第15章 分式（单元测试·培优卷）-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

第15章 分式（单元测试·培优卷） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（24-25八年级上·全国·期末）根据下列表格信息，可能为（　　） 0 1 2 0 无意义 A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）下列分式是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·北京西城·模拟预测）微粒子是指具有极小质量和体积的物质粒子，可以分为原子、分子、离子等．世纪年代，美国物理学家默里·盖尔曼和·茨威格各自独立提出了中子、质子这一类粒子是由更基本的单元——夸克组成的，夸克的半径大约为米，将化成科学记数法为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知的三边长分别为，，，且，则一定是（   ） A．等边三角形 B．腰长为的等腰三角形 C．底边长为的等腰三角形 D．等腰直角三角形 5．（2024·云南·模拟预测）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（2024八年级上·全国·专题练习）若化简的最终结果是整式，则〇代表的式子可以是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·重庆·期中）若关于x的方程无解，则m的值为（   ） A． B．或 C． D．或 8．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）已知，则的值为（    ） A．4 B．5 C． D． 9．（23-24八年级下·湖南娄底·开学考试）已知，，，…，（n为正整数，且，），则用含t的式子的结果为（    ） A．t B．－t C． D． 10．（2022八年级下·上海·专题练习）甲、乙、丙三名打字员承担一项打字任务，已知如下信息： 如果每小时只安排1名打字员，那么按照甲、乙、丙的顺序至完成工作任务，共需（　　） A．13小时 B．13小时 C．14小时 D．14小时 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）计算： ． 12．（23-24八年级下·河南驻马店·阶段练习）已知不论为何实数，分式总有意义，试求的取值范围是 ． 13．（23-24八年级上·湖南株洲·期中）计算： ． 14．（21-22八年级下·河南南阳·期中）计算的结果是 ． 15．（2024八年级下·全国·专题练习）若，则 ． 16．（2023·浙江杭州·模拟预测）咖啡与咖啡以之比（以质量计）混合，的原价为元/，的原价为元/若的价格增加，而的价格减少，且混合咖啡每千克的价格不变，则： ． 17．（24-25八年级上·全国·期末）对于正整数n，x轴上有、两点，用表示这两点间的距离，其中、横坐标分别是方程组的解，则的值等于 ． 18．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 20．（本小题满分8分）（24-25八年级上·山东青岛·期中）解决下面问题 (1)先化简，再从，0，1，2，3中选一个合适的数代入求值； (2)先化简，再求值：，其中，满足． 21．（本小题满分10分）（2024八年级上·黑龙江·专题练习）解下列分式方程： (1)； (2)． 22．（本小题满分10分）（24-25八年级上·湖南郴州·阶段练习）（1）已知关于的分式方程有增根，求的值． （2）关于的方程有整数解，求此时整数的值． 23．（本小题满分10分）（2024·湖南衡阳·模拟预测）某文创店，最近一款印有“保卫里”的书签销售火爆．该店第一次用1000元购进这款书签，很快售完，又花1600元第二次购进这款书签，已知每个书签第二次购进的成本比第一次便宜了1元，且第二次购进的数量是第一次的2倍． (1)求该店两次购进这款书签各多少个？ (2)第二次购进这款书签后仍按第一次的售价销售，在销售了第二次购进数量的后，由于天气的影响，游客量减少，该店决定将剩下的书签打五折销售并很快全部售完，若要使两次购进的书签销售完后的总利润不低于1880元，则第一次销售时每个书签的售价至少为多少元？ 24．（本小题满分12分）（23-24八年级下·广东珠海·开学考试）【阅读理解】阅读下面的解题过程：已知：，求的值． 解：由知，即① ②，故的值为． (1)第①步由得到是运用了法则：；那么第②步则是运用了公式：______；（公式用含的式子表示） (2)【类比探究】上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知，求的值； (3)【拓展延伸】已知，，，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B B C C D B B C 1．C 【分析】本题考查的是分式有意义的条件、分式为0是条件，掌握分式的分母不为0是解题的关键．根据分式有意义的条件、分式为0是条件解答． 【详解】解：当时，分式无意义， 分式的分母可能是． 当时，分式的值为0， 分式的分子可能是． 分式可能是． 故选：C． 2．