第一单元 简易方程 知识归纳与题型突破（知识清单）-2024-2025学年五年级数学下册单元速记·巧练（苏教版）

第一章 简易方程 知识归纳与题型突破 01 思维导图 02 知识速记 一、等式和方程 1．等式的意义：表示相等关系的式子叫作等式。从形式上看，含有“＝”(等号)的式子就是等式。 2．方程的意义：含有未知数的等式是方程。 3．等式和方程的关系：等式包含方程，方程一定是等式，等式不一定是方程。 二、等式的性质和解方程 1.等式的性质(1)：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。这是等式的性质。 2.使方程左右两边相等的未知数的值叫作方程的解，求方程的解的过程叫作解方程。 3.形如x ± a＝b的方程的解法：x±a＝b 解：x±a∓a＝b∓a x＝b∓a 4. 等式的性质(2)：等式两边同时乘或除以同一个不是0的数，所得结果仍然是等式。这也是等式的性质。 5. 形如ax＝b的方程的解法：解形如ax＝b的方程时，根据等式的性质(2)，方程的两边同时除以a。 三、列方程解决实际问题 1.列方程解决问题的具体步骤： (1)写解和设句； (2)根据相等关系列方程； (3)解方程； (4)检验； (5)写出答语。 2．相等关系：已知数量甲比乙的几倍多(或少)几和数量甲，求数量乙的实际问题，可设数量乙为x，根据数量乙×倍数±几＝数量甲，列出形如ax ± b＝c的方程进行解答。 3．形如ax± b＝c的方程的解法：ax±b＝c 解：ax±b ∓b＝c∓b ax＝c∓b x＝(c∓b)÷a 四、列方程解决三步实际问题 1．解决涉及两个未知量的问题时，一般设标准量为x，另一个未知量用含有x的式子表示，然后根据等量关系式列方程求解。 2．形如ax±bx＝c的方程的解法：ax±bx＝c 解：(a±b)x＝c (a±b)x÷(a±b)＝c÷(a±b) x＝c÷(a±b) 3．解形如ax±b×c＝d的方程时，把ax看作一个整体，先求出ax的值，再求出x的值。 4．解形如a(x±b)＝c的方程时，把小括号内的x±b看作一个整体，先求出x±b的值，再求出x的值。 03 题型归纳 题型一　等式的意义和性质 例1．（2022春•埇桥区期末）请你画图或举例说说下面这句话的意思： 等式两边都乘同一个数（或除以同一个不为0的数），等式仍成立． 【分析】等式的性质是指在等式的两边同时加、减同一个数，或同时乘、除以同一个不等于0的数，所得结果仍然是等式，然后举例说明即可． 【解答】解：5+10＝15， （5+10）×2＝30， 15×2＝30， （5+10）÷5＝3， 15÷5＝3，所以等式两边都乘同一个数（或除以同一个不为0的数），等式仍成立． 【点评】此题考查学生对等式的基本性质的理解，要注意：同时乘或除以同一个数时，必须是0除外． 巩固训练 1．（2020秋•曾都区期末）将23、25、27、29，等式成立。 【分析】根据加减法的互逆关系可知，只要把这四个数分成相等的两组即可得解。 【解答】解：由分析可得： 25+27﹣29＝23。 【点评】此题考查了加减法的互逆关系以及等式的意义。 2．（2020春•洛宁县期末）一个梨和　 2　个桃同样重． 【分析】由图可知：2个梨和4个桃子的质量相等，那么梨的数量减去一半，桃子的数量也要减去一半． 【解答】解：根据题干分析可得：2梨＝4桃 （2÷2）梨＝（4÷2）桃 1梨＝2桃 答：1个梨和2个桃一样重． 故答案为：2． 【点评】此题考查了天平知识，以及运用等量代换的方法，解决问题． 3．（2023秋•长沙县期末）已知360+2b＝480，那么360+2b﹣a＝480﹣a。 　 　 说理：　√；等式两边同时减去一个相同的数，等式仍然成立。　 【分析】根据等式的基本性质解答即可。 【解答】解：已知360+2b＝480，那么360+2b﹣a＝480﹣a。 原题说法正确。 理由：等式两边同时减去一个相同的数，等式仍然成立，所以原题说法正确。 故答案为：√；等式两边同时减去一个相同的数，等式仍然成立。 【点评】掌握等式的性质是解题关键。 题型二　方程的意义和解方程 例1．（2013春•富源县校级期中）解方程． 5x+7＝42 2（x﹣3）＝5.8 3.6x﹣x＝3.28． 【分析】（1）根据等式的性质，两边同时减去7，再同时除以5即可； （2）先根据等式的性质，两边同时除以2，再同时加上3即可； （3）先把左边计算出来得2.6x＝3.28，再利用等式的性质两边同时除以2.6即可． 