12.2三角形的性质 同步练习2024－2025学年北京版数学八年级上册

12.2三角形的性质 学校:_姓名:_班级:_考号:_ 一、单选题 1.如图,直线a∥b,∠A=38 ,∠1=46 ,则∠ACB的度数是( ) A.84 B.106 C.96 D.104 2.已知不等边三角形的一边等于5,另一边等于3,若第三边长为奇数,则周长等于( ) A.13 B.11 C.11,13或15 D.15 3.如图,∠ABD与∠ACD的角平分线交于点P,若∠A=50 ,∠D=10 ,则∠P的度数( ) A.19 B.20 C.21 D.22 4.如图,四边形是长方形,点是长线上一点,是上一点,并且,.若,则的度数是( ) A. B. C. D. 5.一个三角形中,有一个角是55 ,另外的两个角可能是( ) A.95 ,20 B.45 ,80 C.55 ,60 D.90 ,20 6.如图,已知直线、、两两相交,且.若,则的度数为( ) A. B. C. D. 7.如图,,,则、的关系为( ) A. B. C. D. 8.如图,直线,于点Q,若,则的度数是( ) A. B. C. D. 9.下列三条线段中,能组成三角形的是( ) A.4,6,2 B.4,7,2 C.5,3,3 D.4,3,8 10.等腰 ABC的两边长分别是2和5,则 ABC的周长是( ) A.9 B.9或12 C.12 D.7或12 11.下列长度的三条线段能组成三角形的是( ) A.4,2,2 B.3,4,7 C.9,8,5 D.5,6,12 12.如图,∠MAN=100 ,点B,C是射线AM,AN上的动点,∠ACB的平分线和∠MBC的平分线所在直线相交于点D,则∠D的大小为( ) A.50 B.60 C.80 D.随点B,C的移动而变化 二、填空题 13.已知的三边长为2,7,,请写出一个符合条件的的整数值,这个值可以是 . 14.如图,在中,,,为的外角,与的平分线交干点,与的平分线交于点,…,与的平分线相交于点. (1)的度数为 ; (2)若得到点后,再依此规律作角平分线,两条角平分线无交点,则n的值为 . 15.如图,已知AB∥CD,点E在如图所示的位置,连结BE、DE,若∠B=30 ,∠D=55 ,则∠E= . 16.已知三角形三边长分别为2,x,9,若x为奇数,则此三角形的周长为 . 17.如图,两根竹竿和靠在墙上,量得,,则 . . 三、解答题 18.若a,b,c是 ABC的三边,化简:. 19.根据题意画出图形,并填注理由 证明:三角形的内角和等于180 . 已知: ABC 求证:∴∠A+∠B+∠C=180 证明:作BC的延长线CD,过点C作射线CE BA. ∵CE BA(辅助线) ∴∠B=∠ECD( ) ∠A=∠ACE( ) ∵∠BCA+∠ACE+∠ECD=180 ( ) ∴∠A+∠B+∠ACB=180 ( ) 20.已知一个三角形的三边长为,若此三角形的周长为偶数,求的值. 21.已知,如图,直线,的顶点A与B分别在直线与上,点C在直线的右侧,且,设,. (1)如图1,当点C落在的上方时,与相交于点D,求证:.请将下列推理过程补充完整: 证明:∵是的一个外角(三角形外角的定义), ∴( ) ∵( ), ∴( ) ∴_(等量代换) ∵(已知), ∴(等量代换) (2)如图2,当点C落在直线的下方时,与交于点F,请判断与的数量关系,并说明理由. 22.如图1,已知直线,且和之间的距离为,小明同学制作了两块直角三角形硬纸片和,其中,,,,.小明利用这两块三角板进行了如下的操作探究: (1)如图1,点在上,边在上,边在直线上 ①将直角三角形沿射线的方向平移,当点在上时,如图2;求的度数 ②将直角三角形从图2的位置继续沿射线的方向平移,当以,,为顶点的三角形是直角三角形时,求度数; (2)将直角三角形如图3放置,若点在直线上,点在和之间(不含,上),边和与直线分别交于点,.在绕着点旋转的过程中,设,,则的取值范围为 . 23.如图1,中,点分别在边上,且,点是边上一动点,过点作与线段交于点. 求证: 若点在边上运动,保证点存在且不与点重合.探究:当点满足怎样的位置条件,成立?请在图2中画出符合条件的图形,并说明理由. 在的条件下,若成立,直接写出与ZEDH之间的数量关系 24.如图,,、、分别平分的外角、内角、外角,证明下列结论: (1); (2). 参考答案: 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B C B C D C C C 题号 11 12 答案 C A 1.C 【详解】∵a∥b,∴∠ABC=∠1=46 , ∵∠A=38 ,∴∠ACB=180 ﹣∠A﹣∠ABC=180 ﹣38 ﹣46 =96 . 