6.2 与圆有关的位置关系-【一战成名新中考】2025河南中考数学·一轮复习·分层作业本（练册）

参考答案与重难题解析·河南数学　 分 层 作 业 本 ∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ CD=AD,∴ AF=CF; 第 16 题解图 (2)解:解法 1:如解图,连接 AE,则∠EDF= ∠EAF, ∵ sin∠CDF= 3 5 ,菱形 ABCD 的边长为 5,∠DFC = 90°, AF=CF, ∴ sin∠EAF= 3 5 ,CF= 3,AC= 6,∴ CE= 18 5 . 解法 2:如解图,连接 AE, ∵ ∠DFC= 90°,∴ sin∠CDF= CF CD = 3 5 , ∵ 菱形 ABCD 的边长是 5,∴ CF= 3, 由(1)知 AC= 2CF= 6, ∵ AD 是半圆 O 的直径,∴ ∠AED= 90°, ∴ ∠CEA= ∠CFD, ∵ ∠DCF= ∠ACE,∴ △CEA∽△CFD, ∴ CE ∶CF=AC ∶CD,∴ CE ∶3 = 6 ∶5, ∴ CE= 18 5 . 命题点 2　 与圆有关的位置关系 1. B　 2. 相切 3.证明:∵ AB 是半圆 O 的直径,∴ ∠ACB= 90°, ∴ ∠A+∠ABC= 90°, ∵ ∠D= ∠ABC,∴ ∠D+∠A= 90°,∴ ∠ABD= 90°, ∵ AB 是半圆 O 的直径,∴ BD 是半圆 O 的切线. 4.证明:如解图,连接 OD,在△OBD 和△OBC 中, BD=BC, OD=OC, OB=OB, { ∴ △OBD≌△OBC(SSS), ∴ ∠ODB= ∠OCB= 90°,∴ OD⊥AB, ∵ OD 是☉O 的半径,∴ AB 是☉O 的切线. 第 4 题解图 5. 40°　 变式 2 6. 25°　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是菱形,∠ABC= 50°,∴ AB = BC,∴ ∠BAC= 1 2 ×(180°-50°)= 65°,∵ AE 与☉O 相切于 点 A,∴ ∠BAE = 90°,∴ ∠CAE = ∠BAE-∠BAC = 90°- 65° = 25°. 7. 10　 【解析】∵ CD 是☉O 的切线,∴ ∠OBC = ∠ABD = 90°, ∵ OA= OB = 3,BC = 4,∴ AB = 6,OC = BC2 +OB2 = 5,∵ ∠A = ∠COB,∴ △ABD∽△OBC,∴ AD OC = AB OB = 2,∴ AD = 2OC= 10. 8. B　 【解析】解法 1:设 OD 与 AB 交于点 H,∵ AB 垂直平分 OD,OA=OD,∴ OA= 2OH,∴ ∠OAH = 30°,∴ ∠AOH = 60°, ∵ AB= 2 3 ,∴ AH = 1 2 AB = 3 ,∴ OH = 3 tan60° = 1,∴ OD = 2,∵ CD 切☉O 于点 D,∴ ∠ODC= 90°,∴ OC= 4. 解法 2:如解图,连接 AD,设 AB 与 OD 交于点 E,∵ AB 垂 直平分 OD,∴ OE = ED,AO = AD,AE = 1 2 AB = 3 ,∵ OA = OD,∴ △AOD 为等边三角形, ∴ ∠AOD = 60°, ∴ OE = AE tan60° = 1,∴ OD = 2OE = 2,∵ CD 切☉O 于点 D,∴ OD⊥ CD,∴ OC= 2OD= 4. 第 8 题解图 　 　 　 第 9 题解图 9. 1　 【解析】如解图,连接 OC,∵ CD 与☉O 相切于点 C, ∴ ∠OCD= ∠OCE= 90°,∵ ∠ACD= 60°,∴ ∠ACO = ∠OCD -∠ACD= 30°,∵ OA=OC,∴ ∠A= ∠ACO= 30°,∴ ∠COB= 2∠A= 60°,∴ ∠E = 90°-∠COB = 30°,∴ ∠A = ∠E = 30°, ∴ AC=CE= 3 ,在 Rt△COE 中,CO =CE·tan30° = 3 × 3 3 = 1,∴ OE= 2CO= 2,∵ OB=OC = 1,∴ BE =OE-OB = 2-1 = 1,∴ BE 的长度为 1. 