18.2.2 矩形（1）导学案 2024—2025学年人教版数学八年级下册

课题：特殊的平行四边形——矩形（1） 【学习目标】 1．掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系． 2．会初步运用矩形的性质来解决有关问题． 【活动设计】 课前回忆： 1．平行四边形有哪些性质？ 2．如何判定一个四边形是平行四边形？ （边、角、对角线） 活动一、探究矩形的性质 1．矩形的定义： 观察平行四边形的的变化过程，当变化到一个角是直角时停止，这是什么图形？ 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（长方形） 思考：为什么不说有两个、三个、四个角是直角呢？ 2．矩形性质的探究： 思考：因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质，由于它有一个角是直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？ 归纳矩形的性质:（1） ；（2） ． 3．求证：矩形的对角线相等． 已知矩形ABCD，对角线AC、BD相交于点O．求证：AC=BD． 4．思考：如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，我们观察Rt△ABC，在Rt△ABC中，BO是斜边AC上的中线，BO与AC有什么关系？ 归纳：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 已知：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线．求证：CD＝AB． 活动二、运用矩形的性质解决问题 例题1：已知矩形ABCD的对角线AC的长为8，∠AOB＝120°，求矩形的边长． 例题2：如图，已知矩形ABCD中两条对角线AC、BD相交于点O，∠ADB＝30°，DF∥AC交BC的延长线于F点， （1）判定△AOB的形状，并说明理由． （2）求证：BC＝CF． 例题3：如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E，F分别是BC，AC的中点，延长BA到点D，使AD＝AB．连接DE，DF． （1）求证：AF与DE互相平分；（2）若BC＝4，求DF的长． 例题4: 如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，AC、BD交于点O．过O作EF⊥AC交AD于E，交BC于F． （1）求证：AE＝CF；（2）求AE的长． 【活动总结】 课题：特殊的平行四边形——矩形（1）课堂测试 1．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　） A．对角线相等 B．对角相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 2．矩形的一条边长是4cm，一条对角线的长是cm，则矩形的面积是 cm2． 3．如图，M为矩形ABCD边AD的中点．求证：BM＝CM． 4．如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，CE∥DB，交AD的延长线于点E．求证：AC＝CE． 5．如图，在直角坐标系中，长方形纸片ABCD的边AB∥CO，点B坐标为（8，4），若把图形按如图所示折叠，使B、D两点重合，折痕为EF． （1）求证：△DEF为等腰三角形； （2）求折痕EF的长． 6．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE并延长，交DC的延长线于点F．连接AC、BF． （1）求证：△ABE≌△FCE； （2）当四边形ABFC是矩形时，若∠AEC＝126°，求∠D的度数． 课题：特殊的平行四边形——矩形（1）课后作业 1．关于特殊四边形对角线的性质，矩形具备而平行四边形不一定具备的是（　　） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂 C．对角线相等 D．对角线平分一组对角 2．在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OE∥BC交CD于E， 若OE＝3cm，CE＝2 cm，则矩形ABCD的周长 cm． 3．已知：如图，点P为矩形ABCD内一点，PB＝PC，求证：PA＝PD． 4．如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于E，若∠EAO＝15°，求∠BOE的度数． 5．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F在BD上，BE＝DF． （1）求证：AE＝CF； （2）若AB＝3，∠AOD＝120°，求BC的长度． 6．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，DE∥BC分别交AB于D，交AC于E，已知CD⊥BE，CD＝2，BE＝3，求BC+DE的值． 小明发现，过点E作EF∥DC，交BC延长线于点F，构造△BEF，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）． （1）请按照上述思路完成小明遇到的这个问题． （2）参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，已知平行四边形ABCD和矩形ABEF，AC与DF交于点G，AC＝BF＝DF，求∠DGC的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $$