专题04相似三角形（考点清单，9考点&17题型解读）-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（浙教版）

清单04 相似三角形（考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】比例线段 1.成比例线段：四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即 ，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段.其中b，c称作内项，a，d称作外项。 2．比例中项：如果 a:b = b:c ,那么b2=ac ，b叫做a、c的比例中项。 3．比例的性质： （1）基本性质：如果，那么.（内项之积等于外项之积） （2）合比性质：如果 如果 要点： （1）两条线段的长度必须用同一长度单位表示，若单位长度不同，先化成同一单位，再求它们的比； （2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关； （3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数． 【清单02】黄金分割 1.定义： 点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比. 要点： ≈0.618AB(叫做黄金分割值). 2.作一条线段的黄金分割点： 如图，已知线段AB，按照如下方法作图： （1）经过点B作BD⊥AB，使BD=AB. （2）连接AD，在DA上截取DE=DB. （3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点. 要点：一条线段的黄金分割点有两个. 【清单03】平行线截线段成比例 基本事实：两条直线被一组平行线(不少于3条)所截，所得的对应线段成比例 已知如图，直线l1、l2、l3是一组等距离的平行线，l4、l5是任意画的两条直线，分别于这组平行线一下相交于点A，B，C，D，E，F，则比例式 成立. 要点：上图的变式图形：分A型和X型； A型 X型 则常用的比例式：依然成立. 【清单04】相似三角形的概念 在和中，如果 我们就说与相似，记作 ∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”. 注意： (1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′； (2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等. （3）相似三角形的对应角相等，对应边成比例． 【清单05】相似多边形 相似多边形的性质： （1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似多边形的周长比等于相似比． （3）相似多边形的面积比等于相似比的平方． 要点： 用相似多边形定义判定特殊多边形的相似情况： （1）对应角都相等的两个多边形不一定相似，如：矩形； （2）对应边的比都相等的两个多边形不一定相似，如：菱形； （3）边数相同的正多边形都相似，如：正方形，正五边形. 【清单06】相似三角形的判定 1．判定方法（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似. 2．判定方法（2）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.　 3．判定方法（3）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 注意： 　　此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 判定方法（4）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 注意： 　　要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 【清单07】相似三角形的性质 性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例. 性质2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 注意：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 性质3：相似三角形周长的比等于相似比 如图一： ∽，则 由比例性质可得： 图一 性质4：相似三角形面积的比等于相似比的平方 如图二，∽，则分别作出与的高和，则 图二 注意：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 【清单08】相似三角形的应用 利用相似三角形测量高度 测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决 利用相似三角形测量距离 测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解. 1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长. 2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长. 　　 注意：　 1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离; 2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比; 3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）; 4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角． 【清单09】位似 1.位似图形定义: 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 2.位似图形的性质: （1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上； 　（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比； 　（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行. 要点： （1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未 必能构成位似图形. 3.位似变换中对应点的坐标变化规律: 在平面直角坐标系中，当以坐标原点为位似中心时,如原图形上点的坐标为(x，y)，位似图形与原图形的位似比为k，则么位似图形上的对应点的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）. 【考点题型一】比例的性质 【例1】若 ，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要查了比例的性质．根据比例的性质可得，再代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：B 【变式1-1】若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例的性质，根据，得出，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 即， 故选：A． 【变式1-2】若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，正确将已知式子变形是解题的关键．根据，得到，再代入所求式子中计算即可． 【详解】解： ， ， ， 故答案为：． 【变式1-3】若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的求值，将分式化成含有的形式，再代入的值计算即可，将分式转化为含已知值的形式，利用整体代入法是解本题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【考点题型二】成比例线段 【例2】下列四组长度的线段中，是比例线段的是（    ） A．4，5，6，7 B．3，4，6，9 C．8，4，4，2 D．5，10，10，15 【答案】C 【分析】本题考查比例线段，掌握如果四条线段a，b，c，d满足，则四条线段a，b，c，d称为比例线段（有先后顺序，不可颠倒）是解题关键．根据比例线段的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．，故该选项不符合题意； B．，故该选项不符合题意； C．，故该选项符合题意； D．，故该选项不符合题意． 故选C． 【变式2-1】东海大桥全长32.5千米，如果东海大桥在某张地图上的长为6.5厘米，那么该地图上距离与实际距离的比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查比例尺，在求比值时注意对单位进行统一，这是解题的关键．根据该地图上距离与实际距离的比，就是东海大桥地图上的长度与实际长度的比值解答即可． 【详解】解：32.5千米厘米， 所以该地图上距离与实际距离的比为． 故选C． 【变式2-2】下列四组线段中，是成比例线段的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】本题考查了成比例线段，深刻理解成比例线段的概念是解题的关键：在四条线段中，如果其中的两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．根据成比例线段的概念，通常情况下，让最小的和最大的相乘，另外两条也相乘，看它们的积是否相等即可判断它们是否成比例． 按照成比例线段的判断方法逐项分析判断即可． 【详解】解：A. ，条线段不成比例，故选项不符合题意； B. ，条线段成比例，故选项符合题意； C. ，条线段不成比例，故选项不符合题意； D. ，条线段不成比例，故选项不符合题意； 故选：． 【变式2-3】已知线段厘米，厘米，那么线段a和c的比例中项是 厘米． 【答案】6 【分析】本题考查了成比例线段，设线段a和c的比例中项为b，由题意得出，计算即可得解． 【详解】解：设线段a和c的比例中项为b， ∴，即， ∴（负值舍去）． 故答案为：6． 【考点题型三】黄金分割 【例3】如图，已知点是线段的黄金分割点（其中），，则线段的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查黄金分割，注意黄金分割的比值是，即分得的较长线段等于总线段的．根据黄金比值计算即可． 【详解】∵是线段的黄金分割点，，， ∴， ∴， 故选：D． 【变式3-1】服装厂根据学生身高制作合身的校服，主要依据是人的体形中存在黄金分割数．一名身高的同学，冬装校服裤子的长度（理论值）为 （用含根号的式子表示）． 【答案】/ 【分析】本题考查黄金分割，根据黄金分割数为，且校服裤子的长度与身高比例等于黄金比例求解即可． 【详解】解：∵黄金分割数为，且校服裤子的长度与身高比例等于黄金比例， ∴冬装校服裤子的长度（理论值）为， 故答案为：． 【变式3-2】如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段近似于黄金分割（）．已知，则的长为 ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查黄金分割点．掌握黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中较长部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，且其比值是一个无理数，用分数表示为是解题关键．根据黄金分割点的定义即得出，代入数据，求出，再利用线段和差计算即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点题型四】由平行线截得的线段 【例4】如图：在中，点、分别在、上，根据下列给定的条件，不能判断与平行的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，理解平行线分线段成比例是解答关键． 根据平行线分线段成比例来逐一进行判定求解． 【详解】解：∵， ∴，故A不合题意； ∵， ∴，故B不合题意； ∵， ∴，故C不合题意； ∵， 不能判断与平行，故D符合题意． 故选：D． 【变式4-1】如图，，若，，则的长为（   ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据题意得出，代入计算即可得解，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选C． 