10. 1. 5　 11. B 12. C　 【解析】如解图,过点 C 作 CH⊥PB 于 H,∵ 直径 AB⊥ CD 于 E,∴ CE=DE= 1 2 CD= 3 ,∵ PC,PB 分别切☉O 于 C,B,∴ PB=PC= 2 3 ,直径 AB⊥PB,∴ 四边形 ECHB 是 矩形,∴ BH=CE= 3 ,BE =CH,∴ PH =PB-BH = 2 3 - 3 = 3 ,∴ CH= PC2 -PH2 = (2 3 ) 2 -( 3 ) 2 = 3,∴ BE = CH= 3. 第 12 题解图 13. 10 3 　 【解析】如解图,连接 OC,∵ PA 与☉O 相切于点 A, ∴ ∠OAP= 90°,∵ OA=OB,OC =OC,CA = CB,∴ △OAC≌ △OBC ( SSS ), ∴ AC = BC, ∠OAP = ∠OBC = 90°, 在 Rt△OAP 中, OA = 5, PA = 12, ∴ OP = OA2 +AP2 = 52 +122 = 13.解法 1:∵ S△OAC +S△OCP = S△OAP,∴ 1 2 OA· AC+ 1 2 OP·BC= 1 2 OA·AP,∴ OA·AC+OP·BC =OA· AP,∴ 5AC+13BC= 5×12. 即 18AC= 60,∴ AC= 10 3 .解法 2: 设 AC=BC = x,易得△PBC∽△PAO,则 BC AO = PB PA ,即 x 5 = 13-5 12 ,解得 x= 10 3 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 13 参考答案与重难题解析·河南数学　 分 层 作 业 本 第 13 题解图 变式 13-1 7 变式 13-2 27　 【解析】如解图,连接 OQ,OB,设☉O 与地面 AB 相切于点 C,连接 OC,∵ PB 与☉O 相切于点 Q,AB 与 ☉O 相切于点 C,∴ OQ⊥PB,OC⊥AB,∴ ∠OQB = ∠OCB = 90°,又∵ OQ = OC,OB = OB, ∴ Rt △OBQ≌ Rt △OBC (HL), ∴ ∠OBQ = ∠OBC, ∵ ∠PBA = 60°, ∴ ∠QBO = 60°,在 Rt△PAB 中,∵ sin∠PBA= PA PB ,∴ PB = PA sin∠PBA = 18 sin60° = 12 3 (cm),又∵ 点 Q 为 PB 上靠近点 P 的四等 分点,∴ BQ = 3 4 PB = 9 3 ( cm),在 Rt△QOB 中,∵ tan ∠QBO = OQ BQ ,∴ OQ = BQ·tan∠QBO = 9 3 × tan60° = 27 (cm) . 变式 13-2 题解图 14. B　 15. 20. 5 16. 1 3 　 【解析】如解图,连接 BC,AD,∵ AC∥BD,AC =BD,∴ 四边形 ACBD 是平行四边形,∴ AE=BE= 1 2 AB,∵ A 为定 点,且 AB⊥l2 ,∴ AE 为定值,∵ BH⊥CD,∴ ∠BHE = 90°, ∴ 点 H 在以 BE 为直径的圆上运动(O 为圆心),连接 OH,此时 OH=OE= 1 2 BE= 1 3 OA,∵ 当 AH 与☉O 相切时 ∠BAH 最大,∴ sin∠BAH= OH OA = 1 3 . 第 16 题解图 17.解:(1)∵ AB 是☉O 的直径,BC 切☉O 于点 B, ∴ AB⊥BC, 如解图,连接 BD,则∠BDC= 90°, ∵ ∠C= 30°,∴ ∠DBC= 60°,∴ ∠ABD= 30°, ∵ AB= 4,∴ BD= cos30°·AB= 2 3 , ∴ CD= 3BD= 6; 第 17 题解图 (2)2<r< 2 2 . 