对，中是“共生有理数对”的是________； (2)若是“共生有理数对”，则________“共生有理数对”（填“是”或“不是”）； (3)若6是“共生有理数对”中的一个有理数，求这个“共生有理数对”． 【答案】(1) (2)是 (3)或 【分析】本题考查有理数与有理数运算的新定义问题，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）根据“共生有理数对”的定义，分别代入代数式计算即可判断； （2）根据“共生有理数对”的定义可得：，，由于是“共生有理数对”，得到，从而推出，即可判断是否为“共生有理数对”； （3）设是“共生有理数对”中的另一个有理数．根据题意分情况讨论：①若“共生有理数对”是，②若“共生有理数对”是，分别求出值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵使等式成立的一对有理数，称为“共生有理数对”， ∴对于数对：，符合“共生有理数对”的定义， 对于数对：，不符合“共生有理数对”的定义， 故答案为：． （2）解：由“共生有理数对”的定义可得：，， ∵是“共生有理数对”， ∴， ∴，即， ∴是“共生有理数对”． （3）解：设是“共生有理数对”中的另一个有理数． ①若“共生有理数对”是，根据题意得：，解得． ②若“共生有理数对”是，根据题意得：，解得． ∴这个“共生有理数对”是或． 33．规定关于x的一元一次方程的解为，则称该方程是“差解方程”，例如：的解为，则方程就是“差解方程”，据上述规定解答下列问题： 【定义理解】 （1）判断：方程______差解方程；（填“是”或“不是”） （2）若关于x的一元一次方程是“差解方程”，求m的值； 【知识应用】 （3）若关于x的一元一次方程是“差解方程”，求的值； （4）已知关于x的一元一次方程和都是“差解方程”，求代数式的值． 【答案】（1）是；（2）；（3）16；（4）0 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解题的关键是读懂题意，理解差解方程的概念并根据概念列出方程． （1）根据差解方程的定义判断即可； （2）根据差解方程的定义即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）根据差解方程的定义即可得出关于、的二元二次方程，整理即可得出； （4）根据差解方程的概念列式得到关于、的两个方程，联立求解得到、的关系，得出，然后代入代数式进行计算即可求解． 【详解】解：（1）∵方程的解为， ∴方程是差解方程． 故答案为：是； （2）由题意可知，由一元一次方程可知， ∴， 解得； （3）∵方程是“差解方程”， ∴， 解方程，得， ∴， ∴，即， 故答案为：16； （4）∵一元一次方程是“差解方程”， ∴， 解方程一元一次方程得 ∴，整理得， ∵一元一次方程是“差解方程”， ∴， 解方程一元一次方程得， ∴， ∴，即， ∴原式． 七、一元一次方程应用--配套问题（共3小题） 34．某工厂有22人，每名工人每天可加工3张桌子或10把椅子，1张桌子与4把椅子配套，现要求工人每天做的桌子和椅子完整配套，且没有剩余，若设安排名工人加工桌子，则根据题意可列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的应用，若每天做的桌子和椅子完整配套，则名工人加工的椅子数是名工人加工的桌子数的4倍，由此列方程即可． 【详解】解：由题意知， 即， 故选A． 35．某啤酒厂决定生产啤酒的同时，再生产一些开啤酒瓶盖的“起子”，为了方便顾客，在销售啤酒时，每箱啤酒内都装进一个“起子”．假设厂内工人的工作效率都相同，他们平时每人每天生产啤酒20箱或生产“起子”360个，那么工厂内760名工人应该分配多少人生产啤酒，多少人生产“起子”，才能使生产的啤酒和“起子”恰好配套？ 【答案】分配720人生产啤酒，40人生产“起子” 【分析】本题考查一元一次方程应用，找到等量关系列出等式是关键．此题由起子每箱酒内装一个，可知起子的个数与啤酒的箱数相等，设x个人生产啤酒，则，解方程即可。 【详解】解：设应该分配人生产啤酒，则人生产“起子”， 根据题意，得 ， 解得， 则（人）， 故应分配720人生产啤酒，40人生产“起子”． 36．某工厂车间有24个工人，生产A零件和B零件，每人每天可生产A零件15个或B零件10个（每人每天只能生产一种零件），一个A零件配两个B零件，且每天生产的A零件和B零件恰好配套． (1)求该工厂有多少个工人生产A零件？ (2)工厂将零件批发给商场时，每个A零件可获利8元，每个B零件可获利5元，求该工厂每日生产的零件总获利多少元？ 【答案】(1)设该工厂有6名工人生产A零件 (2)该工厂每日生产的零件总获利1620元 【分析】本题考查解一元一次方程、列一元一次方程解应用题等知识与方法，解题的关键是通过分析探究找出配套问题的相等关系且列方程求解． （1）设该工厂有x名工人生产A零件，共生产A零件个，则有名工人生产B零件，共生产B零件个，根据每天生产的A零件和B零件恰好配套列方程解决即可； （2）先求出生产B零件的有工人数，进而列式计算求出结论． 【详解】（1）解：设该工厂有x名工人生产A零件，共生产A零件个，则有名工人生产B零件，共生产B零件个，由题意得： ， 解得：， 答：设该工厂有6名工人生产A零件； （2）由（1）得，生产B零件的有工人人， 每个A零件可获利8元，每个B零件可获利5元， 元， 答：该工厂每日生产的零件总获利1620元． 八、一元一次方程应用--和差倍分问题（共4小题） 37．女儿现在的年龄是父亲现在年龄的，9年前父亲和女儿年龄之和是45岁．求父亲现在的年龄．设父亲现在的年龄为岁，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设父亲现在的年龄为岁，根据题意，正确列方程求解即可． 【详解】解：设父亲现在的年龄为岁，则女儿现在的年龄为岁， 根据题意，得， 故选：A． 38．一根铁丝，第一次用去它的一半少1米，第二次用去剩下的一半多1米，结果还剩下3米．求这根铁丝原来有多长？设这根铁丝原来的长度为x，可列出方程（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，利用剩下的部分铁丝原来的长度第一次用去的长度第二次用去的长度，即可列出关于的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：∵第一次用去它的一半少1米，即米， ∴第一次剩余米， ∵第二次用去剩下的一半多1米， ∴第二次用去米， 根据题意，得， 故选：B． 39．跨学科试题·语文  众所周知，中华诗词博大精深，集大量的情景、情感于短短数十字之间．而数学与古诗词更是有着密切的联系．古诗中，五言绝句是四句诗，每句都是五个字；七言绝句是四句诗，每句都是七个字．有一本诗集，其中五言绝句比七言绝句多13首，总字数却反而少了20个字．则七言绝句有（   ）首． A．35 B．48 C．55 D．68 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是理解题意，正确寻找等量关系建立方程．设七言绝句有首，根据五言绝句比七言绝句的字数少20个字列方程即可． 【详解】解：设七言绝句有首， 根据题意，得， 解得． 故选A． 40．体育课上，体育老师要求男、女各站成一队，记男生队为A队，女生队为B队． （1）设A队有人，B队有人，从A队调人到B队，则此时B队比队多 人；（结果要化简） （2）已知A队有32人，B队有28人．从A队调人到B队后，B队人数比A队剩余人数的2倍多3人，则的值为 ． 