【变式4-2】如图，直线，直线，被直线，，所截，截得的线段分别为，，，，若，，，则的长是（  ） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例的性质，能够熟练运用其性质是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理解答即可． 【详解】解：∵直线， ， ， ， ， 故选：B． 【变式4-3】如图，点，在的边，上，连接，点为外一点，连接，，点在上，连接，，，，，，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，首先根据，，可得：，，再代入数据即可求出，继而可求． 【详解】解：，， ，， ，，， ， ， ． 【考点题型五】相似三角形的定义 【例5】如图，八个完全相同的小长方形拼成一个正方形网格，小妍、小凤、小蕾、小强四位同学用无刻度的直尺在网格中各画了一个钝角三角形，其中会相似的三角形是（　　） A．①和② B．②和③ C．①和③ D．①和④ 【答案】D 【分析】本题考查网格中的相似三角形，观察图形可知小长方形的长是宽的2倍，设小长方形的宽为，则小长方形的长为，正方形的边长为，分别求出每个三角形的边长，根据三边对应成比例的两个三角形相似，进行判断即可． 【详解】解：观察图形可知：小长方形的长是宽的2倍，设小长方形的宽为，则小长方形的长为，正方形的边长为， 图①三角形的三条边长分别为：， 图②三角形的三条边长分别为：， 图③三角形的三条边长分别为：， 图④三角形的三条边长分别为：， ∵， ∴图①和图④的两个三角形相似； 故选D． 【变式5-1】如图，△ABC和△GAF是两个全等的等腰直角三角形，图中相似三角形(不包括全等)共有（　　） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形外角的性质，相似三角形的判定；根据等腰直角三角形的性质得出，，进而可得，，根据两角相等即可得出，，，即可求解． 【详解】和是两个全等的等腰直角三角形 ， ，， ，，， 共有对． 故选：C． 【变式5-2】如图，，和分别是和的高，若，，则与的面积的比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的高之比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 【详解】解：和分别是和的高，，， 相似比为， 与的面积之比为， 故答案为：． 【考点题型六】证明三角形的相似 【例6】如图，在中，，，，将沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．由，，根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明，可判断不符合题意；由，，根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明，可判断不符合题意；由，，根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明，可判断不符合题意；由与的对应边不成比例，可知与不相似，可判断符合题意，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图1， ，， ，故A不符合题意； 如图2， ，， ，故B不符合题意； 如图3， ，，， ，， ， ， ，故C不符合题意； 如图4， 与的对应边不成比例， 与不相似， 故D符合题意， 故选：D． 【变式6-1】求证：三边成比例的两个三角形相似． 如图：已知在和中，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，在线段（或它的延长线）上截取，得出，再证明，进而得出答案． 【详解】证明：在线段（或它的延长线）上截取，过点作，交于点E，如图： ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， 在和中 ， ∴， ∴． 【变式6-2】平行四边形中，过A作，垂足为，连、为线段上一点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】该题主要考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的性质及相似三角形的判定方法． 先根据平行四边形的性质证出，再根据可得出，由此可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【变式6-3】如图，已知等腰和等腰有公共的顶点， 且，，，点恰好落在边上（与、不重合），连接． (1)求证：； (2)若与相交于点，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定，熟悉基本图形，熟练的运用以上知识是解题的关键． （1）直接证明，然后根据全等三角形的性质证明即可； （2）先证明，，从而可得结论． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：如图， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【考点题型七】相似三角形的性质 【例7】在平行四边形中，为边上的一点，且交于F，． (1)求：． (2)求的长 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形及相似三角形的性质，熟练掌握平行四边形及相似三角形的性质，能够灵活运用各图形的判定定理和性质． （1）由已知可得，可证； （2）由三角形相似，可得对应边成比例，由对应边的比例关系进而可求解的长． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，点在边上， ∴，且， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， 则， ∵， ． 【变式7-1】如图，在中，，点，，，在同一条直线上，且． (1)证明：． (2)若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法，证明三角形相似，是解题的关键． （1）等边对等角结合平角的定义，得到，即可得出，结合，即可得证； （2）根据相似三角形的性质，进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴． ∵， ∴． （2）解：∵， ∴． ∵，，， ∴， ∴（负值舍去）． 【变式7-2】如图，为等边三角形，点D，E分别在边，上，且．若，，求的度数和线段的长． 【答案】， 【分析】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的性质，三角形的外角，熟练正确相似三角形的性质是解题的关键．由得到，，代入数据即可求解，再根据外角结合等边三角形的内角为即可求出的度数． 【详解】解：为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式7-3】如图，，相交于点，． (1)求证：； (2)已知，，的面积为50，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质． （1）对顶角相等，结合，即可得出； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求解即可． 【详解】（1）证明：∵，又， ∴； （2）∵， ∴， ∴， 解得． 所以的面积为． 【考点题型八】相似三角形的动点问题 【例8】在中，， ， ，现有动点P从点A出发，沿线段向终点C运动，动点Q从点C出发，沿线段向终点B运动，连接．如果点P的速度是，点Q的速度是．它们同时出发，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为． (1)当t为多少时，的长度等于 ？ (2)当t为多少时，以C，P，Q为顶点的三角形与相似？ 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了由动点产生的相似三角形问题．熟练掌握勾股定理，相似三角形性质是解题的关键． （1）利用勾股定理得出，列方程，解方程，即可得出结论； （2）根据，分和两种情况，建立方程求解，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵中，，，，且， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得， ，或， ∵， ∴ （2）解：∵， ∴当与相似时， 一种情况是 ， ∴， ∴； 另一种情况是 ， ∴， ∴， 故当或时，以C，P，Q为顶点的三角形与相似． 【变式8-1】如图，已知是边长为的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿匀速运动，其中点P运动的速度是，点Q运动的速度是，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为，解答下列问题： (1)当时，判断的形状，并说明理由； (2)作交于点R．连接，当t为何值时，． 【答案】(1)是等边三角形 (2) 【分析】（1）当时，可分别计算出、的长，再对的形状进行判断； （2）由题目线段的长度可证得为等边三角形，进而得出四边形是矩形，由，得出比例式建立方程求解即可． 此题主要考查矩形的判定与性质，等边三角形的判定及性质、三角形相似的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解： 是等边三角形，理由如下： 当时， ，， ， ， 又， 是等边三角形； （2）解：过作，垂足为， ， ，， 是等边三角形， ， ∵ ∴ ， ∴ ， ，， 四边形是平行四边形， ， 又， ， ， ， ， 解得， 当时，． 【变式8-2】如图，在中，，，，动点M从点B出发，在边上以的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在边上以的速度向点B匀速运动，设运动时间为，连接． (1)发现：________，________（用含t的式子来表示） (2)猜想：若，则t的值为________； (3)探究：是否存在符合条件的t，使与相似？若存在，求出t的值：若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)秒 (3)或秒 【分析】本题是相似综合题目，考查了相似三角形的性质，勾股定理，含30度的直角三角形的性质等知识点，综合性较强，掌握相似三角形的性质是解题的关键， （1）利用路程等于速度乘以时间即可得出结论； （2）利用建立方程求解即可得出结论； （3）分两种情况，利用相似三角形得出比例式建立方程求解即可得出结论． 【详解】（1）解：在中，， ， ， ， 由运动知，． ， 故答案为：； （2）解：∵， ， 秒． （3）解：∵与相似， 当时， 秒； 当时， ， 秒； 即：满足条件的的值为或秒． 【考点题型九】相似三角形的应用 【例9】网球比赛时，发球往往是制胜的关键．如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，假设球沿直线前进而且落在离网4米的位置上，则拍击球的高度 ．         【答案】米 【分析】本题主要考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．由于，得到，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解： ， ， ， ， 解得， 故答案为：米． 【变式9-1】某数学兴趣小组要测量凌霄塔的高度．如图，塔前有一棵小树的高度米，发现水平地面上点、树顶和塔顶恰好在一条直线上，测得米，，之间有一个花圃距离无法测量；然后，在处放置一平面镜，沿后退，退到处恰好在平面镜中看到树顶的像，米，测量者眼睛到地面的距离为1.6米；已知，，，且、、、在同一水平线上． (1)请求出的距离； (2)请求出凌霄塔的高度．（平面镜的大小厚度忽略不计） 【答案】(1)9米 (2)40米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键. （1）根据题意可得，，再根据垂直定义可得，从而可得，然后利用相似三角形的性质进行计算可得米； （2）证明，最后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可得，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴ 解得米， （2）解：∵， ∴， ∴ ∴ 解得：米, ∴凌霄塔的高度为米． 【变式9-2】“计里画方”（比例缩放和直角坐标网格体系）是中国古代制作地图的基本方法和数学基础，是中国古代地图独立发展的重要标志．制作地图时；人们会利用测杆、水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距离的示意图中，照板平行于测杆，照板“内芯”的高度为．