【解法提示】∵ ∠A = 45°,∠ABC = 90°,∴ AB=BC= 4,∴ BD= 2 2 ,∵ OA=OB,BE =EC,∴ OB =BE = 2. 综上,以 B 为圆心,以 r 为半径作圆,使得点 O,E 均在 ☉B 内部,同时点 D 在☉B 外部,则 r 的取值范围是 2<r< 2 2 . 18.解:(1)如解图,OF 即为所求; 第 18 题解图 (2)∵ OF 为∠BOD 的平分线, ∴ ∠BOD= 2∠BOF, ∵ ∠BOD= 2∠BAD,∴ ∠BOF= ∠BAD,∴ OF∥AE, ∵ BO=AO= 2,EF= 1,∴ BF=EF= 1, ∵ BE 为☉O 的切线,∴ ∠OBE= 90°, 在 Rt△OBF 中,OF= BO2 +BF2 = 5 . 19. (1)证明:∵ ∠ABE= ∠OCB,∴ AB∥OC, ∵ AO∥BC,∴ 四边形 ABCO 是平行四边形, ∴ AB=OC; (2)解:如解图,过点 D 作 DH⊥BE 交 BE 的延长线于 H, ∵ ☉O 与 BC 相切于点 B,∴ OB⊥BC,∴ ∠OBC= 90°, ∴ ∠DHB= ∠OBC= 90°, ∵ OB= 5 cm,BC= 12 cm,∴ OC= BC2 +OB2 = 13(cm), ∵ ∠DBE= ∠C,∴ △DBH∽△OCB, ∴ BD OC =BH BC ,∴ BD 13 = 132 12 ,∴ BD= 143, ∵ AB=OC= 13 cm, ∴ AD=BD-AB= 143-13 = 130(cm), 答:绳子 AD 的长度为 130 cm. 第 19 题解图 20. (1)证明:如解图,连接 OC, ∵ CD⊥AB,∴ ∠BDC= 90°, ∵ OC=OB,∴ ∠OCB= ∠OBC, ∵ 将△CDB 沿 BC 所在的直线翻折,得到△CEB, ∴ ∠EBC= ∠DBC,∠E= ∠BDC= 90°, ∴ ∠OCB= ∠CBE,∴ OC∥BE, ∴ ∠OCF= ∠E= 90°, ∵ OC 是☉O 的半径,∴ CF 是☉O 的切线; (2)解:∵ sin∠CFB= 2 2 ,∴ ∠CFB= 45°, ∵ ∠OCF= 90°,∴ ∠COF= ∠CFO= 45°, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 23 参考答案与重难题解析·河南数学　 分 层 作 业 本 ∴ CF=OC= 1 2 AB= 4, ∵ ∠CDO= 90°, ∴ ∠OCD= ∠COD= 45°,∴ CD=OD= 2 2 OC= 2 2 , ∴ S阴影 =S扇形AOC-S△COD = 45π×42 360 - 1 2 ×2 2 ×2 2 = 2π-4. 第 20 题解图 21. (1)证明:解法 1:如解图①,过点 B 作 EF∥CD,分别交 AD,OC 于点 E,F. 第 21 题解图① ∵ CD 与☉O 相切于点 C,∴ ∠OCD= 90°. ∵ AD⊥CD,∴ ∠ADC= 90°. ∴ ∠OFB= ∠AEB= 90°, ∴ ∠BOC+∠OBF= 90°, ∵ AB 为☉O 的切线,∴ ∠OBA= 90°. ∴ ∠OBF+∠ABE= 90°,∴ ∠BOC= ∠ABE, ∵ ∠ABE+∠BAD= 90°, ∴ ∠BOC+∠BAD= 90°; 解法 2:如解图②,延长 OB 交 CD 于点 M. ∵ CD 与☉O 相切于点 C,∴ ∠OCM= 90°, ∴ ∠BOC+∠BMC= 90°, ∵ AD⊥CD,∴ ∠ADC= 90°. ∵ AB 为☉O 的切线,∴ ∠OBA= 90°,∴ ∠ABM= 90°. ∴ 在四边形 ABMD 中,∠BAD+∠BMD= 180°. ∵ ∠BMC+∠BMD= 180°, ∴ ∠BMC= ∠BAD,∴ ∠BOC+∠BAD= 90°; 图② 　 图③ 第 21 题解图 解法 3:如解图③,过点 B 作 BN∥AD,交☉O 于点 N, ∴ ∠NBA= ∠BAD. ∵ CD 与☉O 相切于点 C,∴ ∠OCD= 90°, ∵ AD⊥CD,∴ ∠ADC= 90°,∴ AD∥OC, ∴ BN∥OC,∴ ∠NBO= ∠BOC. ∵ AB 为☉O 的切线,∴ ∠OBA= 90°, ∴ ∠NBO+∠NBA= 90°,∴ ∠BOC+∠BAD= 90°; (2)解:如解图①,在 Rt△ABE 中, ∵ AB= 75,cos∠BAD= 3 5 ,∴ AE= 45. 