【答案】 13 【分析】本题考查了整式加减的应用，一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）由题意，调动后B队有人，A队有人，即可列出代数式，计算可得答案； （2）根据题意，调动后B队有人，A队有人，再列出方程，解方程即得答案． 【详解】解:（1）由题意得，从A队调人到B队，则此时B队比A队多人； 故答案为：； （2）由题意得，， 解得． 故答案为：13． 九、一元一次方程应用--积分问题（共4小题） 41．某校七年级举行“数学头脑风暴竞技”活动，测试卷由20道题组成，答对一题得5分，不答或答错一题扣1分，考生李华的成绩为82分，则他答对了（   ）道题． A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】B 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意表示出答对以及答错的题目数，表示出得分，进而求出即可． 【详解】解：设他答对了x道题，则答错了道题，根据题意可得： ， 解得：， 故选：B． 42．某次篮球联赛部分积分如下： 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 24 21 18 据表格提供的信息解答下列问题： (1)列一元一次方程求出胜一场、负一场各积多少分？ (2)某队的胜场总积分能等于负场总积分吗？若能，试求出胜场数和负场数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)胜一场积2分，负一场积1分 (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设胜一场积分，则负一场积分，根据队的积分建立方程，解方程即可得； （2）设胜场数为场，则负场数为场，根据某队的胜场总积分等于负场总积分建立方程，解方程求出的值，根据为整数即可得出答案． 【详解】（1）解：设胜一场积分，则负一场积分， 由题意得：， 解得， 则， 答：胜一场积2分，负一场积1分． （2）解：某队的胜场总积分不能等于负场总积分，理由如下： 设胜场数为场，则负场数为场， 由题意得：， 解得，不是整数，不符合题意， 所以某队的胜场总积分不能等于负场总积分． 43．中山市纪中三鑫双语学校积极开展各项活动．“学习强国知识竞赛”有20道必答题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分；3道抢答题，每一题抢答对得10分，抢答错扣20分，抢答不到不得分也不扣分．甲乙两队决赛，甲队必答题得了170分，乙队必答题只答错了1题． (1)甲队必答题答对了多少道？乙队必答题得了多少分？ (2)抢答赛中，乙队抢答对了第1题，又抢到了第2题，但还没作答时，甲队啦啦队队员小黄说：“我们甲队输了!”小汪说：“小黄的话不一定对!”请你举一例说明“小黄的话”有何不对． 【答案】(1)甲队必答题答对18道，乙队必答题的得分为185分 (2)见解析 【分析】（1）设甲队必答题答对了x道，则答错了道，根据甲队得分170列方程求解即可； （2）“小黄的话”不一定对，理由为：根据规则：每一题抢答对得10分，抢答错扣20分，抢答不到不得分也不扣分,分析解答即可． 此题考查一元一次方程的应用，找出题中的等量关系是解答本题的关键． 【详解】（1）解：设甲队必答题答对了x道，则答错了道， 根据题意，得， 解得：， 故甲队必答题答对18道， 乙队必答题只答错了1道， 乙队必答题的得分为： （分）， 答：甲队必答题答对18道，乙队得分为185分． （2）解：甲队目前的得分为170分，乙队得分为（分）， ①若乙队第2题抢答题答错，则乙得分为（分），若第3题甲队抢答正确，则甲队得分为（分），甲队获胜； ②若乙队第2题抢答题答错，则乙队得分为（分），若第3题乙队抢答错误，则乙队得分为（分），甲队的得分为170（分），甲队获胜； 故“小黄的话”不一定对． 44．据了解第二届“澳新杯”篮球赛在12月2日圆满结束，看到运动场的宣传栏中的部分信息（如下表）： 八年级部分班篮球赛成绩公告 比赛场次 胜场 负场 积分 12 8 4 20 12 6 6 18 12 0 12 12 小明同学结合学习的知识设计了如下问题，请你帮忙完成下列问题： (1)从表中可以看出，负一场积 ___________分，胜一场积 ___________分； (2)某班在比完12场的前提下，胜场总积分能等于其负场总积分的2倍吗？请说明理由． 【答案】(1)1，2 (2)见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找到等量关系并列出方程是解题的关键； （1）由表中最后一行的信息可知，12场全负积分为12分，由此可得负一场积分；设胜一场积a分，结合表中第一行的信息得到方程，即可求得胜一场积分； （2）设该班胜了x场，则该班负了场，胜的场次共积分，负的场次共积分，由题意可得方程：，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由表中最后一行的信息可知，某班12场全负积分为12分， ∴负一场的积分为：（分）； 设胜一场积a分，则由表中第一行信息可得：， 解得：， ∴胜一场积2分； 故答案为：1，2； （2）解：能； 理由如下： 设该班胜了x场，根据题意可得： ， 解得：， ∴若某班赛完全部12场，胜了6场，则胜场得12分，负场得6分，该班的胜场积分是负场积分的2倍． 答：若该班赛12场，胜了6场，则其胜场积分是负场积分的2倍． 十、一元一次方程应用--古代问题（共6小题） 45．文化情境·数学文化中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”这道题的意思是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果我们设有辆车，则可列方程（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据实际问题列一元一次方程，考查学生归纳推理的能力，属于初中基础题． 根据题意以人数为等量关系列出方程即可． 【详解】解：由题意，设有辆车，每三人乘一车，最终剩余2辆车，所以有人， 若每2人共乘一车，余9个人无车可乘，所以有人， 所以方程为， 故选：A． 46．文化情境·数学文化  在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的数学问题：“今有凫（凫：野鸭）起南海，七日至北海：雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”意思是野鸭从南海起飞，7天飞到北海：大雁从北海起飞，9天飞到南海．野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过几天相遇？设野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过天相遇，根据题意，下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设野鸭与大雁经过x天相遇，根据路程=速度×时间，结合野鸭飞过的路程+大雁飞过的路程=整段路程，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设野鸭与大雁经过x天相遇， 依题意得：， 故选：C． 47．趣味题  唐代大诗人李白喜好饮酒作诗，民间有“李白斗酒诗百篇”之说．