专题03圆的基本性质（考题猜想，易错必刷69题19种题型）-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（浙教版）

专题3圆的基本性质（考题猜想易错必刷69题19种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 圆的基本概念 · 判断点与圆的位置关系 · 三角形的外接圆 · 旋转现象与旋转图案 · 旋转的性质 · 旋转的作图题 · 旋转后点的坐标 · 旋转的综合题 · 利用垂径定理求值 · 垂径定理的应用 · 弦、弧、圆心角的关系 · 圆周角定理 · 同弧或等弧所对的圆周角相等 · 90°圆周角所对的弧是半圆 · 圆的内接四边形角度问题 · 圆的外接四边形长度问题 · 圆与正多边形综合 · 求弧长或扇形半径 · 求扇形与不规则图形面积 一．圆的基本概念（共3小题） 1．（24-25九年级上·全国·期末）给出下列说法： ①能够互相重合的两个圆叫作等圆； ②长度相等的弧是等弧； ③以2cm长的半径的圆有无数个； ④平面上任意三点能确定一个圆，其中正确的有（  ） A．②④ B．①③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了圆的相关性质，解题关键是熟练掌握等圆、等弧等知识点，逐个判断即可． 【详解】解：①能够互相重合的两个圆叫作等圆，说法正确； ②能够互相重合的弧是等弧，原说法错误； ③以2cm长的半径的圆有无数个，说法正确； ④平面上不在同一直线上的三点能确定一个圆，原说法错误； 故选：B． 2．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）已知是半径为5的圆的一条弦，那么的长不可能是（   ） A．1 B．5 C．3 D．11 【答案】D 【分析】本题考查了圆的半径，直径，弦的关系，掌握直径是圆中最长的弦是解题的关键． 根据圆的相关概念，及直径是圆中最长的弦的相关知识进行判定即可求解． 【详解】解：已知半径为5的圆， ∴该圆的中最长的弦即为直径，值为， ∴弦最长不能超过， ∴D选项不符合题意， 故选：D ． 3．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，中，，，以为圆心、为半径的圆交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆的有关概念，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，先求得，再由等腰三角形的性质求出，则与互余，解题的关键是掌握等腰三角形的性质． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 二、判断点与圆的位置关系（共3小题） 4．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知的半径为1，，则点在（   ） A．内 B．上 C．外 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，判断点与圆的位置关系．根据点在圆上，则；点在圆外，则；点在圆内，则（即点到圆心的距离，即圆的半径）进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴点与的位置关系是点在圆外， 故选：C． 5．（24-25九年级上·浙江·期中）如图，在中，，点为的中点，以点为圆心，5为半径作，则下列判断错误的是（    ） A．点在上 B．点在上 C．点在外 D．的中点在外 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的性质，点与圆的位置关系，等边三角形的判定和性质等知识，掌握点与圆的三种位置关系是解题关键．连接，取中点，连接，根据直角三角形的性质，得到，，与半径比较，可判断ABC选项；证明是等边三角形，得到，在中，，可判断D选项． 【详解】解：如图，连接，取中点，连接， ，点为的中点， ，， ， 以点为圆心，5为半径作， ， 点和点在上，A、B选项判断正确，不符合题意； ， 点在外，C选项判断正确，不符合题意； ， 是等边三角形， 是的中点， ， 在中，，即， 的中点在内，D选项判断错误，符合题意； 故选：D． 6．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）的半径为6，圆心在坐标原点上，点的坐标为，则点P与的位置关系是（    ） A．点P在内 B．点P在上 C．点P在外 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了两点之间的距离公式、点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题关键．先求出，再根据点与圆的位置关系求解即可得． 【详解】解：∵圆心在坐标原点上，点的坐标为， ∴， ∵的半径为， ∴点在内， 故选：A． 三、三角形的外接圆（共3小题） 7．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点A，点B，则的外心坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形是外接圆与外心，掌握圆周角定理、直角三角形外心的定义是解题的关键． 根据一次函数图象上点的坐标特征求出点A，点B的坐标，再根据直角三角形外心是斜边的中点解答即可． 【详解】解：∵， ∴当时，，当时，，解得：， ∴直线于x轴的交点A的坐标为，于y轴的交点B的坐标为， ∵， ∴为直角三角形， ∴的外心为斜边的中点，即， 故答案为：． 8．（22-23九年级上·山东潍坊·期中）如图，△ABC的三个顶点都在直角坐标系中的格点上，图中△ABC外接圆的圆心坐标是 ． 【答案】 【分析】设三角形的外心为，然后根据外心的性质可以得到关于x、y的方程组，解方程组即可得解． 【详解】解：设三角形的外心为，由题意可得： ， 则， 解方程可得：， 故答案为． 【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握三角形外接圆的性质、二元一次方程组的解法是解题关键． 9．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）在中，，，，点D，E，F分别是，，的中点，则的外接圆半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，三角形的中位线定理，在中，利用勾股定理可得，然后利用三角形的中位线定理可得：，，，从而利用平行线的性质可得，即可解答，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】如图： ∵，，， ∴， ∵点E，F分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵点D，E分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵点D，F分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴外接圆半径， 故答案为：． 四、旋转的现象与旋转图形（共3小题） 10．（24-25九年级上·云南·期中）下列运动中，不属于旋转的是（    ） A．电风扇叶片的转动 B．酒店旋转门的转动 C．钟摆的摆动 D．热气球点火升空 【答案】D 【分析】本题考查了生活中的旋转现象；旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键，根据旋转的定义解答即可． 【详解】解：A. 电风扇叶片的转动，属于旋转，故不符合题意； B. 酒店旋转门的转动，属于旋转，故不符合题意； C. 钟摆的摆动，属于旋转，故不符合题意； D. 热气球点火升空，属于平移，故符合题意； 故选：D． 11．（24-25九年级上·云南曲靖·期中）下列现象中：①地下水位逐年下降；②传送带上的物品的移动；③钟摆的运动；④荡秋千运动．属于旋转的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了生活中的旋转现象，根据平移和旋转的定义对各小题分析判断后求解． 【详解】解：①地下水位逐年下降，是平移现象； ②传送带上的物品的移动，是平移现象； ③钟摆的运动，是旋转现象； ④荡秋千运动，是旋转现象． 属于旋转的有③④共2个． 故选：B． 12．（23-24九年级上·安徽芜湖·期末）如图为芜湖市轨道交通Logo，将其按顺时针方向旋转后得到的图片是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了寻转的性质，根据旋转下判断即可． 【详解】 根据题意，旋转变化后的图片应是， 故选：B． 五、旋转的性质（共3小题） 13．（24-25九年级上·贵州毕节·期中）如图，在正方形中，为上的一点，连接．若，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理等等，先由正方形的性质和三角形内角和定理得到，，再由旋转的性质得到，则，据此根据角的和差关系求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 由旋转的性质得到， ∴， ∴， 故选：B． 14．（24-25九年级上·河南信阳·期中）如图是实验室中的一种摆动装置，在地面上，支架是底边为的等腰直角三角形，摆动臂可绕点旋转，摆动臂可绕点旋转，，．    (1)在旋转过程中， 当，，三点在同一直线上时，求的长． 当，，三点为同一直角三角形的顶点时，求的长． (2)若摆动臂顺时针旋转，点的位置由外的点转到其内的点处，连结，如图，此时，，求的长． 【答案】(1)①或；②或； (2)． 【分析】 当，，三点在同一直线上时，分点在上和点在的延长线上，两种情况计算；当，，三点为同一直角三角形的顶点时，分为直角边和为斜边两种情况计算； 连接，根据可以求出，利用勾股定理可以求出，利用可证，根据全等三角形对应边相等可得． 【详解】（1）解：当，，三点在同一直线上时， 若点在的延长线上， 则， 若点在上， 则， 综上所述的长为或； 当，，三点为同一直角三角形的顶点时， 若为直角边， 则， 若为斜边， ， 综上所述当，，三点为同一直角三角形的顶点时，的长为或； （2）解：如图所示，连接，    ，， ，， ， ， 在中，， ， ， ， 在和中， ， ． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添辅助线，构造全等三角形解决问题． 15．（24-25八年级上·北京西城·期中）如图，等腰三角形中，，．作于点D，将线段绕着点B逆时针旋转角后得到线段，连接． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质．解决本题的关键是根据旋转的性质找到相等的角和边，证明三角形全等，根据全等三角形对应边相等找到线段的长度，再利用勾股定理求出边的长度． （1）根据旋转的性质可证、，根据可证，根据全等三角形对应角相等可得； （2）根据全等三角形对应边相等可知，所以可以得到，利用勾股定理求出的长度． 【详解】（1）解：线段绕点逆时针旋转角得到线段， ，， ， ， ， 在与中 ， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 六、旋转的作图题（共3小题） 16．（24-25九年级上·云南曲靖·期中）如图，三个顶点的坐标分别为． (1)请画出关于原点成中心对称的； (2)请画出绕点B逆时针旋转后的，并写出点的坐标； (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)的坐标，图见解析 (3)的面积为（或3.5） 【分析】本题考查的是作图—旋转变换及求网格图中三角形的面积，根据题意作出各点在旋转变换下的对应点是解答此题的关键． （1）作出各点关于原点的对称点，再顺次连接即可作出； （2）作出各点绕原点B逆时针旋转所得的对称点，再顺次连接即可，再写出点的坐标； （3）用边长为3的正方形的面积减去三个三角形的面积即可． 【详解】（1）解：三个顶点的坐标分别为， 各点关于原点的对称点分别为：，依次描出这三个点，再顺次连接，得，如图： （2）解：绕点B逆时针旋转后，各点的对应点分别为：，依次描出这三个点，再顺次连接，得，如图所示，的坐标； （3）解：； 答：的面积为． 17．（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，绕点逆时针旋转得到，点的对应点为． (1)尺规作图，画出旋转后的．（保留痕迹，不写作法） (2)设直线与相交于，求的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）分别以点，为圆心，为半径画弧，两弧相交于点；分别以点，为圆心，为半径画弧，两弧相交于点；分别以点，为圆心，为半径画弧，两弧相交于点；分别以点，为圆心，为半径画弧，两弧相交于点，连接、、，即为所求； （2）先根据旋转性质得，，再根据平角性质、四边形内角和即可求解． 【详解】（1）如图所示，即为所求： （2）如图，由旋转性质得： ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的知识点是尺规作图画三角形、旋转性质、平角性质。四边形内角和，解题关键是熟练掌握尺规作图画三角形的方法． 18．（24-25九年级上·北京东城·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)①以点B为旋转中心，画出将按顺时针方向旋转后的； ②以原点O为旋转中心，画出将按逆时针方向旋转后的； (2)在（1）的条件下，可以由绕某点按顺时针方向旋转得到，则该点坐标为 ，旋转角的度数为 ． (3)的外接圆半径长 ． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)，； (3) 【分析】本题考查了作图——旋转变换，旋转的性质，坐标两点的距离公式，全等三角形的判定和性质，三角形外接圆的性质，掌握相关知识点是解题关键． （1）①根据旋转的性质作图即可；②根据旋转的性质作图即可； （2）设旋转中心为，由旋转的性质可知，，，，结合坐标两点的距离公式，求出、值，即可得到旋转中心坐标，过点作直线轴，过点作于点，过点作于点，证明，得到，进而得出，从而推出，即可得到旋转角的度数； （3）由直角坐标系可知，是等腰直角三角形，再由直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半求解即可． 【详解】（1）解：①如图，即为所求作； ②如图，即为所求作； （2）解：设旋转中心为， 由旋转的性质可知，，，， 由（1）可知，，，，， ，， 整理得：，， 解得：，， 旋转中心坐标为， 如图，过点作直线轴，过点作于点，过点作于点， 则，，， ，， ， ， ， ， ，即旋转角的度数为， 故答案为：，； （3）解：由直角坐标系可知，是等腰直角三角形， 的外接圆半径长等于斜边的一半， ，， ， 的外接圆半径长是． 七、旋转后点的坐标（共3小题） 19．（24-25九年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，，将绕原点按顺时针方向旋转，得到，其中与对应，与对应，则的坐标是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形，旋转的性质，全等三角形的性质；作轴于，作轴于，可得，进而根据全等三角形的性质得出，结合坐标系，即可求解． 【详解】解：作轴于，作轴于， 根据题意，如图： ，； 将绕原点按顺时针方向旋转， 在直角和直角中， ； 的坐标为 故选：B． 20．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点C、D分别在y轴正半轴和x轴负半轴上，，将绕O点顺时针旋转一周，当与平行时，点C的坐标为 ． 【答案】或 【分析】先求出，再由勾股定理得，可推出，求出，再求出，再由旋转的性质及平行线的性质进行解答即可． 【详解】解：点，点， ， ， ， ，， ， ， 如图，将绕O点顺时针旋转到如图位置时，，过点C作轴于H，设交轴于点； ， ， ， ， ， ， 点C的坐标为， 如图，将绕O点顺时针旋转到如图位置时，， 此时，点C与点关于原点对称， 点的坐标为， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了图形的旋转，坐标与图形的性质，勾股定理，平行线的性质及直角三角形的性质，解决本题的关键是熟练掌握图形的旋转，坐标与图形的性质. 21．（24-25九年级上·山西阳泉·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点都在坐标轴上，对角线的交点为坐标原点，且点B的坐标为，以为边构造菱形，将菱形与正方形组成的图形绕点O逆时针旋转90°，若点F的对应点为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，正方形的性质，旋转的性质，找到旋转规律是本题解题的关键．先求出，得出点F的坐标，根据旋转的性质即可得出答案． 【详解】解：∵点， ∴， ∴在正方形中，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴点F的坐标为， ∵菱形与正方形组成的图形绕点O逆时针旋转90°，点F的对应点为， ∴坐标为， 故答案为： 八、旋转的综合题（共3小题） 22．（2024·湖北恩施·模拟预测）如图1，和均为等边三角形，点，，在同一直线上，连接． (1)填空： ①的度数为__________； ②线段，之间的数量关系为__________； (2)如图，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一直线上，为中边上的高，连接，请判断的度数及线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在中，，，平面上一动点到点的距离为，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连，，，则是否有最大值和最小值，若有直接写出，不需要说明理由． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 (3)存在，最小值为，最大值为 【分析】本题考查了等边三角形的性质，正方形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，圆的性质定理，旋转的性质，三角形全等的判定和性质等知识，做题的关键是熟练掌握这些知识． （1）由条件易证明，故，，因为，所以． （2）仿照（1）中的解法可求出，证出，由为等腰直角三角形，及为中上的高，可得，从而证得． （3）如图时，因为点到点的距离是，所以点是以点为圆心，为半径的圆，当、、三点在同一条直线上时，有最小值，因为，，所以，在与中，，得，所以，，在中，，所以，，此时时，的最小值为，同理可得：如图4，当、、三点在同一条直线上时，的最大值为：． 【详解】（1）解：∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 又∵ ∴， 又∵， ∴． 故答案为：，． （2）解：∵和均为等腰直角三角形，， ∴，，， 即， 在和中，， ∴， ∴，，， ∴， 在等腰直角三角形中，为斜边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴， （3）解：如图， ∵点到点的距离是， ∴点是以点为圆心，为半径的圆， 当、、三点在同一条直线上时，有最小值， ∵，， ∴， 在与中，， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 此时时，的最小值为， 同理可得：如图4，当、、三点在同一条直线上时， 的最大值为：． 23．