由(1)知,∠OBF= ∠BAD,∴ cos∠OBF= 3 5 , 在 Rt△OBF 中,∵ OB= 25,∴ BF= 15,∴ OF= 20. ∵ OC= 25,∴ CF= 5. ∵ ∠OCD= ∠ADC= ∠CFE= 90°, ∴ 四边形 CDEF 为矩形,∴ DE=CF= 5, ∴ AD=AE+ED= 45+5 = 50 (cm) . ∴ 此时 AD 的长为 50 cm. 命题点 3　 与圆有关的计算 1. C　 拓展 240π　 变式 3　 2. B　 【解析】∵ △ABC 是等边三角形,∴ AB = BC = AC = 3, ∠BCA= ∠BAC= ∠ABC= 60°,∴ AB ( =BC ( =AC ( ,∵ AB ( 的长 = 60π×3 180 = π,∴ 该“莱洛三角形”的周长是 3π. 3. B　 【解析】如解图,连接 OB,OC,∵ ☉O 的内接正方形 ABCD 的边长为 1, ∴ OB = OC,BC = 1, ∠BOC = 90°,在 Rt△BOC 中,OB2 +OC2 = 2OB2 = BC2 = 1,∴ OB = 2 2 (负值 已舍去) . 第 3 题解图 　 　 　 第 6 题解图 4. B　 5. ( π 4 - 1 8 ) 6. C　 【解析】如解图,连接 OD,OB,OC,OD 交 BC 于点 H. ∵ △ABC 为等边三角形,∴ ∠BAC = 60°,∴ ∠BOC = 120°, ∠BDC= 120°,∵ D 是 BC ( 中点,∴ OD⊥BC,BH = CH = 1 2 BC= 2 3 ,∠BOD = 60°,∴ OB = BH sin60° = 4,∵ OB = OD,∴ △BOD 为等边三角形,∴ BD = OB = 4,∴ S阴影 = 120π×42 360 = 16π 3 . 变式 A 　 【解析】 如解图,连接 OD,OE, ∵ ∠A = 45°, ∴ ∠DOE= 90°,∴ S阴影 =S扇形DOE-S△ODE = 90π×42 360 - 1 2 ×4×4 = 4π-8. 变式题解图 　 　 第 8 题解图 7.解:∵ OE=AB= 4,∴ BC= 　 2AB= 4 2 , ∵ O 为 BC 的中点,∴ OB=OC= 1 2 BC= 2 2 , ∵ 四边形 ABCD 为矩形,∴ ∠OBE= 90°, ∴ cos∠BOE= OB OE = 　 2 2 ,∴ ∠BOE= 45°, 同理∠COF= 45°,∴ ∠EOF= 180°-∠BOE-∠COF= 90°, ∴ S扇形 EOF = 90π·OE2 360 = 4π. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 33 分层作业本·河南数学 　 第 六 章 圆 命题点 2　 与圆有关的位置关系(必考) 　 考向 1　 点、直线与圆的位置关系 1. [华师九下 P48 素材改编] “海上生明月,天涯共 此时” . 如图是记录的日出美景,图中太阳与海 天交界处可看成圆与直线,它们的位置关系是 (　 B　 ) 第 1 题图 A. 相切　 　 B. 相交　 　 C. 相离　 　 D. 平行 2. 名师原创 已知∠APB= 30°,☉O 的半径为 2,圆 心 O 在 BP 上,则当 OP = 4 时,☉O 与射线 PA 的位置关系为　 相切 　 . 考向 2　 与切线判定有关的证明与计算 3. [2024 江西节选]如图,AB 是半圆 O 的直径,点 D 是弦 AC 延长线上一点,连接 BD,BC,∠D = ∠ABC. 求证:BD 是半圆 O 的切线. 