专题02 有理数的计算（考点清单，11考点&13题型解读）-2024-2025学年七年级数学上学期期末考点大串讲（浙教版2024）

清单02 有理数的计算（考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】加法法则 ⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 ⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。 ⑶一个数同0相加，仍得这个数。 【清单02】加法运算定律 （1）加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变。即a＋b=b＋a （2） 加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c） 【清单03】减法法则 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a－b=a＋（﹣）b 【清单04】乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 （2）任何数同0相乘，都得0。 （3）多个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即先确定符号，再把绝对值相乘，绝对值的积就是积的绝对值。 （4）多个数相乘，若其中有因数0，则积等于0；反之，若积为0，则至少有一个因数是0。 【清单05】乘法运算定律 （1）乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等。即a×b＝ba （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚。 （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c。 【清单06】除法法则 （1）除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数。 （2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0。 【清单07】乘方法则运算 （1）正数的任何次幂都是正数 （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 （3）0的任何正整数次幂都是0 【清单08】混合运算 （1）先乘方，再乘除，最后加减。 （2）同级运算，从左到右的顺序进行。 （3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。 【清单09】科学记数法 把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中1≤|a|＜10，n是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=2×105 【清单10】近似数 接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为6300㎞，这里的6300㎞就是近似数. 要点：一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入. 【清单11】精确度 一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度. 要点： （1）精确度是指近似数与准确数的接近程度. （2）精确度有两种形式：①精确到哪一位．②保留几个有效数字．这两种的形式的意义不一样，一般来说精确到哪一位可以表示误差绝对值的大小，例如精确到米，说明结果与实际数相差不超过米，而有效数字往往用来比较几个近似数哪个更精确些. 【考点题型一】加减法的计算 【例1】比大2的数是（   ） A． B． C． D．3 【变式1-1】三个数，2的绝对值之和是（    ） A． B． C．7 D．21 【变式1-2】下列计算中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】数轴上有A，B两点，如果点A对应的数是，且A、B两点的距离是3，那么点B对应的数是 【考点题型二】有理数加减法的应用 【例2】某探测器所在的海拔高度是米，在它的上方15米处有一只海豚，则海豚所在的海拔高度是（   ） A．米 B．米 C．15米 D．45米 【变式2-1】淄博某日早晨8点气温为，中午12点上升了，此时气温为 ． 【变式2-2】梅里雪山是云南最高的山峰，某日测得山脚的气温是，山顶的气温是，则山脚与山顶的温差是 ． 【变式2-3】某天某港口最高水位为，最低水位为，该天最高水位与最低水位的差是（　　） A． B． C． D． 【考点题型三】加法运算率 【例3】计算时，可以运用（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．分配率 D．无法确定 【变式3-1】是应用了（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．分配律 D．加法交换律和加法结合律 【变式3-2】计算：． 【考点题型四】有理数乘除法的计算 【例4】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】计算： ． 【变式4-2】在数 ，1 ，2 ，3 ，5中任取两个数相乘，其中最小的积是 ． 【变式4-3】数学老师布置了一道思考题“计算”．小明仔细思考了一番，用了不同的方法解决这个问题：原式的倒数为，所以． (1)请你通过计算验证小明的解法的正确性； (2)请你运用小明的解法计算：． 【考点题型五】有理数乘除法的应用 【例5】出租车司机小张某天下午在一条东西走向的大道上运营，如果规定向东为正，他这天下午的行程记录如下（单位：千米）：； (1)将最后一名乘客送到目的地时，小张离下午出车点的距离是多少? (2)若汽车的耗油量为升/千米，油价为元/升，这天下午共需支付多少油费? (3)若出租车起步价为元，起步里程为（包括），超过部分每千米元，问小张这天下午共得车费多少元? 