18.1比例线段同步练习2024-2025学年 北京版数学九年级上册

18.1比例线段 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知C是线段AB的一个黄金分割点，则AC∶AB为(　　) A．或 B． C． D．或 2．在比例尺为的地图上，若，两地相距，则两地的图上距离为（    ） A． B． C． D． 3．已知P是线段的黄金分割点，且，那么下列比例式成立的是（    ） A． B． C． D． 4．已知四条线段的长如下，则能成比例线段的是（　　） A．1，1，2，3 B．1，2，3，4 C．1，2，2，4 D．2，3，4，5 5．在比例尺为1∶400000的地图上，2020年将正式通车的某线路的长度约为54.3cm，它的实际长度约为（　　） A．0.2172km B．2.172km C．21.72km D．217.2km 6．如图，在△中，，，，，则的长为 A． B． C． D． 7．若，则等于（　　） A．2：5 B．4：25 C．5：2 D．25：4 8．下列各组线段，能成比例的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 9．若，则下列式子中正确的是（     ） A． B． C． D． 10．已知．那么下列各式正确的是（　　） A． B． C． D． 11．已知线段，，线段是，的比例中项，则等于（       ） A． B． C． D．或 12．下列结论中，错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若（b﹣d≠0），则 D．若，则a＝3，b＝4 二、填空题 13．已知，则＝ ． 14．若(a –b) : b=3 : 2 ,则a : b=   ． 15．已知＝，则的值是 ． 16．无锡地铁4号线一期工程（刘潭站至博览中心）将于2021年下半年开通，在一幅比例尺为1：200000的设计图纸上，测得地铁线路全长约12.3cm，则地铁线路的实际长度约为 km． 17．若，则 ． 三、解答题 18．（1）解方程：x2﹣4x﹣2＝0 （2）计算：若，且3a＋2b﹣4c＝9，求a＋b﹣c的值． 19．已知线段AB，按照如下的方法作图：以AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连接EB，延长DA到F，使EF=EB，以线段AF为边，作正方形AFGH，那么点H是线段AB的黄金分割点吗？请说明理由. 20．在某市城区地图（比例尺）上，新安大街的图上长度与光华大街的图上长度分别是和． (1)新安大街与光华大街的实际长度各是多少米？ (2)新安大街与光华大街的图上长度之比是多少？它们的实际长度之比呢？ 21．国家会展中心（上海）坐落于虹桥商务区核心区西部，与虹桥机场的直线距离仅有公里，总建筑面积万平方米，地上建筑面积万平方米，是目前世界上面积第二大的建筑单体和会展综合体小明在地图上量得国家会展中心（上海）距离虹桥机场的直线距离为厘米，而量得国家会展中心（上海）与浦东机场的直线距离为厘米，那么国家会展中心（上海）与浦东机场的实际直线距离有多少公里？（运用比例解答） 22．如图：小明想测量一棵树的高度，在阳光下，小明测得一根与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为米．同时另一名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），墙壁上的影长为米，落在地面上的影长为3米，则树高为多少米． 23．已知：，求证：b是a与c的比例中项． 24．黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．如图1，我们已经学过，点C将线段AB分成两部分，如果AC∶AB＝BC∶AC，那么称点C为线段AB的黄金分割点．如图2，△ABC中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D． （1）求证：点D是线段AC的黄金分割点； （2）求出线段AD的长． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C A C D A A A C B 题号 11 12 答案 B D 1．D 【分析】根据黄金分割的意义进行求解即可得到答案. 【详解】解：C是线段AB的一个黄金分割点 当AC是较长的线段时 AC：AB=， 当当AC是较短的线段时 AC：AB=， 故选D. 