第十四章 整式的乘法与因式分解章末重点题型复习-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（人教版）

第十四章 整式的乘法与因式分解章末重点题型复习 题型一、同底数幂相乘 1．（23-24八年级上·湖南娄底·期末）我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于，若我们规定一个新数i，使其满足(即方程有一个根为i)，并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算法则仍然成立，于是有 从而对任意正整数n，我们可得到同理可得，，，那么，的值为(　　) A．0 B．1 C． D． 2．（23-24八年级上·浙江台州·期末）定义一种新运算：若，则．例如：，则．已知，则的值为 ． 题型二、幂的乘方运算 3．（23-24八年级上·河南南阳·期末）若，则 ． 4．（23-24八年级上·山东济宁·期末）当今大数据时代，“二维码”具有存储量大、保密性强、追踪性高等特点，它已被广泛应用于我们的日常生活中．通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中大约的小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成个不同的数据二维码，下列结论：①就是200个2相乘；②；③比大；④的个位数字是8．其中所有正确结论的序号是 ． 题型三、幂的乘方的逆用 5．（23-24八年级上·吉林·期末） 若，则 的值等于（        ） A．4 B．6 C． D．8 6．（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）已知，则的值为（    ） A．10 B．20 C．40 D．50 题型四、幂的混合运算 7．（23-24八年级上·山东滨州·期末）（1）计算：； （2）如图，中，点D是边的中点，E，F为直线上的点，连接，，且．求证：．    8．（23-24八年级上·江西南昌·期末）已知，，. (1)求证：； (2)求的值. 题型五、积的乘方运算 9．（23-24八年级上·广东东莞·期末）下列计算中，运算正确的个数是（　　） （1） （2 （3） （4） A．个 B．个 C．个 D．个 10．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）（1）化简，使结果只含有正整数指数幂． （2）如图，中，，，的角平分线交于点E．点D为上一点，且，交于点M，求的度数． 题型六、积的乘方的逆用 12．（23-24八年级上·河南郑州·期末）计算： ． 13．（23-24八年级上·重庆·期末）的结果是 ． 14．（23-24八年级上·青海果洛·期末）计算：． 题型七、同底数幂的除法运算 15．（23-24八年级上·辽宁·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 16．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 题型八、同底数幂除法的逆用 17．（23-24八年级上·四川眉山·期末）已知，，则的值为（    ） A．12 B．9 C．33 D．4 18．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)写出，，之间的数量关系． 19．（23-24八年级上·内蒙古兴安盟·期末）已知，，，求的值． 题型九、计算单项式乘单项式 20．（23-24八年级上·四川宜宾·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 21．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）计算：． 题型十、计算单项式乘多项式及求值 22．（23-24八年级上·山西吕梁·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D．． 23．（23-24八年级上·福建厦门·期末）(1)计算； (2)． 题型十一、单项式乘多项式的应用 24．（23-24八年级上·内蒙古兴安盟·期末）神舟十六号载人飞船成功发射，激发了中小学生对航天事业的热爱．李华在手工课上制作了一个火箭模型（图1），图2是其中一重要零件及各边的长度，则图2中零件的面积为（    ） A． B． C． D． 25．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）如图为某公园绿地平面图（长度单位：m）． (1)计算绿地面积S（用含a的式子表示） (2)当时，求绿地面积S． 题型十二、计算多项式乘多项式 26．（23-24八年级上·天津滨海新·期末）已知，，则的值为（　　） A． B． C． D． 27．（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）（1）已知m，n互为相反数，p，q互为倒数，求代数式的值； （2）已知a，b分别为多项式的次数和常数项，求a，b的值． 题型十三、（x×p）（x×q）型多项式乘法 28．（23-24八年级上·广东东莞·期末）若，则（　　） A． B．1 C． D．12 29．（23-24八年级上·河南商丘·期末）已知． (1)求的值； (2)求的值． 题型十四、已知多项式乘积不含某项求字母的值 30．（23-24八年级上·广西河池·期末）已知的展开式中不含的一次项，常数项是． (1)求，的值． (2)先化简再求值． 31．（23-24八年级上·山东济宁·期末）已知关于的代数式的中不含项与项． (1)求，的值； (2)求代数式的值． 题型十五、多项式乘多项式--化简求值 32．（23-24八年级上·福建漳州·期末）先化简，再求值：，其中． 33．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）化简： ． 题型十六、多项式乘多项式与图形面积 34．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，某市有一块长为米，宽为米，规划部门计划在中间留一块边长为米的正方形空地修建雕像（阴影部分）． (1)求草坪的面积是多少平方米？（用含a、b的代数式表示） (2)若a、b满足时，草坪的单价为每平方米50元．求购买草坪所需要的总费用． 35．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式，例如，由图1．可得等式：． (1)由图2，可得等式：___________________； (2)如图3，有A，B，C三种类型纸片足够多张，小明要想用它们拼一个边长分别为和的长方形，则需要用到C型纸片______张； (3)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题： 已知，求的值． 题型十七、多项式乘法中的规律性问题 36．（24-25八年级上·山西临汾·期中）我国宋代数学家杨辉发现了展开式系数的规律：（   ） 展开式系数和为1 展开式系数和为 展开式系数和为 展开式系数和为 展开式系数和为 以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式的系数和是（   ） A．64 B．128 C．256 D．612 37．（23-24八年级上·云南红河·期末）阅读下列材料，完成相应任务． 杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在欧洲，这个表叫做“帕斯卡三角形”．帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉迟393年，比贾宪迟600年，杨辉三角是我国古代数学的杰出研究成果之一，他把二项式乘方展开式系数图形化，如下图所示． … 完成下列任务： (1)写出的展开式． (2)计算：． 题型十八、整式乘法混合运算 38．（23-24八年级上·河南南阳·期末）计算： (1)； (2)． 39．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）已知a，b，c是等腰三角形ABC的三边（注：c可能等于，也可能等于），且满足．设这个等腰三角形ABC的周长为，则 题型十九、多项式除以单项式 40．（23-24八年级上·四川内江·期末）（1）计算：． （2）因式分解：． （3）先化简，再求值：，其中， 41．（23-24八年级上·湖北襄阳·期末）计算： (1)； (2)求的值，其中，． 题型二十、整式四则混合运算 42．（23-24八年级上·福建泉州·期末）先化简，再求值：，其中，． 43．（23-24八年级上·天津滨海新·期末）计算：． 44．（23-24八年级上·河南南阳·期末）（1）计算：； （2）化简． 题型二一、运用平方差公式进行运算 45．（23-24八年级上·四川眉山·期末）若，则的值是（    ） A． B．7 C． D．5 46．（23-24八年级上·湖南衡阳·期中）某同学在计算时，把3写成后，发现可以连续运用两数和乘以这两数差公式计算：．请借鉴该同学的经验，计算：（    ） A． B． C．1 D．2 47．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）先化简，再求值：其中． 题型二二、平方差公式与几何图形 48．（23-24八年级上·河南洛阳·期末）如图1，将边长为的正方形纸片，剪去一个边长为的小正方形纸片．再沿着图1中的虚线剪开，把剪成的两部分（1）和（2）拼成如图2的平行四边形，这两个图能解释的数学公式是(   )    A． B． C． D． 49．（23-24八年级上·浙江温州·期末）探究活动： (1)如图①，可以求出阴影部分的面积是 ；（写成两数平方差的形式） (2)知识应用，运用你所得到的公式解决以下问题： ①计算：； ②若，，求的值． 50．（23-24八年级上·山东临沂·期末）如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（），把余下的部分剪拼成一个矩形． (1)通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是：________； A．     B． C．          D． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知：，求的值； ②计算：． 题型二三、运用完全平方公式进行运算 51．（24-25八年级上·重庆梁平·期中）先化简，再求值：，其中，． 52．（23-24八年级上·四川眉山·期末）把完全平方公式 适当地变形，可解决很多数学问题例如：若，，求的值． 