【变式5-1】在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位:千米）:， ，， ， ，， ，. (1)请你帮忙确定B地相对于A地的方位? (2)救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处有多远? (3)若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油? 【变式5-2】把一瓶果汁平均分成若干杯，分的杯数和每杯的果汁是如下表所示： 分的杯数 6 5 4 3 每杯的果汁量/毫升 (1)求这瓶果汁共有多少毫升？分的杯数和每杯的果汁是成什么比例关系？ (2)如果把这些果汁平均分成杯，那么每杯的果汁量是多少毫升？ 【变式5-3】今抽查10袋精盐，每袋精盐的标准质量是500克，超出的记为正数，不足的记为负数，统计成下表： 精盐袋数 2 3 3 1 1 每袋超出标准的质量/克 0 求平均每袋盐的质量． 【考点题型六】乘法运算率 【例6】利用分配律计算时，正确的方案可以是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】，这是为了运算简便而使用（   ） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．分配律 D．乘法交换律和结合律 【变式6-2】计算： 【变式6-3】计算： 【考点题型七】倒数 【例7】一个数的倒数等于它本身，则这个数是（    ） A．1 B．，0 C．1， D．1，0， 【变式7-1】的倒数是（   ） A．－ B． C．－ D． 【变式7-2】一个数的倒数就是它的相反数，这样的数有多少个？（    ） A．0 B．1 C．2 D．无数个 【变式7-3】的倒数与的倒数的积是 ． 【考点题型八】有理数的四则混合运算 【例8】利用运算律简便运算． (1)； (2)． 【变式8-1】数学老师布置了一道思考题“计算”： 小华的解法：； 大白的解法：原式的倒数为……………………第一步 …………………第二步 ……………………………第三步 …………………………………第四步 所以． 观察并思考两位同学的解法，请你回答下列问题： (1)两位问学的解法中，_______同学的解答正确； (2)大白解法中，第二步到第三步的运算依据是________． (3)用一种你喜欢的方法计算： 【变式8-2】利用运算律简便运算： (1)； (2)． 【变式8-3】先阅读下面的材料，再回答后面的问题： 计算：． 解法一：原式； 解法二：原式； 解法三：原式的倒数为．故原式． (1)上面得到的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法________是错误的． (2)请选择一种上述的正确方法解决下面的问题． 计算：． 【考点题型九】幂的定义 【例9】的底数与指数的差是 ． 【变式9-1】表示的意义是（   ） A．5个相加 B．5个相乘 C．5个3相加的相反数 D．5个3相乘的相反数 【变式9-2】对于与，下列说法中，正确的是（    ） A．读法相同，底数不同，结果不同 B．读法不同，底数不同，结果相同 C．读法相同，底数相同，结果不同 D．读法不同，底数不同，结果不同 【考点题型十】乘方的计算 【例10】有下列各数：，，，，，，其中负数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式10-1】下列各组数中，数值相等的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式10-2】已知a，b满足，那 ． 【变式10-3】求的值，可令，则，因．仿照以上推理，计算出的值为 ． 【考点题型十一】科学记数法 【例11】2024年某市计划重点工程建设项目投资总额为整数用科学记数法表示为，则原数中0的个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式11-1】在2023年“五一”期间，仙海旅游景区接待游客102200人次，将102200用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【变式11-2】2024年10月28日，成都世界园艺博览会落下帷幕，从暮春至深秋．从4月26日到10月28日，为期186天，郫都分会场聚焦“现代花卉产业未来发展答卷”主题，突出“花聚鹃城、创智园艺”理念，向全世界呈现了一场“郫都特色、精彩纷呈”的高水平盛会．186天里，共接待游客210万人次，请将数据2100000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【变式11-3】地球绕太阳公转的速度用科学记数法表示为，把它写成原数是（    ） A． B． C． D． 【考点题型十二】带乘方的有理数混合运算 【例12】计算： (1) (2) 【变式12-1】计算： (1)； (2)． 【变式12-2】计算： (1)； (2)． 【考点题型十三】近似数 【例13】按括号内的要求用四舍五入法求近似数，其中正确的是 （ ） A．（精确到十分位） B．（精确到0.1） C．（精确到个位） D．（精确到0.000 1） 【变式13-1】用四舍五入法将取近似数精确到百分位是 ． 【变式13-2】用四舍五入法将3.798精确到0.01，所得的近似数为 ． 【变式13-3】将精确到千位的近似数是（结果用科学记数法表示） ． 1．将数轴上一点A沿数轴向左平移7单位到点B，再由B向右平移6个单位到点C，而C为数轴上表示2的点，则点A表示的数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．计算： （　　） A．10 B．0 C． D．1 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．运用分配律计算时，你认为下列变形最简便的是（    ） A． B． C． D． 5．湖南省是我国矿产资源最为丰富的省份之一，素以“有色金属之乡”和“非金属矿之乡”著称．在已探明储量的矿产中，石煤、铋、锑、铌 （褐钇铌铁砂矿）、铍 （氧化铍）、普通萤石、玻璃用白云岩、海泡石粘土等8种矿产保有资源储量居全国第一位．年产矿石总量2.73亿吨，工业总产值299.79亿元．2.73亿用科学记数法可以表示为（   ） A． B． C． D． 6．