12.7 直角三角形（4大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（北京版）

第十二章 三角形 12.7直角三角形（4大题型提分练） 题型一 含30度角的直角三角形 1．如图，在中，，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，若，则的长为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】作于点，根据角平分线的性质得，由知．本题主要考查作图基本作图，解题的关键是熟练掌握角平分线的尺规作图和角平分线的性质． 【详解】解：如图，作于点， 为的平分线， ， ， 则， ∴ 故选：C． 2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=12cm，若点P从点B出发以2cm/s的速度向点 A运动，点Q从点A出发以1cm/s的速度向点C运动，设P、Q分别从点B、A同时出发，运动的时间为（ ）s时，△APQ是直角三角形． A．2.4 B．3 C．2.4或3 D．3或4.8 【答案】D 【分析】根据题意分两种情况进行解答，即∠PQA=90°或∠QPA=90°时，分别表示Rt△APQ的两边的长，再根据含的直角三角形的性质列方程，再解方程并检验即可得到答案． 【详解】解：设运动的时间为t秒，则BP=2t厘米，AQ=t厘米， ①当∠PQA=90°时，如图1所示， 在Rt△APQ中，∵∠PQA=90°，∠A=60°，AP=（12-2t）cm， ∴ 解得t=3， ②当∠QPA=90°时，如图2所示， 在Rt△APQ中，∵∠QPA=90°，∠A=60°，AP=（12-2t）cm， ∴ 两点的最长运动时间为，所以都符合题意， 综上所述，运动的时间为3秒或4.8秒， 故选：D． 【点睛】本题考查的是含的直角三角形的性质，动点问题，分类思想的运用，掌握以上知识是解题的关键． 3．在中，，，，那么 ， ． 【答案】 8 【分析】本题考查的含30度角的直角三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，先求解，再进一步解答可得答案． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 故答案为：；8． 4．如图，是直角三角形，，，cm．以点A为圆心、AB长为半径画弧，交BC边的延长线于点D，则AD长为 cm． 【答案】8 【分析】利用含角的直角三角形的性质求得AB，利用半径相等求得． 【详解】，， 由含角的直角三角形的性质可知： ， 以点A为圆心、AB长为半径画弧，交BC边的延长线于点D， cm． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查含角的直角三角形的性质，正确运用含角的直角三角形中短直角边是斜边的一半这一性质是本题的解题关键． 5．图①所示的是某超市入口的双翼闸门，如图②，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为8cm，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度． 【答案】72cm 【分析】如图，过点作于点，过点作于点，利用含的直角三角形的性质，求解 从而可得答案． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵ 在中，， ∴ ， 同理可得，， 又∵ 双翼边缘的端点与之间的距离为8cm， ∴ ∴ 当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为72cm． 【点睛】本题考查的是含的直角三角形的性质，作出适当的辅助线构建直角三角形是解题的关键． 题型二 锐角互余的三角形是直角三角形 1．下列说法中不正确的是（    ）． A．有两个角互余的三角形是直角三角形 B．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 C．任何三角形都有三条高 D．方程的非负整数解是 【答案】D 【分析】本题考查真假命题的判断，根据直角三角形判定、二元一次方程的解、三角形外角的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、有两个角互余的三角形是直角三角形，正确，故本选项不符合题意； B、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，正确，故本选项不符合题意； C、任何三角形都有三条高，正确，故本选项不符合题意； D、方程的非负整数解是 和，故本选项符合题意； 故选：D． 2．在下列条件中不能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判定三角形是否为直角三角形，即计算各个角的度数，有一角为直角就是直角三角形，若无直角就不是直角三角形． 【详解】解：A、，，所以，即是直角，能判定三角形是直角三角形，不符合题意； B、，,，所以是直角，能判定三角形是直角三角形，不符合题意； C、，可得，，所以，解得，，，都不是直角，不能判定三角形是直角三角形，符合题意； D、，可得，，所以，解得，即是直角，能判定三角形是直角三角形，不符合题意 故答案为：C 【点睛】本题考查了直角三角形的定义及判定，根据三个角的数量关系进行细致的计算是解题的关键． 3．在一个支架的横杆点处用一根绳悬挂一个小球，小球可以摆动，如图，表示小球静止时的位置，当小球从摆到位置时，过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直，过点作于点，测得，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、直角三角形的特征，根据直角三角形的特征及可得，进而可得，再根据即可求解，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：和是由摆动得到， ， ， ， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：6． 4．