第二十一章 一元二次方程 同步训练2024-2025学年人教版数学九年级上册

第二十一章 一元二次方程 一、选择题： 1.下列方程是一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 2.已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则实数的值是(    ) A. B. C. D. 3.一元二次方程的根的情况是(    ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 4.是关于的一元二次方程的解，则(    ) A. B. C. D. 5.已知：，是一元二次方程的两根，且，，则、的值分别是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 6.若一元二次方程的两根为，，则的值是(    ) A. B. C. D. 7.用配方法解一元二次方程，配方正确的是(    ) A. B. C. D. 8.关于的一元二次方程有两个实数根，，若，则的值(    ) A. 或 B. 或 C. D. 9.关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是(    ) A. B. 且 C. 且 D. 10.某厂家年月份的口罩产量统计如图所示．设从月份到月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为，根据题意可得方程(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 11.一元二次方程的解为______． 12.一元二次方程的两根分别为          ． 13.已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为          ． 14.若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 15.一元二次方程的两根为、，则的值是______． 16.若是方程的解，则代数式的值为          ． 17.对于实数，，定义运算“”如下：若，则          ． 18.已知是方程的一个根，则 ______． 19.定义新运算：，是实数，，若，是方程的两根，则______． 三、解答题： 20. 已知：关于的方程． 求证：不论取何值时，方程总有两个不相等的实数根； 若方程的一个根为，求的值及方程的另一根． 21. 解下列方程： 22. 列方程解应用题：如图，在长为，宽为的矩形地面上，修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路，余下的六个空白的部分作为耕地，要使得耕地的面积为，道路的宽应为多少？ 23. 已知关于的方程． 求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根． 若方程有一个根是，求方程的另一个根和的值． 24.如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，同时点从点开始沿这向点以的速度移动．当一个点到达终点时另一点也随之停止运动，运动时间为秒 求几秒后，的长度等于； 运动过程中，的面积能否等于？说明理由． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：、该方程中含有个未知数，是二元一次方程，故本选项错误； B、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确； C、该方程是分式方程，故本选项错误； D、原方程整理得，属于一元一次方程，故本选项错误． 故选B． 本题考查一元二次方程的概念． 根据一元二次方程的概念逐项判断即可． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了一元二次方程的解根的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 把代入方程就得到一个关于的方程，就可以求出的值． 【解答】 解：根据题意，得， 解得， 故选：． 3.【答案】  【解析】解：在方程中， ， 一元二次方程有两个相等的实数根． 故选B． 根据方程的系数结合根的判别式，计算得出，由此即可得出原方程有两个相等的实数根． 本题考查根的判别式． 4.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 先把代入方程得，然后利用整体代入的方法计算的值． 【解答】 解：把代入方程得， 所以， 所以． 故选A． 5.【答案】  【解析】解：，是一元二次方程的两根， ，， ，， ，， 即，， 故选：。 先根据根与系数的关系可得，，而，，那么，，解即可。 本题考查了根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的等量关系的公式。 6.【答案】  【解析】解：根据题意得，， 所以． 故选：． 根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算的值． 本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，． 7.【答案】  【解析】解：由原方程，得 ， ， 则， 故选A． 先把常数项移到等号的右边，再化二次项系数为，等式两边同时加上一次项系数的一半的平方，即可解答． 本题考查了解一元二次方程--配方法．配方法的一般步骤：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为；等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 8.【答案】  【解析】解：关于的一元二次方程的两个实数根为，， ，． ，即， ， 解得：． 关于的一元二次方程有实数根， ， 化简得：， 时满足． 故选：． 