第 3 题图 证明:∵ AB 是半圆 O 的直 径, ∴∠ACB=90°, ∵∠D=∠ABC, ∴∠D+∠A=90°, ∴∠ABD=90°, ∵AB 是半圆 O 的直径, ∴BD 是半圆 O 的切线. 4. [2024 湖北节选]如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB = 90°,点 E 在 AC 上,以 CE 为直径的☉O 经过 AB 上的点 D,且 BD=BC,连接 OB. 求证:AB 是☉O 的切线. 第 4 题图 证明:如解图,连接 OD,在△OBD 和△OBC 中, ∴∠ODB=∠OCB=90°,∴OD⊥AB, ∵OD 是☉O 的半径,∴AB 是☉O 的切线. 考向 3　 与切线性质有关的证明与计算(每年 必考) ◆单切线性质的证明与计算 5. [2024 浙江]如图,AB 是☉O 的直径,AC 与☉O 相切,A 为切点,连接 BC. 已知∠ACB = 50°,则 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍∠B 的度数为　 40°　 . 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 变式 画线处改为“∠B=45°,AB=2,则 AC=　 2　 . ” 第 5 题图 　 　 第 6 题图 6. [2024 解析与检测]如图,已知四边形 ABCD 为菱 形,以 AB 为直径作☉O,过点 A 作☉O 的切线 交 CD 于点 E. 若∠ABC= 50°,则∠CAE 的度数 为　 25°　 . 7. 名师原创 如图,AB 是☉O 的直径,CD 是☉O 的 切线,连接 OC,AD,若∠A = ∠COB,OA = 3, BC= 4,则 AD 的长为　 10　 . 第 7 题图 　 　 第 8 题图 8. 多解法 ∙∙∙ 　 [2024 平顶山模拟]如图,CD 切☉O 于 点 D,OC 交☉O 于点 A,AB 垂直平分 OD. 若 AB= 2 3 ,则线段 OC 的长为 (　 B　 ) A. 2 3 B. 4 C. 4 3 D. 8 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 98 分层作业本·河南数学 　 第 六 章 圆 9. [2024 郑州模拟改编]如图,AB 是☉O 的直径, CD 与☉O 相切于点 C,AB 的延长线交直线 CD 于点 E,连接 AC,BC. 若∠ACD = 60°,AC = 3 , 则 BE 的长度是　 1　 . 第 9 题图 ◆双切线性质的证明与计算 10. 中国铁路的转弯处可以抽象为以下模型,若 CA 和 CB 都是扇形的切线,α 为 60°,OA = 1. 5 km,连接 AB,则 AB 的长是　 1. 5　 km. 第 10 题图 11. [北师九下 P96 习题第 1 题改编]如图,PA,PB 分 别切☉O 于点 A,B,MN 切☉O 于点 C,分别交 PA,PB 于点 M,N,若 PB= 7. 5,则下列结论中 第 11 题图 错误的是 (　 B　 ) A. AP= 7. 5 B. AM=PM C. PO 平分∠APB D. △PMN 的周长= 15 12. [2024 商丘模拟]如图,AB 为☉O 的直径,PB, PC 分别与☉O 相切于点 B,C,过点 C 作 AB 的垂线,垂足为 E,交☉O 于点 D. 若 CD = PB= 2 3 ,则 BE 长为 (　 C　 ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第 12 题图 　 　 　 第 13 题图 13. [2023 河南 14 题 3 分]如图,PA 与☉O 相切于点 A,PO交☉O于点 B,点 C 在 PA 上,且 CB=CA. 若 OA=5,PA=12,则 CA的长为　 　 　 　 . 变式 13-1 如 13 题图,其他条件不变,若 PB = 3, PA= 4,则△PBC 的周长为　 　 　 　 . 