观测者的眼睛（图中用点表示）与在同一水平线上，已知，，． (1)求的长； (2)设为测杆上一点，且，将测杆向右平移，当与、、在同一直线上时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）证得，代入计算求解即可； （2）证得，代入计算求解即可． 【详解】（1）解：依题意，， ∴ ∴， 即， 解得． （2）解：如下图所示， ∴， ∴， 即， 解得， ∴． 【变式9-3】为了加强视力保护意识，欢欢想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但两面墙的距离只有．在一次课题学习课上，欢欢向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙两位同学设计方案新颖，构思巧妙． 甲 乙 图例 方案 如图①是测试距离为的大视力表，可以用硬纸板制作一个测试距离为的小视力表②．通过测量大视力表中“”的高度（的长），即可求出小视力表中相应的“”的高度（的长） 使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图，在相距的两面墙上分别悬挂视力表（）与平面镜（），由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿，发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼处，通过测量视力表的全长（）就可以计算出镜长 (1)甲生的方案中如果大视力表中“”的高是，那么小视力表中相应“”的高是多少？ (2)乙生的方案中如果视力表的全长为，请计算出镜长至少为多少米． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键， （1）证明，得，代入数据求解，即可得解； （2）如图，作于点，延长线交于点，证明，得，代入数据求解，即可得解． 【详解】（1）解：由题意知， ， 又， ， ， 由题意知， ， 解得， 即小视力表中相应“”的高是． （2）解：如图，如图，作于点，延长线交于点， 由题意知，， ， ∴， ， ， ， ， ， 由题意知， ， ， ， ∴镜长至少为． 【考点题型十】相似多边形 【例10】如图，下列网格中各个小正方形的边长均为1个单位长度，阴影部分的图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似图形的为（    ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．甲和丁 D．乙和丙 【答案】C 【分析】本题考查了相似图形，根据对应角相等，对应边对应成比例的图形是相似图形结合正方形的性质，进行判断即可，正确理解相似图形的概念是解题的关键． 【详解】解：由图可知，只有选项甲和丁中的对应角相等，且对应边对应成比例，它们的形状相同，大小不同，是相似图形， 故选：． 【变式10-1】下列说法正确的是（   ） A．菱形都是相似图形 B．矩形都是相似图形 C．对角线相等的菱形是正方形 D．对角线互相垂直的四边形是菱形 【答案】C 【分析】本题考查了相似图形的定义，正方形、菱形的判定，掌握相似图形的定义，菱形、正方形的判定方法是解题的关键 ． 根据相似图形的定义“形状相同，对应边成比例，对应角相等的两个图形是相似图形”，菱形，矩形的性质，正方形、菱形的判定推理即可求解． 【详解】解：A、当对应角不相等时，菱形不是相似图形，故原选项错误，不符合题意； B、当对应边不成比例时，矩形不是相似图形，故原选项错误，不符合题意； C、对角线相等的菱形是正方形，正确，符合题意； D、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故原选项错误，不符合题意； 故选：C ． 【变式10-2】下列每个选项中的两个图形，不是相似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似图形，根据相似图形的概念即可作出判断． 【详解】解：由相似图形的概念知，选项B中的两个图形不相似； 故选：B． 【考点题型十一】相似多边形的性质 【例11】如图，小福在矩形的左边分割出正方形，然后在矩形的一组对边，上分别取中点，分割出矩形和矩形，最后把矩形对半分割成矩形和矩形．若矩形与矩形相似，则矩形的宽与长的比的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，相似多边形的性质，解一元二次方程；设，，由矩形与矩形相似得，求出，解方程得，先求出，进而可求出． 【详解】解：由题意得，，，． 设，， 则，， ∵是正方形， ∴， ∴． ∵矩形与矩形相似， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴． 故选D． 【变式11-1】如图，在矩形中，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形 ，使矩形 ~ 矩形；再连接 以对角线为边，按逆时针方向作矩形使矩形 ~ 矩形····，按照此规律作下去，则边的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似多边形的性质，解此题的关键是能根据求出的结果得出规律．根据已知和矩形的性质可分别求得，利用相似多边形的性质可发现规律，根据规律即可解决问题． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， 按逆时针方向作矩形 ，使矩形 ~ 矩形， ∴矩形的边长和矩形的边长的比为， ∴矩形的对角线和矩形的对角线的比， ∵矩形的对角线为， ∴矩形的对角线， 以此类推， 矩形的对角线， 矩形的对角线， …， 矩形的对角线， ∴． 故选A． 【变式11-2】如图，，、，分别是矩形四边上的点，连结，相交于点，且，，设矩形、矩形、矩形、矩形的面积分别为、、，，矩形矩形，连接交，于点，．下列一定能求出面积的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质、相似矩形、相似三角形的性质及判定，找到关键线段的长运用三角形面积公式是解题的关键． 根据相似矩形设相似比，再运用相似三角形得出关键线段长，运用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：矩形矩形， 设矩形与矩形的相似比为，即， 设，， 则在矩形、矩形中，，， 矩形、矩形、矩形的对边互相平行，，， ，， ，， ， ，， ， ， ， 故选：A． 【考点题型十二】位似图形的判断 【例12】下列图形中不是位似图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了位似图形，正确把握位似图形的定义是解题关键．根据位似图形的定义，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫作位似图形，根据位似图形的定义逐项判断即可得出答案． 【详解】解：、是位似图形，故本选项不符合题意； 、是位似图形，故本选项不符合题意； 、是位似图形，故本选项不符合题意； 、不是位似图形，故本选项符合题意； 故选：． 【变式12-1】下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了位似的定义，如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线所在的直线相交于一点，对应边互相平行（或共线），像这样的两个图形叫做位似图形．根据位似的定义判断即可得出答案． 【详解】解：根据位似图形的定义可知，图1，图2，图4中的与成位似图形， 图3中、不平行，即与不成位似图形， 综上分析可知：与成位似图形有3个． 故选：C． 【考点题型十三】位似图形的性质 【例13】如图，是的中位线，是的中位线，连结、、．已知，，，．则的长度为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了中位线的性质和位似图形的判定与性质．通过中位线的性质得出，再证明，得出相似比为，即可得到，从而得出答案，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解： 是的中位线，是的中位线， ，， ，，， ， ∴与位似，点O为位似中心， ， 相似比为， ， ， ， 故选：B． 【变式13-1】如图，已知与是以点为位似中心的位似图形，位似比为，下列说法错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质．根据位似图形的概念、相似三角形的性质“对应点的连线都经过同一点；对应边平行”进行判断即可． 【详解】解：A、与是位似图形，则其对应边互相平行，即，原说法正确，本选项不符合题意； B、与是以点为位似中心的位似图形，位似比为，则．所以，原说法错误，本选项符合题意； C、与是位似图形，则其对应边互相平行，即，则，原说法正确，本选项不符合题意； D、与是相似图形，相似比为，则其面积之比等于相似比的平方，即，原说法正确，本选项不符合题意． 故选：B． 【变式13-2】下列图中的两个菱形是位似图形，它们的位似中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查位似变换，理解位似变换的定义是解题关键．根据位似图形对应点的连线交于一点，交点就是位似中心解答即可． 【详解】解：如图，连接对应点，交于点P，则点即为位似中心． 故选：A． 【变式13-3】如图，平面直角坐标系中，已知的顶点，以原点为位似中心，将缩小后得到，若，的面积为2，则的面积为（   ）    A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】此题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，得出两图形的位似比是解题关键． 利用位似图形的性质得出，即可得出答案． 【详解】解：已知顶点，以原点为位似中心，将缩小后得到，， ， ， ， 解得：， 故选：C． 【考点题型十四】位似图形的坐标问题 【例14】如图，在平面直角坐标系中，已知与位似，原点O是位似中心，且，则点E的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与位似图形，根据题意确定位似图形的相似比是解题的关键．根据位似图形的概念易得与的相似比为，根据位似变换的性质计算，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，与位似，原点O是位似中心，且， 即与的相似比为， 又∵， ∴点的坐标为，即点的坐标为． 故选：D． 【变式14-1】如图，在平面直角坐标系中，的顶点在第二象限，点的坐标为，点的坐标为，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形．若点的对应点的坐标为，点的对应点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查位似及相似三角形的性质与判定，熟练掌握位似及相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题得，然后可得，进而根据可求出，，最后问题可求解． 【详解】解：分别过点A、M作x轴的垂线，垂足分别为D、E，如图所示： ∵，，，， ∴，，，， ∵在x轴的下方作的位似图形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故选：D． 【变式14-2】如图，与是位似图形． (1)在网格上建立平面直角坐标系，使得点A的坐标为，点的坐标为，则点B的坐标为 ． (2)以点A为位似中心，在网格图中作，使和位似，位似比为； (3)在图上标出与的位似中心P，并写出点P的坐标为 ． 【答案】(1) (2)图见解析； (3)图见解析，． 【分析】本题考查了位似变换，正确利用位似图形的性质分析是解题的关键． （1）直接利用已知点位置得出点坐标即可； （2）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案； （3）直接利用位似图形的性质得出对应点交点即为位似中心，并得出点的坐标． 【详解】（1）解：如图：点的坐标为， 故答案为：； （2）解：在网格中取格点，，连接，如图： 由网格可知，，，， ∴， ∴和位似，位似比为， 则即为所求三角形； （3）解：如图，分别连接，，交于点，则点即为与的位似中心P， 由网格可知，点P的坐标为， 故答案为：． 【考点题型十五】相似三角形与四边形的综合题 【例15】◆模型展示◆ 如图1，把字形相似的两个三角形中的一个固定，另一个三角形绕其公共顶点旋转，在旋转的过程中生成一对新的相似三角形． ◆理解模型◆ （1）如图2，在中，，点在边上，，，连接，．则________，与的数量关系是________． （2）如图3，在和中，，，点在边上，与交于点，，求的值． ◆拓展应用◆ （3）如图4，点为正方形的边上的三等分点，以为边在上方作正方形，点为正方形的中心，若，请直接写出线段的长度． 