由根与系数的关系可得出，，结合可求出的值，根据方程的系数结合根的判别式可得出关于的不等式，进而可确定的值，此题得解． 本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，利用根与系数的关系结合，求出的值是关键． 9.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查了一元二次方程的定义，二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键直接利用一元二次方程的定义和二次根式有意义的条件分析得出答案． 【解答】 解：关于的方程是一元二次方程， ，， 解得：，且． 故选：． 10.【答案】  【解析】解：从月份到月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为，根据题意可得方程：， 故选：． 本题为增长率问题，一般用增长后的量增长前的量增长率，如果设这个增长率为，根据“月份的万只，月份的利润将达到万只”，即可得出方程． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，本题为增长率问题，一般形式为，为起始时间的有关数量，为终止时间的有关数量． 11.【答案】，  【解析】解： 或 解得，． 故答案为：，． 根据因式分解法解一元二次方程即可． 本题考查了一元二次方程因式分解法，解决本题的关键是掌握因式分解法． 12.【答案】，  【解析】【分析】 本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．利用因式分解法求解可得． 【解答】 解：， ， 或， 解得，． 故答案为：，． 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把代入得，再解关于的方程，然后根据一元二次方程的定义确定的值即可． 【解答】 解：把代入得， 整理得，解得，， 因为， 所以的值为． 故答案为． 14.【答案】且  【解析】【分析】 本题主要考查一元二次方程根的判别式和定义以及一元二次方程的概念，熟练掌握根的判别式与方程的根之间的关系是解题的关键． 根据一元二次方程的概念可得，根据一元二次方程有实数根可得，解之即可． 【解答】 解：一元二次方程有实数根， ，且， 解得：且， 故答案为且． 15.【答案】  【解析】解：方程的两根为、， ． 故答案为：． 根据方程的系数结合根与系数的关系，即可得出的值． 本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和为是解题的关键． 16.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了利用整体代入法求代数式的值，一元二次方程的解等知识点，解决本题的关键是由题意求得根据一元二次方程的解的定义，将代入已知方程，即可求得，然后将其代入所求的代数式并求值即可． 【解答】 解：是方程的一个解， ， 则 ． 17.【答案】或  【解析】【分析】 本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 利用新定义得到，整理得到，然后利用因式分解法解方程． 【解答】 解：根据题意得， ， ， 或， 所以，． 故答案为或． 18.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查代数式的化简求值，熟练掌握整体代入思想是解题的关键．由方程的根的定义得、，代入原式逐步化简可得． 【解答】 解：是方程的一个根， ，即，， 则原式 ， 故答案为． 19.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是掌握一元二次方程的解的定义及新定义的运用．先根据方程的解的定义得出，，代入计算可得． 【解答】 解：，是方程的两根， ，， 即，， 则 ． 故答案为． 20.【答案】解：，，， ， 不论取何值时，方程总有两个不相等的实数根； 把代入方程可得， 解得， 当时，原方程为， 设方程的另外一个根为，则， 解得， 即方程的另一根为．  【解析】计算其判别式大于，即可证得结论； 把代入方程可求得的值，再利用根与系数的关系即可求得另一根． 本题考查了一元二次方程根与系数的关系：，是一元二次方程的两根时，有，也考查了根的判别式． 21.【答案】解：， ， 则或， 解得或； ， ， 则或， 解得或．  【解析】利用因式分解法求解可得； 利用因式分解法求解可得． 本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 22.【答案】解：设修建道路的宽为， 根据题意得：， 整理得：，即， 解得：或不合题意，舍去， 则修建道路的宽为．  【解析】此题考查了一元二次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键，难点不大设修建道路的宽为，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果． 23.【答案】证明：， ， 不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根． 把代入方程， 得，解得， 方程为，解得，， 方程的另一个根为．   【解析】本题考查了根的判别式、一元二次方程的解以及解一元二次方程，解题的关键是：找出根的判别式；将代入原方程求出的值． 根据方程的系数结合根的判别式即可得出，由此即可证出不论为何值，方程总有两个不相等的实数根； 将代入原方程求出的值，再解原方程即可得出方程的另一个根． 24.【答案】解：当时，在中，， ， ， ， ，， 当或时，的长度等于． 设经过秒以后面积为， 整理得： 的面积不能等于．  【解析】根据，利用勾股定理，求出即可； 通过判定得到的方程的根的判别式即可判定能否达到． 此题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找到等量关系，列出方程并解答． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$