解：∵，， ∴，， ∴，， 得． 根据上面的解题思路与方法，解答下列问题： (1)若，，求的值； (2)若，，求的值． (3)求代数式的最小值，并求出此时的的值． 53．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）计算 (1)； (2)． 题型二四、通过对完全平方公式变形求值 54．（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图1，是一个长为，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图2那样拼成一个正方形． (1)图1中的每个小长方形的面积为_____；图2中的中间空白部分的面积为_____； (2)观察图2，请你写出代数式、、之间的等量关系式为_____； (3)根据你得到的关系式解答下列问题：若，求的值． 55．（24-25八年级上·广东广州·期中）现有长与宽分别为、的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图的图形，用四个相同的小长方形拼成图的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图，教材已给出关于、的关系式：；根据图，关于、的关系式可表示为：______； 根据上面的思路与方法，解决下列问题： （2）①若，，则______； ②若，则______． （3）如图，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 56．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知，，则 ． 题型二五、求完全平方式中的字母系数 57．（23-24八年级上·云南红河·期末）若是一个完全平方式，则b的值是（    ） A．2 B．6 C．12 D．12或 58．（23-24八年级上·四川宜宾·期末）已知M是含字母的单项式，要使多项式是某一个多项式的平方，则M等于（    ） A． B． C． D． 59．（23-24八年级上·河南安阳·期末）在多项式中添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式是 ．（写出一个即可） 题型二六、完全平方式在几何图形中的应用 60．（23-24八年级上·广西玉林·期末）如图，要用木板为一幅正方形油画装裱边框，其中油画的边长为，边框每条边的宽度为，则制作边框的木板面积为（　　）（不计接缝） A． B． C． D． 61．（23-24八年级上·广东汕头·期末）如图①所示是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形． (1)你认为图②中阴影部分的正方形的边长等于_______． (2)请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积. 方法①___________；方法②__________． (3)观察图②，试写出，，这三个代数式之间的等量关系______． (4)根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若，，则求的值． 题型二七、整式的混合运算 62．（23-24八年级上·四川眉山·期末）先化简，再求值：，其中，． 63．（24-25八年级上·重庆·期中）计算： (1) (2) 64．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图，长方形的两边长分别为，，面积为，现有一个正方形的周长与长方形的周长相等． (1)用含m的代数式表示正方形的边长：________； (2)已知正方形的面积S，问：的值是否与m的大小有关？并说明理由． 题型二八、完全平方公式在几何图形中的应用 65．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到数学中常用到的一个公式：请解答下列问题： (1)观察图2，写出图2中所表示的等式 ； (2)已知上述等式中的三个字母，，可取任意数，若，，，且，请利用（1）所得的结论求的值； (3)如图3，将边长分别为和的正方形拼在一起，，，三点在同一直线上，连接，，若两正方形的边长满足，，求阴影部分的面积． 66．（23-24八年级上·四川眉山·期末）如图①，是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个形状和大小都相同的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形（中间是空的）．    (1)图②中的阴影部分的边长为______； (2)观察图②，写出代数式，与之间的等量关系式； (3)若，，求的值． 67．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）如图，一块直径为的圆形钢板，从中挖出直径分别为与的两个圆． (1)求剩下的钢板的面积； (2)若剩下的钢板面积是原钢板面积的，求a与b的关系． 题型二九、已知因式分解的结果求 参数 68．（23-24八年级上·山东济南·期末）已知是二元二次式的一个因式，求a，b的值． 69．（23-24八年级上·山东济宁·期末）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式分解因式后有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得，则， ，解得：，， 另一个因式为，的值为． 请仿照上述方法解答下面问题： (1)若，则______，______； (2)已知二次三项式分解因式后有一个因式是，求另一个因式以及的值； (3)已知二次三项式有一个因式是，是正整数，求另一个因式以及的值． 题型三十、公因式 70．（23-24八年级上·浙江台州·期末）单项式与的公因式是（    ） A． B． C． D． 71．（23-24八年级上·山东济宁·期末）下列各组中的两个代数式，没有公因式的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 题型三一、提公因式法分解因式 72．（23-24八年级上·四川宜宾·期末）若，则的值为 ． 73．（23-24八年级上·山东德州·期末）若，则 ． 题型三二、平方差公式分解因式 74．（23-24八年级上·河北廊坊·期末）认真观察下面这些等式，按其规律，完成下列各小题： ①； ②； ③； ④______； … (1)将横线上的等式补充完整； (2)验证规律：设两个连续的正偶数为，（为正整数），则它们的平方差是4的倍数； (3)拓展延伸：两个连续的正奇数的平方差是8的整数倍，判断这是真命题还是假命题，并说明理由． 75．（23-24八年级上·湖北咸宁·期末）已知 ，求的值． 76．（23-24八年级上·江苏南通·期末）因式分解： (1)； (2)； (3)． 题型三三、完全平方公式分解因式 77．（24-25八年级上·山东淄博·期中）【阅读材料】如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下的变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，利用配方法可以将多项式进行因式分解，还能解决一些与非负数有关的问题或求式子的最大值、最小值． 例如： 请仿照上例解决以下问题： (1)因式分解：_______________． (2)证明：对于任意实数x、y，多项式的值总为正数． 78．（23-24八年级上·四川眉山·期末）“形如的式子称为完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如：分解因式：． 解：原式 再如：求代数式的最小值． 解：，可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，用配方法解决下列问题： (1)分解因式：______．（直接写出结果） (2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． (3)已知，，求代数式的值． 79．（23-24八年级上·福建厦门·期末）某数学兴趣小组将如下一些关于a的多项式因式分解后，发现各因式的常数项是两个连续的整数，且与多项式的系数之间存在着某种联系： ．．．．．． 我们定义具有这种规律的多项式为“关于a的连续式”．观察上述规律，思考以下问题： (1)请根据上述规律，再写一个“关于a的连续式”，并写出其因式分解的形式：___________； (2)已知k为整数，多项式能否成为“关于a的连续式”？若能，请求出k的值，并将该式写成因式分解的形式；若不能，请说明理由． 题型三四、综合运用公式法分解因式 80．（23-24八年级上·山西临汾·期末）【阅读材料】19世纪的法国数学家苏菲·热门给出了一种分解因式的方法：他抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式法就必须添一项，随即将此项减去，即可得，人们为了纪念苏菲·热门给出的这一解法，就把它叫做“热门定理”． 【知识应用】（1）利用“热门定理”把分解因式． 【知识迁移】热门定理的本质是构造完全平方，用的是“添项”的方法，对于超过两项的多项式，也可以采取“添项”的方法，先添项再减去这项，构造完全平方进行分解．例如对于二次三项式，可以先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有，像这样的方法统称为“配方法”． （2）请利用“配方法”分解因式： ①； ②． 81．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）（1）计算：； （2）分解因式：． 题型三五、综合提公因式和公式法分解因式 82．（23-24八年级上·湖北恩施·期末）计算或因式分解： (1)计算：； (2)计算：； (3)因式分解：； (4)因式分解：． 83．（23-24八年级上·四川眉山·期末）因式分解 (1) ． (2)． 84．（23-24八年级上·河南驻马店·期末）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． (5)（十字相乘法） 题型三六、十字相乘法 85．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）小亮自学人教版八年级上册数学教材第121页的“阅读与思考”内容介绍，在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项一次项系数，则．