浙江省九年级上学期期末押题测试卷02-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（浙教版）

2024-2025学年九年级数学上学期期末模拟卷02 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：浙教版数学上年级上册全册，下册1-2章。 5．难度系数：0.65。 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．已知，那么等于（   ） A． B． C． D． 2．如图，中，，将绕着点顺时针旋转，则的度数为（    ）度 A． B． C． D． 3．如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，与相交于点P，则的值为（　　） A．5 B． C． D． 4．一张圆桌旁有四个座位，A先坐在如图所示的座位上，B，C，D三人随机坐到其他三个座位上，则A与B不相邻而坐的概率为（    ） A． B． C． D． 5．如图，中为直径，， 分别切于点 ，．，则 的大小为（     ）   A． B． C． D． 6．如图，把圆形纸片放在长方体纸盒内，纸片的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则圆形纸片的半径长是（　 ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，，动点P从点B出发以的速度沿方向匀速移动，同时动点Q从点B出发以的速度沿方向匀速移动．设的面积为，运动时间为，则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（　　） A． B． C． D． 8．如图，在的内接正六边形中，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D．20 9．如图，在矩形中，，点分别在线段和线段的延长线上．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 10．关于二次函数，有下列四个结论： ①对任意实数m，都有与对应的函数值相等； ②若时，对应的y的整数值有4个，则或； ③若抛物线与x轴交于A、B两点，且，则或； ④若，则一元二次方程一定有两个实数根． 以上结论，正确的有（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．线段，为的黄金分割点，且，则 ． 12．如图所示，正方形的顶点O在另一正方形的对角线交点上，两个正方形的边长相等，现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是 ． 13．将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线与x轴交点的坐标是 14．如图，内接于，，于点，若，，则的半径为 15．利用无人机探照灯测量坡面的角度如图，一架无人机探照灯在点处，测得它的下边缘光线落在坡脚点处，上边缘光线落在斜坡点处，此时无人机离地面米，将无人机沿水平方向前进米到达点处，探照灯的上下边缘光线，落在斜坡，处，，，此时点恰好在的正上方，现测得，则 ． 16．如图，在中，，是以为直径的圆，点D为上一点，连接，点E是的中点，连接，则的最小值是 ． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题满分8分）计算： (1)； (2)． 18．（本题满分8分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，， (1)画出先向右平移5个单位，再向上平移4个单位的图形； (2)画出绕点B逆时针旋转的图形 (3)以原点O为位似中心，位似比为，在y轴的左侧画出放大后的图形 19．（本题满分8分）某大草原上有一条笔直的公路，在紧靠公路相距40千米的两地，分别有甲，乙两个医疗站，如图，在地北偏东，地北偏西方向上有一牧民区．一天，甲医疗队接到牧民区的求救电话，立刻设计了两种救助方案．已知汽车在公路上行驶的速度是在草地上行驶速度的3倍． 方案I：从地开车沿公路到离牧民区最近的处，再开车穿越草地沿方向到牧民区． 方案Ⅱ：从地开车穿越草地沿方向到牧民区． (1)求牧民区到公路的最短距离；（结果精确到0.1） (2)你认为甲医疗队设计的两种救助方案，哪一种方案比较合理？并说明理由．（参考数据：，） 20．（本题满分8分）2024贵阳马拉松比赛于6月16日上午7点30分在贵阳国际会展中心北广场正式鸣枪起跑，本届马拉松赛共设置四个项目，分别是马拉松、半程马拉松、迷你马拉松以及线上马拉松．经过大家积极的参与，报名人数共计93902人，由于场地人数限制，需要抽签决定是否能够参与比赛．小红和小星类比该方式进行抽签决定是否参加某场活动，在一个不透明的袋子中放入4个完全一样的小球，分别标有1、2、3、4四个数字，小红和小星轮流从袋中摸出一球，记下号码，然后放回． (1)计算摸到小球数字为2的概率； (2)如果摸到的球号码大于2，则小红参加活动，否则小星参加活动，你认为这个抽签方式公平吗？请说明理由． 21．（本题满分8分）如图，为的直径，点C，D为直径同侧圆上的点，且点D为的中点，过点D作于点E，交于点G，延长，交于点F． (1)如图①，若，求证：； (2)如图②，若，，求的半径． 22．（本题满分10分）随着国家乡村振兴政策的推进、风威村农产品越来越丰富、为增加该村村民收入，把该土特产（每袋成本元）进行天销售，日销量 (袋)与每袋售价（元）记录如下： 时间 第一史 襄二灵 第三天 第四支 元 袋 若试销售和正常销售期间日销量y与每袋售价的一次函数关系相同，解决下列问题： (1)求日销量关于每袋售价的函数关系式： (2)请你帮村民设计，每袋售价定为多少元，才能使这种上特产每日销售的利润最大？