专题2 函数性质综合七大题型讲义-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

重难点02函数性质 一．题型梳理 题型1：复合函数单调性 题型2：分段函数单调性 题型3：根据奇偶性求参数 题型4：奇函数+常数 题型5：根据单调性、奇偶性、对称性求解函数型不等式 题型6：抽象函数对称性与周期性 题型7：抽象函数赋值法与拟合法 二．方法技巧 1.函数奇偶性技巧 （1）奇偶性的四则运算：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶； 奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶； 关于这个结论，不用死记硬背，可以举例，比如奇+奇=奇可以由得到； （2）复合函数的奇偶性技巧：有偶则偶，全奇为奇； （3）常见奇偶性函数模型 奇函数：①函数或函数． ②函数． ③函数或函数 ④函数或函数 偶函数：①函数． ②函数． ③函数类型的一切函数． 这个技巧常见于根据奇偶性求参数。 2.函数周期性与对称性技巧 （1）周期性技巧： ； ; ; ； ； ； 备注：上述均为常数，指的是函数的周期。从上述式子我们可以归纳出周期性的一些特征：括号内的符号相同，一般可以表示周期，在这个章节这个知识点这里我们可以这样记忆，内同可表周期。注意这里说的是一般可以，但不是绝对的，比如，我们通常称这个式子为类周期； （2）对称性技巧： ; ; ； ； ； 备注：上述均是常数，从上述我们可以归纳出对称性的一般特征：括号内的符号相反，的符号相同，一般可以表示轴对称，所谓内反外同可表轴（对称）；括号内的符号相反，的符号相反，一般可以表示中心对称，所谓内反外反可表中心（对称）； 3.函数型不等式技巧 关于函数型不等式，常见的解法，针对标准形式,我们可以通过图像或者单调性摘掉“帽子”，即若是函数单调递增，则，若是函数单调递减，则。当然这类题目一般会结合奇偶性，对称性、抽象函数以及图像考查。一般的，若为偶函数，且在单调递增，对于,我们考虑绝对值，然后通过平方来处理；若为奇函数，且在单调递增，对于，我们可通过奇函数的性质进行变形，，然后为标准性质，通过单调性摘帽，得到，结合对称性的方法可以类比。 4.抽象函数赋值法与拟合法技巧 三．例题精讲精练 题型一：复合函数单调性 例1-1.已知函数,则的单调递增区间为___________; 例1-2. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 练习1-1.已知函数,则的单调递增区间为___________； 练习1-2.若函数在区间内恒有，则的单调递增区间是 A． B． C． D． 练习1-3.已知函数, ,求的单调递增区间是________ 题型二：分段函数单调性 例2-1 （21-22高一上·江苏无锡·期中）若函数是上的减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例2-2（24-25高一上·甘肃张掖·阶段练习）已知函数（且）在定义域内单调，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 练2-1（22-23高一上·福建福州·期中）命题 在上为增函数，命题Q：在单调增函数，则命题P是命题Q（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 练2-2（21-22高二下·山东德州·期末）若函数在上是单调函数，且存在负的实数根，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型三：根据奇偶性求参数 例3-1（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）若为偶函数，则（   ） A．1 B．0 C． D．-1 例3-2（20-21高一上·重庆合川·阶段练习）定义域为R的函数为奇函数，则（    ） A．3 B． C．1 D．2 例3-3（24-25高一上·湖北荆州·阶段练习）若是奇函数，则a和b的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 练3-1（24-25高一上·湖北·阶段练习）已知函数为偶函数，则 . 练3-2（22-23高一下·江西·阶段练习）若函数是偶函数，则 ． 练3-3（24-25高一上·重庆·期中）若是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 题型四：奇函数+常数 例4-1. 设函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 0 例4-2（23-24高一上·重庆南岸·阶段练习）已知函数，满足为正实数，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 例4-3（22-23高一上·福建厦门·阶段练习）已知，若，则等于（    ） A． B． C．