（24-25九年级上·河北保定·期中）图1中的四边形纸片1与图2中的四边形纸片2形状相同，但大小不同，其中 ，，，现利用这两张卡片分别裁剪拼接出两个正方形．嘉嘉利用纸片1按图示方法截取正方形，设． (1)①纸片1中的 （用含x 的代数式表示）；若正方形的面积为27，则可列一元二次方程： ． ②请解①中的方程，并求的长． (2)①淇淇将纸片2只剪一次，并利用旋转知识拼出一个面积最大的正方形．请在图2中画出正确的图形（剪拼痕迹均用虚线表示）． ②若图2中，请比较（1）（2）的条件下得到的两个正方形中，哪个面积较大？ 【答案】(1)①，；② (2)①见解析；②（1）中的正方形，面积较大． 【分析】（1）①由正方形的性质结合题意可求出，根据含30度角的直角三角形的性质得出，再根据勾股定理即可求出，最后根据正方形的面积公式列方程即可； ②根据直接开平方法求出x的值，即可求出和的长，最后根据求解即可； （2）①过点A作，设为裁剪线，将绕点A逆时针旋转得出，从而可证四边形为正方形，即此时拼出的正方形面积最大； ②由（2）①可知，结合含30度角的直角三角形的性质和勾股定理，可求出的长，从而可求出，最后比较即可． 【详解】（1）解：①∵四边形为正方形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，； ②解：， ， ∴，（舍）， ∴，， ∴． 故答案为：； （2）解：①过点A作，设为裁剪线， ∵图1中的四边形纸片1与图2中的四边形纸片2形状相同， ∴，， ∴将绕点A逆时针旋转得出，如图， ∴，，． ∵， ∴， ∴， ∴C、D、N三点共线， ∴， ∴四边形为矩形， ∴矩形为正方形，即此时拼出的正方形面积最大； ②由（2）①可知， 又∵图1中的四边形纸片1与图2中的四边形纸片2形状相同， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（1）中的正方形，面积较大． 【点睛】本题考查正方形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，解一元二次方程，旋转的性质等知识．利用数形结合的思想是解题关键． 24．（23-24八年级下·重庆北碚·阶段练习）在等边中， 点是上一点， 点是上一点， 与 交于点，且．    (1)如图1， 若   求 的长度； (2)如图2， 延长至点 ，使得 连接，点为中点， 连接，， 求证 ； (3)如图3， 点 为中点， 将沿折叠得到四边形，动点 在线段上运动包括端点，连接、，将绕点 顺时针旋转得到 将绕点 逆时针旋转   得到 连接． 点 为的中点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）过点作于点，根据已知条件证明，得出，在，中，勾股定理即可求解； （2）延长至，使得，连接，证明，得出，证明是等边三角形，延长至，使得，证明，得出，根据中位线的性质得出，等量代换，即可得证； （3）连接，将绕点逆时针旋转得到，连接则是等边三角形，根据中位线的性质，旋转的性质得出的轨迹为平行于的一条线段，且，进而找到最大值和最小值的位置，勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，    ∵等边中， ∴， ∵， 又∵ ∴， 在中， ∴ ∴ 在中，，， ∴， 在中， （2）解：如图所示，    延长至，使得，连接 ∵ ∴是等边三角形， ∴， 设， 由（1）可得， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴是等边三角形， ∴， 延长至，使得， ∴ ∴ 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图所示，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接则是等边三角形，    ∵将沿折叠得到四边形， ∴四边形是菱形， 依题意，三点共线，且， 又， ∴ ∴ ∵为的中点， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴的轨迹为平行于的一条线段，且    ∵点 为中点，则， 由（1）可得，则为的中点,则 在中， ∴， ∵， ∴ ∴， 如图所示，当重合时，取得最大值，此时如图所示，    ∵，， 则共线， ∴ 在中， 如图所示，当重合时，最小，    在中， ∴ ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，中位线的性质，菱形的性质，全等三角形的性质与判定，含度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 九、利用垂径定理求值（共5小题） 25．（23-24九年级上·甘肃庆阳·期中）已知的半径为13，弦平行于，，求和之间的距离． 【答案】和之间的距离为7或17 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，分当的圆心O位于、之间时，当的圆心O不在两平行弦、之间时，两种情况分别利用勾股定理和垂径定理求出点O到和的距离，据此可得答案． 【详解】解：如图，当的圆心O位于、之间时，作于点E，并延长，交于F点．分别连接、． ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴和之间的距离为17； 如图所示，当的圆心O不在两平行弦、之间（即弦、在圆心O的同侧）时， 同理可得：， ∴， ∴和之间的距离为7； 综上所述，和之间的距离为7或17． 26．（24-25九年级上·青海西宁·期中）如图、已知为的直径，点为的中点．则下列结论中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理及其推论，根据垂径定理中“知二推三”进行推理论证，即可解题． 【详解】解： 为的直径，点为的中点． ， 故选：B． 27．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，交于点C，D，是半径，且于点F．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查垂径定理．由垂径定理得，根据等腰三角形的性质可得，再根据线段的和差关系可得结论． 【详解】证明：∵为的弦， ， ， ， ， ． 28．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，交于点是半径，且于点F． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径是 【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先证明是等腰三角形，再结合于点F，得出因为是的半径，得出，即可作答． （2）由垂径定理得再运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】（1）证明：∵ ∴是等腰三角形， ∵于点F， ∴ 又∵是的半径， ∴， ∴ ∴； （2）解：如图，连接， ∵为的弦， ∴ ∴ 设的半径是r， ∴， 解得， ∴的半径是 29．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，是上的三个点， 、、． (1)在图上标出圆心，圆心的坐标为____； (2)求的半径，并判断点与的位置关系． 【答案】(1)见解析， (2)的半径为，点在上 【分析】本题考查了垂径定理的推论、点与圆的位置关系、坐标与图形等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）作弦和的垂直平分线，交点即为圆心，结合图形即可得出圆心的坐标； （2）求出的半径和的长，即可得解． 【详解】（1）解：如图，圆心即为所作， ， 圆心的坐标为； （2）解：∵， ∴的半径为， ∵， ∴点在上． 十、垂径定理的应用（共3小题） 30．（2024·云南昆明·一模）往一个圆柱形管道内注入一些水以后，发现其横截面如图所示，若水面宽为，水的最大深度为，求圆柱形管道横截面的直径． 【答案】圆柱形管道横截面的直径为 【分析】本题考查了垂径定理的应用及勾股定理．由题意可得，，根据垂径定理求得，设圆的半径为，则，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：由题意可得，， ∴， ∵， ∴， 设圆的半径为，则，， 在中， ∴， 解得：， ∴圆柱形管道横截面的直径为． 31．（24-25九年级上·全国·期中）如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端分米，为中点，为拱门最高点，圆心在线段上，分米，求拱门所在圆的半径． 【答案】分米 【分析】本题主要考查了垂径定理的实际应用，勾股定理，连接，根据垂径定理求得分米，设圆的半径为分米，则分米，米，根据勾股定理即可求得，进而可得答案． 【详解】解：连接， ∵过圆心，为的中点， ∴， ∵分米，C为的中点， ∴分米， 设圆的半径为x分米，则分米， ∵分米， ∴分米， 在中，由勾股定理， ∴， ∴， 即拱门所在圆的半径是15分米． 32．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽为，拱高为． (1)求桥拱的半径； (2)此桥的安全限度是拱顶点距离水面不得小于，若大雨过后，洪水泛滥到水面宽度为时，是否需要采取紧急措施？请说明理由． 【答案】(1) (2)不需要采取紧急措施，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理，垂径定理，关键是由勾股定理，垂径定理列出关于圆半径的方程． （1）设桥拱的半径是，由垂径定理求出，而，由勾股定理得到，求出； （2）由垂径定理求出的长，由勾股定理求出的长，即可求出的长即可得解． 【详解】（1）解：如图半径，， 设桥拱的半径是， ， ， 拱高为， ， ， ， ， 桥拱的半径是； （2）解：不需要采取紧急措施，理由如下： 如图，连接， ， ， ， ， ， 不需要采取紧急措施． 十一、弦、弧、圆心角的关系（共4小题） 33．