并求出最大利润（利润销售额成本）． 23．（本题满分10分）如图，在正方形中，，是对角线上的点，连接，过点作交射线于点，作射线交于点．    (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的长． 24．（本题满分12分）如图，已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，对称轴轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线AC上一动点，过点P作轴，交抛物线于点Q，以P为圆心，PQ为半径作，当与坐标轴相切时，求的半径； (3)直线与抛物线交于M，N两点，求面积的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级数学上学期期末模拟卷02 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：浙教版数学上年级上册全册，下册1-2章。 5．难度系数：0.65。 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．已知，那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例的基本性质．根据比例的性质将等积式转化为比例式即可求解． 【详解】解： ， ，即， 故选：D． 2．如图，中，，将绕着点顺时针旋转，则的度数为（    ）度 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质， 根据旋转角可得，由旋转的性质得，然后根据代入数据进行计算即可得解． 【详解】解：根据旋转角可得，由旋转的性质得， ， 故选：C． 3．如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，与相交于点P，则的值为（　　） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查网格中的锐角三角函数，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接，根据题意可得：，从而利用平行线的性质可得，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，再利用锐角三角函数的定义进行计算可得的值，即可解答． 【详解】解：如图：连接， 由题意得： ， ∴， 在中，， ， ， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4．一张圆桌旁有四个座位，A先坐在如图所示的座位上，B，C，D三人随机坐到其他三个座位上，则A与B不相邻而坐的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了概率的计算，根据题意画出图形，得出所有可能的情况数，然后找出符合题意的情况数，最后根据概率公式求出结果即可． 【详解】解：如图， 根据图可知：以B，C，D随机而坐的结果数共有6种，其中A与B不相邻而坐的结果有2种， ∴A与B不相邻而坐的概率为：． 故选：A． 5．如图，中为直径，， 分别切于点 ，．，则 的大小为（     ）   A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了切线的性质、切线长定理等知识，根据切线的性质定理得到，求出，根据切线长定理求出，利用三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解： 切 于点 ， ， 又 ， ， ， 分别切 于点 ，， ， ， ． 故选：D 6．如图，把圆形纸片放在长方体纸盒内，纸片的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则圆形纸片的半径长是（　 ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，过点作于，则，，设圆形纸片的半径长为，则，，由勾股定理得，解方程即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作于，则，， 设圆形纸片的半径长为，则，， ∵， ∴， 解得， ∴圆形纸片的半径长是， 故选：． 7．如图，在中，，，，动点P从点B出发以的速度沿方向匀速移动，同时动点Q从点B出发以的速度沿方向匀速移动．设的面积为，运动时间为，则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象．熟练掌握勾股定理解直角三角形，相似三角形的判定和性质，三角形面积公式，二次函数的图象和性质，是解决问题的关键． 当时，根据，得出；当时，过点P作于点H，证，得出，根据，即可得出． 【详解】∵在中，，，， ∴， 当时， ， ∴， ∴图象为开口向上的抛物线； 当时， 过点P作于点H，如下图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴图象为开口向下的抛物线． 故选：B． 8．如图，在的内接正六边形中，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D．20 【答案】B 【分析】连接，，过点作于点，根据正六边形的性质可知阴影的面积等于扇形减去的面积．本题考查正多边形与圆、扇形的面积公式，解题的关键是学会用转化的思想思考问题． 【详解】解：连接，，连接交于点， 多边形是正六边形， ，，，， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， 在的内接正六边形中，， ， ． 