如图，小李在某运动中，设定了每天的步数目标为8000步，每天超过目标数的步数记为“”，少于目标数的步数记为“”，则从2日到5日这四天中小李平均每天走的步数为（   ） A．8260步 B．8694步 C．8010步 D．8000步 7．数a和数b在直线上的对应点的位置如下图，数b可以用下列算式（    ）表示． A． B． C． D． 8．所有大于而小于2的整数的积等于 ． 9．绝对值小于11的所有整数的和为 ． 10．若一个数的相反数是，则这个数的倒数是 ． 11．数轴上表示数的点与原点相距3个单位长度，将点向右移动5个单位长度后得到点，点表示的数是 ． 12．的相反数是 ． 13．电动车厂某周5天（周六、周日休息）计划生产辆电动车，平均每天生产电动车辆，由于各种原因，实际每天的生产量与计划每天的生产量相比有出入，下表是该周的实际生产情况（超产记为正、减产记为负，单位：辆）： 星期 一 二 三 四 五 减增 (1)该厂星期一生产电动车______辆； (2)生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产电动车______辆； (3)该厂实行计件工资制，每生产一辆电动车可得元，那么该厂工人这周的工资总额是多少元？ 14．计算： (1)； (2)． 15．小王师傅是一名出租车司机．一天下午，他在一条东西走向的马路上连续接送8次乘客，并把每个乘客的行程记录如下： ，，，，，，，． （注：向西记作“”，向东记作“”，单位是千米）请思考并回答下列问题： (1)小王师傅在A处接上第一名乘客出发，将最后一名乘客送到目的地时，他此时在出发地A处什么方向？距A处多远？ (2)若每千米耗油升，每升油价元，王师傅接送8次乘客需油费多少元？ 16．以下是小丽和小陈同学解两道计算题的过程 问题1： 小丽的解法： 解：原式 问题2： 小陈的解法： 解：原式 (1)这两名同学解法有误的是：________（填“小丽”、“小陈”或“都不对”） (2)请帮助解法有误的同学写出正确的解法． 17．已知与互为相反数．求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02 有理数的计算（考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】加法法则 ⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 ⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。 ⑶一个数同0相加，仍得这个数。 【清单02】加法运算定律 （1）加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变。即a＋b=b＋a （2） 加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c） 【清单03】减法法则 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a－b=a＋（﹣）b 【清单04】乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 （2）任何数同0相乘，都得0。 （3）多个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即先确定符号，再把绝对值相乘，绝对值的积就是积的绝对值。 （4）多个数相乘，若其中有因数0，则积等于0；反之，若积为0，则至少有一个因数是0。 【清单05】乘法运算定律 （1）乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等。即a×b＝ba （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚。 （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c。 【清单06】除法法则 （1）除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数。 （2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0。 【清单07】乘方法则运算 （1）正数的任何次幂都是正数 （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 （3）0的任何正整数次幂都是0 【清单08】混合运算 （1）先乘方，再乘除，最后加减。 （2）同级运算，从左到右的顺序进行。 （3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。 【清单09】科学记数法 把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中1≤|a|＜10，n是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=2×105 【清单10】近似数 接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为6300㎞，这里的6300㎞就是近似数. 要点：一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入. 【清单11】精确度 一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度. 要点： （1）精确度是指近似数与准确数的接近程度. （2）精确度有两种形式：①精确到哪一位．②保留几个有效数字．这两种的形式的意义不一样，一般来说精确到哪一位可以表示误差绝对值的大小，例如精确到米，说明结果与实际数相差不超过米，而有效数字往往用来比较几个近似数哪个更精确些. 【考点题型一】加减法的计算 【例1】比大2的数是（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法，正确列出算式是解答本题的关键，根据大多少用加法列式求解即可． 【详解】解：． 故选C． 【变式1-1】三个数，2的绝对值之和是（    ） A． B． C．7 D．