如图所示： 仿照上述解决下列问题： (1)因式分解：； 小亮做了如下分析： 一次项为：，则常数项为：； 则__________；=_________； （ ）（ ） (2)因式分解：： (3)若二次三项式可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数a所有可能的值． 86．（23-24八年级上·湖北十堰·期末）分解因式： (1)； (2)． 题型三七、分组分解法 87．（24-25八年级上·福建福州·期中）若三边满足，判断的形状是（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 88．（24-25八年级上·山东淄博·期中）已知，，则整式的值为（   ） A． B． C． D．3 题型三八、因式分解的应用 89．（23-24八年级上·江西新余·期末）整体思想是数学解题中常见的一种思想方法．阅读下列材料： 下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．将“” 看成一个整体，令，则原式再将“y”还原即可． 解：设， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 问题： (1)该同学因式分解的结果不正确，请直接写出正确的结果______； (2)根据材料，请模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解； (3)根据材料，请模仿以上方法尝试计算：． 90．（23-24八年级上·江西赣州·期末）阅读材料：我们把多项式及这样的式子叫做完全平方式如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式． 原式． 由上式可知: =，因为≥0，所以当=0，即时，的最小值是-4． 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题． (1)利用配方法分解因式：； (2)根据上面解题思路可知多项式有最小值，即当x= 时，最小值是 ． (3)已知、、分别是三边的长且，请判断的形状，并说明理由． 91．（24-25八年级上·广东广州·期中）若，，，则的值为 ． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十四章 整式的乘法与因式分解章末重点题型复习 题型一、同底数幂相乘 1．（23-24八年级上·湖南娄底·期末）我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于，若我们规定一个新数i，使其满足(即方程有一个根为i)，并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算法则仍然成立，于是有 从而对任意正整数n，我们可得到同理可得，，，那么，的值为(　　) A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，同底数幂的运算、实数的运算，解答本题的关键是计算出前面几个数的值，发现规律，求出一个循环内的和再计算．从而可知4次一循环，一个循环内的和为0，据此计算即可． 【详解】解：由题意得，故可发现4次一循环，一个循环内的和为0， 故选：C． 2．（23-24八年级上·浙江台州·期末）定义一种新运算：若，则．例如：，则．已知，则的值为 ． 【答案】30 【分析】本题主要考查了新定义的运算、同底数幂乘法运算等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键．设，，，易得，，，且，然后根据，即可求得的值． 【详解】解：设，，， 则有，，，且， ∴，即有． 故答案为：30． 题型二、幂的乘方运算 3．（23-24八年级上·河南南阳·期末）若，则 ． 【答案】27 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的应用，由可得，把当做一个整体代入计算即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：27． 4．（23-24八年级上·山东济宁·期末）当今大数据时代，“二维码”具有存储量大、保密性强、追踪性高等特点，它已被广泛应用于我们的日常生活中．通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中大约的小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成个不同的数据二维码，下列结论：①就是200个2相乘；②；③比大；④的个位数字是8．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②③ 【分析】根据乘方的定义可判断①；根据幂的乘方的逆运算可得，据此可判断②；根据题意可得，则，由此可判断③；求出，个数数字是2，，个数数字是4，，个数数字是8，，个数数字是6，，个数数字是2，得到规律这一列数的个数数字是每4个数为一个循环，2，4，8，6循环出现，据此可判断④． 【详解】解：就是200个2相乘，故①正确； ，故②正确； ，， ∴， ∴，即，故③正确； ，个数数字是2， ，个数数字是4， ，个数数字是8， ，个数数字是6， ，个数数字是2， ，个数数字是4， ……， 以此类推，可知这一列数的个数数字是每4个数为一个循环，2，4，8，6循环出现， ∵， ∴的个位数字是6，故④错误； 故答案为：①②③． 【点睛】本题主要考查了乘方的意义，幂的乘方和幂的乘方的逆运算，数字类的规律探索，实数的运算，熟练掌握幂的乘方和幂的乘方的逆运算法则是解题的关键． 题型三、幂的乘方的逆用 5．（23-24八年级上·吉林·期末） 若，则 的值等于（        ） A．4 B．6 C． D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则计算即可，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴ ， 故选： A． 6．（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）已知，则的值为（    ） A．10 B．20 C．40 D．50 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂乘法的逆运算、幂的乘方的逆运算，将变形为，即可求解． 【详解】解：， 故选B． 题型四、幂的混合运算 7．（23-24八年级上·山东滨州·期末）（1）计算：； （2）如图，中，点D是边的中点，E，F为直线上的点，连接，，且．求证：．    【答案】（1）；（2）见解析 【分析】（1）本题考查幂的混合运算，先进行同底数幂的相关运算，再合并同类项即可； （2）本题考查全等三角形的判断和性质，证明，即可． 【详解】解：（1）原式； （2）证明：∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 8．（23-24八年级上·江西南昌·期末）已知，，. (1)求证：； (2)求的值. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查幂的运算，掌握同底数幂的乘法和除法、幂的乘方法则是解题的关键． （1）根据同底数幂的乘法、幂的乘方法则可以得到即可得到结论； （2）根据幂的运算得到，代入计算即可解题． 【详解】（1）证明：， . 即. （2）解：． 题型五、积的乘方运算 9．（23-24八年级上·广东东莞·期末）下列计算中，运算正确的个数是（　　） （1） （2 （3） （4） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键； （1）不存在同类项，无法加和 （2）运用同底数幂相乘法则计算即可； （3）运用乘方法则计算； （4）运用积的乘方法则计算即可 【详解】解：（1）无法计算，故题目计算错误； （2），故题目计算错误； （3），故题目计算错误； （4），故题目计算错误． 故正确个数为个， 故选：A． 10．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了整式的计算．正确掌握同底数幂乘法法则，积乘方法则，幂乘方法则，单项式乘以单项式法则及合并同类项法则，是解题的关键． 根据同底数幂乘法法则，积乘方法则，幂乘方法则，单项式乘以单项式法则及合并同类项法则，计算逐一判断． 【详解】A．，∴此选项不正确，不符合题意； B．，∴此选项不正确，不符合题意； C．，∴此选项不正确，不符合题意； D．，∴此选项正确，符合题意． 故选：D． 11．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）（1）化简，使结果只含有正整数指数幂． （2）如图，中，，，的角平分线交于点E．点D为上一点，且，交于点M，求的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方，等腰三角形与直角三角形的性质，角平分线的定义： （1）利用幂的乘方与积的乘方法则计算即可； （2）利用直角三角形的两锐角互余及角平分线的定义可求得的度数，再利用等腰三角形的性质可求得的度数，最后利用三角形的外角性质列式计算即可． 【详解】解：（1） ； （2）∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型六、积的乘方的逆用 12．（23-24八年级上·河南郑州·期末）计算： ． 【答案】16 【分析】此题主要考查了同底数幂的乘法和积的乘方运算，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法和积的乘方运算法则的逆用，有理数乘方． 逆用同底数幂的运算法则得到，逆用积乘方的运算法则得到，根据有理数乘方法则得到，即得． 【详解】 ． 故答案为：16． 13．（23-24八年级上·重庆·期末）的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查同底数幂的乘法逆用，以及积的乘方运算的逆用，逆用积的乘方运算法则是解题的关键．先将化成再逆用积的乘方运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 14．（23-24八年级上·青海果洛·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方，先将带分数化为假分数，再利用积的乘方法则计算即可．解题的关键是掌握积的乘方运算法则的运用． 【详解】解： ． 题型七、同底数幂的除法运算 15．