故选：B． 9．如图，在矩形中，，点分别在线段和线段的延长线上．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形判定和性质，矩形的性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键．如图，在上截取，在上截取，且，可得，，，，，通过证明，可得，可求的长，再求解即可． 【详解】解：如图，在上截取，在上截取，且， ，，，，， ，， ，且，， ，， ， ， ， ， ， 故选：B 10．关于二次函数，有下列四个结论： ①对任意实数m，都有与对应的函数值相等； ②若时，对应的y的整数值有4个，则或； ③若抛物线与x轴交于A、B两点，且，则或； ④若，则一元二次方程一定有两个实数根． 以上结论，正确的有（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①③④ 【答案】B 【分析】根据抛物线的对称轴利用中点坐标公式即可判定①；分和两种情况，根据二次函数的图象与性质，确定出当时，函数值的取值范围，由题意即可求得a的取值范围，从而判定②；当时，，则；由，则当时，即对称轴右边到对称轴的距离为3时自变量值，此时得对应函数值；分和两种情况，分别得到和，解两个不等式组即可判定③；对于方程，有；当，且时，，原方程一定有两个不相等实数根；，但，则不一定成立；故可判定④；从而可确定最后答案． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ，故①正确； 当时，；当时，；当时，； 若，则，对应y的整数值有4个分别是， ， ； 若，则，对应y的整数值有4个分别是， ， ； 综上，时，对应的y的整数值有4个， 则或；故②错误； 当时，，则， 若，抛物线与x轴交于A、B两点，， 当时，， ，解得：， 若，抛物线与x轴交于A、B两点，， ∴当时，， ，解得：； 若抛物线与x轴交于A、B两点，且，则或，故③正确； 对于一元二次方程，有， 若，且，则成立，原方程一定有两个不相等实数根； 若，但，则不一定成立；故④错误． 综上，正确的有①③， 故选：B． 【点睛】本题是二次函数的综合，考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程，解不等式组等知识；掌握二次函数的相关知识是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．线段，为的黄金分割点，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分为较长线段和较短线段，若较长线段与较短线段的比等于整个线段与较长线段的比，即较长线段是整个线段的倍，则这个点叫这条线段的黄金分割点．根据黄金分割的定义得到，再求出的长即可． 【详解】解：如图， 线段，为的黄金分割点且， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 12．如图所示，正方形的顶点O在另一正方形的对角线交点上，两个正方形的边长相等，现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是 ． 【答案】 【分析】求出图形和阴影的面积，再根据概率公式计算即可．本题考查了概率公式，根据题意弄清楚图形之间的关系是解题的关键． 【详解】解：如图： ∵正方形的顶点O在另一正方形的对角线交点上，两个正方形的边长相等 ∴， ∴ ∴ 即 ， ， 设正方形的面积为，阴影的面积为， 则图形的面积为， 这个点取在阴影部分的概率是． 故答案为：． 13．将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线与x轴交点的坐标是 【答案】 【分析】本题考查了函数图象的平移，函数与坐标轴交点情况，解题的关键是掌握函数图象的平移规律．根据函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”求出平移后的解析式，令，进而即可得平移后抛物线与x轴交点的坐标． 【详解】解：抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得： 平移后的解析式为：， 令，则， 解得：， 平移后抛物线与x轴交点的坐标是， 故答案为：． 14．如图，内接于，，于点，若，，则的半径为 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，结合勾股定理、等腰直角三角形的性质，连接和，根据，于点，推出，算出，根据勾股定理算出，证是等腰直角三角形，根据代入计算即可，，掌握知识点计算是解题的关键． 【详解】 解：如图，连接和， ，于点，，， ，，， ， ， ，（同弧所对圆周角是圆心角的一半） 又， 是等腰直角三角形， ， 故答案为： 15．利用无人机探照灯测量坡面的角度如图，一架无人机探照灯在点处，测得它的下边缘光线落在坡脚点处，上边缘光线落在斜坡点处，此时无人机离地面米，将无人机沿水平方向前进米到达点处，探照灯的上下边缘光线，落在斜坡，处，，，此时点恰好在的正上方，现测得，则 ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形和三角形相似，连接，作于，根据题意是直角三角形，根据勾股定理求出的长，证明，根据对应线段成比例，推出，求出，推出，分别求出和，进而求出，根据，，进而求出，解题的关键是作辅助线． 【详解】解：如图，连接，作于， 点恰好在的正上方， 是直角三角形， 又，， 根据勾股定理得，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．