21 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值，有理数的加法，根据绝对值的定义，求出三个数的绝对值，再相加即可． 【详解】解： ， ， 故选：D． 【变式1-2】下列计算中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加减法，绝对值，熟练掌握有理数的加减法运算法则是解题的关键，根据有理数的加减法逐项计算即可． 【详解】解：、，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、，故本选项符合题意； 故选：． 【变式1-3】数轴上有A，B两点，如果点A对应的数是，且A、B两点的距离是3，那么点B对应的数是 【答案】或/或 【分析】本题考查数轴上两点距离的表示，分为点B在点A的右侧和点B在点A的左侧两种情况，运用有理数的加减法解题即可． 【详解】当点B在点A的右侧时，点B对应的数是； 当点B在点A的左侧时，点B对应的数是； 故答案为：或． 【考点题型二】有理数加减法的应用 【例2】某探测器所在的海拔高度是米，在它的上方15米处有一只海豚，则海豚所在的海拔高度是（   ） A．米 B．米 C．15米 D．45米 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的运算，解题关键是根据题意列出算式，准确进行计算． 【详解】解：， 海豚所在的海拔高度是米， 故选：B． 【变式2-1】淄博某日早晨8点气温为，中午12点上升了，此时气温为 ． 【答案】/1摄氏度 【分析】本题考查有理数加法运算的应用，列加法算式计算即可求解． 【详解】解：， 即此时气温为， 故答案为：． 【变式2-2】梅里雪山是云南最高的山峰，某日测得山脚的气温是，山顶的气温是，则山脚与山顶的温差是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数减法的应用，掌握有理数减法的运算法则是解题的关键．用山脚气温减去山顶气温即可． 【详解】山脚的气温是， 山顶的气温是， 山脚与山顶的温差是， 故答案为：． 【变式2-3】某天某港口最高水位为，最低水位为，该天最高水位与最低水位的差是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的减法，正数和负数等知识点，根据最高水位与最低水位的差进行列式计算即可，掌握有理数的减法运算法则是关键． 【详解】根据题意可知， ， 故选：C． 【考点题型三】加法运算率 【例3】计算时，可以运用（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．分配率 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查加法运算律，根据算式特点选择合适的运算律解答是关键．根据加法结合律计算比较简便，即可选择． 【详解】解：在计算时，可以先将和结合计算，故可以运用加法结合律． 故选B． 【变式3-1】是应用了（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．分配律 D．加法交换律和加法结合律 【答案】D 【分析】本题考查了加法的交换律和结合律，根据加法的运算律结合题意判断即可得解． 【详解】解：是应用了加法交换律和加法结合律， 故选：D． 【变式3-2】计算：． 【答案】24.2 【分析】本题主要考查了有理数加减运算，掌握有理数加减运算法则是解决问题的关键．应用加法的交换，结合律，即可计算． 【详解】解： ． 【考点题型四】有理数乘除法的计算 【例4】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘法，解题的关键是掌握有理数的乘法运算，进行计算，即可． 【详解】解：， 故选：D． 【变式4-1】计算： ． 【答案】 【分析】该题主要考查了有理数的乘法，解题的关键是掌握有理数的乘法运算法则． 将化为，再根据乘法交换律解答即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式4-2】在数 ，1 ，2 ，3 ，5中任取两个数相乘，其中最小的积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法以及有理数大小比较，熟练掌握有理数的乘法法则是解题的关键． 根据有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，可得和5的乘积最小． 【详解】解：根据题意得，最大的数为5 ，最小的数为， 所以最小的积． 故答案为：． 【变式4-3】数学老师布置了一道思考题“计算”．小明仔细思考了一番，用了不同的方法解决这个问题：原式的倒数为，所以． (1)请你通过计算验证小明的解法的正确性； (2)请你运用小明的解法计算：． 【答案】(1)小明的解法正确，见解析 (2) 【分析】本题考查有理数的除法，倒数的定义．熟练掌握有理数的运算法则，倒数的定义：“两数之积为1，两数互为倒数．”是解题的关键． （1）先算括号里的运算，再算除法，得出结果进行验证即可； （2）先算原式的倒数，再求这个数即可． 【详解】（1）解：小明的解法正确， ． （2）解：原式的倒数 ， ∴原式． 【考点题型五】有理数乘除法的应用 【例5】出租车司机小张某天下午在一条东西走向的大道上运营，如果规定向东为正，他这天下午的行程记录如下（单位：千米）：； (1)将最后一名乘客送到目的地时，小张离下午出车点的距离是多少? (2)若汽车的耗油量为升/千米，油价为元/升，这天下午共需支付多少油费? (3)若出租车起步价为元，起步里程为（包括），超过部分每千米元，问小张这天下午共得车费多少元? 【答案】(1)将最后一名乘客送到目的地时，小张离下午出车点的距离是千米 (2)天下午共需支付油费元 (3)小张这天下午共得车费元 【分析】本题主要考查正负数的实际运用，有理数的混合运算的实际运用，理解正负数的意义，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）根据正负数的意义，运用有理数的加减运算计算即可求解； （2）运用绝对值求出每次行驶的路程，再计算出行驶的总路程，根据油价，结合有理数的混合运算即可求解； （3）计算每次的行程与费用，最后求和即． 