0 D．1 练4-1（22-23高一上·山西大同·阶段练习）函数的最大值为M，最小值为N，则（    ） A．3 B．4 C．6 D．与m值有关 练4-2（18-19高一上·陕西汉中·期末）已知函数,若,则 . 题型五：根据单调性、奇偶性、对称性求解函数型不等式 例5-1（24-25高二上·浙江杭州·期中）设偶函数在上单调递增，则满足的的范围是（    ） A． B． C． D． 例5-2（24-25高一上·宁夏银川·阶段练习）已知函数的定义域为，对任意的、，.若对任意、，有.则满足时实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例5-3（2024高一·全国·专题练习）已知函数，且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例5-4（24-25高一上·甘肃嘉峪关·期中）设函数，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 例5-5（23-24高一上·广东惠州·阶段练习）已知函数满足：对任意的，，，且是上的偶函数，若，则实数的取值范围是（    ） A．) B． C． D． 例5-6（24-25高一上·浙江嘉兴·期中）已知函数为定义在上的奇函数，且在为减函数，在为增函数，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 练5-1（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）已知函数是上的奇函数. (1)求的值； (2)判断并用定义证明的单调性； (3)若存在，使得成立，求实数的取值范围. 练5-2（2024-2025学年高一上·重庆·阶段练习）．已知函数为奇函数. (1)求m的值； (2)判断并证明函数的单调性； (3)若对任意的，不等式恒成立，求a的取值范围. 题型六：抽象函数对称性与周期性 例6-1（22-23·高一上全国·阶段练习）已知定义在上的函数，对任意的，都有，且，则下列说法正确的是（       ） A．是以2为周期的偶函数 B．是以2为周期的奇函数 C．是以4为周期的偶函数 D．是以4为周期的奇函数 例6-2（2023秋·河北秦皇岛·高一校考期末）【多选题】已知定义在R上的函数满足条件，且函数为奇函数，则以下结论正确的是（ ） A．函数是周期函数； B．函数的图象关于点对称； C．函数为R上的偶函数； D．函数为R上的单调函数. 例6-3（23-24高一上·重庆·期末）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则（    ） A． B． C． D． 例6-4已知是定义在上的偶函数且，是奇函数，则___________. 例6-5．（2022·全国·高考真题（理））已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（       ） A． B． C． D． 练6-1（22-23·高一上全国·阶段练习）已知定义在R上的函数满足，且是奇函数，则（       ） A．是偶函数 B．的图象关于直线对称 C．是奇函数 D．的图象关于点对称 练6-2（2022春·北京顺义·高一北京市顺义区第一中学校考阶段练习）已知函数是定义域为的奇函数，满足，若，则（    ） 练6-3（2023-2024学年高一·重庆·期末）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（       ） A． B． C． D． 练6-4．（22-23·高一上全国·阶段练习）已知函数的定义域均为是奇函数，且的图象关于对称，，则（    ） A．4 B．8 C． D． 题型七：抽象函数赋值法与拟合法 例7-1（23-24高一上·重庆·阶段练习）【多选题】定义域为的连续函数，对任意，且不恒为0，则下列说法正确的是（    ） A．为偶函数 B． C．若，则 D．若0为的极小值点，则的最小值为1 例7-2（22-23·高一上全国·阶段练习）【多选题】设a为常数，的定义域为R，，则（    ）． A． B．成立 C． D．满足条件的不止一个 练7-1（22-23·高一上全国·阶段练习）【多选题】已知函数的定义域为，且，为偶函数，则（    ） A． B．为偶函数 C． D． 练7-2（2023-2024学年高一·安徽安庆·期末）【多选题】已知定义在R上的函数，满足对任意的实数x，y，均有，且当时，，则（    ） A． B． C．函数为减函数 D．函数的图象关于点对称 四．通关练习 1.（24-25高一上·全国·课后作业）若函数是区间内的偶函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·湖南长沙·期中）若函数，为在上的单调增函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3. （22-23·高一上全国·阶段练习）函数的定义域为，若是奇函数，是偶函数，则（       ） A．