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，为的直径，点是的中点，过点作于点，交于点，若，，则的半径长是（   ） A． B．4 C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，弧、圆心角、弦之间的关系，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 先根据垂径定理和点C是弧的中点得从，而得出，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：连接，如图，设的半径为r， ∵，为的直径， ，， 点是的中点， ， ， ， 解得： 的半径长是， 故选C． 34．（2024·云南昆明·一模）如图，是的直径，．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了弧与圆心角之间的关系，根据同圆中，等弧所对的圆心角相等得到，再根据平角的定义可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：B． 35．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知，内接于，为的直径，点D为优弧的中点． (1)如图1，连接，求证：； (2)如图2，过点D作，垂足为E．若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）延长交于F，根据圆心角定理的推论及线段垂直平分线的判定定理可得，即； （2）连接并延长交于F，易得，进而可得，再证明，根据全等三角形的性质得到，然后在中，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：如图1，延长交于F，连接，，， ∵点D为优弧的中点， ∴， ， ∴点D在线段的垂直平分线上， ， ∴点O在线段的垂直平分线上， 是线段的垂直平分线， ，即； （2）解：连接并延长交于F， 设的半径为x， ∵点D为优弧的中点，，， ∴， 由（1）得，， ∴， ， ， ，， ， ， ， 即， 解得， 的半径为． 【点睛】本题主要考查圆心角定理的推论、线段垂直平分线的判定、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，正确的作出辅助线是解题的关键． 36．（24-25九年级上·甘肃陇南·期中）如图，是的直径，，，是的弦，． (1)求证：． (2)如果弦的长为，与间的距离是，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线． （1）过点作，延长交于点，根据题意可得：，，推出，即可证明； （2）根据垂径定理可得，再根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，过点作，延长交于点， 是的直径，， ，， ，即， ； （2） ， ， 与间的距离是，， ， ， ， ． 十二、圆周角定理（共4小题） 37．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，中，是直径，是弦，若，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理．由直径所对的圆周角为可得，从而得到，再根据同弧所对的圆周角相等即可求出的度数． 【详解】解： 是直径， ， ， ， ， ， 故选：B． 38．（湖北省楚天名初教科研协作体2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题）如图，是的弦，是的半径，点P为上任意一点（点P不与点B重合），连接．若，则的度数可能是（      ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理，三角形的外角性质．根据圆周角定理得到，再根据三角形的外角的性质，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴的度数可能是； 故选：D． 39．（24-25九年级上·全国·期末）如图，是的直径，弦于点，是上任意一点，连接，，． (1)找出图中与相等的角（不添加其它线），并说明理由； (2)若点是的中点，且＝，求的度数． 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，弧与圆心角的关系； （1）根据垂径定理得出，即可求解； （2）连接，得出，根据垂径定理可得，进而得出，则，进而解（1）的结论，圆周角定理，即可求解． 【详解】（1）解：和相等的角是． 证明如下： ∵是的直径且， ∴， ∴． （2）解：连接， ∵， ∴， ∵是的直径且， ∴，则， ∵ 点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 40．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知，如图，在中，，以腰为直径作半圆O，分别交于点D，E． (1)求证：； (2)若，求圆弧所对的圆心角的度数． 【答案】(1)见解析 (2)圆弧所对的圆心角的度数为． 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，再利用等腰三角形的三线合一性质，即可解答； （2）连接，利用，，得到，再利用圆周角定理即可解答． 【详解】（1）证明：连接， ∵是半的直径， ∴， ∵， ∴； （2）解：连接， ∵，，， ∴， ∴， ∴圆弧所对的圆心角的度数为． 十三、同弧或等弧所对的圆周角相等（共3小题） 41．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，已知是的直径，半径，D是的中点，若过点D的弦平行于，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，等边三角形的判定性质及圆周角定理．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．据此逐一判断即可． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵，D是的中点，， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴是等边三角形，，即， ∴， ∴， ∴，故选项B正确，选项A错误； ∴，故选项C错误； ∵是的直径， ∴， ∴，故选项D错误； 故选：B． 42．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，是的直径，是的弦，，垂足为M，E为上一点，且，连接交于点F，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由垂径定理可得，由此可得，根据同弧或等弧对的圆周角相等可得； （2）连接，由（1）结论和等腰三角形的判定可得，然后利用勾股定理求解，则，设，在中，利用勾股定理列方程求得x值即可求解． 【详解】（1）证明：是的直径，， ， 又， ， ， ； （2）解：连接， 由（1）可知， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ， 解得：， ． 【点睛】本题主要考查了圆的相关性质，垂径定理，等腰三角形的判定、同弧或等弧对的圆周角相等以及勾股定理，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键． 43．（2025九年级下·上海·专题练习）如图，在中，弦与弦相交于点E，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系、圆周角定理的推论，熟练掌握是解题的关键． 由弦相等得到，推出，得到，再利用等腰三角形的判定得出结论． 【详解】证明：， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 十四、90°圆周角所对的弧是半圆（共5小题） 44．（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，的直径为8，P是上一动点，半径垂直于，，垂足为H．当点P从A运动到B的过程中，点H运动的路径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆上动点恒直角问题，勾股定理，圆周长公式，根据得到，即可得到点H是以为直径的圆上运动，根据勾股定理求出，最后利用周长公式求解即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， ∴点H是以为直径的圆上运动， ∵的直径为8， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 45．（24-25九年级上·天津河北·阶段练习）如图，已知是的直径，是弦，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理得到，，然后利用互余计算的度数． 【详解】解：是的直径， ， ， ． 故选：C． 46．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，是的直径，点，，在上，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，连接连接，可得，即得，再由圆周角定理即可求解，掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 47．（24-25八年级上·江西景德镇·期中）如图，、是的直径，于，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，是上一点，，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先根据同角的余角相等得：，由圆周角定理，即可得证； （2）作辅助线，先根据垂径定理得：，由三角形中位线定理得：，证明，则，即可得证． 