【点睛】本题主要考查了黄金分割点的概念，特别需要注意的是这里AC是较长的线段还是较短的线段. 2．C 【分析】根据比例尺图上距离实际距离进行求解即可． 【详解】解：两地的图上距离为， 由题意得，， 解得， ∴两地的图上距离为， 故选C． 【点睛】本题主要考查了比例尺，熟知比例尺图上距离实际距离是解题的关键． 3．A 【分析】根据黄金分割点的定义得出线段比例关系，选出正确选项． 【详解】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，且， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查黄金分割点，解题的关键是掌握黄金分割点的性质． 4．C 【分析】根据成比例线段的定义逐项判定即可得到结论． 【详解】解：A、∵1×2≠1×3， ∴1，1，2，3不能成比例线段，故不符合题意； B、∵1×4≠2×3， ∴1，2，3，4不能成比例线段，故不符合题意； C、∵1：2＝2：4， ∴1，2，2，4；能成比例线段，故符合题意； D、∵2×5≠3×4， ∴2，3，4，5不能成比例线段，故不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了成比例线段的定义，并且注意叙述线段成比例时，各个线段的顺序，掌握线段顺序，再按定义解题是解题的关键． 5．D 【分析】根据比例尺图上距离：实际距离，即可求解． 【详解】解：根据比例尺图上距离：实际距离， 得：它的实际长度=， 故选：D． 【点睛】本题主要考查比例尺，理解比例尺的概念，掌握计算方法，是解题的关键． 6．A 【详解】解：， ， ，，， ， ， ， 故选A. 7．A 【详解】∵， ∴， ∴． 故选A． 8．A 【分析】考查了比例线段的概念．根据比例线段的概念：如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段． 【详解】解：A、，能成比例，故本选项正确； B、，不能成比例，故本选项错误； C、，不能成比例，故本选项错误； D、，不能成比例，故本选项错误． 故选A． 9．C 【分析】根据等号两边同时除以同一个不为0的数,等式仍成立这一性质即可解题. 【详解】解：∵, 等号两边同时除以2y得：, 故选C. 【点睛】本题考查了等式的性质,属于简单题,熟悉等式的性质是解题关键. 10．B 【分析】根据比例的性质即可得出答案． 【详解】解：A、由比例的性质，得与不一致，故此选项不符合题意； B、由比例的性质，得与一致，故此选项符合题意； C、由比例的性质，得与不一致，故此选项不符合题意； D、由比例的性质，得与不一致，故此选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 11．B 【分析】根据已知线段a=4，b=9，线段x是a，b的比例中项，列出等式，利用两内项之积等于两外项之积即可得出答案． 【详解】∵a=4，b=9，线段x是a，b的比例中项， ∴ ∴ ∴x=±6,x=−6(舍去). 故选B. 【点睛】考查比例线段，熟练掌握比例中项的定义是解题的关键. 12．D 【分析】根据比例性质，化为乘积变形可判断A正确，利用先化积，再化比例可判定B，利用换元计算可判断C，设比值，取k=1与k≠1，可判断D． 【详解】解：A、若，则，而，正确，不合题意； B、若，则6（a﹣b）＝b，故6a＝7b，则，正确，不合题意； C、若（b﹣d≠0），则，正确，不合题意； D、若，设，当k=1时，有a＝3，b＝4，当k≠1， a，b的值不是3与4，故此选项错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查比例性质，等积化比例，比例化等积，合分比性质，掌握比例性质是解题关键． 13． 【分析】本题考查了比例的性质．熟练掌握比例的等比性质：如果，且那么，是解题的关键． 根据比例的等比性质求解即可． 【详解】解：，且， ∴， 故答案为：． 14．5：2 【详解】解：根据比例性质，内项积等于外项积，得 2（a-b）=3b 2a-2b=3b 2a=5b a:b=5:2 故答是：5:2． 15． 【详解】试题分析：因为＝，所以. 考点：比例的性质. 16．24.6 【分析】由比例尺的定义：图上距离与实际距离的比叫做比例尺建立等量关系，解这个一元一次方程就可以求出实际距离． 【详解】解：设地铁线路的实际长度约为是x厘米，由题意，得 1：200000＝12.3：x， 解得：x＝2460000， 2460000厘米＝24.6km． 