变式 13-2 撬杠是生产生活中一件常用的工具. 如图,亮亮用一根撬杠去撬一个球,球的横截 面可看作☉O,撬杠上的支撑杆 PA 垂直于水 平地面 AB,且 PA 的长度为 18 cm,撬杠与水 平地面的夹角∠PBA = 60°,若撬杠与球的切 点刚好在 PB 上靠近点 P 的四等分点 Q 处, 则☉O 的半径是　 　 　 　 cm. 变式 13-2 题图 　 　 第 14 题图 考向 4　 内切圆与外接圆 14. 名师原创 如图,将三块完全相同的等腰直角 三角板的一个锐角顶点都放在点 M 处,再使 其各有一条直角边恰好在△ABC 的边上,此 时点 M 是 (　 B　 ) A. △ABC 的外心 B. △ABC 的内心 C. △ABC 的重心 D. △ABC 的垂心 15. [2024 驻马店期末]在△ABC 中,AB= 9 cm,AC= 40 cm,BC= 41 cm,则△ABC 的外接圆半径长 是　 20. 5　 cm. 　 16. 较难 ∙∙ 　 [2024 扬州]如图,已知两条平行线 l1、 l2,点 A 是 l1 上的定点,AB⊥l2 于点 B,点 C、D 分别是 l1,l2 上的动点,且满足 AC =BD,连接 CD 交线段 AB 于点 E,BH⊥CD 于点 H,则当 ∠BAH 最大时,sin∠BAH 的值为　 　 　 　 . 第 16 题图 [点拨]点 H 在以 BE 为直径的☉O 上,当 AH 与☉O 相切时,∠BAH 最大. 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 方法链接 “曲线型最值”见《专项培优练》P21 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 09 分层作业本·河南数学 　 第 六 章 圆 17. [2024 洛阳模拟节选]如图,☉O 的直径 AB = 4, BC 切☉O 于点 B,连接 AC 交☉O 于点 D. (1)若∠C= 30°,求 CD 的长; (2)若 E 为 BC 的中点,∠A = 45°,以 B 为圆 心,以 r 为半径作圆,使得点 O,E 均在☉B 内 部,同时点 D 在☉B 外部,则 r 的取值范围 是　 2< r<2 2 　 . 第 17 题图 解:(1)∵AB 是☉O 的直径,BC 切☉O 于点 B, ∴AB⊥BC, 如解图,连接 BD,则∠BDC=90°, ∵∠C=30°,∴∠DBC=60°,∴∠ABD=30°, ∵AB=4,∴BD=cos30°·AB=2 3 , ∴CD= 3BD=6. 18. 如图,AB 是☉O 的直径,点 D 为☉O 上一点, 连接 OD,AD,过点 B 作☉O 的切线,交 AD 的 延长线于点 E. (1)尺规作图:作∠BOD 的平分线,交线段 BE 于点 F;(不写作法,只保留作图痕迹) (2)在(1)的条件下,若☉O 的半径为 2,EF= 1, 求线段 OF 的长. 第 18 题图 解:(1)如解图,OF 即为所求; (2)∵OF 为∠BOD 的平分线, ∴∠BOD=2∠BOF, ∵∠BOD=2∠BAD,∴∠BOF=∠BAD, ∴OF∥AE, ∵BO=AO=2,EF=1,∴BF=EF=1, ∵BE 为☉O 的切线,∴∠OBE=90°, 在 Rt△OBF 中,OF= BO2+BF2 = 5 . 19. [2024 驻马店模拟]蜗牛拖拉车(如图①)是一 款休闲类玩具. 如图②是小华为弟弟自制的 一款蜗牛拖拉车的示意图,AB,BC 为蜗牛的 头和身体,蜗牛壳☉O 与 BC 相切于点 B. 连 接 OA,OB,OC,当小华弟弟从点 D 处拉蜗牛 头部的绳子时,D,A,B 三点共线,且 AO∥BC, 点 E 为 CB 延长线上一点,∠ABE= ∠OCB. (1)求证:AB=OC; (2)若 OB = 5 cm,BC = 12 cm,点 D 到点 B 的 水平距离为 132 cm,求绳子 AD 的长度. 