【详解】（1）如图1，连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）如图2，延长交于，连接、、， ， ， ， ， ，， ， ， ， 是的中垂线， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，三角形中位线的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握圆的相关性质定理是解题的关键． 48．（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）已知四边形内接于，且于点． (1)如图1，过圆心作于点． ①若半径为5，，求的长； ②试判断与的数量关系，并写出证明过程． (2)如图2，记，，，的面积分别为，，，，当时，求证：． 【答案】(1)①3； ②，证明见详解 (2)见详解 【分析】（1）①连接，则，由垂径定理得，由勾股定理即可求得的长； ②延长，与交于点，连接．由三角形中位线定理得；设，则；由可得，从而得； （2）通过面积关系，利用根式及完全平方公式运算，得到，再用两平行线间距离相等，得到，进而． 【详解】（1）解：①连接，则， ∵于点， ∴， ∴． ②． 证明：延长，与交于点，连接． ∵为直径， ∴． 在中， ∵O，H分别为，的中点， ∴，即， 设，则． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：由两边同时平方化简得： ∵（等高，面积之比等于底之比） ∴ ∴，即， ∴，，即 因为和共底，则它们的高相等，由平行线之间的距离处处相等 ， ∴， ∴， ， ∴． 【点睛】本题是圆的综合，考查了圆周角定理，直径对的圆周角是直角，垂径定理，弧、弦、圆心角及圆周角的关系，三角形中位线定理，勾股定理，完全平方公式等知识，涉及较多的知识点，熟练掌握并灵活运用是解题的关键． 十五、圆的内接四边形角度问题（共4小题） 49．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在圆内接四边形中，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 根据圆内接四边形的对角互补求出的度数，根据圆周角定理得到答案． 【详解】解：∵四边形是圆内接四边形， ， ， ， 由圆周角定理得，， 故选：A． 50．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）在中直径为4，弦，点C是圆上不同于A、B的点，那么度数为 ． 【答案】或 【分析】此题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，等边三角形的性质和判定，解题的关键分类讨论． 首先证明出是等边三角形，得到，然后根据在优弧和劣弧上两种情况分类求解． 【详解】解：如图所示， ∵在中直径为4， ∴半径 ∵弦， ∴是等边三角形 ∴ ∴①当点在优弧上时， ∴； ②当点在劣弧上时，记为点， ∴； 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 51．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，已知点A，B，C，D在上，E是延长线上一点，连接，若平分．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理及等腰三角形的判定，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．根据圆内接四边形的性质得到，得到，根据圆周角定理得到，得到，根据等腰三角形的判定定理得到． 【详解】证明：四边形为内接四边形， 平分， 由圆周角定理得：， 52．（24-25九年级上·全国·期中）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，，，点D为的中点．    (1)求的半径； (2)求的度数． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）首先根据圆周角定理得到，然后根据含角直角三角形的性质求出直径，进而求解即可； （2）首先求出，然后根据圆内接四边形的性质得到，然后根据点D为的中点得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， 四边形是的内接四边形， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，含角直角三角形的性质，弧、弦、角关系，等边对等角和三角形内角和定理等知识，根据题意找出相关的角度关系是解题关键． 十六、圆的外接四边形半径问题（共4小题） 53．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，圆是矩形的外接圆，若，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了圆内接四边形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确做出辅助线． 连接，首先根据题意得到点O是的中点，然后利用勾股定理求出，，然后利用阴影部分的面积代数求解即可． 【详解】如图所示，连接， ∵圆是矩形的外接圆， ∴点O是的中点 ∵，，， ∴ ∴ ∴阴影部分的面积． 故选：B． 54．（23-24九年级上·河南三门峡·期中）如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点 A、B，点 A 的坐标为，点 M是第三象限内圆上一点，，则的半径为（   ）    A．4 B．5 C．6 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，含角的直角三角形的性质，圆周角定理，坐标与图形，根据圆内接四边形对角互补得到，再由的圆周角所对的弦是直径得到是直径，求出，进而求出，是解题的关键． 【详解】解：∵、、、都在圆上，， ∴， ∵， ∴是的直径，， ∵， ∴， ∴， ∴的半径为4， 故选：A． 55．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图所示，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，． 如图，圆内接四边形ABCDABCD的对角线ACAC，BDBD交于点EE，BDBD平分∠ABC∠ABC，∠BAC=∠AD (1)求证：平分，并求的大小； (2)过点作交的延长线于点，若，，试求四边形的面积和此圆半径的长． 【答案】(1)见解析 (2)； 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，平行线的性质，等边三角形的判定和性质，关键是由圆内接四边形的性质得到，由垂径定理推出是等边三角形． （1）由圆周角定理得到，而，因此，得到平分，由圆内接四边形的性质得到，即可求出； （2）由垂径定理推出是等边三角形，得到由，得到，由平行线的性质求出，由圆内接四边形的性质求出，得到，由直角三角形的性质得到，因为是圆的直径，即可得到圆半径的长是4． 【详解】（1）证明：，， ， 平分， 平分， ， 四边形是圆内接四边形， ， ， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， 是圆的直径， 垂直平分， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 四边形是圆内接四边形， ， ， ， ， ，， ， 是圆的直径， 圆的半径长是4， ． 56．（2024·河北廊坊·二模）如图，为等腰直角三角形，为直角，，在的延长线上，且，于点，过，，三点的交于点，连结．求的半径． 探究：其他条件不变，将点在圆上移动至点，使，求的长度． 【答案】的半径为， 【分析】连接，由直角三角形的性质及勾股定理得 进而证明点、、三点共线，利用勾股定理求得 即可求得的半径，探究：如图，连接，先证明，，再利用圆内接四边形的性质得从而利用勾股定理即可得解。 【详解】解：连接， ∵为等腰直角三角形，为直角，，， ∴ ∵ ∴的直径， ∴ ∴ ∴点、、三点共线， ∵ ∴是以为直角的等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴的半径为， 探究：如图，连接，连接并延长交于， ∵，， ∴点在线段的垂直平分线上，点在线段的垂直平分线上， ∴，， ∵ ∴，， ∵是的直径， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ 【点睛】本题主要考查了圆内角四边形的性质，线段垂直平分线的判定，直角三角形的性质，勾股定理，圆周角定理等，熟练掌握圆内角四边形的性质，线段垂直平分线的判定是解题的关键。 十七、圆与正多边形综合（共4小题） 57．（23-24九年级上·河北邯郸·期中）点O是边长为m的正多边形的中心，将一块足够长，圆心角为的扇形纸板的圆心放在O点处，并将纸板绕O点旋转． 若正多边形为正三角形，扇形的圆心角时，通过观察或测量，得到如图1、2中，正三角形的边被扇形纸板覆盖部分的总长度均为m； (1)若正多边形为正方形，扇形的圆心角时， ①如图3，求正方形的边被扇形纸板覆盖部分的长度； ②如图4，正方形的边被扇形纸板覆盖部分的总长度为多少？并给予证明； (2)若正多边形为正五边形，如图5，当扇形纸板的圆心角为多少度时，正五边形的边被扇形纸板覆盖部分的总长度仍为定值m． 【答案】(1)①；②，见解析 (2)度 【分析】（1）①根据正方形的边被扇形纸板覆盖部分的长度为的长作答即可； ②如图1，连接，证明，则，，然后作答即可； （2）如图2，连接，根据，计算求解即可． 