【详解】（1）解：（千米）， ∴将最后一名乘客送到目的地时，小张离下午出车点的距离是千米； （2）解：（千米）， ∴（元）， ∴这天下午共需支付油费元； （3）解：第一次，向西2千米，车费为8元， 第二次，向东5千米，车费为（元）， 第三次，向西1千米，车费为8元， 第四次，向东1千米，车费为8元， 第五次，向西6千米，车费为（元）， 第六次，向西2千米，车费为8元， ∴（元）， ∴小张这天下午共得车费元． 【变式5-1】在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位:千米）:， ，， ， ，， ，. (1)请你帮忙确定B地相对于A地的方位? (2)救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处有多远? (3)若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油? 【答案】(1)B地在A地的西边4千米 (2)救灾过程中，冲锋舟离出发点最远处有千米 (3)冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充5升油 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数加减法的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）将所给的路程记录相加，如果结果为正则B地在A地的东边，如果结果为负则B地在A地的西边，如果结果为0则B地与A地重合； （2）分别算出每次航行后离出发点的位置即可得到答案； （3）先求出总路程，再求出总油耗即可得到答案． 【详解】（1）解： （千米）， ∴B地在A地的西边4千米； （2）解：第一次航行后距离A地千米； 第二次航行后距离A地（千米）； 第三次航行后距离A地（千米）； 第四次航行后距离A地（千米）； 第五次航行后距离A地（千米）； 第六次航行后距离A地（千米）； 第七次航行后距离A地（千米）； 第八次航行后距离A地（千米）； ∴第四次航行后距离A地千米，冲锋舟离出发点A最远处， ∴救灾过程中，冲锋舟离出发点最远处有千米. （3）解： （升）， （升）． ∴冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充5升油． 【变式5-2】把一瓶果汁平均分成若干杯，分的杯数和每杯的果汁是如下表所示： 分的杯数 6 5 4 3 每杯的果汁量/毫升 (1)求这瓶果汁共有多少毫升？分的杯数和每杯的果汁是成什么比例关系？ (2)如果把这些果汁平均分成杯，那么每杯的果汁量是多少毫升？ 【答案】(1)，成反比例关系 (2) 【分析】本题考查了有理数的乘法应用，成反比例关系，有理数的除法应用等知识．熟练掌握有理数的乘法应用，成反比例关系，有理数的除法应用是解题的关键． （1）由题意知，瓶果汁共有（毫升），根据分的杯数和每杯的果汁的乘积是定值，作答即可； （2）根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，瓶果汁共有（毫升）， ∵分的杯数和每杯的果汁的乘积是定值， ∴分的杯数和每杯的果汁是成反比例关系， ∴这瓶果汁共有毫升，分的杯数和每杯的果汁是成分比例比例关系； （2）解：∵， ∴每杯的果汁量是毫升． 【变式5-3】今抽查10袋精盐，每袋精盐的标准质量是500克，超出的记为正数，不足的记为负数，统计成下表： 精盐袋数 2 3 3 1 1 每袋超出标准的质量/克 0 求平均每袋盐的质量． 【答案】平均每袋盐的质量为克 【分析】该题主要考查了有理数的加减乘除的应用，解题的关键是理解题意． 先计算出10袋盐超出或不足标准的克数的和，即可求出平均质量比标准质量多或者少多少克，再计算出10袋精盐的总质量，即可求解． 【详解】解： ， 10袋精盐的总质量是克， 故平均每袋盐的质量克． 【考点题型六】乘法运算率 【例6】利用分配律计算时，正确的方案可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘法，根据带分数的意义解答即可． 【详解】解：． 故选：A． 【变式6-1】，这是为了运算简便而使用（   ） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．分配律 D．乘法交换律和结合律 【答案】D 【分析】本题考查的是乘法的交换律与乘法的结合律，熟练的使用乘法的运算律进行简便运算是解本题的关键．在变形过程中交换了因数的位置，所以使用了乘法的交换律，再把，与先乘，使用了乘法的结合律，从而可得答案． 【详解】在， 运算过程中，使用了乘法交换律和结合律． 故选：D． 【变式6-2】计算： 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，利用乘法分配律计算即可． 【详解】解：原式 ． 【变式6-3】计算： 【答案】 【分析】本题考查了加法结合律、交换律及乘方分配律，熟练掌握乘法分配律是解题的关键，运用加法结合律、交换律得，进而运用乘法分配律得，进而求解即可． 【详解】解： ． 【考点题型七】倒数 【例7】一个数的倒数等于它本身，则这个数是（    ） A．1 B．，0 C．1， D．1，0， 【答案】C 【分析】本题考查了倒数，根据倒数的定义判断即可得出答案，熟练掌握倒数的定义是解此题的关键． 【详解】解：，， 故一个数的倒数等于它本身，则这个数是1，， 故选：C． 【变式7-1】的倒数是（   ） A．－ B． C．－ D． 【答案】D 【分析】本题考查了求一个数的倒数，熟练掌握倒数的定义是解答本题的关键．根据乘积为1的两个数互为倒数求解即可． 【详解】解：∵ ∴的倒数是． 故选D． 【变式7-2】一个数的倒数就是它的相反数，这样的数有多少个？（    ） A．0 B．1 C．2 D．无数个 【答案】A 【分析】本题考查了倒数与相反数的概念，解题的关键是掌握相应的概念，并且理解一个数的倒数就是它的相反数需要同时满足． 【详解】解：一个数的倒数就是它的相反数，在实数范围内不存在， 故这样的数有多少0个， 故选：A． 【变式7-3】的倒数与的倒数的积是 ． 【答案】 【分析】本题考查倒数和有理数的乘法，根据倒数的定义求出两数的倒数，再根据乘法法则进行计算即可． 【详解】解：的倒数为，的倒数为， ∴； 故答案为：． 