是奇函数 B．是偶函数 C． D． 4. （2023-2024高一上·湖北·期末）【多选题】已知函数的定义域均为是奇函数，且，，则（    ） A． B．为奇函数 C．为偶函数 D． 5．（2023高一·江苏·专题练习）已知函数是R上的单调减函数，则实数的取值范围是（    ） A．[0，＋∞) B． C． D． 6. （23-24高一上·重庆·阶段练习）【多选题】函数的定义域为R，且满足，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．为偶函数 D．的图象关于对称 7．（20-21高一上·广东梅州·期中）若函数在R上是单调增函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8. （23-24高一上·重庆·阶段练习）设是定义在上的单调增函数，且满足，若对于任意非零实数都有，则 . 9．（22-23·高一上全国·阶段练习）若函数为偶函数，则 . 10．（22-23高一上·四川成都·期末）已知函数是偶函数，则 ． 11．（20-21高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）不恒为0的函数是奇函数，则的最小值为________． 12.（23-24高一上·重庆渝中·期末）【多选题】已知函数，的定义域均为R，且，，，则下列说法正确的有（    ） A． B．为奇函数 C．的周期为6 D． 13．（23-24高一上·重庆·期末）若，当时，，则 . 14．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数满足：；当时，.则满足这两个条件的一个函数为 . 15．（23-24高一上·重庆九龙坡·期末）已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，，则 ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 答案 例题精讲精练 例1-1【答案】 【详解】令,所以复合函数等价于两个简单函数复合而成，,根据同增异减，需要求解的单调递减区间，同时兼顾定义域要求：，综上解得。 例1-2【答案】D 【详解】由得或 所以的定义域为 因为在上单调递增 所以在上单调递增 所以 故选：D 练1-1【答案】 【详解】根据同增异减以及 兼顾定义域可得答案 练1-2【答案】D 【详解】先求的范围，因为当时，所以由对数函数图像可知,再根据同增异减可得的单调递增区间是, 故答案选D 练1-3【答案】 【详解】,因为所以,根据同增异减可得的单调递增区间是. 例2-1 【答案】D 【详解】是上的减函数，，解得：， 实数的取值范围为. 故选：D. 例2-2【答案】B 【详解】因为函数函数（且）在定义域内单调 而在上只能单调递增， 所以在定义域内单调递增， 所以，解得， 即的取值范围为， 故选：B. 练2-1【答案】A 【详解】因为命题 在上为增函数， 则有，解得， 又因为命题Q：在单调增函数， 则有，解得， 若命题成立，则命题一定成立，反之则不一定成立， 所以是的充分不必要条件， 故选：A. 练2-2【答案】C 【详解】因为当时，,分开考虑，为单调递增函数，也为单调递增函数，根据增函数+增函数=增函数可得函数必然单调递增. 所以，解得 所以a的取值范围是. 故选：C 例3-1【答案】B 【详解】因为为偶函数， 所以， 即，所以，解得， 此时，经检验符合题意. 故选：B 例3-2【答案】A 【详解】因为是定义域为的奇函数，所以，即，解得. 从而，又由，即，解得 所以 故选：A 例3-3【答案】B 【详解】函数的定义域需满足，即， 又函数为奇函数，其定义域关于坐标原点对称， 即，解得， 所以，定义域为， 所以，即， 经检验，，满足题意. 故选：B. 练3-1【答案】 【详解】由题设，， 所以，得，得对均成立. 所以，解得.经检验，满足要求. 故答案为：. 练3-2【答案】1 【详解】∵为偶函数，定义域为， ∴对任意的实数都有， 即， ∴， 由题意得上式对任意的实数恒成立， ∴，解得,所以 故答案为：1 练3-3【答案】C 【详解】根据题意，已知是奇函数， 当时，一定不是奇函数，故， 则有，且，变形可得，所以的根为，解可得，故， 又因为为奇函数，则有，即，即，所以，即，故.所以. 故选：C. 例4-1【答案】C 【详解】由题意知，（）， 设，则， 因为，定义域为，关于原点对称， 所以为奇函数， 在区间上的最大值与最小值的和为0， 故， 所以. 故选：C. 例4-2【答案】B 【详解】令，由，得定义域为， ，即函数是奇函数， 而， 当时，函数是增函数，又是增函数，于是函数在上单调递减， 由奇函数的性质知，函数在上单调递减， 因此函数在上单调递减，由， 得，即， 所以，则，即，又， 所以， 当且仅当时取等号，所以的最小值为2. 故选：B. 例4-3【答案】A 【详解】， ， ，， 故选：A. 