【答案】（1）；；（2）；（3）或 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数等知识点，合理分类讨论是解题的关键． （1）利用等边三角形的判定与性质证出，即可通过全等的性质解答； （2）连接，证出得到，证出得到，证出得到，通过边的比值关系转化求解即可； （3）连接，分类讨论和时两种情况，利用边的比值关系求出和的长，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴和为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴和中， ∴ ∴， ∴ 故答案为：；； （2）解：连接，如图所示： ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）连接，分两种情况： ①当时，如图③所示： ∵四边形是正方形， ∴，对角线与互相垂直平分， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴； ②当时，如图④所示： 同①可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴； 综上所述，线段的长度为：或． 【变式15-1】【问题探究】 课外兴趣小组活动时，同学们正在解决如下问题： 如图1，在矩形中，点，分别是边，上的点，连接，，且于点，若，，求的值．      （1）请你帮助同学们解决上述问题，并说明理由． 【初步运用】 （2）如图2，在中，，，点为的中点，连接，过点作于点，交于点，求的值． 【灵活运用】 （3）如图3，在四边形中，，，，，点，分别在边，上，且，垂足为，则 ． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握矩形是四个角都是直角的平行四边形，相似三角形对应边成比例，以及正确作出辅助线，构造题中所给几何模型，进行解答． （1）证明，根据相似三角形对应边成比例，即可求解； （2）构造矩形，延长交于点G， 由（1）中结论可得：，，设，，则，，，，再证明，则，即可求出，即可求解； （3）连接，构造如图所示矩形，过点N作，交于点P，证明，，根据，得出，设，则，，得出，即可求出，由（1）中结论可得：，最后证明四边形为平行四边形，则． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：构造如图所示矩形，延长交于点G，    由（1）中结论可得：， ∵， ∴设，， ∵点为的中点， ∴， 在中，根据勾股定理可得：， ∵， ∴，则，， 解得：，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴； （3）解：连接，构造如图所示矩形，过点N作，交于点P，    ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴设，， ∴， 设， 则，， ∴，整理得：， ∴， 由（1）中结论可得：． ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式15-2】如图，矩形中，，，点为的中点，点是边上一点（不与，重合），连接，交于点．点，关于对称，点，关于对称，连接． （1）求证：. （2）①当时，_______； ②求的最小值． （3）是否存在点，使点，重合？若存在，请求出此时，的距离；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）①1；②的最小值为；（3）存在，． 【分析】（1）由相似三角形的判定可得结论； （2）①由轴对称的性质可求解； ②由点在以点为圆心，2为半径的圆上，则当点在线段上时，有最小值，由勾股定理可求解； （3）通过证明，可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴. ∵， ∴． 又， ∴． （2）①如图1，连接，， ， ， 点，关于对称，点，关于对称， ，，，， ， ， 又， 与共线， ， 故答案为1； ②连接，，，如图1. ∵，为的中点， ∴． ∵点，关于对称， ∴． ∴． ∵， 当点，，在一条直线上时，的值最小， 此时，. ∴的最小值为． （3）存在. 设点，重合的点为，如图2，连接，，. 则点，关于对称，点，关于对称. ∴，，，， ，， ∴. ∵点，，在一条直线上， ． 由，得． 即， 解得． ∴． 或由，得， 即， 解得． ∴.∴． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 【考点题型十六】相似三角形与全等三角形综合 【例16】在等腰中，，点是边上一点（不与点、重合），连结． （1）如图1，若，点关于直线的对称点为点，结，，则________； （2）若，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结． ①在图2中补全图形； ②探究与的数量关系，并证明； （3）如图3，若，且，试探究、、之间满足的数量关系，并证明． 【答案】（1）30°；（2）①见解析；②；见解析；（3），见解析 【分析】（1）先根据题意得出△ABC是等边三角形，再利用三角形的外角计算即可 （2）①按要求补全图即可 ②先根据已知条件证明△ABC是等边三角形，再证明，即可得出 （3）先证明，再证明，得出，从而证明，得出，从而证明 【详解】解：（1）∵， ∴△ABC是等边三角形 ∴∠B=60° ∵点关于直线的对称点为点 ∴AB⊥DE， ∴ 故答案为：； （2）①补全图如图2所示； ②与的数量关系为：； 证明：∵，． ∴为正三角形， 又∵绕点顺时针旋转， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． （3）连接． ∵，，∴． ∴． 又∵， ∴， ∴．∵，∴， ∴， ∴， ∴，． ∵， ∴． 又∵， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的证明及性质、全等三角形的证明及性质、三角形的外角、轴对称，熟练进行角的转换是解题的关键，相似三角形的证明是重点 【变式16-1】如图1，在四边形ABCD中，，点E在边BC上，且，，作交线段AE于点F，连接BF． （1）求证：； （2）如图2，若，，，求BE的长； （3）如图3，若BF的延长线经过AD的中点M，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）6；（3） 【分析】（1）根据平行线的性质及已知条件易证，，即可得，；再证四边形AFCD是平行四边形即可得，所以，根据SAS即可证得； （2）证明，利用相似三角形的性质即可求解； （3）延长BM、ED交于点G．易证，可得；设，，，由此可得，；再证明，根据全等三角形的性质可得．证明，根据相似三角形的性质可得，即，解方程求得x的值，继而求得的值． 【详解】（1）证明：， ； ， ，， ， ，， ，， ，， 四边形AFCD是平行四边形 在与中． ， （2）， ， 在中，， ， ， 又，， ， 在与中． ， ； ； ， ； ， ； ， ， 或（舍）； （3）延长BM、ED交于点G． 与均为等腰三角形，， ， ， 设，，， 则，， ， ， ； 在与中， ， ； ． ； ， ， ， ， ， ， ， ， （舍），， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质及判定、相似三角形的性质及判定，熟练判定三角形全等及相似是解决问题的关键． 【变式16-2】如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，点E在BC上，且EC＝AC．连接AE，F为AE的中点，CD⊥AB于D，过点E作EH∥CD交DF的延长线于点H，DH交BC于M． （1）探究∠EAB和∠BCD之间的数量关系，并证明； （2）求证AD＝EH； （3）若BC＝kAC，求的值（用含有k的代数式表示）． 【答案】（1）∠BCD＝∠BAE＋45°，见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）在直角三角形中，两锐角和为，再利用等腰直角三角形角度的特殊性，通过等量代换即可证明； （2）添加辅助线后，证明三角形全等得到对应边相等，得到一个等腰直角三角形，再利用平行线的性质，再次证明三角形全等，得到对应边相等，根据等腰直角三角形腰相等，通过等量代换即可证明； （3）引进未知数，通过证明三角形相似，得对应边成比例，通过等量代换把表示出来，即可和相比． 【详解】（1）∠BCD＝∠BAE＋45° 证明：∵CD⊥AB于点D， ∴∠CDA＝90° ∴∠CAD＋∠ACD＝90° ∵∠ACD＋∠BCD＝90°， ∴∠BCD＝∠CAD ∵AC＝CE，∠ACE＝90°， ∴∠CAE＝∠CEA＝45° ∴∠BCD＝∠CAD＝∠BAE＋∠CAE＝∠BAE＋45° （2）证明：连接CF，作FN⊥DF，垂足为点F，FN交CD于点N，作EG∥AD，EG与DH交于点G ∵∠ACE＝90°，F是AE的中点 ∴CF＝AF＝EF，CF⊥AE ∴∠AFC＝∠CFE＝90° ∵FN⊥DF，∴∠DFN＝90° ∴∠AFD＋∠AFN＝∠AFN＋∠CFN＝90°∴∠AFD＝∠CFN ∵∠BCD＝∠BAE＋45°，∠FCE＝45°， ∴∠BAE＝∠FCN，∴△ADF≌△CNF ∴FN＝FD 又∵∠DFN＝90°，∴∠FDN＝∠FND＝45° ∵HE∥CD，∴∠H＝∠FDN＝45° ∠ADF＝∠ADC＋∠FDN＝135° ∵EG//AD，∴∠FGD＝∠ADF＝135° 又∵∠AFD＝∠EFG，∴△ADF≌△EGF ∴EG＝AD ∵∠EGH＝180°－∠EGF＝180°－135°＝45°，∴∠H＝∠EGH． ∴EH＝EG． ∴AD＝EH （3）解：设AC＝CE＝m，BC＝km， ∴BE＝BC－CE＝（k－1）m ∵∠ADC＝∠ACB，∠DAC＝∠CAD， ∴△ACD∽△ABC ． ∵∠H＝∠FDN，∠HME＝∠DMC， ∴△MCD∽△MEH 又∵CM＋ME＝CE， ． ． 【点睛】本题考查了直角三角形、等腰直角三角形、三角形全等的判定与性质、相似三角形的判断与性质，题目综合性较强，解题的关键是：熟练掌握相关定理，添加适当辅助线，通过三角形全等或相似找到边角之间的等量关系，通过等量代换求解该题． 【考点题型十七】相似三角形与解析几何综合 【例17】如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与反比例函数在第一象限的图象交于点，其中a，b满足． (1)直接写出k，n的值及点A的坐标； (2)点D在反比例函数的图象上，其横坐标为m，且，过点D的正比例函数图象与反比例函数的图象的另一个交点为C，连接，四边形的面积可以为12吗？若可以，求出m的值；若不可以，请说明理由； (3)点P是x轴负半轴上一点，以为边向线段右侧作等边，若点F在双曲线关于x轴对称的图象上，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)可以， (3)或 【分析】本题主要考查了求函数解析式、一次函数与反比例函数的综合、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的就。 （1）由非负数的性质可得：，可得出一次函数的解析式为，进而求得A，再运用待定系数法即可求得k的值； （2）如图：过点A作轴交于F，过点B作轴交于G，可得，再根据题意列方程求解即可； （3）①当与x轴不垂直，如图：过点P作轴，过点B作轴，过点F作，过点P作于点H，过点H作轴于点K，设，则，可得，，设，则，可得，，利用等边三角形性质可证得，运用相似三角形性质即可解答．②当轴，交x轴于点Q，此时，进而即可求解 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴一次函数的解析式为， 当时，，解得：， ∴， 把点代入，得：，解得：， ∴， 把代入得：，解得：； ∴； （2）解：四边形的面积可以为12． 如图：过点A作轴交CD于F，过点B作轴交于G， 由题意得：，直线的解析式为， 设直线直线的解析式为，即，解得：， ∴直线的解析式为， ∴， ∵， ∴， 当时，点D在的左侧， 则 ， ∵， ∴，解得：或， ∵， ∴此时无解； 当时，点D在的右侧， 则 ， ∵， ∴，解得：或， ∵， ∴； （3）解：①当与x轴不垂直，如图：过点P作轴，过点B作轴，过点F作，过点P作于点H，过点H作轴于点K， ∵点F在双曲线关于x轴对称的图象上， ∴设，则， ∴，， 设，则， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为． ②当轴，交x轴于点Q，此时， ∴， ∴ , 综上所述：点P的坐标为或 【变式17-1】如图，反比例函数的图象经过点，点A是该图象第一象限分支上的动点，连接并延长交另一分支于点，以为对角线作菱形，使，顶点在第四象限，与轴交于点，连接．在点A的运动过程中，当平分时，点的坐标是 ． 【答案】 【分析】如图：过A作轴于点E，轴于点F，则，证，利用等面积得到，再化斜为直得到，最后建立关于m的方程求解即可． 