第15章 轴对称图形与等腰三角形（单元复习课件）（知识梳理+考点整合+易混易错+课本复习题）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（沪科版）

沪科版八年级数学上册 单元考点串讲 第15章　轴对称图形与等腰三角形 目录/CONTENTS 易混易错 考点整合 知识梳理 课本复习题 线段的垂 直平分线 轴 对 称 角平分线 等腰三角形 轴 对 称 图 形 线段 角 性 质 及 判 定 知识梳理 把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形.这条直线叫做对称轴. 把一个图形沿一条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那么这两个图关于这条直线成轴对称. 这条直线叫做对称轴. 1.轴对称图形： 2.轴对称： 一、轴对称图形与轴对称 3.轴对称图形和轴对称的区别与联系 轴对称图形 轴对称 区别 联系 图形 (1)轴对称图形是指( ) 具 有特殊形状的图形, 只对( ) 图形而言; (2)对称轴( ) 只有一条 (1)轴对称是指( )图形 的位置关系,必须涉及 ( )图形; (2)只有( )对称轴. 如果把轴对称图形沿对称轴 分成两部分,那么这两个图形 就关于这条直线成轴对称. 如果把两个成轴对称的图形 拼在一起看成一个整体,那 么它就是一个轴对称图形. 一个 一个 不一定 两个 两个 一条 4.轴对称的性质： ①如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线； ②如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称. 1.线段中垂线的性质定理： 线段中垂线上的点到线段两端点的距离相等. 2.逆定理： 到线段两端点的距离相等的点在线段的中垂线上. 二、线段的中垂线 1.性质①： 等腰三角形的两个底角相等.（等边对等角） 等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°. 2.性质②： 等腰三角形的顶角的平分线垂直平分底边. （三线合一）. 推论： 三、等腰（边）三角形 3.等腰（边）三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质： 有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）. 三个角都相等的三角形是等边三角形. 有一个角是600的等腰三角形是等边三角形. 在直角三角形中，30°的角所对的直角边等 于斜边的一半. 判定定理： 推论①： 推论②： 定理 1.性质定理： 角平分线上的点到角两边的距离相等. 2.判定定理： 到角两边距离相等的点在角的平分线. 四、角平分线的性质与判定 两个概念 概念1 轴对称图形 1. [2024·合肥四十五中期中]如图是1982年我国发行的《中国古代钱币(第二组)》特种邮票中的四枚，分别展示了战国时期赵国、燕国、秦国和齐国使用的钱币.只从形状上看这四种钱币，不能看成轴对称图形的是(　B　) A. “甘丹”布 B. 尖首刀 B C. “下专”布 D. 方孔圜钱 考点整合 概念2 轴对称 2. [母题·教材P120练习T1]　观察图①～④中的左右两个图形，它们是否成轴对称？如果是，请画出其对称轴. 【解】题图①②③中的左右两个图形成轴对称，题图④中的左右两个图形不成轴对称.题图①②③中成轴对称的图形的对称轴如图所示. 六个性质 性质1 轴对称的性质 3. 如图，△ ABC 和△ ADE 关于直线 l 对称，连接 BE ， CD ， CE ，下列结论： ① l 垂直平分 CE ；②∠ BAE ＝∠ DAC ；③△ BCE ≌△ DEC ；④直线 BC ， DE 的交点一定在 l 上，其中正确的有(　D　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 D 性质2 线段垂直平分线的性质 4. 