练4-1【答案】C 【详解】由题意可知，， 设，则的定义域为， 所以， 所以为奇函数， 故选：C. 练4-2【答案】-5 【详解】设,则 所以为奇函数，则 设，则 则，所以 故 故答案为： 例5-1【答案】C 【详解】由于是偶函数，且在上递增，故原不等式等价于. 此即，解得. 故选：C. 例5-2【答案】A 【详解】因为函数的定义域为，对任意的、，. 令，可得，所以，， 令，可得，所以，， 所以函数为奇函数， 因为对任意、，有， 不妨设，则， 所以，函数在上为减函数， 由可得， 所以，，则，解得， 因此，满足时实数的取值范围为. 故选：A. 例5-3【答案】C 【详解】函数， ，，， 而，即， ， ∵，且函数在上单调递增， ∴函数在上单调递增， 又函数在上单调递增， 在上单调递增， ，即， 所以实数a的取值范围是. 故选：C. 例5-4【答案】C 【详解】由对数运算公式可知， 所以，即函数为偶函数. 又当时，，即， 所以当时，. 又函数在上单调递增，函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增. 又函数为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减， 所以不等式等价于，即，解得. 故选：C. 例5-5【答案】D 【详解】根据题意，是上的偶函数，则函数的图象关于直线对称， 又由函数满足对任意的，，， 则函数在上是增函数， 又函数的图象关于直线对称，则函数在上是减函数， 若，则有，即，解得：或， 所以的取值范围是． 故选：D． 例5-6【答案】D 【详解】根据题意可知，由可得， 再根据函数奇偶性和单调性画出函数图象示意图如下：    对于不等式， 当时，即时，，由图可知； 当时，即时，，由图可知； 因此不等式的解集为. 故选：D 练5-1【答案】(1) (2)单调递减，证明见解析 (3) 【详解】（1）由题，为奇函数， ， 即，（负值舍去）. （2）在上单调递减，下证明； ，且， . ， . ，， 即， 即， 即， ， 即得证在上单调递减. （3）， 在上单调递减， 存在，使， 即， 令，， ，， （当且仅当时取“=”）， 即， 的取值范围. 练5-2【答案】(1)； (2)单调递增，证明见解析； (3) 【详解】（1）因为函数为奇函数， 所以，即， 整理得，故. （2）设，且， 则， 因为，单调递增，所以， 所以，， 所以，即， 所以函数在R上单调递增. （3）因为函数为奇函数， 所以， 又因为在R上单调递增， 所以，即在区间上恒成立， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，即a的取值范围为. 例6-1【答案】D 【详解】即①， 在①中将变换为，则，则， 又因为，所以，所以②， 在②将变换为，所以，所以， 所以的周期为. 因为，所以， 所以为奇函数. 故选：D. 例6-2 【答案】ABC 【详解】依题意，由，得，因此函数是周期为3的周期函数，A正确； 对于B，由函数为奇函数，得，因此函数的图象关于点对称，B正确； 对于C，由，得，而， 于是，即，因此函数为R上的偶函数，C正确； 对于D，由选项B，C知，，因此函数在R上不单调，D错误. 故选：ABC 例6-3【答案】B 【详解】由为奇函数，则，即 又由为偶函数，可得，即， 可得，即，所以 所以函数是以为周期的周期函数， 因为且 令，可得且， 又因为，即，即 因为时，，可得，解得， 再令，可得，即，所以，可得， 所以，则. 故选：B. 例6-4【答案】 【详解】由于是奇函数，函数图象关于原点对称， 所以关于对称，， 所以， 因为是偶函数， 所以， 所以，所以， 所以， 所以是周期为的周期函数， 又，，， ，， 所以， 所以 . 故答案为：. 例6-5 【答案】D 【详解】因为的图像关于直线对称， 所以， 因为，所以，即， 因为，所以， 代入得，即， 所以， . 因为，所以，即，所以. 因为，所以，又因为， 联立得，， 所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R， 所以 因为，所以. 所以. 故选：D 练6-1【答案】C 【详解】由可得2是函数的周期， 因为是奇函数，所以函数的图象关于点对称， 所以，，所以是奇函数， 故选：C. 练6-2 【答案】B 【详解】解：由函数是定义域为的奇函数，可得， 又由，可得， 所以，可得， 所以函数是以8为周期的周期函数，且， 因为函数为奇函数，可得，所以， 又由，可得，即， ， 所以， 所以 . 故选：B. 练6-3 【答案】D 【详解】[方法一]： 因为是奇函数，所以①； 因为是偶函数，所以②． 令，由①得：，由②得：， 因为，所以， 令，由①得：，所以． 思路一：从定义入手． 所以． [方法二]： 因为是奇函数，所以①； 因为是偶函数，所以②． 令，由①得：，由②得：， 因为，所以， 令，由①得：，所以． 思路二：从周期性入手 由两个对称性可知，函数的周期． 所以． 故选：D． 练6-4 【答案】D 【详解】因为的图象关于对称，所以． 