本题主要考查了反比例函数点的坐标、菱形的性质、相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数解析式为， 如图：连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴ 如图：过A作轴于点E，轴于点F，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， 如图：过P作于点G，交延长线于点H， ∵平分， ∴， ∴， 过A作轴于点N，过C作轴于点M， ∴．， ∴，即：，解得：， ∴． 【变式17-2】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，点在轴的正半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴负半轴上的点处． (1)求直线的函数解析式； (2)在直线上存在一点，使得与相似，求点的坐标； (3)点为直线上一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线为． (2)或； (3)的坐标为：或或． 【分析】（1）先求解，，，可得，设直线为，再利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）过作于，过作于，则，证明，分两种情况：当时，则，当时，则，再进一步解答即可； （3）求解直线为，设，而，，可得，， 分两种情况：当时，当时，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与轴、轴分别交于点、点， ∴当时，，当时，， 解得：， ∴，， ∵点在轴的正半轴上， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为． （2）解：过作于，过作于， 则， ∵，，，， ∴，，，， ∴， 当时，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 同理：当时，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 综上：或； （3）解：如图，∵，， 同理可得：直线为， 设，而，， ∴，， 当时， ∴， 解得：， ∴或， 当，由平移可得：， 当，由平移可得：， 当时， ∴， 解得：， ∴， 设， ∴，， 解得：，， ∴； 综上：的坐标为：或或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，菱形的判定与性质，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，本题的难度大，作出合适的辅助线，清晰的分类讨论是解本题的关键． 【变式17-3】如图，一次函数与x轴、y轴分别交于A、C两点，二次函数图象经过A、C两点，与x轴交于另一点B，其对称轴为直线 (1)求该二次函数表达式； (2)在y轴的负半轴上是否存在一点M，使以点M、O、B为顶点的三角形与相似，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，分类讨论是本题求解的关键． （1）分别求出点，点的坐标，根据对称轴求出另一交点，再根据交点式得出答案； （2）以点、、为顶点的三角形与相似，，则或，根据正切值求解即可． 【详解】（1）解：对于，当时，，即点， 令，则，即点， ∵抛物线的对称轴为直线，则点， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， 设二次函数表达式为：， ∵抛物线过点， 则， 解得：， 故抛物线的表达式为：； （2）解：存在，理由： 在中，，，则， ∵以点M、O、B为顶点的三角形与相似，， ∴或， ∴或， 即或， 解得：或2， ∵点在轴的负半轴上， 即点M的坐标为或． 【变式17-4】如图，在平面直角坐标系中，点，点，分别在轴，轴的正半轴上，线段、的长度都是方程的解，且若点从点出发，以每秒个单位的速度沿射线运动，连结． (1)如图，判断三角形的形状，并说明理由． (2)在点运动过程中，利用图及备用图探究，当周长最短时，求点运动的时间． (3)在点的运动过程中，利用备用图探究，是否存在点，使以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)为直角三角形，理由见解析 (2) (3)存在，P点坐标为，，， 【分析】（1）先解方程，得出，，再由，即，又，得到，则，证明，判断出为直角三角形； （2）由于为定值，所以最小时，周长最短．由（1）知，那么延长至点，使，连接，交于点，此时周长最短．求出的解析式，与直线的解析式联立组成方程组，解方程组求出点坐标，进而得到点运动的时间； （3）由于，所以分两种情况进行讨论：①当时，；②当时，，分别求出的长，再分点在线段与线段的延长线上确定点的坐标． 【详解】（1）解：为直角三角形，理由如下： ， ， ，， ，． ， ， ， 又， ， ， ， ， 为直角三角形； （2）解：设直线的解析式为， ，， ，解得， ． 如图，延长至点，使，连接，交于点，此时周长最短． 与关于对称， 是的中点， ，， ． 设直线的解析式为， ， 故的解析式为， 由，解得：， ， ， ； （3）解：在点的运动过程中，存在点，能够使以点，，为顶点的三角形与相似． 分两种情况： ①当时，， 则，解得． ， 如果点在线段上，那么，此时点与点重合，即； 如果点在线段的延长线上，此时点P与点C关于点B对称， 即； ②当时，， 则，解得． ． 如果点在线段上，过点作轴，则， 可得， ， ， ， ， ， ， 如果点在线段的延长线上，此时点与点关于点B对称， 即． 综上所述，所求点坐标为，，，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，相似三角形的判定与性质，运用待定系数法求一次函数的解析式，轴对称的性质，两函数交点坐标的求法等知识，综合性较强，难度适中．运用数形结合及分类讨论是解题的关键． 【变式17-5】如图所示，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，抛物线经过A、B两点，与x轴的另一个交点为点C． (1)求抛物线的解析式： (2)点是x轴正半轴上一动点，过点E作轴于点E，交直线于点D，交抛物线于点P，联结． ①当点E在线段上时，若与相似，求点E的坐标； ②若，直接写出点E的坐标． 【答案】(1) (2)①或；②点的坐标为或 【分析】（1）把代入求出一次函数解析式，则的坐标为，再把代入中即可求出抛物线的解析式． （2）①求出，根据，求出，，结合轴，求出，设，则，，分为当和当，分别求解即可． ②求出直线的解析式，分为当点P在x轴上方时，如图，连接，延长交x轴于N，证明，求出，从而求出直线的解析式，即可求解．当点P在x轴下方时，得出，全等三角形的性质求出，求出直线的解析式即可求解． 【详解】（1）解：把代入得：， 故， 则的坐标为， 把代入中 得， 解得：， ∴抛物线的解析式的为：． （2）解：①∵， 令，则，解得：或3， ∴， 又∵， ∴，，， 又轴， ， ， ， ∵， ∴，， ， 当，即时，， 解得：（舍去）或， 故； 当，即时，， 解得：（舍去）或， 故， 综上，或． ②∵点，， 设直线的解析式为：， 则，解得：， ∴直线的解析式为：， 当点P在x轴上方时，如图，连接，延长交x轴于N， ， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为：，则，解得：， ∴直线的解析式为：， ， 解得：（舍去）． ∴ 当点P在x轴下方时，如下图所示： ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为：，则，解得：， ∴直线的解析式为：， ， 解得：（舍去）， ∴ 综上所述：点的坐标为：或． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与x轴的交点问题，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质和判定，一次函数解析式求解，注意相似三角形分情况讨论．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键． 1．如图，，，，，那么的值等于（   ） A．5 B．6 C．7 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，根据，得出，然后再代入数据求值即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， 解得：． 故选：B． 2．一片小小的树叶也蕴含着“黄金分割”，给人以美感．如图，若将抽象地看成一条线段，点P为的黄金分割点，下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查黄金分割，解题的关键是根据黄金分割的定义得出比例式即可． 【详解】解：因为点为线段的黄金分割点，且， 所以， 显然四个选项只有选项符合题意． 故选：A． 3．若线段a，b，c，d是成比例线段，且，，，则（ ） A． B．8 C．2 D．3 【答案】B 【分析】此题考查了比例线段，掌握比例线段的性质是本题的关键．根据四条线段成比例，列出比例式，再把，，代入计算即可． 【详解】解：线段a，b，c，d是成比例线段， ， ，，， ， ， 故选：． 4．若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例的性质，分式的求值，设，代入约分化简即可． 【详解】解：∵， ∴设，代入，得 ． 故选A． 5．如图，在平面直角坐标中，正方形与正方形是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为 点A， B ， E 在x轴上，若正方形的边长为 12， 则 C点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质，正确得出的长是解题关键．直接利用位似图形的性质结合相似比得出的长，进而得出，进而得出的长，即可得出答案． 【详解】解：正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为， ，， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 点坐标为：， 故选：C． 6．如图，矩形，小福在矩形左边分割出正方形，然后小龙在右边矩形的一组对边上分别取中点M，N分割出矩形和矩形，最后小马把矩形对半分割成矩形和矩形，若矩形与矩形相似，则矩形的宽与长的比（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，相似多边形的性质，解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 设，，由矩形与矩形相似得，求出，解方程得，先求出，进而可求出． 【详解】解：由题意得，，，． 设，， 则，， ∵是正方形， ∴， ∴． ∵矩形与矩形相似， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴． 故选D． 7．如图，正方形的边长为，以点为坐标原点建立平面直角坐标系，与轴交于点．若点恰好是的中点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，过点作轴于点，根据是的中点，可得，在中，运用勾股定理可得，根据题意可得，由此可算出，，因为点在第四象限，由此即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 是的中点，， ， 在中， ， ∵， ∴， ，即， ，， ， 点在第四象限， 点的坐标为． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，坐标与图形的综合，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 8．如图，直线、与这三条平行线分别交于点A、D、F和点B、C、E．若，，则的长为（    ） A．4.4 B．5.5 C．9.9 D．10.1 【答案】B 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算，得到答案． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴，解得， 故选：B． 9．如图所示，矩形与矩形是位似图形，点是位似中心，矩形的周长是，，，则和的长分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了位似图形的性质，根据矩形的性质得到，根据位似变换的性质得到，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案．熟练掌握位似图形的任意一对对应点与位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比是解答本题的关键．也考查了平行线分线段成比例定理． 