《算法统宗》中记载了一个“李白沽酒”的故事．诗云：今携一壶酒，游春郊外走．逢朋加一倍，入店饮斗九．相逢三处店，饮尽壶中酒．试问能算士，如何知原有．大意是：李白在郊外春游时，遇见一个朋友，先将壶里的酒增加一倍，再喝掉其中的19升酒．按照这样的约定，在第3次遇到朋友后正好喝光了壶中的酒，那么壶中原有酒（   ） A．升 B．升 C．升 D．升 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 设壶中原有酒为x升，在第1次遇见一个朋友后，剩余酒，在第2次遇见一个朋友后，剩余酒，则在第3次遇见一个朋友后，剩余酒，根据在第3次遇到朋友后正好喝光了壶中的酒，即可列出方程，然后解方程即可． 【详解】解：设壶中原有酒为x升，根据题意得， ， 解得：， 故选：D． 48．明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中的数学名题“宝塔装灯”原文：远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问顶层几盏灯．题目大意是：远处有一座雄伟的七层宝塔，塔上挂了许多红灯，相邻两层下一层灯的盏数是上一层灯的盏数的2倍，共有381盏灯，则塔顶灯有 盏． 【答案】3 【分析】此题考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意确定等量关系是解题的关键． 设顶层有x盏灯，根据“有一座七层高塔，从底层开始，每层安装的灯的数目都是上一层的2倍”列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：设顶层有x盏灯， 由题意得， 解得， 故答案为：3． 49．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等．如图所示是一个未完成的幻方，则 ． 1 9 m 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 根据每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，可列出关于的一元一次方程，即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：， ． 故答案为：． 50．《趣味数学》古希腊数学家丢番图的墓志铭中写到：他一生的六分之一是童年，十二分之一是无忧无虑的少年，又过了一生的七分之一组建幸福的家庭，五年后儿子出生，不料儿子先其父而死，此时儿子只活了父亲岁数的一半，丢番图在悲痛中又度过了四年，最终离开了人世．请你算一算丢番图这一生的年龄是多少岁？ 【答案】84岁 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题目给出的条件，找出丢番图的年龄的表达式，根据等量关系，列出方程再求解． 【详解】解：设丢番图的年龄是x岁， 根据题意列方程得：， 解得：， 答：丢番图这一生的年龄是84岁． 十一、一元一次方程应用--日历问题（共5小题） 51．某同学在某月的日历上圈出了三个数a，b，c，并求出了它们的和为57，则这三个数在日历中的排位位置不可能的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的应用．日历中的每个数都是整数且上下相邻是7，左右相邻相差是1．根据题意可列方程求解． 【详解】解：A、设最小的数是x，，解得，故本选项不合题意； B、设最小的数是x，，解得：，故本选项符合题意； C、设最小的数是x，，解得：，故本选项不合题意； D、设最小的数是x，，解得：，故本选项不合题意； 故选：B． 52．如图是某月的月历，现用“”图形在月历中框出个数，它们的和为．不改变“”图形的大小，将“”图形在该月历上移动，所得个数的和可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设中间的数为，根据题意得上方两个数为，，上方两个数为，，求出它们的和为，再结合选项中的数，进行判断即可，解题的关键是正确的表示出五个数的和． 【详解】解：设中间的数为，根据题意得上方两个数为，，上方两个数为，， 则， 、若，解得：，不是整数，不符合题意； 、若，解得：，是整数，符合题意； 、若，解得：，不是整数，不符合题意； 、若，解得：，不是整数，不符合题意； 故选：． 53．如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“”型框中的个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现这个数的和不可能的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设这个数中最小的数为，则这个数的和为，分别代入各选项中的数，解之可得出的值，结合为整数，即可得出结论． 【详解】解：设这个数中最小的数为，则另外个数分别为，，，，，， 这个数的和为． A．根据题意得：， 解得：， 在第四列，符合题意， 这个数的和可以是，选项A不符合题意； B．根据题意得：， 解得：， 在第五列，符合题意， 这个数的和可以是，选项B不符合题意； C．根据题意得：， 解得：， 不是整数，不符合题意， 这个数的和不可能是，选项C符合题意； D．根据题意得：， 解得：， 在第一列，符合题意， 这个数的和可以是，选项D不符合题意． 故选：C． 54．如图，将连续的奇数1，3，5，7，…按图1中的方式排成一个数表，用一个十字框框住5个数，这样框出的任意5个数（如图2）分别用a，b，c，d，x表示． (1)若，则=______； (2)设，用含x的式子分别表示M； (3)判断（2）中M的值能否等于2025，请说明理由． 【答案】(1)68 (2)； (3)能等于2025，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，仔细阅读图表排列规律，观察出其余四个数与最中间的数的关系是解题的关键． （1）由可找出a、b、c、d的值，将其相加即可得出结论； （2）根据图形即可得出a、b、c、d与x之间的关系，将a、b、c、d相加即可得出结论； （3）根据，代入2025求出x的值，根据x的奇偶性即可得出M的值能等于2025． 【详解】（1）解：∵， ∴，，，， ∴； 故答案为：68； （2）解：由题意得，，，； ∴， ∴； （3）解：能等于2025，理由如下： ∵， 当时，， ∵405为奇数，，所以2025在第34行第5列， ∴的值能等于2025． 55．综合与实践 活动再现：在学习第四章《整式的加减》时，我们通过“数学活动”，探究了月历中数字之间的关系和变化规律． 操作发现：如图1是2024年10月的月历，小宇用带阴影的“十”字框框中5个数． (1)这5个数中，最小数与最大数的差是_________； (2)小宇发现当“十”字框任意移动时，框中的5个数之和始终是5的倍数，请通过计算说明他的发现成立． (3)小宇用如图2所示的“凹”字框在月历中任意框中5个数，将这5个数分别用字母a，b，c，d，e表示（如图3）． ①请用只含一个字母的代数式表示这5个数的和．（写出两个不同的代数式） ②这5个数的和能等于101吗？若能，请直接写出这5个数；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①；（答案不唯一）②能；15，17，22，23，24 【分析】本题考查了一元一次方程的日历应用，列代数式，有理数的减法应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据这5个数中，最小数是，最大数是，进行减法运算，即可作答． （2）设正中心的数为x，则阴影框中其余的4个数为，，，．