（23-24八年级上·辽宁·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式乘除运算，涉及幂的乘方运算、积的乘方运算、同底数幂的乘法运算、同底数幂的除法运算等知识，根据幂的乘方运算、积的乘方运算、同底数幂的乘法运算、同底数幂的除法运算等知识逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、，选项中计算错误，不符合题意； B、，选项中计算正确，符合题意； C、，选项中计算错误，不符合题意； D、，选项中计算错误，不符合题意； 故选：B． 16．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】本题考查了整式的运算，根据同底数幂的乘除法、合并同类项法则、幂的乘方分别运算即可判断求解，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项正确，符合题意； 、，该选项正确，符合题意； 故选：． 题型八、同底数幂除法的逆用 17．（23-24八年级上·四川眉山·期末）已知，，则的值为（    ） A．12 B．9 C．33 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 逆用同底数幂的除法的法则及幂的乘方的法则进行求解即可． 【详解】解：当，时， ． 故选：A． 18．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)写出，，之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了幂的乘方逆运算，同底数幂的乘法的逆运算，同底数幂的除法的逆运算，熟练掌握幂的运算性质是解题的关键． （1）根据，代入计算即可； （2）根据，结合代入计算即可； （3）根据，结合变形即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵， ∴． （3）解：∵， 又， ∴， ∴． 19．（23-24八年级上·内蒙古兴安盟·期末）已知，，，求的值． 【答案】8 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法法则的逆用，幂的乘方法则的逆用，熟记法则的逆用是解题关键． 先逆用同底数幂相乘与相除法则，将其变形为，再逆用幂的乘方法则变形为，，然后把已知代入计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴ ． 题型九、计算单项式乘单项式 20．（23-24八年级上·四川宜宾·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了单项式的乘法、同底数幂相乘、幂的乘方、同底数幂相除，根据运算法则计算后即可得到答案． 【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意； B．，故选项正确，符合题意； C．，故选项错误，不符合题意； D．，故选项错误，不符合题意． 故选：B． 21．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）计算：． 【答案】 【分析】此题考查了幂的运算法则和单项式乘以单项式，先进行幂的运算，再进行单项式的乘法即可． 【详解】解： ． 题型十、计算单项式乘多项式及求值 22．（23-24八年级上·山西吕梁·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D．． 【答案】C 【分析】此题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据积的乘方、单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式的运算法则进行计算即可得到答案． 【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意； B．，故选项错误，不符合题意； C．，故选项正确，符合题意； D．，故选项错误，不符合题意． 故选：C． 23．（23-24八年级上·福建厦门·期末）(1)计算； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，同底数幂的乘法等知识．熟练掌握单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，同底数幂的乘法是解题的关键． （1）先计算单项式乘以多项式，同底数幂的乘法，然后合并同类项即可； （2）根据多项式乘以多项式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型十一、单项式乘多项式的应用 24．（23-24八年级上·内蒙古兴安盟·期末）神舟十六号载人飞船成功发射，激发了中小学生对航天事业的热爱．李华在手工课上制作了一个火箭模型（图1），图2是其中一重要零件及各边的长度，则图2中零件的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式乘法的应用．根据零件的面积等于三角形的面积长方形的面积梯形的面积，即可求解． 【详解】解： ， 即图2中零件的面积为． 故选：A 25．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）如图为某公园绿地平面图（长度单位：m）． (1)计算绿地面积S（用含a的式子表示） (2)当时，求绿地面积S． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查单项式乘以多项式的应用，利用面积的计算列出代数式是解决问题的关键． （1）根据图形表示出绿地面积即可； （2）将的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：根据题图可知，绿地面积 （2）当时，． 题型十二、计算多项式乘多项式 26．（23-24八年级上·天津滨海新·期末）已知，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将变形为含、的形式，再整体代入计算即可． 本题主要考查了多项式乘多项式，解题的关键在于能够熟练掌握多项式乘多项式的计算法则． 【详解】解：； 把，，代入原式得，； 故选：D． 27．（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）（1）已知m，n互为相反数，p，q互为倒数，求代数式的值； （2）已知a，b分别为多项式的次数和常数项，求a，b的值． 【答案】． 【分析】本题考查了代数式求值，相反数、倒数的定义，多项式的次数和常数项的定义，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意可知然后代入计算即可； （2）先化简，再根据多项式的次数，常数项求解即可． 【详解】解：（1）∵，互为相反数，，互为倒数， ∴原式； （2） ) ， ． 题型十三、（x×p）（x×q）型多项式乘法 28．（23-24八年级上·广东东莞·期末）若，则（　　） A． B．1 C． D．12 【答案】D 【分析】此题考查了多项式的乘法，按照多项式乘以多项式的法则计算展开，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴． ∴． 故选：D． 29．（23-24八年级上·河南商丘·期末）已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多项式乘多项式，根据已知求出是解题的关键． （1）根据已知求出，然后再根据多项式进行运算，然后将整体代入计算解答； （2）,然后将整体代入计算解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ； ∴的值为． （2）解： ． 题型十四、已知多项式乘积不含某项求字母的值 30．（23-24八年级上·广西河池·期末）已知的展开式中不含的一次项，常数项是． (1)求，的值． (2)先化简再求值． 【答案】(1)， (2)35 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式运算、代数式求值等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据多项式乘以多项式运算法则将原式展开，结合展开式中不含的一次项，常数项是可得，，求解即可获得答案； （2）根据多项式乘以多项式运算法则将原式化简，然后将，的值代入求解即可． 【详解】（1）解：∵ ， 又∵展开式中不含的一次项，常数项是， ∴，， 解得，； （2）原式 ， ∵，， ∴原式 ． 31．（23-24八年级上·山东济宁·期末）已知关于的代数式的中不含项与项． (1)求，的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、求代数式的值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）利用多项式乘以多项式的运算法则进行计算，然后根据题意得出，，即可得出，的值； （2）将，的值代入进行计算即可． 【详解】（1）解： ， 不含项与项， ， 解得：； （2）解：． 题型十五、多项式乘多项式--化简求值 32．（23-24八年级上·福建漳州·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【分析】本题考查整式的乘法等知识，先运用多项式乘以多项式法则和单项式乘以多项式法则运算，再合并同类项，代入求值即可． 【详解】解：∵ ， ， ∴当时， 原式． 33．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，合并同类项，分别用多项式的第一项乘以另一个多项式的每一项，再合并同类项即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 题型十六、多项式乘多项式与图形面积 34．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，某市有一块长为米，宽为米，规划部门计划在中间留一块边长为米的正方形空地修建雕像（阴影部分）． (1)求草坪的面积是多少平方米？（用含a、b的代数式表示） (2)若a、b满足时，草坪的单价为每平方米50元．求购买草坪所需要的总费用． 【答案】(1)平方米 (2)10750元 【分析】本题考查多项式乘多项式，完全平方公式以及代数式求值，掌握多项式乘多项式的计算方法，完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）根据图形中面积之间的关系进行计算即可； （2）求出a、b的值，代入求出草坪的面积，再根据单价×数量=总价进行计算即可． 