如图，在中，，，D是的中点，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形的特征，根据等腰三角形的性质得，，再根据直角三角形的特征即可求解，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 【详解】解：连接，如图： ，， ， D是的中点，， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 5．在的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点，已知均为格点，请你仅用无刻度的直尺作图： (1)在图1中，画的高； (2)在图2中，在线段上求作一点，使得． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题考查网格中基本作图，熟知网格特点是关键． （1）根据网格特点，利用全等三角形的判定与性质，结合锐角互余的三角形是直角三角形画图即可； （2）根据网格特点，利用全等三角形的判定与性质画图即可． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求； （2）解：如图，点即为所求． 题型三 用HL证全等(HL) 1．如图，，添加条件后能用“”判定是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据（一组斜边和一组直角边对应相等的两个三角形全等）判断即可．本题考查直角三角形全等的判定，解题的关键是理解的意义，属于中考常考题型． 【详解】解：，， ， ， 当时，． 故选：A． 2．如图，用三角尺按如下方法画角平分线：在、上分别取点M、N，使，再分别过点M，N作、的垂线，交点为P，画射线，则平分，其作图原理是：，这样就有，则这两个三角形全等的依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定定理，解题的关键是根据题意找到三角形全等的条件．由题意知，，，即可得到答案. 【详解】解：由题意知，，， 在和中， ， ∴， ∴， 故选：D． 3．如图，在中，，过点作如果点分别在上运动，并且始终保持，那么当 时，与全等． 【答案】6或8/8或6 【分析】本题考查了全等三角形的判定，分情况讨论是解答本题的关键，应边相等分情况解答即可．根据已知斜边相等，再添加一条直角边相等即可． 【详解】解：∵与全等，， ∴分两种情况： ①与是对应边时，； ②与是对应边时，； 综上所述：当或8时，与全等； 故答案为：6或8． 4．如图，已知，，．则的理由是 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据，判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴； 故答案为：． 5．已知，如图，点在同一条直线上，． 求证：； 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键，先证，再证即可． 【详解】证明：， 和是直角三角形， ， ，即， 在和中， ， ． 题型四 全等的性质和HL综合(HL) 1．已知，如图，三点在同一条直线上，，则不正确的结论是（   ） A．与互为余角 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，根据证，根据全等三角形的性质即可求出答案． 【详解】解：， 在和中 ， ∴，故C正确， ，，     ， ，， 与互为余角，故A、B正确；D错误， 故选：D． 2．如图，相交于点O，，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形两个锐角互余，全等三角形的判定与性质等．根据证明；由全等的性质得，根据直角三角形两直角互余可求，从而可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴和都是直角三角形， 在和中， ∵，， ∴； ∴. ∵， ∴， ∴． 故选：A． 3．如图，，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，熟练掌握直角三角形全等的判定与性质是解题的关键．根据直角三角形全等的判定与性质，即可证明结论． 【详解】，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 故答案为：． 4．如图，点在上，，，．若．则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明，可得，即可求解． 【详解】解：， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 5．如图，，于点，于点，． (1)求证：； (2)若．则______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理应用，正确理解题意是解题的关键． （1）先证明，再根据，即可证明； （2）根据全等三角形的性质得出，根据直角三角形两锐角互余即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵于点于点， ， ， ， 在和中， ， ； （2）证明：∵，， ， ． 1．乘雪橇沿倾斜角是的斜坡滑下，滑下的路程（米）与时间（秒）间的关系式为，若滑到坡底的时间为2秒，则此人下滑的高度为（    ） A．24米 B．12米 C．米 D．6米 【答案】B 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质、代数式求值，根据题中自变量的值先求出函数值，然后根据直角三角形的性质进行解答即可． 【详解】解：将代入，得， ∵滑下的距离是直角三角形中角的斜边，下降的高度是直角三角形中角的对边． ∴下滑的高度为：（米）． 故选B． 2．在下列条件：①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】D 【分析】本题考查的是直角三角形的判定，三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于是解答此题的关键．根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，从而得到答案． 