再列式，即可作答． （3）①根据这5个数分别用字母a，b，c，d，e表示，所以或，即可作答． ②能，依题意，列式进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，这5个数中，最小数是，最大数是， ∴， 故答案为：； （2）解：设正中心的数为x， 则阴影框中其余的4个数为，，，． ∴． 则这5个数的和为． ∵是正整数， ∴当“十”字框任意移动时，框中的5个数之和始终是5的倍数． （3）解：①∵用如图2所示的“凹”字框在月历中任意框中5个数，将这5个数分别用字母a，b，c，d，e表示， ∴； 或者； ∴这5个数的和为或（答案不唯一） ②能，过程如下： 依题意，， 解得 则， ∴这5个数是15，17，22，23，24． 十二、一元一次方程应用--工程问题（共4小题） 56．一个道路工程，甲队单独施工9天完成，乙队单独施工24天完成．现在甲乙两队共同施工3天，因甲另有任务，剩下的工程由乙队完成，乙队还需（   ）天才能完成． A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】A 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程解题即可． 【详解】解：设乙队还需天才能完成， 由题意，得， 解得． 故选A． 57．[教材练习题变式]一个道路工程，甲队单独施工天完成，乙队单独施工天完成．现在甲乙两队共同施工天，因甲另有任务，剩下的工程由乙队完成，乙队还需（   ）天才能完成． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．首先设乙队还需天才能完成，根据甲的工作量乙的工作量总工作量可以列出关于的一元一次方程，解方程求出乙队工作的时间． 【详解】解：设乙队还需天才能完成， 根据题意：， 解得， 故选：A ． 58．某项工程，若由甲工程队单独施工需要3周，每周耗资8万元，若由乙工程队单独施工需要6周，每周耗资3万元．若甲、乙两工程队全程合作施工，需要几周完成？共需耗资多少万元？ 【答案】甲、乙两工程队合作施工，需要2周完成，共耗资22万元 【分析】本题考查一元一次方程的应用．关键是得到符合题意的相等关系．用到的知识点为：工作效率工作时间工作总量．根据题意可得甲的工作效率为，乙的工作效率为，根据甲、乙合作的工作效率工作时间列出方程求解后即可得到甲、乙合作的工作时间；甲、乙每天耗资之和乘以天数即为所求的费用． 【详解】解：设甲、乙两工程队合作施工，需要周完成． 根据题意，得：． 解这个方程得：． （万元）． 答：甲、乙两工程队合作施工，需要2周完成，共耗资22万元． 59．检查一处住宅区的自来水管，甲单独完成需天，乙单独完成需天，现在先由甲单独做8天剩下的部分由甲、乙合做完成．甲、乙两人合做了多少天？ 分析：这个问题中的等量关系：全部工作量=甲单独做的工作量+______． 设：甲、乙两人合做了x天，可以根据表格分析数量关系：(请补全表格) 工作方式 工作效率 工作时间(天) 工作量 甲单独做 8 甲、乙合做 ①______ ②______ 合计 1 根据题意列方程为：______；解得______；答：略． 【答案】见解析 【分析】本题考查一元一次方程的应用，把总工作量看作单位“1”，根据全部工作量=甲单独做的工作量+甲、乙合做完成的工作量，完成填空，即可求解． 【详解】解：全部工作量=甲单独做的工作量+甲、乙合做完成的工作量， 设甲、乙两人合做了天， ∵甲单独完成需天，乙单独完成需天， ∴甲、乙合做的工作效率为， ∴甲、乙合做完成的工作量为， 根据题意列方程为：， 解得：， 答：甲、乙两人合做了4天． 故答案为：：甲、乙合做完成的工作量，；；；． 十三、一元一次方程应用--行程问题（共4小题） 60．社会发展情境·水利工程 小浪底水利枢纽位于河南省洛阳市孟津区，是治理开发黄河的关键性工程．为了更多地了解这个工程，小明决定从家骑车去参观．小明原计划每小时骑10千米，在预计时间就能到达，但他因事比原计划晚出发15分钟，只好以15千米/时的速度前进，结果比预计时间早到6分钟．若设小明家到小浪底水利枢纽的距离为千米，则根据题意列出的方程正确的为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，由 “比规定的时间早6分钟到达地”，由此可得出，原计划用的时间=实际用的时间分钟分钟，进而列方程即可得解，能准确地找出等量关系是解决此题的关键． 【详解】解：∵设小明家到金沙江的距离为x千米， ∴， 故选：． 61．列方程解应用题：甲乙两车分别从相距的、两地相向而行． (1)两车保持匀速行驶且甲车的速度是乙车速度的倍，若甲车比乙车提前出发，则甲车出发后两车相遇．求甲、乙两车的速度分别是多少． (2)若甲、乙两车保持（1）中的速度，同时出发，相向而行，求经过多长时间两车相距． 【答案】(1)甲车的速度是千米/小时，乙车的速度是千米/小时； (2)经过小时或小时两车相距千米． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设乙车的速度是千米/小时，则甲车的速度是千米/小时，利用路程速度时间，可列出关于的一元一次方程，解之可得出乙车的速度，再将其代入中，即可求出甲车的速度； （2）设经过小时两车相距千米，利用路程速度时间，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设乙车的速度是千米/小时，则甲车的速度是千米/小时， 根据题意得： 解得： (千米/小时)． 答：甲车的速度是千米/小时，乙车的速度是千米/小时； （2）解：设经过小时两车相距千米，根据题意得： 或 解得：或， 答：经过小时或小时两车相距千米． 62．周末7个好朋友租了两辆出租车从A地一起去B地看演出，途中一辆车在离B地还有18千米处发生故障，只得由另一辆出租车将大家送达B地，但此时距离B地的演出开始还剩下50分钟，这辆出租车有如下两种方案可以实施： 方案一 先送4人，其余3人原地不动等待出租车返回接送 方案二 先送4人，其余3人先步行，途中与出租车相遇后上车前行 相关数据： 出租车行驶的平均速度：60千米/时． 乘客行走的平均速度：5千米/时． 每辆出租车限乘5人． (1)若按方案一实施，7人能否赶上B地的演出？并说明理由； (2)通过计算说明方案二能否保证7人在规定的时间到达B地的演出现场． 【答案】(1)不能赶上地的演出，理由见解析 (2)能，计算见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算； （1 ）利用时间路程速度，由出租车行驶的路程为千米可求出其余人到达地所需时间，由该值大于分钟，即可得出答案； （2 ）设出租车返回接上其余人时，其余人步行了千米，利用时间路程速度，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，利用时间路程速度，可求出其余人到达地所需时间，再将其与分钟比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：若按方案一实施，人不能赶上地的演出，理由如下： 其余人到达地所需时间为（分钟）， ， ∴若按方案一实施，7人不能赶上B地的演出； （2）解：设出租车返回接上其余人时，其余人步行了千米， 根据题意得：， 解得：， 其余人到达地所需时间为（分钟） ， 方案二能保证人在规定的时间到达地的演出现场． 