【详解】（1）解： 平方米； （2）解：∵， ∴，， ∴草坪的面积为（平方米）， ∴购买草坪所需要的总费用为（元）． 35．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式，例如，由图1．可得等式：． (1)由图2，可得等式：___________________； (2)如图3，有A，B，C三种类型纸片足够多张，小明要想用它们拼一个边长分别为和的长方形，则需要用到C型纸片______张； (3)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题： 已知，求的值． 【答案】(1) (2)17 (3)54 【分析】本题考查多项式乘多项式与图形的面积问题．利用数形结合的思想是解题的关键． （1）将图②中正方形的面积用两种方法表示出来，即得出答案； （2）由多项式乘多项式的运算法则将展开，整理得，即得出答案； （3）结合（1）得出，由多项式乘多项式的运算法则将展开，两者结合即得出答案． 【详解】（1）解：根据题意得： 故答案为：． （2）解：， ∴需要用到C型纸片17张． 故答案为：17； （3）解：， 故， ， ， ， ． 题型十七、多项式乘法中的规律性问题 36．（24-25八年级上·山西临汾·期中）我国宋代数学家杨辉发现了展开式系数的规律：（   ） 展开式系数和为1 展开式系数和为 展开式系数和为 展开式系数和为 展开式系数和为 以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式的系数和是（   ） A．64 B．128 C．256 D．612 【答案】C 【分析】本题考查了“杨辉三角”展开式中所有项的系数和的求法，通过观察展开式中所有项的系数和，得到规律即可求解．由“杨辉三角”得到：应该是（n为非负整数）展开式的项系数和为． 【详解】解：解：当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， …， 当时，展开式的项系数和为， 故选：C． 37．（23-24八年级上·云南红河·期末）阅读下列材料，完成相应任务． 杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在欧洲，这个表叫做“帕斯卡三角形”．帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉迟393年，比贾宪迟600年，杨辉三角是我国古代数学的杰出研究成果之一，他把二项式乘方展开式系数图形化，如下图所示． … 完成下列任务： (1)写出的展开式． (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是与多项式乘法相关的规律题，理解题意，总结归纳出规律，再利用规律解决问题是解本题的关键． （1）根据前面4个等式的提示，归纳出系数与指数的规律，从而可得的展开式； （2）利用（1）中展开式，设，，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵ ∴； （2）∵，令，， ∴ ． 题型十八、整式乘法混合运算 38．（23-24八年级上·河南南阳·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键 （1）根据多项式乘以多项式法则计算即可； （2）根据多项式除以单项式法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 39．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）已知a，b，c是等腰三角形ABC的三边（注：c可能等于，也可能等于），且满足．设这个等腰三角形ABC的周长为，则 【答案】107 【分析】本是考查了配方法的应用、非负数的性质及三角形的三边关系，整式化简求值．解题的关键求出a、b、x的值． 先将变形为，根据非负数性质求出a、b值，再根据等腰三角形的定义和三角形三边关系求得c值，从而求得x值，然后化简整式，把x值代入计算即可． 【详解】解：∵ ∴ ， 解得：，， ∵a，b，c是等腰三角形ABC的三边 ∴或 ∵， ∴，不符合题意，舍去， ∴，， ∴， ∵ 当时，原式． 故答案为：107． 题型十九、多项式除以单项式 40．（23-24八年级上·四川内江·期末）（1）计算：． （2）因式分解：． （3）先化简，再求值：，其中， 【答案】（1）6；（2）；（3）， 【分析】本题考查实数的混合运算，整式的混合运算，因式分解，掌握算术平方根、立方根、完全平方公式是解题关键． （1）先计算乘方、平方根、立方根，再算除法和加减法进行计算即可； （2）先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可； （3）利用完全平方公式和多项式乘多项式的运算法则先计算括号内的乘方和乘法，然后算除法，最后合并同类项进行化简，再代入求值． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解： ． （3）解： ； 当，时，原式． 41．（23-24八年级上·湖北襄阳·期末）计算： (1)； (2)求的值，其中，． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了多项式除以单项式，整式的化简求值． (1)根据多项式除以单项式的运算法则计算即可． (2)根据去括号，合并同类项，进行化简，后代入求值即可． 【详解】（1）解： ＝   ＝． （2）解： 当，时， ． 题型二十、整式四则混合运算 42．（23-24八年级上·福建泉州·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】本题考查了整式的混合运算化简求值，平方差公式，先利用平方差公式，多项式乘多项式的法则计算括号里，再算括号外，然后把，的值代入化简后的式子进行计算，即可解答，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解： ， 当，时，原式． 43．（23-24八年级上·天津滨海新·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算的应用，先算乘方，再算乘法，最后算除法即可． 【详解】解： ． 44．（23-24八年级上·河南南阳·期末）（1）计算：； （2）化简． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了平方根和立方根的计算，整式的化简， （1）利用平方根和立方根的性质计算，再加减即可解答； （2）利用积的乘方的计算法则，合并同类项，多项式除以单项式，依次计算即可； 熟练掌握平方根和立方根的性质，整式的计算法则是解题的关键． 【详解】解：（1） ， ； （2） ， ． 题型二一、运用平方差公式进行运算 45．（23-24八年级上·四川眉山·期末）若，则的值是（    ） A． B．7 C． D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查整式的运算以及平方差公式．根据多项式乘多项式法则，可得，从而求出a，b的值，进而代入即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故选：B． 46．（23-24八年级上·湖南衡阳·期中）某同学在计算时，把3写成后，发现可以连续运用两数和乘以这两数差公式计算：．请借鉴该同学的经验，计算：（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式，将原式乘以之后，连续使用平方差公式进而得出答案． 【详解】解： ， 故选：D． 47．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）先化简，再求值：其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据平方差公式和多项式除以单项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 题型二二、平方差公式与几何图形 48．（23-24八年级上·河南洛阳·期末）如图1，将边长为的正方形纸片，剪去一个边长为的小正方形纸片．再沿着图1中的虚线剪开，把剪成的两部分（1）和（2）拼成如图2的平行四边形，这两个图能解释的数学公式是(   )    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，用代数式分别表示图1、图2的面积是解决问题的关键．根据图1和图2分别用代数式分别表示（1）（2）两部分的面积和，再根据拼图前后面积之间的关系可得结论． 【详解】解：图1中（1）（2）两部分的面积和可以看作两个正方形的面积差，即， 图2是由（1）（2）两部分拼成的底为，高为的平行四边形，因此面积为， 因此有， 故选：B． 49．（23-24八年级上·浙江温州·期末）探究活动： (1)如图①，可以求出阴影部分的面积是 ；（写成两数平方差的形式） (2)知识应用，运用你所得到的公式解决以下问题： ①计算：； ②若，，求的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景； （1）阴影部分的面积等于边长为a与边长为b的正方形的面积差； （2）①根据平方差公式、完全平方公式求解即可； ②由题意，根据平方差公式计算求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：① ； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 50．（23-24八年级上·山东临沂·期末）如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（），把余下的部分剪拼成一个矩形． (1)通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是：________； A．     B． C．          D． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知：，求的值； ②计算：． 【答案】(1)B (2)①；②． 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，解题的关键是掌握平方差公式并能灵活应用． （1）表示出两个图中阴影的面积可得答案； （2）①由已知和平方差公式可得答案；②先用平方差公式，再约分即可． 【详解】（1）解：第一个图形面积为，第二个图形的面积为， ∴可以验证的等式是：， 故答案为：B； （2）解：① ②原式． 