【详解】解：①当时，不能判定是直角三角形，不符合题意； ②当时，，能确定为直角三角形，符合题意； ③设，则，， ， 解得， ，，，不能判定是直角三角形，不符合题意； ④设，则，， ， 解得， ，能确定为直角三角形，符合题意； ⑤设，则， ， 解得：， ，，不能判定是直角三角形，不符合题意； 综上所述，能确定为直角三角形的条件有2个， 故选：． 3．在和中，，，D、分别是、上一点，且，有如下三个判断（　　） ①若，则和一定全等； ②若，则和一定全等； ③若，则和一定全等． A．②对①③错 B．②③对①错 C．全对 D．全错 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理．根据斜边及另一条直角边对应相等的两个直角三角形是全等三角形可证明②说法正确，根据全等三角形的判定定理不能根据①③的条件证明和全等． 【详解】解：①若，即，，， 不能证明与是全等三角形，故①错误； ②若，即，，， 根据斜边及另一条直角边对应相等的两个直角三角形是全等三角形可得与是全等三角形，故②正确； ③若，即，，， 不能证明与是全等三角形，故③错误； 综上，②正确①③错误． 故选：A． 4．如图所示，已知于F，于E，则图中全等的三角形共有（　　）    A．4对 B．3对 C．2对 D．1对 【答案】A 【分析】根据题意，结合图形有共四组． 【详解】解：∵于E，于F    ∴ ∵ ∴； ∴ ∵ ∴； ∴ ∴ ∵ ∴； ∵ ∴ ∵ ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．做题时从已知结合全等的判定方法开始思考，做到由易到难，不重不漏． 5．如图，在四边形中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，证得是解本题的关键． 先根据直角三角形两锐角互余可得；再证明，可得，然后根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：B． 6．如图，在中，，垂足为D．若，则的长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了三角形内角和定理，含的直角三角形．熟练掌握三角形内角和定理，含的直角三角形是解题的关键． 由题意知，，则，由，可得，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：8． 7．如图，在中，，以 为腰在外作等腰，且，过点作，垂足为，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，在上截取，由，可得，进而可得，得到，，即得到，得到，由直角三角形的得性质可得，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，在上截取， ∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．“文字表达全等形，对应元素未可知”．如图，有一个直角三角形，，，．一条线段．P、Q两点分别在线段和过点A且垂直于的射线上运动，在线段运动过程中，当 ，能使和以P、Q、A为顶点的三角形全等． 【答案】或 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，由于，所以当或时，，从而可得的长． 【详解】解：∵，， ∴ 当时， 在和中， ∴； 当时， 在和中， ∴； 故答案为：或． 9．如图，中，，于D点，于点E，于点F，，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，先利用证明，得出，又，将代入即可求出． 【详解】解：在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：6． 10．如图，在中，是高，，，在边上取点D，连接，，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识点，作出正确的辅助线、灵活运用全等三角形的判定与性质是解决本题的关键． 如图：过点E作，交的延长线于点F，先分别证明、，由此可得，，再结合可得，由此可得，然后将代入计算即可． 【详解】解：如图：过点E作，交的延长线于点F， ∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴，即， 又∵， ∴，解得：． 故答案为：． 11．如图，在中，，，于点，交于点，如果，求的长． 【答案】3 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质、平行线的性质，由题意可得，和中均含30度角，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：中，，， ， 又， ， ， ， 在中，， ， ， ，， ， 又， ． 12．如图，，，，P点从点出发，沿向运动，从点出发，沿向点运动，P，Q两点同时出发，速度均为1单位/秒，当P运动到A时，两点同时停止运动．点在上，交于，当四边形中有两个内角是直角时，点运动的时间是多少？ 【答案】或秒 【分析】本题考查的是含30度角的直角三角形的性质，清晰的分类讨论是解本题的关键，分和两种情况求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴和两种情况， 设点运动的时间为秒， ①当时，，， 在中，， ∴， ∴， ， 解得：， ②当时，，， 在中，， ∴， ∴， ， 解得：， 当四边形中有两个内角是直角时，点运动的时间为或秒． 13．已知：如图，在中，于点，为上一点，且，．猜想与的关系，并说明理由． 【答案】,，理由见解析． 【分析】本题考查了三角形全等判定及性质，直角三角形的两锐角互余，垂直定义．通过证明，可得，进而得，进而得，从而即可得解． 【详解】解：，，理由如下： ∵ ∴ 又∵在和中， ∴（） ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 14．如图，已知点B、E、F、C依次在同一条直线上，，，垂足分别为F、E，且，．证明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据推出，即可根据证明． 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴． 15．