【详解】解：∵矩形的周长是24， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵矩形与矩形是位似图形， ∴， ∴，， ∴，即， 解得，， 则， 故选：B． 10．如图，在矩形中，，，连结，，分别在边，上，连结，分别交于点，，若，，则下列结论中：①；②；③；④．结论正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据矩形的性质判定①，证明可判定②，证明可判定③，证明可判定④． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， ∴，故①正确； ，， 在中，由勾股定理可得：， ， ∴， ∴， ，， ∴， ∴，故③正确； 在中，， ∵，， ∴， ， ， ∴， ， ∴，故②正确； ， ， ∴， ∵，， ∴， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， ，故④错误， 综上，正确的有3个． 故本题选：C． 11．已知一张地图的比例尺是，量得北京到上海的图上距离约为，则北京到上海的实际距离大约是 ． 【答案】960 【分析】本题主要考查了图上距离与实际距离的换算，熟知比例尺的定义是解题的关键． 根据比例尺图上距离实际距离进行求解即可． 【详解】∵一张地图的比例尺是，量得北京到上海的图上距离约为， ∴ ∴北京到上海的实际距离大约是． 故答案为：960． 12．如图，在中，点，，分别在，，上，，．若，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键，根据，，得，代入，，，求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，，， ∴， 解得： ． 故答案为． 13．如图，在中，是斜边上的高，于点．除自身外，图中与相似的三角形的个数是 ． 【答案】 【分析】根据是斜边上的高，于点，得，，再根据相似三角形的判定，即可． 【详解】∵是斜边上的高，于点， ∴，， 在和中， ∵， ∴； 在和中， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， 在和中， ， ∴； ∴图中与相似的三角形有个． 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理． 14．如图，为等腰三角形，，于点D，于点E，与交于点F，连接并延长交于点G．若，，则的长度为 ． 【答案】 【分析】首先根据三角形的高的性质得到，然后根据等腰三角形的三线合一性质，得出，接着根据勾股定理求出，再根据面积法求出，进一步得出，最后根据相似三角形的判定与性质，即可求出答案． 【详解】，， 点F是两边上的高的交点， ， ， ， ， ， ， 解得， ， ，， ， ， ， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形的高的性质，等腰三角形的三线合一性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 15．如图，在正六边形中，，分别是，的重心，若，则线段的长为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了重心的性质以及相似三角形的性质，依据重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为：，即可得到，再根据相似三角形的性质，即可得到的长．解决问题的关键是掌握：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为． 【详解】解：如图所示，取的中点，连接，，则点在上，点在上，   ，分别是，的重心， ∴， 连接，，则， ∴． 正六边形的边长为， ∴，， ∴， ， ∴． 故答案为：． 16．如图，已知点、及双曲线．若以点P为位似中心，将放大为原来的两倍后得到对应的，使得点D、F恰好在双曲线上，则点P的坐标为 ． 【答案】或 【分析】分点P在第三象限和第一象限两种情况，根据题意知，，设，则，根据，可求出点D、E、F的坐标，根据待定系数法求出设直线、的解析式，即可求出点P的坐标． 【详解】解∶∵、， ∴，， ①当点P在第三象限时， ∵将放大为原来的两倍后得到对应的， ∴，， ∵点D、F恰好在双曲线上， 设，则， ∴， 解得，或（舍去）， 经检验，是原方程的解， ∴，， ∴， 设直线的解析式为，直线的解析式为， ∴，， 解得，， ∴直线的解析式为，直线的解析式为， 联立方程组， 解得， ∴； ②当点P在第一象限时， P与①中的E重合时，与关于点E位似，位似比为2， ∴， 综上，P的坐标为或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质，位似图形的性质等知识，求出D、E、F的坐标是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想． 17．已知线段a、b满足，且． (1)求a、b的值； (2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解决问题的关键． （1）利用，可设，，则，然后解出k的值即可得到a、b的值； （2）根据比例中项的定义得到，即，然后根据算术平方根的定义求解． 【详解】（1）解：设， 则，， 所以，， 解得， 所以，，； （2）∵线段x是线段a、b的比例中项， ∴， ∴线段． 18．如图，已知，它们依次交直线，于点，，和点，，，且，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例．由，可得，即，由，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得，， ∵，即， 解得，， ∴， 19．如图，点O，B，A的坐标为，，． (1)将绕点O按逆时针方向旋转到，画出，则的坐标为 ； (2)以O为位似中心在y轴左侧画，使与的位似比为，则的面积为 ． 【答案】(1)图见解析， (2)图见解析，12 【分析】本题主要考查了图形的坐标与变换—旋转变换，位似图形： （1）根据旋转变换的性质找到点B，C的对应点，即可求解； （2）根据位似变换的性质找到点A，B，C的对应点，再利用三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求；     点的坐标为； 故答案为：； （2）解：如图，即为所求； 的面积为． 故答案为：12． 20．如图，已知梯形中，，，，，为一动点从点出发，沿方向，以的速度向由点向点运动；为另一动点，从出发，沿方向，以的速度向由点向点运动，当其中一动点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为秒． (1)如图1，当运动秒时，恰好有，求的值； (2)如图2，过点作于点． ①在运动过程中，是否存在秒时，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合条件的的值；若不存在，请说明理由． ②在运动过程中，是否存在秒时，使得以、、为顶点的三角形恰好是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值（直接写出答案）；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)秒 (2)①存在，秒或秒；②存在，秒或秒或秒 【分析】（1）根据题意，得：，，根据相似三角形的性质得，即，求解即可； （2）①过点作于点，证明四边形是矩形，得，，在中，，设，得，，证明得，得，，分两种情况求解：当时；当时； ②过点作于点，证明四边形是矩形，得，，∴，在中，， 在中，，，分三种情况求解：当时；当时． 【详解】（1）解：∵点沿方向以的速度向由点向点运动；点沿方向以的速度向由点向点运动， ∴点由点到点的运动时间为：（秒）， 点由点到点的运动时间为：（秒）， ∵运动时间为秒， ∴，， ∵， ∴，即， 解得：， 经检验：是原方程的解且符合题意， ∴的值为秒； （2）①过点作于点， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∵运动时间为秒， ∴， 设， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， 存在以、、为顶点的三角形与相似， 当时， ∴，即， 解得：， ∴（秒）； 当时， ∴，即， 解得：， ∴（秒）； 综上所述，的值为秒或秒时，以、、为顶点的三角形与相似； ②过点作于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， 在中，， ， 存在以、、为顶点的三角形恰好是等腰三角形； 当时，得：， ∴， 解得：，， ∵， ∴（不合题意，舍去），； 当时，得：， ∴， 解得：， ∴； 当时，得：， ， 解得：，， （不合题意舍去），； 综上所述，当的值为秒或秒或秒时，以、、为顶点的三角形恰好是等腰三角形． 【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定，矩形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的定义等知识点．利用方程的思想和分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 21．为了加快城市发展，保障市民出行方便，某市在流经该市的河流上架起一座桥，连通南北，铺就城市繁荣之路．小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算该桥的长．如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点B和点C，分别在，的延长线上取点D，E，使得．经测量，米，米，且点E到河岸的距离为90米．已知于点F，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥的长度． 【答案】桥长120米 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，正确作出辅助线、构造相似三角形成为解题的关键． 如图：过E作于G，依据，即可得出，依据，即可得到，进而得出的长即可． 【详解】解：如图所示，过E作于G， ∵， ， ， ， ， ， ， ，即：，解得：． ∴桥的长度为120米． 22．如图，抛物线交x轴负半轴于点 A，交y轴于点B，过抛物线的顶点C作轴，D为垂足，四边形是平行四边形． （1）求a的值． （2）作轴，交抛物线于另一点E，交于点F，求的长． 【答案】（1）-1；（2）． 【分析】（1）由抛物线的表达式得，可求得，根据四边形是平行四边形得到，则可得点坐标是，把代入可求出a的值； （2）由（1）得，令，得，则点坐标是，根据抛物线的对称轴，轴，得到，利用得到，得，可求得，则有． 【详解】（1）解：由抛物线的表达式得     ∵轴，∴ ∵四边形是平行四边形 ∴， ∴     把代入 ∴         （2）解：由（1）得， 令，得， ∴， ∴， ∵抛物线的对称轴，轴， ∴， ∵，， ∴， 由，得， ∴， ∴， 【点睛】此题考查了二次函数的基本性质，待定系数法求二次函数解析式，平行四边形的基本性质，相似三角形的判定与性质，熟悉相关性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单04 相似三角形（考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】比例线段 1.成比例线段：四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即 ，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段.其中b，c称作内项，a，d称作外项。 2．比例中项：如果 a:b = b:c ,那么b2=ac ，b叫做a、c的比例中项。 3．比例的性质： （1）基本性质：如果，那么.（内项之积等于外项之积） （2）合比性质：如果 如果 要点： （1）两条线段的长度必须用同一长度单位表示，若单位长度不同，先化成同一单位，再求它们的比； （2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关； （3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数． 【清单02】黄金分割 1.定义： 点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比. 要点： ≈0.618AB(叫做黄金分割值). 2.作一条线段的黄金分割点： 如图，已知线段AB，按照如下方法作图： （1）经过点B作BD⊥AB，使BD=AB. （2）连接AD，在DA上截取DE=DB. （3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点. 