【解答】解：（1）5x+7＝42， 5x+7﹣7＝42﹣7， 5x＝35， 5x÷5＝35÷5， x＝7， （2）2（x﹣3）＝5.8， 2（x﹣3）÷2＝5.8÷2， x﹣3＝2.9， x﹣3+3＝2.9+3， x＝5.9， （3）3.6x﹣x＝3.28， 2.6x＝3.28， 2.6x÷2.6＝3.28÷2.6， x＝． 【点评】此题主要考查等式的性质的应用． 巩固训练 1．用方程表示下列数量关系。 车上原来有15人，到站后下去x人，上来4人，现在车上有18人。 【分析】根据题意，数量关系是：原来的人数﹣下来的人数+上去的人数＝现在的人数；根据数量关系，把题中的条件代入即得所需的方程。 【解答】解：15﹣x+4＝18 19﹣x＝18 x＝1 答：到站后下去1人。 【点评】此题考查列方程表示数量关系，先要弄清题中各数量之间是怎样的关系。 2．解方程． 2.8÷x＝35 　 5x+2﹣1.8＝3.6． 【分析】（1）根据等式的性质，方程两边同乘x后再同除以35即可得解； （2）先化简，根据等式的性质，方程两边同减去0.2后再同除以5即可得解． 【解答】解：（1）2.8÷x＝35 2.8÷x×x＝35×x 35x÷35＝2.8÷35 x＝0.08 （2）5x+2﹣1.8＝3.6 5x+0.2＝3.6 5x+0.2﹣0.2＝3.6﹣0.2 5x÷5＝3.4÷5 x＝0.68 【点评】本题考查了运用等式的性质解方程的方法，计算时要细心，注意把等号对齐． 3．（2024春•惠来县期末）列方程，并解方程。 （1） （2）我想一个数x，这个数乘6再减去3是117。 【分析】（1）由题图可知：x的4倍加上45支的和等于129支，据此列方程求出x的值即可； （2）根据等量关系：这个数×6﹣3＝117列方程解答即可。 【解答】解：（1）4x+45＝129 4x+45﹣45＝129﹣45 4x＝84 4x÷4＝84÷4 x＝21 （2）6x﹣3＝117 6x﹣3+3＝117+3 6x＝120 6x÷6＝120÷6 x＝20 【点评】找出题中的等量关系是列方程的关键，掌握等式的基本性质是解方程的关键。 题型三　列方程解决实际问题 例1．（2013•陆良县模拟）一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行50千米，6小时可以到达乙地，如果每小时行60千米，可提前几个小时到达？ 解法一：设可提前x小时到达 解法二：设提速后x小时到达乙地． 【分析】解法一：设可提前x小时到达，根据甲地到乙地的距离相等列并解方程；解法二：设提速后x小时到达乙地，根据甲地到乙地的距离相等列并解方程即可． 【解答】解：（1）设可提前x小时到达，由题意得， 60×（6﹣x）＝50×6， 60x＝60， x＝1； （2）设提速后x小时到达乙地，由题意得， 60x＝50×6， x＝5， 可提前：6﹣5＝1（小时）． 答：可提前1个小时到达． 【点评】此题考查方程的意义，关键是找准题中的等量关系，列并解方程即可． 巩固训练 1．（2021秋•宁安市期末）两个相邻自然数的和是87，这两个自然数分别是多少？（列方程解） 【分析】相邻的两个自然数相差1，设较小的自然数为x，则较大的自然数为（x+1），它们的和是87。根据这个等量关系列方程解答。 【解答】解：设较小的自然数为x，则较大的自然数为（x+1）。 x+（x+1）＝87 2x+1﹣1＝87﹣1 2x÷2＝86÷2 x＝43 当x＝43时，x+1＝43+1＝44 答：这两个自然数分别是43和44。 【点评】解答本题的关键是熟练掌握相邻的两个自然数相差1。 2．（2014秋•丰都县校级期末）师傅加工了480个零件，比徒弟的2倍少60个．徒弟加工了多少个零件？（用方程解） 【分析】此题要求用方程解答，可设徒弟加工了x个零件，根据关系式：“师傅加工的零件数＝徒弟加工的零件数×2﹣60”，列出方程解答即可． 【解答】解：设徒弟加工了x个零件，由题意得： 2x﹣60＝480， 2x＝480+60， 2x＝540， x＝270； 答：徒弟加工了270个零件． 【点评】此题根据题中的数量关系，列出方程解答即可，重点考查学生列方程解方程的能力． 3．列方程求出表中x、y的值． （1） 男生 女生 合计 航模组 x人 7人 36人 舞蹈组 29人 y人 35人 （2） 原有 卖出 还剩 果汁 92箱 x箱 43箱 牛奶 y箱 69箱 31箱 【分析】（1）航模（舞蹈）小组总人数＝男生的人数+女生的人数，然后代入数值列方程解答； （2）根据果汁（牛奶）原有的数量＝卖出的数量+剩下的数量，然后代入相应的数值列方程解答． 