C 【分析】本题考查了最简分式，根据最简分式的定义：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式，据此即可判断求解，掌握最简分式的定义是解题的关键． 【详解】解：、分子分母中含有公因数，不是最简分式，该选项不合题意； 、，分子分母中含有公因式，不是最简分式，该选项不合题意； 、是最简分式，该选项符合题意； 、分子分母中含有公因式，不是最简分式，该选项不合题意； 故选：． 3．B 【分析】本题主要考查用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，为由原数左起第一个不为的数字前面的的个数所决定；解题时只要明确用科学记数法可以表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，为由原数左起第一个不为的数字前面的的个数所决定即可； 【详解】解： 故选：B 4．B 【分析】本题考查的是分式的加减运算，分组分解法分解因式，等腰三角形的定义，先把原式化为，可得，再进一步解答即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵的三边长分别为，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或； ∴是腰长为的等腰三角形； 故选B 5．C 【分析】根据合并同类项法则、零指数幂、负整数指数幂、同底数幂的除法法则进行求解即可． 【详解】解：A、，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，故符合题意； D、，故不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查合并同类项法则、零指数幂、负整数指数幂、同底数幂的除法法则，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 6．C 【分析】本题考查分式的混合运算，先根据分式的乘法运算法则计算乘法，然后再算加法，最后根据整式的概念进行判断． 【详解】解：A、，是分式，故此选项不符合题意； B、，是分式，故此选项不符合题意； C、，4是整式，故此选项符合题意； D、，是分式，故此选项不符合题意． 故选：C． 7．D 【分析】此题考查了利用分式方程的解的情况求参数，正确理解分式方程无解的两种情况是解题的关键． 将分式方程化为整式方程，由或时方程无解，求出． 【详解】解：， 去分母，得， 化简得，， ∵方程无解， ∴①当时，方程无解； ②当时，方程无解，此时，解得， 即或时，方程无解， 故选：D． 8．B 【分析】将，进行变形得到：，，，利用整体思想，将变形为：，再代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ； ∵，当时，，方程不成立， ∴， ∴方程两边同除以得：， ∴， ∴，即：； 故选B． 【点睛】本题考查分式求值．将已知条件进行变形，利用整体思想代入求值，是解题的关键． 9．B 【分析】先根据题意求出、、、，并从中找出循环节为、、，求出每一个循环节三个数的乘积，即可求出答案． 本题考查了数字类规律探究，以及分式的计算，解题的关键是正确找出题中的规律． 【详解】∵， ， ， 结果每3个一循环，循环节为、、， ∵， ∴从到一共673个循环，且余2， ， ， ． 故选：B 10．C 【分析】设甲单独完成任务需要x小时，则乙单独完成任务需要（x﹣5）小时；根据信息二提供的信息列出方程并解答；根据信息三得到丙的工作效率，易得按照甲、乙、丙的顺序至完成工作任务所需的时间． 【详解】解：设甲单独完成任务需要x小时，则乙单独完成任务需要（x﹣5）小时，则 ． 解得x＝20． 经检验x＝20是原方程的根，且符合题意． ∴x=20是所列方程的解． ∴x-5=15． ∴甲的工作效率是，乙的工作效率是， 则丙的工作效率是． ∴一轮的工作量为：． ∴4轮后剩余的工作量为：． ∴还需要甲、乙分别工作1小时后，丙需要的工作量为：． ∴丙还需要工作小时． 故一共需要的时间是：3×4+2+ ＝14 小时． 故选：C． 【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 11． 【分析】本题考查零指数幂，负指数幂，根据零指数幂，负指数幂化简求解，即可解题． 【详解】解： ． 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了分式有意义的条件，完全平方公式．熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 由题意知，，由，可知当，始终为正数，分式总有意义，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∵， ∴当，即，始终为正数，分式总有意义， 故答案为：． 13． 【分析】利用分式乘法和除法法则变形约会即可得到结果． 【详解】解：原式， 故答案为：． 【点睛】本题考查分式的计算，熟练掌握分式的乘除法的运算法则是解题的关键． 14． 【分析】根据分式的加减运算法则，先通分，再加减． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的加减运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 15．