如图，在中，，是以为直径的圆，点D为上一点，连接，点E是的中点，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】题目主要考查圆的综合问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等，理解题意，根据题意构造相似三角形是解题关键． 连接，取的中点H，确定一点G，连接，使得，连接，根据相似三角形的判定和性质得出，再由三角形中位线确定，得出当点H、E、G三点共线时，取得最小值，即取得最小值，过点H作于点F，连接，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，取的中点H，确定一点G，连接，使得，连接，如图所示： 根据题意得：， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点H为的中点， ∴， ∴， 当点H、E、G三点共线时，取得最小值，即取得最小值， 过点H作于点F，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴则的最小值是， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题满分8分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值的混合运算，实数混合运算，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值． （1）根据二次根式性质，特殊角的三角形函数值，绝对值意义，进行计算即可； （2）根据特殊角的三角函数值进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（本题满分8分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，， (1)画出先向右平移5个单位，再向上平移4个单位的图形； (2)画出绕点B逆时针旋转的图形 (3)以原点O为位似中心，位似比为，在y轴的左侧画出放大后的图形 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】（1）根据平移的性质，分别找出点，再依次连接，即可作答． （2）根据旋转的性质，分别找出点，再依次连接，即可作答． （3）根据位似性质，分别找出点，再依次连接，即可作答． 本题考查了作平移图形，作旋转图形，作位似图形，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图所示； （3）解：如图所示； 19．（本题满分8分）某大草原上有一条笔直的公路，在紧靠公路相距40千米的两地，分别有甲，乙两个医疗站，如图，在地北偏东，地北偏西方向上有一牧民区．一天，甲医疗队接到牧民区的求救电话，立刻设计了两种救助方案．已知汽车在公路上行驶的速度是在草地上行驶速度的3倍． 方案I：从地开车沿公路到离牧民区最近的处，再开车穿越草地沿方向到牧民区． 方案Ⅱ：从地开车穿越草地沿方向到牧民区． (1)求牧民区到公路的最短距离；（结果精确到0.1） (2)你认为甲医疗队设计的两种救助方案，哪一种方案比较合理？并说明理由．（参考数据：，） 【答案】(1)最短距离约为14.6千米 (2)方案Ⅰ合理，理由见解析 【分析】此题考查了解直角三角形的应用． （1）根据已知利用三角函数可求得的值； （2）分别求出两种方案所需的时间进行比较，时间短的比较合理一些． 【详解】（1）解：由题可知，，设，则 ∴， 解得 ∴最短距离约为14.6千米 （2）解：方案Ⅰ合理． 理由： 设草地上速度为，则公路上速度为． 方案Ⅰ：．        方案Ⅱ：∵， ∴， ∴． ∵，     ∴方案Ⅰ用时少，更合理． 20．（本题满分8分）2024贵阳马拉松比赛于6月16日上午7点30分在贵阳国际会展中心北广场正式鸣枪起跑，本届马拉松赛共设置四个项目，分别是马拉松、半程马拉松、迷你马拉松以及线上马拉松．经过大家积极的参与，报名人数共计93902人，由于场地人数限制，需要抽签决定是否能够参与比赛．小红和小星类比该方式进行抽签决定是否参加某场活动，在一个不透明的袋子中放入4个完全一样的小球，分别标有1、2、3、4四个数字，小红和小星轮流从袋中摸出一球，记下号码，然后放回． (1)计算摸到小球数字为2的概率； (2)如果摸到的球号码大于2，则小红参加活动，否则小星参加活动，你认为这个抽签方式公平吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)公平，理由见解析 【分析】本题考查求简单事件的概率、判断游戏的公平性，理解题意，正确求得概率是解答的关键． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）先分别求得小红参加活动和小星参加活动的概率，若概率相等，该抽签方式公平，若概率不相等，该抽签方式不公平． 【详解】（1）解：所有等可能的结果有4种，其中摸到2的结果有1种， ∴P（摸到小球数字为2）； （2）解：公平； 理由如下：所有等可能的结果有4种，其中摸到的球号码大于2的结果有2种，不大于2的结果有2种 ∴P（小红参加活动），P（小星参加活动）， ， ∴这个抽签方式公平． 21．