【详解】（1）①解：由题意知，， ∴正方形的边被扇形纸板覆盖部分的长度为； ②解：正方形的边被扇形纸板覆盖部分的长度为，证明如下； 如图1，连接， ∵为正方形的中心， ∴，，， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴正方形的边被扇形纸板覆盖部分的长度为； （2）解：如图2，连接， ∵正五边形， ∴， ∴当扇形纸板的圆心角为时，正五边形的边被扇形纸板覆盖部分的总长度仍为定值m． 【点睛】本题考查了正多边形与圆，旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握正多边形与圆，旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 58．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，是的内接正边形的一边，点在上，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形和圆，圆周角定理，求出中心角的度数是解题的关键．由圆周角定理得，再根据正边形的边数中心角求解，即可解题． 【详解】解： ， ， 是的内接正边形的一边， ， 故答案为：． 59．（24-25九年级上·天津武清·阶段练习）如图，边长为的正六边形的内切圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题涉及到正多边形、等边三角形及勾股定理，首先求出正多边形的内切圆的半径，即为每个边长为a的正三角形的高，从而构造直角三角形即可解． 【详解】解：如图，连接、，，则于点H， ∵六边形是边长为a的正六边形， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴边长为a的正六边形的内切圆的半径为， 故选：A． 60．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）大圆O和小圆O为同心圆，正六边形为大圆O的内接正六边形，连接．连接与交于点K，同时小圆O与相切于点K． (1)求证：是小圆O的切线． (2)若，求阴影部分的面积．（结果用表示） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，设交于H，可证明垂直平分，则，再由切线的性质得到，进而可证明，得到，据此可证明结论； （2）证明是等边三角形，则可求出的长，进而求出的长，求出，则可求出，最后根据即可求出答案． 【详解】（1）证明：如图所示，连接，设交于H， ∵正六边形为大圆O的内接正六边形， ∴， ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∴， ∵小圆O与相切于点K， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点H在小圆O上， 又∵， ∴是小圆O的切线； （2）解：∵正六边形为大圆O的内接正六边形， ∴， ∴是等边三角形， ∵小圆O与相切于点K， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正多边形与圆综合，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，熟知切线的性质与判定定理是解题的关键． 十八、求弧长或扇形半径（共5小题） 61．（2024·陕西商洛·模拟预测）传统服饰日益受到关注，如图①为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图②马面裙可以近似地看作扇形的一部分，其中的长度为米，裙长米，圆心角，则的长为（    ） A．1米 B．米 C．2米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了弧长公式．由题意知，，求得，得到米即可． 【详解】解：由题意知，， 解得， ∵裙长为米， ∴米， 故选：B． 62．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在等腰三角形中，，，以为直径作圆，与，分别相交于点，，则的长度是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，求弧长，三角形内角和定理，连接，，，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，然后根据圆周角定理和“三线合一”推出，进而利用弧长公式进行求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，，， ∵，， ∴， ∴， ∵是圆直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长度是， 故答案为：． 63．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，为半圆的直径，为半圆上一点，且，连接，以为圆心，长为半径画弧交于点，若，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理、勾股定理、弧长公式；先根据圆周角定理可得等腰是等腰直角三角形，从而可得，再根据勾股定理可得的长，最后根据弧长公式即可求解． 【详解】连接， ∵为半圆的直径 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴在等腰中， ∴的长 故答案为：． 64．（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）如图，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面，则的长为 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是理解圆锥展开图的扇形弧长等于圆锥的底面周长．设，则，根据圆锥展开图的扇形弧长等于圆锥的底面周长列方程求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 设，则， 根据题意可得：， 解得：， ， 故答案为：． 65．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）如图，在的正方形网格图中，小正方形的边长都为，的顶点都在格点上，在该网格图中只用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹． (1)画出的外接圆圆心． (2)连结， ， 则的长为 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了画三角形的外心，勾股定理与网格，求弧长； （1）作线段，的垂直平分线交于点，点即为所求； （2）利用勾股定理求解； 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴的长为：， 故答案为：． 十九、求扇形与不规则图形面积（共4小题） 66．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，以为直径的与分别交于点，连接，，若，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，圆周角定理的应用，扇形面积的计算，连接，，证明，可得，求解，再利用扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：连接，， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， 即点E是的中点， ∵点O是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 67．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，圆心重合的两圆半径分别为4，2，，则阴影部分图形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了扇形面积公式，关键是找出图中阴影部分面积的计算方法．阴影部分的面积是一个环形，可用大圆中的扇形面积减去小圆中扇形的面积来求得． 【详解】所求扇环的圆心角为， 阴影部分图形的面积． 故选：C． 68．（24-25九年级上·山东临沂·期中）如图，扇形中，，点C为的中点，交弧于点E，以点O为圆心，的长为半径作弧交于点D．若，则阴影部分面积为 ． 【答案】 【分析】由线段垂直平分线的性质可得，进而可证得是等边三角形，于是可得，利用勾股定理可得，然后根据即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：如图，连接、， ，且点C为的中点， 是的垂直平分线，， ，， 又， ， 是等边三角形， ， 在中，根据勾股定理可得： ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了垂线的性质，线段垂直平分线的性质，线段中点的有关计算，等边三角形的判定与性质，勾股定理，求扇形面积，三角形的面积公式等知识点，添加适当辅助线构造等边三角形是解题的关键． 69．（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图，扇形的半径，将扇形绕点逆时针旋转得扇形，当点落在上时旋转停止，则扇形中空白部分的面积为 （结果保留）． 【答案】 【分析】连接，由旋转的性质得，，扇形的面积扇形的面积，即得扇形中空白部分的面积扇形中空白部分的面积，又由可得是等边三角形，得到，利用扇形面积公式求出扇形的面积，过点作于，根据等边三角形的性质和勾股定理求出等边三角形的面积，进而即可求解． 