因为①，则， 即②，①-②得，， 所以的图像关于对称． 令，则是奇函数， 所以，即， 所以的图象关于点中心对称， 所以，所以， 所以是以4为周期的周期函数． 因为，所以． 因为是以4为周期的周期函数， 所以也是以4为周期的周期函数， 取，，所以． 因为，所以， 所以． 取，所以， 所以， 所以， 故选:D． 例7-1 【答案】ABD 【详解】对于选项A，令，有，解得或， 若，只令，有，则恒为0， 所以，所以， 只令，有，因为， 所以，即， 所以， 所以为偶函数，故选项A正确； 对于选项B，令，有， 令，所以，故，故选项B正确； 对于选项C，若，令，有， 所以，所以， 所以，所以， 所以的周期为4， 因为，， 所以，，， 所以， 所以，故选项C错误； 对于选项D，由选项A可知， 因为为偶函数，所以只需求解的的取值范围， 因为0为的极小值点，所以存在，使时，， 由选项B可知，， 所以， 若，则，则有， 与时，矛盾， 故，所以，解得或， 由上述过程同理可证不成立，所以， 所以当时，，又因为为偶函数， 所以当时，的最小值为1，故选项D正确. 故选：ABD. 例7-2 【答案】ABC 【详解】 对A：对原式令，则，即，故A正确； 对B： 对原式令，则，故， 对原式令，则，故非负； 对原式令，则，解得， 又非负，故可得，故B正确； 对C：由B分析可得：，故C正确； 对D：由B分析可得：满足条件的只有一个，故D错误. 故选：ABC. 练7-1 【答案】ACD 【详解】令，得，即，A正确； 令，得， 又，所以对任意恒成立， 因为，所以不恒为0， 所以，即，B错误； 将的图象向左平移1个单位后，再将图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，可得的图象， 因为的图象关于对称，所以的图象关于对称， 所以， 又为奇函数， 所以， 所以，所以4为的周期. 由可得，C正确； 因为，，， 所以，D正确. 故选：ACD 练7-2【答案】ACD 【详解】对A：令，则有，故，故A正确； 对B：令，，则有，故，故B错误； 对C：令，则有，其中，， 令，，即有对、，当时，恒成立， 即函数为减函数，故C正确； 对D：令，则有，又， 故，故函数的图象关于点对称，故D正确. 故选：ACD. 通关练习 1. 【答案】B 【详解】由题得，即，又是偶函数， 则，所以，故． 故选：B. 2.【答案】C 【详解】由题意可得，，解得. 所以实数的取值范围是. 故选：C. 3. 【答案】B 【详解】因为是奇函数， ∴， ∵是偶函数， ∴，即， ， 则，即周期为8； 另一方面， ∴，即是偶函数. 故选：B. 4. 【答案】ACD 【详解】由是奇函数，则，即，令，则，故A正确； 由，，令，则，故不是奇函数，故B错误； 由，令，则， 故，所以， 而，则， 故， 所以是偶函数，故C正确； 因为，所以， 又因为，所以， 所以，所以，所以的周期为8， 因为，所以4)， 所以，即， 因为，所以由，得，得， 由2，得， 因为的周期为8，所以 ，所以， 所以，故D正确. 故选：ACD. 5．【答案】B 【详解】当时，函数是单调减函数， 即有，解得； 当时，函数是单调减函数， 分界点处的值应满足，解得，∴． 故选：B. 6.【答案】BC 【详解】由题可知 令，，则， 即，可得，故A错； 令，则，即， 又因为，，可得，故B正确； 令，可得，故C正确； 若的图象关于对称，则函数满足， 而，，显然，故D错， 令，可得， 的图象关于对称. 故选：BC. 7.【答案】C 【详解】要使函数在上是增函数， 只需，解得， 即a的取值范围是. 故选：C. 8. 【答案】2021 【详解】令，则， 令，则，解得或. 而，则，故，因此. 则， 即. 因此或， 当时，，在上单调递减，不满足题意，舍去； 当时，满足题意. 则. 故答案为： 9【答案】2 【详解】∵函数为偶函数 ∴ 即 又∵,∴ 故答案为： 10【答案】-1 【详解】定义域为R， 由得：， 因为，所以，故. 故答案为：-1 11【答案】 【详解】函数是奇函数且不恒为0， 可得，即 ， 则，整理可得 ，则， 由，则有，即， 当且仅当，即时取等， 所以的最小值为 故答案为： 12【答案】ACD 【详解】对于A，，故A正确； ，， ，令， 则①， ②， ①+②可得， ，， ，因此，故C正确； 令，， 令，，， 则，故，， 故为偶函数，所以B不正确； 因为，故关于对称， 且，，令，， 则，令，，， 则，， ，一个周期的和为0， 则，故D正确. 故选：ACD 13【答案】6 【详解】因为，所以， 所以是以为周期的周期函数， 又因为余，故， 因为当时，， 所以，所以. 故答案为：6. 14【答案】（或者，答案不唯一） 【详解】由，知满足条件， 又时，，可得，故满足这两个条件的一个函数为. 故答案为：（或者，答案不唯一）. 15【答案】/ 【详解】因为，所以是周期为的周期函数， 所以， 又因为是定义在上的奇函数， 所以， 所以， 故答案为：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$