题型二三、运用完全平方公式进行运算 51．（24-25八年级上·重庆梁平·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，0 【分析】本题考查了整式加减的化简求值．根据整式混合运算的顺序和法则化简原式后将x、y的值代入计算可得． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 52．（23-24八年级上·四川眉山·期末）把完全平方公式 适当地变形，可解决很多数学问题例如：若，，求的值． 解：∵，， ∴，， ∴，， 得． 根据上面的解题思路与方法，解答下列问题： (1)若，，求的值； (2)若，，求的值． (3)求代数式的最小值，并求出此时的的值． 【答案】(1)8 (2) (3)最小值为，， 【分析】本题考查完全平方公式的变形求解，掌握完全平方公式是解决问题的关键． （1）先求得，即，再把代入计算，即可求解； （2）根据，再把，整体代入计算即可求解； （3）先把变形为，再根据，，即可求解． 【详解】（1）解：， ， 即， 又， ， ； （2）解：，， ， （3）解： ∵，， ∴当，时，有最小值，最小值为， 此时，， 解得：，． 53．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查乘法公式，幂的运算，解题的关键是掌握整式乘法运算法则． （1）根据同底数幂的乘法、幂的乘方，积的乘方的运算法则计算即可； （2）根据乘法公式计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型二四、通过对完全平方公式变形求值 54．（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图1，是一个长为，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图2那样拼成一个正方形． (1)图1中的每个小长方形的面积为_____；图2中的中间空白部分的面积为_____； (2)观察图2，请你写出代数式、、之间的等量关系式为_____； (3)根据你得到的关系式解答下列问题：若，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】此题考查了利用完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的定义是关键． （1）根据长方形的面积进行计算，由图形面积间和差关系可得此题结果为； （2）由图形面积间关系可得：； （3）由（2）题关系式可得，，就能求得最后结果． 【详解】（1）解：由题意得，图1中的每个小长方形的面积是； 图2中间空白的部分的面积是． 故答案为：；； （2）解：由图2中间空白的部分的面积的不同表示方法可得：． 故答案为：； （3）解：由（2）题关系式可得，， ， 即的值是． 55．（24-25八年级上·广东广州·期中）现有长与宽分别为、的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图的图形，用四个相同的小长方形拼成图的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图，教材已给出关于、的关系式：；根据图，关于、的关系式可表示为：______； 根据上面的思路与方法，解决下列问题： （2）①若，，则______； ②若，则______． （3）如图，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】（1）；（2）①6；②13；（3） 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，完全平方公式的变形应用，整式化简求值，解题的关键是掌握完全平方公式的应用． （1）两种方法计算大正方形的面积可得答案； （2）①由，可得，而，故； ②由，知，又，故； （3）由，得，又，故；即图中阴影部分面积为16.5． 【详解】解：（1）大正方形的面积用面积公式计算为，用小正方形面积加上4个长方形面积为， ∴关于、的关系式可表示为：； 故答案为：； （2）①， ， ， ， ， ； 故答案为：6； ②， ， ， ， ， 故答案为：13； （3）根据题意得：， ， ， ， ； ； 图中阴影部分面积为16.5． 56．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知，，则 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的应用是解题的关键．对两个等式，利用完全平方公式展开再相减，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：6． 题型二五、求完全平方式中的字母系数 57．（23-24八年级上·云南红河·期末）若是一个完全平方式，则b的值是（    ） A．2 B．6 C．12 D．12或 【答案】D 【分析】利用完全平方公式的特征判断即可确定出b的值． 此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， 故选：D． 58．（23-24八年级上·四川宜宾·期末）已知M是含字母的单项式，要使多项式是某一个多项式的平方，则M等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键． 先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项确定M的值即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选B． 59．（23-24八年级上·河南安阳·期末）在多项式中添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式是 ．（写出一个即可） 【答案】、、、． 【分析】本题主要考查了完全平方式．解决问题的关键是熟练掌握完全平方式特征，全面考虑，三个项分别充当中间项的情况，有三种情况，第四种情况；加上一个数，得到一个单独的单项式，也可以成为一个完全平方式．        多项式中，可把看作是中间项，或是看作第一项，根据完全平方公式可解答；当加上的一个单项式或时，同样成立． 【详解】根据完全平方公式定义得， 当是中间项时，那么，第三项为；组成的完全平方式为， ； 当是第一项时，那么，中间项为，组成的完全平方式为， ； 当多项式加上的一个单项式是或时，同样成立， ， ． 故答案为：、、、． 题型二六、完全平方式在几何图形中的应用 60．（23-24八年级上·广西玉林·期末）如图，要用木板为一幅正方形油画装裱边框，其中油画的边长为，边框每条边的宽度为，则制作边框的木板面积为（　　）（不计接缝） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了整式混合运算的应用，根据题意，总面积减去正方形油画的面积即可． 【详解】解：根据题意，制作边框的面积是： ， 故选：B． 61．（23-24八年级上·广东汕头·期末）如图①所示是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形． (1)你认为图②中阴影部分的正方形的边长等于_______． (2)请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积. 方法①___________；方法②__________． (3)观察图②，试写出，，这三个代数式之间的等量关系______． (4)根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若，，则求的值． 【答案】(1) (2)， (3) (4)16 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，用不同的方法表示同一个图形的面积是得出等量关系式的关键． （1）由拼图可知，图②阴影部分是边长为的正方形； （2）方法一，直接利用正方形的面积公式表示阴影部分的面积；方法二，从边长为的大正方形减去四个长为，宽为的矩形面积即可； （3）由（2）的两种方法求阴影部分的面积可得等式； （4）将的变形为：即可求解． 【详解】（1）解：由拼图可知，阴影部分是边长为的正方形， 故答案为：； （2）方法一：直接利用正方形的面积公式得正方形的面积为； 方法二：从边长为的大正方形减去四个长为，宽为的矩形面积即为阴影部分的面积， 即； 故答案为：，； （3）由（2）的两种方法可得，； 故答案为：； （4）． ，， ． 题型二七、整式的混合运算 62．（23-24八年级上·四川眉山·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，． 【分析】本题主要是考查了整式的化简求值．先利用乘法公式以及单项式乘多项式去括号，然后合并同类项，最后利用整式除法，求出化简结果，将字母的值代入，即可求解． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 63．（24-25八年级上·重庆·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了整式的混合运算，平方差公式，完全平方公式以及单项式乘多项式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键． （1）利用单项式乘多项式，以及平方差公式化简，去括号合并即可得到结果； （2）利用多项式乘多项式，以及完全平方公式化简，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 64．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图，长方形的两边长分别为，，面积为，现有一个正方形的周长与长方形的周长相等． (1)用含m的代数式表示正方形的边长：________； (2)已知正方形的面积S，问：的值是否与m的大小有关？并说明理由． 【答案】(1) (2)的值与m的大小无关 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、长方形和正方形的周长和面积、求差法比较大小，解决本题的关键是综合运用相关知识． （1）根据长方形和正方形周长相等即可求解； （2）根据求差法比较大小即可求解． 【详解】（1）解：正方形的边长为， 故答案为：； （2）的值与m的大小无关，理由为： ， ∴的值与m的大小无关． 题型二八、完全平方公式在几何图形中的应用 65．