八年级数学学习小组的同学们在讨论这样一道题： 如图所示，是钝角，分别在上，且．试说明：． 其中一个同学的解法是这样的： 在和中， 所以，所以． (1)你认为这种解法正确吗？为什么？ (2)小明同学想到了另一种解法，他说可以作垂线段构造直角三角形来证明全等．请你按照小明的思路进行证明． 【答案】(1)不正确，因为边边角不能判定三角形全等 (2)见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． （1）由不能判定两个三角形全等可作出判断； （2）过B、C两点分别作的垂线，垂足分别为F，G，构造全等三角形，然后利用推知，所以由全等三角形的对应角相等证得结论． 【详解】（1）解：不正确，因为边边角不能判定三角形全等 （2）证明：因为是钝角，故过B、C两点分别作的垂线，垂足分别为F，G， 在与中 ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十二章 三角形 12.7直角三角形（4大题型提分练） 题型一 含30度角的直角三角形 1．如图，在中，，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，若，则的长为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=12cm，若点P从点B出发以2cm/s的速度向点 A运动，点Q从点A出发以1cm/s的速度向点C运动，设P、Q分别从点B、A同时出发，运动的时间为（ ）s时，△APQ是直角三角形． A．2.4 B．3 C．2.4或3 D．3或4.8 3．在中，，，，那么 ， ． 4．如图，是直角三角形，，，cm．以点A为圆心、AB长为半径画弧，交BC边的延长线于点D，则AD长为 cm． 5．图①所示的是某超市入口的双翼闸门，如图②，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为8cm，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度． 题型二 锐角互余的三角形是直角三角形 1．下列说法中不正确的是（    ）． A．有两个角互余的三角形是直角三角形 B．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 C．任何三角形都有三条高 D．方程的非负整数解是 2．在下列条件中不能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 3．在一个支架的横杆点处用一根绳悬挂一个小球，小球可以摆动，如图，表示小球静止时的位置，当小球从摆到位置时，过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直，过点作于点，测得，则的长为 ． 4．如图，在中，，，D是的中点，，则 ． 5．在的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点，已知均为格点，请你仅用无刻度的直尺作图： (1)在图1中，画的高； (2)在图2中，在线段上求作一点，使得． 题型三 用HL证全等(HL) 1．如图，，添加条件后能用“”判定是（　　） A． B． C． D． 2．如图，用三角尺按如下方法画角平分线：在、上分别取点M、N，使，再分别过点M，N作、的垂线，交点为P，画射线，则平分，其作图原理是：，这样就有，则这两个三角形全等的依据是（　　） A． B． C． D． 3．如图，在中，，过点作如果点分别在上运动，并且始终保持，那么当 时，与全等． 4．如图，已知，，．则的理由是 ． 5．已知，如图，点在同一条直线上，． 求证：； 题型四 全等的性质和HL综合(HL) 1．已知，如图，三点在同一条直线上，，则不正确的结论是（   ） A．与互为余角 B． C． D． 2．如图，相交于点O，，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，，，，，则 ． 4．如图，点在上，，，．若．则 ． 5．如图，，于点，于点，． (1)求证：； (2)若．则______． 1．乘雪橇沿倾斜角是的斜坡滑下，滑下的路程（米）与时间（秒）间的关系式为，若滑到坡底的时间为2秒，则此人下滑的高度为（    ） A．24米 B．12米 C．米 D．6米 2．在下列条件：①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 3．在和中，，，D、分别是、上一点，且，有如下三个判断（　　） ①若，则和一定全等； ②若，则和一定全等； ③若，则和一定全等． A．②对①③错 B．②③对①错 C．全对 D．全错 4．如图所示，已知于F，于E，则图中全等的三角形共有（　　）    A．4对 B．3对 C．2对 D．1对 5．如图，在四边形中，，，，则（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，垂足为D．若，则的长为 ． 7．如图，在中，，以 为腰在外作等腰，且，过点作，垂足为，若，，则 ． 8．“文字表达全等形，对应元素未可知”．如图，有一个直角三角形，，，．一条线段．P、Q两点分别在线段和过点A且垂直于的射线上运动，在线段运动过程中，当 ，能使和以P、Q、A为顶点的三角形全等． 9．如图，中，，于D点，于点E，于点F，，则 ． 10．如图，在中，是高，，，在边上取点D，连接，，若，，则 ． 11．如图，在中，，，于点，交于点，如果，求的长． 12．如图，，，，P点从点出发，沿向运动，从点出发，沿向点运动，P，Q两点同时出发，速度均为1单位/秒，当P运动到A时，两点同时停止运动．点在上，交于，当四边形中有两个内角是直角时，点运动的时间是多少？ 13．已知：如图，在中，于点，为上一点，且，．猜想与的关系，并说明理由． 14．如图，已知点B、E、F、C依次在同一条直线上，，，垂足分别为F、E，且，．证明：． 15．八年级数学学习小组的同学们在讨论这样一道题： 如图所示，是钝角，分别在上，且．试说明：． 其中一个同学的解法是这样的： 在和中， 所以，所以． (1)你认为这种解法正确吗？为什么？ (2)小明同学想到了另一种解法，他说可以作垂线段构造直角三角形来证明全等．请你按照小明的思路进行证明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$