12.7 直角三角形（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（北京版）

12.7 直角三角形 数学（北京版） 八年级 上册 第十二章 三角形 学习目标 1、复习直角三角形的相关知识，归纳并掌握直角三角形的性质和判定； 2、探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”； 3、会用直角三角形全等的判定方法“HL”判定两个直角三角形全等． 　 温故知新 直角三角形的两个锐角互余. 问题1 直角三角形的定义是什么？ 问题2 三角形内角和的性质是什么？ 有一个是直角的三角形叫直角三角形. 三角形内角和等于180°. 这节课我们一起来证明直角三角形的判定与性质. 问题3 前面我们探究过直角三角形的哪些性质？ 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°. 讲授新课 知识点一 直角三角形的判定与性质 问题：直角三角形的两锐角互余，为什么？ 问题引入 根据三角形的内角和定理，即可得到“直角三角形的两锐角互余”. 如果一个三角形中有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？ 讲授新课 如图，在△ABC中， ∠A +∠B=90°，那么△ABC是直角三角形吗？ 在△ABC中，因为 ∠A +∠B +∠C=180°， 又∠A +∠B=90°，所以∠C=90°. 于是△ABC是直角三角形. 讲授新课 A B C 在△ABC 中，若∠C =90°，你能求出∠A，∠B 的度数吗？为什么？你能求出∠A +∠B 的度数吗？利用上面的结果，你能得出什么结论？ 解：在△ABC 中，若∠C =90°，不能求出∠A，∠B 的度数。因为三角形的三个内角的和为180°，知道∠C =90°，只能求出∠A +∠B 的和为90°。 能得出的结论是：直角三角形性质：直角三角形两锐角互余。 讲授新课 直角三角形可以用符号“Rt△”表示， 直角三角形ABC 可以写成Rt△ABC 直角三角形两锐角互余这一性质的几何推理格式该怎样表示？ 在Rt△ABC 中， ∵　∠C =90°，∴　∠A +∠B =90°．　　 A B C 讲授新课 练一练 1、∠A:∠B:∠C=1:2:3，则∠C= 。 三角形是 三角形。 2、∠C =900，∠A =300，则∠B = 。 3、∠B =600，∠A =3∠C，则∠A = 。 90° 60° 90° 直角 讲授新课 知识点二 直角三角形全等的判定 如图，Rt△ABC中，∠C =90°，直角边是_____、_____，斜边是______. C B A AC BC AB 思考： 前面学过的四种判定三角形全等的方法,对直角三角形是否适用？ 讲授新课 A B C A′ B′ C′ 1.两个直角三角形中，斜边和一个锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？ 2.两个直角三角形中，有一条直角边和一锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？ 3.两个直角三角形中，两直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？ 口答： 讲授新课 动脑想一想 如图，已知AC=DF，BC=EF， ∠B=∠E，△ABC≌△DEF吗？ 我们知道，证明三角形全等不存 在SSA定理. A B C D E F 讲授新课 问题： 如果这两个三角形都是直角三 角形，即∠B=∠E=90°， 且AC=DF，BC=EF，现在能 判定△ABC≌△DEF吗？ A B C D E F 讲授新课 任意画出一个Rt△ABC,使∠C=90°.再画一个 Rt△A ′B ′C ′，使∠C′=90 °,B′C′=BC,A ′B ′=AB,把画好的Rt△A′B′ C′ 剪下来，放到Rt△ABC上，它们能重合吗？ A B C 作图探究 讲授新课 画图思路 （1）先画∠M C′ N=90° A B C M C′ N 讲授新课 画图思路 （2）在射线C′M上截取B′C′=BC M C′ A B C N B′ M C′ 讲授新课 画图思路 （3）以点B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于A′ M C′ A B C N B′ A′ 讲授新课 画图思路 （4）连接A′B′ M C′ A B C N B′ A′ 思考：通过上面的探究，你能得出什么结论？ 讲授新课 知识要点 “斜边、直角边”判定方法 文字语言： 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 （简写成“斜边、直角边”或“HL”）. 几何语言： A B C A ′ B′ C ′ 在Rt△ABC和Rt△ A′B′C′ 中， ∴Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′C′ (HL). “SSA”可以判定两个直角三角形全等，但是“边边”指的是斜边和一直角边，而“角”指的是直角. AB=A′B′, BC=B′C′, 讲授新课 判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由： （1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（ ） （2）一个锐角和一条边分别相等； （ ） （3）一个锐角和斜边对应相等； （ ） （4）两直角边对应相等； （ ） （5）一条直角边和斜边对应相等． （ ） HL × SAS AAS AAS 判一判 讲授新课 典例精析 【例2】如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE. 