如图，在△ ABC 中，∠ BAC ＝70°，∠ C ＝40°，分别以点 A 和点 C 为圆心，大于 AC 的长为半径画弧，两弧相交于点 M ， N ，作直线 MN 交 BC 于点 D ，连接 AD ，则∠ BAD 的大小为 ⁠. 30°　 性质3 等腰三角形的性质 5. 如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ， D 是 BC 边上的中点，连接 AD ， BE 平分∠ ABC 交 AC 于点 E ，过点 E 作 EF ∥ BC 交 AB 于点 F . 已知∠ C ＝36°，则∠ BAD 的度数为 ⁠. 54°　 ∵ AB ＝ AC ，∴∠ C ＝∠ ABC . ∵∠ C ＝36°，∴∠ ABC ＝36°. ∵ D 为 BC 的中点， AB ＝ AC ，∴ AD ⊥ BC . ∴∠ ADB ＝90°. ∴∠ BAD ＝90°－∠ ABC ＝90°－36°＝54°. 【点拨】 性质4 等边三角形的性质 6. 如图，木工师傅从边长为90 cm的正三角形木板上锯出一个正六边形木板，那么正六边形木板的边长为 ⁠. 30 cm　 性质5 含30°角的直角三角形的性质 7. [2024·阜阳期中]如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ， D ， E 是△ ABC 内两点，连接 AD ， DE 和 BE ， AD 平分 ∠ BAC ，∠ EBC ＝∠ E ＝60°，若 BE ＝6， DE ＝2，则 BC 的长度是 ⁠. 8　 【点拨】 如图，延长 AD 交 BC 于点 F ，延长 ED 交 BC 于点 G . ∵ AB ＝ AC ， AD 平分∠ BAC ， ∴ AF ⊥ BC ， BF ＝ FC ， ∴∠ DFC ＝90°. ∵∠ E ＝∠ EBC ＝60°， ∴∠ EGB ＝60°， ∴ EG ＝ BG ＝ EB ＝6. ∵ DE ＝2，∴ DG ＝4. ∵∠ DFG ＝90°，∠ DGF ＝60°， ∴∠ FDG ＝30°，∴ FG ＝ DG ＝2， ∴ BF ＝ BG － FG ＝4，∴ BC ＝2 BF ＝8. 性质6 角平分线的性质 8. 如图，在Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝90°，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是(　B　) A. ∠ BDE ＝∠ BAC B. ∠ BAD ＝∠ B C. DE ＝ DC D. AE ＝ AC B 三个判定 判定1 线段垂直平分线的判定 9. [2024·安庆四中月考]如图， AD 为△ ABC 的角平分线， DE ⊥ AC 于点 E ， DF ⊥ AB 于点 F ， EF 交 AD 于点 M . 求证： AD 垂直平分 EF . 【证明】∵ AD 为△ ABC 的角平分线， DE ⊥ AC ， DF ⊥ AB ， ∴∠ FAD ＝∠ EAD ， DE ＝ DF . ∴点 D 在线段 EF 的垂直平分线上.在△ AFD 和△ AED 中， ∵∠ AFD ＝∠ AED ＝90°，∠ FAD ＝∠ EAD ，AD ＝ AD ， ∴△ AFD ≌△ AED ( AAS ). ∴ AF ＝ AE . ∴点 A 在线段 EF 的垂直平分线上. ∴ AD 垂直平分 EF . 判定2 等腰三角形的判定 10. 如图，把平行四边形纸片 ABCD 沿 BD 折叠，点 C 落在 C '处， BC '与 AD 相交于点 E . (1)连接AC'，则AC'与 BD 的位置关系是 ⁠； AC'∥ BD 　 证明：由折叠的性质可知∠ CBD ＝∠ EBD . ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AD ∥ BC . ∴∠ CBD ＝∠ EDB . ∴∠ EBD ＝∠ EDB . ∴ EB ＝ ED ，∴△ BDE 是等腰三角形. (2)△ BDE 是等腰三角形吗？证明你的结论. 【解】△ BDE 是等腰三角形. 判定3 角平分线的判定 11. 