或 【分析】本题主要考查了分式的求值，完全平方公式的变形求解，分两种情况进行计算即可，熟练掌握知识点的应用及利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 【详解】解：若，则0． 若，则每项都除以得，每项都除以得， ∴， 则， ∴的值为或， 故答案为：或． 16． 【分析】本题考查分式方程的应用，根据混合咖啡每千克的价格不变，列出方程，进行求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 化简得：， ， ∴． 故答案为：． 17． 【分析】此题考查了分式的加减法，解二元一次方程组，以及坐标与图形性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 将n看做已知数求出方程组的解表示出x与y，列举出所求式子各项，拆项后抵消即可得到结果． 【详解】解：方程组， 得，即， 将代入①得：， ∴， ∵， ∴是该方程组的根， ∴， ∴ ． 故答案为：． 18．且 【分析】本题考查的是根据分式方程的解的情况求参数，可以正确用表示出的值是解题的关键．先解分式方程，利用表示出的值，再由为正数求出的取值范围即可． 【详解】解：方程两边同时乘以得： ， 解得：， ∵x为非负数， ∴， 解得， ∵， ∴，即， ∴m的取值范围是且， 故答案为：且． 19．(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题关键． （1）先化简、将除法变形为乘法，再计算分式的乘法即可得； （2）先计算括号内的减法，再计算乘方，然后计算除法，最后计算加减法即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 20．(1)，当时，原式； (2)，． 【分析】本题主要考查分式的化简求值，平方差公式，完全平方公式，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键 （1）首先通分算括号里面的，之后再利用分式的除法运算即可，最后再选取分式有意义的值代入计算即可； （2）首先根据完全平方公式以及平方差公式因式分解，之后算分式的除法运算，最后通分计算分式的减法，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：原式 ，即 当时，原式； （2）解：原式= ， 原式 ． 21．(1) (2)原分式方程无解 【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． （1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】（1）解：可化为， 方程两边都乘，得， 去括号移项得：， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为． （2）解：可化为， 去分母，得， 去括号得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的增根， ∴原分式方程无解． 22．（1）3；（2）m的值为3或0或4 【分析】此题考查了分式方程的解法、增根问题、整数解问题等知识，熟练掌握分式方程的解法和增根问题是解题的关键． （1）解分式方程得到，求出增根，则，即可求得a的值； （2）解方程得到，根据分式方程有整数解得到或且，进一步求解即可得到整数m的值． 【详解】解：（1）， 去分母得到， 解得：， 由题意得：， 解得：， ∴， 解得：， ∴a的值为3； （2）， 去分母得到， 解得， ∵方程有整数解， ∴或且， 解得：或3或0或4且， ∴或0或4， ∴此时整数m的值为3或0或4． 23．(1)该商店第一次购进这款书签200个，第二次购进这款书签400个； (2)第一次销售时每个书签的售价至少为8元 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设该商店第一次购进这款书签x个，则第二次购进这款书签个，由题意：每个书签第二次购进的成本比第一次便宜了1元，列出分式方程，解方程即可； （2）设第一次销售时每个书签的售价为m元，由题意：要使两次购进的书签销售完后的总利润不低于1880元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设该商店第一次购进这款书签x个，则第二次购进这款书签个， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：该商店第一次购进这款书签200个，第二次购进这款书签400个． （2）设第一次销售时每个书签的售价为m元， 由题意得： 解得：， 答：第一次销售时每个书签的售价至少为8元． 24．(1) (2) (3) 【分析】此题考查了分式的求值，分式加法的逆运算，完全平方公式的变形计算，正确理解题意掌握解题思路及分式的性质是解题的关键． （1）根据完全平方公式的变形进行解答； （2）仿照例题计算即可； （3）将已知三个等式相加，得到，再利用倒数法解答． 【详解】（1）解：第①步由得到逆用了法则：； 第②步运用了公式：； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$