63．列方程解应用题：重庆一中某校区七年级学生在教育广场乘坐旅游汽车到户外参加拓展训练，七（1）班的学生乘坐红色车，组成红队，车速为60千米小时，七（2）班的学生乘坐蓝色车，组成蓝队，车速为80千米小时．红队出发1小时后，蓝队才出发，同时蓝队派联络员小梦自驾车在两队之间不断地来回进行联络，小梦自驾车的速度为100千米小时． (1)小梦出发多久后，第一次追上红队； (2)小梦从出发到他折返后第一次与蓝队相遇，经过了多少时间？ (3)当蓝队追上红队时，小梦行驶的路程是多少千米？ 【答案】(1)小时 (2)小时 (3)千米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用（行程问题），根据题意正确的列出方程是解题的关键． （1）设小梦出发小时后，第一次追上红队，根据小梦的路程与红队的路程相等，可列方程，解方程即可得解； （2）设小梦从出发到他折返后第一次与蓝队相遇，经过了小时，依据小梦和蓝队的总路程等于小梦折返时路程的倍，可列方程，解方程即可得解； （3）设蓝队出发后经过小时追上红队，根据蓝队的路程与红队的路程相等，可列方程，解方程即可求出蓝队追上红队所用的时间，用该时间乘以小梦自驾车的速度，即可求出小梦行驶的路程． 【详解】（1）解：设小梦出发小时后，第一次追上红队， 依据题意可得：， 解得：， 答：小梦出发小时后，第一次追上红队； （2）解：设小梦从出发到他折返后第一次与蓝队相遇，经过了小时， 依据题意可得：， 解得：， 答：小梦从出发到他折返后第一次与蓝队相遇，经过了小时； （3）解：设蓝队出发后经过小时追上红队， 依据题意可得：， 解得：， 蓝队出发后经过小时追上红队， 此时小梦行驶的路程是：（千米）， 答：当蓝队追上红队时，小梦行驶的路程是千米． 十四、一元一次方程应用--营销问题（共6小题） 64．如图，这是某超市电子表的价格标签，一导购员不小心将墨水滴在标签上，使得原价看不清楚，请你帮助算一算，该电子表的原价是（   ） 　 A．15.36元 B．19.6元 C．20元 D．24元 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找出等量关系，列方程求解．设该电子表的原价为x元，根据现价＝原价×折扣率，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设该电子表的原价为x元， 依题意，得： ， 解得：． 故选：D． 65．某种商品每件的进价为元，按标价的九折销售时，利润率为，这种商品每件的标价是（   ） A．380元 B．250元 C．320元 D．288元 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的应用，得到售价的等量关系是解决本题的关键．等量关系为：标价折进价（利润率），把相关数值代入计算即可． 【详解】解：设这种商品每件的标价是元，依题意有 ， 解得． 故这种商品每件的标价是元． 故选：C． 66．旅游商店出售两件纪念品，每件120元，其中一件赚，而另一件亏，那么这家商店出售这样两件纪念品是赚了还是赔了，或是不赚也不赔呢？（   ） A．赚了 B．赔了 C．不赚也不赔 D．无法计算 【答案】B 【分析】此题查一元一次方程在利润问题中的运用，设赚的衣服的成本价为x元，亏本衣服的成本价为y元，根据题意列方程，分别求得两件衣服的进价，再将其进价和与售价和进行比较，从而得到是否亏损． 【详解】设解：设赚的衣服的成本价为x元，亏本衣服的成本价为y元， 则(，(， 解得，， ∴元， 即亏损10元， 故选：B． 67．为了丰富学生的课余生活，拓展学生的视野，学校小卖部准备购进甲、乙两类中学生书刊．若购买400本甲类书刊和300本乙类书刊共需要6400元，其中甲、乙两类书刊的进价和售价如表： 甲 乙 进价（元/本） 售价（元/本） 20 13 (1)求甲、乙两类书刊的进价各是多少元？ (2)第一次小卖部购进的甲、乙两类书刊共800本，全部售完后总利润为5750元，求小卖部甲、乙两类书刊分别购进多少本？ 【答案】(1)甲类书刊的进价是10元，乙类书刊的进价是8元； (2)甲类书刊购进350本，乙类书刊购进450本． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，准确找到等量关系列出一元一次方程是解题的关键． （1）根据“购买400本甲类书刊和300本乙类书刊共需要6400元”，列出方程即可； （2）设甲类书刊购进本，则乙类书刊购进本，结合“购进的甲、乙两类书刊共800本，全部售完后总利润为5750元”，列出方程求解的值即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得：， ， 答：甲类书刊的进价是10元，乙类书刊的进价是8元． （2）设甲类书刊购进本，则乙类书刊购进本， 由题意得，， 解得：， ， 答：甲类书刊购进350本，则乙类书刊购进450本． 68．元旦即将到来，两超市分别推出如下促销方式： 甲超市：全场均按八五折优惠； 乙超市：购物不超过300元，按九折优惠；超过300元，不超过300元的部分按九折优惠，超过300元的部分按八折优惠； 假设超市相同商品的标价都一样． (1)当一次性购物总额为400元时，甲、乙两家超市实付款分别是多少？ (2)当购物总额是多少时，甲、乙两家超市实付款相同． (3)现有丙超市推出每满100元减18元的活动，当购物总额为450元时去哪家超市划算？ 【答案】(1)甲、乙两家超市实付款分别是340元，350元 (2)购物总额是600元时，甲、乙两家超市实付款相同 (3)当购物总额为450元时去丙家超市划算 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题目意思，根据题意正确列出方程求解是解题的关键； （1）根据甲，乙两超市的促销方式分别列式计算即可； （2）设购物总额是x元时，甲、乙两家超市实付款相同，当时，不符合题意，当时，根据甲、乙两家超市实付款相同列方程求解即可； （3）分别根据甲，乙，丙超市的促销方式分别列式计算，再进行比较即可得解． 【详解】（1）解：（元），（元）， 答：甲、乙两家超市实付款分别是340元，350元； （2）解：设购物总额是x元时，甲、乙两家超市实付款相同， 当时，不符合题意； 当时，由题意知：， 解得：， 答：购物总额是600元时，甲、乙两家超市实付款相同； （3）解：甲超市实付款：元， 乙超市实付款：元， 丙超市实付款：元， ， 当购物总额为450元时去丙家超市划算． 69．根据以下素材完成任务． 温州杨梅有着丰富的历史文化、多样的品种、广泛的种植区域以及较高的经济价值．家住茶山的小温一家种植了一些的杨梅树，在每年杨梅成熟的时节，除了自家食用之外，其余的都要运到市场进行销售．正值周末，小温同学也想为家里的杨梅销售贡献自己的一份力量． 素材1 已知当地杨梅售价为30元/千克．本周六，小温家一共采摘了10筐杨梅进行销售，每筐以10千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如下表示： 与标准质量的差值 （单位：千克） 0.3 0.2 0.1 筐数 1 3 2 2 2 素材2 据了解，当地快递公司收费标准：浙江省内，首重1千克以内10元（含1千克），续重（超过1千克的部分）2元/千克，不足1千克按1千克计，物件超过20千克则需要额外支付包装费8元． 素材3 杨梅种植成本主要有： 1．肥料和农药成本：在杨梅生长过程中，需要施肥和喷洒农药．