求证：BC＝BE. 证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE， ∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)． ∴CD＝EF. ∵AD＝AF，AB＝AB， ∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)． ∴BD＝BF. ∴BD－CD＝BF－EF，即BC＝BE. 讲授新课 练一练 1、如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？ 解：在Rt△ABC和Rt△DEF中, BC=EF, AC=DF , ∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL). ∴∠B=∠DEF (全等三角形的对应角相等). ∵ ∠DEF+∠F=90°, ∴∠B+∠F=90°. 当堂检测 1、已知：如图，△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，且BD=CE. 求证：AB=AC. 证明:在△BDC和△CEB中， ∵ BD⊥AC于D，CE⊥AB于E， ∴∠BDC和∠CEB是直角. 在Rt△BDC与Rt△CEB中, ∴ Rt△BDC≌Rt△CEB(HL) ∴∠BCD=∠CBE(全等三角形对应角相等). ∴AB=AC(等角对等边). 当堂检测 2.判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（ ） A.两条直角边对应相等 B.斜边和一锐角对应相等 C.斜边和一条直角边对应相等 D.两个锐角对应相等 D A 3.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点 E ，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3，AE＝4， 则 CH的长为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 当堂检测 5.如图，在△ABC中，已知BD⊥AC于D，CE ⊥AB于E，BD=CE.求证：△EBC≌△DCB. A B C E D 证明： ∵ BD⊥AC，CE⊥AB， ∴∠BEC=∠BDC=90 °. 在 Rt△EBC 和Rt△DCB 中， BC=CB， CE=BD， ∴ Rt△EBC≌Rt△DCB (HL). 4.如图，△ABC中，AB=AC，AD是高，则△ADB与△ADC （填“全等”或“不全等”），根据是 （用简写法）. 全等 HL ┑ 当堂检测 A F C E D B 6.如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF. 求证：BF=DE. 证明: ∵ BF⊥AC,DE⊥AC, ∴∠BFA=∠DEC=90 °. ∵AE=CF， ∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE. 在Rt△ABF和Rt△CDE中， AB=CD, AF=CE, ∴ Rt△ABF≌Rt△CDE(HL). ∴BF=DE. 当堂检测 7、如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.求证：BD平分EF. A F C E D B G AB=CD, AF=CE, Rt△ABF≌Rt△CDE(HL). BF=DE, Rt△GBF≌Rt△GDE(AAS). ∠BFG=∠DEG, ∠BGF=∠DGE, FG=EG BD平分EF 当堂检测 8、如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.想想：BD平分EF吗? C AB=CD, AF=CE, Rt△ABF≌Rt△CDE(HL). BF=DE, Rt△GBF≌Rt△GDE(AAS). ∠BFG=∠DEG, ∠BGF=∠DGE, FG=EG BD平分EF 当堂检测 9.如图，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等？ 【分析】本题要分情况讨论：(1)Rt△APQ≌Rt△CBA，此时AP＝BC＝5cm，可据此求出P点的位置．(2)Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AP＝AC，P、C重合． 解：(1)当P运动到AP＝BC时， ∵∠C＝∠QAP＝90°， 在Rt△ABC与Rt△QPA中， ∵AB＝PQ，BC＝AP， ∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)， ∴AP＝BC＝5cm； 当堂检测 (2)当P运动到与C点重合时，AP＝AC. 在Rt△ABC与Rt△PQA中， ∵AB＝PQ，AC＝AP， ∴Rt△ABC≌Rt△PQA(HL)， ∴AP＝AC＝10cm. ∴当AP＝5cm或10cm时，△ABC才能和△APQ全等． 谢 谢~ $$