5.1.1任意角课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

人教2019A版必修 第一册 5.1.1 任意角 第五章 三角函数 课程目标 1.了解任意角的概念. 2.理解象限角的概念及终边相同的角的含义. 3.掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法. 什么是角?范围是多大? 定义:有公共端点的两射线组成的几何图形叫角. 顶点 边 边 角的范围:0 ~360 复习回顾 初中定义 问:现实生活中有超出0 ~360 范围的角吗? 体操中有“前空翻转体”或“后空翻转体”这样的动作名称 在齿轮传动中,被动轮与主动轮是按相反方向旋转的 这些例子不仅有超出0 ~360 范围的角,而且旋转的方向也不一样,要准确地描述这些现象,不仅要知道旋转的度数,还要知道旋转的方向,因此有必要将角的概念及范围推广 一、任意角的概念 平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角. 1.定义: 2.角的构成要素 始边 终边 顶点 A B O 3.角的分类: 按逆时针方向旋转形成的角叫做正角; 按顺时针方向旋转形成的角叫做负角; 如果一条射线没有作任何旋转,则称它形成了一个零角.如果是零角,那么= . 这样,我们就把角的概念推广到了任意角. 6 问:如果以零时为起始位置,钟表的时针或分针在旋转时形成的角是正角还是负角? 4.相等角 把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相 反角。 类似于数的运算,减去一个角等于加上这个角的相反角 5.相反角 x o y 二、象限角 x 为了进一步研究角的需要,我们常在直角坐标系内讨论角,并使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角。 如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限,或称这个角为轴线角. 10 -50 x y o x y o 210 -450 x y o 405 x y o -200 x y o 第四象限角 第一象限角 第三象限角 第二象限角 轴线角 思考1: 那么下列各角:-50 ,405 ,210 , -200 ,-450 分别是第几象限的角? 思考3:第二象限的角一定比第一象限的角大吗? 象限角只能反映角的终边所在象限,不能反映角的大小. 三、终边相同的角 思考1: -32 ,328 ,-392 是第几象限的角? 这些角有什么内在联系? -32 -392 x y o 328 13 思考2:所有与-32 角终边相同的角,连同-32 角在内,可构成一个集合S,你能用描述法表 示集合S吗? 14 一般地,我们有:所有与角 终边相同的角,连同角 在内,可以构成一个集合 S={ | = +k 360 ,k∈Z}, 即任一与 终边相同的角,都可以表示成角 与整数个周角的和. 终边相同的角 例1 在0 ~360 范围内,找出与-950 12′角终边 相同的角,并判定它是第几象限角. 16 练习:课本171页第4题 例2 写出终边在y轴上的角的集合. 解:在0 ~360 范围内,终边在y轴上的角有两 个,即90 ,270 角(如图).因此,所有与 90 角终边相同的角构成集合 S1={ | =90 +k 360 .k∈Z}. 而所有与270 角终边相同的角构成集合 S2={ | =270 +k 360 .k∈Z}. 18 于是,终边在y轴上的角的集合 S=S1∪S2 ={ | =90 +2k 180 ,k∈Z } ∪{ | =90 +180 +2k 180 ,k∈Z } ={ | =90 +2k 180 ,k∈Z } ∪{ | =90 +(2k+1)180 ,k∈Z } ={ | =90 +n 180 ,n∈Z } 思考: 终边在x轴上的角的集合以及终边在坐标轴上角的集合分别怎么表示? 19 思考3:终边在第一象限、第二象限,第三象限、 第四象限的角分别如何表示? 第一象限:{ | k 360 < <90 +k 360 ,k∈Z }; 第二象限:{ |90 +k 360 < <180 +k 360 ,k∈Z }; 第三象限:{ |180 + k 360 < <270 +k 360 ,k∈Z }; 第四象限:{ | 270 +k 360 < <360 +k 360 ,k∈Z }; 例3.写出终边在直线y=x上的角的集合S,并把S中适合不等式-360 ≤ <720 的元素 写出来. 【解析】S={ | =45 +k 180 ,k∈Z}. S中适合不等式-360 ≤ <720 的元素有: -315 ,-135 ,45 ,225 ,405 ,585 . 变式:写出终边在直线y=x上的角的集合S 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 21 达标检测 22 23 24 25 26 27 28 29 2. 角的分类:正角、零角、负角; 1. 角的定义; 3. 象限角; 4. 终边相同的角的表示法. 反思:第一节课讲到例1 1.已知集合A={第一象限角},B={锐角},C={小于90 的角},则下面关系正确的是( ) A.A=B=C B.A⊆C C.A∩C=B D.B∪C⊆C 【答案】D 【解析】由已知得BC,所以B∪C=C,故D正确. 2.下列各个角中与2 019 终边相同的是( ) A.-149 B.679 C.319 D.219 【答案】D 【解析】因为2 019 =360 5+219 ,所以与2 019 终边相同的角是219 .] 3.已知角 的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界),那么角 的集合是_. 【解析】{ |k 360 +45 < <k 360 +150 ,k∈Z} [观察图形可知,角 的集合是{ |k 360 +45 < <k 360 +150 ,k∈Z}.] 4.在0 到360 范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判断它们是第几象限的角: (1)-120 ;(2)640 . 【解析】(1)与-120 终边相同的角的集合为M={ | =-120 +k 360 ,k∈Z}. 当k=1时, =-120 +1 360 =240 , ∴在0 到360 范围内,与-120 终边相同的角是240 ,它是第三象限的角. (2)与640 终边相同的角的集合为M={ | =640 +k 360 ,k∈Z}. 当k=-1时, =640 -360 =280 , ∴在0 到360 范围内,与640 终边相同的角为280 ,它是第四象限的角. $$