【考点题型八】有理数的四则混合运算 【例8】利用运算律简便运算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，有理数的四则混合与运算，加法、乘法运算律．掌握各种运算法则是解题的关键． （1）根据加法交换律和结合律计算即可； （2）根据乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式8-1】数学老师布置了一道思考题“计算”： 小华的解法：； 大白的解法：原式的倒数为……………………第一步 …………………第二步 ……………………………第三步 …………………………………第四步 所以． 观察并思考两位同学的解法，请你回答下列问题： (1)两位问学的解法中，_______同学的解答正确； (2)大白解法中，第二步到第三步的运算依据是________． (3)用一种你喜欢的方法计算： 【答案】(1)大白 (2)乘法分配律 (3) 【分析】（）根据题目中的解答过程即可判断求解； （）根据乘法运算律即可求解； （）仿照大白的解法解答即可； 本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则和运算律是解题的关键． 【详解】（1）解：两位问学的解法中，大白同学的解答正确， 故答案为：大白； （2）解：大白解法中，第二步到第三步的运算依据是乘法分配律， 故答案为：乘法分配律； （3）解：原式的倒数为 ， ∴． 【变式8-2】利用运算律简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，有理数的四则混合运算，加法、乘法运算律，掌握各运算法则是解题关键． （1）根据加法交换律和结合律计算即可； （2）根据乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式8-3】先阅读下面的材料，再回答后面的问题： 计算：． 解法一：原式； 解法二：原式； 解法三：原式的倒数为．故原式． (1)上面得到的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法________是错误的． (2)请选择一种上述的正确方法解决下面的问题． 计算：． 【答案】(1)一 (2) 【分析】本题考查了有理数乘法运算律、含括号的有理数混合运算，解决本题的关键是读懂材料中提供的解题思路，仿照材料提供的解题思路解答． （1）解法一违反了运算律，所以解法一是错误的； （2）解法一是根据有理数的运算顺序先算括号里面的后算括号外面的；解法二是把先算出原式的倒数，再把计算的结果求倒数，即可得到原式的结果． 【详解】（1）除法没有分配律， 解法一是错误的． （2）解法一： ． 解法二：原式的倒数为： ， 原式． 【考点题型九】幂的定义 【例9】的底数与指数的差是 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘方和减法运算，根据题意得出底数和指数，再求它们的差即可． 【详解】解：在中，底数是2，指数是6， ∴的底数与指数的差是：， 故答案为：． 【变式9-1】表示的意义是（   ） A．5个相加 B．5个相乘 C．5个3相加的相反数 D．5个3相乘的相反数 【答案】B 【分析】本题考查的是乘方的意义，n个相同的因数a相乘，记作，则的表示的意义是5个相乘． 【详解】解：的表示的意义是5个相乘． 故选：B． 【变式9-2】对于与，下列说法中，正确的是（    ） A．读法相同，底数不同，结果不同 B．读法不同，底数不同，结果相同 C．读法相同，底数相同，结果不同 D．读法不同，底数不同，结果不同 【答案】D 【分析】本题考查了有理数乘方定义，熟练掌握有理数乘方的定义是解题的关键； n个相同的因数a相乘，记作，这种求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在乘方运算中，a叫做底数，n叫做a的幂的指数，简称指数，据此判断即可． 【详解】解：读作：负的5的平方，表示的是2个5的乘积的相反数，底数是5，指数是2，运算结果为． 读作：负5的平方，表示的是2个的乘积，底数是，指数是2，运算结果为25． 所以，与读法不同，底数不同，结果不同， 故选：D． 【考点题型十】乘方的计算 【例10】有下列各数：，，，，，，其中负数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的有关计算和概念，解题关键是熟练掌握互为相反数的定义、乘方的意义和绝对值的性质．先根据相反数的定义、乘方的意义和绝对值的性质，对各个算式进行计算，根据计算结果进行判断即可． 【详解】解： ，，，，，， 负数有，，，，共个， 故选：C． 【变式10-1】下列各组数中，数值相等的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，熟练掌握乘方的运算法则是解题的关键；根据乘方的运算法则逐项计算即可． 【详解】解：、，， ， 故本选项不符合题意； 、，， ， 故本选项符合题意； 、，， ， 故本选项不符合题意； 、，， ， 故本选项不符合题意， 故选：． 【变式10-2】已知a，b满足，那 ． 【答案】5或 或 【分析】本题考查了有理数的乘方，掌握有理数的乘方的含义是关键．根据乘方的性质解答即可． 【详解】解：解：， ， 或． 故答案为：5或． 【变式10-3】求的值，可令，则，因．仿照以上推理，计算出的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方，有理数的减法运算，熟练掌握有理数的乘方，有理数的减法运算是解题的关键． 由题意可令，则，再把两个式子相减即可求得结果． 【详解】解：令， 则， ， ， 故答案为：． 【考点题型十一】科学记数法 【例11】2024年某市计划重点工程建设项目投资总额为整数用科学记数法表示为，则原数中0的个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．根据科学记算法将恢复原数，然后得出答案即可． 【详解】解：， 即原数中0的个数为5个． 故选：C． 【变式11-1】在2023年“五一”期间，仙海旅游景区接待游客102200人次，将102200用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】解：将102200用科学记数法表示为． 