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到数学中常用到的一个公式：请解答下列问题： (1)观察图2，写出图2中所表示的等式 ； (2)已知上述等式中的三个字母，，可取任意数，若，，，且，请利用（1）所得的结论求的值； (3)如图3，将边长分别为和的正方形拼在一起，，，三点在同一直线上，连接，，若两正方形的边长满足，，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是注意图形的分割与拼合，会用不同的方法表示同一图形的面积． （1）由图形面积很容易得出； （2）直接套用（1）中结论即可得解； （3）由图形可发现，再将边长代入，然后利用完全平方公式变形即可得解． 【详解】（1）解：由图形可得等式：， 故答案为：． （2）解：∵，，，且， ∴ ， ∴． （3）解： ， ∵，， ∴． 66．（23-24八年级上·四川眉山·期末）如图①，是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个形状和大小都相同的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形（中间是空的）．    (1)图②中的阴影部分的边长为______； (2)观察图②，写出代数式，与之间的等量关系式； (3)若，，求的值． 【答案】(1) (2)； (3)． 【分析】本题考查了完全平方公式的意义和应用，理清面积之间的关系是得出等式的关键． （1）根据小正方形的边长与原长方形的长与宽的关系得出结论； （2）根据大正方形、小正方形，与四周的4个长方形的面积之间的关系得出等式； （3）根据（2）的结论，代入求值即可． 【详解】（1）解：由图可知：图②中画有阴影的小正方形的边长， 故答案为：； （2）解：观察发现，大正方形的面积等于小正方形的面积加上四个小长方形的面积， 即：； （3）解：由（2）得：； ∵，， ∴， ∴． 67．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）如图，一块直径为的圆形钢板，从中挖出直径分别为与的两个圆． (1)求剩下的钢板的面积； (2)若剩下的钢板面积是原钢板面积的，求a与b的关系． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，涉及的知识有：圆的面积公式，完全平方公式，去括号、合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解答本题的关键． （1）剩下钢板的面积等于大圆的面积减去两个小圆的面积，利用圆的面积公式列出关系式，化简即可； （2）根据“剩下的钢板面积是原钢板面积的”列出a、b的等量关系式，然后利用完全平方公式变形求解即可． 【详解】（1）解：剩下的钢板的面积为 （2）解：根据题意，得， 化简得， ∴， ∴． 题型二九、已知因式分解的结果求 参数 68．（23-24八年级上·山东济南·期末）已知是二元二次式的一个因式，求a，b的值． 【答案】，． 【分析】本题主要考查了因式分解与整式乘法之间的关系，设另一个因式为，利用多项式乘法得到，进而得到，求出，则，． 【详解】解：为的一个因式， 可设另一个因式为 ∴ ， ， ∴，． 69．（23-24八年级上·山东济宁·期末）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式分解因式后有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得，则， ，解得：，， 另一个因式为，的值为． 请仿照上述方法解答下面问题： (1)若，则______，______； (2)已知二次三项式分解因式后有一个因式是，求另一个因式以及的值； (3)已知二次三项式有一个因式是，是正整数，求另一个因式以及的值． 【答案】(1)， (2)， (3)另一个因式是，的值是2 【分析】（1）将，等式右边展开，根据对应项系数相等，即可求解， （2）设另一个因式为：，根据多项式的乘法运算法则展开，根据对应项系数相等，即可求解， （3）设另一个因式是，根据多项式的乘法运算法则展开，根据对应项系数相等，即可求解， 本题考查了，根据因式分解的结果求参数，多项式乘多项式，解题的关键是：理解因式分解与多项式乘法互为逆运算． 【详解】（1）解：， ，， 故答案为：，， （2）解：设另一个因式为：， 则， ，解得：，， 另一个因式是， 故答案为：，， （3）解：设另一个因式是，则 则，解得：或， 是正整数， ，另一个因式是；（不符合题意舍去）， 另一个因式是，a的值是2． 题型三十、公因式 70．（23-24八年级上·浙江台州·期末）单项式与的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查公因式，熟练掌握如何去找公因式是解题的关键．根据公因式的概念分别求得系数的最大公因数，相同字母的次数的最低次数即可． 【详解】解：单项式与的公因式是． 故选：C． 71．（23-24八年级上·山东济宁·期末）下列各组中的两个代数式，没有公因式的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查了公因式的概念，正确理解公因式是解题的关键． 根据公因式的概念逐一判断选项即可． 【详解】A、和的公因式是，不符合题意； B、和，没有公因式，符合题意；     C、和的公因式是，不符合题意； D、和的公因式是5，不符合题意； 故选B． 题型三一、提公因式法分解因式 72．（23-24八年级上·四川宜宾·期末）若，则的值为 ． 【答案】32 【分析】本题主要考查了完全平方公式，因式分解，先利用完全平方公式求出，再由进行代值计算即可．正确得到是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：32． 73．（23-24八年级上·山东德州·期末）若，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了代数式求值问题，要熟练掌握．题型可以简单总结为以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简，该题属于①，将代数式化简再将已知条件代入计算． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：2． 题型三二、平方差公式分解因式 74．（23-24八年级上·河北廊坊·期末）认真观察下面这些等式，按其规律，完成下列各小题： ①； ②； ③； ④______； … (1)将横线上的等式补充完整； (2)验证规律：设两个连续的正偶数为，（为正整数），则它们的平方差是4的倍数； (3)拓展延伸：两个连续的正奇数的平方差是8的整数倍，判断这是真命题还是假命题，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)是真命题，见解析 【分析】本题主要查了平方差公式： （1）根据前三个等式解答即可； （2）根据平方差公式解答即可； （3）设两个连续的正奇数为，（为正整数），根据平方差公式解答即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 为正整数， 为正整数， 两个连续的正偶数，（为正整数），它们的平方差是4的倍数； （3）解：是真命题；理由： 设两个连续的正奇数为，（为正整数）． ． 为正整数， 两个连续的正奇数的平方差是8的整数倍． 75．（23-24八年级上·湖北咸宁·期末）已知 ，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式因式分解、完全平方公式、代数式求值等知识点，灵活运用完全平方公式成为解题的关键． 由可得，即，进而得到，再将，然后代入计算即可解答． 【详解】解：∵, ∴，即， ∴， ∴ ∴ ， ∴的值为． 76．（23-24八年级上·江苏南通·期末）因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了分解因式，掌握运用提取公因式法和公式法因式分解成为解题的关键． （1）先提取公因式，然后再运用完全平方公式分解即可； （2）先提取公因式，然后再运用平方差公式分解即可； （3）先运用平方差公式分解，再运用完全平方公式分解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 题型三三、完全平方公式分解因式 77．（24-25八年级上·山东淄博·期中）【阅读材料】如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下的变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，利用配方法可以将多项式进行因式分解，还能解决一些与非负数有关的问题或求式子的最大值、最小值． 例如： 请仿照上例解决以下问题： (1)因式分解：_______________． (2)证明：对于任意实数x、y，多项式的值总为正数． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式因式分解； （1）根据例题进行因式分解即可求解； （2）根据例题因式分解，得出，进而根据平方的非负性，即可得证． 【详解】（1）解：． （2）解：原式 ，． 多项式的值总为正数． 78．（23-24八年级上·四川眉山·期末）“形如的式子称为完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如：分解因式：． 解：原式 再如：求代数式的最小值． 解：，可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，用配方法解决下列问题： (1)分解因式：______．（直接写出结果） (2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． (3)已知，，求代数式的值． 【答案】(1) (2)当时，多项式有最大值，最大值是7； (3) 【分析】本题考查了完全平方公式在因式分解中的应用，掌握公式的形式是解题关键． （1）根据即可求解； （2）根据即可求解； （3）由完全平方公式可得，代入可得，然后由完全平方式的非负性可得，，求出，代入进行计算即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解： ， ∴当时，多项式有最大值，最大值是7； （3）解：，， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ． 79．（23-24八年级上·福建厦门·期末）某数学兴趣小组将如下一些关于a的多项式因式分解后，发现各因式的常数项是两个连续的整数，且与多项式的系数之间存在着某种联系： ．．．．．． 我们定义具有这种规律的多项式为“关于a的连续式”．观察上述规律，思考以下问题： (1)请根据上述规律，再写一个“关于a的连续式”，并写出其因式分解的形式：___________； (2)已知k为整数，多项式能否成为“关于a的连续式”？若能，请求出k的值，并将该式写成因式分解的形式；若不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2)能，， 【分析】本题考查因式分解： （1）参照题干写出一个“关于a的连续式”即可； （2）设，得到，进而得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：，； （2）能， 由题意，设， 则：， ∴，解得， ∴． 题型三四、综合运用公式法分解因式 80．（23-24八年级上·山西临汾·期末）【阅读材料】19世纪的法国数学家苏菲·热门给出了一种分解因式的方法：他抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式法就必须添一项，随即将此项减去，即可得，人们为了纪念苏菲·热门给出的这一解法，就把它叫做“热门定理”． 【知识应用】（1）利用“热门定理”把分解因式． 【知识迁移】热门定理的本质是构造完全平方，用的是“添项”的方法，对于超过两项的多项式，也可以采取“添项”的方法，先添项再减去这项，构造完全平方进行分解．例如对于二次三项式，可以先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有，像这样的方法统称为“配方法”． （2）请利用“配方法”分解因式： ①； ②． 【答案】（1）；（2）①，② 【分析】本题主要考查了分解因式： （1）把式子加上，再减去，再仿照题意分解因式即可； （2）①把式子加上9，再减去9，再仿照题意分解因式即可； ②把式子加上，再减去，再仿照题意分解因式即可． 【详解】解：（1） ． （2）①原式 ． ②原式 ． 81．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）（1）计算：； （2）分解因式：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了实数的运算以及因式分解的知识，解答此题的关键是熟练各部分的法则． （1）分别进行二次根式的化简、有理数的乘方、开立方以及去绝对值符号的运算，然后按照实数的运算法则求得计算结果即可； （2）先运用平方差公式，然后再运用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 题型三五、综合提公因式和公式法分解因式 82．（23-24八年级上·湖北恩施·期末）计算或因式分解： (1)计算：； (2)计算：； (3)因式分解：； (4)因式分解：． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了整式乘法的混合运算，多项式除以单项式，因式分解，解题的关键是熟练掌握以上运算法则． （1）根据乘法公式展开，再合并求解即可； （2）利用多项式除以单项式运算法则求解即可； （3）利用完全平方公式分解因式即可； （4）利用提公因式法分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 83．（23-24八年级上·四川眉山·期末）因式分解 (1) ． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了提公因式法和公式法的综合运用，根据所给多项式选择合适的因式分解方法是解题的关键． （1）先提取公因式，再用平方差公式进行因式分解即可； （2）先提取公因式，再用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 84．（23-24八年级上·河南驻马店·期末）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． (5)（十字相乘法） 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查了因式分解的几种基本形式：提取公因式法、提取公因式与公式法、整体提取公因式及十字相乘法，这些都是基础的分解方法，必须牢固掌握． （1）利用提取公因式法即可解答； （2）先提取公因式，再利用平方差公式即可解答； （3）先提取公因式，再利用完全平方公式即可解答； （4）利用提取公因式即可解答； （5）利用十字相乘法即可解答． 【详解】（1）解： （2）解：； ； （3）解： ； ； （4）解：； ； ； （5）解：； ． 题型三六、十字相乘法 85．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）小亮自学人教版八年级上册数学教材第121页的“阅读与思考”内容介绍，在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项一次项系数，则．如图所示： 仿照上述解决下列问题： (1)因式分解：； 小亮做了如下分析： 一次项为：，则常数项为：； 则__________；=_________； （ ）（ ） (2)因式分解：： (3)若二次三项式可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数a所有可能的值． 【答案】(1)见详解 (2) (3)， 【分析】此题考查了因式分解——十字相乘法， （1）利用十字相乘法分解因式即可； （2）利用十字相乘法分解分解可得； （3）找出所求满足乘积为，相加为的值即可． 【详解】（1）解：一次项为：，则常数项为，则2；3； ∴； （2）解：一次项为：，则常数项为， 则； （3）解：若可分解为两个一次因式的积，则整数的所有可能的值是： ；；；， 即整数的所有可能的值是：，． 86．（23-24八年级上·湖北十堰·期末）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】该题主要考查了换元法进行因式分解，解题的关键是掌握因式分解的常见方法． （1）设，将原式变形再运用完全平方公式和十字相乘法求解即可； （2）设，将原式变形再运用十字相乘法求解即可； 【详解】（1）解：设 原式 （2）解：设， 原式 ． 题型三七、分组分解法 87．（24-25八年级上·福建福州·期中）若三边满足，判断的形状是（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的应用，三角形三边关系，等腰三角形的判定，由已知等式可得，根据三角形的三边关系可得，据此即可判断求解，正确对等式左边进行因式分解是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵为三边， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， 故选：． 88．（24-25八年级上·山东淄博·期中）已知，，则整式的值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解和代数式求值，解题的关键是对进行因式分解． 由已知条件得到，将分解因式，再将，代入计算即可． 【详解】解：因为，， ∴ ， 将，代入得： ， 故选：C． 题型三八、因式分解的应用 89．（23-24八年级上·江西新余·期末）整体思想是数学解题中常见的一种思想方法．阅读下列材料： 下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．将“” 看成一个整体，令，则原式再将“y”还原即可． 解：设， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 问题： (1)该同学因式分解的结果不正确，请直接写出正确的结果______； (2)根据材料，请模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解； (3)根据材料，请模仿以上方法尝试计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解-换元法，公式法，也是阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键． （1）最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止； （2）根据材料，用换元法进行分解因式； （3）设…，则原式…，再将y代入即可求解． 【详解】（1）解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） ， 故答案为：； （2）解：设， 原式 ； （3）解：设…， 原式…… ……… … … …… 90．（23-24八年级上·江西赣州·期末）阅读材料：我们把多项式及这样的式子叫做完全平方式如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式． 原式． 由上式可知: =，因为≥0，所以当=0，即时，的最小值是-4． 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题． (1)利用配方法分解因式：； (2)根据上面解题思路可知多项式有最小值，即当x= 时，最小值是 ． (3)已知、、分别是三边的长且，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)； (2)当时，最小值为； (3)的形状是等边三角形，证明见解析． 【分析】本题主要考查因式分解及其应用，根据材料学会运用配方法因式分解是解题的关键． （1）根据材料配方后，再运用平方差公式因式分解即可； （2）配方后利用偶次幂的非负性即可解答； （3）先配方后，然后利用偶次幂的非负性得到，即可解答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ， 当当时，最小值为． （3）解：的形状是等边三角形，理由如下： ∵ ∴， 利用拆项得：， 即：， 根据两个非负数互为相反数，只能都同时等于0才成立， 于是，， 所以可以得到，即：的形状是等边三角形． 91．（24-25八年级上·广东广州·期中）若，，，则的值为 ． 【答案】2044 【分析】本题主要考查因式分解的应用、求代数式值等知识点，掌握因式分解的步骤以及公式的运用是解题的关键． 先局部提公式、再运用公式法因式分解以及加括号，然后将已知条件代入计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴ ． 故答案为：． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$