要点：一条线段的黄金分割点有两个. 【清单03】平行线截线段成比例 基本事实：两条直线被一组平行线(不少于3条)所截，所得的对应线段成比例 已知如图，直线l1、l2、l3是一组等距离的平行线，l4、l5是任意画的两条直线，分别于这组平行线一下相交于点A，B，C，D，E，F，则比例式 成立. 要点：上图的变式图形：分A型和X型； A型 X型 则常用的比例式：依然成立. 【清单04】相似三角形的概念 在和中，如果 我们就说与相似，记作 ∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”. 注意： (1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′； (2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等. （3）相似三角形的对应角相等，对应边成比例． 【清单05】相似多边形 相似多边形的性质： （1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似多边形的周长比等于相似比． （3）相似多边形的面积比等于相似比的平方． 要点： 用相似多边形定义判定特殊多边形的相似情况： （1）对应角都相等的两个多边形不一定相似，如：矩形； （2）对应边的比都相等的两个多边形不一定相似，如：菱形； （3）边数相同的正多边形都相似，如：正方形，正五边形. 【清单06】相似三角形的判定 1．判定方法（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似. 2．判定方法（2）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.　 3．判定方法（3）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 注意： 　　此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 判定方法（4）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 注意： 　　要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 【清单07】相似三角形的性质 性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例. 性质2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 注意：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 性质3：相似三角形周长的比等于相似比 如图一： ∽，则 由比例性质可得： 图一 性质4：相似三角形面积的比等于相似比的平方 如图二，∽，则分别作出与的高和，则 图二 注意：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 【清单08】相似三角形的应用 利用相似三角形测量高度 测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决 利用相似三角形测量距离 测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解. 1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长. 2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长. 　　 注意：　 1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离; 2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比; 3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）; 4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角． 【清单09】位似 1.位似图形定义: 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 2.位似图形的性质: （1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上； 　（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比； 　（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行. 要点： （1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未 必能构成位似图形. 3.位似变换中对应点的坐标变化规律: 在平面直角坐标系中，当以坐标原点为位似中心时,如原图形上点的坐标为(x，y)，位似图形与原图形的位似比为k，则么位似图形上的对应点的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）. 【考点题型一】比例的性质 【例1】若 ，则（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】若，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】若，则的值是 ． 【变式1-3】若，则的值为 ． 【考点题型二】成比例线段 【例2】下列四组长度的线段中，是比例线段的是（    ） A．4，5，6，7 B．3，4，6，9 C．8，4，4，2 D．5，10，10，15 【变式2-1】东海大桥全长32.5千米，如果东海大桥在某张地图上的长为6.5厘米，那么该地图上距离与实际距离的比为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】下列四组线段中，是成比例线段的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【变式2-3】已知线段厘米，厘米，那么线段a和c的比例中项是 厘米． 【考点题型三】黄金分割 【例3】如图，已知点是线段的黄金分割点（其中），，则线段的大小是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】服装厂根据学生身高制作合身的校服，主要依据是人的体形中存在黄金分割数．一名身高的同学，冬装校服裤子的长度（理论值）为 （用含根号的式子表示）． 【变式3-2】如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段近似于黄金分割（）．已知，则的长为 ．（结果保留根号） 【考点题型四】由平行线截得的线段 【例4】如图：在中，点、分别在、上，根据下列给定的条件，不能判断与平行的是（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，，若，，则的长为（   ） A．6 B．9 C．12 D．15 【变式4-2】如图，直线，直线，被直线，，所截，截得的线段分别为，，，，若，，，则的长是（  ） A． B．3 C． D．4 【变式4-3】如图，点，在的边，上，连接，点为外一点，连接，，点在上，连接，，，，，，求的值． 【考点题型五】相似三角形的定义 【例5】如图，八个完全相同的小长方形拼成一个正方形网格，小妍、小凤、小蕾、小强四位同学用无刻度的直尺在网格中各画了一个钝角三角形，其中会相似的三角形是（　　） A．①和② B．②和③ C．①和③ D．①和④ 【变式5-1】如图，△ABC和△GAF是两个全等的等腰直角三角形，图中相似三角形(不包括全等)共有（　　） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【变式5-2】如图，，和分别是和的高，若，，则与的面积的比为（    ） A． B． C． D． 【考点题型六】证明三角形的相似 【例6】如图，在中，，，，将沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】求证：三边成比例的两个三角形相似． 如图：已知在和中，，求证：． 【变式6-2】平行四边形中，过A作，垂足为，连、为线段上一点，且．求证：． 【变式6-3】如图，已知等腰和等腰有公共的顶点， 且，，，点恰好落在边上（与、不重合），连接． (1)求证：； (2)若与相交于点，求证：． 【考点题型七】相似三角形的性质 【例7】在平行四边形中，为边上的一点，且交于F，． (1)求：． (2)求的长 【变式7-1】如图，在中，，点，，，在同一条直线上，且． (1)证明：． (2)若，，求的长度． 【变式7-2】如图，为等边三角形，点D，E分别在边，上，且．若，，求的度数和线段的长． 【变式7-3】如图，，相交于点，． (1)求证：； (2)已知，，的面积为50，求的面积． 【考点题型八】相似三角形的动点问题 【例8】在中，， ， ，现有动点P从点A出发，沿线段向终点C运动，动点Q从点C出发，沿线段向终点B运动，连接．如果点P的速度是，点Q的速度是．它们同时出发，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为． (1)当t为多少时，的长度等于 ？ (2)当t为多少时，以C，P，Q为顶点的三角形与相似？ 【变式8-1】如图，已知是边长为的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿匀速运动，其中点P运动的速度是，点Q运动的速度是，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为，解答下列问题： (1)当时，判断的形状，并说明理由； (2)作交于点R．连接，当t为何值时，． 【变式8-2】如图，在中，，，，动点M从点B出发，在边上以的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在边上以的速度向点B匀速运动，设运动时间为，连接． (1)发现：________，________（用含t的式子来表示） (2)猜想：若，则t的值为________； (3)探究：是否存在符合条件的t，使与相似？若存在，求出t的值：若不存在，请说明理由． 【考点题型九】相似三角形的应用 【例9】网球比赛时，发球往往是制胜的关键．如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，假设球沿直线前进而且落在离网4米的位置上，则拍击球的高度 ．         【变式9-1】某数学兴趣小组要测量凌霄塔的高度．如图，塔前有一棵小树的高度米，发现水平地面上点、树顶和塔顶恰好在一条直线上，测得米，，之间有一个花圃距离无法测量；然后，在处放置一平面镜，沿后退，退到处恰好在平面镜中看到树顶的像，米，测量者眼睛到地面的距离为1.6米；已知，，，且、、、在同一水平线上． (1)请求出的距离； (2)请求出凌霄塔的高度．（平面镜的大小厚度忽略不计） 【变式9-2】“计里画方”（比例缩放和直角坐标网格体系）是中国古代制作地图的基本方法和数学基础，是中国古代地图独立发展的重要标志．制作地图时；人们会利用测杆、水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距离的示意图中，照板平行于测杆，照板“内芯”的高度为．观测者的眼睛（图中用点表示）与在同一水平线上，已知，，． (1)求的长； (2)设为测杆上一点，且，将测杆向右平移，当与、、在同一直线上时，求的值． 【变式9-3】为了加强视力保护意识，欢欢想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但两面墙的距离只有．在一次课题学习课上，欢欢向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙两位同学设计方案新颖，构思巧妙． 甲 乙 图例 方案 如图①是测试距离为的大视力表，可以用硬纸板制作一个测试距离为的小视力表②．通过测量大视力表中“”的高度（的长），即可求出小视力表中相应的“”的高度（的长） 使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图，在相距的两面墙上分别悬挂视力表（）与平面镜（），由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿，发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼处，通过测量视力表的全长（）就可以计算出镜长 (1)甲生的方案中如果大视力表中“”的高是，那么小视力表中相应“”的高是多少？ (2)乙生的方案中如果视力表的全长为，请计算出镜长至少为多少米． 