故选C. 2.D 【分析】根据三角形三边关系定理进行解答. 【详解】解:设这个三角形的第三边长为x, 则, 即, ∵第三边长为奇数, ∴或5或7, ∵此三角形为不等边三角形, ∴周长为3+5+7=15. 故选D. 3.B 【分析】延长PC交BD于E,设AC、PB交于F,根据三角形的内角和定理得到∠A+∠ABF+∠AFB=∠P+∠PCF+∠PFC=180 推出∠P+∠PCF=∠A+∠ABF,根据三角形的外角性质得到∠P+∠PBE=∠PED,推出∠P+∠PBE=∠PCD-∠D,根据PB、PC是角平分线得到∠PCF=∠PCD,∠ABF=∠PBE,推出2∠P=∠A-∠D,代入即可求出∠P. 【详解】解:延长PC交BD于E,设AC、PB交于F, ∵∠A+∠ABF+∠AFB=∠P+∠PCF+∠PFC=180 , ∵∠AFB=∠PFC, ∴∠P+∠PCF=∠A+∠ABF, ∵∠P+∠PBE=∠PED,∠PED=∠PCD﹣∠D, ∴∠P+∠PBE=∠PCD﹣∠D, ∴2∠P+∠PCF+∠PBE=∠A﹣∠D+∠ABF+∠PCD, ∵PB、PC是角平分线, ∴∠PCF=∠PCD,∠ABF=∠PBE, ∴2∠P=∠A﹣∠D, ∵∠A=50 ,∠D=10 , ∴∠P=20 . 故选:B. 【点睛】此题考查了三角形内角和定理,角平分线的定义,三角形外角的性质,熟记各知识点并进行推论论证是解题的关键. 4.C 【分析】根据矩形的性质得到AD∥BC,∠DCB=90 ,根据平行线的性质得到∠F=∠ECB=15 ,根据三角形的外角的性质得到∠ACF=∠AGC=∠GAF+∠F=2∠F,于是得到结论. 【详解】解:∵四边形ABCD是矩形, ∴AD∥BC,∠DCB=90 , ∴∠F=∠ECB=15 , ∴∠GAF=∠F=15 , ∴∠ACF=∠AGC=∠GAF+∠F=2∠F=30 , 故选C. 【点睛】本题考查了矩形的性质,用到的知识点为:矩形的对边平行;两直线平行,内错角相等;三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 5.B 【分析】根据三角形内角和等于180 求出另两个内角的和,再据此依次分析即可. 【详解】∵一个三角形中,有一个角是55 , ∴另外的两个角的和为125 , 各选项中只有B选项:45 +80 =125 . 故选B. 【点睛】考查三角形的内角和定理,掌握三角形的内角和等于180 是解题的关键. 6.C 【分析】由垂直的定义可得∠2=90 ;根据对顶角相等可得,再根据三角形外角的性质即可求得. 【详解】 ∵, ∴∠2=90 ; ∵, ∴. 故选C. 【点睛】本题考查了垂直的定义、对顶角的性质、三角形外角的性质,熟练运用三角形外角的性质是解决问题的关键. 7.D 【分析】本题主要考查平行线的性质,三角形内角和定理,正确作出辅助线是解题的关键. 延长交于点G,延长交于点H,求出,,再根据平行线的性质得出,进而可得答案. 【详解】解:延长交于点G,延长交于点H,如图, , , 在中,, , , ,即, , ,即. 故选:D. 8.C 【分析】本题考查垂直的定义,三角形内角和定理,平行线的性质,熟练掌握平行线的性质是解题的关键. 先根据垂直定义得,再根据三角形内角和定理求得,然后根据平行线的性质得,即可求解. 【详解】解:∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 故选:C. 9.C 【分析】本题考查了三角形的三边关系;根据三角形的三边关系关系逐项判断即可得. 【详解】A、,不满足三角形的三边关系,不能组成三角形; B、,不满足三角形的三边关系,不能组成三角形; C、,满足三角形的三边关系,能组成三角形; D、,不满足三角形的三边关系,不能组成三角形; 故选:C. 10.C 【详解】分为两种情况:①当腰是2时,三边为2,2,5, ∵2+2<5, ∴不符合三角形三边关系定理,此种情况不可能; ②当腰是5时,三边为2,5,5, 此时符合三角形三边关系定理,三角形的周长是2+5+5=12; 故选C. 11.C 【分析】本题考查构成三角形的条件.根据两条短的线段之和与最长的线段之间的大小关系,进行判断即可.掌握两短边之和大于第三边,可以构成三角形,是解题的关键. 【详解】解:A、,不能构成三角形,故A不符合题意; B、,不能构成三角形,故B不符合题意; C、,能构成三角形,故C符合题意; D、,不能构成三角形,故D不符合题意. 故选:C. 12.A 【分析】根据角平分线定义得出∠ACB=2∠DCB,∠MBC=2∠CBE,根据三角形外角性质得出2∠D+∠ACB=∠A+∠ACB,求出∠A=2∠D,即可求出答案. 