【详解】解：连接， 由旋转的性质得，，扇形的面积扇形的面积， ∴扇形中空白部分的面积扇形中空白部分的面积， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴扇形的面积， 过点作于，则， ∴， ∴等边三角形的面积， ∴扇形空白部分的面积扇形的面积的面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，扇形的面积，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． $$专题3圆的基本性质（考题猜想易错必刷69题19种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 圆的基本概念 · 判断点与圆的位置关系 · 三角形的外接圆 · 旋转现象与旋转图案 · 旋转的性质 · 旋转的作图题 · 旋转后点的坐标 · 旋转的综合题 · 利用垂径定理求值 · 垂径定理的应用 · 弦、弧、圆心角的关系 · 圆周角定理 · 同弧或等弧所对的圆周角相等 · 90°圆周角所对的弧是半圆 · 圆的内接四边形角度问题 · 圆的外接四边形长度问题 · 圆与正多边形综合 · 求弧长或扇形半径 · 求扇形与不规则图形面积 一．圆的基本概念（共3小题） 1．（24-25九年级上·全国·期末）给出下列说法： ①能够互相重合的两个圆叫作等圆； ②长度相等的弧是等弧； ③以2cm长的半径的圆有无数个； ④平面上任意三点能确定一个圆，其中正确的有（  ） A．②④ B．①③ C．①③④ D．①②③④ 2．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）已知是半径为5的圆的一条弦，那么的长不可能是（   ） A．1 B．5 C．3 D．11 3．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，中，，，以为圆心、为半径的圆交于点，则（   ） A． B． C． D． 二、判断点与圆的位置关系（共3小题） 4．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知的半径为1，，则点在（   ） A．内 B．上 C．外 D．无法确定 5．（24-25九年级上·浙江·期中）如图，在中，，点为的中点，以点为圆心，5为半径作，则下列判断错误的是（    ） A．点在上 B．点在上 C．点在外 D．的中点在外 6．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）的半径为6，圆心在坐标原点上，点的坐标为，则点P与的位置关系是（    ） A．点P在内 B．点P在上 C．点P在外 D．不能确定 三、三角形的外接圆（共3小题） 7．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点A，点B，则的外心坐标是 ． 8．（22-23九年级上·山东潍坊·期中）如图，△ABC的三个顶点都在直角坐标系中的格点上，图中△ABC外接圆的圆心坐标是 ． 9．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）在中，，，，点D，E，F分别是，，的中点，则的外接圆半径为 ． 四、旋转的现象与旋转图形（共3小题） 10．（24-25九年级上·云南·期中）下列运动中，不属于旋转的是（    ） A．电风扇叶片的转动 B．酒店旋转门的转动 C．钟摆的摆动 D．热气球点火升空 11．（24-25九年级上·云南曲靖·期中）下列现象中：①地下水位逐年下降；②传送带上的物品的移动；③钟摆的运动；④荡秋千运动．属于旋转的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．（23-24九年级上·安徽芜湖·期末）如图为芜湖市轨道交通Logo，将其按顺时针方向旋转后得到的图片是（    ） A． B． C． D． 五、旋转的性质（共3小题） 13．（24-25九年级上·贵州毕节·期中）如图，在正方形中，为上的一点，连接．若，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 14．（24-25九年级上·河南信阳·期中）如图是实验室中的一种摆动装置，在地面上，支架是底边为的等腰直角三角形，摆动臂可绕点旋转，摆动臂可绕点旋转，，．    (1)在旋转过程中， 当，，三点在同一直线上时，求的长． 当，，三点为同一直角三角形的顶点时，求的长． (2)若摆动臂顺时针旋转，点的位置由外的点转到其内的点处，连结，如图，此时，，求的长． 15．（24-25八年级上·北京西城·期中）如图，等腰三角形中，，．作于点D，将线段绕着点B逆时针旋转角后得到线段，连接． (1)求的度数； (2)若，求的长． 六、旋转的作图题（共3小题） 16．（24-25九年级上·云南曲靖·期中）如图，三个顶点的坐标分别为． (1)请画出关于原点成中心对称的； (2)请画出绕点B逆时针旋转后的，并写出点的坐标； (3)求的面积． 17．（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，绕点逆时针旋转得到，点的对应点为． (1)尺规作图，画出旋转后的．（保留痕迹，不写作法） (2)设直线与相交于，求的大小． 18．（24-25九年级上·北京东城·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)①以点B为旋转中心，画出将按顺时针方向旋转后的； ②以原点O为旋转中心，画出将按逆时针方向旋转后的； (2)在（1）的条件下，可以由绕某点按顺时针方向旋转得到，则该点坐标为 ，旋转角的度数为 ． (3)的外接圆半径长 ． 七、旋转后点的坐标（共3小题） 19．（24-25九年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，，将绕原点按顺时针方向旋转，得到，其中与对应，与对应，则的坐标是(   ) A． B． C． D． 20．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点C、D分别在y轴正半轴和x轴负半轴上，，将绕O点顺时针旋转一周，当与平行时，点C的坐标为 ． 21．（24-25九年级上·山西阳泉·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点都在坐标轴上，对角线的交点为坐标原点，且点B的坐标为，以为边构造菱形，将菱形与正方形组成的图形绕点O逆时针旋转90°，若点F的对应点为，则点的坐标为 ． 八、旋转的综合题（共3小题） 22．（2024·湖北恩施·模拟预测）如图1，和均为等边三角形，点，，在同一直线上，连接． (1)填空： ①的度数为__________； ②线段，之间的数量关系为__________； (2)如图，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一直线上，为中边上的高，连接，请判断的度数及线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在中，，，平面上一动点到点的距离为，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连，，，则是否有最大值和最小值，若有直接写出，不需要说明理由． 23．（24-25九年级上·河北保定·期中）图1中的四边形纸片1与图2中的四边形纸片2形状相同，但大小不同，其中 ，，，现利用这两张卡片分别裁剪拼接出两个正方形．嘉嘉利用纸片1按图示方法截取正方形，设． (1)①纸片1中的 （用含x 的代数式表示）；若正方形的面积为27，则可列一元二次方程： ． ②请解①中的方程，并求的长． (2)①淇淇将纸片2只剪一次，并利用旋转知识拼出一个面积最大的正方形．请在图2中画出正确的图形（剪拼痕迹均用虚线表示）． ②若图2中，请比较（1）（2）的条件下得到的两个正方形中，哪个面积较大？ 24．（23-24八年级下·重庆北碚·阶段练习）在等边中， 点是上一点， 点是上一点， 与 交于点，且．    (1)如图1， 若   求 的长度； (2)如图2， 延长至点 ，使得 连接，点为中点， 连接，， 求证 ； (3)如图3， 点 为中点， 将沿折叠得到四边形，动点 在线段上运动包括端点，连接、，将绕点 顺时针旋转得到 将绕点 逆时针旋转   得到 连接． 点 为的中点，求的取值范围． 九、利用垂径定理求值（共5小题） 25．（23-24九年级上·甘肃庆阳·期中）已知的半径为13，弦平行于，，求和之间的距离． 26．（24-25九年级上·青海西宁·期中）如图、已知为的直径，点为的中点．则下列结论中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 27．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，交于点C，D，是半径，且于点F．求证：． 28．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，交于点是半径，且于点F． (1)求证：； (2)若，求的半径． 29．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，是上的三个点， 、、． (1)在图上标出圆心，圆心的坐标为____； (2)求的半径，并判断点与的位置关系． 十、垂径定理的应用（共3小题） 30．（2024·云南昆明·一模）往一个圆柱形管道内注入一些水以后，发现其横截面如图所示，若水面宽为，水的最大深度为，求圆柱形管道横截面的直径． 31．（24-25九年级上·全国·期中）如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端分米，为中点，为拱门最高点，圆心在线段上，分米，求拱门所在圆的半径． 32．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽为，拱高为． (1)求桥拱的半径； (2)此桥的安全限度是拱顶点距离水面不得小于，若大雨过后，洪水泛滥到水面宽度为时，是否需要采取紧急措施？请说明理由． 十一、弦、弧、圆心角的关系（共4小题） 33．