【考点题型十】相似多边形 【例10】如图，下列网格中各个小正方形的边长均为1个单位长度，阴影部分的图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似图形的为（    ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．甲和丁 D．乙和丙 【变式10-1】下列说法正确的是（   ） A．菱形都是相似图形 B．矩形都是相似图形 C．对角线相等的菱形是正方形 D．对角线互相垂直的四边形是菱形 【变式10-2】下列每个选项中的两个图形，不是相似图形的是（    ） A． B． C． D． 【考点题型十一】相似多边形的性质 【例11】如图，小福在矩形的左边分割出正方形，然后在矩形的一组对边，上分别取中点，分割出矩形和矩形，最后把矩形对半分割成矩形和矩形．若矩形与矩形相似，则矩形的宽与长的比的值为（   ） A． B． C． D． 【变式11-1】如图，在矩形中，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形 ，使矩形 ~ 矩形；再连接 以对角线为边，按逆时针方向作矩形使矩形 ~ 矩形····，按照此规律作下去，则边的长为（   ） A． B． C． D． 【变式11-2】如图，，、，分别是矩形四边上的点，连结，相交于点，且，，设矩形、矩形、矩形、矩形的面积分别为、、，，矩形矩形，连接交，于点，．下列一定能求出面积的条件是（   ） A． B． C． D． 【考点题型十二】位似图形的判断 【例12】下列图形中不是位似图形的是（     ） A． B． C． D． 【变式12-1】下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点题型十三】位似图形的性质 【例13】如图，是的中位线，是的中位线，连结、、．已知，，，．则的长度为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式13-1】如图，已知与是以点为位似中心的位似图形，位似比为，下列说法错误的是（ ） A． B． C． D． 【变式13-2】下列图中的两个菱形是位似图形，它们的位似中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式13-3】如图，平面直角坐标系中，已知的顶点，以原点为位似中心，将缩小后得到，若，的面积为2，则的面积为（   ）    A．2 B．4 C．8 D．16 【考点题型十四】位似图形的坐标问题 【例14】如图，在平面直角坐标系中，已知与位似，原点O是位似中心，且，则点E的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式14-1】如图，在平面直角坐标系中，的顶点在第二象限，点的坐标为，点的坐标为，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形．若点的对应点的坐标为，点的对应点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式14-2】如图，与是位似图形． (1)在网格上建立平面直角坐标系，使得点A的坐标为，点的坐标为，则点B的坐标为 ． (2)以点A为位似中心，在网格图中作，使和位似，位似比为； (3)在图上标出与的位似中心P，并写出点P的坐标为 ． 【考点题型十五】相似三角形与四边形的综合题 【例15】◆模型展示◆ 如图1，把字形相似的两个三角形中的一个固定，另一个三角形绕其公共顶点旋转，在旋转的过程中生成一对新的相似三角形． ◆理解模型◆ （1）如图2，在中，，点在边上，，，连接，．则________，与的数量关系是________． （2）如图3，在和中，，，点在边上，与交于点，，求的值． ◆拓展应用◆ （3）如图4，点为正方形的边上的三等分点，以为边在上方作正方形，点为正方形的中心，若，请直接写出线段的长度． 【变式15-1】【问题探究】 课外兴趣小组活动时，同学们正在解决如下问题： 如图1，在矩形中，点，分别是边，上的点，连接，，且于点，若，，求的值．      （1）请你帮助同学们解决上述问题，并说明理由． 【初步运用】 （2）如图2，在中，，，点为的中点，连接，过点作于点，交于点，求的值． 【灵活运用】 （3）如图3，在四边形中，，，，，点，分别在边，上，且，垂足为，则 ． 【变式15-2】如图，矩形中，，，点为的中点，点是边上一点（不与，重合），连接，交于点．点，关于对称，点，关于对称，连接． （1）求证：. （2）①当时，_______； ②求的最小值． （3）是否存在点，使点，重合？若存在，请求出此时，的距离；若不存在，请说明理由． 【考点题型十六】相似三角形与全等三角形综合 【例16】在等腰中，，点是边上一点（不与点、重合），连结． （1）如图1，若，点关于直线的对称点为点，结，，则________； （2）若，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结． ①在图2中补全图形； ②探究与的数量关系，并证明； （3）如图3，若，且，试探究、、之间满足的数量关系，并证明． 【变式16-1】如图1，在四边形ABCD中，，点E在边BC上，且，，作交线段AE于点F，连接BF． （1）求证：； （2）如图2，若，，，求BE的长； （3）如图3，若BF的延长线经过AD的中点M，求的值． 【变式16-2】如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，点E在BC上，且EC＝AC．连接AE，F为AE的中点，CD⊥AB于D，过点E作EH∥CD交DF的延长线于点H，DH交BC于M． （1）探究∠EAB和∠BCD之间的数量关系，并证明； （2）求证AD＝EH； （3）若BC＝kAC，求的值（用含有k的代数式表示）． 【考点题型十七】相似三角形与解析几何综合 【例17】如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与反比例函数在第一象限的图象交于点，其中a，b满足． (1)直接写出k，n的值及点A的坐标； (2)点D在反比例函数的图象上，其横坐标为m，且，过点D的正比例函数图象与反比例函数的图象的另一个交点为C，连接，四边形的面积可以为12吗？若可以，求出m的值；若不可以，请说明理由； (3)点P是x轴负半轴上一点，以为边向线段右侧作等边，若点F在双曲线关于x轴对称的图象上，求点P的坐标． 【变式17-1】如图，反比例函数的图象经过点，点A是该图象第一象限分支上的动点，连接并延长交另一分支于点，以为对角线作菱形，使，顶点在第四象限，与轴交于点，连接．在点A的运动过程中，当平分时，点的坐标是 ． 【变式17-2】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，点在轴的正半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴负半轴上的点处． (1)求直线的函数解析式； (2)在直线上存在一点，使得与相似，求点的坐标； (3)点为直线上一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式17-3】如图，一次函数与x轴、y轴分别交于A、C两点，二次函数图象经过A、C两点，与x轴交于另一点B，其对称轴为直线 (1)求该二次函数表达式； (2)在y轴的负半轴上是否存在一点M，使以点M、O、B为顶点的三角形与相似，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； 【变式17-4】如图，在平面直角坐标系中，点，点，分别在轴，轴的正半轴上，线段、的长度都是方程的解，且若点从点出发，以每秒个单位的速度沿射线运动，连结． (1)如图，判断三角形的形状，并说明理由． (2)在点运动过程中，利用图及备用图探究，当周长最短时，求点运动的时间． (3)在点的运动过程中，利用备用图探究，是否存在点，使以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式17-5】如图所示，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，抛物线经过A、B两点，与x轴的另一个交点为点C． (1)求抛物线的解析式： (2)点是x轴正半轴上一动点，过点E作轴于点E，交直线于点D，交抛物线于点P，联结． ①当点E在线段上时，若与相似，求点E的坐标； ②若，直接写出点E的坐标． 1．如图，，，，，那么的值等于（   ） A．5 B．6 C．7 D．4 2．一片小小的树叶也蕴含着“黄金分割”，给人以美感．如图，若将抽象地看成一条线段，点P为的黄金分割点，下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 3．若线段a，b，c，d是成比例线段，且，，，则（ ） A． B．8 C．2 D．3 4．若，则的值是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标中，正方形与正方形是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为 点A， B ， E 在x轴上，若正方形的边长为 12， 则 C点坐标为（    ） A． B． C． D． 6．如图，矩形，小福在矩形左边分割出正方形，然后小龙在右边矩形的一组对边上分别取中点M，N分割出矩形和矩形，最后小马把矩形对半分割成矩形和矩形，若矩形与矩形相似，则矩形的宽与长的比（    ） A． B． C． D． 7．如图，正方形的边长为，以点为坐标原点建立平面直角坐标系，与轴交于点．若点恰好是的中点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 8．如图，直线、与这三条平行线分别交于点A、D、F和点B、C、E．若，，则的长为（    ） A．4.4 B．5.5 C．9.9 D．10.1 9．如图所示，矩形与矩形是位似图形，点是位似中心，矩形的周长是，，，则和的长分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 10．如图，在矩形中，，，连结，，分别在边，上，连结，分别交于点，，若，，则下列结论中：①；②；③；④．结论正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．已知一张地图的比例尺是，量得北京到上海的图上距离约为，则北京到上海的实际距离大约是 ． 12．如图，在中，点，，分别在，，上，，．若，，，则的长为 ． 13．如图，在中，是斜边上的高，于点．除自身外，图中与相似的三角形的个数是 ． 14．如图，为等腰三角形，，于点D，于点E，与交于点F，连接并延长交于点G．若，，则的长度为 ． 15．如图，在正六边形中，，分别是，的重心，若，则线段的长为 ．    16．如图，已知点、及双曲线．若以点P为位似中心，将放大为原来的两倍后得到对应的，使得点D、F恰好在双曲线上，则点P的坐标为 ． 17．已知线段a、b满足，且． (1)求a、b的值； (2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 18．如图，已知，它们依次交直线，于点，，和点，，，且，求的长． 19．如图，点O，B，A的坐标为，，． (1)将绕点O按逆时针方向旋转到，画出，则的坐标为 ； (2)以O为位似中心在y轴左侧画，使与的位似比为，则的面积为 ． 20．如图，已知梯形中，，，，，为一动点从点出发，沿方向，以的速度向由点向点运动；为另一动点，从出发，沿方向，以的速度向由点向点运动，当其中一动点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为秒． (1)如图1，当运动秒时，恰好有，求的值； (2)如图2，过点作于点． ①在运动过程中，是否存在秒时，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合条件的的值；若不存在，请说明理由． ②在运动过程中，是否存在秒时，使得以、、为顶点的三角形恰好是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值（直接写出答案）；若不存在，请说明理由． 21．为了加快城市发展，保障市民出行方便，某市在流经该市的河流上架起一座桥，连通南北，铺就城市繁荣之路．小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算该桥的长．如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点B和点C，分别在，的延长线上取点D，E，使得．经测量，米，米，且点E到河岸的距离为90米．已知于点F，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥的长度． 22．如图，抛物线交x轴负半轴于点 A，交y轴于点B，过抛物线的顶点C作轴，D为垂足，四边形是平行四边形． （1）求a的值． （2）作轴，交抛物线于另一点E，交于点F，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$