第 19 题图 (1)证明:∵∠ABE=∠OCB,∴AB∥OC, ∵AO∥BC,∴四边形 ABCO 是平行四边形, ∴AB=OC; (2)解:如解图,过点 D 作 DH⊥BE 交 BE 的延长线 于 H, ∵☉O与 BC相切于点 B,∴OB⊥BC,∴∠OBC=90°, ∴∠DHB=∠OBC=90°, ∵OB=5 cm,BC=12 cm, ∴OC= BC2+OB2 =13(cm), ∵∠DBE=∠C,∴△DBH∽△OCB,∴BD OC =BH BC , ∴BD 13 = 132 12 ,∴BD=143, ∵AB=OC=13 cm, ∴AD=BD-AB=143-13=130(cm), 答:绳子 AD 的长度为 130 cm. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 19 分层作业本·河南数学 　 第 六 章 圆 20. [2024 齐齐哈尔]如图,△ABC 内接于☉O,AB 为☉O 的直径,CD⊥AB 于点 D,将△CDB 沿 BC 所在的直线翻折,得到△CEB,点 D 的对 应点为 E,延长 EC 交 BA 的延长线于点 F. (1)求证:CF 是☉O 的切线; (2)若 sin∠CFB = 2 2 ,AB = 8,求图中阴影部 分的面积. 第 20 题图 (1)证明:如解图,连接 OC, ∵CD⊥AB,∴∠BDC=90°, ∵OC=OB,∴∠OCB=∠OBC, ∵将△CDB 沿 BC 所在的直线翻折,得到△CEB, ∴∠EBC=∠DBC,∠E=∠BDC=90°, ∴∠OCB=∠CBE,∴OC∥BE, ∴∠OCF=∠E=90°, ∵OC 是☉O 的半径,∴CF 是☉O 的切线; (2)解:∵sin∠CFB= 2 2 ,∴∠CFB=45°, ∵∠OCF=90°,∴∠COF=∠CFO=45°, ∴CF=OC= 1 2 AB=4, ∵∠CDO=90°, ∴∠OCD=∠COD=45°, ∴CD=OD= 2 2 OC=2 2 , ∴S阴影 =S扇形AOC-S△COD = 45π×42 360 - 1 2 ×2 2 ×2 2 = 2π -4. 21. 多解法 ∙∙∙ 　 [2022 河南 22 题 10 分]为弘扬民族传 统体育文化,某校将传统游戏“滚铁环”列入 了校运动会的比赛项目. 滚铁环器材由铁环 和推杆组成. 小明对滚铁环的启动阶段进行 了研究,如图,滚铁环时,铁环☉O 与水平地 面相切于点 C,推杆 AB 与铅垂线 AD 的夹角 为∠BAD,点 O,A,B,C,D 在同一平面内. 当 推杆 AB 与铁环☉O 相切于点 B 时,手上的力 量通过切点 B 传递到铁环上,会有较好的启 动效果. (1)求证:∠BOC+∠BAD= 90°; (2)实践中发现,切点 B 只有在铁环上一定区 域内时,才能保证铁环平稳启动. 图中点 B 是 该区域内最低位置,此时点 A 距地面的距离 AD 最小,测得 cos∠BAD= 3 5 . 已知铁环☉O 的 半径为 25 cm,推杆 AB 的长为 75 cm,求此时 AD 的长. 第 21 题图 (1)证明:解法 1:如解图,过点 B 作 EF∥CD,分别 交 AD,OC 于点 E,F. ∵CD 与☉O 相切于点 C, ∴∠OCD=90°. ∵AD⊥CD,∴∠ADC=90°. ∴∠OFB=∠AEB=90°, ∴∠BOC+∠OBF=90°, ∵AB 为☉O 的切线,∴∠OBA=90°, ∴∠OBF+∠ABE=90°,∴∠BOC=∠ABE, ∵∠ABE+∠BAD=90°, ∴∠BOC+∠BAD=90°; 解法 2,3 见答案册. (2)解:如解图,在 Rt△ABE 中, 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 加练链接 “圆的综合题”加练扫描 P87 二维码 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 29