如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ， BE ⊥ AC 于点 E ， CD ⊥ AB 于点 D ， BE ， CD 相交于点 F ，连接 AF . 求证： AF 平分∠ BAC . 【证明】∵ BE ⊥ AC ， CD ⊥ AB ， ∴∠ AEB ＝∠ ADC ＝90°. 在△ AEB 与△ ADC 中， ∴△ AEB ≌△ ADC ( AAS ).∴ AE ＝ AD . 在Rt△ AEF 与Rt△ ADF 中， ∴Rt△ AEF ≌Rt△ ADF ( HL ). ∴∠ EAF ＝∠ DAF ，∴ AF 平分∠ BAC . 两个应用 应用1 轴对称的应用 12. 如图， A ， B 两点在直线 l 的两侧，在直线 l 上找一点 C ，使点 C 到点 A ， B 的距离之差最大，并说明理由. 【解】如图，以直线 l 为对称轴，作点 A 关于直线 l 的对称点A'，连接A'B并延长交直线 l 于点 C ，则点 C 即为所求. 理由：如图，在直线 l 上任找一点 C '(异于点 C )，连接 CA ， C ' A ， C ' A '， C ' B . ∵点 A ，A'关于直线 l 对称， ∴直线 l 为线段AA'的垂直平分线. ∴ CA ＝ CA '. ∴ CA － CB ＝ CA '－ CB ＝ A ' B . 又∵点C'在直线 l 上， ∴ C ' A ＝ C ' A '，∴ C ' A － C ' B ＝ C ' A '－ C ' B . 在△A'BC'中，C'A'－C'B＜A'B， ∴ C ' A － C ' B ＜ CA － CB . 应用2 线段垂直平分线的应用 13. 如图， A ， B ， C 三点表示三个村庄，为了解决村民子女就近入学的问题，计划新建一所学校，要使学校到三个村庄的距离相等，请你在图中确定学校的位置.(写出作法) 【解】作法：(1)连接 AB ， BC ； (2)分别作 AB ， BC 的垂直平分线交于点 P ，则点 P 就是 所要确定的学校的位置，如图所示. 两种思想 思想1 方程思想 14. 如图，△ ABC 是等腰三角形， AB ＝ AC ，在△ ABC 的 外部分别作等边三角形 ADB 和等边三角形 ACE . 若 ∠ DAE ＝∠ DBC ，求△ ABC 三个内角的度数. 【解】∵△ ADB 和△ ACE 都是等边三角形，∴∠ DAB ＝∠ ABD ＝∠ CAE ＝60°， ∴∠ DAE ＝∠ DAB ＋∠ BAC ＋∠ CAE ＝60°＋∠ BAC ＋60°＝120°＋∠ BAC ，∠ DBC ＝∠ DBA ＋∠ ABC ＝60°＋∠ ABC . ∵∠ DAE ＝∠ DBC ，∴120°＋∠ BAC ＝60°＋∠ ABC ，即∠ ABC ＝60°＋∠ BAC . 又∵ AB ＝ AC ，∴∠ ACB ＝∠ ABC ＝60°＋∠ BAC . 设∠ BAC ＝ x °. ∵∠ BAC ＋2∠ ABC ＝180°， ∴ x ＋2( x ＋60)＝180，解得 x ＝20. ∴∠ ACB ＝∠ ABC ＝60°＋∠ BAC ＝60°＋20°＝80°. ∴△ ABC 三个内角的度数分别为20°，80°，80°. 思想2 分类讨论思想 15. 在等腰三角形 ABC 中，∠ A 比∠ B 的2倍小50°，则∠ B 的度数为 ⁠. 57.5°或56°或50°　 【点拨】 设∠ B ＝ x °，则∠ A ＝2 x °－50°. ∵∠ A ＋∠ B ＋∠ C ＝180°， ∴∠ C ＝180°－(2 x °－50°)－ x °＝230°－3 x °. 当 AB ＝ AC 时，有∠ B ＝∠ C ，则 x ＝230－3 x ，解得 x ＝57.5； 当 AB ＝ BC 时，有∠ A ＝∠ C ，则2 x －50＝230－3 x ，解得 x ＝56； 当 AC ＝ BC 时，有∠ A ＝∠ B ，则2 x －50＝ x ，解得 x ＝50. 综上所述，∠ B 的度数为57.5°或56°或50°. 易混易错 39 已知：点A(a，b)与点B(c，d) . (1)如果点A，B关于 y 轴对称，那么a，b，c，d 应满足什么条件？ 1. 解：(1)a+c=0(a≠0,c≠0)，b=d . 复习题15A组 (2)如果点A，B关于 x 轴对称，那么a，b，c，d 应满足什么条件？ (2)b+d=0(b≠0,d≠0)，a=c . 直线l 与直线 y=2x关于 y轴对称，写出直线 l所表示的函数表达式. 2. 解：直线 l所表示的函数表达式为 y=-2x . 已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点.△EAD为等腰直角三角形，∠AED=90°. 试猜想线段BE和EC的关系，并证明你的猜想. 3. 解：BE=EC. 证明如下： ∵AC=2AB，点D是AC的中点， ∴AC=2DC，∴AB=DC. ∵△EAD为等腰直角三角形， ∴AE=DE，∠EAD=∠EDA=45°， ∵∠BAE=∠BAC+∠DAE=135°， ∠CDE=180°－∠EDA=135°， ∴∠BAE=∠CDE . 在△ABE和△DCE中， ∵ ∴△ABE≌△DCE.(SAS) ∴BE=CE. 已知：△ABC中，AB=AC，AD是BC边上中线，AB的垂直平分线交AD于点O，∠B的平分线交AD于点I. 求证：(1)OA=OB=OC； 4. 证明：(1)如图所示， ∵AB=AC，AD是BC边上中线， ∴AD⊥BC，即AD是线段BC的垂直平分线， ∴OB=OC.(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等) 又∵AB的垂直平分线交AD于点O， ∴OA=OB.(线段垂直平分线上的 点到线段两端的距离相等) ∴OA=OB=OC . (2)点I到BC，CA，AB的距离相等. (2)由(1)知，AD是∠BAC的平分线， ∴点I到AB，AC的距离相等， 又∵∠ABC的平分线交AD于点I， ∴点I到AB，BC的距离相等， ∴点I到BC，CA，AB的距离相等. 已知：如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F为垂足. 求证：AD垂直平分EF . 5. 证明：∵AD是△ABC的角平分线， DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF，即点D是EF 垂直平分线上的点. 在Rt△AED和Rt△AFD中， ∵DE=DF，AD=AD， ∴Rt△AED≌Rt△AFD.(HL) ∴AE=AF，即点A是EF 垂直平分线上的点. ∴AD垂直平分EF . 已知：如图，△ABC是等边三角形，BD是中线. 点E在BC的延长线上，使CE=CD. 求证：DB=DE. 6. 证明：∵△ABC是等边三角形，BD是中线， ∴BD是∠ABC的平分线. ∴∠DBC=30°. ∵CE=CD，∴∠CDE=∠E. ∵∠ACB=∠CDE+∠E=60°， ∴∠CDE=∠E=30°. ∴∠DBC=∠E. ∴DB=DE . 7.求证：有两条高相等的三角形是等腰三角形. 证明：如图所示，在△ABC中，CE⊥AB，交AB于点E，BD⊥AC，交AC于点D. CE=BD. 在Rt△BCE和Rt△CBD中， ∵CE=BD(已知)，BC=CB(公共边). ∴Rt△BCE≌Rt△CBD.(HL) ∴∠EBC=∠DCB . ∴AB=AC . 即△ABC为等腰三角形. 8.已知：如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AB=AC，∠BAC=120°，DE⊥AB，DF⊥AC,垂足分别是E，F . 求证：DE +DF= BC . 证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C. 又∵∠BAC=120°，∠BAC+∠B+∠C=180°， ∴∠B=∠C=30°. 在Rt△BDE和Rt△CDF中， DE= BD, DF= DC, ∵BD+DC=BC, ∴DE +DF= BC . 9.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AC的垂直平分线EF交AC于点E、交BC于点F.求证：BF=2CF. 证明：如图，连接AF，∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°. ∵EF垂直平分AC，∴AF=CF， ∴∠FAC=∠C=30°. ∴∠BAF=∠BAC-∠FAC=90°. 