【详解】解:∵CD平分∠ACB,BE平分∠MBC, ∴∠ACB=2∠DCB,∠MBC=2∠CBE, ∵∠MBC=2∠CBE=∠A+∠ACB,∠CBE=∠D+∠DCB, ∴2∠CBE=2∠D+2∠DCB, ∴∠MBC=2∠D+∠ACB, ∴2∠D+∠ACB=∠A+∠ACB, ∴∠A=2∠D, ∵∠A=100 , ∴∠D=50 . 故选:A. 【点睛】本题考查了三角形外角性质和角平分线定义的应用,关键是求出∠A=2∠D. 13.6或7或8 【分析】根据三角形三边关系:①任意两边之和大于第三边;②任意两边之差小于第三边,即可得出第三边的取值范围. 【详解】解:∵三角形的三边长分别为2,7,x, ∴7-2<x<7+2, 即5<x<9, 故答案为:6或7或8. 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系,即任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边. 14. 3 【分析】(1)根据三角形内角和为,可以得到,再根据三角形外角可以得到,即,即可得到结果; (2)根据,是角平分线,可以得到,进而可以求得,同理可得,无法求得,此时可求得结果. 【详解】解:(1)由图可得: ∵, ∴, ∴, ∵,是角平分线, ∴, ∴; (2)∵,是角平分线, ∴, ∴, , 同理可得, ∴, 则, 此时若再作出,则可类比上述过程得到,无法组成三角形, 即此时两条角平分线无交点, 故; 故答案为:;3. 【点睛】本题考查了角平分线的性质,三角形内角和定理,找到各个角度之间的关系是解题的关键. 15.25 【分析】由平行线的性质可得出,再利用三角形外角的性质即可求出∠E的度数. 【详解】如图 ∵AB∥CD ∴ ∵ ∴ 故答案为25 【点睛】本题主要考查平行线的性质及三角形外角的性质,掌握平行线的性质是解题的关键. 16.20 【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边,两边之差小于第三边求出x的取值范围,然后确定出x的值,再根据周长公式求解即可. 【详解】∵9-2=7,9+2=11, ∴7<x<11, ∵x为奇数, ∴x的值为9, ∴此三角形的周长是:2+9+9=20. 故答案为:20. 【点睛】本题考查三角形的三边关系,解题的关键是掌握三角形两边之差小于第三边,两边之和大于第三边. 17. 90 + 【分析】根据三角形的外角的性质即可求∠DBF的度数,根据∠ABD=∠DBC-∠ABC即可求. 【详解】解:由题意可知,∠C=90 , ∵ ∴∠DBF=∠C+∠CDB=90 + ∠DBC=90 - ∵ ∴∠ABC=90 - ∴∠ABD=∠DBC-∠ABC=90 -(90 -)= 故答案为:90 +,. 【点睛】本题考查了直角三角形的性质,三角形外角的性质,解题的关键是熟知直角三角形及三角形外角的性质. 18.-a+3b-c. 【分析】根据三角形的三边关系判定出a-b-c,b-c-a,c-a-b的符号,利用绝对值的代数意义化简,计算即可得到结果. 【详解】解:因为a,b,c为 ABC的三边, ∴b+c>a,a+b>c,a+c>b, ∴a-b-c<0,b-c-a<0,c-a-b<0, ∴原式=|a-b-c|-|b-c-a|+|c-a-b| =-a+b+c+(b-c-a)-(c-a-b) =-a+b+c+b-c-a -c+a+b =-a+3b-c. 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简,以及三角形的三边关系,熟练掌握运算法则是解本题的关键. 19.两直线平行,同位角相等;两直线平行,内错角相等;平角等于180 ;等量代换 【分析】根据平行线的性质和平角度数等于180 求解即可. 【详解】解:证明:作BC的延长线CD,过点C作射线CE BA. ∵CE BA(辅助线) ∴∠B=∠ECD(两直线平行,同位角相等) ∠A=∠ACE(两直线平行,内错角相等) ∵∠BCA+∠ACE+∠ECD=180 (平角等于180 ) ∴∠A+∠B+∠ACB=180 (等量代换) 故答案为:两直线平行,同位角相等;两直线平行,内错角相等;平角等于180 ;等量代换. 【点睛】此题考查了证明三角形的内角和等于180 ,平行线的性质以及平角度数等于180 ,解题的关键是熟练掌握平行线的性质以及平角度数等于180 . 20. 【分析】本题考查了三角形的三边关系的应用.熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键. 由题意知,,即,由周长为偶数,可得为奇数,进而可得的值. 【详解】解:由题意知,,即, ∵周长为偶数, ∴为奇数, ∴. 21.(1)答案见解析 (2),见解析 【分析】本题考查了三角形外角的性质,平行线的性质,解题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用数形结合的思想解答. (1)根据题意可以写出推理过程,从而可以解答本题; (2)根据三角形外角的性质和三角形的内角和即可得到结论. 【详解】(1)证明:∵是的一个外角(三角形外角的定义), ∴(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和) ∵(已知), ∴(两直线平行,同位角相等) ∴(等量代换). ∵(已知), ∴(等量代换); 故答案为:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和,已知,两直线平行,同位角相等,; (2)解:结论:. 理由:是的一个外角(三角形外角的定义), (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和), (已知), (两直线平行,同位角相等), (等量代换). (已知), (等量代换). 22.(1);的度数为或 (2) 【分析】本题考查直角三角形、平行线、一元一次方程的知识,解题的关键是掌握直角三角形的性质,平行线的性质,一元一次方程的运用,即可. (1)根据直角三角形的性质,则,;根据平行线的性质,则,再根据三角形的外角,即可;根据以,,为顶点的三角形是直角三角形,则当,分类讨论,即可; (2)先根据四边形的内角和为,则,求出,根据旋转的性质,当点在直线上时,点,,重合,;当点在直线上时,点,,重合则;点在直线和之间,即,即可. 【详解】(1)∵三角形和三角形是直角三角形,,,,, ∴,, ∵, ∴, ∵, ∴, ∴. ∵以,,为顶点的三角形是直角三角形, 当时, ∴ ∵ ∴ ∵ ∴; 当时, ∴, ∵, ∴, 综上所述:的度数为或. (2)∵, ∴, ∵, ∴, ∴, ∵, ∴, 当点在直线上时,点,,重合,; 当点在直线上时,点,,重合则; ∵点在直线和之间(不含,上),即, ∴, ∴, ∴的取值范围为:. 23.(1)见解析;(2)点F运动到∠DEC的角平分线与边BC的交点位置时,∠DHF=∠BFH成立,证明见解析;(3)∠BFH=90 +∠EDH. 【分析】(1)由DEBC,得出∠AED=∠C,再由DHAC,得出∠AED=∠EDH,即可得出结论; (2)先判断出∠EFC=∠DHE,进而判断出∠DHE=∠DEF,进而判断出∠DEF=∠CEF,即EF平分∠DEC,即可得出结论; (3)由(2)知,∠DEF=∠CEF,得出∠DEC=2∠DEF,由DEBC,得出∠C+∠DEC=180 ,进而得出∠DEF=90 −∠C,进而得出∠BFH=90 +∠C,由(1)知,∠EDH=∠C,即可得出结论. 【详解】(1)证明:∵DEBC, ∴∠AED=∠C, ∵DHAC, ∴∠AED=∠EDH, ∴∠EDH=∠C; (2)如图∵∠DHF=∠BFH, ∴180 −∠DHF=180 −∠BFH, ∴∠EFC=∠DHE, ∵DEBC, ∴∠DEF=∠EFC, ∴∠DHE=∠DEF, ∵DHAC, ∴∠DHE=∠CEF, ∴∠DEF=∠CEF, 即EF平分∠DEC. ∴点F运动到∠DEC的角平分线与边BC的交点位置时,∠DHF=∠BFH成立. (3)由(2)知,∠DEF=∠CEF, ∴∠DEC=2∠DEF, ∵DEBC, ∴∠C+∠DEC=180 , ∴∠C+2∠DEF=180 , ∴∠DEF=(180 −∠C)=90 −∠C, ∵DEBC, ∴∠BFH+∠DEF=180 , ∴∠BFH=180 −∠DEF=180 −(90 −∠C)=90 +∠C, 由(1)知,∠EDH=∠C, ∴∠BFH=90 +∠EDH, 故答案为∠BFH=90 +∠EDH. 【点睛】此题是三角形综合题,主要考查了平行线的性质,角的计算,角平分线的定义,判断出∠EDH=∠C是解本题的关键. 24.(1)见解析 (2)见解析 【分析】证明,可得结论; 设,,利用三角形的外角的性质,构建方程组,可得结论. 【详解】(1)证明:,,, , , (2)设,, 则有, 可得. 【点睛】本题考查三角形的外角的性质,平行线的判定和性质,解题的关键是学会利用参数,构建方程组解决问题. 学科网(北京)股份有限公司 $$