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，为的直径，点是的中点，过点作于点，交于点，若，，则的半径长是（   ） A． B．4 C．5 D． 34．（2024·云南昆明·一模）如图，是的直径，．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 35．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知，内接于，为的直径，点D为优弧的中点． (1)如图1，连接，求证：； (2)如图2，过点D作，垂足为E．若，，求的半径． 36．（24-25九年级上·甘肃陇南·期中）如图，是的直径，，，是的弦，． (1)求证：． (2)如果弦的长为，与间的距离是，求的长． 十二、圆周角定理（共4小题） 37．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，中，是直径，是弦，若，则等于（　　） A． B． C． D． 38．（湖北省楚天名初教科研协作体2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题）如图，是的弦，是的半径，点P为上任意一点（点P不与点B重合），连接．若，则的度数可能是（      ）    A． B． C． D． 39．（24-25九年级上·全国·期末）如图，是的直径，弦于点，是上任意一点，连接，，． (1)找出图中与相等的角（不添加其它线），并说明理由； (2)若点是的中点，且＝，求的度数． 40．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知，如图，在中，，以腰为直径作半圆O，分别交于点D，E． (1)求证：； (2)若，求圆弧所对的圆心角的度数． 十三、同弧或等弧所对的圆周角相等（共3小题） 41．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，已知是的直径，半径，D是的中点，若过点D的弦平行于，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 42．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，是的直径，是的弦，，垂足为M，E为上一点，且，连接交于点F，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 43．（2025九年级下·上海·专题练习）如图，在中，弦与弦相交于点E，且．求证：． 十四、90°圆周角所对的弧是半圆（共5小题） 44．（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，的直径为8，P是上一动点，半径垂直于，，垂足为H．当点P从A运动到B的过程中，点H运动的路径长为（   ） A． B． C． D． 45．（24-25九年级上·天津河北·阶段练习）如图，已知是的直径，是弦，若，则（    ） A． B． C． D． 46．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，是的直径，点，，在上，若，则的度数为 ． 47．（24-25八年级上·江西景德镇·期中）如图，、是的直径，于，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，是上一点，，求证：． 48．（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）已知四边形内接于，且于点． (1)如图1，过圆心作于点． ①若半径为5，，求的长； ②试判断与的数量关系，并写出证明过程． (2)如图2，记，，，的面积分别为，，，，当时，求证：． 十五、圆的内接四边形角度问题（共4小题） 49．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在圆内接四边形中，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 50．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）在中直径为4，弦，点C是圆上不同于A、B的点，那么度数为 ． 51．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，已知点A，B，C，D在上，E是延长线上一点，连接，若平分．求证：． 52．（24-25九年级上·全国·期中）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，，，点D为的中点．    (1)求的半径； (2)求的度数． 十六、圆的外接四边形半径问题（共4小题） 53．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，圆是矩形的外接圆，若，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 54．（23-24九年级上·河南三门峡·期中）如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点 A、B，点 A 的坐标为，点 M是第三象限内圆上一点，，则的半径为（   ）    A．4 B．5 C．6 D．2 55．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图所示，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，． 如图，圆内接四边形ABCDABCD的对角线ACAC，BDBD交于点EE，BDBD平分∠ABC∠ABC，∠BAC=∠AD (1)求证：平分，并求的大小； (2)过点作交的延长线于点，若，，试求四边形的面积和此圆半径的长． 56．（2024·河北廊坊·二模）如图，为等腰直角三角形，为直角，，在的延长线上，且，于点，过，，三点的交于点，连结．求的半径． 探究：其他条件不变，将点在圆上移动至点，使，求的长度． 十七、圆与正多边形综合（共4小题） 57．（23-24九年级上·河北邯郸·期中）点O是边长为m的正多边形的中心，将一块足够长，圆心角为的扇形纸板的圆心放在O点处，并将纸板绕O点旋转． 若正多边形为正三角形，扇形的圆心角时，通过观察或测量，得到如图1、2中，正三角形的边被扇形纸板覆盖部分的总长度均为m； (1)若正多边形为正方形，扇形的圆心角时， ①如图3，求正方形的边被扇形纸板覆盖部分的长度； ②如图4，正方形的边被扇形纸板覆盖部分的总长度为多少？并给予证明； (2)若正多边形为正五边形，如图5，当扇形纸板的圆心角为多少度时，正五边形的边被扇形纸板覆盖部分的总长度仍为定值m． 58．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，是的内接正边形的一边，点在上，，则 ． 59．（24-25九年级上·天津武清·阶段练习）如图，边长为的正六边形的内切圆的半径为（   ） A． B． C． D． 60．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）大圆O和小圆O为同心圆，正六边形为大圆O的内接正六边形，连接．连接与交于点K，同时小圆O与相切于点K． (1)求证：是小圆O的切线． (2)若，求阴影部分的面积．（结果用表示） 十八、求弧长或扇形半径（共5小题） 61．（2024·陕西商洛·模拟预测）传统服饰日益受到关注，如图①为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图②马面裙可以近似地看作扇形的一部分，其中的长度为米，裙长米，圆心角，则的长为（    ） A．1米 B．米 C．2米 D．米 62．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在等腰三角形中，，，以为直径作圆，与，分别相交于点，，则的长度是 ． 63．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，为半圆的直径，为半圆上一点，且，连接，以为圆心，长为半径画弧交于点，若，则的长是 ． 64．（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）如图，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面，则的长为 65．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）如图，在的正方形网格图中，小正方形的边长都为，的顶点都在格点上，在该网格图中只用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹． (1)画出的外接圆圆心． (2)连结， ， 则的长为 ． 十九、求扇形与不规则图形面积（共4小题） 66．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，以为直径的与分别交于点，连接，，若，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 67．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，圆心重合的两圆半径分别为4，2，，则阴影部分图形的面积为（   ） A． B． C． D． 68．（24-25九年级上·山东临沂·期中）如图，扇形中，，点C为的中点，交弧于点E，以点O为圆心，的长为半径作弧交于点D．若，则阴影部分面积为 ． 69．（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图，扇形的半径，将扇形绕点逆时针旋转得扇形，当点落在上时旋转停止，则扇形中空白部分的面积为 （结果保留）． 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