12.6 等腰三角形（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（北京版）

12.6 等腰三角形 数学（北京版） 八年级 上册 第十二章 三角形 学习目标 1. 探索并证明等腰三角形的性质定理和判定定理； 2. 探索并证明等边三角形的性质定理和判定定理； 　 温故知新 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 1.具备什么条件的三角形是等腰三角形？ 2.等腰三角形的有关概念 A B C 相等的两条边叫做腰, 另一条边叫做底边, 底边与腰的夹角叫做底角. 两腰所夹的角叫做顶角, 腰 腰 底边 顶角 底角 边： 角： 　 导入新课 观察下列图片，它们有什么共同的特征？ 等腰三角形 讲授新课 知识点一 等腰三角形的性质 如图,在△ABC中,AB=AC，则三角形为等腰三角形. 它的各部分名称分别是什么？ A B C (1)相等的两条边都叫腰; 腰 腰 底边 (2)另一边叫底边; 顶角 底角 底角 (3)两腰的夹角∠A叫顶角; (4)腰与底边夹角∠B、∠C叫底角. 讲授新课 1.等腰三角形是轴对称图形吗？找出对称轴. 2.顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的 对称轴吗？ 3.底边上的中线所在的直线是等腰三角形的 对称轴吗？底边上的高所在直线呢？ 4.沿对称轴对折，你能发现等腰三角形的哪 些特征？说说你的理由. 思考 讲授新课 等腰三角形是一类特殊的三角形．等腰三角形除具有一般三角形的性质外，还具有什么样的特殊性质呢？ 拿出你的等腰三角形纸片，折折看，你能发 现什么现象？ 看看你本组其他同学的情况,共同交流, 能得出什么结论? 讲授新课 (1)等腰三角形是轴对称图形. (2)∠B =∠C. (3)∠BAD＝∠CAD，AD为顶角的平分线. (4)∠ADB=∠ADC=90°，AD为底边上的高. (5)BD=CD，AD为底边上的中线. A B C D 现象 讲授新课 归纳： 等腰三角形的两个底角相等. 等腰三角形的顶角平分线、底边上的高和底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）. 讲授新课 A B C D 解：在ΔABC中，∵AD是角平分线, ∴∠BAD=∠CAD. 在ΔABD和ΔACD中, ∵AB=AC,∠BAD=∠CAD,AD=AD， ∴ΔABD≌ΔACD. ∴BD=CD, ∠ADB=∠ADC=90˚. ∴AD是ΔABC的角平分线、底边上的中线、底边上的高. 三线合一吗？ 讲授新课 1.等腰三角形是轴对称图形. 2.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高重合（也称“三线合一”），它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴. 3.等腰三角形的两底角相等. 等腰三角形的性质： 讲授新课 1.按下面的步骤做一做： （1）将长方形纸片对折 （2）然后沿对角线折叠，在沿折痕剪开。 你有哪些办法可以得到一个等腰三角形？与同伴交流. 议一议 讲授新课 典例精析 【例1】等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角 形的底角的大小是(　　) A．65°或50° B．80°或40° C．65°或80° D．50°或80° 解析：当50°的角是底角时，三角形的底角就是50°；当50°的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是65°. A 讲授新课 练一练 解 ∵AB=AC, BD=BC=AD,（已知） ∴∠ABC=∠C=∠BDC, ∠A=∠ABD.(等边对等角） 设∠A=x°,∵∠A+∠ABD+∠ADB=180°， 又∵∠BDC+∠ADB=180°， ∴∠BDC=∠A+∠ABD=2x°. ∵∠ABC=∠C=∠BDC=2x°， ∴x+2x+2x=180.（三角形内角和等于180°） 解得 x=36 .∴∠A=36°，∠C=72°. 1、如图，在ΔABC中，AB=AC , 点D在AC上，且 BD=BC=AD , 求∠A和∠C的度数. C D B A 讲授新课 知识点二 等腰三角形的判定 思考：如图，在△ABC中，如果∠B=∠C，那么AB与AC之间有什么关系吗？ 我测量后发现AB与AC相等. 3cm 3cm 讲授新课 A B C 如图，位于海上B、C两处的两艘救生船接到A处遇险船只的报警，当时测得∠B=∠C.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？ 互动探究 讲授新课 已知：如图，在△ABC中, ∠B=∠C,那么它们所对的边AB和AC有什么数量关系? 建立数学模型： C A B 做一做：画一个△ABC，其中∠B=∠C=30°，请你量一量AB与AC的长度，它们之间有什么数量关系？你能得出什么结论？ AB=AC 你能验证你的结论吗？ 讲授新课 在△ABD与△ACD中， ∠1=∠2， ∴ △ABD ≌ △ACD（AAS）. ∠B=∠C， AD=AD， ∴AB=AC. 过A作AD平分∠BAC交BC于点D. 证明： C A B 2 1 D （ （ △ABC是等腰三角形. 结论验证： 讲授新课 有两个角相等的三角形是等腰三角形 (简称“等角对等边”). 