一年肥料和农药大概花费3000元． 2．劳动力成本：包括修剪、采摘等环节的人工费用，每人每天150元． 任务1 小温跟着家人一起去市场帮忙售卖，请求出小温一家售出这10筐杨梅的实际收入是多少元？ 任务2 第二天，小温又采摘了22.8千克杨梅，准备通过快递邮寄的方式送给她的同学小周，请帮小温算算，她需要支付给快递员多少邮费？ 任务3 本年采摘时间即将结束，小温想帮家里算一算今年售出了多少千克的杨梅．由于某些原因，小温只知道今年的销售利润为12450元（销售利润销售收入成本），另外本年请了2个修剪工人工作了3天，请了3个采摘工人工作了6天，则小温一家今年售出了多少千克杨梅？ 【答案】任务1：小温一家售出这10筐杨梅的实际收入是3015元；任务2：她需要支付给快递员元邮费；任务3：小温一家今年售出了千克杨梅． 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，一元一次方程的的应用，理解题意并正确列式是解题关键． 任务1：先求出10筐杨梅总质量，再乘以当地杨梅售价，即可求出实际收入； 任务2：根据题意可知，邮费首重费用续重费用包装费用，即可求出邮费； 任务3：设小温一家今年售出了千克杨梅，根据题意列一元一次方程即可求解． 【详解】解：任务1：10筐杨梅总质量为：千克， 则实际收入为元， 答：小温一家售出这10筐杨梅的实际收入是3015元； 任务2：22.8千克千克， 则邮费为元， 答：她需要支付给快递员元邮费； 任务3：设小温一家今年售出了千克杨梅， 由题意得：， 解得：， 答：小温一家今年售出了千克杨梅． 十五、一元一次方程应用--方案问题（共5小题） 70．某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，房客共六三，大比小多二一．后半部分的意思是：房客共有人，大人比小孩多21人． (1)求该房客大人，小孩各有多少人？ (2)假设成人每人收费元，店主李三公推出两种订房方案：方案一：房客超过人，超过的按原价八折优惠，方案二：大人原价，小孩半价．若诗中“众客”再次一起入住，他们选择哪种方案订房更合算？ 【答案】(1)房客中大人有人，小孩有人 (2)若诗中“众客”再次一起入住，他们选择方案二订房更合算 【分析】本题考查一元一次方程解实际应用题，最优方案选择等知识，读懂题意，列出方程求解，进而由方案计算费用比较大小是解决问题的关键． （1）设房客中小孩有人，则大人有人，由总人数为人列一元一次方程求解即可得到答案； （2）设每人收费相同，为元，根据两种方案，求出费用比较大小即可得到答案． 【详解】（1）解：设房客中小孩有人，则大人有人， ， 解得， 则， 答：房客中大人有人，小孩有人； （2）解：方案一费用：元； 方案二费用：元； ， 若诗中“众客”再次一起入住，他们选择方案二订房更合算； 71．某牛奶加工厂现有鲜奶，若市场上直接销售鲜奶，每吨可获取利润500元；若制成酸奶销售，每吨可获取利润1 200元；若制成奶片销售，每吨可获取利润2 000元．该工厂的生产能力是：若制成酸奶，每天可加工；若制成奶片，每天可加工．受人员制约，两种加工方式不可同时进行；受气温制约，这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕．为此，该工厂设计了两种可行方案： 方案一：尽可能多地制成奶片，其余直接销售鲜奶； 方案二：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成． 你认为选择哪种方案获利较多？多获利多少？ 【答案】第二种方案获利较多，多获利元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．根据题意找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 方案一：根据制成奶片，每天可加工，求出天加工的吨数，剩下的直接销售鲜牛奶求出利润即可； 方案二：设生产天奶片，天酸奶，根据题意列出方程，求出方程的解得到的值，进而求出利润比较即可得到结果． 【详解】解：方案一：易知最多生产奶片，其余的直接销售鲜奶． 利润为（元）． 方案二：设生产天奶片，则生产天酸奶， 根据题意，得， 解得：， 利润为（元）， （元）， 所以第二种方案获利较多，多获利元． 72．随着互联网的普及和城市交通的多样化，人们出行的时间与方式有了更多的选择．某市有出租车、滴滴快车和神州专车三种网约车，收费标准见下表（该市规定网约车行驶的平均速度为公里/时）． 起步价：元 超公里费：超过公里元/公里 不足公里按公里计 滴滴快车 起步价：元 里程费：元/公里 时长费：元/分钟 神州专车 起步价：元 里程费：元/公里 时长费：元/分钟 问题一：“奋进小组”提出的问题是：如果乘坐这三种网约车的里程数都是公里，他们发现乘坐出租车最节省钱，费用为 ___________元； 问题二：请解答“质疑小组”提出的以下两个问题， （1）从甲地到乙地，乘坐出租车比滴滴快车节省13.6元，求甲、乙两地间的里程数； （2）神州专车和滴滴快车对第一次下单的乘客有如下优惠活动：神州专车收费打八折，另外加5.3元的空车费；滴滴快车超过8公里收费立减6.5元；如果两位顾客都是第一次下单，分别乘坐神州专车、滴滴快车且收费相同，求这两位顾客乘车的里程数． 【答案】问题一：；问题二：（1）甲、乙两地间里程数为12公里；（）两位顾客的里程数为5或30公里． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，找到等量关系，列出方程是解题的关键． 问题一：根据出租车的收费标准解答； 问题二：（1）设甲、乙两地间里程数为x公里，分和两种情况列出方程并解答； （2）设两位顾客的里程数为x公里，分和两种情况，分别列出方程并解答． 【详解】解：问题一：（元）． 故答案为：30.8； 问题二：（1）解：设甲、乙两地间里程数为x公里， ①若，， 解得（舍）． ②若，． 解得． 答：甲、乙两地间里程数为12公里； （2）解：设两位顾客的里程数为x公里 ①若时，； 解得； ②若时，， 解得； 答：两位顾客的里程数为5或30公里． 73．某校为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需采购一批某种菜苗开展种植活动．已知甲、乙两菜苗基地该种菜苗每捆的标价都是元（菜苗的质量一样好），但甲、乙两菜苗基地的优惠条件却不同，如下所示． 甲菜苗基地：若购买不超过捆，则按标价付款；若一次性购买捆以上，前捆按标价付款，超过捆的部分按标价的付款； 乙菜苗基地：按标价的付款． (1)若学校决定购买该种菜苗捆，则在甲菜苗基地购买，需付款______元，在乙菜苗基地购买，需付款______元； (2)设学校购买该种菜苗捆，补全下列表格（需化简）； 的取值范围 在甲菜苗基地购买的费用（元） 在乙菜苗基地购买的费用（元） 小于等于 大于 (3)根据购买该种菜苗的捆数选择在哪个基地更省钱． 【答案】(1)；； (2)；； (3)当小于时，在乙菜苗基地购买合算；当时，两个菜苗基地购买费用一样；当时，在甲菜苗基地购买合算． 【分析】本题考查有理数的混合运算，整式的实际应用，一元一次方程的方案选择问题，能根据题意正确地分段列出式子是解题的关键． （1）根据题意分别列式计算即可； （2）甲大于，利用“若一次性购买捆以上，前捆按标价付款，超过捆的部分按标价的付款”列式即可；乙利用“按标价的付款”列式即可； （3）先判断小于等于时，由，可知乙菜苗基地购买合算；大于时，先解方程，得，再分三种情况判断：小于时，时，时，即可解决． 