故答案是：24.6． 【点睛】本题考查了比例尺的意义的运用，比例线段，一元一次方程的解法，注意单位之间的换算． 17． 【分析】根据比例的基本性质变形，代入求值即可； 【详解】解：由可设，，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了比的基本性质，准确利用性质变形是解题的关键． 18．（1）（2）-6． 【分析】（1）用公式法求解即可； （2）设=k，则a=3k，b=4k，c=5k，代入计算k值，后计算即可． 【详解】（1）∵﹣4x﹣2＝0， ∴a=1，b=-4，c=-2，△==24＞0， ∴﹣4x﹣2＝0的两个不同实数根为x=, ∴； （2）设=k，则a=3k，b=4k，c=5k， ∵3a＋2b﹣4c＝9， ∴9k+8k-20k=9， 解得k=-3， ∴a＋b﹣c=3k+4k-5k =2k=-6． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，比例的基本性质，熟练掌握公式法解方程，灵活运用等比的性质是解题的关键． 19．点H是线段AB的黄金分割点；理由见解析. 【分析】根据黄金分割点的定义，假设正方形ABCD的边长为2a，通过线段间的关系，找出用a表示的线段AH、AB，HB，证明AH2=ABHB即可． 【详解】设正方形ABCD的边长为2a， 在Rt△AEB中，依题意，得AE=a，AB=2a， 由勾股定理知EB==a， ∴AH=AF=EF﹣AE=EB﹣AE=（﹣1）a， HB=AB﹣AH=（3﹣）a； ∴AH2=（6﹣2）a2， ABHB=2a×（3﹣）a=（6﹣2）a2， ∴AH2=ABHB， 所以点H是线段AB的黄金分割点． 【点睛】本题考查黄金分割的概念，勾股定理，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键． 20．(1)1440m，900m (2)， 【分析】本题考查比例尺： （1）根据比例尺为图上距离与实际距离的比例，进行求解即可； （2）根据图上距离，和实际距离，相比即可得出结果． 【详解】（1）解：∵比例尺为， ∴新安大街的实际长度为：； 光华大街的实际长度为； （2）图上长度之比为：， 实际长度之比为：． 21．公里 【分析】此题主要考查了比例线段，掌握比例尺是本题的关键，注意单位的统一． 根据比例尺图上距离：实际距离，列出比例式，求解即可得出国家会展中心上海与浦东机场的实际直线距离有多少公里． 【详解】解：设国家会展中心上海与浦东机场的实际直线距离有x公里，依题意有： ：：， 解得． 答：国家会展中心上海与浦东机场的实际直线距离有公里． 22．米 【分析】本题考查矩形的性质、比例线段． 连接，作，得到四边形为矩形，三角形为直角三角形，设米，利用同一时刻，物体的影长与物高成比例得出方程，然后解方程即可解决问题． 【详解】解：连接，作， 由题意得：， 设米，则 解得：．    ∴树高是（米） 答：树高为5.25米． 23．详见解析 【分析】根据比例中项的定义进行计算证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∴b是a与c的比例中项． 【点睛】本题考查了比例中项及二次根式的计算，熟记比例中项的定义是解题的关键． 24．（1）详见解析 【分析】（1）利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出∠ABC=∠C=72°，∠ABD=∠CBD=36°，∠BDC=72°，则可得到AD=BD=BC，然后根据相似三角形的判定方法易得△BDC∽△ABC，利用相似比得到BC2=CD•AC，于是有AD2=CD•AC，则可根据线段黄金分割点的定义得到结论； （2）设AD=x，则CD=AC-AD=1-x，由（1）的结论得到x2=1-x，然后解方程即可得到AD的长． 【详解】(1)证明：∵AB=AC=1， ∴ ∵BD平分∠ABC交AC于点D， ∴ ∴ ∴DA=DB，BD=BC， ∴AD=BD=BC， 易得△BDC∽△ABC， ∴BC:AC=CD:BC,即BC2=CD⋅AC， ∴AD2=CD⋅AC， ∴点D是线段AC的黄金分割点； (2)设AD=x，则CD=AC−AD=1−x， ∵AD2=CD⋅AC， ∴x2=1−x,解得 即AD的长为 【点睛】考查黄金分割，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键. 学科网（北京）股份有限公司 $$