等腰三角形的判定定理： 在△ABC中， ∵∠B=∠C, 应用格式： ∴AB=AC(等角对等边). A C B 总结归纳 讲授新课 A B C D 2 1 ∵∠1=∠2 , ∴ BD=DC （等角对等边）. ∵∠1=∠2, ∴ DC=BC A B C D 2 1 （等角对等边）. 错，因为都不是在同一个三角形中. 辨一辨：如图,下列推理正确吗? 讲授新课 典例精析 【例2】已知：如图，AB=DC,BD=CA,BD与CA相交于点E. 求证：△AED是等腰三角形. A B C D E 证明：∵AB=DC,BD=CA,AD=DA, ∴△ABD≌△DCA(SSS), ∴∠ADB=∠DAC(全等三角形的对应角相等）, ∴AE=DE(等角对等边）, ∴ △AED是等腰三角形. 讲授新课 练一练 1、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别是 AB，AC上的点，且DE∥BC. 求证：△ADE为等腰三角形. 证明 ∵AB=AC， ∴ ∠B=∠C. 又∵ DE∥BC， ∴ ∠ADE=∠B，∠AED=∠C. ∴ ∠ADE=∠AED. ∴△ADE为等腰三角形. 讲授新课 知识点三 等边三角形的性质 想一想：等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么特征呢？ 定理： 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°. 可以利用等腰三角形的性质进行证明. 怎样证明这一定理了？ 讲授新课 已知：如图,在△ABC中， AB=AC=BC． 求证：∠A=∠B=∠C=60°． A C B 证明：在△ABC中， ∵AB=AC(已知)， ∴∠B=∠C(等边对等角). 同理∠A=∠B． 又∵∠A+∠B+∠C=180°(三角形的内角和等于180°)， ∴∠A=∠B=∠C=60°． 定理： 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°. 讲授新课 典例精析 B C D A E 【例3】如图，等边三角形ABC中,BD是AC边上的中线,BD=BE,求∠EDA的度数. 解： ∵ △ABC是等边三角形， ∴∠CBA=60°. ∵BD是AC边上的中线， ∴∠BDA=90°, ∠DBA=30°. ∵ BD=BE， ∴ ∠BDE=(180 °－∠DBA) ÷2 = (180°－30°) ÷2=75°. ∴ ∠EDA=90 °－ ∠BDE=90°－75°=15°. 讲授新课 知识点四 等边三角形的判定 一个三角形满足什么条件就是等边三角形? 由等腰三角形的判定定理，可得等边三角形的两个判定定理： 1.三个角都相等的三角形是等边三角形； 2.有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形. 你能证明这些定理吗？ 讲授新课 A B C 已知：如图，∠A= ∠ B=∠C. 求证： AB=AC=BC. ∵ ∠A= ∠ B, ∴ AC=BC. ∵ ∠ B=∠C, ∴ AB=AC. ∴AB=AC=BC. 证明： 三个角都相等的三角形是等边三角形. 定理1： 讲授新课 定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. A B C 已知： 若AB=AC , ∠A= 60°. 求证： AB=AC=BC. 证明：∵AB=AC , ∠A= 60 °， ∴∠B＝∠C＝ (180。－∠A)= 60°. ∴∠A= ∠ B=∠C. ∴AB=AC=BC. 证明完整吗？是不是还有另一种情形呢？ 讲授新课 证明:∵AB=AC,∠B=60°(已知), ∴∠C=∠B=60°(等边对等角)， ∴∠A=60°(三角形内角和定理)． ∴∠A=∠B =∠C=60°． ∴△ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形). 已知:如图,在△ABC中，AB=AC,∠B=60°． 求证:△ABC是等边三角形． 第二种情况：有一个底角是60°. A C B 60° 【验证】 讲授新课 等腰三角形(含等边三角形) 性质 判定的条件 等边对等角 等角对等边 “三线合一”,即等腰三角形顶角平分线，底边上的中线、高线互相重合 有一角是60°的等腰三角形是等边三角形 等边三角形三个内角都相等，且每个角都是60° 三个角都相等的三角形是等边三角形 归纳总结 讲授新课 典例精析 【例4】如图,在等边三角形ABC中，DE∥BC. 求证：△ADE是等边三角形. A C B D E 证明： ∵ △ABC是等边三角形， ∴ ∠A= ∠B= ∠C. ∵ DE//BC, ∴ ∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C. ∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED. ∴ △ADE是等边三角形. 想一想：本题还有其他证法吗？ 讲授新课 变式：上题中,若将条件DE∥BC改为AD=AE, △ADE还是等边三角形吗?试说明理由. A C B D E 如图,在等边三角形ABC中，AD=AE. 求证：△ADE是等边三角形. 证明： ∵ △ABC是等边三角形， ∴ ∠A= ∠B= ∠C=60°. ∵ AD=AE, ∴ △ADE是等腰三角形. ∴ △ADE是等边三角形. 又∵ ∠A=60°， 讲授新课 操作:用两个含有30°角的三角板，你能拼成一个怎样的三角形？ 30° 30° 你能说出所拼成的三角形的形状吗？ 猜想：在直角三角形中, 30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？ 30° 30° 30° 30° 30° 合作探究 结论:在直角三角形中, 30°角所对的直角边等于斜边的一半. 讲授新课 已知:如图,在△ABC中,∠ACB=90°， ∠A=30°. 求证:BC= AB. A 30° B C 分析：突破如何证明“线段的倍、分”问题 转 化 “线段相等”问题 猜想验证 30° 30° 讲授新课 ∵ ∠ACB=90°, (已知) ∴∠ACD=90°.(平角意义) 在△ABC与△ADC中， BC=DC，（作图） 　∠ACB=∠ACD，（已证） AC=AC，（公共边） ∴△ABC≌△ADC（SAS） ， ∴ AD=AB. ∵∠ACB=90°,∠BAC=30°，(已知) ∴∠B=60°， ∴△ABD是等边三角形，(有一个角是60°的等腰三角 形是等边三角形) ∴BC= BD= AB． (等式性质) 30° A B C D 证明: 延长BC至D,使CD=BC,连接AD. 讲授新课 定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半． 几何语言： 在△ABC中, ∵∠ACB=90°,∠A=30°． ∴BC= AB．(在直角三角形中, 30°角所对的直角边等于斜边的一半) A B C 30° 推论：BC：AC：AB=1： ：2. 归纳总结 讲授新课 C B A D 如图，在△ABC中，已知AB=AC=2a,∠B=∠ACB=15°, CD是腰AB上的高，求CD的长. 解：∵∠B=∠ACB=15°，(已知) ∴∠DAC=∠B+∠ACB= 15°+15°=30°. ∵∠ADC=90°，（高的定义）∴CD= AC=a． （在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半） 讲授新课 1、已知:如图,在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB于D． 求证:BD= D A C B 30° 证明：∵∠A=30°，CD⊥AB，∠ACB=90°， ∴BC= ∠B=60°． ∴∠BCD=30°. ∴BD= ∴BD= 当堂检测 E 2 1 A B C D 72° 36° ③如果AD=4cm，则 1.已知:如图,∠A=36°， ∠DBC=36°，∠C=72°. ①∠1= , ∠2= ； ②图中有 个等腰三角形； BC= cm； 72° 36° 3 4 个等腰三角形. ④如果过点D作DE∥BC, 交AB于点E,则图中有 5 当堂检测 2. 已知：等腰三角形ABC的底角∠ABC和 ∠ACB的平分线相交于点O. 求证：△OBC为等腰三角形. A B C D E O 证明: ∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∴ ∠ABD =∠DBC= ， ∠ACE =∠ECB= . ∴ ∠DBC =∠ECB， ∴ △OBC是等腰三角形. 又∵ △ABC是等腰三角形， ∴ ∠ABC =∠ACB， 当堂检测 解：∵OA=AB， ∴∠ABO=∠O=15°，∴∠BAO=150°, ∴∠BAC=∠ABO+∠O=30°. ∵AB=BC， ∴∠ACB=∠BAC=30°， ∴∠CBO=135°，∴∠CBD=∠O+∠ACB=45°. ∵BC=CD，∴∠D=∠CBD=45°，∴∠BCD=90°, ∴∠1=180°－∠BCD－∠BCO=60°. 3.如图，∠AOB=15°，且OA=AB=BC=CD.求∠1的度数. ⌒ 15° 1 C D B O A ⌒ 当堂检测 4.如图，A、O、D三点共线，△OAB和△OCD是两个全等的等边三角形，求∠AEB的大小. C B O D A E 解： ∵△OAB和△OCD是两个全等的等边三角形. ∴AO=BO,CO=DO, ∠AOB=∠COD=60°. ∵ A、O、D三点共线， ∴ ∠DOB=∠COA=120°， ∴ △COA ≌△DOB(SAS). ∴ ∠DBO=∠CAO. 设OB与EA相交于点F, ∵ ∠EFB=∠AFO， ∴ ∠AEB=∠AOB=60°. F 当堂检测 5. 已知：如图，AB=BC ，∠CDE= 120°， DF∥BA，且DF平分∠CDE. 求证：△ABC是等边三角形. 证明: ∵ AB=BC， ∴△ABC是等边三角形. 又∵∠CDE=120°，DF平分∠CDE， ∴ ∠FDC=∠ABC=60°， ∴ △ABC是等腰三角形. ∴ ∠EDF=∠FDC=60°. 又∵DF∥BA， 当堂检测 证明：延长BC至D，使CD=BC，连接AD. ∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°． 又∵AC=AC， ∴△ACB≌△ACD(SAS)． ∴AB=AD． ∵CD=BC，∴BC=　BD． 又∵BC= 　AB，∴AB=BD． ∴AB=AD=BD， 即△ABD是等边三角形． ∴∠B=60°．在Rt△ABC中，∠BAC=30°． 6．已知：在Rt△ABC中，∠C=90°, BC= AB． 求证：∠BAC=30°． C B A D 谢 谢~ $$