【详解】（1）解：根据题意，在甲菜苗基地购买，需付款（元）； 在乙菜苗基地购买，需付款（元）； 故答案为：；； （2）解：设学校购买该种菜苗捆， 在甲菜苗基地购买时， 若小于等于，则费用为； 若大于，则费用为元； 在乙菜苗基地购买时， 若小于等于，则费用为元； 若大于，则费用为元； 故答案为：；；； （3）解：①小于等于时，由， 故乙菜苗基地购买合算； ②大于时，由， 解得：， 由乙菜苗基地购买费用， 当时，是负数， 则乙菜苗基地购买合算； 当时，是正数， 则甲菜苗基地购买合算； 综上，当小于时，在乙菜苗基地购买合算；当时，两个菜苗基地购买费用一样；当时，在甲菜苗基地购买合算． 74．某校七年级准备组织学生观看一部电影，已知票价为每张20元，由各班班长负责买票，下图是1班班长与售票员咨询的对话： (1)1班学生人数为44，选择了方案一购票，求1班购票需要多少元？ (2)2班选择了方案二，购票费用为702元，求2班有多少人？ (3)3班的学生人数为，3班班长思考了一会儿说：“我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的．”请问3班有多少人？ 【答案】(1)704元 (2)44人 (3)45人 【分析】本题考查有理数的乘法运算，一元一次方程的实际运用，解题的关键在于根据题意找出等量关系建立方程并求解． （1）根据题意列式计算即可； （2）设2班有人，根据“购票费用为702元，”列出方程求解，即可解题； （3）根据“无论选择哪种方案要付的钱是一样”建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解： （元）． 答：1班购票需要704元． （2）解：设2班有人， 由题意，得， 解得． 答：2班有44人． （3）解：因为3班有人， 由题意，得， 解得． 答：3班有45人． 十六、一元一次方程应用--几何问题（共8小题） 75．如图，一个长方形的周长为26，如果这个长方形的长减少4，宽增加3，就可围成一个正方形，那么这个长方形的长和宽分别为（   ）      A．11，2 B．10，3 C．8，5 D．7，6 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程解应用题，熟练掌握长方形周长及正方形边长相等是解决问题的关键． 根据题意，设这个长方形的长为，由一个长方形的周长为26得到长方形的宽为，从而由这个长方形的长减少4，宽增加3，就可以围成一个正方形得到，解得，从而得到长方形的长与宽． 【详解】解：设这个长方形的长为， ∵长方形的周长为26， ∴长方形的宽为， ∵这个长方形的长减少4，宽增加3，就可以围成一个正方形， ∴，解得：， ∴长方形的宽， 故选：B． 76．如图，A、O、B三点在一条直线上，，平分，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，平角的定义以及角度的和差计算问题，熟练掌握角平分线，学会方程思想的运用是解题的关键． 设，则，根据，用x表示出的度数，然后根据列方程，求出x的值即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， 解得： ∴． 77．定义：若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．    (1)如图1，点M是线段的一个三等分点，满足，若，则； (2)如图2，已知，点C从点A出发，点D从点B出发，两点同时出发，都以每秒的速度沿射线方向运动t秒． ①当t为何值时，点C是线段的三等分点 ②在点C，点D开始出发的同时，点E也从点B出发，以某一速度沿射线方向运动，在运动过程中，当点C是线段的三等分点时，点E也是线段的三等分点，请直接写此时出线段的长度． 【答案】(1)3 (2)①或27；②或或 【分析】本题考查线段的和与差，线段的数量关系，找准线段之间的数量关系，和差关系，是解题的关键： （1）根据，，进行计算即可； （2）①分和两种情况进行计算即可；②点，点分别是，的三等分点，可以分四种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）①由题意，得：，， 当时，则：， ∴ ∴； 当时，则：， ∴， ∴； 综上：或； ②设点E的速度为每秒，由题意得：，则，， ∵点，点分别是，的三等分点， ∴可以分四种情况讨论： 当时，则，， 分别解得：， ∴ 解得：； 当时，则，， 分别解得：， ∴ 解得：； 当时，则，， 分别解得：， ∴ 解得：； 当时，则，， 分别解得：， ∴ 解得：（舍去）； 综上：点，点分别是，的三等分点，的长为或或． 78．在数轴上A点在原点的左侧，所表示的数是a；B点在原点的右侧，所表示的数是b，且a，b满足. (1)求a，b的值； (2)点P、Q是数轴上的两个动点，点P从点A出发沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发沿数轴向右运动，且点P的速度是点Q速度的2倍，经过6秒钟点P与点Q相遇，求点Q与点P的速度分别为每秒几个单位； (3)若P、Q两点同时以（2）中各自的速度相向而行，点P从点A出发沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发沿数轴向左运动，且点P运动到B点后原速返回，当点Q到达点A时，P、Q停止运动，经过几秒钟，P、Q两点相距6个单位长度． 【答案】(1) (2)点Q的速度为每秒3个单位，点P的速度为每秒6个单位 (3)经过秒或秒或4秒，P、Q两点相距6个单位长度． 【分析】本题考查了非负数的性质，数轴上两点距离，一元一次方程的应用，根据题意列出方程，分类讨论是解题的关键． （1）由非负数的性质得出，即可得出答案； （2）由题意得出方程组，解方程组即可； （3）分两种情况进行讨论，由题意分别得出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：； （2）解：∵点的速度是点速度的倍， 设点的速度为每秒个单位，则点的速度为每秒个单位， 依题意，， 解得：， 答：点的速度为每秒个单位，则点的速度为每秒个单位； （3）解：点所表示的数是；点所表示的数是； ， 当点到达点时，需要秒； 设经过秒钟，、两点相距个单位长度， 分情况讨论： ①点没有到达点， 当、没有相遇，、两点相距个单位长度时， 由题意得：， 解得：； 当、相遇后，、两点相距个单位长度时， 由题意得：， 解得：； ②点到达点后原速返回， 当点还没有追上点时， 由题意得：， 解得：； 当点超过点时， 由题意得：， 解得：（不合题意，舍去）； 综上所述，经过秒或秒或秒钟，、两点相距个单位长度． 79．【新考向】如图，在数轴上有相距个单位长度的，两点，点表示的数是，点为线段上的一个动点．规定：当线段，，中的任意两条线段之间满足三倍的数量关系时，我们称此时的点为线段的“奇分点”． (1)当点与数轴原点重合时，此时点________（填“是”或“不是”）线段的“奇分点”； (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，设运动时间为秒． ①在这个过程中，点表示的数是________（用含的代数式表示）； ②若点是线段的“奇分点”，求运动时间； ③若动点同时从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，则当点是线段的“奇分点”时，求运动时间． 【答案】(1)是 (2)①；②当运动秒或秒或秒或秒时，点是线段的“奇分点”；③当运动秒或秒或秒或秒时，点是线段的“奇分点”． 