（本题满分8分）如图，为的直径，点C，D为直径同侧圆上的点，且点D为的中点，过点D作于点E，交于点G，延长，交于点F． (1)如图①，若，求证：； (2)如图②，若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系，勾股定理，解题的关键是根据垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系，求出； （1）连接，，根据圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系可求，即可证明； （2）连接，根据垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系可证，设的半径为r，再根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：如图①，连接，， ， ， ， ∵点D为的中点， ， ， ， ； （2）解：如图②，连接， ，为的直径， ，，， ， ， ， ， ， 设的半径为r，则， 在中，， ， 解得， 的半径为． 22．（本题满分10分）随着国家乡村振兴政策的推进、风威村农产品越来越丰富、为增加该村村民收入，把该土特产（每袋成本元）进行天销售，日销量 (袋)与每袋售价（元）记录如下： 时间 第一史 襄二灵 第三天 第四支 元 袋 若试销售和正常销售期间日销量y与每袋售价的一次函数关系相同，解决下列问题： (1)求日销量关于每袋售价的函数关系式： (2)请你帮村民设计，每袋售价定为多少元，才能使这种上特产每日销售的利润最大？并求出最大利润（利润销售额成本）． 【答案】(1) (2)每袋的销售价应定为元，每日销售的最大利润是元 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系． （1）设日销售量 (袋)与销售价(元)的函数关系式为，代入数据，利用待定系数法即可求解； （2）设利润为元，根据销售利润销售每袋土特产的利润每日的销售量，得到与的函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据表格数据，设日销售量(袋)与销售价(元)的函数关系式为， 则， 解得：， 日销售量 (袋)与销售价 (元)的函数关系式为； （2）设利润为元， 则， 配方得：， ， 当时，取得最大值，最大值为， 要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为元，每日销售的最大利润是元． 23．（本题满分10分）如图，在正方形中，，是对角线上的点，连接，过点作交射线于点，作射线交于点．    (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（）连接，证明得到，，即得，再证明，可得，即得，据此即可求证； （）证明即可求证； （）过点作于点 ，由，可得，，进而得到，即得，，，将绕点逆时针旋转得到， 连接，根据旋转的性质可得是直角三角形，，即可得，得到，，则，列出方程解答即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接，    ∵四边形为正方形， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ； （2）证明：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即； （3）解：如图，过点作于点 ，    ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 将绕点逆时针旋转得到， 连接， ∴，，，， ∴，， ∴是直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得， 即． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 24．（本题满分12分）如图，已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，对称轴轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线AC上一动点，过点P作轴，交抛物线于点Q，以P为圆心，PQ为半径作，当与坐标轴相切时，求的半径； (3)直线与抛物线交于M，N两点，求面积的最小值． 【答案】(1) (2)2或4 (3)8 【分析】（1）由题意及抛物线的对称性知：，即可求得m的值，从而用待定系数法可求得函数解析式； （2）首先求出直线的解析式为，由轴及点Q在抛物线上，可得点Q的坐标，从而求得的长度，分两种情况讨论：当与x轴相切时；当与y轴相切时；分别利用圆心到切线的距离等于半径得到方程，解方程即可求得半径； （3）由知，直线过点，则得轴，且；联立直线与抛物线的解析式，消去y得一元二次方程，可求得M与N的横坐标，再由，可得关于k的函数关系式，即可求得面积的最小值． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于点和点，对称轴为直线 、关于对称轴对称， ， 解得：， 即，， 把A、B两点坐标代入中，得， 解得： 则所求函数解析式为； （2）解：对于，令，得， ， 设直线的解析式为， 则有， 解得：， 所以直线的解析式为， 设点， 轴，点Q在抛物线上， Q的坐标为， ； 当与x轴相切时； ， 即，或， 解得：，或， 显然时点P、Q与点A重合，不合题意，则及， 当时，；当时，， 此时的半径分别为2或4； 当与y轴相切时； ， 即，或， 解得：，，或，， 显然时点P、Q与点C重合，不合题意，则及， 此时的半径分别为4或2； 综上，与坐标轴相切时，的半径分别为2或4； （3）解：当时，， 直线过点， ， 轴，且； 联立直线与抛物线的解析式得：， 消去y得：， ， ，， ， ， ， 当时，有最小值16，从而的面积有最小值． 【点睛】本题是二次函数与一次函数、圆、三角形的综合，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数的最值，圆的相切，三角形面积，解一元二次方程等知识，综合性强，灵活运用这些知识是关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$