故选：C． 【变式11-2】2024年10月28日，成都世界园艺博览会落下帷幕，从暮春至深秋．从4月26日到10月28日，为期186天，郫都分会场聚焦“现代花卉产业未来发展答卷”主题，突出“花聚鹃城、创智园艺”理念，向全世界呈现了一场“郫都特色、精彩纷呈”的高水平盛会．186天里，共接待游客210万人次，请将数据2100000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解： 故选：D ． 【变式11-3】地球绕太阳公转的速度用科学记数法表示为，把它写成原数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．本题根据已知科学记数法的结果再判断原数，先确定原数的整数数位即可． 【详解】解：， 故选：B． 【考点题型十二】带乘方的有理数混合运算 【例12】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算； （1）先算乘方和乘法，再算加法即可； （2）先算绝对值，再算括号，最后算除法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式12-1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是解题的关键． （1）先去绝对值符合，再根据有理数运算法则计算即可求解； （2）先进行括号内计算，再计算乘方，乘法，再计算减法即可求解． 【详解】（1）解：原式， （2）解：原式． 【变式12-2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算． （1）先计算乘方，再利用乘法运算律计算即可． （2）先计算乘方，化简绝对值，然后再计算乘除法，最后再计算加减法即可． 【详解】（1）解： （2）解： 【考点题型十三】近似数 【例13】按括号内的要求用四舍五入法求近似数，其中正确的是 （ ） A．（精确到十分位） B．（精确到0.1） C．（精确到个位） D．（精确到0.000 1） 【答案】B 【分析】本题考查了四舍五入法求近似数，大于或等于5进一，小于5则舍去，据此逐项分析即可作答． 【详解】解：A、（精确到十分位），故该选项是错误的； B、（精确到0.1），故该选项是正确的； C、（精确到个位），故该选项是错误的； D、（精确到），故该选项是错误的； 故选：B． 【变式13-1】用四舍五入法将取近似数精确到百分位是 ． 【答案】 【分析】本题考查了近似数，把千分位上的数字进行四舍五入即可． 【详解】解：四舍五入法将取近似数精确到百分位是， 故答案为：． 【变式13-2】用四舍五入法将3.798精确到0.01，所得的近似数为 ． 【答案】3.80 【分析】本题考查了近似数：“精确到第几位”是精确度的常用的表示形式．把千分位上的数字进行四舍五入即可． 【详解】解：(精确到)． 故答案为：3.80． 【变式13-3】将精确到千位的近似数是（结果用科学记数法表示） ． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法与近似数，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位；先求出近似数，再利用科学记数法的表示方法求解即可． 【详解】解： ， ， 故答案为：． 1．将数轴上一点A沿数轴向左平移7单位到点B，再由B向右平移6个单位到点C，而C为数轴上表示2的点，则点A表示的数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离距离计算，根据题意可得点C向左平移6个单位得到点B，点B向右平移7个单位得到点A，据此求解即可． 【详解】解：∵由B向右平移6个单位到点C，而C为数轴上表示2的点， ∴点B表示的数为， ∵点A沿数轴向左平移7单位到点B， ∴点A表示的数为， 故选：D． 2．计算： （　　） A．10 B．0 C． D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，先根据乘方运算法则进行计算，然后再根据有理数加法运算法则进行计算即可． 【详解】解： ， 故选：B． 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，分别计算出各选项的结果，再进行判断即可． 【详解】解：A. ， 故此选项计算错误，不符合题意； B. ， 故此选项计算错误，不符合题意； C. ， 故此选项计算错误，不符合题意； D. ， 故此选项计算正确，符合题意； 故选：D． 4．运用分配律计算时，你认为下列变形最简便的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的混合运算，原式变形后，利用乘法分配律判断即可．解题的关键是掌握乘法分配律：有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加，用字母表示为：． 【详解】解：． 故选：C． 5．湖南省是我国矿产资源最为丰富的省份之一，素以“有色金属之乡”和“非金属矿之乡”著称．在已探明储量的矿产中，石煤、铋、锑、铌 （褐钇铌铁砂矿）、铍 （氧化铍）、普通萤石、玻璃用白云岩、海泡石粘土等8种矿产保有资源储量居全国第一位．年产矿石总量2.73亿吨，工业总产值299.79亿元．2.73亿用科学记数法可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 【详解】2.73亿用科学记数法可以表示为． 故选：C． 6．如图，小李在某运动中，设定了每天的步数目标为8000步，每天超过目标数的步数记为“”，少于目标数的步数记为“”，则从2日到5日这四天中小李平均每天走的步数为（   ） A．8260步 B．8694步 C．8010步 D．8000步 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，根据正负数的意义求出这4天的总步数，再除以4即可得到答案． 【详解】解：步， ∴从2日到5日这四天中小李平均每天走的步数为8260步， 故选：A． 7．数a和数b在直线上的对应点的位置如下图，数b可以用下列算式（    ）表示． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查用数轴表示数，有理数的运算，根据点在数轴上的位置，结合有理数的计算法则，进行判断即可． 【详解】解：由数轴可知：， ∴， ∴数b可以用表示； 故选:D． 8．所有大于而小于2的整数的积等于 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算．写出不小于而小于2的所有整数，然后求积即可． 【详解】解：∵不小于而小于2的整数有，，，0，1， ∴这些整数的和为：． 故答案为：0． 9．绝对值小于11的所有整数的和为 ． 【答案】0 【分析】此题考查了有理数的加法和绝对值的意义，确定绝对值小于11的所有整数是解本题的关键，熟练掌握互为相反数的两个数为0．找出绝对值小于11的所有整数，求和即可． 【详解】解：因为绝对值小于11的所有整数是， 所以它们的和是0． 故答案为：0． 10．若一个数的相反数是，则这个数的倒数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数、倒数，掌握相反数、倒数的定义是解答此题的关键．根据相反数、倒数的定义解答即可求得答案． 【详解】解：设这个数是x， 根据题意得，， 解得，， 则这个数是， 的倒数是． 故答案为：． 11．数轴上表示数的点与原点相距3个单位长度，将点向右移动5个单位长度后得到点，点表示的数是 ． 【答案】8或 【分析】本题考查数轴和相反数的应用、有理数的加减，熟知数轴的意义是解答的关键．先求得m，再根据数轴的意义（左移减，右移加）分类求解即可． 【详解】解：∵数轴上表示数的点A与原点相距3个单位长度， ∴， 当时，点向右移动5个单位长度后得到点表示的数为， 当时，点向右移动5个单位长度后得到点表示的数为， 综上，点表示的数是8或． 故答案为：8或． 12．的相反数是 ． 【答案】1 【分析】此题考查的是求一个数的乘方和相反数．根据相反数的意义：只有符号不同的两个数互为相反数，即可解答． 首先化简，然后再根据相反数的概念可得答案． 【详解】解：，的相反数为1， 故答案为：1． 13．电动车厂某周5天（周六、周日休息）计划生产辆电动车，平均每天生产电动车辆，由于各种原因，实际每天的生产量与计划每天的生产量相比有出入，下表是该周的实际生产情况（超产记为正、减产记为负，单位：辆）： 星期 一 二 三 四 五 减增 (1)该厂星期一生产电动车______辆； (2)生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产电动车______辆； (3)该厂实行计件工资制，每生产一辆电动车可得元，那么该厂工人这周的工资总额是多少元？ 【答案】(1) (2) (3)该厂工人这周的工资总额元 【分析】本题考查了正负数的实际应用，有理数混合运算的实际应用等知识，理解正负数的意义并灵活运用加法运算律是解题的关键． （1）计划每天生产的电动车数与星期一增减数的和即可星期一实际生产的电动车数； （2）生产量最多的是星期四，生产量最少的是星期五，两者的差即是生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产电动车的辆数； （3）计算出实际生产的电动车辆数，由每生产一辆电动车可得元，则可计算该厂工人这周的工资总额． 【详解】（1）（辆）， ∴该厂星期一生产电动车辆． （2）由表格可知，生产量最多的是星期四，生产量最少的是星期五， 其中星期四生产了（辆）， 星期五生产了（辆）， ∵（辆）， ∴生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产电动车辆． （3）一周实际生产（辆）， ∵每生产一辆电动车可得元， ∴该厂工人这周的工资总额为（元）． 14．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算，四则混合运算；掌握有理数的混合运算是解本题的关键． （1）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减运算即可； （2）先计算绝对值，再把除法化为乘法运算，再计算乘法运算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 15．小王师傅是一名出租车司机．一天下午，他在一条东西走向的马路上连续接送8次乘客，并把每个乘客的行程记录如下： ，，，，，，，． （注：向西记作“”，向东记作“”，单位是千米）请思考并回答下列问题： (1)小王师傅在A处接上第一名乘客出发，将最后一名乘客送到目的地时，他此时在出发地A处什么方向？距A处多远？ (2)若每千米耗油升，每升油价元，王师傅接送8次乘客需油费多少元？ 【答案】(1)他此时在出发地A处东边，距A处8千米 (2)王师傅接送8次乘客需油费24元 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，正数和负数，利用有理数的加法是解题关键． （1）根据有理数的加法，可得和，根据正数在东，可得答案； （2）算出小王师傅总行程的距离，算出耗油量乘以每升油价可得答案． 【详解】（1）解：由题意可得， ， ∴他此时在出发地A处东边，距A处8千米； （2）千米， 元， 王师傅接送8次乘客需油费24元． 16．以下是小丽和小陈同学解两道计算题的过程 问题1： 小丽的解法： 解：原式 问题2： 小陈的解法： 解：原式 (1)这两名同学解法有误的是：________（填“小丽”、“小陈”或“都不对”） (2)请帮助解法有误的同学写出正确的解法． 【答案】(1)小陈 (2)见解析 【分析】本题主要考查有理数的除法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据运算法则进行判断即可； （2）小陈同学错误，根据乘法分配律进行正确计算即可； 【详解】（1）解：这两名同学解法有误的是小陈， 故答案为：小陈； （2）解： 原式的倒数 ， 故原式． 17．已知与互为相反数．求的值． 【答案】 【分析】根据题意得，得到，转化为，结合，裂项求和计算即可． 本题考查了绝对值的非负性，有理数的乘法，加减混合运算，熟练掌握运算规律是解题的关键． 【详解】解：∵与互为相反数． ∴， ∴， ∴转化为， ∵， ∴ ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$