5.4.2正弦函数、余弦函数的性质（第二课时）课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.4.2 正弦函数与余弦函数的性质 第二课时 复习回顾 请同学们回顾一下正弦函数、余弦函数的周期与奇偶性: 正弦函数、余弦函数的最小正周期为 正弦函数是奇函数,余弦函数是偶函数. 2 https://www.ypppt.com/ 思考1:类比以往对函数性质的研究,正弦函数、余弦函数的还有哪些性质? 有单调性、最值等性质 你能利用正弦曲线研究正弦函数y=sinx , x的性质吗? 由于正弦曲线具有“周而复始”的规律,因此我们可以先研究它在一个 周期内的情况 3 探究新知 当时,曲线逐渐上升, 是增函数, 的值由-1增大到1,当 时,曲线逐渐下降, 是减函数, 的值由1减小到-1. 单调性 思考2:观察的图像,函数值在该区间上有怎样的变化规律? 4 探究新知 单调性 思考3:能把单调性推广到整个定义域呢? x 0 1 -1 正弦函数:在每一个闭区间 上都单调递增,其值从-1增大到1; 在每一个闭区间 上单调递减,其值从1减小到-1. 探究新知 单调性 思考4:同理,观察余弦函数的图像.余弦函数在上函数值的变化有什么特点?推广到整个定义域呢? 当 时,曲线逐渐上升, 是增函数,的值由-1增大到1. 当 时,曲线逐渐下降, 是减函数,的值由1减小到-1. 6 探究新知 单调性 当 时,是增函数,的值由-1增大到1. 当 时,是减函数,的值由1减小到-1. 7 探究新知 最值 思考5:继续观察图像,当正弦函数、余弦函数取最值时,的取值有何规律? 当时, 当时, 当时, 当时, 值域都是:【-1,1】 思考6:继续观察图像,正弦函数、余弦函数既是轴对称图形,又是中心对称图形,你能写出它们的对称轴和对称中心吗? 对称中心:(k ,0)(k∈Z) 对称轴:x=+k (k∈Z) 对称轴:x=k (k∈Z) 对称中心:(+k ,0)(k∈Z) 探究新知 对称性 函数 图象 周期 奇偶性 单调性 递增区间 递减区间 最值 最大值 最小值 对称性 对称轴 对称中心 奇函数 偶函数 当时, 当时, 当时, 当时, x=+k (k∈Z) (k ,0)(k∈Z) x=k (k∈Z) (+k ,0)(k∈Z) 例3. 下列函数有最大值 、 最小值吗? 如果有 , 请写出取最大值 、 最小值时自变量的集合 , 并求出最大值 、 最小值 . ( 1 ) , ∈R ; ( 2 ) , ∈R. 解 : ( 1 ) 使函数 , ∈R取得最大值的集合 , 就是使函数 , ∈R , 取得最大值的 的集合{ | =2k , k ∈Z }; 使函数, ∈R , 取得最小值 的集合 , 就是使函数 , ∈R取得最小值的 的集合 { | = ( 2k +1) , k ∈Z } . 函数, ∈R 的最大值是 1+1=2 ; 最小值是 -1+1=0. 解 :( 1 ) 使函数 , ∈R取得最大值的 的集合为: { | =2k , k ∈Z }; 取得最小值 的集合 的 的集合为:{ | = ( 2k +1) , k ∈Z } . 最大值是 1+1=2 ; 最小值是 -1+1=0. (2)2= - +2k (2)解 : 令 z =2, 使函数) , z∈R 取得最大值的 z 的集合 , 就是使 ,z∈R 取得最小值的 z 的集合{ z| =- +2k , k ∈Z } 由 z =2= - +2k ,得= - +k . 所以 , 使函数 , ∈R 取得最大值的 的集合是{ | = - +k , k ∈Z } . 同理 , 使函数 , ∈R取得最小值的 的集合是 { | = +k , k ∈Z } . 函数 , ∈R的最大值是 3 , 最小值是 -3. 例4. 不通过求值,指出下列各式的大小: (1) ; 分析 : 可利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小 . 为此 , 先用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角 , 然后再比较大小 . 解 :( 1 ) 因为- , 所以 (2) cos; cos 解:cos=cos=cos coscos=cos 因为 , 所以coscos cos 方法小结 (1)异名函数化为同名函数.. (2)利用诱导公式把已知角转化到同一单调区间上. (3)利用函数的单调性比较大小. 比较三角函数值大小的步骤: 例5. 求函数, ∈[ -2 ,2 ] 的单调递增区间 . 分析 : 令= 当自变量 的值增大时 , 的值也随之增大 , 因此若函数 在某个区间上单调递增 , 则在相应的区间上也一定单调递增 . 解 : 令 = , ∈[-2 ,2 ] , 则 ∈ 因为 , ∈ 的单调递增区间是∈ , 且由 ,得 . 所以 , 函数, , ∈[-2 ,2 ] 的单调递增区间是 变式. 求函数, ∈ [ -2 ,2 ]的单调递增区间. 方法小结 解题方法(求复合函数单调区间的步骤): (1)求形如其中为常数,且)的函数的单调区间时 1、采用“换元法”整体代换,将看作一个整体“z”, 2、通过求的单调区间而求出原函数的单调区间. 求形如其中为常数,且)的函数的单调区间同上. (2)y=cos2x-4cos x+5. 解析:(2)y=cos2x-4cos x+5,令t=cos x, 则-1≤t≤1. y=t2-4t+5=(, 当t=-1时,函数取得t-2)2+1最大值10; t=1时,函数取得最小值2,所以函数的值域为[2,10]. 方法小结(三角函数的值域问题解题思路) PPT模板下载:/moban/ 行业PPT模板:/hangye/ 节日PPT模板:/jieri/ PPT素材下载:/sucai/ PPT背景图片:/beijing/ PPT图表下载:/tubiao/ 优秀PPT下载:/xiazai/ PPT教程: /powerpoint/ Word教程: /word/ Excel教程:/excel/ 资料下载:/ziliao/ PPT课件下载:/kejian/ 范文下载:/fanwen/ 试卷下载:/shiti/ 教案下载:/jiaoan/ PPT论坛:www.1ppt.cn Thank you 感谢聆听,批评指导 (2)对于形如y=Asin( x+ )的三角函数的单调区间问题,当 <0时,可先用诱导公式转化为y=-Asin(- x- ),则y=Asin(- x- )的单调递增区间即为原函数的单调递减区间,单调递减区间即为原函数的单调递增区间.余弦函数y=Acos( x+ )的单调性讨论同上.另外,值得注意的是k∈Z这一条件不能省略. 解析:(1)由x∈[0, ]可得 x+ ∈[ , ], 函数y=cos x在区间[ , ]上单调递减,所以函数的值域为[- QUOTE , ]. 【例6】 求下列函数的值域: (1)y=cos(x+ ),x∈[0, ]; 三角函数的值域问题的两种类型,一是化为y=Asin( x+ )+B的形式,这种类型的值域问题解决方法是利用区间上的单调性;二是与其他函数相复合,最为常见的是与二次函数复合,利用的是三角函数的有界性和二次函数区间的最值.其方法是换元法,把问题转化为二次函数求值域问题. $$