在Rt△ABF中，∵∠B=30°, ∴BF=2AF， ∴BF=2CF. 10.已知：如图，AD⊥DE，BE⊥DE，AC，BC分别平分∠DAB，∠ABE，点C在线段DE上.求证：AB=AD+BE. 证明：如图，过点C作CF⊥AB， 交AB于点F. ∵AD⊥DE，BE⊥DE， AC，BC分别平分∠DAB，∠ABE， ∴CD=CF=CE. 在Rt△ACD和Rt△ACF中， ∵CD=CF(已证), AC=AC(公共边). ∴Rt△ACD≌Rt△ACF.(HL) ∴ AD=AF . 同理可得BE=BF . ∵AB=AF+BF， ∴AB=AD+BE. 已知：如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D在BC上，BD=AB，作DE⊥BC，点E在边AC上.求证： (1)BE平分∠ABC； 证明：(1)在Rt△ABE和Rt△DBE中， ∵AB=DB(已知)， BE=BE(公共边). ∴Rt△ABE≌Rt△DBE.(HL) ∴∠ABE=∠DBE. ∴BE平分∠ABC . (2) AE=ED=DC . (2)由(1)知Rt△ABE≌Rt△DBE，∴AE=DE. ∵在△ABC中，∠A=90°，AB=AC， ∴∠C=45°, ∴∠DEC=90°－∠C=45°， 即∠DEC=∠C. ∴ED=DC . ∴AE=ED=DC . 12.已知：如图，在△ABC中，以它的边AB，AC为边，分别在形外作等边三角形ABD，ACE，连接BE，DC. 求证：BE=DC. 证明：∵△ABD，△ACE 是等边三角形， ∴AB=AD, AE=AC, ∠DAB=∠CAE=60°. ∵∠DAC=∠DAB+∠BAC,∠BAE=∠CAE+ ∠BAC, ∴∠DAC=∠BAE. 在△ABE和△ADC中， ∵ ∴△ABE≌△ADC.(SAS) ∴ BE=DC. 13.已知：如图，线段CD与∠AOB，通过作图求一点P，使PC=PD，并且点 P到∠AOB两边的距离相等. E M N P 解：作法如图所示， (1)作∠AOB的平分线OE; (2)作线段CD的垂直平分 线MN，交OE于点P. 点P即为所求. 14.已知：如图，Rt△ABC中，∠C=90°，沿过点B的一条直线BE折叠这个三角形，使点C与边AB上的点D重合.要使D恰好为AB的中点，问还需增加一个什么 条件？说出你增加的条件及依据. 解：还需要增加的条件是∠A=30°. 依据：在Rt△ABC中，因为∠A=30°， ∴BA=2BC，根据折叠可知 BC=BD， ∴BA=2BD, 即D为AB的中点 . 1.根据下列点的坐标变化，判断它们进行了怎样的变换？ (1)(-3，-1)→(3，-1)； (2)(-5，6)→(-5，1)； 解：(1)向右平移6个单位或关于y轴对称. (2)沿y轴向下平移5个单位. 复习题15B组 (3)(4，3)→(4，-3)； (4)(2，-3)→(3，-2)； (3)向下平移6个单位或关于x轴对称. (4)先向右平移1个单位，再向上平移1个单位(或先向上平移1个单位，再向右平移1个单位). 2.BD是△ABC的角平分线，BD的垂直平分线交CA的延长线于点E. 求证：∠EAB=∠EBC. 证明：如图所示. ∵BD平分∠ABC， ∴∠1=∠2， ∵EF垂直平分BD， ∴EB=ED， ∴∠EBD=∠EDB. 又∵∠EAB=∠1+∠EDB, ∠EBC=∠2+∠EBD, ∴∠EAB=∠EBC. 3.已知：O是线段AB的中点，直线MN经过点O，点C, D在直线MN，∠1=∠2=45°. (1)若点C与点O重合[图(1)]，请直接写出AC与BD的数量关系和位置关系； 解：AC=BD，AC⊥BD. (1) 解析：∵∠1=∠2=45° ∴∠DOB=∠1=45°.∴∠DBO=90°. ∴△DBO为等腰直角三角形. ∴OB=DB，OB⊥DB 又∵O是线段AB的中点，点C与点O重合， ∴AC=OB=BD，AC⊥BD. (2)若点C，D不与点O重合[图(2)]，求证： AC=BD，AC⊥BD. 证明：过点A作AE⊥AC交MN于点E，则有∠AEC=∠1=∠2=45°，∴AE=AC. ∵O是线段AB的中点，∴OA=OB. E (2) 在△AOE和△BOD中， ∵ ∴△AOE≌△BOD.