18.2特殊的平行四边形——矩形（2）学案2023-2024学年人教版数学八年级下册

课题：特殊的平行四边形——矩形（2） 【学习目标】 1．理解并掌握矩形的判定方法； 2．运用矩形定义、判定，解决简单的证明题和计算题． 【活动设计】 课前回忆 1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． 2．矩形的性质： 角：矩形的四个角都是直角； 对角线：矩形的对角线相等且互相平分． ( 在 平行四边形 ABCD 中 ： ∵ ∠ A= 90° ∴ 四边形 ABCD 是矩形 ． )3．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 活动一、探究矩形的判定方法 1．由矩形的定义我们可以得到矩形的第一种判定方法： 判定1：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 如图，已知点E是平行四边形ABCD的边AB的中点，且EC=ED． 求证：四边形ABCD是矩形． 2．探究：矩形的对角线相等，反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？ 如图，已知在平行四边形ABCD中，AC=BD．求证：四边形ABCD是矩形． 归纳：判定2：对角线相等的平行四边形是矩形； 对角线相等且互相平分的四边形是矩形． 3．探究：前面我们研究了矩形的四个角，知道它们都是直角，它的逆命题成立吗？即四个角是直角的四边形是矩形吗？进一步思考，至少有几个角是直角的四边形是矩形？ 如图：已知四边形ABCD，∠A、∠B、∠C都是直角．求证：四边形ABCD是矩形． ( 推理形式 ： ) 归纳：判定3：有三个角是直角的四边形是矩形； 活动二、运用矩形的判定数学解决问题． 例题1：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA＝OD． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若∠OAD＝50°，求∠OAB的度数． 例题2：如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC交AC于点D，BE平分∠CBF，CE⊥BE与E． 求证：四边形BDCE是矩形． 例题3：爱动脑筋的小丽同学，为了检验四边形桌面ABCD是否为矩形（如图），她用三角尺量了∠B＝∠D＝90°，用刻度尺量了AB＝CD，就判断四边形桌面ABCD是矩形，请你说明道理． 【活动总结】 课题：特殊的平行四边形——矩形（2）（测试） 1．已知：如图OA⊥OB，P是∠AOB内的任意一点，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，PC、PD的和为6厘米．求：四边形PCOD的周长． 2．如图，四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，且∠1＝∠2． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若∠AOB＝60°，BC＝6，求DC的长． 3．在口ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F 在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF． （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB． 4．如图，在△ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交△BCA的外角平分线于点F． （1）求证：OE＝OF； （2）若CE＝12，CF＝5，求OC的长； （3）当点O在AC运动到什么位置，四边形AECF是矩形，请说明理由． 课题：特殊的平行四边形——矩形（2）（作业） 1．证明命题“对角线相等的平行四边形是矩形”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程． 已知：如图，ABCD是平行四边形，AC与BD是对角线，且　 　． 求证：　 　．（请你补全已知和求证，并写出证明过程．） 2．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF＝BD，连接BF． （1）求证：D是BC的中点； （2）若AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论． 3．如图，分别以△ABC的各边为边，在BC边的同侧作等边三角形ABE、等边三角形CBD和等边三角形ACF，连结DE，DF． （1）求证：四边形DEAF为平行四边形． （2）当△ABC满足什么条件时，四边形DEAF为矩形？并说明理由； 4．如图，在△ABC中，AD、BE分别是边BC、AC上的中线，AD与BE交于点O，点F、G分别是BO、AO的中点，联结DE、EG、GF、FD． （1）求证：FG∥DE； （2）若AC＝BC，求证：四边形EDFG是矩形． 学科网（北京）股份有限公司 $$