5.3.1函数的单调性课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

函数的单调性 第一课时 ①导数的加、减法运算法则： ②导数的乘法运算法则： ③导数的除法运算法则： 导数的四则运算法则 一般地，对于由函数和复合而成的函数，它的导数与函数，的导数间的关系为 复合函数的求导法则 复习回顾 在必修第一册中， 我们通过图象直观，利用不等式、方程等知识，研究了函数的单调性、周期性、奇偶性以及最大(小)值等性质. 在本章前两节中，我们学习了导数的概念和运算，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，它定量地刻画了函数的局部变化. 能否利用导数更加精确地研究函数的性质呢? 本节我们就来讨论这个问题. 新知探究 函数的单调性 一般地，设函数 f(x)的定义域为I，区间D⊆I： （1）如果x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就称函数 f(x)在区间D上 x y o m n f(x1) x1 x2 f(x2) f(x1) x1 x2 f(x2) O x y m n （2）如果x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数 f(x)在区间D上 单调递增. 单调递减. 情境 图(1)是某高台跳水运动员的重心相对于水面的高度h随时间t变化的函数h(t)=-4.9t2+4.8t+11的图象，图(2)是跳水运动员的速度v 随时间t变化的函数v(t)=h′(t)=-9.8t+4.8的图象.a= ,b是函数h(t)的零点. t h a O b (1) t h a O b (2) 问题1 运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？如何从数学上刻画这种区别？ 导数与函数的单调性的关系 新知探究 6 (2) 从最高点到入水， 运动员的重心处于下降状态，离水面的高度随时间t的增加而减小，即单调递减. 相应地，. 观察图象可以发现: (1) 从起跳到最高点，运动员的重心处于上升状态，离水面的高度随时间的增加而增加，即单调递增. 相应地， 新知探究 6 对于高台跳水问题，可以发现： 当t∈(0,a)时，h′(t)>0，函数h(t)的图象是“上升”的，函数h(t)在(0,a)上单调递增； 当t∈(a,b)时，h′(t)<0，函数h(t)的图象是“下降”的，函数h(t)在(a,b)上单调递减. 在区间(a,b)上， h′(t)>0 在区间(a,b)上， h′(t)<0 在区间(a,b)上， h(t)单调递增 在区间(a,b)上， h(t)单调递减 思考1 我们看到，函数h(t)的单调性与h'(t)的正负有内在联系. 那么，我们能否由h'(t)的正负来判断函数h(t)的单调性呢? 问题2: 这种情况是否具有一般性呢？ 新知探究 7 问题3： 观察下面一些函数的图象，你能说明函数的单调性与导数的正负的关系吗？ x y O (1) x y O (2) x y O (3) x y O (4) 新知探究 函数 函数图象 单调区间 导函数 导数符号 x y O x y O x y O x y O y′＝1 y′＝3x2 在R上单调递增 在(-∞, +∞)上， y′ >0 在(-∞, 0)上， f (x)单调递减 在(0, +∞)上， f (x)单调递增 在(-∞, 0)上， f ′ (x)<0 在(0, +∞)上，f ′ (x)>0 在(-∞, 0)上， f (x)单调递减 在(0, +∞)上， f (x)单调递增 在(-∞, 0)上， f ′ (x)>0 在(0, +∞)上，f ′ (x)>0 在(-∞, 0)上， f (x)单调递减 在(0, +∞)上， f (x)单调递减 在(-∞, 0)上， f ′ (x)<0 在(0, +∞)上，f ′ (x)<0 新知探究 函数的单调性与导数的关系： 思考1：如果在某个区间上恒有f ′(x)=0，那么函数f(x)有什么特性? 函数y=f(x)在这个区间上是常数函数. 一般地，函数f(x)的单调性与导函数f '(x)的正负之间具有如下的关系: 在某个区间(a, b)上, 如果f ′(x)>0, 那么函数y=f(x)在区间(a, b)上 单调递增; 在某个区间(a, b)上, 如果f '(x)<0, 那么函数y=f(x)在区间(a, b)上 单调递减. 新知探究 注意：f ′(x)>0是f(x)单调递增的充分不必要条件. 在区间I上， f ′(x)>0 在区间I上，f (x)单调递增 思考：上述关系反之是否成立？ 在区间I上，f (x)单调递增 在区间I上， f ′(x)>0 在R上，f (x)=x3单调递增 在R上， f ′(x)=3x2≥0 f '(x)≥0.(当且仅当x=0时f '(x)=0) x y O f (x) ＝x3 新知探究 例1 利用导数判断下列函数的单调性： （1） （2） （3） 解（1）因为 ，所以 所以，函数 在R上单调递增，如图（1）所示. 新知应用 （2）因为 ，所以 所以，函数 上单调递减，如图（2）所示. （3）因为 所以，函数 上单调递增，如图（3）所示. 新知应用 ① 求出函数的定义域； ② 求出函数的导数f (x)； ③ 判定导数f (x)的符号； ④ 确定函数f(x)的单调性. 判定函数单调性的步骤： 新知应用 14 解： 例2 x y O 1 4 “稳定点” 新知应用 √ 新知应用 17 新知应用 课本练习P87 17 解： 课本练习P87 新知应用 3. 函数y=f ′(x)的图象如图所示，试画出函数y=f(x)图象的大致形状. x y O a b e d c 解： x y O a b e d c 课本练习P87 新知应用 19 1.f ′(x)正负与f (x)的单调性的关系：在区间I内, 若f '(x)>0，则f (x)在区间I内单调递增； 若f '(x)<0，则f (x)在区间I内单调递减. 2.利用导数判断函数单调性的步骤： ①求f(x)的定义域; ②求f '(x); ③判断f '(x)的正负得f (x)的单调性. 3.导数图象与函数图象的关系： ①给f(x)找f '(x)：看f(x)的增减得f '(x)的正负； ②给f '(x)找f(x)：看f '(x)的正负得f(x)的增减； 课后小结 跟踪训练： 设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为(　　) $$