(AAS) ∴AE=BD， ∴AC=BD. ∵∠AEC=∠2， ∴AE∥BD. 又∵AE⊥AC， ∴AC⊥BD. 4.已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D, E是边AB上的两点，且AD=AC，BE=BC. 求证：∠DCE=45°. 证明：设∠BCD=∠1, ∠DCE=∠2,∠ACE=∠3, ∵AD=AC,∴∠ADC=∠2+∠3. ∵BE=BC,∴∠BEC=∠2+∠1. 在△DEC中，∠EDC+∠DEC+∠2=180°， 即∠2+∠3+∠2+∠1+∠2=180°，① 又∵∠ACB=90°， ∴∠1+∠2+∠3=90°.② 由①②可得，2∠2=90°， ∴∠2=45°.即∠DCE=45°. 5.已知：如图，点D在等边三角形ABC的边AC上，点E在边AB的延长线上，使BE=CD,DE交BC于点P.求证：PD=PE. 证明：过点D作DF平行AE， 交CB于点F. ∵△ABC为等边三角形， ∴∠CFD=∠CBA=60°=∠C， F ∴CD=DF=BE, 在△DFP和△EBP中， ∵ ∴△DFP≌△EBP.(AAS) ∴PD=PE. 6.(1)已知：如图(1)，在△ABC中，∠ABC,∠ACB的平分线交于点O,过点O的直线 DE∥BC, DE分别与AB，AC交于点D, E. 求证：BD+CE=DE. (1)证明：∵BO平分∠ABC, ∴∠OBD=∠OBC, ∵DE∥BC，∴∠DOB=∠OBC, ∴∠OBD=∠DOB， ∴BD=OD. 同理可得OE=CE. ∵OD+OE=DE, ∴BD+CE=DE. (2)将(1)题条件“∠ACB的平分线”改为“∠ACB的外角平分线”，如图(2)所示.原来的关系式BD+CE=DE还成立吗？如果不成立，你能推断出BD，CE，DE存在的数量 关系式吗？请证明你的推断. (2)解：不成立，BD-CE=DE. 证明如下： ∵BO平分∠ABC, ∴∠OBD=∠OBC. ∵DO∥BC, ∴∠DOB=∠OBC, 即 ∠OBD=∠DOB，∴BD=OD. ∵CO是∠ACB的外角平分线, ∴∠ACO=∠OCF, ∵DO∥BC, ∴∠DOC=∠OCF, 即 ∠ACO=∠DOC，∴CE=OE. ∴BD-CE=OD-OE=DE. 1.已知：等腰三角形ABC中，AB=AC. (1)P为底边BC上任一点，自点P向两腰所在直线作垂线PE，PF，点E，F为垂足.求证： PE+PF等于定值； 复习题15C组 证明：如图所示，连接AP，设△ABC的腰AB上的高为h, 则S△ABC=S△ABP+S△ACP, 即 AB·h= AB·EP+ AC·FP, ∵AB=AC，∴PE+PF=h ∴PE+PF等于定值. (2)证得(1)中的结论后，请你对本章A组复习题第8题的条件和你原来的证明方法进行反思. 解：本章A组复习题第8题是本题的一个特例，点D是底边的中点.运用本题的方法也可以证明. (3)若点P在底边BC的延长线上时，情况如何？ 解：如图所示，连接AP，设△ABC的腰AB上的高为h, 则S△ABC=S△ABP-S△ACP, 即 AB·h= AB·EP - AC·FP, ∵AB=AC，∴PE-PF=h. ∴点P在BC的延长线上时, PE-PF等于定值. 2.已知：等边三角形ABC. (1)P为△ABC内任一点，自点P向三边所在直 线作垂线PD，PE，PF，点D，E，F为垂足.求证：PD+PE+PF等于定值； (1)证明：如图所示，连接AP，BP，CP，设△ABC的边AB上的高为h, 则S△ABC=S△ABP+S△ACP+S△BCP, 即 AB·h= AB·EP + AC·FP+ BC·DP. ∵AB=AC=BC， ∴PD+PE+PF=h , 即PD+PE+PF等于定值. 解：如图所示，连接AP，BP，CP，设△ABC的边AB上的高为h, 则 S△ABC=S△ABP+S△BCP-S△ACP, 即 AB·h= AB·EP + BC·DP- AC·FP, (2)若点P在△ABC外时，情况如何？ ∵AB=AC=BC， ∴PD+PE-PF=h , 即当点P在△ABC外时，PD+ PE-PF等于定值. $$