【解答】解：（1）x+7＝36 x+7﹣7＝36﹣7 x＝29 答：航模组的男生人数是29人． 29+y＝35 29+y﹣29＝35﹣29 y＝6 答：舞蹈组的女生人数是6人． （2）x+43＝92 x+43﹣43＝92﹣43 x＝49 答：果汁卖出49箱． y＝69+31 y＝100 答：牛奶原有100箱． 【点评】本题运用等式的基本性质进行解答即可，注意等于号要对齐． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 简易方程 知识归纳与题型突破 01 思维导图 02 知识速记 一、等式和方程 1．等式的意义：表示相等关系的式子叫作等式。从形式上看，含有“＝”(等号)的式子就是等式。 2．方程的意义：含有未知数的等式是方程。 3．等式和方程的关系：等式包含方程，方程一定是等式，等式不一定是方程。 二、等式的性质和解方程 1.等式的性质(1)：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。这是等式的性质。 2.使方程左右两边相等的未知数的值叫作方程的解，求方程的解的过程叫作解方程。 3.形如x ± a＝b的方程的解法：x±a＝b 解：x±a∓a＝b∓a x＝b∓a 4. 等式的性质(2)：等式两边同时乘或除以同一个不是0的数，所得结果仍然是等式。这也是等式的性质。 5. 形如ax＝b的方程的解法：解形如ax＝b的方程时，根据等式的性质(2)，方程的两边同时除以a。 三、列方程解决实际问题 1.列方程解决问题的具体步骤： (1)写解和设句； (2)根据相等关系列方程； (3)解方程； (4)检验； (5)写出答语。 2．相等关系：已知数量甲比乙的几倍多(或少)几和数量甲，求数量乙的实际问题，可设数量乙为x，根据数量乙×倍数±几＝数量甲，列出形如ax ± b＝c的方程进行解答。 3．形如ax± b＝c的方程的解法：ax±b＝c 解：ax±b ∓b＝c∓b ax＝c∓b x＝(c∓b)÷a 四、列方程解决三步实际问题 1．解决涉及两个未知量的问题时，一般设标准量为x，另一个未知量用含有x的式子表示，然后根据等量关系式列方程求解。 2．形如ax±bx＝c的方程的解法：ax±bx＝c 解：(a±b)x＝c (a±b)x÷(a±b)＝c÷(a±b) x＝c÷(a±b) 3．解形如ax±b×c＝d的方程时，把ax看作一个整体，先求出ax的值，再求出x的值。 4．解形如a(x±b)＝c的方程时，把小括号内的x±b看作一个整体，先求出x±b的值，再求出x的值。 03 题型归纳 题型一　等式的意义和性质 例1．（2022春•埇桥区期末）请你画图或举例说说下面这句话的意思： 等式两边都乘同一个数（或除以同一个不为0的数），等式仍成立． 巩固训练 1．（2020秋•曾都区期末）将23、25、27、29，等式成立。 2．（2020春•洛宁县期末）一个梨和　 　个桃同样重． 3．（2023秋•长沙县期末）已知360+2b＝480，那么360+2b﹣a＝480﹣a。 　 　 说理：　 　 题型二　方程的意义和解方程 例1．（2013春•富源县校级期中）解方程． 5x+7＝42 2（x﹣3）＝5.8 3.6x﹣x＝3.28． 巩固训练 1．用方程表示下列数量关系。 车上原来有15人，到站后下去x人，上来4人，现在车上有18人。 2．解方程． 2.8÷x＝35 　 5x+2﹣1.8＝3.6． 3．（2024春•惠来县期末）列方程，并解方程。 （1） （2）我想一个数x，这个数乘6再减去3是117。 题型三　列方程解决实际问题 例1．（2013•陆良县模拟）一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行50千米，6小时可以到达乙地，如果每小时行60千米，可提前几个小时到达？ 解法一：设可提前x小时到达 解法二：设提速后x小时到达乙地． 巩固训练 1．（2021秋•宁安市期末）两个相邻自然数的和是87，这两个自然数分别是多少？（列方程解） 2．（2014秋•丰都县校级期末）师傅加工了480个零件，比徒弟的2倍少60个．徒弟加工了多少个零件？（用方程解） 3．列方程求出表中x、y的值． （1） 男生 女生 合计 航模组 x人 7人 36人 舞蹈组 29人 y人 35人 （2） 原有 卖出 还剩 果汁 92箱 x箱 43箱 牛奶 y箱 69箱 31箱 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$