【分析】本题考查了数轴，列代数式，一元一次方程的应用，找到等量关系列出方程是解题关键． （1）根据两点间的距离公式结合“奇分点”的定义即可求解； （2）①根据路程速度时间计算即可求解；②根据“奇分点”的定义分情况讨论即可求解；③根据“奇分点”的定义分情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：当点C与数轴原点重合时， ，，， ， ∴点C，是线段的“奇分点”． 故答案为∶是； （2）解：①∵，C从点B出发，以每秒个单位长度的速度向点A运动， ∴点C表示的数是， 故答案为∶ ； ②根据题意，点C在线段之间运动，分情况讨论： 当时， ， 解得； 当时， ， 解得； 当时， ， 解得； 当时， ， 解得． （秒）， 故． 综上所述，当运动秒或秒或秒或秒时，点是线段的“奇分点”． ③因为点是线段的“奇分点”， 所以点在线段上， 所以，． 分情况讨论：当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得． （秒）， 故． 综上所述，当运动秒或秒或秒或秒时，点是线段的“奇分点”． 80．【阅读理解】 射线是内部的一条射线，若，则我们称射线是射线的伴随线．例如，如图1，，，则，称射线是射线的伴随线；同时，由于，称射线是射线的伴随线． (1)【知识运用】如图2，，射线是射线的伴随线，则________，若的度数是，射线是射线的伴随线，射线是的平分线，则的度数是________用含的代数式表示 (2)如图3若，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度逆时针转动，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度顺时针转动，当射线与射线重合时，运动停止． 是否存在某个时刻（秒）使得的度数是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 当的值为多少时，射线，，中恰好有一条射线是其余两条射线中任意一条射线的伴随线？ 【答案】(1) (2)①当秒或25秒时，的度数是．②当时，中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线． 【分析】本题主要考查了角平分线的顶用、角的计算、一元一次方程的应用等知识点，灵活利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）根据伴随线定义求解即可； （2）①利用分类讨论思想，分相遇之前和之后两种情况分别列式计算即可；②利用分类讨论思想，分相遇之前和之后，分别画出四个图形进行计算即可． 【详解】（1）解：如图，∵射线 是射线 的伴随线， ， ， ∴同理，若的度数是，射线是射线的伴随线， ， ∵射线是的平分线， ， ． 故答案为：． （2）解：射线与重合时， （秒） ①当的度数是时，有两种可能： 若在相遇之前，则，解得：； 若在相遇之后，则，解得：． 综上所述，当秒或25秒时，的度数是． ②相遇之前： a．如图1， 当是的伴随线时，则，即，解得：； b．如图2， 当是的伴随线时，则，即，解得：； 相遇之后： c．如图3， 当是的伴随线时，则，即，解得：； d．如图4， 当是的伴随线时，则，即，解得：． 综上所述，当时，中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线． 81．已知：b是最小的正整数，且a、b、c满足，请回答问题： (1)______，______，______． (2)动点P从A出发，以每秒2各单位长度的速度向右运动，到C后停止运动，设运动时间为t．求t为何值时，点P到A、B、C三点的距离之和为7个单位？ (3)已知点A、B、C在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒过后，若点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为，请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若改变，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)，1，5 (2)或时，点到、、三点的距离之和为7个单位 (3)的值不随时间的变化而变化，其值恒为2． 【分析】此题考查的是一元一次方程的应用、非负数的性质、数轴等知识，根据两点间距离公式列出方程是解决此题的关键． （1）根据和的值都是非负数可得答案； （2）点运动秒时，运动到的点对应的数点表示的数．点到点的距离点对应的数点对应的数．列出方程并求解即可； （3）由题意可得点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为，再求解即可． 【详解】（1）解：b是最小的正整数， ． ， ，， ，， ，，． 故答案为：，1，5； （2）解：点运动秒时，运动到的点对应的数是． 点到、、三点的距离之和为7个单位， ． 当时，， 解得． 当时，， 解得． 综上所述，或时，点到、、三点的距离之和为7个单位． （3）解：不变．理由如下： 点以每秒1个单位长度的速度向左运动，点每秒1个单位长度向右运动， ． 点和点分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动， ， ， 的值不随时间的变化而变化，其值恒为2． 82．已知两点在数轴上，与互为相反数，点表示的数是，且．      (1)点表示的数为______； (2)如图1，当点位于原点的同侧时，动点分别从点处在数轴上同时相向而行，动点的速度是动点的速度的1.5倍，4秒后两动点相遇，当动点到达点时，运动停止．在整个运动过程中，当　　秒，使得两点的距离为5； (3)如图2，当点位于原点的异侧时，动点分别从点处在数轴上向右运动，动点比动点晚出发1秒；当动点运动2秒后，动点到达点处，此时动点立即掉头以原速向左运动3秒恰与动点相遇；相遇后动点又立即掉头以原速的2倍向右运动6秒，此时动点到达点处，动点到达点处，当时，求动点的原速和运动的速度． 【答案】(1)11或 (2)的值为2或6； (3)动点运动的速度为；动点的原速为或 【分析】本题主要考查了数轴，数轴上点的特征，相反数的意义，一元一次方程的应用，依据题意列出方程是解题的关键． （1）利用相反数的意义和分类讨论的思想方法解答即可； （2）利用已知条件列出关于的方程，解方程即可得出结论； （3）由题意求得点的运动时间为5秒，运动距离为10，则点的速度可求；设动点的原速为，利用代数式表示出，的长度，利用列出方程解答即可． 【详解】（1）解：与互为相反数， ． 设点表示的数为， 点表示的数是，且， ， 或． 故答案为：11或； （2）解：在整个运动过程中，存在某个时刻（秒），使得，两点的距离为5，的值为2或6．理由： 当点、位于原点的同侧时， ，． 设动点的速度为，则动点的速度是， 秒后两动点相遇， ， ． ，两点运动（秒）后，使得，两点的距离为5， 或， 解得：或6． 在整个运动过程中，存在某个时刻（秒），使得，两点的距离为5，的值为2或6； （3）解：动点比动点晚出发1秒，当动点运动2秒后，动点到达点处，此时动点立即掉头以原速向左运动3秒恰与动点相遇， ，两点在点处相遇，此时点的运动时间为5秒，距离为10， 运动的速度为； 设动点的原速为，则，， 由题意得：， ， 或． 动点的原速为或． 试卷第60页，共62页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$